ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა ამოხსნათ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას ნიშნები

1. პარალელოგრამის განმარტება და ძირითადი თვისებები

დავიწყოთ იმით, რომ ჩვენ გვახსოვს de-les-nie pa-ral-le-lo-gram-ma-ს განმარტება.

განმარტება. პარალელოგრამი- ოთხი-შენ-რეხ-ნახშირ-ნიკა, ვინმე-რო-გო აქვს პარა-რალ-ლელ-ნის ორი პრო-ტი-ინ-ზე-ყალბი მხარე (იხ. ნახ. . ერთი).

ბრინჯი. 1. პა-რალ-ლე-ლო-გრამი

გავიხსენოთ pa-ral-le-lo-gram-ma-ს ძირითადი ახალი თვისებები:

იმისათვის, რომ შეძლოთ ყველა ამ თვისების გამოყენება, დარწმუნებული უნდა იყოთ, რომ ფი-გუ-რა, ოჰ ვინმე -როი საკითხავია, - პა-რალ-ლე-ლო-გრამი. ამისთვის აუცილებელია ვიცოდეთ ისეთი ფაქტები, როგორიცაა პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას ნიშნები. პირველ ორ მათგანს დღეს ვუყურებთ.

2. პარალელოგრამის პირველი ნიშანი

თეორემა. პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას პირველი ნიშანი.თუ ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნი-კეში ორი პრო-ტი-ში-ყალბი მხარე ტოლია და პარ-რალ-ლელ-ნა, მაშინ ეს ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ- მეტსახელი - პარალელოგრამი. .

ბრინჯი. 2. პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას პირველი ნიშანი

მტკიცებულება. We-we-we-dem in four-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (იხ. სურ. 2), მან გაყო იგი ორ სამკუთხედად-ნო-კა. ჩამოწერეთ რა ვიცით ამ სამკუთხედების შესახებ:

სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით.

მითითებული სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზების par-ral-lel-no-sti ნიშნის მიხედვით, როდესაც ხელახლა-სე-ჩე-ნი მათი se-ku-schey. ჩვენ გვაქვს ეს:

ადრე-მაგრამ.

3. პარალელოგრამის მეორე ნიშანი

თეორემა. მეორე სკამი პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას ნიშანია.თუ ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნი-კეში ყოველი ორი პრო-ტი-ში-ყალბი მხარე ტოლია, მაშინ ეს ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნიკა - პარალელოგრამი. .

ბრინჯი. 3. მეორე სკამი ნიშანი pa-ral-le-lo-gram-ma

მტკიცებულება. We-we-we-dem in four-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (იხ. სურ. 3), იგი ყოფს მას ორ სამკუთხედად-ნო-კა. ჩვენ ვწერთ იმას, რაც ვიცით ამ სამკუთხედების შესახებ, გამომდინარე for-mu-li-ditch-ki theo-re-we:

სამკუთხედების ტოლობის მესამე ნიშნის მიხედვით.

სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზების par-ral-lel-no-sti ნიშნის მიხედვით, მათი ხელახალი სე-ჩე-ინგის მიხედვით se-ku-schey. By-lu-cha-ჭამა:

pa-ral-le-lo-gram განმარტება-de-le-ny-ის მიხედვით. ქ.ე.დ.

ადრე-მაგრამ.

4. პარალელოგრამის პირველი მახასიათებლის გამოყენების მაგალითი

რას-ნახეთ პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა ნიშნების გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი 1. შენ-შორს-სკრაპ-ჩე-იუ-რექსი-ნახშირ-ნო-კე-ში იპოვე: ა) ოთხ-შენ-რექსი-ნახშირის-ნო-კა-ს კუთხეები; ბ) ასეულ-რო-ჭა.

გამოსავალი. გამოსახულება-რა-ზამთარი ნახ. ოთხი.

პა-რალ-ლე-ლო-გრამი პირველი ნიშნის-კუ პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას მიხედვით.

მაგრამ. პარა-ლე-ლო-გრამ-მა თვისების მიხედვით პრო-ტი-ში-ცრუ კუთხეების შესახებ, პარა-ლე-ლო-გრამ-მა-ს თვისების მიხედვით კუთხეების ჯამის მიხედვით, ერთ-ერთზე მხარეს.

ბ. პრო-ტი-ში-ცრუ მხარეების თანასწორობის თვისებით.

ხელახლა ნიშანი პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა

5. გამეორება: პარალელოგრამის განმარტება და თვისებები

შეგახსენებთ, რომ პარალელოგრამი- ეს არის ოთხ-რეხ-ნახშირის ნიკი, ვიღაცას აქვს პრო-ტი-ინ-ცრუ მხარეები წყვილ-მაგრამ-პა-რალ-ლელ-ნაში. ანუ თუ - პა-რალ-ლე-ლო-გრამი, მაშინ (იხ. სურ. 1).

პა-რალ-ლე-ლო-გრამს აქვს თვისებების მთელი დიაპაზონი: პრო-ტი-ში-ცრუ კუთხეები ტოლია (), პრო-ტი-ინ-ცრუ ასი-რო - ჩვენ ტოლია ( ). გარდა ამისა, dia-go-on-თუ არა par-ral-le-lo-gram-ma re-se-che-niya de-lyat-by-lam წერტილში, კუთხეების ჯამი, ატ-ლე- pa-ral-le-lo-gram-ma, ნებისმიერი მხარის ტოლი, თანაბარი და ა.შ.

მაგრამ იმისათვის, რომ გამოვიყენოთ ყველა ეს თვისება, აუცილებელია ვიყოთ აბსოლიტურად, მაგრამ დარწმუნებული, რომ რბოლები რი-ვა-ე-ჩემი ჩე-იუ-რეხ-ნახშირ-ნიკ - პა-რალ-ლე- ლო-გრამი. ამისთვის არის პარ-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას ნიშნები: ანუ ის ფაქტები, საიდანაც შეიძლება ერთი ღირებული დასკვნის გამოტანა, რომ ჩე-იუ-რეხ-ქვანახშირ-ნიკ იავ-ლა-ეტ. -sya pa-ral-le-lo-gram-mom. წინა გაკვეთილზე ჩვენ უკვე განვიხილეთ ორი მახასიათებელი. ამ საათში ჩვენ მესამეს ვუყურებთ.

6. პარალელოგრამის მესამე თვისება და მისი დამტკიცება

თუ ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნი-კე დია-გო-ნა-ლიში რე-სე-ჩე-ნია დე-ლიატ-ბი-ლამის წერტილში, მაშინ ეს ოთხ-იუ-რეჰ-ნახშირ-ნიკი. yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mom.

მოცემული:

Che-you-reh-coal-nick; ; .

დაამტკიცე:

პარალელოგრამი.

მტკიცებულება:

ამ ფაქტის დასადასტურებლად საჭიროა პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას გვერდების პარა-რალ-ლელელობის დამტკიცება. და სწორი ხაზების პარალელურობა ყველაზე ხშირად არის მდე-კა-ზი-ვა-ეტ-სია მათი შიდა-ჯვარედინი დაწოლის კუთხეების თანასწორობით ამ სწორ ხაზებზე. . ამგვარად, na-pra-shi-va-et-sya შემდეგი-დუ-უ-შე გზა-კა-ფორ-ტელ-სტვა-ის მესამე ნიშანი-of-pa-ral -le-lo-gram-. ma: სამკუთხედების ტოლობის მეშვეობით-ნი-კოვი .

დაველოდოთ ამ სამკუთხედების ტოლობას. მართლაც, მდგომარეობიდან შემდეგია:. გარდა ამისა, რადგან კუთხეები ვერტიკალურია, ისინი თანაბარია. ანუ:

(თანასწორობის პირველი ნიშანისამკუთხედი-ნი-კოვი- ორასი-რო-უს და მათ შორის კუთხე).

სამკუთხედების ტოლობიდან: (რადგან ჯვარზე შიდა კუთხეები ტოლია ამ სწორ ხაზებზე და se-ku-schey). გარდა ამისა, სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვართ, როგორც ჩი-ლი, რომ ოთხ-შენ-რეხ-ნახშირ-ნი-კეში ორი მხარე თანაბარია და პარ-რალ-ლელ-ნა. პირველი ნიშნის მიხედვით პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა: - პა-რალ-ლე-ლო-გრამი.

ადრე-მაგრამ.

7. პარალელოგრამის მესამე მახასიათებლის ამოცანის მაგალითი და განზოგადება

რას-შეხედეთ პარა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას მესამე ნიშნის გამოყენების მაგალითს.

მაგალითი 1

მოცემული:

- პარალელოგრამი; . - სე-რე-დი-ნა, - სე-რე-დი-ნა, - სე-რე-დი-ნა, - სე-რე-დი-ნა (იხ. სურ. 2).

დაამტკიცე:- პა-რალ-ლე-ლო-გრამი.

მტკიცებულება:

ასე რომ, ოთხ-იუ-რეხ-ნახშირ-ნო-კე დია-გო-ნა-ლიში რე-სე-ჩე-ნია დე-ლიატ-სია-ბი-ლამის წერტილში. მესამე ნიშნის, პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას მიხედვით, აქედან გამომდინარეობს, რომ - პა-რალ-ლე-ლო-გრამი.

ადრე-მაგრამ.

თუ გავაანალიზებთ pa-ral-le-lo-gram-ma-ს მესამე ნიშანს, მაშინ შევამჩნევთ, რომ ეს ნიშანი არის co-ot-reply- აქვს par-ral-le-lo-gram-ma თვისება. ანუ ის ფაქტი, რომ დია-გო-ნა-დე-ლიატ-ბი-ლამ, არის-ლა-ეტ-სია არ არის მხოლოდ პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მას საკუთრება და -ლი-ჩი-ტელ-ნიმ, ჰა-რაკ-ტე-რი-სტი-ჩე-ცაის საკუთრება, ზოგიერთი-რო-მუ-ს მიხედვით მისი ჩამოსხმა შესაძლებელია სიმრავლისგან ჩე-იუ-რეჰ-ნახშირ-ნო- კოვ.

წყარო

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

1. პარალელოგრამის განმარტება.

თუ წყვილი პარალელური წრფე გადავკვეთეთ სხვა წყვილ პარალელურ წრფესთან, მივიღებთ ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.

ოთხკუთხედებში ABDC და EFNM (სურ. 224) BD || AC და AB || CD;

EF || MN და EM || ფ.ნ.

ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია, პარალელოგრამი ეწოდება.

2. პარალელოგრამის თვისებები.

თეორემა. პარალელოგრამის დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.

იყოს პარალელოგრამი ABDC (სურ. 225), რომელშიც AB || CD და AC || BD.

საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.

დახაზეთ დიაგონალი CB ABDC პარალელოგრამზე. მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

NE გვერდი საერთოა ამ სამკუთხედებისთვის; ∠ABC = ∠BCD, როგორც შიდა ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები პარალელურად AB და CD და სეკანტური CB; ∠ACB = ∠CBD, იგივე, რაც შიდა ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები პარალელური AC და BD და სეკანტური CB.

აქედან გამომდინარე, \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

ანალოგიურად, შეიძლება დავამტკიცოთ, რომ დიაგონალი AD ყოფს პარალელოგრამს ორ ტოლ სამკუთხედად ACD და ABD.

შედეგები:

1 . პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია.

∠A = ∠D, ეს გამომდინარეობს სამკუთხედების CAB და CDB ტოლობიდან.

ანალოგიურად, ∠C = ∠B.

2. პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები ტოლია.

AB \u003d CD და AC \u003d BD, რადგან ეს არის თანაბარი სამკუთხედის გვერდები და დევს თანაბარი კუთხით.

თეორემა 2. პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება მათი გადაკვეთის ადგილას.

BC და AD იყოს ABDC პარალელოგრამის დიაგონალები (სურ. 226). მოდით დავამტკიცოთ, რომ AO = OD და CO = OB.

ამისათვის მოდით შევადაროთ მოპირდაპირე სამკუთხედების რამდენიმე წყვილი, მაგალითად \(\Delta\)AOB და \(\Delta\)COD.

ამ სამკუთხედებში AB = CD, როგორც პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები;

∠1 = ∠2, როგორც შიდა კუთხეები ჯვარედინზე, რომლებიც დევს პარალელურად AB და CD და სეკანტი AD;

∠3 = ∠4 იმავე მიზეზით, ვინაიდან AB || CD და CB მათი სეკანტია.

აქედან გამომდინარეობს, რომ \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. თანაბარ სამკუთხედებში კი მოპირდაპირე ტოლი კუთხეები ტოლი გვერდებია. ამიტომ, AO = OD და CO = OB.

თეორემა 3. პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი უდრის 180°.

დახაზეთ AC დიაგონალი ABCD პარალელოგრამზე და მიიღეთ ორი სამკუთხედი ABC და ADC.

სამკუთხედები თანმიმდევრულია, რადგან ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (გადაკვეთის კუთხეები პარალელურ ხაზებზე), ხოლო გვერდი AC საერთოა.
ტოლობა \(\დელტა\)ABC = \(\დელტა\)ADC გულისხმობს, რომ AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი, მაგალითად, კუთხეები A და D, უდრის 180 °, როგორც ცალმხრივი პარალელური ხაზებით.

ეს არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია.

საკუთრება 1 . პარალელოგრამის ნებისმიერი დიაგონალი მას ორ ტოლ სამკუთხედად ყოფს.

მტკიცებულება . II ნიშნის მიხედვით (ჯვარედინი კუთხეები და საერთო მხარე).

დადასტურებული თეორემა.

საკუთრება 2 . პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება .
ანალოგიურად,

დადასტურებული თეორემა.

თვისება 3. დიაგონალურ პარალელოგრამში გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე.

მტკიცებულება .

დადასტურებული თეორემა.

საკუთრება 4 . პარალელოგრამის კუთხის ბისექტორი, რომელიც კვეთს მოპირდაპირე მხარეს, ყოფს მას ტოლფერდა სამკუთხედად და ტრაპეციად. (ჩ. სიტყვა - ზედა - ორი ტოლფერდა? -კა).

მტკიცებულება .

დადასტურებული თეორემა.

საკუთრება 5 . პარალელოგრამში, მონაკვეთი, რომელსაც ბოლოები აქვს მოპირდაპირე მხარეს, რომელიც გადის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში, ორად არის გაყოფილი ამ წერტილით.

მტკიცებულება .

დადასტურებული თეორემა.

საკუთრება 6 . პარალელოგრამის ბლაგვი კუთხის წვეროდან ჩამოშვებულ სიმაღლეებს შორის კუთხე უდრის პარალელოგრამის მახვილ კუთხეს.

მტკიცებულება .

დადასტურებული თეორემა.

საკუთრება 7 . ერთი მხარის მიმდებარე პარალელოგრამის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება .

დადასტურებული თეორემა.

კუთხის ბისექტრის აგება. სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის თვისებები.

1) ააშენეთ თვითნებური სხივი DE.

2) მოცემულ სხივზე ააგეთ თვითნებური წრე, ცენტრით წვეროზე და იგივე
კონცენტრირებულია აშენებული სხივის დასაწყისში.

3) F და G - წრის გადაკვეთის წერტილები მოცემული კუთხის გვერდებთან, H - წრის გადაკვეთის წერტილი აგებულ სხივთან.

ააგეთ წრე H წერტილში ცენტრით და რადიუსით FG-ის ტოლი.

5) I - აგებული სხივის წრეების გადაკვეთის წერტილი.

6) დახაზეთ ხაზი წვეროზე და I.

IDH - საჭირო კუთხე.
)

საკუთრება 1 . სამკუთხედის კუთხის ბისექტორი ყოფს მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე გვერდების პროპორციულად.

მტკიცებულება . მოდით x, y იყოს c გვერდის სეგმენტები. ვაგრძელებთ სხივს ძვ.წ. BC სხივზე გამოვსახავთ CK სეგმენტს C-დან AC-ის ტოლი.

გაკვეთილის თემა

• პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებები.

გაკვეთილის მიზნები

• გაეცანით ახალ განმარტებებს და გაიხსენეთ უკვე შესწავლილი.
• ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება.
• ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.
• განმავითარებელი - მოსწავლეთა ყურადღების განვითარება, შეუპოვრობა, შეუპოვრობა, ლოგიკური აზროვნება, მათემატიკური მეტყველება.
• საგანმანათლებლო - გაკვეთილის საშუალებით ერთმანეთის მიმართ ყურადღებიანი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, ამხანაგების მოსმენის უნარის, ურთიერთდახმარების, დამოუკიდებლობის განვითარება.

გაკვეთილის მიზნები

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემების გადაჭრის უნარი.

Გაკვეთილის გეგმა

1. გახსნის სიტყვა.
2. ადრე ნასწავლი მასალის გამეორება.
3. პარალელოგრამი, მისი თვისებები და ნიშნები.
4. დავალების მაგალითები.
5. Თვითშემოწმება.

შესავალი

”მთავარი მეცნიერული აღმოჩენა იძლევა ძირითადი პრობლემის გადაწყვეტას, მაგრამ ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრაში არის აღმოჩენის მარცვალი.”

პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისებები

პარალელოგრამს მოპირდაპირე გვერდები ტოლი აქვს.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და დაე, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
ვინაიდან Δ AOB = Δ COD სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნით (∠ AOB = ∠ COD, როგორც ვერტიკალურად, AO=OC, DO=OB, პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებით), მაშინ AB=CD. ანალოგიურად, BOC და DOA სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ BC=DA. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეების თვისება

პარალელოგრამს აქვს საპირისპირო კუთხეები.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და დაე, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისებებიდან დადასტურებული თეორემაში Δ ABC = Δ CDA სამ მხარეს (AB=CD, BC=DA დადასტურებულიდან, AC ზოგადია). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ABC = ∠CDA.
ასევე დადასტურებულია, რომ ∠ DAB = ∠ BCD, რომელიც გამომდინარეობს ∠ ABD = ∠ CDB-დან. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება

პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი ორად იკვეთება.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. დავხატოთ AC დიაგონალი. მასზე ვნიშნავთ შუა O-ს. DO სეგმენტის გაგრძელებაზე ვდებთ DO-ს ტოლი OB 1 სეგმენტს.
წინა თეორემით AB 1 CD არის პარალელოგრამი. მაშასადამე, AB 1 ხაზი DC-ის პარალელურია. მაგრამ A წერტილის გავლით DC-ის პარალელურად მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება. აქედან გამომდინარე, ხაზი AB 1 ემთხვევა AB ხაზს.
ასევე დასტურდება, რომ ძვ.წ 1 ემთხვევა ძვ.წ. ასე რომ C წერტილი ემთხვევა C 1-ს. პარალელოგრამი ABCD ემთხვევა პარალელოგრამს AB 1 CD. ამრიგად, პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი ორად იკვეთება. თეორემა დადასტურდა.

ჩვეულებრივი სკოლების სახელმძღვანელოებში (მაგალითად, პოგორელოვში) ასეა დადასტურებული: დიაგონალები ყოფენ პარალელოგრამს 4 სამკუთხედად. განვიხილოთ ერთი წყვილი და გაარკვიეთ - ისინი ტოლია: მათი ფუძეები მოპირდაპირე გვერდებია, მის მიმდებარედ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, როგორც ვერტიკალური პარალელური ხაზებით. ანუ დიაგონალების სეგმენტები წყვილში ტოლია. ყველაფერი.

Სულ ეს არის?
ზემოთ დადასტურდა, რომ გადაკვეთის წერტილი ყოფს დიაგონალებს - თუ ის არსებობს. ზემოაღნიშნული მსჯელობა არანაირად არ ადასტურებს მის არსებობას. ანუ თეორემის ნაწილი „პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება“ რჩება დაუმტკიცებელი.

სასაცილოა, რამდენად რთულია ამ ნაწილის დამტკიცება. სხვათა შორის, ეს უფრო ზოგადი შედეგიდან გამომდინარეობს: ნებისმიერი ამოზნექილი ოთხკუთხედისთვის დიაგონალები იკვეთება, ნებისმიერი არაამოზნექილისთვის - არა.

გვერდის გასწვრივ სამკუთხედების და მის მიმდებარე ორი კუთხის ტოლობის შესახებ (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი) და სხვა.

თეორემა გვერდის გასწვრივ ორი ​​სამკუთხედის და მის მიმდებარე ორი კუთხის ტოლობის შესახებ, თალესმა იპოვა მნიშვნელოვანი პრაქტიკული გამოყენება. მილეტის ნავსადგურში აშენდა დიაპაზონი, რომელიც განსაზღვრავს მანძილს ზღვაზე გემამდე. იგი შედგებოდა სამი ამოძრავებული სამაგრი A, B და C (AB = BC) და მონიშნული სწორი ხაზი SK, პერპენდიკულარული CA. როდესაც გემი გამოჩნდა SC სწორ ხაზზე, აღმოჩნდა D წერტილი ისეთი, რომ D, .B და E წერტილები იმავე სწორ ხაზზე იყო. როგორც ნახატიდან ირკვევა, CD მანძილი ადგილზე არის სასურველი მანძილი გემამდე.

კითხვები

1. კვადრატის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით?
   
2. პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია?
3. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია?
4. რა არის პარალელოგრამის განმარტება?
5. პარალელოგრამის რამდენი თვისებაა?
   
6. შეიძლება რომბი იყოს პარალელოგრამი?
   

გამოყენებული წყაროების სია

1. კუზნეცოვი A.V., მათემატიკის მასწავლებელი (5-9 კლასები), კიევი
2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006წ. მათემატიკა. საგანმანათლებლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "მ.ი. სკანავის რედაქტორული კრებულის ძირითადი საკონკურსო ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში"
4. ლ.

გაკვეთილზე მუშაობა

კუზნეცოვი A.V.

Poturnak S.A.

ევგენი პეტროვი

თქვენ შეგიძლიათ დასვათ შეკითხვა თანამედროვე განათლების შესახებ, გამოხატოთ აზრი ან გადაწყვიტოთ გადაუდებელი პრობლემა განათლების ფორუმისადაც ახალი აზრისა და მოქმედების საგანმანათლებლო საბჭო იკრიბება საერთაშორისო დონეზე. რომელმაც შექმნა ბლოგი,თქვენ არა მხოლოდ გააუმჯობესებთ კომპეტენტური მასწავლებლის სტატუსს, არამედ მნიშვნელოვან წვლილს შეიტანთ მომავლის სკოლის განვითარებაში. განათლების ლიდერთა გილდიაკარს უხსნის უმაღლესი რანგის სპეციალისტებს და გიწვევთ თანამშრომლობისთვის მსოფლიოში საუკეთესო სკოლების შექმნის მიმართულებით.

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-8 კლასი