მათემატიკური ანალიზი არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ფუნქციების შესწავლას უსასრულოდ მცირე ფუნქციის იდეის საფუძველზე.

მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებებია რაოდენობა, სიმრავლე, ფუნქცია, უსასრულოდ მცირე ფუნქცია, ლიმიტი, წარმოებული, ინტეგრალი.

ღირებულებაყველაფერი, რისი გაზომვა და გამოსახვა შესაძლებელია რიცხვით, ეწოდება.

ბევრიარის ზოგიერთი ელემენტის კრებული, რომელიც გაერთიანებულია ზოგიერთი საერთო მახასიათებლით. ნაკრების ელემენტები შეიძლება იყოს რიცხვები, ფიგურები, საგნები, ცნებები და ა.შ.

სიმრავლეები აღინიშნება დიდი ასოებით, ხოლო ნაკრების ელემენტები მცირე ასოებით. ნაკრების ელემენტები ჩასმულია ხვეული ბრეკეტებში.

თუ ელემენტი xკომპლექტს ეკუთვნის X, შემდეგ დაწერე x∈X (∈ - ეკუთვნის).
თუ A სიმრავლე B სიმრავლის ნაწილია, მაშინ ჩაწერეთ A ⊂ B (⊂ - შეიცავს).

ნაკრები შეიძლება განისაზღვროს ორიდან ერთი გზით: ჩამოთვლით და განმსაზღვრელი თვისებით.

მაგალითად, ჩამოთვლა განსაზღვრავს შემდეგ კომპლექტებს:

• A=(1,2,3,5,7) - რიცხვების ნაკრები
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) არის ზოგიერთი ელემენტის სიმრავლე x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე
• Z=(0,±1,±2,...,±n) არის მთელი რიცხვების სიმრავლე

სიმრავლე (-∞;+∞) იწოდება ნომრის ხაზიდა ნებისმიერი რიცხვი არის ამ ხაზის წერტილი. დავუშვათ, რომ a იყოს თვითნებური წერტილი რეალურ წრფეზე და δ დადებითი რიცხვი. ინტერვალი (a-δ; a+δ) ე.წ δ- წერტილის მეზობლობა ა.

X სიმრავლე შემოსაზღვრულია ზემოდან (ქვემოდან), თუ არის ისეთი რიცხვი c, რომ ნებისმიერი x ∈ X-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა x≤с (x≥c). რიცხვი c ამ შემთხვევაში ეწოდება ზედა (ქვედა) ზღვარიკომპლექტი X. სიმრავლე, რომელიც შემოიფარგლება როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოთ ეწოდება შეზღუდული. ნაკრების ზედა (ქვედა) სახეებიდან ყველაზე პატარა (ყველაზე დიდი) ე.წ ზუსტი ზედა (ქვედა) სახეეს ნაკრები.

ძირითადი რიცხვითი კომპლექტები

ნ	(1,2,3,...,n) სიმრავლე ყველა
ზ	(0, ±1, ±2, ±3,...) კომპლექტი მთელი რიცხვები.მთელი რიცხვების სიმრავლე მოიცავს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.
ქ	Რამოდენიმე რაციონალური რიცხვი. მთელი რიცხვების გარდა არის წილადებიც. წილადი არის ფორმის გამოხატულება, სადაც გვარის მთელი რიცხვი, ქ- ბუნებრივი. ათწილადები ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც . მაგალითად: 0.25 = 25/100 = 1/4. მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც . მაგალითად, წილადის სახით „ერთის“ მნიშვნელით: 2 = 2/1. ამრიგად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს ათწილადის სახით - უსასრულოდ ან უსასრულოდ პერიოდული.
რ	ბევრი ყველა რეალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები უსასრულო არაპერიოდული წილადებია. Ესენი მოიცავს: ორი სიმრავლე (რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები) ერთად ქმნის ნამდვილ (ან რეალურ) რიცხვთა სიმრავლეს.

თუ ნაკრები არ შეიცავს ელემენტებს, მაშინ მას უწოდებენ ცარიელი ნაკრებიდა ჩაიწერა Ø .

ლოგიკური სიმბოლიზმის ელემენტები

აღნიშვნა ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

რაოდენობრივი მაჩვენებელი

მათემატიკური გამონათქვამების წერისას ხშირად იყენებენ რაოდენობებს.

რაოდენობრივი მაჩვენებელიეწოდება ლოგიკური სიმბოლო, რომელიც ახასიათებს მის შემდეგ ელემენტებს რაოდენობრივი თვალსაზრისით.

• ∀- ზოგადი რაოდენობრივი მაჩვენებელი, გამოიყენება სიტყვების ნაცვლად „ყველასთვის“, „ვინმესთვის“.
• ∃- ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი, გამოიყენება სიტყვების "არსებობს", "აქვს" ნაცვლად. ასევე გამოიყენება სიმბოლოების კომბინაცია ∃!, რომელიც იკითხება როგორც მხოლოდ ერთი.

ოპერაციები კომპლექტებზე

ორი A და B სიმრავლეები ტოლია(A=B) თუ ისინი შედგება ერთი და იგივე ელემენტებისაგან.
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) მაშინ A=B.

კავშირი (ჯამად) A და B სიმრავლეებს უწოდებენ A ∪ B სიმრავლეს, რომლის ელემენტებიც მიეკუთვნება ამ სიმრავლეებიდან ერთ-ერთ მაინც.
მაგალითად, თუ A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), მაშინ A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

კვეთა (პროდუქტი) A და B სიმრავლეს ეწოდება A ∩ B სიმრავლე, რომლის ელემენტებიც A და B სიმრავლეს ეკუთვნის.
მაგალითად, თუ A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), მაშინ A ∩ B = (2,4)

განსხვავება A და B სიმრავლეს ეწოდება AB სიმრავლე, რომლის ელემენტები ეკუთვნის A სიმრავლეს, მაგრამ არ ეკუთვნის B სიმრავლეს.
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), მაშინ AB = (1,2)

სიმეტრიული განსხვავება A და B სიმრავლეებს უწოდებენ A Δ B სიმრავლეს, რომელიც არის AB და BA სიმრავლეთა განსხვავებების გაერთიანება, ანუ A Δ B = (AB) ∪ (BA).
მაგალითად, თუ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), მაშინ A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

კომპლექტის ოპერაციების თვისებები

ცვალებადობის თვისებები

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

ასოციაციური საკუთრება

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

თვლადი და უთვალავი კომპლექტები

ნებისმიერი ორი A და B ნაკრების შესადარებლად, მათ ელემენტებს შორის დგინდება შესაბამისობა.

თუ ეს კორესპონდენცია არის ერთი ერთზე, მაშინ სიმრავლეებს უწოდებენ ეკვივალენტს ან ეკვივალენტს, A B ან B A.

მაგალითი 1

ABC სამკუთხედის BC ფეხისა და AC ჰიპოტენუზის წერტილების სიმრავლე თანაბარი სიმძლავრისაა.

მათემატიკური ნაკრები

Რამოდენიმე- მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი ობიექტი, კერძოდ, სიმრავლეების თეორია. „სიმრავლის ქვეშ ვგულისხმობთ ჩვენი ინტუიციის ან ჩვენი აზროვნების გარკვეულ, სრულიად გამორჩეულ ობიექტებს ერთ მთლიანობაში გაერთიანებას“ (გ. კანტორი). ეს არ არის კომპლექტის ცნების სრული გაგებით ლოგიკური განმარტება, არამედ მხოლოდ ახსნა (რადგან ცნების განსაზღვრა ნიშნავს ისეთი ზოგადი კონცეფციის პოვნას, რომელშიც ეს კონცეფცია შედის როგორც სახეობა, მაგრამ ნაკრები არის ალბათ მათემატიკისა და ლოგიკის ყველაზე ფართო კონცეფცია).

თეორიები

ნაკრების კონცეფციის ორი ძირითადი მიდგომა არსებობს - გულუბრყვილოდა აქსიომურიკომპლექტების თეორია.

აქსიომური სიმრავლის თეორია

დღეს ნაკრები განისაზღვრება, როგორც მოდელი, რომელიც აკმაყოფილებს ZFC აქსიომებს (ზერმელო-ფრენკელის აქსიომები არჩევანის აქსიომასთან). ამ მიდგომით, ზოგიერთ მათემატიკურ თეორიაში წარმოიქმნება ობიექტების კოლექციები, რომლებიც არ არის კომპლექტი. ასეთ კოლექციებს უწოდებენ კლასებს (სხვადასხვა რიგის).

ელემენტის დაყენება

ობიექტებს, რომლებიც ქმნიან კომპლექტს, ეწოდება კომპლექტის ელემენტებიან მითითებული პუნქტები. კომპლექტები ყველაზე ხშირად აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, მისი ელემენტები - პატარაებით. თუ a არის A სიმრავლის ელემენტი, ჩაწერეთ ∈ A (a ეკუთვნის A-ს). თუ a არ არის A სიმრავლის ელემენტი, ჩაწერეთ a ∉ A (a არ ეკუთვნის A-ს).

ზოგიერთი სახის კომპლექტი

• მოწესრიგებული ნაკრები არის ნაკრები, რომელზედაც მოცემულია შეკვეთის მიმართება.
• კომპლექტი (კერძოდ, შეკვეთილი წყვილი). უბრალოდ ნაკრებისგან განსხვავებით, ფრჩხილებში წერია: ( x 1, x 2, x 3,…), და ელემენტები შეიძლება განმეორდეს.

იერარქიის მიხედვით:

კომპლექტი კომპლექტი Subset Superset

შეზღუდვით:

ოპერაციები კომპლექტებზე

ლიტერატურა

• Stoll R.R.კომპლექტი. ლოგიკა. აქსიომური თეორიები. - M .: განათლება, 1968. - 232გვ.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ რა არის „მათემატიკური ნაკრები“ სხვა ლექსიკონებში:

ვიტალის სიმრავლე არის რეალური რიცხვების სიმრავლის პირველი მაგალითი, რომელსაც არ აქვს ლებეგის ზომა. ეს მაგალითი, რომელიც კლასიკად იქცა, გამოაქვეყნა 1905 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ჯ. ვიტალიმ თავის სტატიაში „Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... ვიკიპედია.

- შემთხვევითი ცვლადის - (საშუალო მნიშვნელობა) არის შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებელი. თუ შემთხვევითი ცვლადი მოცემულია ალბათობის სივრცეზე (იხ. ალბათობის თეორია), მაშინ მისი M. o. MX (ან EX) განისაზღვრება, როგორც Lebesgue ინტეგრალი: სადაც... ფიზიკური ენციკლოპედია

შემთხვევითი ცვლადი არის მისი რიცხვითი მახასიათებელი. თუ შემთხვევით X ცვლადს აქვს განაწილების ფუნქცია F(x), მაშინ მისი M. o. იქნება: . თუ X-ის განაწილება დისკრეტულია, მაშინ М.о.: , სადაც x1, x2, ... არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის X-ის შესაძლო მნიშვნელობები; p1 ... გეოლოგიური ენციკლოპედია

ACS-ის მათემატიკური მხარდაჭერა- , იგივე პროგრამული უზრუნველყოფა, პროგრამული უზრუნველყოფა, მათემატიკური პროგრამებისა და ალგორითმების ნაკრები, ერთ-ერთი დამხმარე ქვესისტემა. ჩვეულებრივ მოიცავს ბევრ პროგრამას კომპიუტერზე კონკრეტული პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც გაერთიანებულია მთავარი პროგრამით ... ... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

ACS პროგრამული უზრუნველყოფა- იგივე პროგრამული უზრუნველყოფა, პროგრამული უზრუნველყოფა, მათემატიკური პროგრამებისა და ალგორითმების ნაკრები, ერთ-ერთი დამხმარე ქვესისტემა. ჩვეულებრივ მოიცავს ბევრ პროგრამას კომპიუტერზე კონკრეტული პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც გაერთიანებულია დისპეტჩერის მიერ მთავარი პროგრამით. ... ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

- (მათემატიკურად) იხილეთ სიმრავლეების თეორია...

მათემატიკური მოდელი არის რეალობის მათემატიკური წარმოდგენა. მათემატიკური მოდელირება არის მათემატიკური მოდელების აგების და შესწავლის პროცესი. ყველა ბუნებრივი და სოციალური მეცნიერება მათემატიკური აპარატის გამოყენებით, ფაქტობრივად ... ... ვიკიპედია

მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც ეძღვნება წრფივი და არაწრფივი შეზღუდვებით (ტოლობები და უტოლობები) განსაზღვრულ სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცის სიმრავლეებზე ფუნქციების ექსტრემის აღმოჩენის ამოცანების გადაჭრის თეორიას და მეთოდებს. მ.პ............ მათემატიკური ენციკლოპედია

მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც ეძღვნება წრფივი და არაწრფივი შეზღუდვებით (ტოლობები და უტოლობები) სიმრავლეებზე ფუნქციების ექსტრემის პოვნის ამოცანების გადაჭრის თეორიას და მეთოდებს. M. p. მეცნიერების განყოფილება ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ მტკიცებულება. მათემატიკაში მტკიცებულება არის ლოგიკური დასკვნების ჯაჭვი, რომელიც გვიჩვენებს, რომ აქსიომებისა და დასკვნის წესების გარკვეული ნაკრებისთვის გარკვეული განცხადება მართალია. დამოკიდებულია ... ვიკიპედიაზე

წიგნები

• ეკონომიკის მათემატიკური მოდელირება, მალიხინ V.I. წიგნში განხილულია ეკონომიკის ძირითადი მათემატიკური მოდელები: ინდივიდუალური მომხმარებლის მოდელი (სასარგებლო ფუნქციის საფუძველზე), მწარმოებელი კომპანიის მოდელი (წარმოების ფუნქციაზე დაყრდნობით),…

მოკლე შინაარსი

განათლებით თეორიული ფიზიკოსი ვარ, მაგრამ მათემატიკური გამოცდილება მაქვს. მაგისტრატურაში ერთ-ერთი საგანი იყო ფილოსოფია, საჭირო იყო თემის არჩევა და მასზე ნაშრომის წარდგენა. მას შემდეგ, რაც ყველაზე მეტი ვარიანტი იყო არაერთხელ obmusoleny, გადავწყვიტე, აირჩიოს რაღაც უფრო ეგზოტიკური. მე არ ვაპირებ პრეტენზიას სიახლეზე, უბრალოდ მოვახერხე ამ თემაზე ყველა / თითქმის ყველა არსებული ლიტერატურის დაგროვება. ფილოსოფოსებს და მათემატიკოსებს შეუძლიათ ჩემზე ქვების სროლა, მე მხოლოდ მადლობელი ვიქნები კონსტრუქციული კრიტიკისთვის.

P.S. ძალიან "მშრალი ენა", მაგრამ საკმაოდ იკითხება უნივერსიტეტის პროგრამის შემდეგ. უმეტესწილად, პარადოქსების განმარტებები აღებულია ვიკიპედიიდან (გამარტივებული ფორმულირება და მზა TeX მარკირება).

შესავალი

როგორც თავად სიმრავლეების თეორია, ასევე მასში თანდაყოლილი პარადოქსები გაჩნდა არც ისე დიდი ხნის წინ, სულ რაღაც ას წელზე მეტი ხნის წინ. თუმცა, ამ პერიოდის განმავლობაში დიდი გზა გაიარა, სიმრავლეების თეორია, ასე თუ ისე, ფაქტობრივად გახდა მათემატიკის უმეტესი მონაკვეთების საფუძველი. მისი პარადოქსები, რომლებიც დაკავშირებულია კანტორის უსასრულობასთან, წარმატებით იქნა ახსნილი სიტყვასიტყვით ნახევარ საუკუნეში.

თქვენ უნდა დაიწყოთ განსაზღვრებით.

რა არის სიმრავლე? კითხვა საკმაოდ მარტივია, მასზე პასუხი საკმაოდ ინტუიციურია. კომპლექტი არის ელემენტების ნაკრები, რომელიც წარმოდგენილია ერთი ობიექტით. კანტორი თავის შემოქმედებაში Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehreგვაძლევს განმარტებას: „კომპლექტში“ ვგულისხმობთ ჩვენი ჭვრეტის ან ჩვენი აზროვნების (რომელსაც სიმრავლის „ელემენტებს“ ეძახიან) გარკვეულ მთლიანობაში ერთობლიობას. როგორც ხედავთ, არსი არ შეცვლილა, განსხვავება მხოლოდ იმ ნაწილშია, რომელიც დამოკიდებულია დეტერმინანტის მსოფლმხედველობაზე. სიმრავლეების თეორიის ისტორია, როგორც ლოგიკაში, ასევე მათემატიკაში, ძალზე საკამათოა. ფაქტობრივად, კანტორმა მას საფუძველი ჩაუყარა მე-19 საუკუნეში, შემდეგ რასელმა და სხვებმა განაგრძეს მუშაობა.

პარადოქსები (ლოგიკა და სიმრავლეების თეორია) - (სხვა ბერძნულიდან παράδοξος - მოულოდნელი, უცნაური სხვა ბერძნულიდან παρα-δοκέω - მეჩვენება) - ფორმალური ლოგიკური წინააღმდეგობები, რომლებიც წარმოიქმნება შინაარსიან კომპლექტების თეორიასა და ფორმალურ ლოგიკაში, მსჯელობის ლოგიკური სისწორის შენარჩუნებისას. პარადოქსები წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ორი ურთიერთგამომრიცხავი (წინააღმდეგობრივი) წინადადება თანაბრად დასამტკიცებელია. პარადოქსები შეიძლება გამოჩნდეს როგორც მეცნიერულ თეორიაში, ასევე ჩვეულებრივ მსჯელობაში (მაგალითად, რასელის პარადოქსი ყველა ნორმალური ნაკრების სიმრავლის შესახებ მოცემულია რასელის მიერ: ”სოფლის დალაქი იპარსავს ყველა იმ და მხოლოდ იმ მაცხოვრებლებს, ვინც თავს არ იპარსავს. ის თავს იპარსავს?"). ვინაიდან ფორმალურ-ლოგიკური წინააღმდეგობა ანადგურებს მსჯელობას, როგორც სიმართლის აღმოჩენისა და დამტკიცების საშუალებას (თეორიაში, რომელშიც პარადოქსი ჩნდება, ნებისმიერი წინადადება, როგორც ჭეშმარიტი, ასევე მცდარი, დასამტკიცებელია), პრობლემა ჩნდება ამგვარი წინააღმდეგობების წყაროების იდენტიფიცირებისა და. მათი აღმოფხვრის გზების მოძიება. პარადოქსების კონკრეტული ამოხსნის ფილოსოფიური გაგების პრობლემა ფორმალური ლოგიკის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მეთოდოლოგიური პრობლემა და მათემატიკის ლოგიკური საფუძვლებია.

ამ ნაშრომის მიზანია სიმრავლეების თეორიის, როგორც უძველესი ანტინომიების მემკვიდრეთა პარადოქსების შესწავლა და აბსტრაქციის ახალ დონეზე - უსასრულობაზე გადასვლის საკმაოდ ლოგიკური შედეგები. ამოცანაა განვიხილოთ ძირითადი პარადოქსები, მათი ფილოსოფიური ინტერპრეტაცია.

სიმრავლეების თეორიის ძირითადი პარადოქსები

დალაქი იპარსავს მხოლოდ მათ, ვინც თავს არ იპარსავს. თავს იპარსავს?

გავაგრძელოთ მოკლე ექსკურსია ისტორიაში.

ზოგიერთი ლოგიკური პარადოქსი ცნობილი იყო უძველესი დროიდან, მაგრამ იმის გამო, რომ მათემატიკური თეორია შემოიფარგლებოდა მხოლოდ არითმეტიკით და გეომეტრიით, შეუძლებელი იყო მათი კორელაცია სიმრავლეების თეორიასთან. მე-19 საუკუნეში ვითარება რადიკალურად შეიცვალა: კანტორმა თავის შემოქმედებაში აბსტრაქციის ახალ დონეს მიაღწია. მან შემოიტანა უსასრულობის ცნება, რითაც შექმნა მათემატიკის ახალი ფილიალი და ამით დაუშვა სხვადასხვა უსასრულობის შედარება „სიმრავლის ძალის“ კონცეფციის გამოყენებით. თუმცა, ამით მან მრავალი პარადოქსი შექმნა. პირველი არის ე.წ ბურალი-ფორტის პარადოქსი. მათემატიკურ ლიტერატურაში არსებობს სხვადასხვა ფორმულირებები, რომლებიც ეფუძნება სხვადასხვა ტერმინოლოგიას და ცნობილ თეორემების სავარაუდო კომპლექტს. აქ არის ერთ-ერთი ოფიციალური განმარტება.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ არის რიგობითი რიცხვების თვითნებური სიმრავლე, მაშინ ჯამი-სიმრავლე არის რიგითი რიცხვი, რომელიც აღემატება ან ტოლია თითოეულ ელემენტს. დავუშვათ, რომ ეს არის ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე. მაშინ რიგობითი რიცხვი მეტია ან ტოლია რომელიმე რიცხვზე. მაგრამ მაშინ და არის რიგითი რიცხვი, უფრო მეტიც, ის უკვე მკაცრად დიდია და, შესაბამისად, არ უდრის არცერთ რიცხვს . მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება იმ პირობას, რომელიც არის ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე.

პარადოქსის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ როდესაც ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლე იქმნება, იქმნება ახალი რიგითი ტიპი, რომელიც ჯერ კიდევ არ იყო ყველა რიგითი რიცხვის სიმრავლის ფორმირებამდე „ყველა“ ტრანსფინიტურ რიგ რიცხვებს შორის. ეს პარადოქსი თავად კანტორმა აღმოაჩინა, დამოუკიდებლად აღმოაჩინა და გამოაქვეყნა იტალიელმა მათემატიკოსმა ბურალი-ფორტიმ, ამ უკანასკნელის შეცდომები რასელმა გაასწორა, რის შემდეგაც ფორმულირებამ საბოლოო ფორმა მიიღო.

ყველა მცდელობას შორის, თავიდან ავიცილოთ ასეთი პარადოქსები და გარკვეულწილად ვცდილობთ მათ ახსნას, უკვე ნახსენები რასელის იდეა ყველაზე დიდ ყურადღებას იმსახურებს. მან შესთავაზა მათემატიკიდან და ლოგიკით გამორიცხული წინადადებები, რომლებშიც კომპლექტის ელემენტის განმარტება დამოკიდებულია ამ უკანასკნელზე, რაც იწვევს პარადოქსებს. წესი ასე ჟღერს: „არც ერთი ნაკრები არ შეიძლება შეიცავდეს ელემენტებს, რომლებიც განსაზღვრულია მხოლოდ კომპლექტის მიხედვით, ისევე როგორც ელემენტებს, რომლებიც იწინასწარმეტყველებენ ამ სიმრავლეს თავიანთ განსაზღვრებაში“. სიმრავლის განმარტების ასეთი შეზღუდვა საშუალებას გვაძლევს ავირიდოთ პარადოქსები, მაგრამ ამავდროულად მნიშვნელოვნად ავიწროებს მათემატიკაში მისი გამოყენების ფარგლებს. გარდა ამისა, ეს საკმარისი არ არის მათი ბუნებისა და გარეგნობის მიზეზების ასახსნელად, რომელიც ფესვგადგმულია აზროვნებისა და ენის დიქოტომიაში, ფორმალური ლოგიკის თავისებურებებში. გარკვეულწილად, ამ შეზღუდვას შეიძლება მივაკვლიოთ ანალოგიით, რასაც შემდგომ პერიოდში კოგნიტურმა ფსიქოლოგებმა და ლინგვისტებმა დაიწყეს "საბაზისო დონის კატეგორიზაცია" უწოდეს: განმარტება დაყვანილია ყველაზე ადვილად გასაგებ და შესასწავლ ცნებამდე.

კანტორის პარადოქსი. დავუშვათ, რომ ყველა კომპლექტის სიმრავლე არსებობს. ამ შემთხვევაში, მართალია, რომ ყველა ნაკრები არის ქვესიმრავლე. მაგრამ აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი ნაკრების კარდინალურობა არ აღემატება კარდინალურობას. მაგრამ ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლის აქსიომიდან გამომდინარე, ისევე როგორც ნებისმიერი სიმრავლე, არსებობს ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლე და კანტორის თეორემა, რომელიც ეწინააღმდეგება წინა დებულებას. მაშასადამე, ის ვერ იარსებებს, რაც ეწინააღმდეგება „გულუბრყვილო“ ჰიპოთეზას, რომ ნებისმიერი სინტაქსურად სწორი ლოგიკური პირობა განსაზღვრავს სიმრავლეს, ანუ ნებისმიერი ფორმულისთვის, რომელიც არ შეიცავს თავისუფალს. ასეთი წინააღმდეგობების არარსებობის ღირსშესანიშნავი მტკიცებულება ზერმელო-ფრენკელის სიმრავლეების აქსიომატიზებული თეორიის საფუძველზე მოცემულია პოტერის მიერ.

ლოგიკური თვალსაზრისით, ორივე ზემოაღნიშნული პარადოქსი იდენტურია „მატყუარას“ ან „დალაქის“: გამოთქმული განაჩენი მიმართულია არა მხოლოდ რაიმე ობიექტურ მიმართებაში, არამედ მის მიმართაც. თუმცა, ყურადღება უნდა მიექცეს არა მხოლოდ ლოგიკურ მხარეს, არამედ უსასრულობის ცნებას, რომელიც აქ არის. ლიტერატურა ეხება პუანკარეს ნაშრომს, რომელშიც ის წერს: „ნამდვილი უსასრულობის არსებობის რწმენა... აუცილებელს ხდის ამ არაპრედიკატიულ განმარტებებს“.

ზოგადად, ძირითადი პუნქტებია:

1. ამ პარადოქსებში ირღვევა პრედიკატისა და სუბიექტის „სფეროების“ მკაფიოდ გამიჯვნის წესი; დაბნეულობის ხარისხი ახლოს არის ერთი კონცეფციის მეორით ჩანაცვლებასთან;
2. ჩვეულებრივ ლოგიკაში ვარაუდობენ, რომ მსჯელობის პროცესში სუბიექტი და პრედიკატი ინარჩუნებენ მოცულობას და შინაარსს, ამ შემთხვევაში ხდება გადასვლა ერთი კატეგორიიდან მეორეზე, რაც იწვევს შეუსაბამობას;
3. სიტყვა „ყველა“-ს არსებობას აზრი აქვს სასრული რაოდენობის ელემენტებისთვის, მაგრამ მათი უსასრულო რაოდენობის შემთხვევაში, შესაძლებელია ისეთი, რომელიც საკუთარი თავის განსაზღვრისთვის მოითხოვს სიმრავლის განსაზღვრას;
4. ირღვევა ძირითადი ლოგიკური კანონები:
   1. ირღვევა იდენტობის კანონი, როდესაც ვლინდება სუბიექტისა და პრედიკატის არაიდენტურობა;
   2. წინააღმდეგობის კანონი - როდესაც ორი ურთიერთგამომრიცხავი გადაწყვეტილება გამოტანილია ერთი და იგივე უფლებით;
   3. გამორიცხული მესამედის კანონი - როცა ეს მესამე უნდა იყოს აღიარებული და არა გამორიცხული, რადგან არც პირველი და არც მეორე არ შეიძლება აღიარებული იყოს ერთი მეორის გარეშე, რადგან ისინი თანაბრად მოქმედებს.

რასელის პარადოქსი. აქ არის მისი ერთ-ერთი ვარიანტი. მოდით იყოს ყველა კომპლექტის სიმრავლე, რომელიც არ შეიცავს საკუთარ თავს ელემენტად. შეიცავს თუ არა ის თავის თავს ელემენტად? თუ ასეა, მაშინ, განსაზღვრებით, ეს არ უნდა იყოს ელემენტი - წინააღმდეგობა. თუ არა - მაშინ, განსაზღვრებით, ეს უნდა იყოს ელემენტი - ისევ წინააღმდეგობა. ეს განცხადება ლოგიკურად გამომდინარეობს კანტორის პარადოქსიდან, რომელიც აჩვენებს მათ ურთიერთობას. თუმცა, ფილოსოფიური არსი უფრო მკაფიოდ იჩენს თავს, რადგან ცნებების „თვითმოძრაობა“ ხდება სწორედ „ჩვენს თვალწინ“.

ტრისტრამ შენდის პარადოქსი. სტერნის ტრისტრამ შენდის, ჯენტლმენის ცხოვრება და მოსაზრებები, გმირი აღმოაჩენს, რომ მას მთელი წელი დასჭირდა თავისი ცხოვრების პირველი დღის მოვლენების მოთხრობას და კიდევ ერთი წელი მეორე დღის აღსაწერად. ამასთან დაკავშირებით გმირი ჩივის, რომ მისი ბიოგრაფიის მასალა იმაზე სწრაფად დაგროვდება, ვიდრე მას შეუძლია დამუშავება და ვერასოდეს დაასრულებს. "ახლა მე ვამტკიცებ, - აპროტესტებს რასელი, - რომ თუ ის სამუდამოდ იცოცხლებდა და მისი საქმე მისთვის ტვირთად არ გადაიქცევა, მაშინაც კი, თუ მისი ცხოვრება ისეთივე მოვლენიანი იქნებოდა, როგორც თავიდან, მაშინ მისი ბიოგრაფიის არც ერთი ნაწილი არ იქნებოდა. დაუწერელი არ დარჩეს.

მართლაც, შენდის შეეძლო აღეწერა მე-ე დღის მოვლენები მე-ე წლისთვის და, ამრიგად, მის ავტობიოგრაფიაში ყოველი დღე იქნებოდა აღბეჭდილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ სიცოცხლე გაგრძელდა უსასრულოდ, მაშინ მას იმდენი წელი ექნება, რამდენიც დღეები.

რასელი ამ რომანსა და ზენონს შორის თავისი კუსთან ანალოგიას აკეთებს. მისი აზრით, გამოსავალი მდგომარეობს იმაში, რომ მთელი უსასრულობაში მისი ნაწილის ტოლფასია. იმათ. მხოლოდ „საღი აზრის აქსიომა“ იწვევს წინააღმდეგობას. თუმცა, პრობლემის გადაწყვეტა წმინდა მათემატიკის სფეროშია. ცხადია, არსებობს ორი კომპლექტი - წლები და დღეები, რომელთა ელემენტებს შორის არის ერთი-ერთთან შესაბამისობა - ბიექცია. მაშინ, პროტაგონისტის უსასრულო სიცოცხლის პირობით, არსებობს თანაბარი ძალების ორი უსასრულო კომპლექტი, რომლებიც, თუ განვიხილავთ ძალას, როგორც სიმრავლეში ელემენტების რაოდენობის კონცეფციის განზოგადებას, ხსნის პარადოქსს.

ბანაჩ-ტარსკის პარადოქსი (თეორემა) ან ბურთის გაორმაგების პარადოქსი- თეორემა სიმრავლეების თეორიაში, სადაც ნათქვამია, რომ სამგანზომილებიანი ბურთი თანაბრად შედგება მისი ორი ასლისაგან.

ამბობენ, რომ ევკლიდური სივრცის ორი ქვესიმრავლე თანაბრად შედგება, თუ ერთი შეიძლება დაიყოს სასრულ ნაწილებად, გადაადგილდეს და შედგებოდეს მეორისგან. უფრო ზუსტად, ორი სიმრავლე და თანაბრად არის შედგენილი, თუ ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დისუნიტირებული ქვესიმრავლეების სასრულ გაერთიანება და ისეთი, რომ თითოეული ქვესიმრავლე იყოს კონგრუენტული.

თუ ვიყენებთ არჩევანის თეორემას, მაშინ განმარტება ასე ჟღერს:

არჩევანის აქსიომა გულისხმობს, რომ არის ერთეული სფეროს ზედაპირის დაყოფა სასრულ ნაწილებად, რომლებიც სამგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის გარდაქმნებით, რომლებიც არ ცვლიან ამ კომპონენტების ფორმას, შეიძლება შეიკრიბონ ორად. ერთეული რადიუსის სფეროები.

ცხადია, ამ ნაწილების გაზომვის მოთხოვნის გათვალისწინებით, ეს განცხადება შეუძლებელია. ცნობილმა ფიზიკოსმა რიჩარდ ფეინმანმა თავის ბიოგრაფიაში თქვა, თუ როგორ მოახერხა ერთ დროს მოიგო დავა ფორთოხლის სასრულ ნაწილებად დაყოფისა და მისი ხელახლა შედგენის შესახებ.

გარკვეულ მომენტებში ეს პარადოქსი გამოიყენება არჩევანის აქსიომების გასაქარწყლებლად, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ ის, რასაც ჩვენ ელემენტარულ გეომეტრიას ვთვლით, არ არის არსებითი. ის ცნებები, რომლებიც ჩვენ ინტუიციურად მიგვაჩნია, უნდა გაფართოვდეს ტრანსცენდენტული ფუნქციების თვისებების დონეზე.

იმისთვის, რომ კიდევ უფრო შეასუსტოს ნდობა მათთვის, ვინც თვლის, რომ არჩევანის აქსიომა არასწორია, უნდა აღინიშნოს მაზურკევიჩისა და სიერპინსკის თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ არსებობს ევკლიდეს სიბრტყის არა ცარიელი ქვესიმრავლე, რომელსაც აქვს ორი უწყვეტი ქვესიმრავლე, რომელთაგან თითოეული. შეიძლება დაიყოს ნაწილების სასრულ რაოდენობად, ისე, რომ მათი იზომეტრიით გადათარგმნა სიმრავლის საფარად. მტკიცებულება არ საჭიროებს არჩევანის აქსიომის გამოყენებას. დარწმუნების აქსიომაზე დაფუძნებული შემდგომი კონსტრუქციები ხსნის ბანაჩ-ტარსკის პარადოქსს, მაგრამ არ არის ასეთი საინტერესო.

1. რიჩარდის პარადოქსი: საჭიროა დასახელდეს "ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც არ არის დასახელებული ამ წიგნში". წინააღმდეგობა იმაში მდგომარეობს, რომ ერთის მხრივ, ეს შეიძლება გაკეთდეს, რადგან ამ წიგნში დასახელებული ყველაზე მცირე რიცხვია. აქედან გამომდინარე, ასევე შეიძლება დასახელდეს ყველაზე პატარა უსახელო. მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა: კონტინუუმი უთვალავია, ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის შეგიძლიათ შუალედური რიცხვების უსასრულო რაოდენობის ჩასმა. მეორეს მხრივ, თუ შეგვეძლო ამ რიცხვის დასახელება, ის ავტომატურად გადაინაცვლებს წიგნში ნახსენები კლასიდან აღნიშნულ კლასში.
2. გრილინგ-ნილსონის პარადოქსი: სიტყვები ან ნიშნები შეიძლება მიუთითებდეს რაიმე თვისებას და ამასთანავე ჰქონდეს თუ არა. ყველაზე ტრივიალური ფორმულირება ასე ჟღერს: არის თუ არა სიტყვა „ჰეტეროლოგიური“ (რაც ნიშნავს „თავისთვის შეუსაბამო“) ჰეტეროლოგიური?... ის ძალიან ჰგავს რასელის პარადოქსს დიალექტიკური წინააღმდეგობის არსებობის გამო: ფორმისა და შინაარსის ორმაგობა. ირღვევა. სიტყვების შემთხვევაში, რომლებსაც აქვთ აბსტრაქციის მაღალი დონე, შეუძლებელია გადაწყვიტო, არის თუ არა ეს სიტყვები ჰეტეროლოგიური.
3. სკოლემის პარადოქსი: გოდელის სისრულის თეორემისა და ლოვენჰაიმ-სკოლემის თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ, რომ აქსიომური სიმრავლეების თეორია ჭეშმარიტი რჩება მაშინაც კი, როდესაც მისი ინტერპრეტაციისთვის არის დაშვებული (ხელმისაწვდომია) სიმრავლეების მხოლოდ თვლადი სიმრავლე. ამავდროულად აქსიომატური თეორია მოიცავს უკვე ხსენებულ კანტორის თეორემას, რომელიც უთვალავ უსასრულო სიმრავლემდე მიგვიყვანს.

პარადოქსების გადაწყვეტა

სიმრავლეების თეორიის შექმნამ წარმოშვა მათემატიკის მესამე კრიზისად, რომელიც ჯერ კიდევ არ არის ყველასთვის დამაკმაყოფილებლად გადაწყვეტილი. ისტორიულად, პირველი მიდგომა იყო სიმრავლე-თეორიული. იგი ეფუძნებოდა ფაქტობრივი უსასრულობის გამოყენებას, როდესაც ითვლებოდა, რომ ნებისმიერი უსასრულო მიმდევრობა სრულდება უსასრულობაში. იდეა იყო, რომ სიმრავლეების თეორიაში ხშირად უწევდათ მუშაობა კომპლექტებზე, რომლებიც შეიძლება იყოს სხვა, უფრო დიდი ნაკრების ნაწილები. წარმატებული მოქმედებები ამ შემთხვევაში მხოლოდ ერთ შემთხვევაში იყო შესაძლებელი: მოცემული სიმრავლეები (სასრულო და უსასრულო) დასრულებულია. გარკვეული წარმატება იყო აშკარა: ზერმელო-ფრენკელის აქსიომატური სიმრავლეების თეორია, ნიკოლას ბურბაკის მათემატიკის მთელი სკოლა, რომელიც უკვე ნახევარ საუკუნეზე მეტია არსებობს და დღემდე იწვევს უამრავ კრიტიკას.

ლოგიკიზმი იყო მცდელობა, დაეყვანა ყველა ცნობილი მათემატიკა არითმეტიკის ტერმინებამდე, შემდეგ კი არითმეტიკის ტერმინები მათემატიკური ლოგიკის ცნებებამდე დაეყვანა. ფრეგემ ეს მჭიდროდ მიიღო, მაგრამ ნამუშევარზე მუშაობის დასრულების შემდეგ, იძულებული გახდა აღენიშნა მისი შეუსაბამობა, მას შემდეგ რაც რასელმა მიუთითა თეორიაში არსებულ წინააღმდეგობებზე. იგივე რასელი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ცდილობდა „ტიპის თეორიის“ დახმარებით მოეცილებინა იმპრედიკატიული განმარტებების გამოყენება. თუმცა, მისი ცნებები სიმრავლისა და უსასრულობის შესახებ, ისევე როგორც შემცირების აქსიომა, ალოგიკური აღმოჩნდა. მთავარი პრობლემა ის იყო, რომ არ იყო გათვალისწინებული თვისებრივი განსხვავებები ფორმალურ და მათემატიკურ ლოგიკას შორის, ისევე როგორც ზედმეტი ცნებების არსებობა, მათ შორის ინტუიციური ხასიათის.
შედეგად, ლოგიკიზმის თეორიამ ვერ აღმოფხვრა უსასრულობასთან დაკავშირებული პარადოქსების დიალექტიკური წინააღმდეგობები. არსებობდა მხოლოდ პრინციპები და მეთოდები, რამაც შესაძლებელი გახადა თავი დაეღწია სულ მცირე არაპრედიკატიული განმარტებებისგან. საკუთარი მსჯელობით რასელი კანტორის მემკვიდრე იყო.

XIX საუკუნის ბოლოს - XX საუკუნის დასაწყისში. მათემატიკაზე ფორმალისტური თვალსაზრისის გავრცელება ასოცირდება აქსიომატური მეთოდისა და მათემატიკის დასაბუთების პროგრამის შემუშავებასთან, რომელიც წამოაყენა დ.ჰილბერტმა. ამ ფაქტის მნიშვნელობაზე მიუთითებს ის ფაქტი, რომ ოცდასამი პრობლემისგან პირველი, რომელიც მან დაუსვა მათემატიკურ საზოგადოებას, იყო უსასრულობის პრობლემა. ფორმალიზაცია აუცილებელი იყო კლასიკური მათემატიკის თანმიმდევრულობის დასამტკიცებლად, „მისგან ყოველგვარი მეტაფიზიკის გამორიცხვისას“. ჰილბერტის მიერ გამოყენებული საშუალებებისა და მეთოდების გათვალისწინებით, მისი მიზანი ფუნდამენტურად შეუძლებელი აღმოჩნდა, მაგრამ მისმა პროგრამამ უდიდესი გავლენა იქონია მათემატიკის საფუძვლების მთელ შემდგომ განვითარებაზე. ჰილბერტი დიდი ხნის განმავლობაში მუშაობდა ამ პრობლემაზე, მან პირველად ააგო გეომეტრიის აქსიომატიკა. ვინაიდან პრობლემის გადაწყვეტა საკმაოდ წარმატებული აღმოჩნდა, მან გადაწყვიტა აქსიომური მეთოდი გამოეყენებინა ნატურალური რიცხვების თეორიაში. აი, რას წერდა იგი ამასთან დაკავშირებით: „მე მივადევნებ მნიშვნელოვან მიზანს: სწორედ მე მსურს შევეხო მათემატიკის საფუძვლის საკითხებს, როგორც ასეთს, ყოველი მათემატიკური დებულება გადააქციოს მკაცრად გამომუშავებულ ფორმულად“. ამავდროულად, დაგეგმილი იყო უსასრულობის მოშორება ოპერაციების გარკვეულ სასრულ რაოდენობამდე მისი შემცირებით. ამისათვის მან მიმართა ფიზიკას თავისი ატომიზმით, რათა ეჩვენებინა უსასრულო სიდიდეების მთელი შეუსაბამობა. ფაქტობრივად, ჰილბერტმა დააყენა საკითხი თეორიისა და ობიექტური რეალობის ურთიერთმიმართების შესახებ.

სასრულ მეთოდებზე მეტ-ნაკლებად სრულ იდეას გვაძლევს ჰილბერტის სტუდენტი ჯ.ჰერბრანი. სასრული მსჯელობით მას ესმის ისეთი მსჯელობა, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს: ლოგიკური პარადოქსები.

ყოველთვის განიხილება ობიექტებისა და ფუნქციების მხოლოდ სასრული და გარკვეული რაოდენობა;

ფუნქციებს აქვთ ზუსტი განმარტება და ეს განსაზღვრება საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ მათი მნიშვნელობა;

ის არასოდეს ამტკიცებს "ეს ობიექტი არსებობს", თუ არ არის ცნობილი მისი აგების გზა;

ნებისმიერი უსასრულო კოლექციის X ყველა ობიექტის სიმრავლე არასოდეს განიხილება;

თუ ცნობილია, რომ ნებისმიერი მსჯელობა ან თეორემა ჭეშმარიტია ყველა ამ X-სთვის, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ეს ზოგადი მსჯელობა შეიძლება განმეორდეს თითოეული კონკრეტული X-ისთვის და თავად ეს ზოგადი მსჯელობა უნდა განიხილებოდეს მხოლოდ როგორც მოდელი ასეთი კონკრეტული მსჯელობისთვის.

თუმცა, ამ სფეროში ბოლო პუბლიკაციის დროს, გედელმა უკვე მიიღო თავისი შედეგები, არსებითად მან კვლავ აღმოაჩინა და დაადასტურა დიალექტიკის არსებობა შემეცნების პროცესში. არსებითად, მათემატიკის შემდგომმა განვითარებამ აჩვენა ჰილბერტის პროგრამის წარუმატებლობა.

კონკრეტულად რა დაამტკიცა გოდელმა? არსებობს სამი ძირითადი შედეგი:

1. გოდელმა აჩვენა ნებისმიერი სისტემის თანმიმდევრულობის მათემატიკური დადასტურების შეუძლებლობა, საკმარისად დიდი, რომ მოიცავდეს ყველა არითმეტიკას, მტკიცებულება, რომელიც არ გამოიყენებდა დასკვნის სხვა წესებს, ვიდრე თავად სისტემაშია ნაპოვნი. ასეთი მტკიცებულება, რომელიც იყენებს უფრო მძლავრ დასკვნის წესს, შეიძლება სასარგებლო იყოს. მაგრამ თუ დასკვნის ეს წესები უფრო ძლიერია, ვიდრე არითმეტიკული გამოთვლის ლოგიკური საშუალებები, მაშინ არ იქნება ნდობა მტკიცებულებაში გამოყენებული ვარაუდების თანმიმდევრულობაში. ნებისმიერ შემთხვევაში, თუ გამოყენებული მეთოდები არ არის ფინიტისტური, მაშინ ჰილბერტის პროგრამა არაპრაქტიკული აღმოჩნდება. გოდელი უბრალოდ გვიჩვენებს გამოთვლების შეუსაბამობას არითმეტიკის თანმიმდევრულობის ფინიტისტური დასტურის საპოვნელად.

2. გოდელმა მიუთითა აქსიომატური მეთოდის შესაძლებლობების ფუნდამენტურ შეზღუდვებზე: Principia Mathematica სისტემა, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა სისტემა, რომლითაც არითმეტიკა აგებულია, არსებითად არასრულია, ანუ არითმეტიკული აქსიომების ნებისმიერი თანმიმდევრული სისტემისთვის არსებობს ჭეშმარიტი არითმეტიკული წინადადებები, რომლებიც არ არის მიღებული ამ სისტემის აქსიომებიდან.

3. გოდელის თეორემა გვიჩვენებს, რომ არითმეტიკული სისტემის ვერანაირი გაფართოება ვერ გახდის მას სრულყოფილს და მაშინაც კი, თუ მას აქსიომების უსასრულო სიმრავლით შევავსებთ, მაშინ ახალ სისტემაში ყოველთვის იქნება ჭეშმარიტი, მაგრამ არა ამ სისტემის საშუალებით გამოყვანა. პოზიციები. ნატურალური რიცხვების არითმეტიკის აქსიომატური მიდგომა არ შეიძლება მოიცავდეს ჭეშმარიტი არითმეტიკული წინადადებების მთელ სფეროს და რასაც ვგულისხმობთ მათემატიკური მტკიცების პროცესში არ შემოიფარგლება მხოლოდ აქსიომური მეთოდის გამოყენებით. გოდელის თეორემის შემდეგ, უაზრო გახდა იმის მოლოდინი, რომ დამაჯერებელი მათემატიკური მტკიცებულების ცნება შეიძლება ერთხელ და სამუდამოდ გამოიკვეთოს გამოკვეთილი ფორმები.

სიმრავლეების თეორიის ახსნის მცდელობების ამ სერიაში უახლესი იყო ინტუიციონიზმი.

მან თავისი ევოლუციის რამდენიმე ეტაპი გაიარა - ნახევრად ინტუიციონიზმი, საკუთრივ ინტუიციონიზმი, ულტრა ინტუიციონიზმი. სხვადასხვა ეტაპზე მათემატიკოსებს სხვადასხვა პრობლემები აწუხებდათ, მაგრამ მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი პრობლემა უსასრულობის პრობლემაა. უსასრულობისა და უწყვეტობის მათემატიკური ცნებები დაარსების დღიდან იყო ფილოსოფიური ანალიზის საგანი (ატომისტების იდეები, ზენო ელეას აპორიები, უსასრულო მეთოდები ანტიკურ ხანაში, უსასრულო მცირეთა გამოთვლა თანამედროვე დროში და სხვ.). ყველაზე დიდი დაპირისპირება გამოიწვია სხვადასხვა ტიპის უსასრულობის (პოტენციური, ფაქტობრივი) მათემატიკური ობიექტების გამოყენებამ და მათმა ინტერპრეტაციამ. ყველა ეს პრობლემა, ჩვენი აზრით, წარმოიშვა უფრო ღრმა პრობლემამ - საგნის როლმა მეცნიერულ ცოდნაში. ფაქტია, რომ კრიზისული მდგომარეობა მათემატიკაში წარმოიქმნება საგნის სამყაროს (უსასრულობის) და სუბიექტის სამყაროს შედარების ეპისტემოლოგიური გაურკვევლობით. მათემატიკოსს, როგორც საგანს, აქვს შემეცნების საშუალებების არჩევის შესაძლებლობა - პოტენციური ან ფაქტობრივი უსასრულობა. პოტენციური უსასრულობის როგორც გახდომის გამოყენება აძლევს მას შესაძლებლობას განახორციელოს, ააშენოს კონსტრუქციების უსასრულო ნაკრები, რომელიც შეიძლება აშენდეს სასრულზე, სასრული ნაბიჯის გარეშე, კონსტრუქციის დასრულების გარეშე, ეს მხოლოდ შესაძლებელია. ფაქტობრივი უსასრულობის გამოყენება აძლევს მას შესაძლებლობას იმუშაოს უსასრულობასთან, როგორც უკვე რეალიზებადი, დასრულებული მის მშენებლობაში, როგორც რეალურად მოცემული ამავე დროს.

ნახევრად ინტუიციონიზმის საფეხურზე უსასრულობის პრობლემა ჯერ კიდევ არ იყო დამოუკიდებელი, მაგრამ იყო ჩაქსოვილი მათემატიკური ობიექტების აგების პრობლემაში და მისი გამართლების გზებში. ა.პუანკარესა და ფუნქციების თეორიის პარიზის სკოლის წარმომადგენლების ნახევრად ინტუიციონიზმი მიმართული იყო თავისუფალი არჩევანის აქსიომის მიღების წინააღმდეგ, რომლის დახმარებითაც დადასტურებულია ზერმელოს თეორემა, სადაც ნათქვამია, რომ ნებისმიერი ნაკრები შეიძლება გაკეთდეს სრულიად შეკვეთით, მაგრამ სასურველი კომპლექტების რომელიმე ქვეჯგუფის ელემენტების დასადგენად თეორიული გზის მითითების გარეშე. მათემატიკური ობიექტის აგების გზა არ არსებობს და თავად მათემატიკური ობიექტი არ არსებობს. მათემატიკოსები თვლიდნენ, რომ კვლევის ობიექტების თანმიმდევრობის ასაგებად თეორიული მეთოდის არსებობა ან არარსებობა შეიძლება გახდეს ამ აქსიომის დასაბუთების ან უარყოფის საფუძველი. რუსულ ვერსიაში, მათემატიკის ფილოსოფიურ საფუძვლებში ნახევრად ინტუიციური კონცეფცია განვითარდა ისეთი მიმართულებით, როგორიც არის ეფექტურიზმი, რომელიც შემუშავებულია ნ.ნ. ლუზინი. ეფექტურობა არის კანტორის უსასრულობის დოქტრინის ძირითადი აბსტრაქციების წინააღმდეგობა - აქტუალობა, არჩევანი, ტრანსფინიტური ინდუქცია და ა.შ.

ეფექტივიზმისთვის პოტენციური მიზანშეწონილობის აბსტრაქცია უფრო ღირებულია ეპისტემოლოგიურად, ვიდრე ფაქტობრივი უსასრულობის აბსტრაქცია. ამის წყალობით, ფუნქციათა ზრდის ეფექტური კონცეფციის საფუძველზე შესაძლებელი ხდება ტრანსფინიტური რიგის (უსასრულო რიგითი რიცხვების) ცნების დანერგვა. ეფექტურობის ეპისტემოლოგიური წყობა უწყვეტის (განგრძლივობის) ჩვენებისთვის ემყარებოდა დისკრეტულ საშუალებებს (არითმეტიკა) და ნ.ნ. ლუზინის მიერ შექმნილ სიმრავლეების (ფუნქციების) აღწერით თეორიას. ჰოლანდიელი L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting-ის ინტუიციონიზმი სხვადასხვა ტიპის თავისუფლად წარმოშობილ მიმდევრობებს ხედავს კვლევის ტრადიციულ ობიექტად. ამ ეტაპზე, მათემატიკური ამოცანების სწორად გადაჭრით, მათ შორის ყველა მათემატიკის ახალ საფუძვლებზე რესტრუქტურიზაციის ჩათვლით, ინტუიციონისტებმა წამოჭრეს ფილოსოფიური საკითხი მათემატიკოსის, როგორც შემეცნებითი საგნის როლის შესახებ. როგორია მისი პოზიცია, სადაც უფრო თავისუფალი და აქტიურია შემეცნების საშუალებების არჩევისას? ინტუიციონისტები იყვნენ პირველები (და ნახევრად ინტუიციონიზმის სტადიაზე) გააკრიტიკეს ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფცია, კანტორის სიმრავლეების თეორია, ხედავდნენ მასში სუბიექტის უნარის დარღვევას, გავლენა მოახდინოს კონსტრუქციული პრობლემის გადაჭრის მეცნიერული ძიების პროცესზე. . პოტენციური უსასრულობის გამოყენების შემთხვევაში, სუბიექტი თავს არ იტყუებს, რადგან მისთვის პოტენციური უსასრულობის იდეა ინტუიციურად ბევრად უფრო მკაფიოა, ვიდრე ფაქტობრივი უსასრულობის იდეა. ინტუიციონისტისთვის ობიექტის არსებობად ითვლება, თუ იგი უშუალოდ მათემატიკოსს გადაეცემა ან თუ ცნობილია მისი აგების მეთოდი. ნებისმიერ შემთხვევაში, სუბიექტს შეუძლია დაიწყოს მისი ნაკრების მთელი რიგი ელემენტების კონსტრუქციის დასრულების პროცესი. აუშენებელი ობიექტი არ არსებობს ინტუიციონისტებისთვის. ამავდროულად, ფაქტობრივ უსასრულობასთან მომუშავე სუბიექტს ჩამოერთმევა ეს შესაძლებლობა და შეიგრძნობს მიღებული პოზიციის ორმაგ დაუცველობას:

1) არასოდეს არის შესაძლებელი ამ უსასრულო მშენებლობის განხორციელება;

2) ის გადაწყვეტს იმოქმედოს ფაქტობრივ უსასრულობასთან, როგორც სასრულ ობიექტთან და ამ შემთხვევაში კარგავს თავის სპეციფიკას უსასრულობის ცნების მიმართ. ინტუიციონიზმი შეგნებულად ზღუდავს მათემატიკოსის შესაძლებლობებს იმით, რომ მას შეუძლია მათემატიკური ობიექტების აგება ექსკლუზიურად იმ საშუალებებით, რომლებიც, მიუხედავად იმისა, რომ მიღებულია აბსტრაქტული ცნებების დახმარებით, ეფექტურია, დამაჯერებელი, დასამტკიცებელი, ფუნქციონალურად კონსტრუქციული ზუსტად პრაქტიკულად და თავადაც ინტუიციურად ნათელია, როგორც კონსტრუქციები. კონსტრუქციები, რომელთა სანდოობაში პრაქტიკაში ეჭვი არ ეპარება. ინტუიციონიზმი, რომელიც ეყრდნობა პოტენციური უსასრულობის კონცეფციას და კონსტრუქციული კვლევის მეთოდებს, ეხება გახდომის მათემატიკას, სიმრავლეების თეორია ეხება ყოფიერების მათემატიკას.

ინტუიციონისტი ბროუერისთვის, როგორც მათემატიკური ემპირიზმის წარმომადგენლისთვის, ლოგიკა მეორეხარისხოვანია, ის აკრიტიკებს მას და გამორიცხული შუაგულის კანონს.

თავის ნაწილობრივ მისტიკურ ნაწარმოებებში ის არ უარყოფს უსასრულობის არსებობას, მაგრამ არ უშვებს მის აქტუალიზაციას, მხოლოდ პოტენციალიზაციას. მისთვის მთავარია პრაქტიკულად გამოყენებული ლოგიკური საშუალებების ინტერპრეტაცია და დასაბუთება და მათემატიკური მსჯელობა. ინტუიციონისტების მიერ მიღებული შეზღუდვა გადალახავს მათემატიკაში უსასრულობის ცნების გამოყენების გაურკვევლობას და გამოხატავს მათემატიკის საფუძვლებში არსებული კრიზისის დაძლევის სურვილს.

ულტრაინტუიციონიზმი (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov და სხვები) არის ინტუიციონიზმის განვითარების ბოლო ეტაპი, რომლის დროსაც მისი ძირითადი იდეები მოდერნიზებულია, მნიშვნელოვნად ავსებს და გარდაიქმნება, მისი არსის შეცვლის გარეშე, მაგრამ ხარვეზების დაძლევისა და პოზიტიური ასპექტების გაძლიერებით, ხელმძღვანელობით. მათემატიკური სიმკაცრის კრიტერიუმები. ინტუიციონისტური მიდგომის სისუსტე იყო ინტუიციის როლის ვიწრო გაგება, როგორც მათემატიკური მეთოდების სისწორისა და ეფექტურობის გამართლების ერთადერთი წყარო. მათემატიკაში ჭეშმარიტების კრიტერიუმად „ინტუიციური სიცხადის“ მიღებით, ინტუიციონისტებმა მეთოდოლოგიურად გააუარესეს მათემატიკოსის, როგორც ცოდნის სუბიექტის შესაძლებლობები, შეამცირეს მისი აქტივობა მხოლოდ ინტუიციაზე დაფუძნებულ გონებრივ ოპერაციებამდე და არ ჩართეს პრაქტიკა მათემატიკური ცოდნის პროცესში. მათემატიკის დასაბუთების ულტრა ინტუიციური პროგრამა რუსული პრიორიტეტია. ამიტომ, შინაურმა მათემატიკოსებმა, დაძლიეს ინტუიციონიზმის შეზღუდვები, მიიღეს მატერიალისტური დიალექტიკის ეფექტური მეთოდოლოგია, აღიარეს ადამიანის პრაქტიკა როგორც მათემატიკური ცნებების, ასევე მათემატიკური მეთოდების (დასკვნის, კონსტრუქციების) ფორმირების წყაროდ. ულტრაინტუიციონისტებმა გადაჭრეს მათემატიკური ობიექტების არსებობის პრობლემა, ეყრდნობოდნენ არა ინტუიციის განუსაზღვრელ სუბიექტურ კონცეფციას, არამედ მათემატიკურ პრაქტიკას და მათემატიკური ობიექტის აგების სპეციფიკურ მექანიზმს - ალგორითმს, რომელიც გამოხატულია გამოთვლითი, რეკურსიული ფუნქციით.

ულტრაინტუიციონიზმი აძლიერებს ინტუიციონიზმის უპირატესობებს, რაც მოიცავს ნებისმიერი მიმართულების მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული კონსტრუქციული ამოცანების გადაჭრის მეთოდების შეკვეთისა და განზოგადების შესაძლებლობას. მაშასადამე, ბოლო ეტაპის ინტუიციონიზმი (ულტრაინტუიციონიზმი) ახლოსაა მათემატიკაში კონსტრუქტივიზმთან. ეპისტემოლოგიურ ასპექტში ულტრაინტუიციონიზმის ძირითადი იდეები და პრინციპებია: ლოგიკის კლასიკური აქსიომატიკის კრიტიკა; იდენტიფიკაციის აბსტრაქციის როლის გამოყენება და მნიშვნელოვანი გაძლიერება (ა.ა. მარკოვის აშკარა მითითებით) (გონებრივი აბსტრაქცია ობიექტების განსხვავებული თვისებებიდან და საგნების ზოგადი თვისებების ერთდროული იზოლაცია), როგორც აბსტრაქტის აგების და კონსტრუქციული გაგების გზა. ცნებები, მათემატიკური განსჯა; თანმიმდევრული თეორიების თანმიმდევრულობის მტკიცებულება. ფორმალურ ასპექტში, იდენტიფიკაციის აბსტრაქციის გამოყენება გამართლებულია მისი თანასწორობის სამი თვისებით (აქსიომებით) - რეფლექსურობით, გარდამავლობითა და სიმეტრიით.

მათემატიკაში მთავარი წინააღმდეგობის გადასაჭრელად უსასრულობის პრობლემაზე, რამაც გამოიწვია მისი საფუძვლების კრიზისი, ულტრა ინტუიციონიზმის ეტაპზე ა.ნ. კოლმოგოროვმა შემოგვთავაზა კრიზისიდან გამოსვლის გზები კლასიკურ და ინტუიციურ ლოგიკას, კლასიკურ და ინტუიციურ მათემატიკას შორის ურთიერთობის პრობლემის გადაჭრით. ბროუერის ინტუიციონიზმი მთლიანობაში უარყოფდა ლოგიკას, მაგრამ რადგან ნებისმიერ მათემატიკოსს არ შეუძლია ლოგიკის გარეშე, ლოგიკური მსჯელობის პრაქტიკა მაინც შენარჩუნდა ინტუიციზმში, დაშვებული იყო კლასიკური ლოგიკის ზოგიერთი პრინციპი, რომელსაც საფუძველი ჰქონდა აქსიომატიკა. ს.კ. Kleene, R. Wesley კი აღნიშნავენ, რომ ინტუიციონისტური მათემატიკა შეიძლება შეფასდეს, როგორც ერთგვარი გაანგარიშება, ხოლო კალკულუსი არის მათემატიკური ცოდნის ორგანიზების საშუალება ლოგიკის, ფორმალიზაციისა და მისი ფორმის - ალგორითმიზაციის საფუძველზე. ლოგიკასა და მათემატიკას შორის ურთიერთობის ახალი ვერსია განსჯების ინტუიციური სიცხადისთვის ინტუიციური მოთხოვნების ფარგლებში, განსაკუთრებით ის, რაც მოიცავდა უარყოფას, ა.ნ. კოლმოგოროვი ასე გვთავაზობდა: მან წარმოადგინა ინტუიციური ლოგიკა, მჭიდროდ დაკავშირებული ინტუიციურ მათემატიკასთან, წინადადებებისა და პრედიკატების აქსიომური იმპლიკაციური მინიმალური გაანგარიშების სახით. ამრიგად, მეცნიერმა წარმოადგინა მათემატიკური ცოდნის ახალი მოდელი, გადალახა ინტუიციონიზმის შეზღუდვები მხოლოდ ინტუიციის, როგორც შემეცნების საშუალებად და ლოგიკიზმის შეზღუდვების აღიარებაში, რაც აბსოლუტირებს მათემატიკაში ლოგიკის შესაძლებლობებს. ამ პოზიციამ შესაძლებელი გახადა მათემატიკური სახით ინტუიციური და ლოგიკური სინთეზის დემონსტრირება, როგორც მოქნილი რაციონალურობის საფუძველი და მისი კონსტრუქციული ეფექტურობა.

ამრიგად, მათემატიკური ცოდნის ეპისტემოლოგიური ასპექტი საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ რევოლუციური ცვლილებები მათემატიკის საფუძვლების კრიზისის ეტაპზე მე-19-20 საუკუნეების მიჯნაზე. ახალი პოზიციებიდან შემეცნების პროცესის, მასში საგნის ბუნებისა და როლის გაგებაში. ცოდნის ტრადიციული თეორიის ეპისტემოლოგიური სუბიექტი, რომელიც შეესაბამება მათემატიკაში სიმრავლე-თეორიული მიდგომის დომინირების პერიოდს, არის აბსტრაქტული, არასრული, „ნაწილობრივი“ საგანი, წარმოდგენილი სუბიექტ-ობიექტის ურთიერთობებში, მოწყვეტილი აბსტრაქციებით, ლოგიკით. ფორმალიზმი რეალობიდან, რაციონალურად, თეორიულად იცის მისი ობიექტი და გაგებული, როგორც სარკე, ზუსტად ასახავს და აკოპირებს რეალობას. ფაქტობრივად, სუბიექტი გამორიცხული იყო შემეცნებიდან, როგორც ობიექტთან ურთიერთქმედების რეალური პროცესი და შედეგი. ინტუიციონიზმის შემოსვლამ მათემატიკაში ფილოსოფიური ტენდენციების ბრძოლის ასპარეზზე გამოიწვია მათემატიკოსის, როგორც ცოდნის სუბიექტის ახლებური გაგება - ადამიანი, რომელმაც იცის, რომლის ფილოსოფიური აბსტრაქცია, როგორც იქნა, თავიდან უნდა აშენდეს. მათემატიკოსი გამოჩნდა, როგორც ემპირიული სუბიექტი, უკვე გაგებული, როგორც განუყოფელი რეალური პიროვნება, მათ შორის ყველა ის თვისება, რაც აბსტრაქტული იყო ეპისტემოლოგიურ საგანში - ემპირიული კონკრეტულობა, ცვალებადობა, ისტორიულობა; ეს არის მოქმედი და შემეცნება რეალურ შემეცნებაში, შემოქმედებითი, ინტუიციური, გამომგონებელი საგანი. ინტუიციური მათემატიკის ფილოსოფია გახდა მოქნილი რაციონალობის კონცეფციაზე აგებული თანამედროვე ეპისტემოლოგიური პარადიგმის საფუძველი, საფუძველი, რომელშიც ადამიანი არის შემეცნების განუყოფელი (ჰოლისტური) სუბიექტი, ფლობს ახალ შემეცნებით თვისებებს, მეთოდებს, პროცედურებს; ის ასინთეზებს თავის აბსტრაქტულ-ეპისტემოლოგიურ და ლოგიკურ-მეთოდიურ ბუნებას და ფორმას და ამავე დროს იღებს ეგზისტენციალურ-ანთროპოლოგიურ და „ისტორიულ-მეტაფიზიკურ“ გაგებას.

მნიშვნელოვანი მომენტია აგრეთვე ინტუიცია შემეცნებაში და, კერძოდ, მათემატიკური ცნებების ჩამოყალიბებაში. ისევ არის ბრძოლა ფილოსოფიასთან, მცდელობა გამოირიცხოს გამორიცხული შუალედური კანონი, როგორც მათემატიკაში აზრი არ აქვს და მასში ფილოსოფიიდან შემოდის. ამასთან, ინტუიციაზე გადაჭარბებული აქცენტის არსებობა და მკაფიო მათემატიკური დასაბუთების ნაკლებობა არ იძლეოდა მათემატიკის მყარ საფუძველზე გადატანის საშუალებას.

თუმცა, 1930-იან წლებში ალგორითმის მკაცრი კონცეფციის გაჩენის შემდეგ, ინტუიციონიზმის ხელკეტი მათემატიკურმა კონსტრუქტივიზმმა აიღო, რომლის წარმომადგენლებმა მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანეს გამოთვლით თანამედროვე თეორიაში. გარდა ამისა, 1970-იან და 1980-იან წლებში მნიშვნელოვანი კავშირები იქნა აღმოჩენილი ინტუიციონისტების ზოგიერთ იდეას (თუნდაც ადრე აბსურდულად ჩანდა) და ტოპოსის მათემატიკურ თეორიას შორის. ზოგიერთ ტოპოში ნაპოვნი მათემატიკა ძალიან ჰგავს იმას, რისი შექმნასაც ინტუიციონისტები ცდილობდნენ.

შედეგად, შეიძლება გაკეთდეს განცხადება: ზემოაღნიშნული პარადოქსების უმეტესობა უბრალოდ არ არსებობს თვითმფლობელობის მქონე კომპლექტების თეორიაში. არის თუ არა ასეთი მიდგომა საბოლოო, სადავოა, ამ სფეროში შემდგომი მუშაობა გვიჩვენებს.

დასკვნა

დიალექტიკურ-მატერიალისტური ანალიზი გვიჩვენებს, რომ პარადოქსები არის ენისა და აზროვნების დიქოტომიის შედეგი, ღრმა დიალექტიკის გამოხატულება (გოდელის თეორემამ შესაძლებელი გახადა დიალექტიკის გამოვლენა შემეცნების პროცესში) და ეპისტემოლოგიური სირთულეები, რომლებიც დაკავშირებულია საგნისა და სუბიექტის ცნებებთან. ფართობი ფორმალურ ლოგიკაში, სიმრავლე (კლასი) ლოგიკაში და სიმრავლეების თეორიაში, აბსტრაქციის პრინციპის გამოყენებით, რომელიც საშუალებას იძლევა შემოიტანოთ ახალი (აბსტრაქტული) ობიექტები (უსასრულობა), მეცნიერებაში აბსტრაქტული ობიექტების განსაზღვრის მეთოდები და ა.შ. ყველა პარადოქსის აღმოსაფხვრელად უნივერსალური გზა შეუძლებელია.

დასრულდა თუ არა მათემატიკის მესამე კრიზისი (რადგან ის პარადოქსებთან მიზეზობრივ კავშირში იყო; ახლა პარადოქსები განუყოფელი ნაწილია) - აქ მოსაზრებები განსხვავებულია, თუმცა ფორმალურად ცნობილი პარადოქსები აღმოიფხვრა 1907 წლისთვის. თუმცა, ახლა მათემატიკაში არის სხვა გარემოებები, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს კრიზისის ან კრიზისის წინაპირობად (მაგალითად, ბილიკის ინტეგრალის მკაცრი დასაბუთების არარსებობა).

რაც შეეხება პარადოქსებს, ცნობილმა მატყუარა პარადოქსმა ძალიან მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მათემატიკაში, ისევე როგორც პარადოქსების მთელ სერიას ეგრეთ წოდებული გულუბრყვილო (წინა აქსიომური) სიმრავლეების თეორიაში, რამაც გამოიწვია საფუძვლების კრიზისი (ერთ-ერთი პარადოქსი ითამაშა. ფატალური როლი ჰ. ფრეგეს ცხოვრებაში). მაგრამ, ალბათ, ერთ-ერთი ყველაზე დაუფასებელი მოვლენა თანამედროვე მათემატიკაში, რომელსაც შეიძლება ვუწოდოთ როგორც პარადოქსული, ასევე კრიზისული, არის პოლ კოენის გადაწყვეტა 1963 წელს ჰილბერტის პირველი პრობლემის შესახებ. უფრო ზუსტად, არა თავად გადაწყვეტილების ფაქტი, არამედ ამ გადაწყვეტილების ბუნება.

ლიტერატურა

1. გეორგ კანტორი. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895 წ.
2. ი.ნ. ბუროვა. სიმრავლეების თეორიისა და დიალექტიკის პარადოქსები. მეცნიერება, 1976 წ.
3. მ.დ. პოტერი. კომპლექტების თეორია და მისი ფილოსოფია: კრიტიკული შესავალი. Oxford University Press, Incorporated, 2004 წ.
4. ჟუკოვი ნ.ი. მათემატიკის ფილოსოფიური საფუძვლები. მინსკი: Universitetskoe, 1990 წ.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. რა თქმა უნდა, ხუმრობთ, მისტერ ფეინმან!: საოცარი კაცის თავგადასავალი, რომელიც მის მიერ რ. ლეიტონს მოუყვა. კოლიბრი, 2008 წ.
6. ო.მ.მიჟევიჩი. პარადოქსების დაძლევის ორი გზა გ.კანტორის სიმრავლეების თეორიაში. ლოგიკური და ფილოსოფიური კვლევები, (3):279-299, 2005 წ.
7. S. I. მასალოვა. ინტუიციონისტური მათემატიკის ფილოსოფია. დსტუ-ს ბიულეტენი, (4), 2006 წ.
8. ჩეჩულინი ვ.ლ. კომპლექტების თეორია თვითმფლობელობით (საფუძვლები და ზოგიერთი პროგრამა). პერმის. სახელმწიფო უნ-ტ. – პერმი, 2012 წ.
9. S. N. Tronin. ლექციების მოკლე შეჯამება დისციპლინაზე „მათემატიკის ფილოსოფია“. ყაზანი, 2012 წ.
10. გრიშინი ვ.ნ., ბოჭვარი დ.ა. კვლევები სიმრავლეების თეორიასა და არაკლასიკურ ლოგიკაში. მეცნიერება, 1976 წ.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ეს გაუთავებელი გირლანდი. ბაჰრახ-მ, 2001 წ.
12. კაბაკოვი F.A., Mendelson E. შესავალი მათემატიკური ლოგიკაში. გამომცემლობა „ნაუკა“, 1976 წ.
13. დიახ. ბოჭვარი. მათემატიკური ლოგიკისა და სიმრავლეების თეორიის პარადოქსების საკითხზე. მათემატიკური კრებული, 57(3):369-384, 1944 წ.

საგნის არეალის აღწერა (მისი ონტოლოგიის შექმნა) იწყება ობიექტების შერჩევით და მათი კლასიფიკაციით, რომელიც ტრადიციულად შედგება ქვეკლასების ხის შედგენაში და მათთვის ინდივიდების მინიჭებაში. ამავდროულად, ტერმინი "კლასი", ფაქტობრივად, გამოიყენება "კომპლექტის" მნიშვნელობით: ობიექტის კლასზე მითითება განიხილება, როგორც მას, როგორც ელემენტს შესაბამის კომპლექტში. ამ ტექსტის მიზანია აჩვენოს, რომ საგნობრივი არეალის სტრუქტურის აღწერის ასეთი ერთიანი მიდგომა ძლიერი გამარტივებაა და არ იძლევა ობიექტების სემანტიკური ურთიერთობების მრავალფეროვნების დაფიქსირების საშუალებას.

მოდით შევხედოთ ბაგის ინდივიდის კლასიფიკაციის სამ ვარიანტს:

1. ცხოველი - ძაღლი - ჰასკი - ბაგი.
2. სერვისი - ცხენოსნობა - ბაგ.
3. Kennel - ძაღლების გუნდი - ჟუჩკა.

დაქვემდებარებული ერთეულების პირველი თანმიმდევრობა ცალსახად არის აღწერილი კლასებისა და ქვეკლასების მითითებით: bug არის "მსგავსი" კლასის ინდივიდუალური, "მსგავსი" კლასი არის ძაღლების ქვეკლასი და ეს არის "ცხოველების" კლასის ქვეკლასი. . ამ შემთხვევაში, კლასი "ცხოველები" განიხილება, როგორც ყველა ცხოველის ნაკრები, ხოლო კლასი "მოწონს" როგორც "ძაღლების" ნაკრების ქვესიმრავლე. თუმცა, ასეთი აღწერა, მიუხედავად იმისა, რომ საკმაოდ მკაფიოა, არის მნიშვნელობით ტავტოლოგიური, თვითრეფერენციალური: ჩვენ ინდივიდუალურ ბაგს ვუწოდებთ ჰასკის, თუ ის შედის ჰასკის სიმრავლეში, ხოლო თავად ჰასკის ნაკრები განისაზღვრება, როგორც ჰასკის ყველა ინდივიდის მთლიანობა - ეს არის მნიშვნელობითი დუბლიკატი სახელების ნაკრებში ჩართვა. გარდა ამისა, კლას-კომპლექტის აღწერა მთლიანად ამოწურულია კლასის განმსაზღვრელი კონცეფციის ქვეშ მყოფი ინდივიდის აღწერით. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ასეთი კლას-კომპლექტების მოქმედება არ არის დამოკიდებული მათში შემავალი ელემენტების რაოდენობაზე: ბაგის ჰასკი იქნება ჰასკი მაშინაც კი, როცა დედამიწაზე ერთადერთი, უკანასკნელი ჰასკი დარჩება. უფრო მეტიც, ჩვენ შეგვიძლია ვიმუშაოთ ასეთი კლას-კომპლექტებით თუნდაც მათში ცალკეული ინდივიდების არარსებობის შემთხვევაში: ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ უკვე გადაშენებული დინოზავრების ონტოლოგია, ვიფიქროთ კლასზე, რომელიც მხოლოდ მომავალში მოიცავს უნიკალურ მოწყობილობას დაპროექტებას, ან ავაშენოთ მოდელი. მითიური ცხოველების, ზღაპრების გმირების საგნობრივი სფეროდან, თუმცა ამავდროულად ყველა კლასის ნაკრების კარდინალურობა ნულის ტოლი იქნება.

ასე რომ, თუ ვსაუბრობთ გაანალიზებული კლასიფიკაციის შინაარსობრივ მხარეზე (ცხოველი - ძაღლი - ჰასკი - ბაგი), მაშინ ის (შინაარსი მხარე) ვერ იქნება გამოხატული სიმრავლეთა და ქვესიმრავლეების მიმართებით. ამ შემთხვევაში საქმე გვაქვს კონცეპტუალიზაციასთან – ცნებების შერჩევასთან და გვარ-სახეობათა ურთიერთობის დამყარებამათ შორის. ამავდროულად, კონცეპტუალური კლასის ელემენტების რეალური რაოდენობა, ანუ ცნების ფარგლები, არ ჩანს მის განმარტებაში და ნახსენებია (და მაშინაც კი არა მნიშვნელოვნად) მხოლოდ მაშინ, როდესაც ერთი ცნება („მსგავსი“) ეცემა. სხვა („ძაღლი“) ქვეშ, ანუ როცა, როგორც ერთგვარი გვარი. დიახ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ცნების „ძაღლის“ ფარგლები უფრო დიდია, ვიდრე „მსგავსი“ ცნების ფარგლები, მაგრამ ამ სიმრავლეთა რეალურ რიცხვობრივ თანაფარდობას არანაირი ონტოლოგიური მნიშვნელობა არ აქვს. გვარ-სახეობათა ურთიერთობებში ქვეკლასის მოცულობის კლასის მოცულობის გადაჭარბება მხოლოდ ასახავს იმ ფაქტს, რომ გვარის განმარტებით, იგი უნდა მოიცავდეს რამდენიმე სახეობას - წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს კლასიფიკაცია უაზრო ხდება. ანუ, გვარ-სახეობათა კონცეპტუალურ კლასიფიკაციაში ჩვენ გვაინტერესებს ცნებების შინაარსი - რით განსხვავდება ტიპი "ძაღლი" ტიპის "კატასგან" (რომელიც ასევე მიეკუთვნება მათთვის "ცხოველის" ზოგად კონცეფციას) და არა ის, თუ როგორ არის დაკავშირებული გვარისა და სახეობის კომპლექტების მოცულობები და მით უმეტეს, კონკრეტული ცნებების ტომები („ძაღლი“ და „კატა“). და იმისათვის, რომ განვასხვავოთ კონცეპტუალური კლასები ჭეშმარიტად თვლადი სიმრავლებისგან, უფრო სწორი იქნებოდა საუბარი კონცეფციის ქვეშ მოქცეულიდა არა შესახებ ჩართვაის კლასში/ნაკრებში. ცხადია, რომ ფორმალურ ნოტაციაში განცხადებები „X-ის კონცეფციას ეკუთვნის“ და „არის X კლასის ელემენტი“ შეიძლება ერთნაირად გამოიყურებოდეს, მაგრამ ამ ორ აღწერილობას შორის არსებითი განსხვავების გაუგებრობამ შეიძლება გამოიწვიოს სერიოზული შეცდომები. ონტოლოგიის აგება.

მეორე ვარიანტში (მომსახურება - მართვა - ბაგი), ჩვენ ასევე არ გვაინტერესებს "მართვის" ცნების შედარება რომელიმე კომპლექტთან: დებულების "Bug - მართვა" სემანტიკური შინაარსი არ არის დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა ის ერთადერთი მამოძრავებელი. ერთი ან ბევრი მათგანია. როგორც ჩანს, აქ საქმე გვაქვს გვარ-სახეობასთან ურთიერთობასთან: ცნება „მართვა“ შეიძლება ჩაითვალოს სპეციფიკურად „მომსახურების“ ზოგად ცნებასთან მიმართებაში. მაგრამ ინდივიდუალური „ბუგის“ კავშირი „მართვის“ კონცეფციასთან მნიშვნელოვნად განსხვავდება „მსგავსის“ ცნებასთან კავშირისგან: მეორე, კონცეპტუალური, კონცეფცია არის იმანენტური და უცვლელად თანდაყოლილი ინდივიდისთვის, ხოლო პირველი ასახავს ადგილობრივს. დროზე სპეციალიზაცია. ბაგი მხედრად არ დაბადებულა და შესაძლოა, ასაკთან ერთად ის აღარ იყოს და გადავიდეს მცველების კატეგორიაში და, ზოგადად, სიბერეში დაკარგოს რაიმე „პროფესია“. ანუ, სპეციალიზაციაზე საუბრისას, ყოველთვის შეგვიძლია განვასხვავოთ კონკრეტულ კონცეფციასთან შეძენისა და კავშირის დაკარგვის მოვლენები. მაგალითად, ბაგი შეიძლება აღიარებულიყო ჯიშის აბსოლუტურ ჩემპიონად და შემდეგ დაკარგოს ეს ტიტული, რაც ფუნდამენტურად შეუძლებელია კონცეპტუალური ცნებებით: ბაგი დაბადებიდან სიკვდილამდე, ანუ მისი არსებობის მთელი პერიოდის განმავლობაში. ინდივიდუალური, არის ძაღლი და ჰასკი. ასე რომ, ადამიანი მთელი ცხოვრება რჩება „ადამიანის“ ცნებად, მაგრამ სიტუაციურად (მოვლენიდან მოვლენამდე) შეიძლება მოხვდეს სპეციალიზებული ცნებების ქვეშ: „სკოლელი“, „მოსწავლე“, „ექიმი“, „ქმარი“ და ა.შ. და როგორც უკვე აღინიშნა, რომ ამ ცნებებთან კავშირი სულ მცირე არ ნიშნავს გარკვეულ კომპლექტში ჩართვას (თუმცა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს) - სპეციალიზებული კონცეფციის მინიჭება ყოველთვის არის ინდივიდის კონკრეტული ურთიერთობის შედეგი სხვა ინდივიდებთან: შესვლა სკოლა, უნივერსიტეტი, დიპლომის აღება, ქორწინების რეგისტრაცია და ა.შ. ამიტომ სპეციალიზებული ცნებებიც შეიძლება ეწოდოს ურთიერთობითი. ზემოაღნიშნული მაგალითებიდან გამომდინარეობს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება კონცეპტუალურ კლასიფიკაციასა და სპეციალიზაციას შორის: ინდივიდს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე სპეციალიზაცია (ბოზი შეიძლება იყოს ციგა ძაღლი და ჯიშის ჩემპიონი, ადამიანი არის სტუდენტი და ქმარი), მაგრამ არ შეიძლება ერთდროულად. შეიყვანეთ ერთზე მეტი კონცეპტუალური იერარქია (ბუგი არ შეიძლება იყოს ძაღლი და კატა).

და მხოლოდ ჟუჩკას აღწერის მესამე ვერსიაში - როგორც გარკვეულ კვერნას ეკუთვნის და როგორც კონკრეტული გუნდის წევრს, რომელიც ტუნდრაზე აზიდავს ციგებს - უბრალოდ აუცილებელია სიმრავლის აღნიშვნა. მხოლოდ ამ შემთხვევაში გვაქვს უფლება ვთქვათ, რომ ინდივიდი არის კონკრეტული ნაკრების ელემენტი ელემენტების თვლადი რაოდენობით და არ მიეკუთვნება კონცეფციას, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც აბსტრაქტული ნაკრები, რომელიც პირობითად აფიქსირებს მის ფარგლებს. ამ კონცეფციას. და აქ მნიშვნელოვანია, რომ ინდივიდი იყოს სხვა ინდივიდის ნაწილი, თავდაპირველად განსაზღვრული, როგორც ნაკრები: ძაღლსაშენი და გუნდი აუცილებლად არის ძაღლების არა ცარიელი ნაკრები და ამ ნაკრების ელემენტების რაოდენობა აუცილებლად შედის მათ განმარტებებში. როგორც პიროვნებები. ანუ ამ შემთხვევაში ურთიერთობაზე უნდა ვისაუბროთ ნაწილი-მთელი: ხარვეზი არის კენელის ნაწილი და გუნდის ნაწილი. უფრო მეტიც, Bug-ის კონკრეტულ გუნდში შეყვანა ან არშემოსვლა ცვლის მის (გუნდის) შინაარსს: თუ გვქონდა გუნდი-ორი, მაშინ ბაგის მოხსნის შემდეგ გუნდი იქცევა ერთ გუნდად. ასეთ შემთხვევებში საქმე გვაქვს არა მხოლოდ თვლად კომპლექტთან (ძაღლები კვერთხში), არამედ ინდივიდთან, რომლის არსი იცვლება, როდესაც იცვლება მისი ელემენტების შემადგენლობა, განისაზღვრება ამ შემადგენლობით, ანუ სისტემა. თუ კნუტი არის მხოლოდ ინდივიდუალური ჯგუფი, რომელიც აღწერილია მასში შემავალი ელემენტების სიმრავლით, მაშინ გუნდი არის სისტემა, რომლის არსი დამოკიდებულია მისი ნაწილების რაოდენობასა და სპეციფიკაზე.

შესაბამისად, სუბიექტური არეალის ონტოლოგიის აგებისას შეიძლება გამოვყოთ რეალური ობიექტები-სიმრავლეები, რომლებიც განსაზღვრულია ზუსტად, როგორც ინდივიდების გარკვეული რაოდენობის კრებული. ესენია: კლასი სკოლაში, საქონელი საწყობში ყუთში, ელექტრონული მოწყობილობის ბლოკის ნაწილები და ა.შ. და ეს ნაკრები შეიძლება იყოს სხვა რეალური თვლადი ნაკრების ქვეჯგუფები: ყველა მოსწავლე სკოლაში, ყველა საქონელი საწყობში, ყველა მოწყობილობის ნაწილები. ამ კომპლექტების გარჩევისას აუცილებელია, რომ ისინი (ეს ნაკრები) იმოქმედონ როგორც დამოუკიდებელი ინდივიდები (გუნდი, საქონლის პარტია, ნაწილების ნაკრები), რომლის მთავარი ატრიბუტი სწორედ მათში შემავალი ელემენტების რაოდენობაა. უფრო მეტიც, ამ ატრიბუტის ცვლილებამ შეიძლება გამოიწვიოს ობიექტის სტატუსის შეცვლა, მაგალითად, ელემენტების რაოდენობის გაზრდით, კვარტეტი გადააქციოს კვინტეტად ან პოლკი ბრიგადად. ასევე მნიშვნელოვანია, რომ ამ კომპლექტი-ობიექტების, რთული ობიექტების აღწერა არ შემოიფარგლება მათში შემავალი ინდივიდების აღწერით, თუმცა შეიძლება მოიცავდეს ამ უკანასკნელის დასაშვები ტიპის მითითებას (სიმებიანი კვარტეტი, ცხენის გუნდი). და ასეთი ურთიერთობები - არა აბსტრაქტულ კომპლექტებს შორის, არამედ სიმრავლეს შორის, რომელიც არის ინდივიდები, რთული ობიექტები - უფრო ზუსტად არის აღწერილი, როგორც ნაწილი-მთლიანი ურთიერთობები და არა კლასი-ქვეკლასი.

ასე რომ, ინდივიდების ტრადიციული კლასიფიკაცია გარკვეული კლას-კომპლექტების მინიჭებით არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთგვაროვანად. აუცილებელია განვასხვავოთ (1) ინდივიდების ნაწილებად ჩართვა რთულ ობიექტში (მთელში), რომლის სემანტიკური სპეციფიკა არ შემოიფარგლება მისი ელემენტების აღწერით. ამავდროულად (1.1.), საგანი-მთელი შეიძლება ჩაითვალოს მხოლოდ ინდივიდთა დასახელებულ ერთობლიობად (ნაწილები შეფუთვაში, ნახატების კოლექცია), რისთვისაც, ფაქტობრივად, მხოლოდ ნაწილების რაოდენობაა მნიშვნელოვანი. ასეთი ობიექტები შეიძლება ეწოდოს ჯგუფები (ან კოლექციები)). ასევე (1.2.) ობიექტი-მთელი შეიძლება მნიშვნელობით (და არა მხოლოდ რაოდენობრივად) განისაზღვროს მისი ნაწილებით და, შედეგად, ჰქონდეს ატრიბუტები, რაც ნაწილებს არ გააჩნიათ. ასეთ მთლიანობას ტრადიციულად უწოდებენ სისტემებიდა სისტემების ნაწილები - ელემენტები. ობიექტების აღწერის მეორე ვარიანტი ქვეკლასებში მათი მინიჭებით არის (2) ინდივიდების დაცემა კონცეფციის ქვეშ, რაც შეიძლება მხოლოდ ფორმალურად, ტავტოლოგიურად აღწერილი იყოს, როგორც ინდივიდების ჩართვა ნაკრებში, რომელთა ძალა ტოლია ცნების ძალასთან. ინდივიდების კონცეპტუალური აღწერა, თავის მხრივ, შეიძლება დაიყოს (2.1) კონცეპტუალური, გლობალურად განსაზღვრავს ინდივიდის ტიპს და (2.2) სპეციალიზებული (რელატიური), ლოკალურად დროსა და სივრცეში (მოვლენის თვალსაზრისით) აკავშირებს ინდივიდს სხვა ობიექტებთან.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა, უპირველეს ყოვლისა, აჩენს საკითხს კომპეტენტურ თეორიაზე დაფუძნებული კლასიფიკაციის გამოყენებით საგნობრივი არეალის აღწერის ტრადიციული მიდგომის საკმარისობისა და ადეკვატურობის შესახებ. და შემოთავაზებულია დასკვნა: ონტოლოგიაში ობიექტთა ურთიერთობის მთელი მრავალფეროვნების დასაფიქსირებლად საჭიროა უფრო დიფერენცირებული კლასიფიკაციის ინსტრუმენტები (ჯგუფები, სისტემები, კონცეპტუალური და სპეციალიზებული ცნებები). სიმრავლეების თეორიის ფორმალიზმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ როგორც ლოკალური გამარტივება დასკვნის საჭიროებებისთვის და არა როგორც აღწერის მთავარი მეთოდი.