მე-2 რიგის ზედაპირებთან სტუდენტი ყველაზე ხშირად პირველ კურსზე ხვდება. თავდაპირველად, ამ თემაზე ამოცანები შეიძლება მარტივი ჩანდეს, მაგრამ როდესაც თქვენ სწავლობთ უმაღლეს მათემატიკას და ღრმავდებით მეცნიერულ მხარეში, საბოლოოდ შეგიძლიათ შეწყვიტოთ ორიენტირება იმაზე, რაც ხდება. იმისათვის, რომ ეს არ მოხდეს, საჭიროა არა მხოლოდ დამახსოვრება, არამედ იმის გაგება, თუ როგორ მიიღება ესა თუ ის ზედაპირი, როგორ მოქმედებს კოეფიციენტების შეცვლა მასზე და მის მდებარეობაზე თავდაპირველ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით და როგორ უნდა იპოვოთ ახალი სისტემა. (ერთი, რომელშიც მისი ცენტრი ემთხვევა საწყისი კოორდინატებს, მაგრამ პარალელურად ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძი). დავიწყოთ თავიდანვე.

განმარტება

მე-2 რიგის ზედაპირი არის GMT, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგი ფორმის ზოგად განტოლებას:

ნათელია, რომ თითოეულ წერტილს, რომელიც ეკუთვნის ზედაპირს, უნდა ჰქონდეს სამი კოორდინატი გარკვეული დანიშნულების საფუძველზე. თუმცა ზოგიერთ შემთხვევაში წერტილების ლოკუსი შეიძლება გადაგვარდეს, მაგალითად, სიბრტყეში. ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი კოორდინატი მუდმივია და უდრის ნულს დასაშვები მნიშვნელობების მთელ დიაპაზონში.

ზემოთ ნახსენები თანასწორობის სრული დახატული ფორმა ასე გამოიყურება:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - ზოგიერთი მუდმივი, x, y, z - ცვლადები, რომლებიც შეესაბამება რომელიმე წერტილის აფინურ კოორდინატებს. ამ შემთხვევაში მუდმივი ფაქტორიდან ერთი მაინც არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ არცერთი წერტილი არ შეესაბამება განტოლებას.

მაგალითების აბსოლუტურ უმრავლესობაში, ბევრი რიცხვითი ფაქტორი კვლავ ნულის ტოლია და განტოლება მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. პრაქტიკაში, იმის დადგენა, მიეკუთვნება თუ არა წერტილი ზედაპირს, არ არის რთული (საკმარისია მისი კოორდინატების ჩანაცვლება განტოლებაში და შემოწმება, დაცულია თუ არა იდენტურობა). ამგვარ ნაშრომში საკვანძო პუნქტია ამ უკანასკნელის დაქვეითება კანონიკურ ფორმამდე.

ზემოთ დაწერილი განტოლება განსაზღვრავს მე-2 რიგის ნებისმიერ (ყველა ჩამოთვლილი) ზედაპირს. ქვემოთ განვიხილავთ მაგალითებს.

მე -2 რიგის ზედაპირების ტიპები

მეორე რიგის ზედაპირების განტოლებები განსხვავდება მხოლოდ A nm კოეფიციენტების მნიშვნელობებში. ზოგადი თვალსაზრისით, მუდმივთა გარკვეული მნიშვნელობებისთვის, შესაძლებელია სხვადასხვა ზედაპირის მიღება, რომლებიც კლასიფიცირდება შემდეგნაირად:

1. ცილინდრები.
2. ელიფსური ტიპი.
3. ჰიპერბოლური ტიპი.
4. კონუსური ტიპი.
5. პარაბოლური ტიპი.
6. თვითმფრინავები.

თითოეულ ჩამოთვლილ ტიპს აქვს ბუნებრივი და წარმოსახვითი ფორმა: წარმოსახვითი ფორმით, რეალური წერტილების ადგილი ან გადაგვარდება უფრო მარტივ ფიგურად, ან საერთოდ არ არსებობს.

ცილინდრები

ეს არის უმარტივესი ტიპი, რადგან შედარებით რთული მრუდი დევს მხოლოდ ბაზაზე და მოქმედებს როგორც სახელმძღვანელო. გენერატორები არის სწორი ხაზები, რომლებიც პერპენდიკულარულია იმ სიბრტყეზე, რომელშიც მდებარეობს ბაზა.

გრაფიკზე ნაჩვენებია წრიული ცილინდრი, ელიფსური ცილინდრის განსაკუთრებული შემთხვევა. XY სიბრტყეში მისი პროექცია იქნება ელიფსი (ჩვენს შემთხვევაში წრე) - სახელმძღვანელო, ხოლო XZ - მართკუთხედი - ვინაიდან გენერატორები Z ღერძის პარალელურია. ზოგადი განტოლებიდან მის მისაღებად საჭიროა. კოეფიციენტებს მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობები:

ჩვეულებრივი აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება x, y, z, x სერიული ნომრით - არ აქვს მნიშვნელობა.

სინამდვილეში, 1/a 2 და აქ მითითებული სხვა მუდმივები არის იგივე კოეფიციენტები, რომლებიც მითითებულია ზოგად განტოლებაში, მაგრამ ჩვეულებრივია მათი ჩაწერა ამ ფორმით - ეს არის კანონიკური წარმოდგენა. შემდეგში გამოყენებული იქნება მხოლოდ ასეთი აღნიშვნა.

ასე განისაზღვრება ჰიპერბოლური ცილინდრი. სქემა იგივეა - ჰიპერბოლა იქნება სახელმძღვანელო.

პარაბოლური ცილინდრი განისაზღვრება ოდნავ განსხვავებული გზით: მისი კანონიკური ფორმა მოიცავს კოეფიციენტს p, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. ფაქტობრივად, კოეფიციენტი უდრის q=2p, მაგრამ ჩვეულებრივია მისი დაყოფა წარმოდგენილ ორ ფაქტორად.

არსებობს სხვა ტიპის ცილინდრი: წარმოსახვითი. არცერთი რეალური წერტილი არ ეკუთვნის ასეთ ცილინდრს. იგი აღწერილია ელიფსური ცილინდრის განტოლებით, მაგრამ ერთიანობის ნაცვლად არის -1.

ელიფსური ტიპი

ელიფსოიდი შეიძლება გაიჭიმოს ერთ-ერთი ღერძის გასწვრივ (რომლის გასწვრივ ეს დამოკიდებულია ზემოთ მითითებული a, b, c მუდმივების მნიშვნელობებზე; აშკარაა, რომ უფრო დიდი კოეფიციენტი შეესაბამება უფრო დიდ ღერძს).

ასევე არსებობს წარმოსახვითი ელიფსოიდი - იმ პირობით, რომ კოორდინატების ჯამი გამრავლებული კოეფიციენტებზე არის -1:

ჰიპერბოლოიდები

როდესაც ერთ-ერთ მუდმივში მინუსი გამოჩნდება, ელიფსოიდური განტოლება იქცევა ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის განტოლებად. უნდა გვესმოდეს, რომ ეს მინუსი არ უნდა იყოს x 3 კოორდინატის წინ! ის მხოლოდ განსაზღვრავს, რომელი ღერძი იქნება ჰიპერბოლოიდის ბრუნვის ღერძი (ან მის პარალელურად, რადგან როდესაც დამატებითი ტერმინები გამოჩნდება კვადრატში (მაგალითად, (x-2) 2), ფიგურის ცენტრი იცვლება, როგორც შედეგად, ზედაპირი მოძრაობს კოორდინატთა ღერძების პარალელურად). ეს ეხება მე-2 რიგის ყველა ზედაპირს.

გარდა ამისა, უნდა გვესმოდეს, რომ განტოლებები წარმოდგენილია კანონიკური ფორმით და მათი შეცვლა შესაძლებელია მუდმივების ცვალებადობით (ნიშნის შენარჩუნებით!); ხოლო მათი ფორმა (ჰიპერბოლოიდი, კონუსი და ასე შემდეგ) იგივე დარჩება.

ასეთი განტოლება უკვე მოცემულია ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდით.

კონუსური ზედაპირი

კონუსის განტოლებაში არ არის ერთეული - ნულის ტოლობა.

მხოლოდ შეზღუდულ კონუსურ ზედაპირს ეწოდება კონუსი. ქვემოთ მოყვანილი სურათი აჩვენებს, რომ, ფაქტობრივად, ჩარტზე იქნება ორი ე.წ.

მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ყველა განხილულ კანონიკურ განტოლებაში, მუდმივები ნაგულისხმევად დადებითად ითვლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ნიშანმა შეიძლება გავლენა მოახდინოს საბოლოო სქემაზე.

კოორდინატთა სიბრტყეები ხდება კონუსის სიმეტრიის სიბრტყეები, სიმეტრიის ცენტრი მდებარეობს სათავეში.

წარმოსახვითი კონუსის განტოლებაში მხოლოდ პლიუსებია; მას აქვს ერთი რეალური წერტილი.

პარაბოლოიდები

სივრცეში მე-2 რიგის ზედაპირებს შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა ფორმა, თუნდაც მსგავსი განტოლებებით. მაგალითად, არსებობს ორი სახის პარაბოლოიდები.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

ელიფსური პარაბოლოიდი, როდესაც Z ღერძი ნახაზზე პერპენდიკულარულია, იქნება დაპროექტებული ელიფსად.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი: სექციები ZY-ის პარალელურად სიბრტყეებით წარმოქმნიან პარაბოლებს, ხოლო მონაკვეთები XY-ის პარალელურ სიბრტყეებზე წარმოქმნიან ჰიპერბოლას.

გადაკვეთის თვითმფრინავები

არის შემთხვევები, როდესაც მე-2 რიგის ზედაპირები გადაგვარდება სიბრტყეში. ამ თვითმფრინავების მოწყობა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით.

ჯერ განიხილეთ გადაკვეთის სიბრტყეები:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

კანონიკური განტოლების ეს მოდიფიკაცია იწვევს მხოლოდ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს (წარმოსახვითი!); ყველა რეალური წერტილი არის კოორდინატის ღერძზე, რომელიც არ არის განტოლებაში (კანონიკურში - Z ღერძი).

პარალელური თვითმფრინავები

მხოლოდ ერთი კოორდინატის თანდასწრებით, მე-2 რიგის ზედაპირები გადაგვარდება პარალელური სიბრტყეების წყვილში. გახსოვდეთ, Y-ის ადგილი ნებისმიერ სხვა ცვლადს შეუძლია; მაშინ მიიღება სხვა ღერძების პარალელური სიბრტყეები.

ამ შემთხვევაში ისინი წარმოსახვითი ხდებიან.

დამთხვევა თვითმფრინავები

ასეთი მარტივი განტოლებით, თვითმფრინავების წყვილი გადაგვარდება ერთში - ისინი ემთხვევა ერთმანეთს.

არ დაგავიწყდეთ, რომ სამგანზომილებიანი საფუძვლის შემთხვევაში, ზემოთ განტოლება არ განსაზღვრავს წრფეს y=0! მას არ აქვს ორი სხვა ცვლადი, მაგრამ ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ მათი მნიშვნელობა მუდმივია და ნულის ტოლია.

Შენობა

მოსწავლისთვის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანაა მე-2 რიგის ზედაპირების აგება. კიდევ უფრო რთულია ერთი კოორდინატთა სისტემიდან მეორეზე გადასვლა, მრუდის კუთხეების გათვალისწინებით ღერძებთან და ცენტრის გადაადგილებასთან მიმართებაში. გავიმეოროთ, თუ როგორ განვსაზღვროთ ნახატის მომავალი ხედვა თანმიმდევრულად ანალიტიკური გზით.

მე-2 რიგის ზედაპირის ასაგებად დაგჭირდებათ:

• განტოლების კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა;
• განსაზღვროს შესასწავლი ზედაპირის ტიპი;
• კოეფიციენტების მნიშვნელობების საფუძველზე აგება.

ყველა განხილული ტიპი ჩამოთვლილია ქვემოთ:

კონსოლიდაციისთვის, ჩვენ დეტალურად აღვწერთ ამ ტიპის დავალების ერთ მაგალითს.

მაგალითები

ვთქვათ, გვაქვს განტოლება:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

კანონიკურ ფორმამდე მივიყვანოთ. გამოვყოთ სრული კვადრატები, ანუ არსებული ტერმინები ისე დავალაგოთ, რომ ისინი იყოს ჯამის ან სხვაობის კვადრატის გაფართოება. მაგალითად: თუ (a+1) 2 =a 2 +2a+1, მაშინ a 2 +2a+1=(a+1) 2 . მეორე ოპერაციას ჩავატარებთ. ამ შემთხვევაში, არ არის აუცილებელი ფრჩხილების გახსნა, რადგან ეს მხოლოდ გაართულებს გამოთვლებს, მაგრამ აუცილებელია საერთო ფაქტორის 6 ამოღება (ფრჩხილებში Y-ის სრული კვადრატით):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

ცვლადი z ამ შემთხვევაში მხოლოდ ერთხელ ჩნდება - ის ამ დროისთვის შეიძლება ხელუხლებლად დარჩეს.

განტოლებას ვაანალიზებთ ამ ეტაპზე: ყველა უცნობს წინ უსწრებს პლუს ნიშანი; ექვსზე გაყოფისას ერთი რჩება. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ელიფსოიდს.

გაითვალისწინეთ, რომ 144 გაფორმებულია 150-6-ში, რის შემდეგაც -6 გადავიდა მარჯვნივ. რატომ უნდა გაკეთდეს ეს ასე? აშკარაა, რომ ამ მაგალითში ყველაზე დიდი გამყოფი არის 6, ამიტომ, იმისათვის, რომ ერთეული დარჩეს მარჯვნივ მასზე გაყოფის შემდეგ, აუცილებელია 144-დან ზუსტად 6-ის „გადავადება“ (თავისუფალი წევრის არსებობა, ა. მუდმივი არ გამრავლებული უცნობზე).

გაყავით ყველაფერი ექვსზე და მიიღეთ ელიფსოიდის კანონიკური განტოლება:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

მე-2 რიგის ზედაპირების ადრე გამოყენებულ კლასიფიკაციაში განიხილება კონკრეტული შემთხვევა, როდესაც ფიგურის ცენტრი სათავეშია. ამ მაგალითში ის ოფსეტურია.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ყოველი ფრჩხილი უცნობიებით არის ახალი ცვლადი. ანუ: a=x-1, b=y+5, c=z. ახალ კოორდინატებში ელიფსოიდის ცენტრი ემთხვევა წერტილს (0,0,0), შესაბამისად, a=b=c=0, საიდანაც: x=1, y=-5, z=0. საწყის კოორდინატებში ფიგურის ცენტრი დევს წერტილში (1,-5,0).

ელიფსოიდი ორი ელიფსისგან შედგება: პირველი XY სიბრტყეში და მეორე XZ სიბრტყეში (ან YZ - არ აქვს მნიშვნელობა). კოეფიციენტები, რომლებითაც იყოფა ცვლადები, კვადრატულია კანონიკურ განტოლებაში. მაშასადამე, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში უფრო სწორი იქნება გაყოფა ორის, ერთისა და სამის ფესვზე.

პირველი ელიფსის მცირე ღერძი, Y ღერძის პარალელურად, არის ორი. ძირითადი ღერძი, რომელიც პარალელურად არის x-ღერძი, არის ორი ფესვის ორი ფესვი. მეორე ელიფსის მცირე ღერძი, Y ღერძის პარალელურად, იგივე რჩება - ის უდრის ორს. ხოლო მთავარი ღერძი, Z ღერძის პარალელურად, უდრის სამის ორ ფესვს.

საწყისი განტოლებიდან მიღებული მონაცემების კანონიკურ ფორმაში გადაყვანის შედეგად შეგვიძლია დავხატოთ ელიფსოიდი.

შეჯამება

ამ სტატიაში განხილული თემა საკმაოდ ვრცელია, მაგრამ, სინამდვილეში, როგორც ახლა ხედავთ, არც ისე რთული. მისი განვითარება, ფაქტობრივად, მთავრდება იმ მომენტში, როდესაც თქვენ იმახსოვრებთ ზედაპირების სახელებს და განტოლებებს (და, რა თქმა უნდა, როგორ გამოიყურება ისინი). ზემოთ მოყვანილ მაგალითში დეტალურად განვიხილეთ თითოეული ნაბიჯი, მაგრამ განტოლების კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა მოითხოვს უმაღლესი მათემატიკის მინიმალურ ცოდნას და არ უნდა შეუქმნას მოსწავლეს რაიმე სირთულე.

არსებული თანასწორობის მიხედვით მომავალი გრაფიკის ანალიზი უკვე უფრო რთული ამოცანაა. მაგრამ მისი წარმატებული გადაწყვეტისთვის საკმარისია იმის გაგება, თუ როგორ არის აგებული მეორე რიგის შესაბამისი მრუდები - ელიფსები, პარაბოლები და სხვა.

დეგენერაციული შემთხვევები კიდევ უფრო მარტივი განყოფილებაა. ზოგიერთი ცვლადის არარსებობის გამო გამარტივებულია არა მხოლოდ გამოთვლები, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არამედ თავად კონსტრუქცია.

როგორც კი შეძლებთ დამაჯერებლად დაასახელოთ ყველა სახის ზედაპირი, შეცვალოთ მუდმივები, გადააქცევთ გრაფიკს ამა თუ იმ ფიგურად, თემა აითვისება.

წარმატებები სწავლაში!

ძირითადი თეორიული ინფორმაცია

ცილინდრული ზედაპირიან უბრალოდ ცილინდრიეწოდება ნებისმიერ ზედაპირს, რომელიც შეიძლება მივიღოთ სწორი ხაზის გადაადგილებით, რომელიმე ვექტორის პარალელურად გადაადგილებით და მოცემული წრფის მუდმივად გადაკვეთით, რომელიც ე.წ. სახელმძღვანელო.მოძრავი ხაზი ე.წ გენერატრიქსი.

შეკუმშული ზედაპირიან უბრალოდ კონუსიეწოდება ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის მოძრაობით, ე.წ კონუსის ზედა,და მოძრაობს ამ მრუდის გასწვრივ. მოძრავი ხაზი ე.წ კონუსის გენერაცია,და მრუდი, რომლის გასწვრივაც გენერატრიქსი სრიალებს, - სახელმძღვანელო.

ფიგურის ბრუნვა მოცემული სწორი ხაზის გარშემო (ბრუნის ღერძი) არის მოძრაობა, რომელშიც ფიგურის თითოეული წერტილი
აღწერს წრეს, რომელიც ორიენტირებულია ბრუნვის ღერძზე, რომელიც მდებარეობს ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში.

ღერძის გარშემო წრფის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილ ზედაპირს ეწოდება რევოლუციის ზედაპირი.

მეორე რიგის ზედაპირების კანონიკური განტოლებები

მეორე რიგის ზედაპირი მოცემულია მართკუთხა კოორდინატებში მეორე ხარისხის განტოლებით

(7.1)

კოორდინატების გარდაქმნით (ღერძების მობრუნებით და პარალელური გადაყვანით) განტოლება (7.1) იკლებს კანონიკურ ფორმამდე. იმ შემთხვევაში, როდესაც (7.1) განტოლებაში არ არის ტერმინები კოორდინატების ნამრავლთან, ეს განტოლება არის სრული კვადრატების შერჩევა. ,,და კოორდინატთა ღერძების პარალელური ტრანსლაცია დაყვანილია კანონიკურ ფორმამდე ისევე, როგორც ეს გაკეთდა მეორე რიგის ხაზებისთვის (იხ. მეორე რიგის წრფის ზოგადი განტოლების შესწავლა). მეორე რიგის ზედაპირები და მათი კანონიკური განტოლებები წარმოდგენილია ცხრილში. 3.

მეორე რიგის ზედაპირების ფორმა და განლაგება ჩვეულებრივ შესწავლილია პარალელური მონაკვეთების მეთოდით. მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ზედაპირი იკვეთება კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელურად რამდენიმე სიბრტყით. მიღებული მონაკვეთების ფორმა და პარამეტრები შესაძლებელს ხდის თავად ზედაპირის ფორმის განსაზღვრას.

მაგიდა 3

ჰიპერბოლოიდი: ერთ ღრუში, ორპალატიანი,
პარაბოლოიდი: ელიფსური, ჰიპერბოლური,

ელიფსური, ჰიპერბოლური, პარაბოლური,

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

პრობლემა 7.1.დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის, რომლის რადიუსი არის , და ცენტრი არის წერტილში
.

გადაწყვეტილება.სფერო არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებიც იმავე მანძილზეა ცენტრიდან. ამიტომ, აღნიშნავს
თვითნებური წერტილის კოორდინატები
სფეროები და მათი მეშვეობით თანასწორობის გამოხატვა
, მექნება

ტოლობის ორივე მხარის კვადრატში მიღებით მივიღებთ სფეროს სასურველ კანონიკურ განტოლებას:

თუ სფეროს ცენტრი მოთავსებულია საწყისთან, მაშინ სფეროს განტოლებას უფრო მარტივი ფორმა აქვს:

.

უპასუხე.
.

პრობლემა 7.2.დაწერეთ განტოლება კონუსური ზედაპირისთვის, რომელსაც აქვს წვერო სათავეში და სახელმძღვანელო

(7.1)

გადაწყვეტილება.გენერატორების კანონიკური განტოლებები წერტილის გავლით
და წერტილი
სახელმძღვანელო, აქვს ფორმა

(7.2)

გამორიცხეთ ,,(7.1) და (7.2) განტოლებიდან. ამისათვის, განტოლებებში (7.2) ჩვენ ვცვლით ზე და განსაზღვრეთ და :

;

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება და სისტემის პირველ განტოლებაში (7.1) გვექნება:

ან

შედეგად მიღებული განტოლება განსაზღვრავს მეორე რიგის კონუსს (იხ. ცხრილი 3)

პრობლემა 7.3.

გადაწყვეტილება.ეს ზედაპირი არის ჰიპერბოლური ცილინდრი, გენერატორებით ღერძის პარალელურად
მართლაც, ეს განტოლება არ შეიცავს , ხოლო ცილინდრის სახელმძღვანელო არის ჰიპერბოლა

სიმეტრიის ცენტრით წერტილში
და რეალური ღერძი ღერძის პარალელურად
.

პრობლემა 7.4.შეისწავლეთ და ააგეთ განტოლებით მოცემული ზედაპირი

გადაწყვეტილება.ზედაპირის გადაკვეთა სიბრტყით
. შედეგად, ჩვენ გვაქვს

სადაც
. ეს არის პარაბოლის განტოლება სიბრტყეში

მოცემული ზედაპირის მონაკვეთი სიბრტყით
არის პარაბოლა

თვითმფრინავის განყოფილება
არის წყვილი გადამკვეთი ხაზი:

განყოფილება სიბრტყის პარალელურად თვითმფრინავებით
, არის ჰიპერბოლები:

ზე
ჰიპერბოლის რეალური ღერძი ღერძის პარალელურია
, ზე
ცულები
. გამოკვლეული ზედაპირი არის ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი (რომელიც ასოცირდება ფორმასთან, ზედაპირს უწოდებენ "უნაგირს").

კომენტარი.ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის საინტერესო თვისება არის სწორი ხაზების არსებობა მის ზედაპირზე ყველა წერტილით. ასეთ ხაზებს ე.წ ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის სწორხაზოვანი გენერატორები.ჰიპერბოლური პარაბოლოიდის თითოეულ წერტილში გადის ორი სწორხაზოვანი გენერატორი.

პრობლემა 7.5.რომელი ზედაპირი განსაზღვრავს განტოლებას

გადაწყვეტილება.ამ განტოლების კანონიკურ ფორმამდე დასაყვანად გამოვყოფთ ცვლადების სრულ კვადრატებს ,,:

მიღებული განტოლების შედარება ცხრილებთან (იხ. ცხრილი 3), ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს არის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის განტოლება, რომლის ცენტრი გადატანილია წერტილამდე.
ფორმულების მიხედვით კოორდინატთა სისტემის პარალელური გადაცემით

განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე:

კომენტარი.ერთფურცლიან ჰიპერბოლოიდს, ისევე როგორც ჰიპერბოლიურს, აქვს სწორხაზოვანი გენერატორების ორი ოჯახი.

სტატიის შინაარსი

კონუსური სექციები,სიბრტყე მრუდები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის გადაკვეთით სიბრტყეზე, რომელიც არ გადის მის ზედა ნაწილში (სურ. 1). ანალიტიკური გეომეტრიის თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას. ბოლო ნაწილში განხილული დეგენერაციული შემთხვევების გარდა, კონუსური მონაკვეთები არის ელიფსები, ჰიპერბოლები ან პარაბოლები.

კონუსური სექციები ხშირად გვხვდება ბუნებაში და ტექნოლოგიაში. მაგალითად, მზის გარშემო მოძრავი პლანეტების ორბიტები ელიფსებია. წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც მთავარი ღერძი უდრის მცირეს. პარაბოლურ სარკეს აქვს თვისება, რომ მისი ღერძის პარალელურად ყველა შემხვედრი სხივი ერთ წერტილში (ფოკუსირება) იყრის თავს. იგი გამოიყენება უმეტეს ამრეკლ ტელესკოპებში პარაბოლური სარკეების გამოყენებით, ასევე რადარის ანტენებში და სპეციალურ მიკროფონებში პარაბოლური რეფლექტორებით. პარაბოლური სხივების სხივი გამოდის პარაბოლური რეფლექტორის ფოკუსში მოთავსებული სინათლის წყაროდან. ამიტომ, პარაბოლური სარკეები გამოიყენება მძლავრ პროჟექტორებში და მანქანის ფარებში. ჰიპერბოლა არის მრავალი მნიშვნელოვანი ფიზიკური ურთიერთობის გრაფიკი, როგორიცაა ბოილის კანონი (რომელიც აკავშირებს იდეალური გაზის წნევასა და მოცულობას) და ომის კანონი, რომელიც განსაზღვრავს ელექტრულ დენს, როგორც მუდმივი ძაბვის წინააღმდეგობის ფუნქციას.

ადრეული ისტორია

კონუსური მონაკვეთების აღმომჩენი, სავარაუდოდ, მენეხმუსი (ძვ. წ. IV ს.), პლატონის მოწაფე და ალექსანდრე მაკედონელის მასწავლებელია. მენექმუსმა გამოიყენა პარაბოლა და ტოლფერდა ჰიპერბოლა კუბის გაორმაგების პრობლემის გადასაჭრელად.

არისტაოსისა და ევკლიდეს მიერ IV საუკუნის ბოლოს დაწერილი ტრაქტატები კონუსურ მონაკვეთებზე. ძვ.წ, დაიკარგა, მაგრამ მათგან მასალები შეიტანეს ცნობილში კონუსური სექციებიაპოლონიუს პერგაელი (დაახლ. ძვ. წ. 260-170 წწ.), რომლებიც ჩვენს დრომდეა მოღწეული. აპოლონიუსმა მიატოვა მოთხოვნა, რომ კონუსის გენერატრიქსის სეკანტური სიბრტყე იყოს პერპენდიკულარული და, მისი დახრილობის კუთხის ცვლილებით, მიიღო ყველა კონუსური მონაკვეთი ერთი წრიული კონუსისგან, სწორი ან დახრილი. ჩვენ ასევე გვმართებს აპოლონიუსს მრუდების თანამედროვე სახელები - ელიფსი, პარაბოლა და ჰიპერბოლა.

თავის კონსტრუქციებში აპოლონიუსმა გამოიყენა ორფურცლიანი წრიული კონუსი (როგორც ნახ. 1-ში), ასე რომ, პირველად გაირკვა, რომ ჰიპერბოლა არის მრუდი ორი განშტოებით. აპოლონიუსის დროიდან მოყოლებული, კონუსური მონაკვეთები იყოფა სამ ტიპად, რაც დამოკიდებულია ჭრის სიბრტყის დახრილობაზე კონუსის გენერატრიქსზე. ელიფსი (ნახ. 1, ა) წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატრიქსს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში; პარაბოლა (ნახ. 1, ბ) - როდესაც ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი ტანგენტური სიბრტყის პარალელურად; ჰიპერბოლა (ნახ. 1, in) - როცა საჭრელი სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე ღრუს.

კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა

კონუსური მონაკვეთების, როგორც სიბრტყეების და კონუსების გადაკვეთის შესწავლისას, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები მათ ასევე განიხილავდნენ, როგორც სიბრტყეზე წერტილების ტრაექტორიებს. აღმოჩნდა, რომ ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების ლოკუსი, მანძილების ჯამი, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია; პარაბოლა - როგორც მოცემული წერტილიდან და მოცემული წრფედან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი; ჰიპერბოლა - როგორც წერტილების ლოკუსი, დისტანციების სხვაობა, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე მუდმივია.

კონუსური მონაკვეთების ეს განმარტებები, როგორც სიბრტყე მრუდები, ასევე გვთავაზობს მათი აგების გზას დაჭიმული ძაფის გამოყენებით.

ელიფსი.

თუ მოცემული სიგრძის ძაფის ბოლოები ფიქსირდება წერტილებზე ფ 1 და ფ 2 (ნახ. 2), შემდეგ მჭიდროდ დაჭიმული ძაფის გასწვრივ მცურავი ფანქრის წვერით აღწერილ მრუდს აქვს ელიფსის ფორმა. ქულები ფ 1 და ფ 2 ეწოდება ელიფსის კერებს და სეგმენტებს ვ 1 ვ 2 და ვ 1 ვ 2 ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს შორის კოორდინატთა ღერძებთან - ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ ქულები ფ 1 და ფ 2 ემთხვევა, შემდეგ ელიფსი იქცევა წრედ.

ჰიპერბოლა.

ჰიპერბოლის აგებისას წერტილი პ, ფანქრის წვერი, ფიქსირდება ძაფზე, რომელიც თავისუფლად სრიალებს წერტილებზე დაყენებული კალმების გასწვრივ ფ 1 და ფ 2, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3, ა. დისტანციები არჩეულია ისე, რომ სეგმენტი PF 2 უფრო გრძელია ვიდრე სეგმენტი PF 1 ფიქსირებული ოდენობით ნაკლები მანძილით ფ 1 ფ 2. ამ შემთხვევაში, ძაფის ერთი ბოლო გადის სამაგრის ქვეშ ფ 1 და ძაფის ორივე ბოლო გადის კალთაზე ფ 2. (ფანქრის წვერი არ უნდა სრიალდეს ძაფის გასწვრივ, ასე რომ თქვენ უნდა გაასწოროთ ის ძაფზე პატარა მარყუჟის გაკეთებით და მასში წვერი ჩასვით.) ჰიპერბოლის ერთი ტოტი ( PV 1 ქ) ვხატავთ, დავრწმუნდებით, რომ ძაფი ყოველთვის დაჭიმული რჩება და ძაფის ორივე ბოლო წერტილის გვერდით ქვევით ვწევთ ფ 2 და როცა წერტილი პხაზის ქვემოთ იქნება ფ 1 ფ 2, დაიჭირეთ ძაფი ორივე ბოლოზე და ფრთხილად შეამსუბუქეთ (ანუ გაათავისუფლეთ). ჰიპერბოლის მეორე განშტოება ( პў ვ 2 ქў) ჩვენ ვხატავთ, მანამდე რომ შევცვალეთ ჯოხების როლები ფ 1 და ფ 2 .

ჰიპერბოლის ტოტები უახლოვდება ორ სწორ ხაზს, რომლებიც იკვეთება ტოტებს შორის. ეს ხაზები, რომლებსაც ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება, აგებულია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 3, ბ. ამ ხაზების ფერდობებია ± ( ვ 1 ვ 2)/(ვ 1 ვ 2), სადაც ვ 1 ვ 2 - ასიმპტოტებს შორის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, სეგმენტის პერპენდიკულარული ფ 1 ფ 2; ხაზის სეგმენტი ვ 1 ვ 2 ეწოდება ჰიპერბოლის კონიუგატ ღერძს და სეგმენტს ვ 1 ვ 2 - მისი განივი ღერძი. ასე რომ, ასიმპტოტები არის ოთხკუთხედის დიაგონალები, რომელთა გვერდები გადის ოთხ წერტილს ვ 1 , ვ 2 , ვ 1 , ვ 2 ცულების პარალელურად. ამ მართკუთხედის ასაგებად, თქვენ უნდა მიუთითოთ წერტილების მდებარეობა ვ 1 და ვ 2. ისინი იმავე მანძილზე არიან, ტოლი

ღერძების გადაკვეთის ადგილიდან ო. ეს ფორმულა გულისხმობს მართკუთხა სამკუთხედის აგებას ფეხებით ოვ 1 და ვ 2 ოდა ჰიპოტენუზა ფ 2 ო.

თუ ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ორ ჰიპერბოლას, რომლებსაც აქვთ საერთო ასიმპტოტები, მაგრამ გადალაგებული განივი და კონიუგირებული ღერძებით, ორმხრივ კონიუგატებს უწოდებენ.

პარაბოლა.

ელიფსის და ჰიპერბოლის კერები ცნობილი იყო აპოლონიუსისთვის, მაგრამ პარაბოლის ფოკუსი, როგორც ჩანს, პირველად დაადგინა პაპუსმა (მე-3 საუკუნის II ნახევარი), რომელმაც ეს მრუდი განსაზღვრა, როგორც მოცემული წერტილიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი. ფოკუსი) და მოცემული სწორი ხაზი, რომელსაც რეჟისორი ეწოდება. პარაბოლის აგება დაჭიმული ძაფის გამოყენებით, პაპუსის განმარტებაზე დაყრდნობით, შემოთავაზებულია ისიდორე მილეტელის მიერ (VI საუკუნე). განათავსეთ სახაზავი ისე, რომ მისი კიდე ემთხვევა დირექტიკას LLў (ნახ. 4) და მიამაგრეთ ფეხი ამ კიდეზე ACსამკუთხედის დახატვა ABC. ძაფის ერთ ბოლოს ვამაგრებთ სიგრძით ABზევით ბსამკუთხედი და მეორე პარაბოლის ფოკუსში ფ. ძაფის გაჭიმვა ფანქრის წვერით, დაჭერით წვერი ცვლად წერტილზე პთავისუფალ სკეიტამდე ABსამკუთხედის დახატვა. როდესაც სამკუთხედი მოძრაობს მმართველის გასწვრივ, წერტილი პაღწერს პარაბოლის რკალს ფოკუსით ფდა დირექტორი LL• ვინაიდან ძაფის მთლიანი სიგრძე უდრის ABძაფის სეგმენტი სამკუთხედის თავისუფალ ფეხის გვერდით არის და, შესაბამისად, ძაფის დარჩენილი სეგმენტი PFუნდა იყოს ტოლი დანარჩენი ფეხის AB, ე.ი. PA. გადაკვეთის წერტილი ვპარაბოლას ღერძით ეწოდება პარაბოლის წვერო, მასზე გამავალი სწორი ხაზი ფდა ვ, არის პარაბოლის ღერძი. თუ ღერძზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზი გავლებულია ფოკუსში, მაშინ პარაბოლით მოწყვეტილ ამ სწორი ხაზის სეგმენტს ფოკუსური პარამეტრი ეწოდება. ელიფსისთვის და ჰიპერბოლისთვის, ფოკალური პარამეტრი განისაზღვრება ანალოგიურად.

კონუსური მონაკვეთების თვისებები

პაპუსის განმარტებები.

პარაბოლის ფოკუსის დადგენამ პაპუსი მიიყვანა იდეამდე, მიეწოდებინა ზოგადად კონუსური მონაკვეთების ალტერნატიული განმარტება. დაე იყოს ფარის მოცემული წერტილი (ფოკუსი), და ლარის მოცემული სწორი ხაზი (directrix), რომელიც არ გადის ფ, და დ ფდა დ ლ- მანძილი მოძრავი წერტილიდან პფოკუსირება ფდა რეჟისორები ლშესაბამისად. შემდეგ, როგორც პაპმა აჩვენა, კონუსური მონაკვეთები განისაზღვრება, როგორც წერტილების ლოკუსი პ, რისთვისაც შეფარდება დ ფ/დ ლარის არაუარყოფითი მუდმივი. ამ თანაფარდობას ექსცენტრიულობა ეწოდება ეკონუსური განყოფილება. ზე ე e > 1 არის ჰიპერბოლა; ზე ე= 1 არის პარაბოლა. Თუ ფწევს ლ, მაშინ ლოკუსს აქვს ხაზების ფორმა (რეალური ან წარმოსახვითი), რომლებიც წარმოადგენენ დეგენერაციულ კონუსურ მონაკვეთებს.

ელიფსის და ჰიპერბოლის თვალსაჩინო სიმეტრია ვარაუდობს, რომ თითოეულ ამ მრუდს აქვს ორი მიმართულება და ორი ფოკუსი, და ამ გარემოებამ მიიყვანა კეპლერი 1604 წელს იმ აზრამდე, რომ პარაბოლას ასევე აქვს მეორე ფოკუსი და მეორე მიმართულება - წერტილი უსასრულობაში და სწორი. ანალოგიურად, წრე შეიძლება ჩაითვალოს ელიფსად, რომლის კერები ემთხვევა ცენტრს, ხოლო მიმართულებები უსასრულობაშია. ექსცენტრიულობა ეამ შემთხვევაში არის ნული.

დენდელინის დიზაინი.

კონუსური მონაკვეთის ფოკუსები და მიმართულებები შეიძლება ნათლად იყოს ნაჩვენები კონუსში ჩაწერილი სფეროების გამოყენებით, რომლებსაც უწოდებენ დანდელინის სფეროებს (ბურთებს) ბელგიელი მათემატიკოსისა და ინჟინრის ჯ. დანდელინის (1794–1847) საპატივცემულოდ, რომელმაც შემოგვთავაზა შემდეგი კონსტრუქცია. დაე, კონუსური მონაკვეთი ჩამოყალიბდეს რომელიმე სიბრტყის გადაკვეთით გვორი ღრუს მარჯვენა წრიული კონუსით, მწვერვალით წერტილში ო. ამ კონუსში ჩავწეროთ ორი სფერო ს 1 და ს 2 რომელიც ეხება თვითმფრინავს გვწერტილებში ფ 1 და ფ 2 შესაბამისად. თუ კონუსური მონაკვეთი არის ელიფსი (ნახ. 5, ა), მაშინ ორივე სფერო ერთსა და იმავე ღრუშია: ერთი სფერო მდებარეობს სიბრტყის ზემოთ გვხოლო მეორე მის ქვემოთ. კონუსის თითოეული გენერაცია ეხება ორივე სფეროს და შეხების წერტილს აქვს ორი წრის ფორმა C 1 და C 2 მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში გვ 1 და გვ 2. დაე იყოს პარის თვითნებური წერტილი კონუსურ მონაკვეთზე. მოდით დავხატოთ პირდაპირ PF 1 , PF 2 და გააფართოვეთ ხაზი PO. ეს ხაზები ტანგენსია წერტილებზე არსებულ სფეროებზე ფ 1 , ფ 2 და რ 1 , რ 2. ვინაიდან ერთი წერტილიდან სფეროზე მიზიდული ყველა ტანგენტი ტოლია, მაშინ PF 1 = პიარი 1 და PF 2 = პიარი 2. აქედან გამომდინარე, PF 1 + PF 2 = პიარი 1 + პიარი 2 = რ 1 რ 2. თვითმფრინავებიდან მოყოლებული გვ 1 და გვ 2 პარალელური, სეგმენტი რ 1 რ 2 არის მუდმივი სიგრძე. ამრიგად, ღირებულება პიარი 1 + პიარი 2 იგივეა ყველა წერტილის პოზიციისთვის პდა მიუთითეთ პმიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომლიდანაც მანძილების ჯამი პადრე ფ 1 და ფ 2 არის მუდმივი. ამიტომ, ქულები ფ 1 და ფ 2 - ელიფსური მონაკვეთის კერები. გარდა ამისა, შეიძლება აჩვენოს, რომ ხაზები, რომელთა გასწვრივ თვითმფრინავი გვკვეთს თვითმფრინავს გვ 1 და გვ 2, არის აგებული ელიფსის მიმართულებები. Თუ გვკვეთს კონუსის ორივე ღრუს (სურ. 5, ბ), შემდეგ დანდელინის ორი სფერო დევს თვითმფრინავის იმავე მხარეს გვ, თითო სფერო კონუსის თითოეულ ღრუში. ამ შემთხვევაში, განსხვავება PF 1 და PF 2 მუდმივია და წერტილების ლოკუსი პაქვს ჰიპერბოლის ფორმა კერებით ფ 1 და ფ 2 და სწორი ხაზები - გადაკვეთის ხაზები გვთან გვ 1 და გვ 2 - როგორც რეჟისორები. თუ კონუსური მონაკვეთი არის პარაბოლა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 5, in, მაშინ კონუსში მხოლოდ ერთი დანდელინის სფერო შეიძლება ჩაიწეროს.

სხვა თვისებები.

კონუსური მონაკვეთების თვისებები მართლაც ამოუწურავია და ნებისმიერი მათგანი შეიძლება ჩაითვალოს გადამწყვეტად. მნიშვნელოვანი ადგილი მათემატიკური შეხვედრაპაპა (დაახლოებით 300), გეომეტრიებიდეკარტი (1637) და საწყისებინიუტონი (1687) შეშფოთებულია ოთხი წრფის მიმართ წერტილების ლოკუსის პრობლემასთან. თუ თვითმფრინავზე მოცემულია ოთხი სწორი ხაზი ლ 1 , ლ 2 , ლ 3 და ლ 4 (აქედან ორი შეიძლება ემთხვეოდეს) და წერტილი პარის ისეთი, რომ მანძილების ნამრავლი პადრე ლ 1 და ლ 2 პროპორციულია მანძილების ნამრავლის პადრე ლ 3 და ლ 4, შემდეგ წერტილების ლოკუსი პარის კონუსური მონაკვეთი. დეკარტმა შეცდომით მიიჩნია, რომ აპოლონიუსმა და პაპუსმა ვერ გადაჭრეს წერტილების ლოკუსის პრობლემა ოთხი წრფის მიმართ, დეკარტმა ამონახსნის მისაღებად და მისი განზოგადების მიზნით შექმნა ანალიტიკური გეომეტრია.

ანალიტიკური მიდგომა

ალგებრული კლასიფიკაცია.

ალგებრული თვალსაზრისით, კონუსური მონაკვეთები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სიბრტყე მრუდები, რომელთა დეკარტის კოორდინატები აკმაყოფილებს მეორე ხარისხის განტოლებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველა კონუსური მონაკვეთის განტოლება შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით, როგორც

სადაც არა ყველა კოეფიციენტი ა, ბდა Cნულის ტოლია. ღერძების პარალელური გადაყვანისა და ბრუნვის დახმარებით, განტოლება (1) შეიძლება ჩამოყალიბდეს ფორმამდე

ნაჯახი 2 + მიერ 2 + გ = 0

px 2 + qy = 0.

პირველი განტოლება მიღებულია (1) განტოლებიდან ბ 2 № AC, მეორე - ზე ბ 2 = AC. კონუსურ მონაკვეთებს, რომელთა განტოლებები დაყვანილია პირველ ფორმამდე, ეწოდება ცენტრალური. კონუსური მონაკვეთები, რომლებიც მოცემულია მეორე ტიპის განტოლებით ქ No 0, უწოდებენ არაცენტრალურს. ამ ორ კატეგორიაში არის ცხრა სხვადასხვა ტიპის კონუსური განყოფილება, რაც დამოკიდებულია კოეფიციენტების ნიშნებზე.

2831) ი ა, ბდა გაქვს იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილები, რომელთა კოორდინატები დააკმაყოფილებენ განტოლებას. ასეთ კონუსურ მონაკვეთს წარმოსახვითი ელიფსი ეწოდება (ან წარმოსახვითი წრე თუ ა = ბ).

2) თუ ადა ბაქვს ერთი ნიშანი და გ- მოპირდაპირე, მაშინ კონუსური მონაკვეთი არის ელიფსი (ნახ. 1, ა); ზე ა = ბ- წრე (ნახ. 6, ბ).

3) თუ ადა ბაქვს სხვადასხვა ნიშნები, მაშინ კონუსური მონაკვეთი არის ჰიპერბოლა (ნახ. 1, in).

4) თუ ადა ბაქვს სხვადასხვა ნიშნები და გ= 0, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზისგან (ნახ. 6, ა).

5) თუ ადა ბაქვს ერთი ნიშანი და გ= 0, მაშინ მრუდზე არის მხოლოდ ერთი რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას, ხოლო კონუსური მონაკვეთი არის ორი წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზი. ამ შემთხვევაში ასევე საუბარია ელიფსზე შეკუმშულ წერტილამდე ან, თუ ა = ბ, შეკუმშული წრის წერტილამდე (ნახ. 6, ბ).

6) თუ რომელიმე ა, ან ბუდრის ნულს, ხოლო დანარჩენ კოეფიციენტებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი პარალელური ხაზისგან.

7) თუ რომელიმე ა, ან ბუდრის ნულს, ხოლო დანარჩენ კოეფიციენტებს აქვთ იგივე ნიშანი, მაშინ არ არსებობს რეალური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი წარმოსახვითი პარალელური ხაზისგან.

8) თუ გ= 0 და ან ა, ან ბასევე ნულის ტოლია, მაშინ კონუსური მონაკვეთი შედგება ორი რეალური დამთხვევის ხაზისგან. (განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს ა = ბ= 0, რადგან ამ შემთხვევაში თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის.)

9) მეორე ტიპის განტოლებები განსაზღვრავს პარაბოლებს თუ გვდა ქგანსხვავდება ნულიდან. Თუ გვ No 0 და ქ= 0, ჩვენ ვიღებთ მრუდს მე-8 პუნქტიდან. თუ მეორე მხრივ, გვ= 0, მაშინ განტოლება არ განსაზღვრავს კონუსურ მონაკვეთს, რადგან თავდაპირველი განტოლება (1) არ არის მეორე ხარისხის.

კონუსური მონაკვეთების განტოლებების გამოყვანა.

ნებისმიერი კონუსური მონაკვეთი ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მრუდი, რომლის გასწვრივ სიბრტყე კვეთს კვადრატულ ზედაპირს, ე.ი. მეორე ხარისხის განტოლებით მოცემული ზედაპირით ვ (x, წ, ზ) = 0. როგორც ჩანს, კონუსური მონაკვეთები პირველად ამ ფორმით იქნა აღიარებული და მათი სახელები ( იხილეთ ქვემოთ) დაკავშირებულია იმასთან, რომ ისინი მიიღეს თვითმფრინავის კონუსთან გადაკვეთით ზ 2 = x 2 + წ 2. დაე იყოს Ა Ბ Გ Დ- მარჯვენა წრიული კონუსის ძირი (ნახ. 7) ზევით სწორი კუთხით ვ. გაუშვით თვითმფრინავი FDCკვეთს გენერაციას VBწერტილში ფ, ძირი სწორ ხაზზეა CDხოლო კონუსის ზედაპირი – მრუდის გასწვრივ DFPC, სად პარის მრუდის ნებისმიერი წერტილი. დახაზეთ სეგმენტის შუაში CD- წერტილი ე- პირდაპირი EFდა დიამეტრი AB. წერტილის მეშვეობით პდახაზეთ სიბრტყე კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც კვეთს კონუსს წრეში RPSდა პირდაპირი EFწერტილში ქ. მერე QFდა QPშეიძლება იქნას მიღებული, შესაბამისად, აბსცისისთვის xდა ორდინატი წქულები პ. შედეგად მიღებული მრუდი პარაბოლა იქნება.

კონსტრუქცია ნაჩვენებია ნახ. 7 შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონუსური მონაკვეთების ზოგადი განტოლებების გამოსატანად. პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძის კვადრატი, რომელიც აღდგენილია დიამეტრის ნებისმიერი წერტილიდან წრესთან კვეთამდე, ყოველთვის უდრის დიამეტრის სეგმენტების სიგრძის ნამრავლს. Ისე

წ 2 = RQჰ QS.

პარაბოლისთვის, სეგმენტი RQაქვს მუდმივი სიგრძე (რადგან წერტილის ნებისმიერი პოზიციისთვის პის უდრის სეგმენტს AE), და სეგმენტის სიგრძე QSპროპორციული x(ურთიერთობიდან QS/EB = QF/ფ.ე.). აქედან გამომდინარეობს, რომ

სადაც აარის მუდმივი კოეფიციენტი. ნომერი აგამოხატავს პარაბოლის ფოკუსური პარამეტრის სიგრძეს.

თუ კონუსის მწვერვალზე კუთხე მწვავეა, მაშინ სეგმენტი RQარ უდრის მოჭრას AE; მაგრამ თანაფარდობა წ 2 = RQჰ QSფორმის განტოლების ტოლფასია

სადაც ადა ბარის მუდმივები, ან, ღერძების გადატანის შემდეგ, განტოლებაზე

რომელიც არის ელიფსის განტოლება. ელიფსის გადაკვეთის წერტილები ღერძთან x (x = ადა x = –ა) და ელიფსის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები წ (წ = ბდა წ = –ბ) განსაზღვრეთ, შესაბამისად, ძირითადი და მცირე ღერძი. თუ კონუსის წვეროზე კუთხე ბლაგვია, მაშინ კონუსისა და სიბრტყის გადაკვეთის მრუდს აქვს ჰიპერბოლის ფორმა, ხოლო განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას:

ან ცულების გადაადგილების შემდეგ,

ამ შემთხვევაში, ღერძთან გადაკვეთის წერტილები x, მოცემული მიმართებით x 2 = ა 2, განსაზღვრეთ განივი ღერძი და ღერძთან გადაკვეთის წერტილები წ, მოცემული მიმართებით წ 2 = –ბ 2 განსაზღვრეთ შეჯვარების ღერძი. თუ მუდმივი ადა ბგანტოლებაში (4a) ტოლია, მაშინ ჰიპერბოლას ეწოდება ტოლფერდა. ღერძების მობრუნებით მისი განტოლება მცირდება ფორმამდე

xy = კ.

ახლა (3), (2) და (4) განტოლებიდან შეგვიძლია გავიგოთ აპოლონიუსის მიერ მიცემული სახელების მნიშვნელობა სამი ძირითადი კონუსური მონაკვეთისთვის. ტერმინები "ელიფსი", "პარაბოლა" და "ჰიპერბოლა" მომდინარეობს ბერძნული სიტყვებიდან, რაც ნიშნავს "ნაკლოვანებას", "თანაბარს" და "უმაღლესს". (3), (2) და (4) განტოლებიდან ირკვევა, რომ ელიფსისთვის წ 2 b 2 / ა) xპარაბოლისთვის წ 2 = (ა) xდა ჰიპერბოლისთვის წ 2 > (2ბ 2 /ა) x. თითოეულ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩასმული მნიშვნელობა მრუდის ფოკუსური პარამეტრის ტოლია.

თავად აპოლონიუსმა განიხილა კონუსური მონაკვეთების მხოლოდ სამი ზოგადი ტიპი (ტიპები 2, 3 და 9 ზემოთ ჩამოთვლილი), მაგრამ მისი მიდგომა აღიარებს განზოგადებას, რომელიც საშუალებას აძლევს განიხილოს ყველა რეალური მეორე რიგის მრუდი. თუ ჭრის თვითმფრინავი არჩეულია კონუსის წრიული ბაზის პარალელურად, მაშინ მონაკვეთი იქნება წრე. თუ საჭრელ სიბრტყეს აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი კონუსთან, მისი წვერო, მაშინ მიიღება მე-5 ტიპის მონაკვეთი; თუ ის შეიცავს წვეროს და კონუსზე ტანგენტს, მაშინ ვიღებთ მე-8 ტიპის მონაკვეთს (ნახ. 6, ბ); თუ საჭრელი სიბრტყე შეიცავს კონუსის ორ გენერატორს, მაშინ მონაკვეთში მიიღება მე-4 ტიპის მრუდი (ნახ. 6, ა); როდესაც წვერო გადადის უსასრულობაში, კონუსი იქცევა ცილინდრად, ხოლო თუ თვითმფრინავი შეიცავს ორ გენერატორს, მაშინ მიიღება მე-6 ტიპის მონაკვეთი.

დახრილი კუთხიდან დათვალიერებისას წრე ელიფსს ჰგავს. არქიმედესთვის ცნობილი წრესა და ელიფსს შორის ცხადი ხდება თუ წრე X 2 + ი 2 = ა 2 ჩანაცვლების გამოყენებით X = x, ი = (ა/ბ) წგარდაქმნას ელიფსად მოცემული განტოლებით (3a). ტრანსფორმაცია X = x, ი = (აი/ბ) წ, სად მე 2 = –1, საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ წრის განტოლება (4a) სახით. ეს გვიჩვენებს, რომ ჰიპერბოლა შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ელიფსი წარმოსახვითი მცირე ღერძით, ან, პირიქით, ელიფსი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ჰიპერბოლა წარმოსახვითი კონიუგატური ღერძით.

წრის ორდინატებს შორის ურთიერთობა x 2 + წ 2 = ა 2 და ელიფსი ( x 2 /ა 2) + (წ 2 /ბ 2) = 1 მივყავართ პირდაპირ არქიმედეს ფორმულამდე ა = გვ აბელიფსის ფართობისთვის. კეპლერმა იცოდა სავარაუდო ფორმულა გვ(ა + ბ) ელიფსის პერიმეტრზე წრესთან ახლოს, მაგრამ ზუსტი გამოხატულება მიიღეს მხოლოდ მე -18 საუკუნეში. ელიფსური ინტეგრალების შემოღების შემდეგ. როგორც არქიმედესმა აჩვენა, პარაბოლური სეგმენტის ფართობი არის ჩაწერილი სამკუთხედის ფართობის ოთხი მესამედი, მაგრამ პარაბოლის რკალის სიგრძის დათვლა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში შეიძლებოდა. გამოიგონეს დიფერენციალური გამოთვლები.

პროექციული მიდგომა

პროექციული გეომეტრია მჭიდროდ არის დაკავშირებული პერსპექტივის აგებასთან. თუ წრეს დახატავთ გამჭვირვალე ფურცელზე და განათავსებთ მას სინათლის წყაროს ქვეშ, მაშინ ეს წრე დაპროექტდება ქვემოთ მოცემულ სიბრტყეზე. ამ შემთხვევაში, თუ სინათლის წყარო მდებარეობს წრის ცენტრის პირდაპირ ზემოთ, ხოლო სიბრტყე და გამჭვირვალე ფურცელი პარალელურია, მაშინ პროექციაც იქნება წრე (ნახ. 8). სინათლის წყაროს პოზიციას გაქრობის წერტილი ეწოდება. იგი აღინიშნება ასოთი ვ. Თუ ვმდებარეობს წრის ცენტრის ზემოთ, ან თუ სიბრტყე არ არის ფურცლის პარალელურად, მაშინ წრის პროექცია იღებს ელიფსის ფორმას. სიბრტყის კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, ელიფსის მთავარი ღერძი (წრის პროექცია) გრძელდება და ელიფსი თანდათან პარაბოლად იქცევა; სწორი ხაზის პარალელურ სიბრტყეზე VP, პროექცია პარაბოლას ჰგავს; კიდევ უფრო დიდი დახრილობით, პროექცია ჰიპერბოლის ერთ-ერთი განშტოების ფორმას იღებს.

თავდაპირველი წრის თითოეული წერტილი შეესაბამება პროექციის გარკვეულ წერტილს. თუ პროექციას აქვს პარაბოლის ან ჰიპერბოლის ფორმა, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ წერტილის შესაბამისი წერტილი პ, არის უსასრულობაში ან უსასრულობაში.

როგორც ვნახეთ, გაქრობის წერტილების შესაფერისი არჩევანით, წრე შეიძლება დაპროექტდეს სხვადასხვა ზომის და სხვადასხვა ექსცენტრიულობის ელიფსებად, ხოლო ძირითადი ღერძების სიგრძე პირდაპირ არ არის დაკავშირებული დაპროექტებული წრის დიამეტრთან. მაშასადამე, პროექციული გეომეტრია თავისთავად არ ეხება დისტანციებს ან სიგრძეებს, მისი ამოცანაა შეისწავლოს სიგრძეთა თანაფარდობა, რომელიც შენარჩუნებულია პროექციის ქვეშ. ეს კავშირი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი კონსტრუქციის გამოყენებით. ნებისმიერი წერტილის გავლით პსიბრტყეზე ვხატავთ ორ ტანგენტს ნებისმიერ წრეზე და შეხების წერტილებს ვაკავშირებთ სწორი ხაზით გვ. წერტილის გავლით კიდევ ერთი ხაზი პ, კვეთს წრეს წერტილებში C 1 და C 2, მაგრამ სწორი ხაზი გვ- წერტილში ქ(ნახ. 9). პლანიმეტრია ამას ადასტურებს კომპიუტერი 1 /კომპიუტერი 2 = –QC 1 /QC 2. (მინუს ნიშანი ჩნდება სეგმენტის მიმართულების გამო QC 1 სხვა სეგმენტების მიმართულებების საპირისპიროდ.) სხვა სიტყვებით, წერტილები პდა ქგაყავით სეგმენტი C 1 C 2 გარეგნულად და შინაგანად იმავე თვალსაზრისით; ისინი ასევე ამბობენ, რომ ოთხი სეგმენტის ჰარმონიული თანაფარდობა არის - 1. თუ წრე დაპროექტებულია კონუსურ მონაკვეთში და იგივე აღნიშვნები ინახება შესაბამისი წერტილებისთვის, მაშინ ჰარმონიული თანაფარდობა ( კომპიუტერი 1)(QC 2)/(კომპიუტერი 2)(QC 1) ტოლი დარჩება - 1. ქულა პხაზის ბოძს უწოდებენ გვკონუსური მონაკვეთის და სწორი ხაზის მიმართ გვ- პოლარული წერტილი პკონუსური მონაკვეთის მიმართ.

როცა წერტილი პუახლოვდება კონუსურ მონაკვეთს, პოლარი მიდრეკილია დაიკავოს ტანგენტის პოზიცია; თუ წერტილი პდევს კონუსურ მონაკვეთზე, შემდეგ მისი პოლარი ემთხვევა წერტილში კონუსურ მონაკვეთზე ტანგენტს პ. თუ წერტილი პმდებარეობს კონუსური მონაკვეთის შიგნით, მაშინ მისი პოლარული შეიძლება აშენდეს შემდეგნაირად. მოდით გავიაროთ წერტილი პნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ წერტილში; გადაკვეთის წერტილებში კონუსურ მონაკვეთზე ტანგენტების დახატვა; დავუშვათ, რომ ეს ტანგენტები იკვეთება წერტილში პერთი . მოდით გავიაროთ წერტილი პკიდევ ერთი სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს კონუსურ მონაკვეთს ორ სხვა წერტილში; დავუშვათ, რომ კონუსური მონაკვეთის ტანგენტები ამ ახალ წერტილებში იკვეთება წერტილში პ 2 (სურ. 10). ხაზი, რომელიც გადის წერტილებს პ 1 და პ 2 , და არის სასურველი პოლარი გვ. თუ წერტილი პცენტრს უახლოვდება ოცენტრალური კონუსური მონაკვეთი, შემდეგ პოლარული გვშორდება ო. როცა წერტილი პემთხვევა ო, მაშინ მისი პოლარული ხდება უსასრულობაში, ანუ იდეალური, პირდაპირ სიბრტყეზე.

სპეციალური შენობები

ასტრონომებისთვის განსაკუთრებით საინტერესოა ელიფსის წერტილების შემდეგი მარტივი აგებულება კომპასისა და სტრიქონის გამოყენებით. დაუშვით თვითნებური ხაზი, რომელიც გადის წერტილს ო(ნახ. 11, ა), იკვეთება წერტილებში ქდა რორი კონცენტრული წრე, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე ოდა რადიუსები ბდა ა, სად ბა. მოდით გავიაროთ წერტილი ქჰორიზონტალური ხაზი და რ- ვერტიკალური ხაზი და აღნიშნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი პ პსწორი ბრუნვისას OQRწერტილის გარშემო ოელიფსი იქნება. ინექცია ვხაზს შორის OQRდა მთავარ ღერძს ეწოდება ექსცენტრიული კუთხე, ხოლო აგებული ელიფსი მოხერხებულად არის მითითებული პარამეტრული განტოლებებით x = ა cos ვ, წ = ბცოდვა ვ. პარამეტრის გამოკლებით ვ, ვიღებთ განტოლებას (3a).

ჰიპერბოლისთვის, კონსტრუქცია დიდწილად მსგავსია. თვითნებური ხაზი, რომელიც გადის წერტილს ო, კვეთს ორი წრედან ერთ-ერთ წერტილს რ(ნახ. 11, ბ). აზრამდე რერთი წრე და ბოლო წერტილი სსხვა წრის ჰორიზონტალური დიამეტრი, ჩვენ ვხატავთ გადამკვეთ ტანგენტებს OSწერტილში თდა ან- წერტილში ქ. დაუშვით წერტილის გავლით ვერტიკალური ხაზი თდა წერტილის გავლით ჰორიზონტალური ხაზი ქ, იკვეთება წერტილში პ. შემდეგ წერტილების ლოკუსი პსეგმენტის ბრუნვისას ანირგვლივ ოიქნება ჰიპერბოლა მოცემული პარამეტრული განტოლებებით x = აწმ ვ, წ = ბტგ ვ, სად ვ- ექსცენტრიული კუთხე. ეს განტოლებები მიიღო ფრანგმა მათემატიკოსმა ა. ლეჟანდრიმ (1752–1833). პარამეტრის გამორიცხვით ვ, ვიღებთ განტოლებას (4a).

ელიფსი, როგორც აღნიშნა ნ.კოპერნიკმა (1473-1543), შეიძლება აშენდეს ეპიციკლური მოძრაობის გამოყენებით. თუ წრე ტრიალებს ორჯერ დიამეტრის სხვა წრის შიგნით სრიალის გარეშე, მაშინ თითოეული წერტილი პ, რომელიც არ იწვა უფრო პატარა წრეზე, არამედ დამაგრებულია მასთან შედარებით, აღწერს ელიფსს. თუ წერტილი პარის პატარა წრეზე, მაშინ ამ წერტილის ტრაექტორია არის ელიფსის გადაგვარებული შემთხვევა - უფრო დიდი წრის დიამეტრი. ელიფსის კიდევ უფრო მარტივი კონსტრუქცია შემოგვთავაზა პროკლემ V საუკუნეში. თუ მთავრდება ადა ბსწორი ხაზის სეგმენტი ABმოცემული სიგრძის სრიალი ორი ფიქსირებული გადამკვეთი სწორი ხაზის გასწვრივ (მაგალითად, კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ), შემდეგ თითოეული შიდა წერტილი პსეგმენტი აღწერს ელიფსს; ჰოლანდიელმა მათემატიკოსმა ფ. ვან შოტენმა (1615–1660) აჩვენა, რომ გადამკვეთი ხაზების სიბრტყის ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ფიქსირებულია სრიალის სეგმენტთან მიმართებაში, ასევე აღწერს ელიფსს.

ბ.პასკალმა (1623-1662) 16 წლის ასაკში ჩამოაყალიბა ახლა უკვე ცნობილი პასკალის თეორემა, რომელიც ამბობს: რომელიმე კონუსურ მონაკვეთში ჩაწერილი ექვსკუთხედის მოპირდაპირე გვერდების გადაკვეთის სამი წერტილი დევს ერთ სწორ ხაზზე. პასკალმა ამ თეორემიდან 400-ზე მეტი დასკვნა გამოიტანა.

მეორე რიგის ზედაპირებიარის ზედაპირები, რომლებიც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განისაზღვრება მეორე ხარისხის ალგებრული განტოლებებით.

1. ელიფსოიდი.

ელიფსოიდი არის ზედაპირი, რომელიც ზოგიერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით:

განტოლება (1) ეწოდება ელიფსოიდის კანონიკური განტოლება.

დააყენეთ ელიფსოიდის გეომეტრიული ხედი. ამისათვის განვიხილოთ მოცემული ელიფსოიდის მონაკვეთები სიბრტყის პარალელურად სიბრტყეებით ოქსი.თითოეული ეს თვითმფრინავი განისაზღვრება ფორმის განტოლებით z=h, სად თ- ნებისმიერი რიცხვი და ხაზი, რომელიც მიიღება განყოფილებაში, განისაზღვრება ორი განტოლებით

(2)

მოდით შევისწავლოთ განტოლებები (2) სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის თ .

> გ(c>0), შემდეგ განტოლებები (2) ასევე განსაზღვრავს წარმოსახვით ელიფსს, ანუ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილებს z=hმოცემულ ელიფსოიდთან არ არსებობს. , მაშინ და ხაზი (2) გადაგვარდება წერტილებად (0; 0; + გ) და (0; 0; - გ) (თვითმფრინავები ეხებიან ელიფსოიდს). , მაშინ განტოლებები (2) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

საიდანაც გამოდის, რომ თვითმფრინავი z=hკვეთს ელიფსოიდს ელიფსის გასწვრივ ნახევარღერძებით

და . როგორც მნიშვნელობები მცირდება, იზრდება და მიაღწევს მათ მაქსიმალურ მნიშვნელობებს, ანუ ელიფსოიდის კვეთაზე კოორდინატთა სიბრტყით. ოქსიგამოდის ყველაზე დიდი ელიფსი ნახევარღერძებით და .

მსგავსი სურათი მიიღება, როდესაც მოცემული ზედაპირი იკვეთება კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელურად სიბრტყეებით Oxzდა ოიზ.

ამრიგად, განხილული მონაკვეთები შესაძლებელს ხდის ელიფსოიდის დახურულ ოვალურ ზედაპირად გამოსახვას (სურ. 156). რაოდენობები ა, ბ, გდაურეკა ღერძების ლილვებიელიფსოიდი. Როდესაც a=b=cელიფსოიდი არის სფეროე.

2. ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდი.

ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდი არის ზედაპირი, რომელიც ზოგიერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით (3)

განტოლებას (3) ეწოდება ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდის კანონიკური განტოლება.

დააყენეთ ზედაპირის ტიპი (3). ამისათვის განიხილეთ მონაკვეთი მისი კოორდინატთა სიბრტყეებით ოქსი (y=0)დაოქსი (x=0).ვიღებთ, შესაბამისად, განტოლებებს

და

ახლა განვიხილოთ მოცემული ჰიპერბოლოიდის მონაკვეთები z=h სიბრტყეებით კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად ოქსი. მონაკვეთში მიღებული ხაზი განისაზღვრება განტოლებებით

ან (4)

საიდანაც გამოდის, რომ z=h სიბრტყე კვეთს ჰიპერბოლოიდს ელიფსის გასწვრივ ნახევარღერძებით

და

მიაღწევს მათ ყველაზე დაბალ მნიშვნელობებს h=0-ზე, ე.ი. ამ ჰიპერბოლოიდის განყოფილებაში კოორდინატთა ღერძი Oxy წარმოქმნის უმცირეს ელიფსს ნახევრადღერძებით a*=a და b*=b. უსასრულო მატებით

a* და b* რაოდენობა უსასრულოდ იზრდება.

ამრიგად, განხილული სექციები შესაძლებელს ხდის ერთ ზოლიანი ჰიპერბოლოიდის გამოსახვას უსასრულო მილის სახით, რომელიც უსასრულოდ ფართოვდება ოქსის სიბრტყიდან მოშორებისას (ორივე მხრიდან).

a, b, c სიდიდეებს უწოდებენ ერთზოლიანი ჰიპერბოლოიდის ნახევრადღერძებს.

3. ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი.

ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი არის ზედაპირი, რომელიც ზოგიერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით

განტოლებას (5) ეწოდება ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის კანონიკური განტოლება.

დავადგინოთ ზედაპირის გეომეტრიული ფორმა (5). ამისათვის განიხილეთ მისი მონაკვეთები კოორდინატთა სიბრტყეებით Oxy და Oyz. ვიღებთ, შესაბამისად, განტოლებებს

და

საიდანაც გამოდის, რომ სექციებში მიიღება ჰიპერბოლები.

ახლა განვიხილოთ მოცემული ჰიპერბოლოიდის მონაკვეთები z=h სიბრტყეებით Oxy კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად. მონაკვეთში მიღებული ხაზი განისაზღვრება განტოლებებით

ან (6)

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

>c (c>0) z=h სიბრტყე კვეთს ჰიპერბოლოიდს ელიფსის გასწვრივ ნახევარღერძებით და . როგორც მნიშვნელობა იზრდება, ასევე იზრდება a* და b*. განტოლებები (6) კმაყოფილდება მხოლოდ ორი წერტილის კოორდინატებით: (0; 0; + გ) და (0; 0; - გ) (სიბრტყეები ეხებიან მოცემულ ზედაპირს). განტოლებები (6) განსაზღვრავს წარმოსახვით ელიფსს, ე.ი. არ არსებობს z=h სიბრტყის გადაკვეთის წერტილები მოცემულ ჰიპერბოლოიდთან.

a, b და c რაოდენობას ეწოდება ორფურცლიანი ჰიპერბოლოიდის ნახევარღერძი.

4. ელიფსური პარაბოლოიდი.

ელიფსური პარაბოლოიდი არის ზედაპირი, რომელიც ზოგიერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით

(7)

სადაც p>0 და q>0.

განტოლებას (7) ეწოდება ელიფსური პარაბოლოიდის კანონიკური განტოლება.

განვიხილოთ მოცემული ზედაპირის მონაკვეთები კოორდინატთა სიბრტყეებით Oxy და Oyz. ვიღებთ, შესაბამისად, განტოლებებს

და

საიდანაც ირკვევა, რომ მონაკვეთებში მიიღება პარაბოლები, სიმეტრიული ოზის ღერძის მიმართ, საწყისზე წვეროებით. (რვა)

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ . როგორც h იზრდება, ასევე იზრდება a და b; h=0-სთვის ელიფსი გადაგვარდება წერტილად (სიბრტყე z=0 ეხება მოცემულ ჰიპერბოლოიდს). თ<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

ამრიგად, განხილული მონაკვეთები შესაძლებელს ხდის ელიფსური პარაბოლოიდის გამოსახვას უსასრულოდ ამოზნექილი თასის სახით.

წერტილს (0;0;0) ეწოდება პარაბოლოიდის წვერო; რიცხვები p და q მისი პარამეტრებია.

p=q-ის შემთხვევაში განტოლება (8) განსაზღვრავს ოზის ღერძზე ორიენტირებულ წრეს, ე.ი. ელიფსური პარაბოლოიდი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება პარაბოლის ბრუნვით მისი ღერძის გარშემო (რევოლუციის პარაბოლოიდი).

5. ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი.

ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი არის ზედაპირი, რომელიც ზოგიერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით

(9)

იმ განსხვავებით, რომ „ბრტყელი“ გრაფიკების ნაცვლად განვიხილავთ ყველაზე გავრცელებულ სივრცულ ზედაპირებს და ასევე ვისწავლით თუ როგორ სწორად ავაშენოთ ისინი ხელით. მე საკმაოდ დიდი ხანია ვეძებ პროგრამულ ინსტრუმენტებს 3D ნახატების შესაქმნელად და ვიპოვე რამდენიმე კარგი პროგრამა, მაგრამ გამოყენების სიმარტივის მიუხედავად, ეს პროგრამები კარგად არ წყვეტს მნიშვნელოვან პრაქტიკულ საკითხს. ფაქტია, რომ უახლოეს ისტორიულ მომავალში, სტუდენტები კვლავ იქნებიან შეიარაღებული სახაზავი ფანქრით და თუნდაც მაღალი ხარისხის "მანქანით" ნახატით, ბევრი ვერ შეძლებს სწორად გადაიტანოს ის ჭადრაკის ქაღალდზე. ამიტომ სასწავლო სახელმძღვანელოში განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა ხელით კონსტრუქციის ტექნიკას, ხოლო გვერდზე ილუსტრაციების მნიშვნელოვანი ნაწილი ხელნაკეთი პროდუქტია.

რით განსხვავდება ეს საცნობარო მასალა ანალოგებისგან?

ღირსეული პრაქტიკული გამოცდილებით, კარგად ვიცი, რომელ ზედაპირებს აგვარებენ ყველაზე ხშირად უმაღლესი მათემატიკის რეალურ პრობლემებს და ვიმედოვნებ, რომ ეს სტატია დაგეხმარებათ სწრაფად შეავსოთ თქვენი ბარგი შესაბამისი ცოდნით და გამოყენებითი უნარებით, რაც 90-95% შემთხვევაშია. საკმარისი უნდა იყოს.

რა უნდა იცოდეთ ახლა?

ყველაზე ელემენტარული:

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორად აშენებასივრცითი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (იხილეთ სტატიის დასაწყისი ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები) .

რას მიიღებთ ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ?

ბოთლი გაკვეთილის მასალების დაუფლების შემდეგ, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ სწრაფად განსაზღვროთ ზედაპირის ტიპი მისი ფუნქციით ან/და განტოლებით, წარმოიდგინოთ როგორ მდებარეობს იგი სივრცეში და, რა თქმა უნდა, გააკეთოთ ნახატები. კარგია, თუ ყველაფერი არ ჯდება თქვენს თავში პირველი წაკითხვის შემდეგ - ყოველთვის შეგიძლიათ მოგვიანებით დაუბრუნდეთ ნებისმიერ აბზაცს, როგორც საჭიროა.

ინფორმაცია ყველას ძალაშია - მისი განვითარებისთვის არ გჭირდებათ რაიმე სუპერ ცოდნა, განსაკუთრებული მხატვრული ნიჭი და სივრცითი ხედვა.

დაიწყე!

პრაქტიკაში, სივრცითი ზედაპირი ჩვეულებრივ მოცემულია ორი ცვლადის ფუნქციაან ფორმის განტოლება (მარჯვენა მხარის მუდმივი ყველაზე ხშირად ნულის ან ერთის ტოლია). პირველი აღნიშვნა უფრო დამახასიათებელია მათემატიკური ანალიზისთვის, მეორე - ამისთვის ანალიტიკური გეომეტრია. განტოლება, არსებითად, არის ირიბად მოცემული 2 ცვლადის ფუნქცია, რომელიც ტიპურ შემთხვევებში ადვილად შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე. შეგახსენებთ უმარტივეს მაგალითს c:

–სიბრტყის განტოლებაკეთილი.

არის თვითმფრინავის ფუნქცია ცალსახად .

დავიწყოთ ამით:

საერთო სიბრტყის განტოლებები

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში თვითმფრინავების მოწყობის ტიპიური ვარიანტები დეტალურად არის განხილული სტატიის დასაწყისში. სიბრტყის განტოლება. მიუხედავად ამისა, კიდევ ერთხელ შევჩერდებით განტოლებებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს პრაქტიკისთვის.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ სრულად უნდა ამოიცნოთ სიბრტყეების განტოლებები, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა სიბრტყეებთან. სიბრტყეების ფრაგმენტები სტანდარტულად გამოსახულია მართკუთხედების სახით, რომლებიც ბოლო ორ შემთხვევაში პარალელოგრამებს ჰგავს. ნაგულისხმევად, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი განზომილება (რა თქმა უნდა, გონივრულ საზღვრებში), მაშინ როდესაც სასურველია, რომ წერტილი, სადაც საკოორდინატო ღერძი "ხვრევს" სიბრტყეს, იყოს სიმეტრიის ცენტრი:


მკაცრად რომ ვთქვათ, კოორდინატთა ღერძები ზოგან წერტილოვანი ხაზით უნდა ყოფილიყო გამოსახული, მაგრამ დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად ამ ნიუანსს უგულებელყოფთ.

– (მარცხნივ ნახატი)უტოლობა განსაზღვრავს ჩვენგან ყველაზე შორს ნახევრად სივრცეს, თვით სიბრტყის გამოკლებით;

– (საშუალო ნახატი)უტოლობა განსაზღვრავს მარჯვენა ნახევარსივრცეს, სიბრტყის ჩათვლით;

– (მარჯვენა ნახატი)ორმაგი უტოლობა განსაზღვრავს "ფენას", რომელიც მდებარეობს სიბრტყეებს შორის, ორივე სიბრტყის ჩათვლით.

თვით ვარჯიშისთვის:

მაგალითი 1

დახატეთ თვითმფრინავებით შემოსაზღვრული სხეული
შეადგინეთ უტოლობების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს მოცემულ სხეულს.

ძველი ნაცნობი უნდა გამოვიდეს თქვენი ფანქრის ქვეშ კუბოიდური. არ დაგავიწყდეთ, რომ უხილავი კიდეები და სახეები უნდა იყოს დახატული წერტილოვანი ხაზით. დავასრულეთ ნახატი გაკვეთილის ბოლოს.

Არაფრის, ნუ უგულებელყოფთსასწავლო ამოცანები, თუნდაც ისინი ძალიან მარტივი ჩანდეს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ მათ ერთხელ გამოტოვეს, ორჯერ გამოტოვეს, შემდეგ კი ერთი საათი გაატარეს სამგანზომილებიანი ნახატის გასასწორებლად რაიმე რეალურ მაგალითში. გარდა ამისა, მექანიკური მუშაობა ხელს შეუწყობს მასალის ბევრად უფრო ეფექტურად შესწავლას და ინტელექტის განვითარებას! შემთხვევითი არ არის, რომ საბავშვო ბაღში და დაწყებით კლასებში ბავშვები დატვირთული არიან ნახატით, მოდელირებით, დიზაინერებით და სხვა დავალებებით თითების შესანიშნავი საავტომობილო უნარებისთვის. მაპატიეთ გადახვევისთვის, მაგრამ ჩემი ორი რვეული განვითარების ფსიქოლოგიაზე არ უნდა გაქრეს =)

ჩვენ პირობითად ვუწოდებთ თვითმფრინავების შემდეგ ჯგუფს "პირდაპირ პროპორციებს" - ეს არის თვითმფრინავები, რომლებიც გადიან კოორდინატთა ღერძებზე:

2) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძზე გამავალ სიბრტყეს;

3) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძზე გამავალ სიბრტყეს.

მიუხედავად იმისა, რომ ფორმალური ნიშანი აშკარაა (რომელი ცვლადი აკლია განტოლებას - სიბრტყე გადის ამ ღერძზე), ყოველთვის სასარგებლოა მიმდინარე მოვლენების არსის გაგება:

მაგალითი 2

თვითმფრინავის აშენება

რა არის აშენების საუკეთესო გზა? მე გთავაზობთ შემდეგ ალგორითმს:

პირველ რიგში, ჩვენ ხელახლა ვწერთ განტოლებას ფორმაში, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ "y" შეიძლება მიიღოს ნებისმიერიღირებულებები. ჩვენ ვაფიქსირებთ მნიშვნელობას, ანუ განვიხილავთ კოორდინატთა სიბრტყეს. განტოლებები მითითებული სივრცითი ხაზიმოცემულ კოორდინატულ სიბრტყეში წევს. მოდით დავხატოთ ეს ხაზი ნახაზზე. ხაზი გადის საწყისზე, ამიტომ მის ასაგებად საკმარისია ერთი წერტილის პოვნა. იყოს . გამოყავით წერტილი და დახაზეთ ხაზი.

ახლა დაუბრუნდით სიბრტყის განტოლებას. ვინაიდან „y“ იღებს ნებისმიერიმნიშვნელობები, მაშინ სიბრტყეში აგებული სწორი ხაზი განუწყვეტლივ „იმეორდება“ მარცხნივ და მარჯვნივ. ასე იქმნება ჩვენი თვითმფრინავი, რომელიც გადის ღერძზე. ნახაზის დასასრულებლად სწორი ხაზის მარცხნივ და მარჯვნივ გამოვყოფთ ორ პარალელურ ხაზს და სიმბოლურ პარალელოგრამს „ვხურავთ“ განივი ჰორიზონტალური სეგმენტებით:

ვინაიდან მდგომარეობა არ აწესებდა დამატებით შეზღუდვებს, თვითმფრინავის ფრაგმენტი შეიძლება გამოისახოს ოდნავ პატარა ან ოდნავ დიდი.

კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ სივრცითი წრფივი უტოლობის მნიშვნელობას მაგალითის გამოყენებით. როგორ განვსაზღვროთ ის ნახევარსივრცე, რომელსაც ის განსაზღვრავს? ავიღოთ წერტილი არ ფლობსსიბრტყე, მაგალითად, წერტილი ჩვენთან ყველაზე ახლოს ნახევარსივრციდან და ჩაანაცვლეთ მისი კოორდინატები უტოლობაში:

მიღებული სწორი უთანასწორობა, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობა განსაზღვრავს ქვედა (სიბრტყის მიმართ) ნახევრად სივრცეს, ხოლო თავად სიბრტყე არ შედის ამონახსნში.

მაგალითი 3

ააშენეთ თვითმფრინავები
ა) ;
ბ) .

ეს არის ამოცანები თვითმშენებლობისთვის, სირთულის შემთხვევაში გამოიყენეთ მსგავსი მსჯელობა. მოკლე ინსტრუქციები და ნახატები გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში განსაკუთრებით გავრცელებულია ღერძის პარალელურად სიბრტყეები. განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც თვითმფრინავი გადის ღერძზე, იყო მხოლოდ "ბ" პუნქტში და ახლა გავაანალიზებთ უფრო ზოგად პრობლემას:

მაგალითი 4

თვითმფრინავის აშენება

გადაწყვეტილება: ცვლადი "z" ცალსახად არ მონაწილეობს განტოლებაში, რაც ნიშნავს, რომ სიბრტყე პარალელურია აპლიკაციური ღერძის. მოდით გამოვიყენოთ იგივე ტექნიკა, როგორც წინა მაგალითებში.

მოდით გადავიწეროთ სიბრტყის განტოლება ფორმაში საიდანაც ირკვევა, რომ „Z“-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერიღირებულებები. გავასწოროთ და "მშობლიურ" სიბრტყეში გავავლოთ ჩვეულებრივი "ბრტყელი" სწორი ხაზი. მის ასაშენებლად მოსახერხებელია საცნობარო პუნქტების აღება.

ვინაიდან „Z“ იღებს ყველამნიშვნელობები, შემდეგ აგებული სწორი ხაზი განუწყვეტლივ "მრავლდება" მაღლა და ქვევით, რითაც ქმნის სასურველ სიბრტყეს . ფრთხილად შეადგინეთ გონივრული ზომის პარალელოგრამი:

მზადაა.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში

ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენებული ჯიში. Თუ ყველაშანსები თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება განსხვავდება ნულიდან, მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც , რომელსაც ქვია სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში. ცხადია, სიბრტყე კვეთს კოორდინატთა ღერძებს წერტილებში და ასეთი განტოლების დიდი უპირატესობა არის დახატვის სიმარტივე:

მაგალითი 5

თვითმფრინავის აშენება

გადაწყვეტილება: პირველი, ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას სეგმენტებად. გადაყარეთ თავისუფალი ტერმინი მარჯვნივ და გაყავით ორივე ნაწილი 12-ზე:

არა, ეს არ არის შეცდომა და ყველაფერი კოსმოსში ხდება! ჩვენ განვიხილავთ შემოთავაზებულ ზედაპირს ისევე, როგორც ახლახან გამოვიყენეთ თვითმფრინავებისთვის. განტოლებას ვწერთ ფორმაში , საიდანაც გამოდის, რომ „Z“ იღებს ნებისმიერიღირებულებები. ვაფიქსირებთ და ვაშენებთ ელიფსს სიბრტყეში. ვინაიდან „Z“ იღებს ყველამნიშვნელობები, მაშინ აგებული ელიფსი განუწყვეტლივ „იმეორებს“ ზემოთ და ქვემოთ. ადვილი გასაგებია, რომ ზედაპირი გაუთავებელი:

ამ ზედაპირს ე.წ ელიფსური ცილინდრი. ელიფსი (ნებისმიერ სიმაღლეზე) ეწოდება სახელმძღვანელოცილინდრი და ელიფსის თითოეულ წერტილში გამავალი პარალელური ხაზები ეწოდება წარმოქმნისცილინდრი (რომლებიც ფაქტიურად ქმნიან მას). ღერძი არის სიმეტრიის ღერძიზედაპირი (მაგრამ არა მისი ნაწილი!).

მოცემული ზედაპირის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აუცილებლად აკმაყოფილებენ განტოლებას .

სივრცითიუტოლობა განსაზღვრავს უსასრულო „მილის“ „შიგნიდან“, ცილინდრული ზედაპირის ჩათვლით და, შესაბამისად, საპირისპირო უტოლობა განსაზღვრავს ცილინდრის გარეთ არსებული წერტილების სიმრავლეს.

პრაქტიკულ პრობლემებში ყველაზე პოპულარული შემთხვევაა როცა სახელმძღვანელოცილინდრი არის წრე:

მაგალითი 8

ააგეთ განტოლებით მოცემული ზედაპირი

შეუძლებელია გაუთავებელი "მილის" გამოსახვა, ამიტომ ხელოვნება შემოიფარგლება, როგორც წესი, "ჭრით".

პირველ რიგში, მოსახერხებელია თვითმფრინავში რადიუსის წრის აგება, შემდეგ კი კიდევ რამდენიმე წრე ზემოთ და ქვემოთ. შედეგად მიღებული წრეები ( გიდებიცილინდრი) კარგად დაკავშირებული ოთხი პარალელური სწორი ხაზით ( წარმოქმნისცილინდრი):

არ დაგავიწყდეთ გამოიყენოთ წერტილოვანი ხაზები უხილავი ხაზებისთვის.

მოცემული ცილინდრის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას . ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მკაცრად მდებარეობს "მილის" შიგნით, აკმაყოფილებს უთანასწორობას და უთანასწორობა განსაზღვრავს გარე ნაწილის წერტილების ერთობლიობას. უკეთესი გაგებისთვის, გირჩევთ განიხილოთ რამდენიმე კონკრეტული წერტილი სივრცეში და თავად ნახოთ.

მაგალითი 9

ააგეთ ზედაპირი და იპოვნეთ მისი პროექცია სიბრტყეზე

განტოლებას ვწერთ ფორმაში საიდანაც გამომდინარეობს, რომ „x“ იღებს ნებისმიერიღირებულებები. მოდით დავაფიქსიროთ და დავხატოთ თვითმფრინავში წრე– ორიენტირებული საწყისზე, ერთეული რადიუსი. ვინაიდან „x“ მუდმივად იღებს ყველამნიშვნელობები, შემდეგ აგებული წრე წარმოქმნის წრიულ ცილინდრს სიმეტრიის ღერძით. დახაზეთ სხვა წრე სახელმძღვანელოცილინდრი) და ფრთხილად დააკავშირეთ ისინი სწორი ხაზებით ( წარმოქმნისცილინდრი). ზოგან გადაფარვები აღმოჩნდა, მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, ასეთი დახრილობა:

ამჯერად შემოვიფარგლე უფსკრული ცილინდრის ნაწილით და ეს შემთხვევითი არ არის. პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა ზედაპირის მხოლოდ მცირე ფრაგმენტის გამოსახვა.

აქ, სხვათა შორის, აღმოჩნდა 6 ​​გენერატორი - ორი დამატებითი სწორი ხაზი ზედა მარცხენა და ქვედა მარჯვენა კუთხიდან ზედაპირს "ხურავს".

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ ცილინდრის პროექციას თვითმფრინავზე. ბევრ მკითხველს ესმის, რა არის პროექცია, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, კიდევ ხუთი წუთი გავატაროთ ფიზიკური აღზრდა. გთხოვთ, ადექით და დახარეთ თავი ნახატზე ისე, რომ ღერძის წვერი თქვენს შუბლზე პერპენდიკულურად გამოიყურებოდეს. როგორ გამოიყურება ცილინდრი ამ კუთხიდან, არის მისი პროექცია სიბრტყეზე. მაგრამ, როგორც ჩანს, ეს არის გაუთავებელი ზოლი, რომელიც ჩაკეტილია სწორ ხაზებს შორის, მათ შორის თავად სწორ ხაზებს შორის. ეს პროექცია არის ზუსტად დომენიფუნქციები (ცილინდრის ზედა „ღუმელი“), (ქვედა „ღრმა“).

სხვათა შორის, მოდით განვმარტოთ სიტუაცია სხვა კოორდინატულ სიბრტყეებზე პროგნოზებით. მზის სხივები ცილინდრს წვერის მხრიდან და ღერძის გასწვრივ ანათებს. ცილინდრის ჩრდილი (პროექცია) სიბრტყეზე არის მსგავსი უსასრულო ზოლი - სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით ( - ნებისმიერი), მათ შორის თავად სწორი ხაზებით.

მაგრამ პროექცია თვითმფრინავზე გარკვეულწილად განსხვავებულია. თუ ცილინდრს უყურებთ ღერძის წვერიდან, მაშინ ის დაპროექტებულია ერთეული რადიუსის წრეში. რომლითაც დავიწყეთ მშენებლობა.

მაგალითი 10

ააგეთ ზედაპირი და იპოვეთ მისი პროგნოზები კოორდინატულ სიბრტყეებზე

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების ამოცანა. თუ მდგომარეობა არ არის ძალიან ნათელი, მოაწყეთ ორივე მხარე და გააანალიზეთ შედეგი; გაარკვიეთ ზუსტად ცილინდრის რომელ ნაწილს განსაზღვრავს ფუნქცია. გამოიყენეთ სამშენებლო ტექნიკა, რომელიც არაერთხელ იქნა გამოყენებული ზემოთ. მოკლე გადაწყვეტა, ნახატი და კომენტარები გაკვეთილის ბოლოს.

ელიფსური და სხვა ცილინდრული ზედაპირები შეიძლება გადანაწილდეს კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, მაგალითად:

(შესახებ სტატიის ნაცნობ საფუძვლებზე მე -2 შეკვეთის ხაზები) - ერთეული რადიუსის ცილინდრი სიმეტრიის ხაზით, რომელიც გადის ღერძის პარალელურ წერტილში. თუმცა, პრაქტიკაში, ასეთი ცილინდრები საკმაოდ იშვიათად გვხვდება და აბსოლუტურად დაუჯერებელია ცილინდრული ზედაპირის შეხვედრა კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში "დახრილი".

პარაბოლური ცილინდრები

როგორც სახელი გვთავაზობს, სახელმძღვანელოასეთი ცილინდრი არის პარაბოლა.

მაგალითი 11

ააგეთ ზედაპირი და იპოვეთ მისი პროგნოზები კოორდინატულ სიბრტყეებზე.

ვერ გავუძელი ამ მაგალითს =)

გადაწყვეტილება: ნაცემი გზას მივყვებით. მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში, საიდანაც გამოდის, რომ "Z"-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა. მოდით დავაფიქსიროთ და ავაშენოთ ჩვეულებრივი პარაბოლა სიბრტყეზე, მანამდე მონიშნული ტრივიალური საცნობარო წერტილები. ვინაიდან „Z“ იღებს ყველამნიშვნელობები, მაშინ აგებული პარაბოლა განუწყვეტლივ „იმეორებს“ ზევით და ქვევით უსასრულობამდე. ჩვენ გამოვყოფთ იგივე პარაბოლას, ვთქვათ, სიმაღლეზე (თვითმფრინავში) და ფრთხილად ვაკავშირებთ მათ პარალელურ ხაზებთან ( ცილინდრის გენერატორები):

ვახსენებ სასარგებლო ტექნიკა: თუ თავდაპირველად არ არის ნდობა ნახატის ხარისხში, მაშინ უმჯობესია ხაზები ჯერ თხლად და თხლად დახატოთ ფანქრით. შემდეგ ვაფასებთ ესკიზის ხარისხს, ვადგენთ იმ უბნებს, სადაც ზედაპირი დაფარულია ჩვენი თვალებისგან და მხოლოდ ამის შემდეგ ვახორციელებთ სტილუსზე ზეწოლას.

პროგნოზები.

1) ცილინდრის პროექცია სიბრტყეზე არის პარაბოლა. აღსანიშნავია, რომ ამ შემთხვევაში საუბარი შეუძლებელია ორი ცვლადის ფუნქციის დომენები- იმ მიზეზით, რომ ცილინდრის განტოლება არ არის დაყვანილი ფუნქციურ ფორმამდე.

2) ცილინდრის პროექცია თვითმფრინავზე არის ნახევრად სიბრტყე, ღერძის ჩათვლით

3) და ბოლოს, ცილინდრის პროექცია სიბრტყეზე არის მთელი სიბრტყე.

მაგალითი 12

პარაბოლური ცილინდრების აგება:

ა) შევიზღუდოთ ზედაპირის ფრაგმენტი უახლოეს ნახევარ სივრცეში;

ბ) შორის

სირთულეების შემთხვევაში არ ვჩქარობთ და წინა მაგალითებთან ანალოგიით ვიკამათებთ, საბედნიეროდ ტექნოლოგია საფუძვლიანად არის დამუშავებული. არ არის კრიტიკული, თუ ზედაპირები ცოტა მოუხერხებელი აღმოჩნდება - მნიშვნელოვანია ფუნდამენტური სურათის სწორად ჩვენება. მე თვითონ განსაკუთრებით არ მაწუხებს ხაზების სილამაზე, თუ მივიღებ ასატან "C კლასის" ნახატს, ჩვეულებრივ არ ვაკეთებ მას. ნიმუშის ხსნარში, სხვათა შორის, კიდევ ერთი ტექნიკა იქნა გამოყენებული ნახატის ხარისხის გასაუმჯობესებლად ;-)

ჰიპერბოლური ცილინდრები

გიდებიასეთი ცილინდრები არის ჰიპერბოლები. ამ ტიპის ზედაპირი, ჩემი დაკვირვებით, გაცილებით იშვიათია, ვიდრე წინა ტიპები, ამიტომ შემოვიფარგლები ჰიპერბოლური ცილინდრის ერთი სქემატური ნახაზით:

მსჯელობის პრინციპი აქაც ზუსტად იგივეა - ჩვეული სკოლის ჰიპერბოლათვითმფრინავიდან განუწყვეტლივ „მრავლდება“ ზევით-ქვევით უსასრულობამდე.

განხილული ცილინდრები ეკუთვნის ე.წ მე -2 რიგის ზედაპირებიდა ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ ამ ჯგუფის სხვა წარმომადგენლების გაცნობას:

ელიფსოიდი. სფერო და ბურთი

ელიფსოიდის კანონიკურ განტოლებას მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში აქვს ფორმა სად არის დადებითი რიცხვები ( ღერძების ლილვებიელიფსოიდი), რომელიც ზოგად შემთხვევაში განსხვავებული. ელიფსოიდი ეწოდება ზედაპირი, და სხეულიშემოსაზღვრულია ამ ზედაპირით. სხეული, როგორც ბევრმა გამოიცანით, მოცემულია უთანასწორობით და ნებისმიერი შიდა წერტილის კოორდინატები (ისევე როგორც ნებისმიერი ზედაპირის წერტილი) აუცილებლად აკმაყოფილებს ამ უთანასწორობას. დიზაინი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებთან და კოორდინატთა სიბრტყეებთან მიმართებაში:

ტერმინი "ელიფსოიდის" წარმოშობა ასევე აშკარაა: თუ ზედაპირი "მოჭრილია" კოორდინატთა სიბრტყეებით, მაშინ განყოფილებებში იქნება სამი განსხვავებული (ზოგად შემთხვევაში)