იმისათვის, რომ ისწავლოთ განტოლებების სწრაფად და წარმატებით ამოხსნა, თქვენ უნდა დაიწყოთ უმარტივესი წესებით და მაგალითებით. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა ისწავლოთ განტოლებების ამოხსნა, რომელთა მარცხნივ არის სხვაობა, ჯამი, კოეფიციენტი ან ნამრავლი ზოგიერთი რიცხვის ერთ უცნობთან, ხოლო მარჯვნივ არის სხვა რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლებებში არის ერთი უცნობი ტერმინი და ან მინუენდი ქვეტრაჰენდით, ან გამყოფი გამყოფით და ა.შ. სწორედ ამ ტიპის განტოლებებზე გესაუბრებით.
ეს სტატია ეძღვნება ძირითად წესებს, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფაქტორები, უცნობი ტერმინები და ა.შ. ჩვენ დაუყოვნებლივ განვმარტავთ ყველა თეორიულ დებულებას კონკრეტული მაგალითებით.
Yandex.RTB R-A-339285-1
უცნობი ტერმინის პოვნა
ვთქვათ, გვაქვს რამდენიმე ბურთი ორ ვაზაში, ვთქვათ 9. ჩვენ ვიცით, რომ მეორე ვაზაში არის 4 ბურთი. როგორ მოვძებნოთ რაოდენობა მეორეში? მოდით ჩავწეროთ ეს ამოცანა მათემატიკური ფორმით და აღვნიშნოთ რიცხვი, რომელიც უნდა მოიძებნოს როგორც x. თავდაპირველი პირობის მიხედვით, ეს რიცხვი 4-თან ერთად ქმნის 9-ს, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება 4 + x = 9. მარცხნივ მივიღეთ ჯამი ერთი უცნობი ტერმინით, მარჯვნივ კი ამ ჯამის მნიშვნელობა. როგორ მოვძებნოთ x? ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ წესი:
განმარტება 1
უცნობი ტერმინის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი ჯამს.
ამ შემთხვევაში გამოკლებას ვაძლევთ ისეთ მნიშვნელობას, რომელიც შეკრების საპირისპიროა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს გარკვეული კავშირი შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციებს შორის, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს პირდაპირი ფორმით შემდეგნაირად: თუ a + b \u003d c, მაშინ c - a \u003d b და c - b \u003d a, და პირიქით, c - a \u003d b და c − b = a გამონათქვამებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a + b = c .
ამ წესის ცოდნა, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ერთი უცნობი ტერმინი ცნობილი და ჯამის გამოყენებით. რომელი ტერმინი ვიცით, პირველი თუ მეორე, ამ შემთხვევაში არ არის მნიშვნელოვანი. ვნახოთ, როგორ გამოვიყენოთ ეს წესი პრაქტიკაში.
მაგალითი 1
ავიღოთ განტოლება, რომელიც მივიღეთ ზემოთ: 4 + x = 9. წესის მიხედვით, ცნობილ ჯამს უნდა გამოვაკლოთ 9-ის ტოლი, ცნობილი წევრი 4-ის ტოლი. გამოვაკლოთ ერთი ნატურალური რიცხვი მეორეს: 9 - 4 = 5 . ჩვენ მივიღეთ საჭირო ტერმინი, უდრის 5-ს.
როგორც წესი, ასეთი განტოლებების ამონახსნები იწერება შემდეგნაირად:
- თავდაპირველად იწერება ორიგინალური განტოლება.
- შემდეგი, ჩვენ ვწერთ განტოლებას, რომელიც მივიღეთ უცნობი წევრის გამოთვლის წესის გამოყენების შემდეგ.
- ამის შემდეგ, ჩვენ ვწერთ განტოლებას, რომელიც აღმოჩნდა რიცხვებით ყველა მოქმედების შემდეგ.
ჩაწერის ეს ფორმა საჭიროა იმისთვის, რომ წარმოაჩინოს ორიგინალური განტოლების თანმიმდევრული ჩანაცვლება ეკვივალენტებით და აჩვენოს ფესვის პოვნის პროცესი. ზემოთ მოყვანილი მარტივი განტოლების ამონახსნი სწორად დაიწერება როგორც:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
ჩვენ შეგვიძლია შევამოწმოთ მიღებული პასუხის სისწორე. მოდით შევცვალოთ ის, რაც მივიღეთ თავდაპირველ განტოლებაში და ვნახოთ, გამოვა თუ არა მისგან სწორი რიცხვითი ტოლობა. ჩაანაცვლეთ 5 4 + x = 9-ით და მიიღეთ: 4 + 5 = 9. ტოლობა 9 = 9 სწორია, რაც ნიშნავს, რომ უცნობი ტერმინი სწორად იქნა ნაპოვნი. თუ თანასწორობა არასწორი აღმოჩნდა, მაშინ უნდა დავუბრუნდეთ გამოსავალს და გადავამოწმოთ, რადგან ეს შეცდომის ნიშანია. როგორც წესი, ყველაზე ხშირად ეს არის გამოთვლითი შეცდომა ან არასწორი წესის გამოყენება.
უცნობი სუბტრაჰენდის ან მინუენდის პოვნა
როგორც პირველ აბზაცში აღვნიშნეთ, შეკრებისა და გამოკლების პროცესებს შორის გარკვეული კავშირია. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ წესი, რომელიც დაგეხმარებათ იპოვოთ უცნობი მინუენდი, როდესაც ჩვენ ვიცით განსხვავება და ქვეტრაჰენდი, ან უცნობი ქვეტრაჰენდი მინუენდის ან განსხვავების მეშვეობით. ჩვენ რიგრიგობით ვწერთ ამ ორ წესს და ვაჩვენებთ როგორ გამოვიყენოთ ისინი პრობლემების გადასაჭრელად.
განმარტება 2
უცნობი minuend-ის საპოვნელად, დაამატეთ minuend განსხვავებას.
მაგალითი 2
მაგალითად, გვაქვს განტოლება x - 6 = 10. შემცირებული უცნობია. წესის მიხედვით, 10 სხვაობას უნდა დავუმატოთ გამოკლებული 6, მივიღებთ 16-ს. ანუ თავდაპირველი მინუენდი თექვსმეტია. მოდით დავწეროთ გამოსავალი მთლიანად:
x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.
მოდით შევამოწმოთ შედეგი მიღებული რიცხვის თავდაპირველ განტოლებაზე მიმატებით: 16 - 6 = 10. ტოლობა 16 - 16 სწორი იქნება, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი სწორად გამოვთვალეთ.
განმარტება 3
უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, გამოაკლეთ განსხვავება მინუენდს.
მაგალითი 3
გამოვიყენოთ წესი 10 - x = 8 განტოლების ამოსახსნელად. ჩვენ არ ვიცით რას აკლებს, ამიტომ სხვაობა 10-ს უნდა გამოვაკლოთ, ე.ი. 10 - 8 = 2. აქედან გამომდინარე, საჭირო ქვეტრაჰენდი უდრის ორს. აქ არის მთელი გადაწყვეტის ჩანაწერი:
10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.
მოდით შევამოწმოთ სისწორე თავდაპირველ განტოლებაში დიუსის ჩანაცვლებით. მივიღოთ სწორი ტოლობა 10 - 2 = 8 და დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენ მიერ ნაპოვნი მნიშვნელობა სწორი იქნება.
სანამ სხვა წესებზე გადავიდოდეთ, აღვნიშნავთ, რომ არსებობს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე ნებისმიერი ტერმინის გადატანის წესი შებრუნებული ნიშნით. ყველა ზემოაღნიშნული წესი სრულად შეესაბამება მას.
უცნობი მამრავლის პოვნა
მოდით შევხედოთ ორ განტოლებას: x 2 = 20 და 3 x = 12. ორივეში ვიცით პროდუქტის ღირებულება და ერთ-ერთი ფაქტორი, მეორე უნდა ვიპოვოთ. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ სხვა წესი.
განმარტება 4
უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე.
ეს წესი დაფუძნებულია გამრავლების საპირისპირო გრძნობაზე. გამრავლებასა და გაყოფას შორის არის შემდეგი კავშირი: a b = c როდესაც a და b არ არის 0-ის ტოლი, c: a = b, c: b = c და პირიქით.
მაგალითი 4
გამოთვალეთ უცნობი კოეფიციენტი პირველ განტოლებაში ცნობილი კოეფიციენტის 20-ის ცნობილ 2-ზე გაყოფით. ვატარებთ ნატურალური რიცხვების გაყოფას და ვიღებთ 10-ს. მოდით ჩამოვწეროთ ტოლობების თანმიმდევრობა:
x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
ჩვენ ვცვლით ათეულს თავდაპირველ ტოლობაში და მივიღებთ 2 10 \u003d 20. უცნობი მულტიპლიკატორის მნიშვნელობა გაკეთდა სწორად.
განვმარტოთ, რომ თუ რომელიმე ფაქტორი ნულის ტოლია, ამ წესის გამოყენება შეუძლებელია. ასე რომ, მისი დახმარებით ვერ ამოხსნით განტოლებას x 0 = 11. ამ აღნიშვნას აზრი არ აქვს, რადგან გამოსავალი არის 11-ის 0-ზე გაყოფა და ნულზე გაყოფა განუსაზღვრელია. ასეთ შემთხვევებზე უფრო დეტალურად ვისაუბრეთ ხაზოვანი განტოლებებისადმი მიძღვნილ სტატიაში.
როდესაც ამ წესს ვიყენებთ, ჩვენ არსებითად ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს განსხვავებულ კოეფიციენტზე, ვიდრე 0 . არსებობს ცალკე წესი, რომლის მიხედვითაც ასეთი დაყოფა შეიძლება განხორციელდეს და ეს არ იმოქმედებს განტოლების ფესვებზე და რაც ამ აბზაცში დავწერეთ, სრულად შეესაბამება მას.
უცნობი დივიდენდის ან გამყოფის პოვნა
კიდევ ერთი შემთხვევა, რომელიც უნდა განვიხილოთ, არის უცნობი დივიდენდის პოვნა, თუ ვიცით გამყოფი და კოეფიციენტი, ასევე გამყოფის პოვნა, როდესაც კოეფიციენტი და დივიდენდი ცნობილია. ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ეს წესი აქ უკვე ნახსენები გამრავლებისა და გაყოფის კავშირის დახმარებით.
განმარტება 5
უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, გავამრავლოთ გამყოფი კოეფიციენტზე.
ვნახოთ, როგორ მოქმედებს ეს წესი.
მაგალითი 5
გამოვიყენოთ x განტოლების ამოსახსნელად: 3 = 5 . ვამრავლებთ ცნობილ კოეფიციენტს და ცნობილ გამყოფს ჩვენს შორის და ვიღებთ 15-ს, რომელიც იქნება ჩვენთვის საჭირო გასაყოფი.
აქ არის მთლიანი გადაწყვეტის შეჯამება:
x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.
ჩეკი აჩვენებს, რომ ყველაფერი სწორად გამოვთვალეთ, რადგან 15-ის 3-ზე გაყოფისას ნამდვილად გამოდის 5. ჭეშმარიტი რიცხვითი თანასწორობა სწორი გადაწყვეტილების მტკიცებულებაა.
ეს წესი შეიძლება განიმარტოს, როგორც განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარის გამრავლება იმავე რიცხვზე, გარდა 0-ისა. ეს ტრანსფორმაცია არანაირად არ მოქმედებს განტოლების ფესვებზე.
გადავიდეთ შემდეგ წესზე.
განმარტება 6
უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე.
მაგალითი 6
ავიღოთ მარტივი მაგალითი - განტოლება 21: x = 3 . მის ამოსახსნელად ცნობილ გაყოფილ 21-ს ვყოფთ 3-ზე და ვიღებთ 7-ს. ეს იქნება სასურველი გამყოფი. ახლა ჩვენ სწორად ვიღებთ გადაწყვეტილებას:
21:x=3, x=21:3, x=7.
დავრწმუნდეთ, რომ შედეგი სწორია თავდაპირველ განტოლებაში შვიდის ჩანაცვლებით. 21: 7 = 3, ასე რომ, განტოლების ფესვი სწორად იყო გამოთვლილი.
მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ეს წესი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც კოეფიციენტი არ არის ნულოვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ჩვენ კვლავ უნდა გავყოთ 0-ზე. თუ კოეფიციენტი არის ნული, შესაძლებელია ორი ვარიანტი. თუ დივიდენდი ასევე ნულია და განტოლება გამოიყურება 0: x \u003d 0, მაშინ ცვლადის მნიშვნელობა იქნება ნებისმიერი, ანუ ამ განტოლებას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა. მაგრამ განტოლებას 0-ის ტოლი კოეფიციენტით, 0-ის გარდა დივიდენდით, არ ექნება ამონახსნები, რადგან არ არსებობს ასეთი გამყოფი მნიშვნელობები. მაგალითი იქნება განტოლება 5: x = 0, რომელსაც არ აქვს ფესვი.
წესების თანმიმდევრული გამოყენება
ხშირად პრაქტიკაში არის უფრო რთული პრობლემები, რომლებშიც თანმიმდევრულად უნდა იქნას გამოყენებული ტერმინების, მინუსების, ქვეტრაენდების, ფაქტორების, დივიდენდების და კოეფიციენტების პოვნის წესები. ავიღოთ მაგალითი.
მაგალითი 7
ჩვენ გვაქვს განტოლება, როგორიცაა 3 x + 1 = 7. ჩვენ ვიანგარიშებთ უცნობ წევრს 3 x , გამოვაკლებთ ერთს 7-ს. ჩვენ ვამთავრებთ 3 · x = 7 − 1 , შემდეგ 3 · x = 6 . ეს განტოლება ძალიან მარტივი ამოსახსნელია: გაყავით 6 3-ზე და მიიღეთ საწყისი განტოლების ფესვი.
აქ არის სტენოგრამა კიდევ ერთი განტოლების ამოსახსნელად (2 x − 7): 3 − 5 = 2:
(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
პირველი დონე
წრფივი განტოლებები. სრული გზამკვლევი (2019)
რა არის "წრფივი განტოლებები"
ან სიტყვიერად - სამ მეგობარს თითოეულს ვაშლი აჩუქეს, იმის საფუძველზე, რომ ვასიას ყველა ვაშლი აქვს.
და ახლა თქვენ გადაწყვიტეთ წრფივი განტოლება
ახლა მოდით მივცეთ ამ ტერმინის მათემატიკური განმარტება.
წრფივი განტოლება - არის ალგებრული განტოლება, რომლის შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი არის. ეს ასე გამოიყურება:
სად და არის ნებისმიერი რიცხვი და
ვასიასთან და ვაშლებთან დაკავშირებით ჩვენ დავწერთ:
- "თუ ვასია სამივე მეგობარს ერთნაირი რაოდენობის ვაშლს აძლევს, მას ვაშლი აღარ დარჩება"
„დამალული“ წრფივი განტოლებები, ანუ იდენტური გარდაქმნების მნიშვნელობა
იმისდა მიუხედავად, რომ ერთი შეხედვით ყველაფერი ძალიან მარტივია, განტოლებების ამოხსნისას ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს, არამედ ნებისმიერ განტოლებას, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება გარდაქმნებისა და გამარტივების შედეგად. Მაგალითად:
ჩვენ ვხედავთ, რომ ის არის მარჯვნივ, რაც, თეორიულად, უკვე მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლება არ არის წრფივი. უფრო მეტიც, თუ ფრჩხილებს გავხსნით, კიდევ ორ ტერმინს მივიღებთ, რომელშიც იქნება, მაგრამ ნუ ჩქარობ დასკვნებს! სანამ ვიმსჯელებთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია ყველა გარდაქმნის გაკეთება და ამით ორიგინალური მაგალითის გამარტივება. ამ შემთხვევაში, გარდაქმნებს შეუძლიათ შეცვალონ გარეგნობა, მაგრამ არა განტოლების არსი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს გარდაქმნები უნდა იყოს იდენტურიან ექვივალენტი. არსებობს მხოლოდ ორი ასეთი ტრანსფორმაცია, მაგრამ ისინი თამაშობენ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვან როლს პრობლემების გადაჭრაში. განვიხილოთ ორივე ტრანსფორმაცია კონკრეტულ მაგალითებზე.
გადაადგილება მარცხნივ - მარჯვნივ.
ვთქვათ, უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:
ჯერ კიდევ დაწყებით სკოლაში გვითხრეს: "X-ით - მარცხნივ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ". რა გამოხატულებაა x-ით მარჯვნივ? მართალია, არა როგორ არა. და ეს მნიშვნელოვანია, რადგან თუ ეს ერთი შეხედვით მარტივი კითხვა არასწორად არის გაგებული, არასწორი პასუხი გამოვა. და რა არის გამოხატულება x-ით მარცხნივ? სწორად,.
ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ ეს, ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს უცნობიებით მარცხნივ, და ყველაფერს, რაც ცნობილია მარჯვნივ, გვახსოვდეს, რომ თუ, მაგალითად, რიცხვის წინ არ არის ნიშანი, მაშინ რიცხვი დადებითია, არის, მას წინ უძღვის ნიშანი "".
გადავიდა? Რა მიიღე?
ყველაფერი რაც რჩება გასაკეთებელი არის მსგავსი პირობების შემოტანა. წარმოგიდგენთ:
ასე რომ, ჩვენ წარმატებით გავაანალიზეთ პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, თუმცა დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ უკვე იცოდით და აქტიურად იყენებდით ჩემს გარეშე. მთავარია - ნუ დაივიწყებთ რიცხვების ნიშნებს და ტოლობის ნიშნით გადატანისას შეცვალეთ ისინი საპირისპიროდ!
გამრავლება-გაყოფა.
დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით
ვუყურებთ და ვფიქრობთ: რა არ მოგვწონს ამ მაგალითში? უცნობი ყველაფერი ერთ ნაწილშია, ცნობილი მეორეში, მაგრამ რაღაც გვაჩერებს... და ეს არის რაღაც - ოთხი, რადგან ის რომ არ იყოს, ყველაფერი სრულყოფილი იქნებოდა - x უდრის რიცხვს - ზუსტად ისე, როგორც ჩვენ გვჭირდება!
როგორ შეიძლება მისგან თავის დაღწევა? ჩვენ არ შეგვიძლია გადავიტანოთ მარჯვნივ, რადგან მაშინ ჩვენ გვჭირდება მთელი მულტიპლიკატორის გადატანა (ჩვენ არ შეგვიძლია მისი აღება და ჩამოგლეჯა) და მთელი მულტიპლიკატორის გადატანას ასევე აზრი არ აქვს ...
დროა გავიხსენოთ დაყოფა, რასთან დაკავშირებითაც ჩვენ ყველაფერს დავყოფთ! ყველა - ეს ნიშნავს როგორც მარცხენა, ასევე მარჯვენა მხარეს. ასე და მხოლოდ ასე! რას ვიღებთ?
აი პასუხი.
ახლა გადავხედოთ სხვა მაგალითს:
გამოიცანით რა უნდა გააკეთოთ ამ შემთხვევაში? ასეა, გაამრავლე მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები! რა პასუხი მიიღეთ? სწორად. .
რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე იცოდით ყველაფერი იდენტური გარდაქმნების შესახებ. ჩათვალეთ, რომ ჩვენ ახლახან განვაახლეთ ეს ცოდნა თქვენს მეხსიერებაში და დროა კიდევ რაღაცისთვის - მაგალითად, ჩვენი დიდი მაგალითის გადასაჭრელად:
როგორც ადრე ვთქვით, რომ შევხედოთ, ვერ იტყვით, რომ ეს განტოლება წრფივია, მაგრამ ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები და შევასრულოთ იდენტური გარდაქმნები. ასე რომ, დავიწყოთ!
დასაწყისისთვის გავიხსენებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს, კერძოდ, ჯამის კვადრატს და სხვაობის კვადრატს. თუ არ გახსოვთ რა არის და როგორ იხსნება ფრჩხილები, გირჩევთ თემის წაკითხვას, რადგან ეს უნარები გამოგადგებათ გამოცდაზე ნაპოვნი თითქმის ყველა მაგალითის ამოხსნისას.
გამოვლინდა? შეადარეთ:
ახლა დროა მოიტანოთ მსგავსი პირობები. გახსოვთ, როგორ გვითხრეს იმავე დაწყებით კლასებში: "ბუზებს კატლეტებით არ ვსვამთ"? აი ამას შეგახსენებთ. ყველაფერს ცალკე ვამატებთ - ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ, ფაქტორებს, რომლებსაც აქვთ და სხვა ფაქტორებს, რომლებსაც არ აქვთ უცნობი. მსგავსი ტერმინების მოტანისას გადაიტანეთ ყველა უცნობი მარცხნივ და ყველაფერი რაც ცნობილია მარჯვნივ. Რა მიიღე?
როგორც ხედავთ, x-კვადრატი გაქრა და ჩვენ ვხედავთ სრულიად ჩვეულებრივს წრფივი განტოლება. რჩება მხოლოდ პოვნა!
და ბოლოს, კიდევ ერთ ძალიან მნიშვნელოვანს ვიტყვი იდენტურ გარდაქმნებზე - იდენტური გარდაქმნები გამოიყენება არა მხოლოდ წრფივი განტოლებისთვის, არამედ კვადრატული, წილადი რაციონალური და სხვა. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ ტოლობის ნიშნით ფაქტორების გადაცემისას, ჩვენ ვცვლით ნიშანს საპირისპიროდ, ხოლო როდესაც გავყოფთ ან გავამრავლებთ რომელიმე რიცხვზე, ჩვენ ვამრავლებთ / ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს იგივე რიცხვზე.
კიდევ რა ამოიღეთ ამ მაგალითიდან? განტოლების დათვალიერებისას ყოველთვის არ არის შესაძლებელი პირდაპირ და ზუსტად განსაზღვრო არის თუ არა ის წრფივი. ჯერ სრულად უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა და მხოლოდ ამის შემდეგ განსაჯოთ რა არის.
წრფივი განტოლებები. მაგალითები.
აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი, რომ დამოუკიდებლად ივარჯიშოთ - დაადგინეთ, არის თუ არა განტოლება წრფივი და თუ ასეა, იპოვეთ მისი ფესვები:
პასუხები:
1. არის.
2. Არ არის.
გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:
მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებად ვყოფთ:
ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლება არ არის წრფივი, ამიტომ არ არის საჭირო მისი ფესვების ძებნა.
3. არის.
მოდით გავაკეთოთ იდენტური ტრანსფორმაცია - გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები, რომ თავი დავაღწიოთ მნიშვნელს.
დაფიქრდით, რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი? თუ თქვენ იცით ამ კითხვაზე პასუხი, გადავდივართ განტოლების შემდგომ ამოხსნაზე, თუ არა, აუცილებლად გადახედეთ თემას, რათა არ დაუშვათ შეცდომები უფრო რთულ მაგალითებში. სხვათა შორის, როგორც ხედავთ, სიტუაცია, სადაც ეს შეუძლებელია. რატომ?
მოდით წავიდეთ წინ და გადავაწყოთ განტოლება:
თუ თქვენ გაართვით თავი ყველაფერს სირთულეების გარეშე, მოდით ვისაუბროთ წრფივ განტოლებებზე ორი ცვლადით.
წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით
ახლა გადავიდეთ ოდნავ უფრო რთულზე - წრფივ განტოლებაზე ორი ცვლადით.
წრფივი განტოლებებიორი ცვლადით ასე გამოიყურება:
სად, და არის ნებისმიერი რიცხვი და.
როგორც ხედავთ, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ განტოლებას ემატება კიდევ ერთი ცვლადი. ასე რომ, ყველაფერი იგივეა - არ არის x კვადრატი, არ არის გაყოფა ცვლადზე და ა.შ. და ა.შ.
რა ცხოვრებისეული მაგალითი მოგცეთ... ავიღოთ იგივე ვასია. დავუშვათ, მან გადაწყვიტა, რომ თავის 3 მეგობარს მისცემდა თითოეულს იმავე რაოდენობის ვაშლს, ხოლო ვაშლებს თავისთვის შეინახავდა. რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, თუ თითოეულ მეგობარს ვაშლს აჩუქებს? რაც შეეხება? რა მოხდება, თუ მიერ?
ვაშლების რაოდენობის დამოკიდებულება, რომელსაც თითოეული ადამიანი მიიღებს ვაშლების საერთო რაოდენობაზე, რომელიც უნდა შეიძინოს, გამოიხატება განტოლებით:
- - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ადამიანი მიიღებს (, ან, ან);
- - ვაშლების რაოდენობა, რომელსაც ვასია თავისთვის აიღებს;
- - რამდენი ვაშლი უნდა იყიდოს ვასიას, ერთ ადამიანზე ვაშლების რაოდენობის გათვალისწინებით.
ამ პრობლემის გადაჭრით, მივიღებთ, რომ თუ ვასია ერთ მეგობარს ვაშლს აძლევს, მაშინ მას სჭირდება ნაჭრების ყიდვა, თუ ვაშლს აძლევს - და ასე შემდეგ.
და ზოგადად რომ ვთქვათ. ჩვენ გვაქვს ორი ცვლადი. რატომ არ დახატოთ ეს დამოკიდებულება გრაფიკზე? ჩვენ ვაშენებთ და აღვნიშნავთ ჩვენს მნიშვნელობას, ანუ წერტილებს, კოორდინატებით და!
როგორც ხედავთ და ერთმანეთზე ვართ დამოკიდებული ხაზოვანი, აქედან მოდის განტოლებების სახელწოდება - ” ხაზოვანი».
ვაშლიდან აბსტრაციას ვახდენთ და განვიხილავთ გრაფიკულად განსხვავებულ განტოლებებს. ყურადღებით დააკვირდით ორ აგებულ გრაფიკს - სწორი ხაზი და პარაბოლა, რომლებიც მოცემულია თვითნებური ფუნქციებით:
იპოვნეთ და მონიშნეთ შესაბამისი წერტილები ორივე ფიგურაზე.
Რა მიიღე?
ამას ხედავთ პირველი ფუნქციის გრაფიკზე მარტოშეესაბამება ერთი, ანუ და წრფივად დამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე, რაც არ შეიძლება ითქვას მეორე ფუნქციაზე. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააპროტესტოთ, რომ მეორე გრაფიკზე x ასევე შეესაბამება - , მაგრამ ეს მხოლოდ ერთი წერტილია, ანუ განსაკუთრებული შემთხვევა, რადგან მაინც შეგიძლიათ იპოვოთ ის, რომელიც შეესაბამება ერთზე მეტს. და აგებული გრაფიკი არანაირად არ ჰგავს ხაზს, მაგრამ არის პარაბოლა.
ვიმეორებ, კიდევ ერთხელ: წრფივი განტოლების გრაფიკი უნდა იყოს სწორი ხაზი.
იმის გამო, რომ განტოლება არ იქნება წრფივი, თუ რაიმე ზომით მივდივართ - ეს გასაგებია პარაბოლის მაგალითის გამოყენებით, თუმცა თქვენთვის შეგიძლიათ შექმნათ კიდევ რამდენიმე მარტივი გრაფიკი, მაგალითად ან. მაგრამ გარწმუნებთ - არცერთი მათგანი არ იქნება სწორი ხაზი.
Არ დაიჯერო? ააშენე და მერე შეადარე რაც მივიღე:
და რა მოხდება, თუ რამეს გავყოფთ, მაგალითად, რაღაც რიცხვზე? იქნება თუ არა ხაზოვანი დამოკიდებულება და? ჩვენ არ ვიკამათებთ, მაგრამ ავაშენებთ! მაგალითად, დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი.
რატომღაც არ ჰგავს აგებულ სწორ ხაზს ... შესაბამისად, განტოლება არ არის წრფივი.
შევაჯამოთ:
- წრფივი განტოლება -არის ალგებრული განტოლება, რომელშიც მისი შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი ტოლია.
- წრფივი განტოლებაერთი ცვლადით ასე გამოიყურება:
, სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;
წრფივი განტოლებაორი ცვლადით:
, სად და არის ნებისმიერი რიცხვი. - ყოველთვის არ არის შესაძლებელი დაუყოვნებლივ დადგინდეს, არის თუ არა განტოლება წრფივი. ზოგჯერ ამის გასაგებად საჭიროა იდენტური გარდაქმნების შესრულება, მსგავსი ტერმინების გადატანა მარცხნივ/მარჯვნივ, არ უნდა დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, ან განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება/გაყოფა იმავე რიცხვზე.
წრფივი განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ
1. წრფივი განტოლება
ეს არის ალგებრული განტოლება, რომელშიც მისი შემადგენელი მრავალწევრების ჯამური ხარისხი ტოლია.
2. წრფივი განტოლება ერთი ცვლადითროგორც ჩანს:
სად და არის ნებისმიერი რიცხვი;
3. წრფივი განტოლება ორი ცვლადითროგორც ჩანს:
სად და არის ნებისმიერი რიცხვი.
4. იდენტობის გარდაქმნები
იმის დასადგენად, არის თუ არა განტოლება წრფივი, აუცილებელია იდენტური გარდაქმნების გაკეთება:
- ტერმინების მსგავსად იმოძრავეთ მარცხნივ/მარჯვნივ, არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა;
- გავამრავლოთ/გაყოთ განტოლების ორივე მხარე იმავე რიცხვზე.
უნარების განვითარების გრძელი გზა განტოლებების ამოხსნაიწყება პირველი და შედარებით მარტივი განტოლებების ამოხსნით. ასეთ განტოლებებში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომელთა მარცხენა მხარეს არის ორი რიცხვის ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი ან კოეფიციენტი, რომელთაგან ერთი უცნობია, ხოლო მარჯვენა მხარეს არის რიცხვი. ანუ ეს განტოლებები შეიცავს უცნობ ტერმინს, მინუენდს, ქვეტრაჰენდს, მამრავლს, დივიდენდს ან გამყოფს. ასეთი განტოლებების ამოხსნა განხილული იქნება ამ სტატიაში.
აქ მივცემთ წესებს, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ უცნობი ტერმინი, მულტიპლიკატორი და ა.შ. უფრო მეტიც, ჩვენ დაუყოვნებლივ განვიხილავთ ამ წესების გამოყენებას პრაქტიკაში, დამახასიათებელი განტოლებების ამოხსნით.
გვერდის ნავიგაცია.
ასე რომ, ჩვენ ვცვლით რიცხვს 5-ს x-ის ნაცვლად თავდაპირველ განტოლებაში 3 + x = 8, მივიღებთ 3 + 5 = 8 - ეს ტოლობა სწორია, შესაბამისად, ჩვენ სწორად ვიპოვეთ უცნობი წევრი. თუ შემოწმების დროს მივიღეთ არასწორი რიცხვითი ტოლობა, მაშინ ეს მიგვანიშნებს, რომ არასწორად მოვაგვარეთ განტოლება. ამის მთავარი მიზეზი შეიძლება იყოს ან არასწორი წესის გამოყენება, ან გამოთვლითი შეცდომები.
როგორ მოვძებნოთ უცნობი მინუენდი, ქვეტრაჰენდი?
რიცხვების შეკრებასა და გამოკლებას შორის კავშირი, რომელიც უკვე აღვნიშნეთ წინა აბზაცში, საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ უცნობი ქვეტრაენდის პოვნის წესი ცნობილი სუბტრაჰენდისა და განსხვავების მეშვეობით, ასევე უცნობი ქვეტრაჰენდის პოვნის წესი ცნობილი მინუენდის საშუალებით. და განსხვავება. ჩვენ რიგრიგობით ჩამოვაყალიბებთ მათ და მაშინვე მივცემთ შესაბამისი განტოლებების ამოხსნას.
უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.
მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება x−2=5. ის შეიცავს უცნობ მინუს. ზემოაღნიშნული წესი გვეუბნება, რომ მის საპოვნელად, ცნობილ სხვაობას 5-ს უნდა დავუმატოთ ცნობილი ქვეტრაენდი 2, გვაქვს 5+2=7. ამრიგად, საჭირო მინუენდი უდრის შვიდს.
თუ ახსნა-განმარტებებს გამოტოვებთ, მაშინ გამოსავალი იწერება შემდეგნაირად:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.
თვითკონტროლისთვის ჩავატარებთ შემოწმებას. აღმოჩენილს ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში და მივიღებთ რიცხვით ტოლობას 7−2=5. ეს სწორია, ამიტომ შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ სწორად განვსაზღვრეთ უცნობი მინუენდის მნიშვნელობა.
შეგიძლიათ გადახვიდეთ უცნობი სუბტრაჰენდის პოვნაზე. იგი ნაპოვნია შემდეგი წესის მიხედვით: უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად აუცილებელია სხვაობის გამოკლება მინუენდისგან.
წერილობითი წესით ვხსნით 9−x=4 ფორმის განტოლებას. ამ განტოლებაში უცნობი არის ქვეტრაჰენდი. მის საპოვნელად უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი სხვაობა 4 ცნობილ შემცირებულ 9-ს, გვაქვს 9−4=5. ამრიგად, საჭირო სუბტრაჰენდი უდრის ხუთს.
აქ არის ამ განტოლების ამოხსნის მოკლე ვერსია:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.
რჩება მხოლოდ აღმოჩენილი ქვედანაყოფის სისწორის შემოწმება. გავაკეთოთ შემოწმება, რომლისთვისაც აღმოჩენილი მნიშვნელობა x-ის ნაცვლად 5 ჩავანაცვლოთ თავდაპირველ განტოლებაში და მივიღებთ რიცხვით ტოლობას 9−5=4. ეს სწორია, შესაბამისად, ჩვენ მიერ ნაპოვნი სუბტრაჰენდის მნიშვნელობა სწორია.
და სანამ შემდეგ წესზე გადავალთ, აღვნიშნავთ, რომ მე-6 კლასში განიხილება განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადაიტანოთ ნებისმიერი ტერმინი განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით. ასე რომ, ყველა ზემოთ განხილული წესი უცნობი ტერმინის საპოვნელად, შემცირებული და გამოკლებული, სრულად შეესაბამება მას.
უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა...
მოდით შევხედოთ განტოლებებს x 3=12 და 2 y=6 . მათში უცნობი რიცხვი არის ფაქტორი მარცხენა მხარეს, ხოლო ნამრავლი და მეორე ფაქტორი ცნობილია. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი წესი: უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე.
ეს წესი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ჩვენ რიცხვთა გაყოფას მივეცით გამრავლების მნიშვნელობის საპირისპირო მნიშვნელობა. ანუ არის კავშირი გამრავლებასა და გაყოფას შორის: a b=c ტოლობიდან, რომელშიც a≠0 და b≠0, გამოდის c:a=b და c:b=c და პირიქით.
მაგალითად, ვიპოვოთ x·3=12 განტოლების უცნობი კოეფიციენტი. წესის მიხედვით, ცნობილი პროდუქტი 12 უნდა გავყოთ ცნობილ ფაქტორ 3-ზე. მოდით გავაკეთოთ: 12:3=4. ასე რომ, უცნობი ფაქტორი არის 4.
მოკლედ, განტოლების ამოხსნა იწერება ტოლობების მიმდევრობით:
x 3=12,
x=12:3,
x=4.
ასევე სასურველია შედეგის შემოწმება: ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას ასოს ნაცვლად თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ 4 3 \u003d 12 - სწორი რიცხვითი თანასწორობა, ასე რომ, ჩვენ სწორად ვიპოვეთ უცნობი ფაქტორის მნიშვნელობა.
და კიდევ ერთი: მოქმედებით შესწავლილი წესით, ჩვენ ფაქტობრივად ვასრულებთ განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფას არანულოვანი ცნობილი მამრავლით. მე-6 კლასში იტყვიან, რომ განტოლების ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ და გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, ეს არ იმოქმედებს განტოლების ფესვებზე.
როგორ მოვძებნოთ უცნობი დივიდენდი, გამყოფი?
როგორც ჩვენი თემის ნაწილი, რჩება იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ უცნობი დივიდენდი ცნობილი გამყოფით და კოეფიციენტით, ასევე როგორ ვიპოვოთ უცნობი გამყოფი ცნობილი დივიდენდით და კოეფიციენტით. წინა აბზაცში უკვე ნახსენები გამრავლებისა და გაყოფის ურთიერთობა საშუალებას გაძლევთ უპასუხოთ ამ კითხვებს.
უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.
განვიხილოთ მისი გამოყენება მაგალითით. ამოხსენით განტოლება x:5=9 . ამ განტოლების უცნობი გაყოფის საპოვნელად აუცილებელია, წესის მიხედვით, გავამრავლოთ ცნობილი კოეფიციენტი 9 ცნობილ გამყოფ 5-ზე, ანუ ვასრულებთ ნატურალური რიცხვების გამრავლებას: 9 5 \u003d 45. ამრიგად, სასურველი დივიდენდი არის 45.
მოდით ვაჩვენოთ ამოხსნის მოკლე აღნიშვნა:
x:5=9,
x=9 5,
x=45.
შემოწმება ადასტურებს, რომ უცნობი დივიდენდის ღირებულება სწორად არის ნაპოვნი. მართლაც, x ცვლადის ნაცვლად 45 რიცხვის ჩანაცვლებისას თავდაპირველ განტოლებაში, ის იქცევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში 45:5=9.
გაითვალისწინეთ, რომ გაანალიზებული წესი შეიძლება განიმარტოს, როგორც განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება ცნობილი გამყოფით. ასეთი ტრანსფორმაცია არ მოქმედებს განტოლების ფესვებზე.
მოდით გადავიდეთ უცნობი გამყოფის პოვნის წესზე: უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი გაყავით კოეფიციენტზე.
განვიხილოთ მაგალითი. იპოვეთ უცნობი გამყოფი განტოლებიდან 18:x=3 . ამისათვის ჩვენ უნდა გავყოთ ცნობილი დივიდენდი 18 ცნობილ კოეფიციენტზე 3, გვაქვს 18:3=6. ამრიგად, საჭირო გამყოფი უდრის ექვსს.
გამოსავალი ასევე შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
18:x=3,
x=18:3,
x=6.
შევამოწმოთ ეს შედეგი სანდოობისთვის: 18:6=3 არის სწორი რიცხვითი ტოლობა, შესაბამისად, განტოლების ფესვი სწორად არის ნაპოვნი.
ნათელია, რომ ამ წესის გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც კოეფიციენტი განსხვავდება ნულისაგან, რათა არ შეგვხვდეს გაყოფა ნულზე. როდესაც კოეფიციენტი ნულის ტოლია, შესაძლებელია ორი შემთხვევა. თუ ამ შემთხვევაში დივიდენდი ნულის ტოლია, ანუ განტოლებას აქვს ფორმა 0:x=0, მაშინ ეს განტოლება აკმაყოფილებს გამყოფის ნებისმიერ არანულოვან მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი განტოლების ფესვები არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი. თუ კოეფიციენტი ნულის ტოლია, დივიდენდი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ გამყოფის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის საწყისი განტოლება არ გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, ანუ განტოლებას არ აქვს ფესვები. საილუსტრაციოდ წარმოგიდგენთ განტოლებას 5:x=0, მას არ აქვს ამონახსნები.
გაზიარების წესები
უცნობი ტერმინის, მინუენდის, სუბტრაჰენდის, მულტიპლიკატორის, დივიდენდის და გამყოფის პოვნის წესების თანმიმდევრული გამოყენება საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლებები უფრო რთული ფორმის ერთი ცვლადით. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.
განვიხილოთ განტოლება 3 x+1=7. პირველ რიგში, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ უცნობი წევრი 3 x, ამისთვის ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი 1 ჯამს 7, მივიღებთ 3 x=7−1 და შემდეგ 3 x=6. ახლა რჩება უცნობი ფაქტორის პოვნა 6-ის ნამრავლის გაყოფით ცნობილ კოეფიციენტ 3-ზე, გვაქვს x=6:3, საიდანაც x=2. ასე რომ, ნაპოვნია საწყისი განტოლების ფესვი.
მასალის გასამყარებლად წარმოგიდგენთ სხვა განტოლების მოკლე ამოხსნას (2·x−7):3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2,
(2 x−7):3=2+5,
(2 x−7):3=7,
2 x−7=7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2,
x=14.
ბიბლიოგრაფია.
- მათემატიკა.. მე-4 კლასი. პროკ. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები. 2 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova და სხვები]. - მე -8 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2011. - 112გვ.: ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- მათემატიკა: სწავლობს. 5 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / ნ. ია. ვილენკინი, ვ.ი. ჟოხოვი, ა.ს. ჩესნოკოვი, ს.ი. შვარცბურდი. - 21-ე გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280გვ.: ილ. ISBN 5-346-00699-0.
განტოლებები ერთ-ერთი ყველაზე რთულად დასაუფლებელი თემაა, მაგრამ ისინი საკმარისად ძლიერია პრობლემების უმეტესობის გადასაჭრელად.
განტოლებების დახმარებით აღწერილია ბუნებაში მიმდინარე სხვადასხვა პროცესები. განტოლებები ფართოდ გამოიყენება სხვა მეცნიერებებში: ეკონომიკაში, ფიზიკაში, ბიოლოგიასა და ქიმიაში.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევეცდებით გავიგოთ უმარტივესი განტოლებების არსი, ვისწავლოთ უცნობის გამოხატვა და რამდენიმე განტოლების ამოხსნა. როგორც თქვენ ისწავლით ახალ მასალებს, განტოლებები უფრო რთული გახდება, ამიტომ საფუძვლების გაგება ძალიან მნიშვნელოვანია.
წინასწარი უნარები გაკვეთილის შინაარსირა არის განტოლება?
განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც გსურთ იპოვოთ. ეს მნიშვნელობა უნდა იყოს ისეთი, რომ როდესაც იგი შეიცვლება თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.
მაგალითად, გამოხატულება 2 + 2 = 4 არის ტოლობა. მარცხენა მხარის გამოთვლისას მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა 4 = 4 .
მაგრამ თანასწორობა 2 + x= 4 არის განტოლება, რადგან ის შეიცავს ცვლადს x, რომლის ღირებულებაც შეიძლება მოიძებნოს. მნიშვნელობა უნდა იყოს ისეთი, რომ როდესაც ეს მნიშვნელობა შეიცვლება თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა, სადაც ტოლობის ნიშანი გაამართლებს მის მდებარეობას - მარცხენა მხარე უნდა იყოს მარჯვენა მხარის ტოლი.
განტოლება 2+ x= 4 ელემენტარულია. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის რიცხვს 2. ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობა არ იქნება ტოლი
ამბობენ, რომ ნომერი 2 არის ფესვიან განტოლების ამოხსნა 2 + x = 4
ფესვიან განტოლების ამოხსნაარის ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება ხდება ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობა.
შეიძლება იყოს რამდენიმე ფესვი ან საერთოდ არ იყოს. განტოლების ამოხსნანიშნავს მისი ფესვების პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.
განტოლებაში ცვლადი ასევე ცნობილია როგორც უცნობი. თქვენ თავისუფლად შეგიძლიათ დაარქვით მას, როგორც გსურთ. ეს სინონიმებია.
შენიშვნა. თავისთავად მეტყველებს ფრაზა „განტოლების ამოხსნა“. განტოლების ამოხსნა ნიშნავს განტოლების „გათანაბრებას“ - მისი დაბალანსება ისე, რომ მარცხენა მხარე ტოლი იყოს მარჯვენა მხარეს.
გამოხატეთ ერთი მეორის თვალსაზრისით
განტოლებების შესწავლა ტრადიციულად იწყება თანასწორობაში შემავალი ერთი რიცხვის გამოხატვის სწავლით, სხვათა რაოდენობის მიხედვით. ნუ დავარღვევთ ამ ტრადიციას და ასეც მოვიქცეთ.
განვიხილოთ შემდეგი გამოთქმა:
8 + 2
ეს გამოთქმა არის 8 და 2 რიცხვების ჯამი. ამ გამონათქვამის მნიშვნელობა არის 10
8 + 2 = 10
თანასწორობა მივიღეთ. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი რიცხვი ამ ტოლობიდან იმავე ტოლობაში შეტანილი სხვა რიცხვების მიხედვით. მაგალითად, გამოვხატოთ რიცხვი 2.
რიცხვი 2-ის გამოსახატავად, თქვენ უნდა დაისვათ კითხვა: "რა უნდა გაკეთდეს 10 და 8 რიცხვებით, რომ მიიღოთ ნომერი 2". გასაგებია, რომ რიცხვი 2-ის მისაღებად საჭიროა 10-ს გამოკლოთ ნომერი 8.
ასე რომ ჩვენ. ჩავწერთ რიცხვ 2-ს და ტოლობის ნიშნით ვამბობთ, რომ ამ რიცხვის 2-ის მისაღებად, 10-ს გამოვაკლეთ რიცხვი 8:
2 = 10 − 8
რიცხვი 2 გამოვხატეთ 8 + 2 = 10 განტოლებიდან. როგორც მაგალითიდან ხედავთ, ამაში არაფერია რთული.
განტოლებების ამოხსნისას, განსაკუთრებით ერთი რიცხვის სხვების მნიშვნელობით გამოხატვისას, მოსახერხებელია ტოლობის ნიშნის შეცვლა სიტყვით " იქ არის" . ეს უნდა გაკეთდეს გონებრივად და არა თავად გამოხატულებაში.
ასე რომ, 8 + 2 = 10 ტოლობიდან 2 რიცხვის გამოსახატავად მივიღეთ ტოლობა 2 = 10 − 8. ეს განტოლება შეიძლება ასე წაიკითხოთ:
2 იქ არის 10 − 8
ანუ ნიშანი = შეცვალა სიტყვით "არის". უფრო მეტიც, ტოლობა 2 = 10 − 8 შეიძლება გადათარგმნოს მათემატიკური ენიდან სრულფასოვან ადამიანურ ენაზე. შემდეგ მისი წაკითხვა შეიძლება ასე:
ნომერი 2 იქ არისგანსხვავება 10 და 8 შორის
ნომერი 2 იქ არისგანსხვავება 10 და 8 რიცხვს შორის.
მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით ტოლობის ნიშნის სიტყვით "არის" ჩანაცვლებით და მაშინ ამას ყოველთვის არ გავაკეთებთ. ელემენტარული გამონათქვამები შეიძლება გავიგოთ მათემატიკური ენის ადამიანურ ენაზე თარგმნის გარეშე.
დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 2 = 10 − 8 თავდაპირველ მდგომარეობაში:
8 + 2 = 10
ამჯერად გამოვხატოთ რიცხვი 8. რა უნდა გავაკეთოთ დანარჩენ რიცხვებთან, რომ მივიღოთ რიცხვი 8? ეს ასეა, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ნომერი 2 10-ს
8 = 10 − 2
დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 10 − 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:
8 + 2 = 10
ამჯერად გამოვხატავთ რიცხვს 10. მაგრამ გამოდის, რომ ათეულს არ სჭირდება გამოხატვა, რადგან ის უკვე გამოხატულია. საკმარისია მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეცვლა, შემდეგ მივიღებთ იმას, რაც გვჭირდება:
10 = 8 + 2
მაგალითი 2. განვიხილოთ ტოლობა 8 − 2 = 6
ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 8. რიცხვი 8-ის გამოსახატავად უნდა დაემატოს დანარჩენი ორი რიცხვი:
8 = 6 + 2
დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 6 + 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:
8 − 2 = 6
ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 2. რიცხვი 2-ის გამოსახატავად 8-ს უნდა გამოვაკლოთ 6.
2 = 8 − 6
მაგალითი 3. განვიხილოთ განტოლება 3 × 2 = 6
გამოთქვით რიცხვი 3. რიცხვი 3-ის გამოსახატავად საჭიროა 6 გაყოთ 2-ზე
დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა თავდაპირველ მდგომარეობაში:
3 x 2 = 6
გამოვსახოთ რიცხვი 2 ამ ტოლობიდან, 2-ის გამოსახატავად საჭიროა 3 გაყოთ 6-ზე.
მაგალითი 4. განიხილეთ თანასწორობა
ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 15. რიცხვი 15-ის გამოსახატავად საჭიროა გავამრავლოთ რიცხვები 3 და 5.
15 = 3 x 5
დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 15 = 3 × 5 თავდაპირველ მდგომარეობაში:
ამ ტოლობიდან გამოვხატავთ რიცხვს 5. რიცხვი 5-ის გამოსახატავად საჭიროა 15 გაყოთ 3-ზე.
უცნობების პოვნის წესები
განვიხილოთ უცნობის პოვნის რამდენიმე წესი. შესაძლოა, ისინი თქვენთვის ნაცნობია, მაგრამ მათი გამეორება არაფერ შუაშია. მომავალში, მათი დავიწყება შეიძლება, რადგან ჩვენ ვისწავლით განტოლებების ამოხსნას ამ წესების გამოყენების გარეშე.
დავუბრუნდეთ პირველ მაგალითს, რომელიც განვიხილეთ წინა თემაში, სადაც 8 + 2 = 10 განტოლებაში საჭირო იყო 2-ის გამოხატვა.
განტოლებაში 8 + 2 = 10, რიცხვები 8 და 2 არის წევრები, ხოლო რიცხვი 10 არის ჯამი.
რიცხვი 2-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:
2 = 10 − 8
ანუ 10-ის ჯამს გამოაკელი 8.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 + 2 = 10, 2 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი. x
8 + x = 10
ამ შემთხვევაში, განტოლება 8 + 2 = 10 ხდება განტოლება 8 + x= 10 და ცვლადი x უცნობი ტერმინი
ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ეს უცნობი ტერმინი, ანუ ამოხსნათ განტოლება 8 + x= 10. უცნობი ტერმინის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:
უცნობი წევრის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი წევრი ჯამს.
რაც ძირითადად გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ ეს ორი განტოლებაში 8 + 2 = 10. მე-2 წევრის გამოსასახატავად, 10 ჯამს გამოვაკლეთ კიდევ ერთი წევრი 8
2 = 10 − 8
ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი ტერმინი x, ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი 8 ჯამს 10:
x = 10 − 8
თუ გამოთვლით მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარეს, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ რის ტოლია ცვლადი x
x = 2
ჩვენ მოვაგვარეთ განტოლება. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის 2. ცვლადის მნიშვნელობის შესამოწმებლად xგაგზავნილია თავდაპირველ განტოლებაზე 8 + x= 10 და ჩაანაცვლეთ x.სასურველია ამის გაკეთება ნებისმიერი ამოხსნილი განტოლებით, რადგან ვერ იქნებით დარწმუნებული, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი:
Როგორც შედეგი
იგივე წესი მოქმედებდა, თუ უცნობი ტერმინი იყო პირველი ნომერი 8.
x + 2 = 10
ამ განტოლებაში xარის უცნობი წევრი, 2 არის ცნობილი წევრი, 10 არის ჯამი. უცნობი ტერმინის საპოვნელად x, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი 2 ჯამს 10
x = 10 − 2
x = 8
დავუბრუნდეთ წინა თემის მეორე მაგალითს, სადაც 8 − 2 = 6 განტოლებაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 8.
განტოლებაში 8 − 2 = 6, რიცხვი 8 არის მინუენდი, ნომერი 2 არის ქვეტრაჰენდი, რიცხვი 6 არის განსხვავება.
8 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:
8 = 6 + 2
ანუ დავამატოთ 6-ის სხვაობა და გამოვაკლოთ 2.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 − 2 = 6 8 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი. x
x − 2 = 6
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xროლს იღებს ე.წ უცნობი წუთი
უცნობი მინუსის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:
უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.
რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 8 განტოლებაში 8 − 2 = 6. მე-8-ის გამოსახატავად, 6-ის სხვაობას დავამატეთ სუბტრაჰენდი 2.
ახლა კი, იპოვო უცნობი მინუს x, მე-6 სხვაობას უნდა დავუმატოთ ქვეტრაჰენდი 2
x = 6 + 2
თუ გამოთვლით მარჯვენა მხარეს, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ, რის ტოლია ცვლადი x
x = 8
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 8 − 2 = 6, რიცხვის 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x
8 − x = 6
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი სუბტრაჰენდი
უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:
უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდისგან.
ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 განტოლებაში 8 − 2 = 6. რიცხვი 2-ის გამოსახატავად გამოვაკლეთ სხვაობა 6 შემცირებულ 8-ს.
ახლა კი, ვიპოვოთ უცნობი სუბტრაჰენდი x, თქვენ კვლავ უნდა გამოაკლოთ სხვაობა 6 შემცირებულ 8-ს
x = 8 − 6
გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე და იპოვეთ მნიშვნელობა x
x = 2
დავუბრუნდეთ მესამე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც განტოლებაში 3 × 2 = 6 ვცადეთ გამოგვეხატა რიცხვი 3.
განტოლებაში 3 × 2 = 6, რიცხვი 3 არის ნამრავლი, რიცხვი 2 არის მამრავლი, რიცხვი 6 არის ნამრავლი.
რიცხვი 3-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:
ანუ 6-ის ნამრავლი გავყოთ 2-ზე.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 3 × 2 = 6, 3 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x
x×2=6
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მრავლობითი.
უცნობი მულტიპლიკატორის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:
უცნობი მრავლობითის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ ნამრავლი ფაქტორზე.
რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 3 განტოლებიდან 3 × 2 = 6. 6-ის ნამრავლი გავყავით 2-ზე.
ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი მულტიპლიკატორი x 6-ის ნამრავლი უნდა გაყოთ 2-ზე.
მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა x
x = 3
იგივე წესი მოქმედებს, თუ ცვლადი xმდებარეობს მულტიპლიკატორის ნაცვლად და არა მულტიპლიკატორის. წარმოიდგინეთ, რომ განტოლებაში 3 × 2 = 6, 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x .
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მულტიპლიკატორი. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, იგივეა რაც უცნობი მულტიპლიკატორის პოვნაში, კერძოდ, პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე:
უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა მულტიპლიკანდზე.
რაც გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 განტოლებიდან 3 × 2 = 6. შემდეგ რიცხვი 2-ის მისაღებად გავყავით 6-ის ნამრავლი 3-ზე.
ახლა კი უცნობი ფაქტორის პოვნა x 6-ის ნამრავლი გავყავით 3-ის ნამრავლზე.
განტოლების მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, რისი ტოლია x
x = 2
გამრავლებასა და მამრავლს ერთად ფაქტორები ეწოდება. იმის გამო, რომ გამრავლებისა და ფაქტორის პოვნის წესები ერთი და იგივეა, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესი უცნობი ფაქტორის პოვნისთვის:
უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე.
მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება 9 × x= 18 . ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 18 ცნობილ ფაქტორზე 9
მოდი ამოვხსნათ განტოლება x× 3 = 27. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 27 ცნობილ ფაქტორზე 3
დავუბრუნდეთ მეოთხე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც ტოლობაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 15. ამ ტოლობაში რიცხვი 15 არის დივიდენდი, რიცხვი 5 არის გამყოფი, რიცხვი 3 არის კოეფიციენტი.
15 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:
15 = 3 x 5
ანუ გავამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თანასწორობაში 15 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი დივიდენდი.
უცნობი დივიდენდის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:
უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.
რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 15 ტოლობიდან. რიცხვი 15-ის გამოსახატავად გავამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე.
ახლა კი უცნობი დივიდენდის პოვნა x, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 3-ის კოეფიციენტი 5-ის გამყოფზე
x= 3 × 5
x .
x = 15
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თანასწორობაში 5 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x .
ამ შემთხვევაში, ცვლადი xიღებს როლს უცნობი გამყოფი.
უცნობი გამყოფის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:
რაც გავაკეთეთ, როცა ტოლობიდან გამოვხატეთ რიცხვი 5. რიცხვი 5-ის გამოსახატავად, დივიდენდი 15 გავყავით 3-ზე.
ახლა კი ვიპოვოთ უცნობი გამყოფი x, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდი 15 კოეფიციენტზე 3
გამოვთვალოთ მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარე. ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რის ტოლია ცვლადი x .
x = 5
ასე რომ, უცნობის მოსაძებნად, ჩვენ შევისწავლეთ შემდეგი წესები:
- უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს;
- უცნობი minuend-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი განსხვავებას;
- უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად საჭიროა სხვაობა გამოკლოთ მინუენდისგან;
- უცნობი მრავლობითის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა ფაქტორზე;
- უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა მულტიპლიკანდზე;
- უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე;
- უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე.
კომპონენტები
კომპონენტებს დავარქმევთ ტოლობაში შემავალ რიცხვებსა და ცვლადებს
ასე რომ, დამატების კომპონენტებია ვადებიდა ჯამი
გამოკლების კომპონენტებია minuend, სუბტრაჰენდიდა განსხვავება
გამრავლების კომპონენტებია გამრავლება, ფაქტორიდა მუშაობა
გაყოფის კომპონენტებია დივიდენდი, გამყოფი და კოეფიციენტი.
იმის მიხედვით, თუ რომელ კომპონენტებთან გვაქვს საქმე, გამოყენებული იქნება უცნობის პოვნის შესაბამისი წესები. ეს წესები წინა თემაში შევისწავლეთ. განტოლებების ამოხსნისას სასურველია ეს წესები ზეპირად ვიცოდეთ.
მაგალითი 1. იპოვეთ 45+ განტოლების ფესვი x = 60
45 - ვადა, xუცნობი ტერმინია, 60 არის ჯამი. საქმე გვაქვს დამატებით კომპონენტებთან. შეგახსენებთ, რომ უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს:
x = 60 − 45
გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მიიღეთ მნიშვნელობა xუდრის 15-ს
x = 15
ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 45 + x= 60 უდრის 15-ს.
ყველაზე ხშირად, უცნობი ტერმინი უნდა შემცირდეს ისეთ ფორმამდე, რომლითაც იგი შეიძლება გამოიხატოს.
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა
აქ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, უცნობი ტერმინი არ შეიძლება დაუყოვნებლივ გამოითქვას, რადგან ის შეიცავს კოეფიციენტს 2. ჩვენი ამოცანაა მივიყვანოთ ეს განტოლება იმ ფორმამდე, რომლითაც შესაძლებელი იქნება გამოხატვა. x
ამ მაგალითში საქმე გვაქვს შეკრების კომპონენტებთან - ტერმინებთან და ჯამთან. 2 xარის პირველი წევრი, 4 არის მეორე წევრი, 8 არის ჯამი.
ამ შემთხვევაში, ტერმინი 2 xშეიცავს ცვლადს x. ცვლადის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგ xვადა 2 xსხვა ფორმას მიიღებს. ამიტომ, ტერმინი 2 xშეიძლება მთლიანად იქნას მიღებული უცნობი ტერმინისთვის:
ახლა ჩვენ ვიყენებთ უცნობი ტერმინის პოვნის წესს. გამოვაკლოთ ცნობილი ტერმინი ჯამს:
გამოვთვალოთ მიღებული განტოლების მარჯვენა მხარე:
ჩვენ გვაქვს ახალი განტოლება. ახლა საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან: გამრავლებასთან, მულტიპლიკატორთან და ნამრავლთან. 2 - მამრავლი, x- მამრავლი, 4 - პროდუქტი
ამავე დროს, ცვლადი xეს არ არის უბრალოდ ფაქტორი, არამედ უცნობი ფაქტორი
ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:
გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მიიღეთ ცვლადის მნიშვნელობა x
ნაპოვნი ფესვის შესამოწმებლად, გაგზავნეთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში და ჩაანაცვლეთ x
მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა 3x+ 9x+ 16x= 56
გამოხატეთ უცნობი xაკრძალულია. ჯერ უნდა მიიყვანოთ ეს განტოლება იმ ფორმამდე, რომლითაც ის შეიძლება გამოიხატოს.
ჩვენ წარმოგიდგენთ ამ განტოლების მარცხენა მხარეს:
საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. 28 - მამრავლი, x- მულტიპლიკატორი, 56 - პროდუქტი. სადაც xუცნობი ფაქტორია. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:
აქედან xარის 2
ეკვივალენტური განტოლებები
წინა მაგალითში განტოლების ამოხსნისას 3x + 9x + 16x = 56 , ჩვენ მივეცით მსგავსი ტერმინები განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგი არის ახალი განტოლება 28 x= 56 . ძველი განტოლება 3x + 9x + 16x = 56 და შედეგად მიღებული ახალი განტოლება 28 x= 56 დარეკა ეკვივალენტური განტოლებებირადგან მათი ფესვები ერთნაირია.
განტოლებები ექვივალენტურად ითვლება, თუ მათი ფესვები ერთნაირია.
მოდით შევამოწმოთ. განტოლებისთვის 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ ვიპოვეთ ფესვი 2-ის ტოლი. ჩაანაცვლეთ ეს ფესვი ჯერ განტოლებაში 3x+ 9x+ 16x= 56 და შემდეგ 28-ე განტოლებაში x= 56, რაც გამოწვეულია წინა განტოლების მარცხენა მხარეს მსგავსი ტერმინების შემცირებით. უნდა მივიღოთ სწორი რიცხვითი ტოლობები
მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ გამრავლება ხდება:
ჩაანაცვლეთ ფესვი 2 მეორე განტოლებაში 28 x= 56
ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე განტოლებას ერთი და იგივე ფესვები აქვს. ასე რომ, განტოლებები 3x+ 9x+ 16x= 6 და 28 x= 56 მართლაც ექვივალენტია.
განტოლების ამოსახსნელად 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ გამოვიყენეთ ერთ-ერთი - მსგავსი ტერმინების შემცირება. განტოლების იდენტურობის სწორმა ტრანსფორმაციამ საშუალება მოგვცა მივიღოთ ექვივალენტური განტოლება 28 x= 56, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.
იდენტური გარდაქმნებიდან ამ მომენტში შეგვიძლია მხოლოდ წილადების შემცირება, მსგავსი ტერმინების მოყვანა, ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება და ასევე ფრჩხილების გახსნა. არის სხვა გარდაქმნები, რომლებიც უნდა იცოდეთ. მაგრამ განტოლებების იდენტური გარდაქმნების ზოგადი იდეისთვის, ჩვენ მიერ შესწავლილი თემები საკმაოდ საკმარისია.
განვიხილოთ ზოგიერთი ტრანსფორმაცია, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება
თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთსა და იმავე რიცხვს დაუმატებთ, მიიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.
და ანალოგიურად:
თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი გამოვაკლებთ, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვი არ იცვლება, თუ განტოლებას დაემატება (ან გამოკლდება) იგივე რიცხვი.
მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა 
გამოვაკლოთ რიცხვი 10 განტოლების ორივე მხარეს
მივიღე განტოლება 5 x= 10. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x 10-ის ნამრავლი უნდა გაყოთ ცნობილ 5-ზე.
და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 2
ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.
განტოლების ამოხსნა ჩვენ გამოვაკლეთ რიცხვი 10 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგი არის ექვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები ასევე უდრის 2-ს
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 4( x+ 3) = 16
გამოვაკლოთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს
მარცხენა მხარე იქნება 4 xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 4
მივიღე განტოლება 4 x= 4. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 4 ცნობილ კოეფიციენტ 4-ზე
დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას 4( x+ 3) = 16 და ჩაანაცვლე xნაპოვნია მნიშვნელობა 1
ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.
4 განტოლების ამოხსნა ( x+ 3) = 16 ჩვენ გამოვაკლეთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ექვივალენტური განტოლება 4 x= 4. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები 4( x+ 3) = 16 ასევე უდრის 1-ს
მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა 
მოდით გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები:
რიცხვი 8 მივუმატოთ განტოლების ორივე მხარეს
ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს განტოლების ორივე ნაწილში:
მარცხენა მხარე იქნება 2 xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 9
მიღებულ განტოლებაში 2 x= 9 გამოვხატავთ უცნობ ტერმინს x
დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნი მნიშვნელობა 4.5
ჩვენ მივიღეთ სწორი ნომერი. ასე რომ, განტოლება სწორია.
განტოლების ამოხსნა განტოლების ორივე მხარეს დავამატეთ რიცხვი 8. შედეგად მივიღეთ ეკვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები ასევე უდრის 4,5-ს
შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, შემდეგია
თუ განტოლებაში ტერმინს გადავიტანთ ერთი ნაწილიდან მეორეზე, შევცვლით მის ნიშანს, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.
ანუ განტოლების ძირი არ შეიცვლება, თუ ტერმინს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით. ეს თვისება არის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი და ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოყენებული განტოლებების ამოხსნისას.
განვიხილოთ შემდეგი განტოლება:
ამ განტოლების ფესვი არის 2. ჩანაცვლება ნაცვლად xეს ფესვი და შეამოწმეთ მიღებულია თუ არა სწორი რიცხვითი ტოლობა
გამოდის სწორი თანასწორობა. ასე რომ, რიცხვი 2 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი.
ახლა ვცადოთ ამ განტოლების ტერმინების ექსპერიმენტი, მათი გადატანა ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ნიშნების შეცვლა.
მაგალითად, ტერმინი 3 xმდებარეობს განტოლების მარცხენა მხარეს. მოდით გადავიტანოთ იგი მარჯვენა მხარეს, შევცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ:
აღმოჩნდა განტოლება 12 = 9x − 3x . ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს:
xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:
აქედან x= 2. როგორც ხედავთ, განტოლების ფესვი არ შეცვლილა. ასე რომ, განტოლებები 12 + 3 x = 9xდა 12 = 9x − 3x ექვივალენტები არიან.
სინამდვილეში, ეს ტრანსფორმაცია არის წინა გარდაქმნის გამარტივებული მეთოდი, სადაც ერთი და იგივე რიცხვი დაემატა (ან გამოკლდა) განტოლების ორივე მხარეს.
ჩვენ ვთქვით, რომ განტოლებაში 12 + 3 x = 9xვადა 3 xნიშნის შეცვლით მარჯვენა მხარეს გადავიდა. სინამდვილეში მოხდა შემდეგი: ტერმინი 3 გამოკლდა განტოლების ორივე მხარეს x
შემდეგ მსგავსი ტერმინები იქნა მოცემული მარცხენა მხარეს და მიღებული განტოლება 12 = 9x − 3x. შემდეგ კვლავ მიიღეს მსგავსი ტერმინები, მაგრამ მარჯვენა მხარეს და მიიღეს განტოლება 12 = 6 x.
მაგრამ ეგრეთ წოდებული „გადაცემა“ უფრო მოსახერხებელია ასეთი განტოლებისთვის, რის გამოც იგი ასე გავრცელდა. განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ ხშირად გამოვიყენებთ ამ კონკრეტულ ტრანსფორმაციას.
12 + 3 განტოლებები ასევე ეკვივალენტურია x= 9xდა 3x - 9x= −12 . ამჯერად 12 + 3 განტოლებაში x= 9xტერმინი 12 გადავიდა მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინი 9 xმარცხნივ. არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ტრანსფერის დროს შეიცვალა ამ პირობების ნიშნები
შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ექვივალენტური განტოლება, შემდეგია:
თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვები არ იცვლება, თუ ორივე მხარე გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე. ეს ქმედება ხშირად გამოიყენება, როდესაც საჭიროა წილადური გამონათქვამების შემცველი განტოლების ამოხსნა.
პირველ რიგში, განიხილეთ მაგალითები, რომლებშიც განტოლების ორივე მხარე გამრავლდება იმავე რიცხვზე.
მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა
წილადური გამონათქვამების შემცველი განტოლებების ამოხსნისას, პირველ რიგში, ჩვეულებრივ ხდება ამ განტოლების გამარტივება.
ამ შემთხვევაში სწორედ ასეთ განტოლებასთან გვაქვს საქმე. ამ განტოლების გასამარტივებლად, ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ 8-ზე:
ჩვენ გვახსოვს, რომ , თქვენ უნდა გაამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე. გვაქვს ორი წილადი და თითოეული მათგანი მრავლდება 8-ზე. ჩვენი ამოცანაა წილადების მრიცხველები გავამრავლოთ ამ რიცხვზე 8-ზე.
ახლა ყველაზე საინტერესო ხდება. ორივე წილადის მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს 8-ის კოეფიციენტს, რომელიც შეიძლება შემცირდეს 8-ით. ეს საშუალებას მოგვცემს თავი დავაღწიოთ წილადის გამოსახულებას:
შედეგად, უმარტივესი განტოლება რჩება
ისე, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 4
xნაპოვნია მნიშვნელობა 4
გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.
ამ განტოლების ამოხსნისას მისი ორივე ნაწილი გავამრავლეთ 8-ზე. შედეგად მივიღეთ განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები, არის 4. ასე რომ, ეს განტოლებები ეკვივალენტურია.
მამრავლი, რომლითაც მრავლდება განტოლების ორივე ნაწილი, ჩვეულებრივ იწერება განტოლების ნაწილის წინ და არა მის შემდეგ. ასე რომ, განტოლების ამოხსნით, ორივე ნაწილი გავამრავლეთ 8-ზე და მივიღეთ შემდეგი ჩანაწერი:
აქედან გამომდინარე, განტოლების ფესვი არ შეცვლილა, მაგრამ ეს რომ გაგვეკეთებინა სკოლაში ყოფნისას, შენიშვნას მოგვცემდნენ, რადგან ალგებრაში ჩვეულებრივად არის დაწერილი ფაქტორი იმ გამოსახულებამდე, რომლითაც იგი მრავლდება. მაშასადამე, განტოლების ორივე მხარის 8-ზე გამრავლება სასურველია გადაწეროთ შემდეგნაირად:
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა 
მარცხენა მხარეს მე-15 ფაქტორი შეიძლება შემცირდეს 15-ით, ხოლო მარჯვენა მხარეს 15 და 5 ფაქტორები შეიძლება შემცირდეს 5-ით.
მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების მარჯვენა მხარეს:
გადავიტანოთ ტერმინი xგანტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. და ტერმინი 15 განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაინაცვლებს მარცხენა მხარეს, ისევ შეცვლით ნიშანს:
ორივე ნაწილში მსგავს ტერმინებს მოვიტანთ, მივიღებთ
საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი x
დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 5
გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია. ამ განტოლების ამოხსნისას ორივე მხარე გავამრავლეთ 15-ზე. გარდა ამისა, იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, მივიღეთ განტოლება 10 = 2 x. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლებები უდრის 5. ასე რომ, ეს განტოლებები ექვივალენტურია.
მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა
მარცხენა მხარეს ორი სამმაგი შეიძლება შემცირდეს, ხოლო მარჯვენა მხარე 18-ის ტოლი იქნება
უმარტივესი განტოლება რჩება. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:
დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და ჩავანაცვლოთ xნაპოვნია მნიშვნელობა 9
გამოდის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.
მაგალითი 4. განტოლების ამოხსნა 
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე
გახსენით ფრჩხილები განტოლების მარცხენა მხარეს. მარჯვენა მხარეს, კოეფიციენტი 6 შეიძლება გაიზარდოს მრიცხველზე:
განტოლების ორივე ნაწილში ვამცირებთ იმას, რაც შეიძლება შემცირდეს:
გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:
ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. უცნობის შემცველი ტერმინები x, ჩვენ ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები - მარჯვნივ:
წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს ორივე ნაწილში:
ახლა ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა x. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ პროდუქტს 28 ცნობილ კოეფიციენტ 7-ზე
აქედან x= 4.
დაუბრუნდით საწყის განტოლებას და ჩანაცვლება ნაცვლად xნაპოვნია მნიშვნელობა 4
აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.
მაგალითი 5. განტოლების ამოხსნა 
მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში, სადაც ეს შესაძლებელია:
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე
გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში:
მოდით, განტოლების ორივე ნაწილში შევამციროთ ის, რაც შეიძლება შემცირდეს:
გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:
მოდით გავხსნათ ფრჩხილები, სადაც ეს შესაძლებელია:
ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. უცნობის შემცველი ტერმინები დაჯგუფებულია განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები დაჯგუფებულია მარჯვენა მხარეს. არ დაგავიწყდეთ, რომ გადაცემის დროს, პირობები ცვლის მათ ნიშნებს საპირისპიროდ:
ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს განტოლების ორივე ნაწილში:
მოდი ვიპოვოთ ღირებულება x
მიღებულ პასუხში შეგიძლიათ აირჩიოთ მთელი ნაწილი:
დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და ჩავანაცვლოთ xნაპოვნი ღირებულება
საკმაოდ უხერხული გამოთქმა გამოდის. მოდით გამოვიყენოთ ცვლადები. ტოლობის მარცხენა მხარე ჩავსვით ცვლადში ა, და ტოლობის მარჯვენა მხარე ცვლადად ბ
ჩვენი ამოცანაა დავრწმუნდეთ, რომ მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დაამტკიცეთ ტოლობა A = B
იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა A ცვლადში.
ცვლადი მნიშვნელობა მაგრამუდრის . ახლა ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ბ. ანუ ჩვენი თანასწორობის მარჯვენა მხარის ღირებულება. თუ ის უდრის , მაშინ განტოლება გადაიჭრება სწორად
ჩვენ ვხედავთ, რომ ცვლადის მნიშვნელობა ბ, ისევე როგორც A ცვლადის მნიშვნელობა არის . ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლია. აქედან ვასკვნით, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.
ახლა შევეცადოთ არა განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ ერთ რიცხვზე, არამედ გავყოთ.
განვიხილოთ განტოლება 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . ჩვენ ვხსნით მას ჩვეულებრივი გზით: ვაჯგუფებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს უცნობებს განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობისაგან თავისუფალი ტერმინებს მარჯვნივ. გარდა ამისა, ცნობილი იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x
შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა 2-ის ნაცვლად xთავდაპირველ განტოლებაში:
ახლა შევეცადოთ გამოვყოთ განტოლების ყველა პირობა 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 რაღაც რიცხვით აღვნიშნავთ, რომ ამ განტოლების ყველა წევრს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2. თითოეულ წევრს ვყოფთ მასზე:
თითოეულ ტერმინში შევამციროთ:
გადავიწეროთ რაც დაგვრჩა:
ჩვენ ვხსნით ამ განტოლებას ცნობილი იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით:
მივიღეთ ფესვი 2. ასე რომ, განტოლებები 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 და 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ექვივალენტები არიან.
განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფა საშუალებას გაძლევთ გაათავისუფლოთ უცნობი კოეფიციენტისგან. წინა მაგალითში, როდესაც მივიღეთ განტოლება 7 x= 14, ჩვენ გვჭირდებოდა ნამრავლი 14 გავყოთ ცნობილ კოეფიციენტ 7-ზე. მაგრამ თუ უცნობის მარცხენა მხარეს 7 კოეფიციენტისგან გავათავისუფლებთ, ფესვი მაშინვე მოიძებნება. ამისათვის საკმარისი იყო ორივე ნაწილის 7-ზე გაყოფა
ამ მეთოდსაც ხშირად გამოვიყენებთ.
გავამრავლოთ მინუს ერთზე
თუ განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია მინუს ერთზე, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.
ეს წესი გამომდინარეობს იქიდან, რომ განტოლების ორივე ნაწილის ერთ რიცხვზე გამრავლების (ან გაყოფის) შედეგად ამ განტოლების ფესვი არ იცვლება. ეს ნიშნავს, რომ ფესვი არ შეიცვლება, თუ მისი ორივე ნაწილი გამრავლდება −1-ზე.
ეს წესი საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. Რისთვის არის? ისევ და ისევ, რომ მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.
განვიხილოთ განტოლება. რა არის ამ განტოლების ფესვი?
მოდით მივუმატოთ რიცხვი 5 განტოლების ორივე მხარეს
აქ არის მსგავსი ტერმინები:
და ახლა გავიხსენოთ. რა არის განტოლების მარცხენა მხარე. ეს არის მინუს ერთი და ცვლადის ნამრავლი x
ანუ მინუსი ცვლადის წინ xარ ეხება თავად ცვლადს x, მაგრამ ერთეულზე, რომელსაც ჩვენ ვერ ვხედავთ, რადგან ჩვეულებრივია არ ჩავწეროთ კოეფიციენტი 1. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სინამდვილეში ასე გამოიყურება:
საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. Პოვნა X, თქვენ უნდა გაყოთ ნამრავლი −5 ცნობილ კოეფიციენტზე −1 .
ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე −1-ზე, რაც კიდევ უფრო ადვილია
ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 5. შესამოწმებლად, ჩვენ ვცვლით მას თავდაპირველ განტოლებაში. არ დაგავიწყდეთ, რომ თავდაპირველ განტოლებაში, მინუსი ცვლადის წინ xეხება უხილავ ერთეულს
აღმოჩნდა სწორი რიცხვითი ტოლობა. ასე რომ, განტოლება სწორია.
ახლა შევეცადოთ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე მინუს ერთზე:
ფრჩხილების გახსნის შემდეგ გამოთქმა იქმნება მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა მხარე იქნება 10-ის ტოლი.
ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება, არის 5
ასე რომ, განტოლებები ექვივალენტურია.
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა
ამ განტოლებაში ყველა კომპონენტი უარყოფითია. უფრო მოსახერხებელია დადებით კომპონენტებთან მუშაობა, ვიდრე უარყოფით კომპონენტებთან, ამიტომ შევცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. ამისათვის გაამრავლეთ ამ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე.
ცხადია, რომ −1-ზე გამრავლების შემდეგ ნებისმიერი რიცხვი თავის ნიშანს საპირისპიროდ ცვლის. მაშასადამე, −1-ზე გამრავლებისა და ფრჩხილების გახსნის პროცესი დეტალურად არ არის აღწერილი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნების მქონე განტოლების კომპონენტები მაშინვე იწერება.
ასე რომ, განტოლების −1-ზე გამრავლება შეიძლება დეტალურად ჩაიწეროს შემდეგნაირად:
ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ ყველა კომპონენტის ნიშნები:
იგივე გამოვა, მაგრამ განსხვავება ის იქნება, რომ ჩვენ დავზოგავთ დროს.
ასე რომ, განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ −1-ზე, მივიღებთ განტოლებას. მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება. გამოვაკლოთ რიცხვი 4 ორივე ნაწილს და გავყოთ ორივე ნაწილი 3-ზე
როდესაც ფესვი იპოვება, ცვლადი ჩვეულებრივ იწერება მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი მნიშვნელობა მარჯვნივ, რაც ჩვენ გავაკეთეთ.
მაგალითი 3. განტოლების ამოხსნა
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე. შემდეგ ყველა კომპონენტი შეცვლის თავის ნიშნებს საპირისპიროდ:
გამოვაკლოთ 2 მიღებულ განტოლებას ორივე მხარეს xდა დაამატეთ მსგავსი ტერმინები:
განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ ერთიანობას და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს: 
ნულის ტოლფასი
ახლახან გავიგეთ, რომ თუ განტოლებაში ტერმინს ერთი ნაწილიდან მეორეში გადავიტანთ მისი ნიშნის შეცვლით, მივიღებთ მოცემულის ტოლ განტოლებას.
და რა მოხდება, თუ ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ არა ერთ ტერმინს, არამედ ყველა ტერმინს? ასეა, იმ ნაწილში, საიდანაც ყველა ტერმინი იქნა აღებული, ნული დარჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღარაფერი დარჩება.
მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ამ განტოლებას ჩვეულებრივად ვხსნით - ერთ ნაწილში ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, მეორეში კი რიცხვით ტერმინებს უცნობებისგან თავისუფალი ვტოვებთ. გარდა ამისა, ცნობილი იდენტური გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვპოულობთ ცვლადის მნიშვნელობას x
ახლა შევეცადოთ ამოხსნათ იგივე განტოლება მისი ყველა კომპონენტის ნულთან გათანაბრებით. ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, ნიშნების შეცვლით:
აქ არის მსგავსი ტერმინები მარცხენა მხარეს:
ორივე ნაწილს მივუმატოთ 77 და გავყოთ ორივე ნაწილი 7-ზე
უცნობების პოვნის წესების ალტერნატივა
ცხადია, განტოლებების იდენტური გარდაქმნების შესახებ ცოდნით, არ შეიძლება უცნობის პოვნის წესების დამახსოვრება.
მაგალითად, განტოლებაში უცნობის საპოვნელად, ნამრავლი 10 გავყავით ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე
მაგრამ თუ განტოლებაში ორივე ნაწილი იყოფა 2-ზე, მაშინვე იპოვება ფესვი. განტოლების მარცხენა მხარეს 2 კოეფიციენტი მრიცხველში და კოეფიციენტი 2 მნიშვნელში შემცირდება 2-ით. ხოლო მარჯვენა მხარე უდრის 5-ს.
ფორმის განტოლებები ამოვხსენით უცნობი ტერმინის გამოსახატავად:
მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც დღეს შევისწავლეთ. განტოლებაში ტერმინი 4 შეიძლება გადავიდეს მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით:
განტოლების მარცხენა მხარეს ორი დუუსი შემცირდება. მარჯვენა მხარე იქნება 2-ის ტოლი. აქედან გამომდინარე.
ან შეგიძლიათ გამოაკლოთ 4 განტოლების ორივე მხარეს და მიიღებთ შემდეგს:
ფორმის განტოლების შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:
პირველი გამოსავალი გაცილებით მოკლე და სუფთაა. მეორე გამოსავალი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს, თუ თქვენ გააკეთებთ დაყოფას თქვენს თავში.
თუმცა, თქვენ უნდა იცოდეთ ორივე მეთოდი და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენოთ ის, რაც ყველაზე მეტად მოგწონთ.
როცა რამდენიმე ფესვია
განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ფესვი. მაგალითად განტოლება x(x + 9) = 0-ს აქვს ორი ფესვი: 0 და −9.
განტოლებაში x(x + 9) = 0 საჭირო იყო ასეთი მნიშვნელობის პოვნა xრომლის მარცხენა მხარე ნულის ტოლი იქნება. ამ განტოლების მარცხენა მხარე შეიცავს გამონათქვამებს xდა (x + 9), რომლებიც ფაქტორებია. პროდუქტის კანონებიდან ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია (პირველი ფაქტორი ან მეორე).
ანუ განტოლებაში x(x + 9) = 0 თანასწორობა მიიღწევა თუ xიქნება ნული ან (x + 9)იქნება ნული.
x= 0 ან x + 9 = 0
ამ ორივე გამონათქვამის ნულის ტოლფასი, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები x(x + 9) = 0. პირველი ფესვი, როგორც მაგალითიდან ჩანს, მაშინვე იქნა ნაპოვნი. მეორე ფესვის მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ელემენტარული განტოლება x+ 9 = 0. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის −9. შემოწმება აჩვენებს, რომ ფესვი სწორია:
−9 + 9 = 0
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა
ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი: 1 და 2. განტოლების მარცხენა მხარე არის გამონათქვამების ნამრავლი ( x− 1) და ( x− 2) . და ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია (ან ფაქტორი ( x− 1) ან ფაქტორი ( x − 2) ).
მოდი ვიპოვოთ xრომლის ქვეშ არის გამონათქვამები ( x− 1) ან ( x− 2) გაქრება:
აღმოჩენილ მნიშვნელობებს თავის მხრივ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში და დავრწმუნდებით, რომ ამ მნიშვნელობებით მარცხენა მხარე ნულის ტოლია:
როცა უსაზღვროდ ბევრი ფესვია
განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. ანუ ნებისმიერი რიცხვის ასეთ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.
მაგალითი 1. განტოლების ამოხსნა 
ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ თქვენ გახსნით ფრჩხილებს განტოლების მარცხენა მხარეს და მოიყვანთ მსგავს ტერმინებს, მიიღებთ ტოლობას 14 \u003d 14. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა
ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ თქვენ გახსნით ფრჩხილებს განტოლების მარცხენა მხარეს, მიიღებთ ტოლობას 10x + 12 = 10x + 12. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x
როცა ფესვები არ არის
ასევე ხდება, რომ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ანუ არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x, განტოლების მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი. მაგალითად, მოდით. შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას
მაგალითი 2. განტოლების ამოხსნა
მოდით გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები:
აქ არის მსგავსი ტერმინები:
ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე არ არის მარჯვენა მხარის ტოლი. და ასე იქნება ნებისმიერი ღირებულებისთვის წ. მაგალითად, მოდით წ = 3 .
ასო განტოლებები
განტოლება შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ რიცხვებს ცვლადებით, არამედ ასოებსაც.
მაგალითად, სიჩქარის პოვნის ფორმულა არის პირდაპირი განტოლება:
ეს განტოლება აღწერს სხეულის სიჩქარეს ერთნაირად აჩქარებულ მოძრაობაში.
სასარგებლო უნარი არის ასოების განტოლებაში შემავალი ნებისმიერი კომპონენტის გამოხატვის უნარი. მაგალითად, განტოლებიდან მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ს .
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე ტ
ცვლადები მარჯვნივ ტშემცირება მიერ ტ
შედეგად განტოლებაში, მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები ერთმანეთს ენაცვლება:
ჩვენ მივიღეთ მანძილის პოვნის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.
შევეცადოთ განტოლებიდან განვსაზღვროთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ტ .
გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე ტ
ცვლადები მარჯვნივ ტშემცირება მიერ ტდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:
მიღებულ განტოლებაში v × t = sგაყავით ორივე ნაწილად ვ
ცვლადები მარცხნივ ვშემცირება მიერ ვდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:
ჩვენ მივიღეთ დროის განსაზღვრის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.
დავუშვათ, რომ მატარებლის სიჩქარე 50 კმ/სთ-ია
ვ= 50 კმ/სთ
ხოლო მანძილი 100 კმ
ს= 100 კმ
შემდეგ წერილი მიიღებს შემდეგ ფორმას
ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ტ. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უცნობი გამყოფის პოვნის წესი დივიდენდის კოეფიციენტზე გაყოფით და ამით განსაზღვროთ ცვლადის მნიშვნელობა. ტ
ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები. ჯერ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ტ
შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი 50-ზე
მაგალითი 2 x
გამოვაკლოთ განტოლების ორივე მხარეს ა
გაყავით განტოლების ორივე მხარე ბ
a + bx = c, მაშინ გვექნება მზა გამოსავალი. საკმარისი იქნება მასში საჭირო მნიშვნელობების ჩანაცვლება. ის მნიშვნელობები, რომლებიც შეიცვლება ასოებით ა, ბ, გდაურეკა პარამეტრები. და ფორმის განტოლებები a + bx = cდაურეკა განტოლება პარამეტრებით. პარამეტრებიდან გამომდინარე, ფესვი შეიცვლება.
ამოხსენით განტოლება 2 + 4 x= 10. ის ლიტერატურულ განტოლებას ჰგავს a + bx = c. იდენტური გარდაქმნების ნაცვლად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ მზა გამოსავალი. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:
ჩვენ ვხედავთ, რომ მეორე გამოსავალი გაცილებით მარტივი და მოკლეა.
მზა გადაწყვეტისთვის, თქვენ უნდა გააკეთოთ მცირე შენიშვნა. Პარამეტრი ბარ უნდა იყოს ნული (b ≠ 0), ვინაიდან ნულზე გაყოფა დაუშვებელია.
მაგალითი 3. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x
გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე ნაწილში
ჩვენ ვიყენებთ ტერმინების გადაცემას. ცვლადის შემცველი პარამეტრები x, ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო ამ ცვლადისგან თავისუფალ პარამეტრებს - მარჯვნივ.
მარცხენა მხარეს ვიღებთ ფაქტორს x
ორივე ნაწილი დაყავით გამოსახულებად ა-ბ
მარცხენა მხარეს, მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს ა-ბ. ასე რომ, ცვლადი საბოლოოდ გამოხატულია x
ახლა, თუ შევხვდებით ფორმის განტოლებას a(x − c) = b(x + d), მაშინ გვექნება მზა გამოსავალი. საკმარისი იქნება მასში საჭირო მნიშვნელობების ჩანაცვლება.
დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს განტოლება 4(x - 3) = 2(x+ 4) . ის ჰგავს განტოლებას a(x − c) = b(x + d). ჩვენ ვხსნით მას ორი გზით: იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით და მზა გადაწყვეტის გამოყენებით:
მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ამოვიღებთ განტოლებიდან 4(x - 3) = 2(x+ 4) პარამეტრის მნიშვნელობები ა, ბ, გ, დ . ეს საშუალებას მოგვცემს არ დავუშვათ შეცდომები ჩანაცვლებისას:
როგორც წინა მაგალითში, აქ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულის ტოლი ( a - b ≠ 0). თუ შევხვდებით ფორმის განტოლებას a(x − c) = b(x + d)რომელშიც პარამეტრები ადა ბიგივე იქნება, ამოხსნის გარეშე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს, ვინაიდან იდენტური რიცხვების სხვაობა ნულის ტოლია.
მაგალითად, განტოლება 2(x − 3) = 2(x + 4)არის ფორმის განტოლება a(x − c) = b(x + d). განტოლებაში 2(x − 3) = 2(x + 4)პარამეტრები ადა ბიგივე. თუ მის ამოხსნას დავიწყებთ, მაშინ მივალთ დასკვნამდე, რომ მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი:
მაგალითი 4. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x
განტოლების მარცხენა მხარეს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:
გავამრავლოთ ორივე მხარე ა
Მარცხნივ xამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან
ორივე ნაწილს ვყოფთ გამოსახულებით (1 − ა)
წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით
ამ გაკვეთილზე განხილული განტოლებები ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით.
თუ განტოლება მოცემულია პირველ ხარისხში, არ შეიცავს გაყოფას უცნობიდან და ასევე არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან, მაშინ მას შეიძლება ეწოდოს წრფივი. ჩვენ ჯერ არ შეგვისწავლია ხარისხები და ფესვები, ამიტომ იმისათვის, რომ არ გავართულოთ ჩვენი ცხოვრება, ჩვენ გავიგებთ სიტყვას "წრფივი", როგორც "მარტივი".
ამ გაკვეთილზე ამოხსნილი განტოლებების უმეტესობა დასრულდა უმარტივეს განტოლებამდე, რომელშიც პროდუქტი უნდა გაიყოს ცნობილ ფაქტორზე. მაგალითად, განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 . მოდი მოვაგვაროთ.
გავხსნათ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები, მივიღებთ 2-ს x+ 6 = 16. ტერმინი 6 გადავიტანოთ მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით. შემდეგ მივიღებთ 2-ს x= 16 − 6. გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ 2-ს x= 10. საპოვნელად x, პროდუქტს 10-ზე ვყოფთ ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე. აქედან გამომდინარე x = 5.
განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 არის წრფივი. იგი შემცირდა მე-2 განტოლებამდე x= 10, რომლის ფესვის საპოვნელად საჭირო იყო პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. ეს მარტივი განტოლება ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობით კანონიკური ფორმით. სიტყვა "კანონიკური" სინონიმია სიტყვების "მარტივი" ან "ნორმალური".
პირველი ხარისხის წრფივ განტოლებას ერთი უცნობი კანონიკური ფორმით ეწოდება ფორმის განტოლება. ცული = ბ.
ჩვენი განტოლება 2 x= 10 არის პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობით კანონიკური ფორმით. ამ განტოლებას აქვს პირველი ხარისხი, ერთი უცნობი, ის არ შეიცავს უცნობის დაყოფას და არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან და წარმოდგენილია კანონიკური სახით, ანუ უმარტივესი სახით, რომელშიც ადვილია დადგენა ღირებულება x. პარამეტრების ნაცვლად ადა ბჩვენი განტოლება შეიცავს ციფრებს 2 და 10. მაგრამ მსგავსი განტოლება შეიძლება შეიცავდეს სხვა რიცხვებს: დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.
თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ= 0, მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. მართლაც, თუ აარის ნული და ბუდრის ნულს, შემდეგ წრფივ განტოლებას ნაჯახი= ბიღებს ფორმას 0 x= 0. ნებისმიერი ღირებულებისთვის xმარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლი იქნება.
თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ≠ 0, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. მართლაც, თუ აარის ნული და ბუდრის რომელიმე არანულოვან რიცხვს, ვთქვათ რიცხვი 5, შემდეგ განტოლება ცული=ბიღებს ფორმას 0 x= 5 . მარცხენა მხარე იქნება ნული, ხოლო მარჯვენა მხარე ხუთი. და ნული არ უდრის ხუთს.
თუ წრფივ განტოლებაში ა≠ 0 და ბნებისმიერი რიცხვის ტოლია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. იგი განისაზღვრება პარამეტრის გაყოფით ბთითო პარამეტრზე ა
მართლაც, თუ აუდრის რაღაც არანულოვან რიცხვს, ვთქვათ რიცხვი 3 და ბუდრის რომელიმე რიცხვს, ვთქვათ რიცხვი 6, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას.
აქედან.
არსებობს პირველი ხარისხის წრფივი განტოლების დაწერის სხვა ფორმა ერთი უცნობით. ეს ასე გამოიყურება: ცული − ბ= 0. ეს არის იგივე განტოლება, რაც ცული=ბ
მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება
