ფუნქცია და მისი დაყენების გზები.

ფუნქციის დაყენება ნიშნავს წესის (კანონის) დადგენას, რომლის დახმარებით, დამოუკიდებელი ცვლადის მოცემული მნიშვნელობების მიხედვით, უნდა მოიძებნოს ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები. მოდით შევხედოთ ფუნქციების განსაზღვრის რამდენიმე გზას.

ცხრილის გზა. საკმაოდ გავრცელებულია, ის შედგება ცალკეული არგუმენტების მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის დაყენებაში. ფუნქციის განსაზღვრის ეს მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ფუნქციის დომენი არის დისკრეტული სასრული ნაკრები.

ფუნქციის მითითების ტაბულური მეთოდით, შესაძლებელია დაახლოებით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის ცხრილში, არგუმენტის შუალედური მნიშვნელობების შესაბამისი. ამისათვის გამოიყენეთ ინტერპოლაციის მეთოდი.

ფუნქციის დაყენების ტაბულური მეთოდის უპირატესობები ისაა, რომ შესაძლებელს ხდის გარკვეული კონკრეტული მნიშვნელობების ერთდროულად განსაზღვრას, დამატებითი გაზომვებისა და გამოთვლების გარეშე. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ცხრილი არ განსაზღვრავს ფუნქციას მთლიანად, არამედ მხოლოდ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და არ იძლევა ფუნქციის ცვლილების ბუნების ვიზუალურ წარმოდგენას, რაც დამოკიდებულია არგუმენტის ცვლილებაზე.

გრაფიკული გზა. y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყოველთვის არ იძლევა არგუმენტის რიცხვითი მნიშვნელობების ზუსტად განსაზღვრას. თუმცა მას სხვა მეთოდებთან შედარებით დიდი უპირატესობა აქვს – ხილვადობა. ინჟინერიასა და ფიზიკაში ხშირად გამოიყენება ფუნქციის დაყენების გრაფიკული მეთოდი და ამისთვის ერთადერთი ხელმისაწვდომი გზაა გრაფიკი.

იმისათვის, რომ ფუნქციის გრაფიკული მინიჭება მათემატიკური თვალსაზრისით საკმაოდ სწორი იყოს, საჭიროა მიეთითოს გრაფიკის ზუსტი გეომეტრიული აგებულება, რომელიც, ყველაზე ხშირად, მოცემულია განტოლებით. ეს იწვევს ფუნქციის განსაზღვრის შემდეგ გზას.

ანალიტიკური გზა. ყველაზე ხშირად კანონი, რომელიც ადგენს კავშირს არგუმენტსა და ფუნქციას შორის, მითითებულია ფორმულების საშუალებით. ფუნქციის განსაზღვრის ამ ხერხს ანალიტიკური ეწოდება.

ეს მეთოდი შესაძლებელს ხდის x არგუმენტის თითოეულ ციფრულ მნიშვნელობას ზუსტად ან გარკვეული სიზუსტით იპოვნოს y ფუნქციის შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობა.

თუ x-სა და y-ს შორის კავშირი მოცემულია ფორმულით, რომელიც გადაწყვეტილია y-ის მიმართ, ე.ი. აქვს ფორმა y = f(x), მაშინ ვამბობთ, რომ x-ის ფუნქცია მოცემულია ცალსახად.

თუ x და y მნიშვნელობები დაკავშირებულია F(x,y) = 0 ფორმის რაიმე განტოლებით, ე.ი. ფორმულა დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = f(x) ირიბად არის განსაზღვრული.

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ფორმულებით მისი ამოცანების არეალის სხვადასხვა ნაწილში.

ანალიტიკური მეთოდი ფუნქციების განსაზღვრის ყველაზე გავრცელებული გზაა. კომპაქტურობა, ლაკონურობა, არგუმენტის თვითნებური მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლის უნარი განსაზღვრების სფეროდან, მათემატიკური ანალიზის აპარატის მოცემულ ფუნქციაზე გამოყენების შესაძლებლობა არის განსაზღვრის ანალიტიკური მეთოდის მთავარი უპირატესობა. ფუნქცია. ნაკლოვანებები მოიცავს ხილვადობის ნაკლებობას, რაც კომპენსირდება გრაფიკის აგების შესაძლებლობით და ზოგჯერ ძალიან რთული გამოთვლების შესრულების საჭიროებით.

სიტყვიერი გზა. ეს მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ ფუნქციური დამოკიდებულება გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითი 1: ფუნქცია E(x) არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ზოგადად, E(x) = [x] აღნიშნავს უდიდეს მთელ რიცხვს, რომელიც არ აღემატება x-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ x = r + q, სადაც r არის მთელი რიცხვი (შეიძლება იყოს უარყოფითი) და q ეკუთვნის = r ინტერვალს. ფუნქცია E(x) = [x] მუდმივია = r ინტერვალზე.

მაგალითი 2: ფუნქცია y = (x) - რიცხვის წილადი ნაწილი. უფრო ზუსტად, y =(x) = x - [x], სადაც [x] არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x-ისთვის. თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ წარმოვადგენთ მას როგორც x = r + q (r = [x]), სადაც r არის მთელი რიცხვი და q დევს ინტერვალში. = 2[" class="link_thumb"> 7ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f(x)x;x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0.23] \u003d - 1 "\u003e x, x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება მთელი რიცხვი. ნომერი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2 [" title=" ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f (x) x; x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელი ნაწილი ეწოდება რიცხვის მთელ ნაწილს D (f) = (-;+), E (f) = Z (მთლიანი რიცხვების სიმრავლე) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენეთ აღნიშვნა [ x ].= 2 ["> title="ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება პირობებით: f (x) არის მთელი რიცხვი; f(x)x;x; f + 1 > x,x, რიცხვის მთელ ნაწილს ეწოდება რიცხვის მთელი ნაწილი. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (მთლიანი რიცხვების ნაკრები) x რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენება აღნიშვნა [ x ]. = 2["> !}

ფუნქციის დაზუსტების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდიდან, ანალიტიკური მეთოდი იძლევა უდიდეს შესაძლებლობებს მათემატიკური ანალიზის აპარატის გამოყენებისათვის, ხოლო გრაფიკულ მეთოდს აქვს უდიდესი სიცხადე. ამიტომ მათემატიკური ანალიზი ეფუძნება ანალიტიკური და გეომეტრიული მეთოდების ღრმა სინთეზს. ანალიტიკურად მოცემული ფუნქციების შესწავლა გაცილებით მარტივია და ცხადი ხდება, თუ ამ ფუნქციების გრაფიკებს პარალელურად განვიხილავთ.

X y=x

დიდი მათემატიკოსი - დირიხლე ბერლინის პროფესორი, 1855 წლიდან გეტინგენის უნივერსიტეტი. ძირითადი სამუშაოები რიცხვთა თეორიასა და მათემატიკურ ანალიზზე. მათემატიკური ანალიზის სფეროში დირიხლემ პირველად ზუსტად ჩამოაყალიბა და გამოიკვლია რიგის პირობითი კონვერგენციის ცნება, დაადგინა სერიების კონვერგენციის კრიტერიუმი (ე.წ. დირიხლეს კრიტერიუმი, 1862 წ.), მისცა (1829 წ.) მკაცრი მტკიცებულება ფუნქციის გაფართოების შესაძლებლობის ფურიეს სერიებში, რომელსაც აქვს მაქსიმალური და მინიმალური რაოდენობა. დირიხლეს მნიშვნელოვანი ნაშრომები ეძღვნება მექანიკას და მათემატიკურ ფიზიკას (დირიხლეს პრინციპი ჰარმონიული ფუნქციის თეორიაში). დირიხლე პიტერ გუსტავ ლეჟენი () გერმანელი მათემატიკოსი, უცხოელი კორესპონდენტი. პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემია (გ), ლონდონის სამეფო საზოგადოების (1855), პარიზის მეცნიერებათა აკადემიის (1854), ბერლინის მეცნიერებათა აკადემიის წევრი. დირიხლემ დაამტკიცა თეორემა უსასრულოდ დიდი რაოდენობის მარტივი რიცხვების არსებობის შესახებ მთელი რიცხვების ნებისმიერ არითმეტიკულ პროგრესიაში, რომელთა პირველი წევრი და სხვაობა არის თანაპირდაპირი რიცხვები და შეისწავლა (1837) არითმეტიკულ პროგრესიებში მარტივი რიცხვების განაწილების კანონი, რომელიც მან შემოიტანა სპეციალური ფორმის ფუნქციური სერიები (ე.წ. დირიხლეს სერია).

ფუნქციის ანალიტიკური განსაზღვრება

ფუნქცია %%y = f(x), x \in X%% მოცემულია აშკარა ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია ფორმულა, რომელიც მიუთითებს მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრობას, რომელიც უნდა შესრულდეს არგუმენტით %%x%% ამ ფუნქციის %%f(x)%% მნიშვნელობის მისაღებად.

მაგალითი

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

ასე, მაგალითად, ფიზიკაში, თანაბრად აჩქარებული მართკუთხა მოძრაობით, სხეულის სიჩქარე განისაზღვრება ფორმულით t%% იწერება როგორც: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2 ) %%.

ცალმხრივი განსაზღვრული ფუნქციები

ზოგჯერ განსახილველი ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე ფორმულით, რომლებიც მოქმედებენ მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილში, რომლებშიც იცვლება ფუნქციის არგუმენტი. მაგალითად: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

ამ ტიპის ფუნქციებს ზოგჯერ უწოდებენ შემადგენელიან ცალ-ცალკე. ასეთი ფუნქციის მაგალითია %%y = |x|%%

ფუნქციის ფარგლები

თუ ფუნქცია მითითებულია აშკარა ანალიტიკური გზით ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ფუნქციის ფარგლები %%D%% სიმრავლის სახით არ არის მითითებული, მაშინ %%D%%–ით ყოველთვის ვიგულისხმებთ მნიშვნელობების სიმრავლეს. არგუმენტი %%x%% რომლისთვისაც ეს ფორმულა აზრიანია. ასე რომ, %%y = x^2% ფუნქციისთვის, განმარტების დომენი არის ნაკრები %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, რადგან არგუმენტი %%x% %-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ნომრის ხაზი. და %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))% ფუნქციისთვის, განსაზღვრების დომენი იქნება მნიშვნელობების ნაკრები %%x%%, რომელიც აკმაყოფილებს %1 უტოლობას. - x^2 > 0%%, მ .ე. %%D = (-1, 1)%%.

აშკარა ანალიტიკური ფუნქციის განსაზღვრის უპირატესობები

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის განსაზღვრის აშკარა ანალიტიკური გზა საკმაოდ კომპაქტურია (ფორმულა, როგორც წესი, იკავებს მცირე ადგილს), ადვილად რეპროდუცირებადია (ფორმულა ადვილად იწერება) და ყველაზე მეტად ადაპტირებულია მათემატიკური ოპერაციებისა და გარდაქმნების შესასრულებლად. ფუნქციები.

ამ მოქმედებებიდან ზოგიერთი - ალგებრული (შეკრება, გამრავლება და ა.შ.) - კარგად არის ცნობილი სასკოლო მათემატიკის კურსიდან, ზოგიც (დიფერენციაცია, ინტეგრაცია) მომავალში შეისწავლება. ამასთან, ეს მეთოდი ყოველთვის არ არის ნათელი, რადგან არგუმენტზე ფუნქციის დამოკიდებულების ბუნება ყოველთვის არ არის ნათელი და ზოგჯერ რთული გამოთვლებია საჭირო ფუნქციის მნიშვნელობების მოსაძებნად (თუ ეს აუცილებელია).

იმპლიციტური ფუნქციის სპეციფიკაცია

განსაზღვრულია ფუნქცია %%y = f(x)%% იმპლიციტური ანალიტიკური გზით, თუ მოცემულია კავშირი $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ აკავშირებს %%y%% ფუნქციის მნიშვნელობებს და არგუმენტს %% x%%. თუ მოცემულია არგუმენტების მნიშვნელობები, მაშინ %%y%% მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელიც შეესაბამება %%x%%-ის კონკრეტულ მნიშვნელობას, საჭიროა ამოხსნათ განტოლება %%(1)%% %%y%% მიმართებით. ამ კონკრეტულ მნიშვნელობაზე %%x%%.

%%x%% მნიშვნელობის გათვალისწინებით, განტოლებას %%(1)%% შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი ან ერთზე მეტი ამონახსნი. პირველ შემთხვევაში, მითითებული მნიშვნელობა %%x%% არ არის იმპლიციტური ფუნქციის ფარგლებში, ხოლო მეორე შემთხვევაში ის აკონკრეტებს მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქცია, რომელსაც აქვს ერთზე მეტი მნიშვნელობა მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლება %%(1)%% შეიძლება ცალსახად ამოიხსნას %%y = f(x)%%–ის მიმართ, მაშინ ჩვენ ვიღებთ იგივე ფუნქციას, მაგრამ უკვე განსაზღვრულია აშკარა ანალიტიკური გზით. ასე რომ, განტოლება %%x + y^5 - 1 = 0%%

და ტოლობა %%y = \sqrt(1 - x)%% განსაზღვრავს იგივე ფუნქციას.

პარამეტრული ფუნქციის განსაზღვრა

როდესაც %%y%%-ის დამოკიდებულება %%x%%-ზე პირდაპირ არ არის მოცემული, მაგრამ ამის ნაცვლად მოცემულია ორივე ცვლადის %%x%% და %%y%% დამოკიდებულება მესამე დამხმარე ცვლადზე %%t%% ფორმაში

$$ \დაწყება(შემთხვევები) x = \varphi(t), \\ y = \psi(t), \end (შემთხვევები) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ზე საუბრობენ პარამეტრულიფუნქციის დაყენების მეთოდი;

მაშინ დამხმარე ცვლადს %%t%% ეწოდება პარამეტრი.

თუ შესაძლებელია პარამეტრის %%t%% გამორიცხვა განტოლებიდან %%(2)%%, მაშინ ისინი მიდიან ფუნქციამდე, რომელიც მოცემულია %%y%%%%x%%–ზე გამოკვეთილი ან იმპლიციტური ანალიტიკური დამოკიდებულებით. . მაგალითად, $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ გარდა % %t%% პარამეტრისთვის ვიღებთ დამოკიდებულებას %%y = 2 x + 2%%, რომელიც ადგენს სწორ ხაზს %%xOy%% სიბრტყეში.

გრაფიკული გზა

ფუნქციის გრაფიკული განმარტების მაგალითი

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს, რომ ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური გზა შეესაბამება მის გრაფიკული გამოსახულება, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციის აღწერის მოსახერხებელ და ვიზუალურ ფორმად. ზოგჯერ გამოიყენება გრაფიკული გზაფუნქციის განსაზღვრა, როდესაც %%y%%–ის დამოკიდებულება %%x%%–ზე მოცემულია წრფით %%xOy%% სიბრტყეზე. თუმცა, მთელი მისი სიცხადისთვის, ის კარგავს სიზუსტეს, რადგან არგუმენტის მნიშვნელობები და ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება მიღებულ იქნას გრაფიკიდან მხოლოდ დაახლოებით. შედეგად მიღებული შეცდომა დამოკიდებულია გრაფიკის ცალკეული წერტილების აბსცისა და ორდინატის გაზომვის მასშტაბსა და სიზუსტეზე. მომავალში ფუნქციის გრაფიკის როლს მხოლოდ ფუნქციის ქცევის საილუსტრაციოდ მივაკუთვნებთ და ამიტომ შემოვიფარგლებით ფუნქციების ძირითად მახასიათებლებს ასახული გრაფიკების „ესკიზების“ აგებით.

ცხრილის გზა

შენიშვნა ცხრილის გზაფუნქციების მინიჭება, როდესაც ზოგიერთი არგუმენტის მნიშვნელობა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები მოთავსებულია ცხრილში გარკვეული თანმიმდევრობით. ასე აგებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილები და ა.შ. ცხრილის სახით, ჩვეულებრივ, წარმოდგენილია ექსპერიმენტულ კვლევებში, დაკვირვებებსა და ტესტებში გაზომილ სიდიდეებს შორის ურთიერთობა.

ამ მეთოდის მინუსი არის ფუნქციის მნიშვნელობების უშუალოდ განსაზღვრის შეუძლებლობა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ არის შეტანილი ცხრილში. თუ არსებობს დარწმუნებული, რომ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის წარმოდგენილი ცხრილში, ეკუთვნის განხილული ფუნქციის დომენს, მაშინ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ინტერპოლაციისა და ექსტრაპოლაციის გამოყენებით.

მაგალითი

ფუნქციების დაზუსტების ალგორითმული და ვერბალური გზები

ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია ალგორითმული(ან პროგრამული) ისე, რომ ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ გამოთვლებში.

საბოლოოდ, შეიძლება აღინიშნოს აღწერითი(ან სიტყვიერი) ფუნქციის დაზუსტების ხერხი, როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობების არგუმენტის მნიშვნელობებთან შესაბამისობის წესი გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითად, ფუნქცია %%[x] = m~\forall (x \in . თუმცა, და ეს მნიშვნელოვანია ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რადგან ანალიზის შესახებ ჩვენი ინფორმაცია ვითარდება, მათ რიცხვს დაემატება სხვა ოპერაციები, უპირველეს ყოვლისა, გადასასვლელი ზღვრამდე, რომელსაც მკითხველი უკვე იცნობს I თავიდან.

ამრიგად, ტერმინის „ანალიტიკური გამოხატვის“ ან „ფორმულის“ სრული შინაარსი მხოლოდ თანდათანობით გამოვლინდება.

2° მეორე შენიშვნა ეხება ანალიტიკური გამოსახულებით ან ფორმულით ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს.

თითოეულ ანალიტიკურ გამონათქვამს, რომელიც შეიცავს x არგუმენტს, აქვს, ასე ვთქვათ, გამოყენების ბუნებრივი არეალი: ეს არის x-ის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე, რომლისთვისაც ის ინარჩუნებს მნიშვნელობას, ანუ აქვს კარგად განსაზღვრული, სასრული, რეალური ღირებულება. მოდით ავხსნათ ეს მარტივი მაგალითებით.

ასე რომ, გამოხატვისთვის, ასეთი ფართობი იქნება რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები. გამოხატვისთვის ეს არე შემცირდება დახურულ ინტერვალამდე, რომლის მიღმაც მისი მნიშვნელობა წყვეტს რეალურს. პირიქით, გამოთქმა თავის ბუნებრივ ფარგლებს უნდა შეიცავდეს ღია უფსკრულის სახით, რადგან ბოლოებში მისი მნიშვნელი ხდება 0. ზოგჯერ მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომლისთვისაც გამოხატულება ინარჩუნებს მნიშვნელობას, შედგება გაფანტული ხარვეზებისგან: ამისთვის იქნება. ხარვეზები ამისთვის - ხარვეზები და ა.შ.

როგორც საბოლოო მაგალითი, განვიხილოთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

თუ მაშინ, როგორც ვიცით, ეს ზღვარი არსებობს და აქვს მნიშვნელობა . ამისთვის ლიმიტი ან თანაბარია ან საერთოდ არ არსებობს. ამრიგად, ზემოაღნიშნული ანალიტიკური გამოხატვისთვის, ბუნებრივი მასშტაბი იქნება ღია ინტერვალი

შემდეგ პრეზენტაციაში ჩვენ მოგვიწევს გავითვალისწინოთ როგორც უფრო რთული, ისე ზოგადი ანალიტიკური გამონათქვამები და არაერთხელ შევისწავლით ასეთი გამონათქვამის მიერ მოცემული ფუნქციების თვისებებს მთელ რეგიონში, სადაც ის ინარჩუნებს მნიშვნელობას, ე.ი. თავად ანალიტიკური აპარატი.

თუმცა შესაძლებელია სხვა მდგომარეობაც, რაზეც საჭიროდ მიგვაჩნია წინასწარ მივაპყროთ მკითხველის ყურადღება. წარმოვიდგინოთ, რომ ზოგიერთმა კონკრეტულმა კითხვამ, რომელშიც x ცვლადი არსებითად შემოიფარგლება X-ის დიაპაზონით, განაპირობა ფუნქციის განხილვა, რომელიც დაშვებულია ანალიტიკური გამოხატვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ შეიძლება მოხდეს, რომ ამ გამოთქმას აქვს აზრი X რეგიონის გარეთ, რა თქმა უნდა, შეუძლებელია მის ფარგლებს გარეთ გასვლა. აქ ანალიტიკური გამოთქმა დაქვემდებარებული, დამხმარე როლს ასრულებს.

მაგალითად, თუ დედამიწის ზედაპირიდან სიმაღლიდან მძიმე წერტილის თავისუფალ დაცემას გამოვიკვლევთ, მივმართავთ ფორმულას

აბსურდული იქნება t-ის უარყოფითი მნიშვნელობების ან უფრო დიდი მნიშვნელობების გათვალისწინება, ვიდრე ამისთვის, როგორც ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილი უკვე მიწაზე დაეცემა. და ეს მიუხედავად იმისა, რომ თავად გამოთქმა - ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას ყველა რეალურისთვის.

3° შეიძლება მოხდეს, რომ ფუნქცია არ განისაზღვროს ერთი და იგივე ფორმულით არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, მაგრამ ზოგისთვის ერთი ფორმულით, ზოგისთვის კი მეორის მიერ. ასეთი ფუნქციის მაგალითია შემდეგი სამი ფორმულით განსაზღვრული ფუნქცია:

და ბოლოს თუ .

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ დირიხლეს ფუნქციას (P. G. Lejeune-Dinchlet), რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ბოლოს, კრონეკერთან (L. Kroneckcf) ერთად განვიხილავთ ფუნქციას, რომელსაც მან უწოდა „signum“ და აღნიშნა.