დამოკიდებულების ტიპები

განიხილეთ ბატარეის დატენვა. როგორც პირველი მნიშვნელობა, ავიღოთ დრო, რომელიც დასჭირდება დატენვას. მეორე მნიშვნელობა არის დრო, როდესაც ის იმუშავებს დატენვის შემდეგ. რაც უფრო დიდხანს იტენება ბატარეა, მით უფრო დიდხანს გაძლებს. პროცესი გაგრძელდება ბატარეის სრულად დატენვამდე.

ბატარეის მუშაობის დამოკიდებულება მისი დატენვის დროზე

შენიშვნა 1

ამ დამოკიდებულებას ე.წ სწორი:

როგორც ერთი მნიშვნელობა იზრდება, მეორეც იზრდება. როგორც ერთი მნიშვნელობა მცირდება, მეორე მნიშვნელობაც მცირდება.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

რაც უფრო მეტ წიგნს წაიკითხავს მოსწავლე, მით უფრო ნაკლებ შეცდომებს დაუშვებს კარნახში. ან რაც უფრო მაღლა ადიხართ მთებზე, მით უფრო დაბალი იქნება ატმოსფერული წნევა.

შენიშვნა 2

ამ დამოკიდებულებას ე.წ საპირისპირო:

როგორც ერთი მნიშვნელობა იზრდება, მეორე მცირდება. როგორც ერთი მნიშვნელობა მცირდება, მეორე მნიშვნელობა იზრდება.

ამრიგად, იმ შემთხვევაში პირდაპირი დამოკიდებულებაორივე რაოდენობა ერთნაირად იცვლება (ორივე ან იზრდება ან მცირდება) და იმ შემთხვევაში შებრუნებული ურთიერთობა- საპირისპირო (ერთი იზრდება და მეორე მცირდება, ან პირიქით).

რაოდენობებს შორის დამოკიდებულების განსაზღვრა

მაგალითი 1

მეგობრის მონახულების დრო არის $20$ წუთი. სიჩქარის (პირველი მნიშვნელობის) $2$-ჯერ გაზრდით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, თუ როგორ შეიცვლება დრო (მეორე მნიშვნელობა), რომელიც დაიხარჯება მეგობრის გზაზე.

ცხადია, დრო $2$-ით შემცირდება.

შენიშვნა 3

ამ დამოკიდებულებას ე.წ პროპორციული:

რამდენჯერ შეიცვლება ერთი მნიშვნელობა, რამდენჯერ შეიცვლება მეორე.

მაგალითი 2

მაღაზიაში 2 დოლარიანი პურისთვის 80 მანეთი უნდა გადაიხადოთ. თუ თქვენ გჭირდებათ 4$-იანი პურის ყიდვა (პურის რაოდენობა $2-ჯერ იზრდება), კიდევ რამდენის გადახდა მოგიწევთ?

ცხადია, ღირებულებაც $2$-ჯერ გაიზრდება. გვაქვს პროპორციული დამოკიდებულების მაგალითი.

ორივე მაგალითში გათვალისწინებული იყო პროპორციული დამოკიდებულებები. მაგრამ პურის მაგალითში, მნიშვნელობები იცვლება ერთი მიმართულებით, შესაბამისად, დამოკიდებულება არის სწორი. და მეგობართან მოგზაურობის მაგალითში არის კავშირი სიჩქარესა და დროს შორის საპირისპირო. ამრიგად, არსებობს პირდაპირპროპორციული ურთიერთობადა უკუპროპორციული ურთიერთობა.

პირდაპირი პროპორციულობა

განვიხილოთ $2$ პროპორციული რაოდენობა: პურის რაოდენობა და მათი ღირებულება. დაე, $2$ პური ღირდეს $80$ რუბლი. რულონების რაოდენობის 4$-ჯერ გაზრდით ($8$ რულონები), მათი საერთო ღირებულება იქნება $320$ რუბლი.

რულონების რაოდენობის თანაფარდობა: $\frac(8)(2)=4$.

რულონის ღირებულების კოეფიციენტი: $\frac(320)(80)=4$.

როგორც ხედავთ, ეს კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

განმარტება 1

ორი მიმართების ტოლობას ეწოდება პროპორცია.

პირდაპირპროპორციული ურთიერთობით, თანაფარდობა მიიღება, როდესაც პირველი და მეორე მნიშვნელობების ცვლილება იგივეა:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

განმარტება 2

ორ რაოდენობას ე.წ პირდაპირპროპორციულიათუ ერთი მათგანის შეცვლის (გაზრდის ან შემცირებისას) მეორე მნიშვნელობა იცვლება (შესაბამისად იზრდება ან მცირდება) იმავე ოდენობით.

მაგალითი 3

მანქანამ $180$ კმ გაიარა $2$ საათში. იპოვეთ დრო, რომელიც მას სჭირდება, რომ დაფაროს $2$-ჯერ მეტი მანძილი იგივე სიჩქარით.

გამოსავალი.

დრო პირდაპირპროპორციულია მანძილისა:

$t=\frac(S)(v)$.

რამდენჯერ გაიზრდება მანძილი, მუდმივი სიჩქარით, დრო გაიზრდება იგივე რაოდენობით:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

მანქანამ გაიარა $180$ კმ - $2$ საათში

მანქანა გადის $180 \cdot 2=360$ კმ - $x$ საათში

რაც უფრო მეტ მანძილს გაივლის მანქანა, მით მეტი დრო დასჭირდება. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა პირდაპირპროპორციულია.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

უპასუხე: მანქანას დასჭირდება $4$ საათი.

უკუპროპორციულობა

განმარტება 3

გამოსავალი.

დრო სიჩქარის უკუპროპორციულია:

$t=\frac(S)(v)$.

რამდენჯერ იზრდება სიჩქარე, იგივე ბილიკით, დრო მცირდება იგივე რაოდენობით:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ცხრილის სახით:

მანქანამ გაიარა $60$ კმ - $6$ საათში

მანქანა $120$ კმ-ს გადის - $x$ საათში

რაც უფრო სწრაფია მანქანა, მით ნაკლები დრო დასჭირდება. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის კავშირი უკუპროპორციულია.

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია.

იმიტომ რომ პროპორციულობა საპირისპიროა, ჩვენ ვაქცევთ მეორე თანაფარდობას პროპორციულად:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

უპასუხე: მანქანას დასჭირდება $3$ საათი.

დღეს ჩვენ გადავხედავთ რა სიდიდეებს უწოდებენ უკუპროპორციულს, როგორ გამოიყურება შებრუნებული პროპორციულობის გრაფიკი და როგორ შეიძლება ეს ყველაფერი გამოგადგეთ არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ სკოლის კედლების გარეთაც.

ასეთი განსხვავებული პროპორციები

პროპორციულობადაასახელეთ ორი სიდიდე, რომლებიც ურთიერთდამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე.

დამოკიდებულება შეიძლება იყოს პირდაპირი და საპირისპირო. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა აღწერს პირდაპირ და უკუპროპორციულობას.

პირდაპირი პროპორციულობა- ეს არის ისეთი ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის მატება ან შემცირება იწვევს მეორის ზრდას ან შემცირებას. იმათ. მათი დამოკიდებულება არ იცვლება.

მაგალითად, რაც უფრო მეტ ძალისხმევას დახარჯავთ გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, მით უფრო მაღალი იქნება თქვენი ქულები. ან რაც უფრო მეტ ნივთს წაიღებთ ლაშქრობაში, მით უფრო რთულია თქვენი ზურგჩანთის ტარება. იმათ. გამოცდებისთვის მომზადებაზე დახარჯული ძალისხმევის ოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული ქულებისა. ზურგჩანთაში შეფუთული ნივთების რაოდენობა კი მისი წონის პირდაპირპროპორციულია.

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის რამდენჯერმე შემცირება ან გაზრდა (მას არგუმენტი ეწოდება) იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის პროპორციულ (ანუ იმავე რაოდენობით) ზრდას ან შემცირებას (მას უწოდებენ ფუნქცია).

მოდით ილუსტრაციით მარტივი მაგალითით. გსურთ შეიძინოთ ვაშლი ბაზარზე. დახლზე არსებული ვაშლები და თქვენს საფულეში არსებული თანხის რაოდენობა საპირისპირო კავშირშია. იმათ. რაც უფრო მეტ ვაშლს იყიდით, მით ნაკლები თანხა დაგრჩებათ.

ფუნქცია და მისი გრაფიკი

უკუპროპორციულობის ფუნქცია შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც y = k/x. სადაც x≠ 0 და კ≠ 0.

ამ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე გარდა x = 0. დ(წ): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი გარდა წ= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. მას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები.
4. კენტია და მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
5. არაპერიოდული.
6. მისი გრაფიკი არ კვეთს კოორდინატთა ღერძებს.
7. არ აქვს ნულები.
8. Თუ კ> 0 (ანუ არგუმენტი იზრდება), ფუნქცია პროპორციულად მცირდება მის თითოეულ ინტერვალზე. Თუ კ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. რაც უფრო იზრდება არგუმენტი ( კ> 0) ფუნქციის უარყოფითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (-∞; 0), ხოლო დადებითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (0; +∞). როდესაც არგუმენტი მცირდება ( კ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

უკუპროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. გამოსახულია შემდეგნაირად:

შებრუნებული პროპორციული პრობლემები

უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანას. ისინი არც თუ ისე რთულია და მათი გადაწყვეტა დაგეხმარებათ წარმოიდგინოთ, რა არის შებრუნებული პროპორცია და როგორ შეიძლება ეს ცოდნა სასარგებლო იყოს თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დავალება ნომერი 1. მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით. დანიშნულების ადგილამდე მისვლას 6 საათი დასჭირდა. რამდენი დრო დასჭირდება მას იმავე მანძილის დასაფარად, თუ ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრაობს?

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ფორმულის ჩაწერით, რომელიც აღწერს დროის, მანძილის და სიჩქარის ურთიერთობას: t = S/V. დამეთანხმებით, ის ძალიან გვახსენებს უკუპროპორციულობის ფუნქციას. და ეს მიუთითებს იმაზე, რომ დრო, რომელსაც მანქანა ატარებს გზაზე და სიჩქარე, რომლითაც ის მოძრაობს, უკუპროპორციულია.

ამის შესამოწმებლად, ვიპოვოთ V 2, რომელიც, პირობითად, 2-ჯერ მეტია: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 კმ / სთ. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს ფორმულის გამოყენებით S = V * t = 60 * 6 = 360 კმ. ახლა ძნელი არ არის დროის t 2-ის გარკვევა, რომელიც საჭიროა ჩვენგან პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით: t 2 = 360/120 = 3 საათი.

როგორც ხედავთ, მგზავრობის დრო და სიჩქარე მართლაც უკუპროპორციულია: ორიგინალზე 2-ჯერ მაღალი სიჩქარით, მანქანა გზაზე 2-ჯერ ნაკლებ დროს დაატარებს.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ასევე შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად. რატომ ვქმნით ასეთ დიაგრამას:

↓ 60 კმ/სთ – 6 სთ

↓120 კმ/სთ – x სთ

ისრები მიუთითებს შებრუნებულ ურთიერთობაზე. და ისინი ასევე ვარაუდობენ, რომ პროპორციის შედგენისას, ჩანაწერის მარჯვენა მხარე უნდა გადატრიალდეს: 60/120 \u003d x / 6. სად მივიღოთ x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 საათი.

დავალება ნომერი 2. სახელოსნოში დასაქმებულია 6 მუშა, რომლებიც 4 საათში უმკლავდებიან მოცემულ სამუშაოს. თუ მუშათა რაოდენობა განახევრდება, რამდენი დრო დასჭირდება დარჩენილ მუშაკებს იგივე რაოდენობის სამუშაოს შესრულებას?

ჩვენ ვწერთ პრობლემის პირობებს ვიზუალური დიაგრამის სახით:

↓ 6 მუშა - 4 საათი

↓ 3 მუშა - x სთ

მოდით ჩავწეროთ ეს პროპორციულად: 6/3 = x/4. და ვიღებთ x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 საათს. თუ 2-ჯერ ნაკლები მუშა იქნება, დანარჩენი 2-ჯერ მეტ დროს დახარჯავს მთელი სამუშაოს დასასრულებლად.

დავალება ნომერი 3. აუზამდე მიდის ორი მილი. ერთი მილით წყალი შემოდის 2ლ/წმ სიჩქარით და 45 წუთში ავსებს აუზს. სხვა მილის მეშვეობით აუზი 75 წუთში შეივსება. რამდენად სწრაფად შედის წყალი აუზში ამ მილით?

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადმოვიტანთ ყველა იმ სიდიდეს, რომელიც მოგვცეს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, იმავე საზომ ერთეულებში. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ აუზის შევსების სიჩქარეს ლიტრებში წუთში: 2 ლ / წმ \u003d 2 * 60 \u003d 120 ლ / წთ.

ვინაიდან ეს გამომდინარეობს იმ პირობით, რომ აუზი მეორე მილით უფრო ნელა ივსება, ეს ნიშნავს, რომ წყლის შემოდინების სიჩქარე უფრო დაბალია. შებრუნებული პროპორციის სახეზე. ჩვენთვის უცნობი სიჩქარე გამოვხატოთ x-ით და შევადგინოთ შემდეგი სქემა:

↓ 120 ლ/წთ - 45 წთ

↓ x ლ/წთ – 75 წთ

შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ პროპორციას: 120 / x \u003d 75/45, საიდანაც x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 ლ / წთ.

პრობლემაში აუზის შევსების სიჩქარე გამოიხატება ლიტრებში წამში, მოდი ჩვენი პასუხი მივიღოთ იმავე ფორმაზე: 72/60 = 1,2 ლ/წმ.

დავალება ნომერი 4. სავიზიტო ბარათები იბეჭდება პატარა კერძო სტამბაში. სტამბის თანამშრომელი მუშაობს საათში 42 სავიზიტო ბარათის სიჩქარით და მუშაობს სრული განაკვეთით - 8 საათი. თუ ის უფრო სწრაფად მუშაობდა და საათში 48 სავიზიტო ბარათს დაბეჭდავდა, რამდენად ადრე შეეძლო სახლში წასვლა?

ჩვენ მივდივართ დადასტურებული გზით და ვადგენთ სქემას პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, რომელიც აღვნიშნავთ სასურველ მნიშვნელობას, როგორც x:

↓ 42 სავიზიტო ბარათი/სთ – 8 სთ

↓ 48 სავიზიტო ბარათი/სთ – xh

ჩვენს წინაშე არის უკუპროპორციული ურთიერთობა: რამდენჯერ მეტ სავიზიტო ბარათს ბეჭდავს სტამბის თანამშრომელი საათში, იგივე დრო დასჭირდება მას ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად. ამის გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ პროპორცია:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 საათი.

ამრიგად, 7 საათში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სტამბის თანამშრომელს შეეძლო სახლში წასვლა ერთი საათით ადრე.

დასკვნა

გვეჩვენება, რომ ეს შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანები მართლაც მარტივია. ვიმედოვნებთ, რომ ახლა თქვენც ასე განიხილავთ მათ. და რაც მთავარია, რაოდენობების უკუპროპორციული დამოკიდებულების ცოდნა ნამდვილად შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო იყოს არაერთხელ.

არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე და გამოცდებზე. მაგრამ მაშინაც კი, როცა მოგზაურობას აპირებთ, წადით საყიდლებზე, გადაწყვიტეთ ფულის გამომუშავება არდადეგების დროს და ა.შ.

გვითხარით კომენტარებში შებრუნებული და პირდაპირი პროპორციულობის რა მაგალითებს ამჩნევთ თქვენს გარშემო. დაე ეს იყოს თამაში. თქვენ ნახავთ, რამდენად ამაღელვებელია. არ დაგავიწყდეთ ამ სტატიის „გაზიარება“ სოციალურ ქსელებში, რათა თქვენმა მეგობრებმა და კლასელებმაც შეძლონ თამაში.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

დაასრულა: ჩეპკასოვი როდიონი

მე-6 „ბ“ კლასის მოსწავლე

MBOU "Secondary School No. 53"

ბარნაული

ხელმძღვანელი: ბულიკინა ო.გ.

მათემატიკის მასწავლებელი

MBOU "Secondary School No. 53"

ბარნაული

შესავალი. ერთი

ურთიერთობები და პროპორციები. 3

პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციები. ოთხი

პირდაპირი და უკუპროპორციულობის გამოყენება 6

დამოკიდებულება სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში.

დასკვნა. თერთმეტი

ლიტერატურა. 12

შესავალი.

სიტყვა პროპორცია მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან პროპორცია, რაც ნიშნავს ზოგადად პროპორციულობას, ნაწილების თანასწორობას (ნაწილების გარკვეული თანაფარდობა ერთმანეთთან). უძველეს დროში პროპორციების დოქტრინას პითაგორაელები დიდ პატივს სცემდნენ. პროპორციებით მათ დააკავშირეს აზრები ბუნებაში წესრიგისა და სილამაზის შესახებ, მუსიკაში თანხმოვანი აკორდების შესახებ და სამყაროში ჰარმონიის შესახებ. პროპორციების ზოგიერთ ტიპს ისინი მუსიკალურს ან ჰარმონიულს უწოდებდნენ.

ჯერ კიდევ უძველეს დროში ადამიანმა აღმოაჩინა, რომ ბუნებაში არსებული ყველა ფენომენი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, რომ ყველაფერი მუდმივ მოძრაობაშია, იცვლება და რიცხვებით გამოხატვისას საოცარ ნიმუშებს ავლენს.

პითაგორელები და მათი მიმდევრები ეძებდნენ რიცხვით გამოხატულებას ყველაფრისთვის, რაც არსებობს მსოფლიოში. Მათ იპოვეს; რომ მათემატიკური პროპორციები უდევს საფუძვლად მუსიკას (სიმების სიგრძის თანაფარდობა ხმასთან, ურთიერთობა ინტერვალებს შორის, ბგერების თანაფარდობა აკორდებში, რომლებიც იძლევა ჰარმონიულ ბგერას). პითაგორელები ცდილობდნენ მათემატიკურად დაემტკიცებინათ სამყაროს ერთიანობის იდეა, ისინი ამტკიცებდნენ, რომ სამყაროს საფუძველი სიმეტრიული გეომეტრიული ფორმებია. პითაგორელები სილამაზის მათემატიკურ დასაბუთებას ეძებდნენ.

პითაგორელთა მიმდევრობით, შუა საუკუნეების მეცნიერმა ავგუსტინემ სილამაზეს "რიცხობრივი თანასწორობა" უწოდა. სქოლასტი ფილოსოფოსი ბონავენტურა წერდა: "არ არსებობს სილამაზე და სიამოვნება პროპორციულობის გარეშე, პროპორციულობა კი უპირველეს ყოვლისა რიცხვებში არსებობს. აუცილებელია, რომ ყველაფერი გამოთვლადი იყოს". ლეონარდო და ვინჩი წერდა ხელოვნებაში პროპორციის გამოყენების შესახებ თავის ტრაქტატში ფერწერის შესახებ: "მხატვარი პროპორციული სახით განასახიერებს ბუნებაში იმალებულ იმავე კანონებს, რომლებიც მეცნიერმა იცის რიცხვითი კანონის სახით".

პროპორციებს იყენებდნენ სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში როგორც ანტიკურ, ისე შუა საუკუნეებში. გარკვეული ტიპის პრობლემები ახლა მარტივად და სწრაფად წყდება პროპორციების გამოყენებით. პროპორციები და პროპორციულობა გამოიყენებოდა და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და ხელოვნებაშიც. პროპორციულობა არქიტექტურასა და ხელოვნებაში ნიშნავს გარკვეული თანაფარდობების დაცვას შენობის, ფიგურის, ქანდაკების ან ხელოვნების სხვა ნაწარმოების ზომებს შორის. პროპორციულობა ასეთ შემთხვევებში სწორი და ლამაზი კონსტრუქციისა და იმიჯის პირობაა

ჩემს ნამუშევარში ვცდილობდი განმეხილა პირდაპირი და უკუპროპორციული მიმართებების გამოყენება გარემომცველი ცხოვრების სხვადასხვა სფეროებში, ამოცანების საშუალებით მიმეკვლია აკადემიურ საგნებთან კავშირი.

ურთიერთობები და პროპორციები.

ორი რიცხვის კოეფიციენტი ეწოდება დამოკიდებულებაეს ნომრები.

დამოკიდებულების ჩვენებები, რამდენჯერ მეტია პირველი რიცხვი მეორეზე, ან რა ნაწილია პირველი რიცხვი მეორედან.

Დავალება.

მაღაზიაში 2,4 ტონა მსხალი და 3,6 ტონა ვაშლი შეიტანეს. იმპორტირებული ხილის რა ნაწილია მსხალი?

გამოსავალი . იპოვეთ რამდენი ხილი მოიტანეს ჯამში: 2,4 + 3,6 = 6 (ტ). იმისთვის, რომ გავიგოთ, რა ნაწილია მსხალი მოტანილი ხილიდან, გამოვყოფთ თანაფარდობას 2,4:6 =. პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ათწილადად ან პროცენტულად: = 0,4 = 40%.

ურთიერთშებრუნებულიდაურეკა ნომრები, რომლის ნაწარმოებები უდრის 1. მაშასადამე ურთიერთობას ინვერსიული ურთიერთობა ეწოდება.

განვიხილოთ ორი თანაბარი თანაფარდობა: 4,5:3 და 6:4. დავდოთ მათ შორის ტოლობის ნიშანი და მივიღოთ პროპორცია: 4,5:3=6:4.

პროპორციაარის ორი მიმართების ტოლობა: a : b =c :d ან = , სადაც არის a და d პროპორციის უკიდურესი პირობები, გ და ბ საშუალო ტერმინები(პროპორციის ყველა პირობა არ არის ნულოვანი).

პროპორციის ძირითადი თვისება:

სწორი პროპორციით, უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს.

გამრავლების კომუტაციური თვისების გამოყენებით, მივიღებთ, რომ სწორი პროპორციით, შეგიძლიათ შეცვალოთ უკიდურესი ან საშუალო წევრები. შედეგად მიღებული პროპორციებიც სწორი იქნება.

პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი უცნობი წევრი, თუ ყველა სხვა წევრი ცნობილია.

პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის საპოვნელად საჭიროა შუა რიცხვების გამრავლება და ცნობილ უკიდურეს წევრზე გაყოფა. x : b = c : d , x =

პროპორციის უცნობი შუა წევრის საპოვნელად, უნდა გავამრავლოთ უკიდურესი წევრები და გავყოთ ცნობილ შუა წევრზე. a : b = x : d, x = .

პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციები.

ორი განსხვავებული რაოდენობის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს ერთმანეთზე დამოკიდებული. ასე რომ, კვადრატის ფართობი დამოკიდებულია მისი მხარის სიგრძეზე და პირიქით - კვადრატის გვერდის სიგრძე დამოკიდებულია მის ფართობზე.

ნათქვამია, რომ ორი რაოდენობა პროპორციულია, თუ იზრდება

ერთი მათგანის რამდენჯერმე (შემცირება), მეორე იმავე ოდენობით იზრდება (მცირდება).

თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ ამ რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობა ტოლია.

მაგალითი პირდაპირპროპორციული ურთიერთობა .

ბენზინგასამართ სადგურზე 2 ლიტრი ბენზინი იწონის 1,6 კგ. რამდენს იწონიან 5 ლიტრი ბენზინი?

გამოსავალი:

ნავთის წონა მისი მოცულობის პროპორციულია.

2ლ - 1,6 კგ

5ლ - x კგ

2:5=1.6:x,

x \u003d 5 * 1.6 x \u003d 4

პასუხი: 4 კგ.

აქ წონისა და მოცულობის თანაფარდობა უცვლელი რჩება.

ორ რაოდენობას უწოდებენ უკუპროპორციულს, თუ, როდესაც ერთი მათგანი რამდენჯერმე იზრდება (მცირდება), მეორე მცირდება (იზრდება) იმავე რაოდენობით.

თუ რაოდენობები უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი რაოდენობის მნიშვნელობების თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების შებრუნებულ თანაფარდობას.

პ მაგალითიუკუპროპორციული ურთიერთობა.

ორ მართკუთხედს აქვს იგივე ფართობი. პირველი მართკუთხედის სიგრძე 3,6 მ, სიგანე 2,4 მ, მეორე მართკუთხედის სიგრძე 4,8 მ იპოვეთ მეორე მართკუთხედის სიგანე.

გამოსავალი:

1 მართკუთხედი 3.6 მ 2.4 მ

2 მართკუთხედი 4,8 მ x მ

3,6 მ x მ

4,8 მ 2,4 მ

x \u003d 3.6 * 2.4 \u003d 1.8 მ

პასუხი: 1,8 მ.

როგორც ხედავთ, პროპორციული რაოდენობით პრობლემების მოგვარება შესაძლებელია პროპორციების გამოყენებით.

ყოველი ორი რაოდენობა არ არის პირდაპირპროპორციული ან უკუპროპორციული. მაგალითად, ბავშვის სიმაღლე იზრდება ასაკის მატებასთან ერთად, მაგრამ ეს მნიშვნელობები არ არის პროპორციული, რადგან როდესაც ასაკი გაორმაგდება, ბავშვის სიმაღლე არ გაორმაგდება.

პირდაპირი და უკუპროპორციულობის პრაქტიკული გამოყენება.

დავალება #1

სკოლის ბიბლიოთეკაში არის 210 მათემატიკის სახელმძღვანელო, რაც მთლიანი ბიბლიოთეკის მარაგის 15%-ია. რამდენი წიგნია ბიბლიოთეკის მარაგში?

გამოსავალი:

სულ სახელმძღვანელოები - ? - 100%

მათემატიკოსები - 210 -15%

15% 210 ანგარიშები

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 სახელმძღვანელო

100% x ანგარიში. თხუთმეტი

პასუხი: 1400 სახელმძღვანელო.

დავალება #2

ველოსიპედისტი 3 საათში 75 კილომეტრს გადის. რამდენი დრო დასჭირდება ველოსიპედისტს იმავე სიჩქარით 125 კმ-ის გასავლელად?

გამოსავალი:

3 სთ – 75 კმ

H - 125 კმ

დრო და მანძილი პირდაპირპროპორციულია, ასე რომ

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

პასუხი: 5 საათი.

დავალება #3

8 იდენტური მილი ავსებს აუზს 25 წუთში. რამდენი წუთი დასჭირდება 10 ასეთი მილის აუზის შევსებას?

გამოსავალი:

8 მილი - 25 წუთი

10 მილი - ? წუთები

მილების რაოდენობა დროის უკუპროპორციულია, ამიტომ

8:10 = x:25,

x =

x = 20

პასუხი: 20 წუთი.

დავალება #4

8 მუშისგან შემდგარი გუნდი დავალებას 15 დღეში ასრულებს. რამდენ მუშაკს შეუძლია დაასრულოს დავალება 10 დღეში იმავე პროდუქტიულობით მუშაობით?

გამოსავალი:

8 სამუშაო - 15 დღე

სამუშაო - 10 დღე

მუშათა რაოდენობა უკუპროპორციულია დღეების რაოდენობისა, ასე რომ

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

პასუხი: 12 მუშა.

დავალება ნომერი 5

5,6 კგ პომიდვრიდან მიიღება 2 ლიტრი სოუსი. რამდენი ლიტრი სოუსი შეიძლება მივიღოთ 54 კგ პომიდორიდან?

გამოსავალი:

5,6 კგ - 2 ლ

54 კგ - ? ლ

ასე რომ, პომიდვრის კილოგრამების რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული სოუსის რაოდენობით

5.6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19 .

პასუხი: 19 ლ.

დავალება ნომერი 6

სკოლის შენობის გასათბობად ქვანახშირი 180 დღის განმავლობაში მოხმარების მაჩვენებლით იკრიფებოდა

0,6 ტონა ნახშირი დღეში. რამდენი დღე გაგრძელდება ეს რეზერვი, თუ ის ყოველდღიურად მოიხმარება 0,5 ტონა?

გამოსავალი:

Დღეების რაოდენობა

მოხმარების მაჩვენებელი

დღეების რაოდენობა უკუპროპორციულია ნახშირის მოხმარების მაჩვენებელთან, ასე რომ

180: x = 0.5: 0.6,

x \u003d 180 * 0.6: 0.5,

x = 216.

პასუხი: 216 დღე.

დავალება ნომერი 7

რკინის საბადოში რკინის 7 ნაწილი შეადგენს მინარევების 3 წილს. რამდენი ტონა მინარევებია მადანი, რომელიც შეიცავს 73,5 ტონა რკინას?

გამოსავალი:

Ნაწილების რაოდენობა

წონა

რკინა

73,5

მინარევები

ნაწილების რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია მასის, ასე რომ

7: 73.5 = 3: x.

x \u003d 73.5 * 3: 7,

x = 31,5.

პასუხი: 31,5 ტონა

დავალება ნომერი 8

მანქანამ გაიარა 500 კმ, 35 ლიტრი ბენზინი დახარჯა. რამდენი ლიტრი ბენზინი გჭირდებათ 420 კმ-ის გასავლელად?

გამოსავალი:

მანძილი, კმ

ბენზინი, ლ

მანძილი პირდაპირპროპორციულია ბენზინის მოხმარებასთან, ასე რომ

500: 35 = 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29.4.

პასუხი: 29,4 ლიტრი

დავალება ნომერი 9

2 საათში 12 ჯვაროსანი დავიჭირეთ. რამდენი კობრი დაიჭერს 3 საათში?

გამოსავალი:

ჯვაროსნების რაოდენობა დროზე არ არის დამოკიდებული. ეს რაოდენობები არც პირდაპირპროპორციულია და არც უკუპროპორციული.

პასუხი: პასუხი არ არის.

დავალება ნომერი 10

სამთო საწარმოს სჭირდება 5 ახალი აპარატის შეძენა გარკვეული თანხით თითო 12 ათასი რუბლის ფასად. რამდენი ამ მანქანის ყიდვა შეუძლია კომპანიას, თუ ერთი მანქანის ფასი გახდება 15000 რუბლი?

გამოსავალი:

მანქანების რაოდენობა, ც.

ფასი, ათასი რუბლი

მანქანების რაოდენობა ღირებულების უკუპროპორციულია, ამიტომ

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

პასუხი: 4 მანქანა.

დავალება ნომერი 11

Ქალაქში N, P მოედანზე არის მაღაზია, რომლის მეპატრონე იმდენად მკაცრია, რომ ხელფასიდან 70 მანეთს აკლებს დღეში 1 დაგვიანებით დაგვიანებისთვის. ორი გოგონა იულია და ნატაშა ერთ განყოფილებაში მუშაობენ. მათი ხელფასი დამოკიდებულია სამუშაო დღეების რაოდენობაზე. ჯულიამ 20 დღეში 4100 მანეთი მიიღო, ნატაშას კი 21 დღეში მეტი უნდა მიეღო, მაგრამ ზედიზედ 3 დღე აგვიანებდა. რამდენ რუბლს მიიღებს ნატაშა?

გამოსავალი:

Სამუშაო დღე

ხელფასი, რუბლი.

ჯულია

4100

ნატაშა

შესაბამისად ხელფასი პირდაპირპროპორციულია სამუშაო დღეების რაოდენობისა

20: 21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 რუბლი. ნატას უნდა ჰქონდეს.

4305 - 3 * 70 = 4095 (რუბ.)

პასუხი: ნატაშა მიიღებს 4095 რუბლს.

დავალება ნომერი 12

მანძილი ორ ქალაქს შორის რუკაზე არის 6 სმ. იპოვეთ მანძილი ამ ქალაქებს შორის ადგილზე, თუ რუკის მასშტაბი არის 1: 250000.

გამოსავალი:

ავღნიშნოთ მანძილი ქალაქებს შორის მიწაზე x-ით (სანტიმეტრებში) და ვიპოვოთ რუკაზე სეგმენტის სიგრძის თანაფარდობა მიწაზე მანძილთან, რომელიც ტოლი იქნება რუკის მასშტაბის: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 სმ = 15 კმ

პასუხი: 15 კმ.

დავალება ნომერი 13

4000 გრ ხსნარი შეიცავს 80 გრ მარილს. როგორია მარილის კონცენტრაცია ამ ხსნარში?

გამოსავალი:

წონა, გ

კონცენტრაცია, %

გამოსავალი

4000

Მარილი

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

პასუხი: მარილის კონცენტრაცია არის 2%.

დავალება ნომერი 14

ბანკი გასცემს სესხს წელიწადში 10%-ით. თქვენ მიიღეთ სესხი 50000 რუბლის ოდენობით. რამდენი უნდა გადაიხადოთ ბანკში წელიწადში?

გამოსავალი:

50 000 რუბლი.

100%

x რუბლს შეადგენს.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 რუბლი. არის 10%.

50,000 + 5000 = 55,000 (რუბლი)

პასუხი: ერთ წელიწადში 55000 რუბლი დაუბრუნდება ბანკს.

დასკვნა.

როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ვხედავთ, პირდაპირი და უკუპროპორციული ურთიერთობები გამოიყენება ცხოვრების სხვადასხვა სფეროში:

Ეკონომია,

ვაჭრობა,

წარმოებასა და მრეწველობაში,

სკოლის ცხოვრება,

სამზარეულო,

მშენებლობა და არქიტექტურა.

სპორტი,

მეცხოველეობა,

ტოპოგრაფია,

ფიზიკოსები,

ქიმია და ა.შ.

რუსულ ენაზე ასევე არსებობს ანდაზები და გამონათქვამები, რომლებიც ამყარებენ პირდაპირ და საპირისპირო ურთიერთობებს:

როგორც მოვა, ისე უპასუხებს.

რაც უფრო მაღალია ღერო, მით უფრო მაღალია ჩრდილი.

რაც უფრო მეტი ადამიანია, მით ნაკლებია ჟანგბადი.

და მზადაა, დიახ, სულელურად.

მათემატიკა ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა, ის წარმოიშვა კაცობრიობის მოთხოვნილებებისა და საჭიროებების საფუძველზე. ძველი საბერძნეთიდან მოყოლებული ჩამოყალიბების ისტორიაში გავლილი, ის კვლავ აქტუალური და აუცილებელი რჩება ნებისმიერი ადამიანის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. პირდაპირი და უკუპროპორციულობის ცნება ცნობილი იყო უძველესი დროიდან, რადგან სწორედ პროპორციის კანონები ამოძრავებდა არქიტექტორებს ნებისმიერი ქანდაკების მშენებლობის ან შექმნისას.

პროპორციების ცოდნა ფართოდ გამოიყენება ადამიანის ცხოვრებისა და საქმიანობის ყველა სფეროში - მათ გარეშე არ შეიძლება ნახატების ხატვისას (პეიზაჟები, ნატურმორტები, პორტრეტები და ა.შ.), ისინი ასევე გავრცელებულია არქიტექტორებსა და ინჟინერებში - ზოგადად, რთულია. წარმოვიდგინოთ რაიმეს შექმნა პროპორციების და მათი ურთიერთობის შესახებ ცოდნის გამოყენების გარეშე.

ლიტერატურა.

მათემატიკა-6, ნ.ია. ვილენკინი და სხვები.

ალგებრა -7, გ.ვ. დოროფეევი და სხვები.

მათემატიკა-9, GIA-9, რედაქციით F.F. ლისენკო, ს.იუ. კულაბუხოვი

მათემატიკა-6, დიდაქტიკური მასალები, პ.ვ. ჩულკოვი, ა.ბ. უედინოვი

დავალებები მათემატიკაში 4-5 კლასებისთვის, I.V. Baranova et al., M. "განმანათლებლობა" 1988 წ.

დავალებების და მაგალითების კრებული მათემატიკაში 5-6 კლასში, ნ.ა. ტერეშინი,

თ.ნ. Tereshina, M. "აკვარიუმი" 1997 წ

მაგალითი

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 და ა.შ.

პროპორციულობის ფაქტორი

პროპორციული სიდიდეების მუდმივი თანაფარდობა ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი. პროპორციულობის კოეფიციენტი გვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეული მოდის მეორის ერთეულზე.

პირდაპირი პროპორციულობა

პირდაპირი პროპორციულობა- ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც გარკვეული რაოდენობა დამოკიდებულია სხვა რაოდენობაზე ისე, რომ მათი თანაფარდობა მუდმივი რჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ცვლადები იცვლება პროპორციულად, თანაბარ წილებში, ანუ თუ არგუმენტი ორჯერ შეიცვალა რომელიმე მიმართულებით, მაშინ ფუნქციაც ორჯერ იცვლება იმავე მიმართულებით.

მათემატიკურად, პირდაპირი პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ვ(x) = აx,ა = გონსტ

უკუპროპორციულობა

შებრუნებული პროპორცია- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომელშიც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის (არგუმენტის) ზრდა იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის (ფუნქციის) პროპორციულ შემცირებას.

მათემატიკურად, შებრუნებული პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ფუნქციის თვისებები:

წყაროები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

მაგალითი

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 და ა.შ.

პროპორციულობის ფაქტორი

პროპორციული სიდიდეების მუდმივი თანაფარდობა ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი. პროპორციულობის კოეფიციენტი გვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეული მოდის მეორის ერთეულზე.

პირდაპირი პროპორციულობა

პირდაპირი პროპორციულობა- ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც გარკვეული რაოდენობა დამოკიდებულია სხვა რაოდენობაზე ისე, რომ მათი თანაფარდობა მუდმივი რჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ცვლადები იცვლება პროპორციულად, თანაბარ წილებში, ანუ თუ არგუმენტი ორჯერ შეიცვალა რომელიმე მიმართულებით, მაშინ ფუნქციაც ორჯერ იცვლება იმავე მიმართულებით.

მათემატიკურად, პირდაპირი პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ვ(x) = აx,ა = გონსტ

უკუპროპორციულობა

შებრუნებული პროპორცია- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომელშიც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის (არგუმენტის) ზრდა იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის (ფუნქციის) პროპორციულ შემცირებას.

მათემატიკურად, შებრუნებული პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ფუნქციის თვისებები:

წყაროები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.