პრობლემის ფორმულირება

დავალება გულისხმობს მომხმარებლის გაცნობას რიცხვითი მეთოდების ძირითად ცნებებთან, როგორიცაა დეტერმინანტი და შებრუნებული მატრიცა და მათი გამოთვლის სხვადასხვა ხერხები. ამ თეორიულ მოხსენებაში, მარტივ და ხელმისაწვდომ ენაზე, პირველად არის წარმოდგენილი ძირითადი ცნებები და განმარტებები, რის საფუძველზეც მიმდინარეობს შემდგომი კვლევა. მომხმარებელს შეიძლება არ ჰქონდეს სპეციალური ცოდნა რიცხვითი მეთოდებისა და წრფივი ალგებრის სფეროში, მაგრამ ადვილად გამოიყენოს ამ სამუშაოს შედეგები. სიცხადისთვის მოცემულია მატრიცის განმსაზღვრელი რამდენიმე მეთოდით გაანგარიშების პროგრამა, დაწერილი C ++ პროგრამირების ენაზე. პროგრამა გამოიყენება როგორც ლაბორატორიული სტენდი ანგარიშისთვის ილუსტრაციების შესაქმნელად. ასევე მიმდინარეობს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდების შესწავლა. ინვერსიული მატრიცის გამოთვლის უსარგებლობა დადასტურებულია, შესაბამისად, ნაშრომში მოცემულია განტოლებების ამოხსნის უფრო ოპტიმალური გზები მისი გაანგარიშების გარეშე. ახსნილია, რატომ არის ამდენი განსხვავებული მეთოდი დეტერმინანტებისა და ინვერსიული მატრიცების გამოსათვლელად და მათი ნაკლოვანებების გაანალიზება. ასევე განიხილება შეცდომები დეტერმინანტის გამოთვლაში და ფასდება მიღწეული სიზუსტე. რუსული ტერმინების გარდა, ნაშრომში მათი ინგლისური ეკვივალენტებიც გამოიყენება, რათა გავიგოთ, რა სახელებით უნდა მოძებნოთ ციფრული პროცედურები ბიბლიოთეკებში და რას ნიშნავს მათი პარამეტრები.

ძირითადი განმარტებები და მარტივი თვისებები

განმსაზღვრელი

შემოვიღოთ ნებისმიერი რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი დეფინიცია. ეს განსაზღვრება იქნება განმეორებადი, ანუ იმის დასადგენად, თუ რა არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, თქვენ უკვე უნდა იცოდეთ რა არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ განმსაზღვრელი არსებობს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი აღინიშნა ან det-ით.

განმარტება 1. განმსაზღვრელიკვადრატული მატრიცა მეორე შეკვეთის ნომერზე დარეკვა .

განმსაზღვრელი რიგის კვადრატული მატრიცა, რომელსაც რიცხვი ეწოდება

სად არის მატრიციდან მიღებული რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი პირველი მწკრივის და ნომრის მქონე სვეტის წაშლით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ, თუ როგორ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მეოთხე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი:

კომენტარი.დეტერმინანტების ფაქტობრივი გაანგარიშება მესამე რიგის ზემოთ მყოფი მატრიცებისთვის, განსაზღვრების საფუძველზე გამოიყენება გამონაკლის შემთხვევებში. როგორც წესი, გამოთვლა ხდება სხვა ალგორითმების მიხედვით, რომლებიც მოგვიანებით იქნება განხილული და რომლებიც ნაკლებ გამოთვლით სამუშაოს მოითხოვს.

კომენტარი.განმარტება 1-ში უფრო ზუსტი იქნება იმის თქმა, რომ განმსაზღვრელი არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია კვადრატული რიგის მატრიცების სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობებს რიცხვების სიმრავლეში.

კომენტარი.ლიტერატურაში ტერმინი „განმსაზღვრელი“ ნაცვლად გამოიყენება ტერმინი „განმსაზღვრელი“, რომელსაც იგივე მნიშვნელობა აქვს. სიტყვიდან „განმსაზღვრელი“ გაჩნდა აღნიშვნა det.

განვიხილოთ დეტერმინანტების ზოგიერთი თვისება, რომლებსაც ვაყალიბებთ მტკიცების სახით.

განცხადება 1.მატრიცის ტრანსპონირებისას დეტერმინანტი არ იცვლება, ანუ .

განცხადება 2.კვადრატული მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია ფაქტორების დეტერმინანტების ნამრავლის, ანუ .

განცხადება 3.თუ მატრიცაში ორი მწკრივი შეიცვლება, მაშინ მისი განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს.

განცხადება 4.თუ მატრიცას აქვს ორი იდენტური მწკრივი, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მომავალში დაგვჭირდება სტრიქონების დამატება და სტრიქონის რიცხვზე გამრავლება. ჩვენ შევასრულებთ ამ ოპერაციებს მწკრივებზე (სვეტებზე) ისევე, როგორც ოპერაციებს მწკრივის მატრიცებზე (სვეტის მატრიცები), ანუ ელემენტი ელემენტი. შედეგი იქნება მწკრივი (სვეტი), რომელიც, როგორც წესი, არ ემთხვევა თავდაპირველი მატრიცის სტრიქონებს. მწკრივების (სვეტების) დამატების და მათი რიცხვით გამრავლების ოპერაციების არსებობისას, ასევე შეგვიძლია ვისაუბროთ მწკრივების (სვეტების) წრფივ კომბინაციებზე, ანუ ჯამებზე რიცხვითი კოეფიციენტებით.

განცხადება 5.თუ მატრიცის მწკრივი მრავლდება რიცხვზე, მაშინ მისი განმსაზღვრელი გამრავლდება ამ რიცხვზე.

განცხადება 6.თუ მატრიცა შეიცავს ნულოვან რიგს, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

განცხადება 7.თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი ტოლია მეორეზე გამრავლებული რიცხვით (სტრიქონები პროპორციულია), მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განცხადება 8.დაე, მატრიცაში i-ე მწკრივი გამოიყურებოდეს. შემდეგ, სადაც მატრიცა მიიღება მატრიციდან i-ე მწკრივის მწკრივით ჩანაცვლებით, ხოლო მატრიცა მიიღება i-ე რიგის მწკრივით ჩანაცვლებით.

განცხადება 9.თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი დაემატება მეორეს, გამრავლებული რიცხვით, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არ შეიცვლება.

განცხადება 10.თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი არის მისი სხვა რიგების წრფივი კომბინაცია, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განმარტება 2. ალგებრული დამატებამატრიცის ელემენტს ეწოდება რიცხვი, რომელიც ტოლია , სადაც არის მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია მატრიციდან i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის წაშლით. მატრიცის ელემენტის ალგებრული დანამატი აღინიშნება .

მაგალითი.დაე იყოს . მერე

კომენტარი.ალგებრული დამატებების გამოყენებით, 1 დეტერმინანტის განმარტება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

განცხადება 11. დეტერმინანტის დაშლა თვითნებურ სტრიქონში.

მატრიცის განმსაზღვრელი აკმაყოფილებს ფორმულას

მაგალითი.გამოთვალეთ .

გადაწყვეტილება.გამოვიყენოთ გაფართოება მესამე სტრიქონში, ეს უფრო მომგებიანია, რადგან მესამე სტრიქონში სამი რიცხვიდან ორი არის ნული. მიიღეთ

განცხადება 12.რიგის კვადრატული მატრიცისთვის ჩვენ გვაქვს მიმართება .

განცხადება 13.მწკრივებისთვის ჩამოყალიბებული დეტერმინანტის ყველა თვისება (განცხადებები 1 - 11) ასევე მოქმედებს სვეტებისთვის, კერძოდ, მართებულია j-ე სვეტის განმსაზღვრელი გაფართოება. და თანასწორობა ზე.

განცხადება 14.სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მისი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

შედეგი.იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია ერთი,.

დასკვნა.ზემოთ ჩამოთვლილი თვისებები შესაძლებელს ხდის საკმარისად მაღალი რიგის მატრიცების განმსაზღვრელთა პოვნას შედარებით მცირე რაოდენობის გამოთვლებით. გაანგარიშების ალგორითმი შემდეგია.

სვეტში ნულების შექმნის ალგორითმი.დაე, საჭირო გახდეს რიგის განმსაზღვრელი გამოთვლა. თუ , მაშინ შეცვალეთ პირველი ხაზი და ნებისმიერი სხვა ხაზი, რომელშიც პირველი ელემენტი არ არის ნული. შედეგად, დეტერმინანტი ტოლი იქნება ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი საპირისპირო ნიშნით. თუ ყოველი მწკრივის პირველი ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცას აქვს ნულოვანი სვეტი და 1, 13 განცხადებების მიხედვით, მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

ასე რომ, მიგვაჩნია, რომ უკვე თავდაპირველ მატრიცაში. დატოვე პირველი ხაზი უცვლელი. მეორე სტრიქონს დავუმატოთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით. მაშინ მეორე რიგის პირველი ელემენტი ტოლი იქნება .

ახალი მეორე რიგის დარჩენილი ელემენტები აღინიშნა , . ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი მე-9 განცხადების მიხედვით უდრის. გაამრავლეთ პირველი სტრიქონი რიცხვზე და დაამატეთ იგი მესამეს. ახალი მესამე რიგის პირველი ელემენტი ტოლი იქნება

ახალი მესამე რიგის დარჩენილი ელემენტები აღინიშნა , . ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი მე-9 განცხადების მიხედვით უდრის.

ჩვენ გავაგრძელებთ ნულების მიღების პროცესს სტრიქონების პირველი ელემენტების ნაცვლად. ბოლოს პირველ სტრიქონს ვამრავლებთ რიცხვზე და ვამატებთ ბოლო სტრიქონს. შედეგი არის მატრიცა, რომელიც აღინიშნება , რომელსაც აქვს ფორმა

და . მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელად ვიყენებთ გაფართოებას პირველ სვეტში

Მას შემდეგ

წესრიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის მარჯვენა მხარეს. ჩვენ მასზე ვიყენებთ იგივე ალგორითმს და მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლა დაიყვანება რიგის მატრიცის განმსაზღვრელ გამოთვლამდე. პროცესი მეორდება მანამ, სანამ არ მივაღწევთ მეორე რიგის დეტერმინანტს, რომელიც გამოითვლება განსაზღვრებით.

თუ მატრიცას არ გააჩნია რაიმე კონკრეტული თვისება, მაშინ შეუძლებელია გამოთვლების რაოდენობის მნიშვნელოვნად შემცირება შემოთავაზებულ ალგორითმთან შედარებით. ამ ალგორითმის კიდევ ერთი კარგი მხარე ის არის, რომ ადვილია კომპიუტერისთვის პროგრამის დაწერა დიდი ორდერების მატრიცების განმსაზღვრელ ფაქტორების გამოსათვლელად. დეტერმინანტების გამოთვლის სტანდარტულ პროგრამებში ეს ალგორითმი გამოიყენება მცირე ცვლილებებით, რომლებიც დაკავშირებულია კომპიუტერულ გამოთვლებში დამრგვალების შეცდომების ეფექტის მინიმიზაციასთან და მონაცემთა შეყვანის შეცდომებთან.

მაგალითი.გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი .

გადაწყვეტილება.პირველი ხაზი უცვლელი დარჩა. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

იგივე ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც მარჯვნივ არის. პირველ სტრიქონს უცვლელად ვტოვებთ, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველს რიცხვზე გამრავლებული :

მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით :

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

უპასუხე. .

კომენტარი.მიუხედავად იმისა, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო წილადები, შედეგი იყო მთელი რიცხვი. მართლაც, განმსაზღვრელთა თვისებების და იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ თავდაპირველი რიცხვები მთელი რიცხვებია, წილადებთან ოპერაციების თავიდან აცილება შეიძლება. მაგრამ საინჟინრო პრაქტიკაში რიცხვები ძალიან იშვიათად არის მთელი რიცხვები. ამიტომ, როგორც წესი, დეტერმინანტის ელემენტები იქნება ათობითი წილადები და არ არის მიზანშეწონილი გამოთვლების გასამარტივებლად რაიმე ხრიკის გამოყენება.

შებრუნებული მატრიცა

განმარტება 3.მატრიცა ე.წ შებრუნებული მატრიცაკვადრატული მატრიცისთვის თუ .

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ინვერსიული მატრიცა იქნება იმავე რიგის კვადრატული მატრიცა, როგორც მატრიცა (სხვა შემთხვევაში, ერთ-ერთი პროდუქტი ან არ იქნება განსაზღვრული).

მატრიცის შებრუნებული მატრიცა აღინიშნება. ამრიგად, თუ არსებობს, მაშინ.

ინვერსიული მატრიცის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცა არის მატრიცის ინვერსია, ანუ . მატრიცები და შეიძლება ითქვას, რომ არიან ერთმანეთის შებრუნებული ან ურთიერთშებრუნებული.

თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული, მაშინ მისი ინვერსია არ არსებობს.

ვინაიდან ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად მნიშვნელოვანია, მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია თუ არა, წარმოგიდგენთ შემდეგ განმარტებებს.

განმარტება 4.დავარქვათ კვადრატული მატრიცა დეგენერატიან სპეციალური მატრიცა, თუ არადეგენერატიან არაინგულარული მატრიცა, თუ .

განცხადება.თუ ინვერსიული მატრიცა არსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

განცხადება.თუ კვადრატული მატრიცა არადეგენერატიულია, მაშინ მისი ინვერსია არსებობს და (1) სადაც არის ელემენტების ალგებრული დამატებები.

თეორემა.კვადრატული მატრიცისთვის ინვერსიული მატრიცა არსებობს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცა არაერთგულოვანია, ინვერსიული მატრიცა უნიკალურია და ფორმულა (1) მოქმედებს.

კომენტარი.განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ალგებრულ კომპლემენტებს უკუმატრიცის ფორმულაში დაკავებულ ადგილებს: პირველი ინდექსი გვიჩვენებს რიცხვს. სვეტიდა მეორე არის ნომერი ხაზები, რომელშიც უნდა ჩაიწეროს გამოთვლილი ალგებრული დანამატი.

მაგალითი. .

გადაწყვეტილება.დეტერმინანტის პოვნა

მას შემდეგ, რაც მატრიცა არ არის გადაგვარებული და მისი შებრუნებული არსებობს. ალგებრული დამატებების პოვნა:

ჩვენ ვადგენთ შებრუნებულ მატრიცას ნაპოვნი ალგებრული დამატებების განთავსებით ისე, რომ პირველი ინდექსი შეესაბამება სვეტს, ხოლო მეორე მწკრივს: (2)

შედეგად მიღებული მატრიცა (2) არის პრობლემის პასუხი.

კომენტარი.წინა მაგალითში უფრო ზუსტი იქნებოდა პასუხის დაწერა ასე:
(3)

თუმცა, აღნიშვნა (2) უფრო კომპაქტურია და უფრო მოსახერხებელია შემდგომი გამოთვლების განხორციელება, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. ამიტომ პასუხის (2) ფორმაში ჩაწერა სასურველია, თუ მატრიცების ელემენტები მთელი რიცხვებია. და პირიქით, თუ მატრიცის ელემენტები არის ათობითი წილადები, მაშინ ჯობია შებრუნებული მატრიცა დავწეროთ წინა კოეფიციენტის გარეშე.

კომენტარი.ინვერსიული მატრიცის პოვნისას საკმაოდ ბევრი გამოთვლა და საბოლოო მატრიცაში ალგებრული დამატებების მოწყობის უჩვეულო წესი უნდა შეასრულოთ. ამიტომ, შეცდომის დიდი შანსია. შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემოწმება: გამოთვალეთ ორიგინალური მატრიცის პროდუქტი საბოლოო მატრიცით ამა თუ იმ თანმიმდევრობით. თუ შედეგი არის იდენტურობის მატრიცა, მაშინ ინვერსიული მატრიცა სწორად არის ნაპოვნი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მოძებნოთ შეცდომა.

მაგალითი.იპოვეთ მატრიცის ინვერსია .

გადაწყვეტილება. -არსებობს.

პასუხი: .

დასკვნა.ინვერსიული მატრიცის პოვნა ფორმულით (1) მოითხოვს ძალიან ბევრ გამოთვლას. მეოთხე და უფრო მაღალი რიგის მატრიცებისთვის ეს მიუღებელია. შებრუნებული მატრიცის პოვნის რეალური ალგორითმი მოგვიანებით იქნება მოცემული.

დეტერმინანტის და შებრუნებული მატრიცის გამოთვლა გაუსის მეთოდით

გაუსის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას განმსაზღვრელი და შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად.

კერძოდ, მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის det-ს.

ინვერსიული მატრიცა ნაპოვნია წრფივი განტოლებების სისტემების გადაჭრით, გაუსის ელიმინაციის მეთოდით:

სად არის იდენტურობის მატრიცის j-ე სვეტი, არის საჭირო ვექტორი.

მიღებული ამოხსნის ვექტორები - ქმნიან, ცხადია, მატრიცის სვეტებს, ვინაიდან .

განმსაზღვრელი ფორმულები

1. თუ მატრიცა არაერთგულარულია, მაშინ და (წამყვანი ელემენტების პროდუქტი).

ვინაიდან ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად მნიშვნელოვანია, მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია თუ არა, წარმოგიდგენთ შემდეგ განმარტებებს.

განმარტება 14.9დავარქვათ კვადრატული მატრიცა დეგენერატიან სპეციალური მატრიცა, თუ არადეგენერატიან არაინგულარული მატრიცა, თუ .

შეთავაზება 14.21 თუ ინვერსიული მატრიცა არსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

მტკიცებულება. მოდით ორი მატრიცა და იყოს მატრიცის შებრუნებული. მერე

აქედან გამომდინარე,.

კრამერის წესი.

მოდით მატრიცული განტოლება AX=B

სად ; არის დეტერმინანტისგან მიღებული განმსაზღვრელი დჩანაცვლება მე-ე სვეტი მატრიცის თავისუფალი წევრების სვეტით ბ:

მტკიცებულებათეორემა დაყოფილია სამ ნაწილად:

1. სისტემის (1) ამონახსნი არსებობს და უნიკალურია.

2. ტოლობები (2) არის (1) მატრიცული განტოლების შედეგი.

3. ტოლობები (2) გულისხმობს მატრიცულ განტოლებას (1).

ვინაიდან, ასევე არსებობს უნიკალური ინვერსიული მატრიცა.
მატრიცული განტოლების (1) ორივე ნაწილის მარცხნივ გამრავლებით, მივიღებთ ამ განტოლების ამოხსნას:

უნიკალურობაშებრუნებული მატრიცა ამტკიცებს თეორემის პირველ ნაწილს.

მოდით გადავიდეთ მტკიცებულებაზე ერთი-ერთზე მიმოწერა(1) და (2) ფორმულებს შორის.

ფორმულის გამოყენებით (4) ვიღებთ გამონათქვამს მე- ე ელემენტი. ამისთვის საჭიროა გამრავლება მემატრიცის მე-ე რიგი

თითო სვეტზე ბ.

Იმის გათვალისწინებით, რომ მეასოცირებული მატრიცის მე-ე მწკრივი შედგება ალგებრული დამატებებისაგან, მივიღებთ შემდეგ შედეგს:

კრამერის ფორმულების წარმოშობა დასრულებულია. ახლა ვაჩვენოთ, რომ გამონათქვამები

მოდით შევცვალოთ შეკრების თანმიმდევრობა მიღებული გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს:

სად არის დელტა კრონკერის სიმბოლო.

იმის გათვალისწინებით, რომ დელტას სიმბოლო შლის შეჯამებას ერთ-ერთ ინდექსზე, მივიღებთ საჭირო შედეგს:

რთული რიცხვები: იდეა არის ახალი ობიექტების განსაზღვრა ცნობილი ობიექტების დახმარებით. რეალური რიცხვები განლაგებულია სწორ ხაზზე. თვითმფრინავში გადასვლისას ვიღებთ კომპლექსურ რიცხვებს. განმარტება: რთული რიცხვი არის z = (a,b) რეალური რიცხვების წყვილი. რიცხვს a = Re z ეწოდება ნამდვილ ნაწილს, ხოლო b = Im z კომპლექსური რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი z.

ოპერაციები კომპლექსურ რიცხვებზე:კომპლექსური რიცხვები z1 z2 არის Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. დამატება: Z=z1+z2. ⇔Rez=Rez1+Rez2 & Imz1+ Imz2. რიცხვი (0,0) აღინიშნება 0-ით. ეს არის ნეიტრალური ელემენტი. დამოწმებულია, რომ რთული რიცხვების შეკრებას აქვს რეალური რიცხვების შეკრების თვისებები. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 - კომუტატიულობა; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 - ასოციაციურობა; 3. Z1 + 0 = z1 - ნულის არსებობა (ნეიტრალური ელემენტი); 4. z + (−z) = 0 - საპირისპირო ელემენტის არსებობა). გამრავლება: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. კომპლექსური რიცხვი z დევს რეალურ ღერძზე, თუ Imz = 0. ასეთ რიცხვებზე მოქმედებების შედეგები ემთხვევა ჩვეულებრივ რეალურ რიცხვებზე მოქმედებების შედეგებს. რთული რიცხვების გამრავლებას აქვს დახურვის, ურთიერთშენაცვლების და ასოციაციურობის თვისებები. რიცხვი (1,0) აღინიშნება 1-ით, ის არის ნეიტრალური ელემენტი გამრავლებით, თუ a∈ R, z ∈C , მაშინ Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . განმარტებარიცხვი (0,1) აღინიშნება მედა ეწოდება წარმოსახვითი ერთეული. ამ აღნიშვნით ვიღებთ რთული რიცხვის გამოსახულებას ალგებრული ფორმით: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. რიცხვი ე.წ. კონიუგატი z-მდე თუ Re =Re z; მე =- მე ვარ ზ.

= + ; = ; ზ =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 z რიცხვის მოდული არის რეალური რიცხვი| z |= . სამართლიანი ფორმულა| z| 2 = z განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|ზ| 2 (1)

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა: a=rcos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) რთული რიცხვის t-არგუმენტი. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( ერთი)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

განმარტება: n ხარისხის ძირი ერთიანიდან არის z n =1 განტოლების ამოხსნა. არსებობს ერთიანობის n განსხვავებული ფესვი. ისინი იწერება როგორც z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 . თეორემა.კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში განტოლებას ყოველთვის აქვს n ამონახსნი Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-მთლიანი რიცხვები. K ეკუთვნის Z. k=2=E 2 =E n-1 E n; E n =1; E n+p =E p . ამრიგად, დადასტურდა, რომ განტოლების ამონახსნები არის რეგულარული n-გონის წვეროები, ხოლო ერთ-ერთი წვერო ემთხვევა 1-ს.

z 0-ის n-ე ფესვი. Z k \u003d Z 0; Z0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 E k ;z=z 1 E k ;Z 1 n =z 0, k=0, n=1

მატრიცები. განმარტება: m × n მატრიცა არის მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს m სტრიქონს და n სვეტს, რომლის ელემენტები არის რეალური ან რთული რიცხვები. მატრიცის ელემენტებს აქვთ ორმაგი ინდექსები.

თუ m = n, მაშინ ეს არის m რიგის კვადრატული მატრიცა და იგივე ინდექსის მქონე ელემენტები ქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს.

მატრიცის ოპერაციები: განმარტება:ორი მატრიცა A,B ეწოდება

ტოლია, თუ მათი ზომები ერთნაირია და A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

დამატება.განიხილება იგივე ზომის მატრიცები. განმარტება:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j შეთავაზება. მატრიცის დამატება არის კომუტაციური, ასოციაციური, არის ნეიტრალური ელემენტი და თითოეული მატრიცისთვის არის საპირისპირო ელემენტი.

ნეიტრალური ელემენტია ნულოვანი მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია. იგი აღინიშნება Θ-ით.

გამრავლება. m × n მატრიცა A აღინიშნება Amn-ით . განმარტება: C mk =A mn B nk ó

C=გაითვალისწინეთ, რომ ზოგადად, გამრავლება არ არის კომუტაციური. დახურულობა მოქმედებს ფიქსირებული ზომის კვადრატული მატრიცისთვის. მიეცით სამი მატრიცა Amn, Bnk, Ckr. შემდეგ (AB)C = A(BC). თუ არსებობს 3 მატრიცის ნამრავლი, მაშინ ის ასოციაციურია.

კრონეკერის სიმბოლო δij. ეს არის 1, თუ ინდექსები ემთხვევა, და 0 სხვაგვარად. განმარტება. იდენტურობის მატრიცა I n არის n რიგის კვადრატული მატრიცა, რომლის ტოლობები n I n [ i | j] = δij შეთავაზება.ტოლობები I m A mn =A mn I n =A mn

მატრიცების შეკრება და გამრავლება დაკავშირებულია განაწილების კანონებით. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

მატრიცის ტრანსპოზიცია.ტრანსპონირებული მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც მიიღება ორიგინალიდან რიგების სვეტებით ჩანაცვლებით.

(A+B) T = A T + B T

(AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T)

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე. a რიცხვისა და A mn მატრიცის ნამრავლს ეწოდება ახალი მატრიცა B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (აბ)A=a(bA)=b(aA)

ხაზოვანი სივრცე(L) F ველზე იწოდება ვექტორთა სიმრავლე L=(α,β..)

1.α+β=β+α(კომუტატიურობა) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(ასოციაციურობა) 3.α+θ=α, α∙1=α(ნეიტრალურის არსებობა) 4.α+(-α)=θ (საპირისპიროს არსებობა)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. დოკუმენტაცია (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a და b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

წრფივი სივრცის მაგალითია ფიქსირებული ზომის მატრიცების ერთობლიობა შეკრებისა და რიცხვით გამრავლების ოპერაციებით.

წრფივი ვექტორების სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ თუ სისტემა არ არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ ის წრფივად დამოუკიდებელია. განვიხილოთ 1. n=1 α 1 დამოკიდებული. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1) = a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 , α 2 დამოკიდებულია. a 1 ≠0, a 1 α 1 + a 2 α 2 =θ, α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 = b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n დამოკიდებული. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

შეთავაზება: ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს 1 ვექტორზე მეტს, არის წრფივი დამოკიდებული, მაშინ სისტემის ზოგიერთი ვექტორი არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

თუ ვექტორთა სისტემა შეიცავს წრფივად დამოკიდებულ ქვესისტემას, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.დოკუმენტაცია: (α 1 ..α n დამოკიდებულია. სისტემა: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) თუ სისტემა შეიცავს ნულოვან ვექტორს, მაშინ ის წრფივად არის დამოკიდებული. წრფივი სივრცის თეორემა: (მოცემულია α 1 ..α m , β 1 ..β n ვექტორების 2 სისტემა. α ვექტორების სისტემა გამოიხატება β-ში, თუ თითოეული ვექტორი α არის წრფივი კომბინაცია β α i = Σ k =1. n a ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) თეორემა:ვექტორების 2 სისტემის გათვალისწინებით, α არის დამოუკიდებელი და, (α) ( (β)→m≤n დავამტკიცოთ, რომ α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→(α) ) დამოკიდებულია (მოდით დავამტკიცოთ ინდუქციით. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1. a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ. α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn -1 β n - 1 თუ ყველა კოეფიციენტი =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 – с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2, c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1, α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 . . α n ′= α n –с n α 1. წინასწარი ინდუქციის მიხედვით, არსებობს რიცხვების არანულოვანი სიმრავლე d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n →(α )დამოკიდებულია თუ (α) დამოუკიდებელი →m≤n)

MLNP-max.line.independent.ქვესისტემა. მოცემული იყოს რომელიმე ქვესისტემის α 1 ..α n ვექტორების სისტემა. α i 1 ..α in ეწოდება MLIS თუ 1. α 1 ..α n დამოუკიდებელია2. α i 1 ..α ir, α ij დამოკიდებულია. სისტემის თითოეული ვექტორი არის MLLM ვექტორების წრფივი კომბინაცია. (α i 1 ..α ir, α ij დამოკიდებული a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir, a ij ≠0 თუ a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 წინააღმდეგობა a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

შედეგი: ვექტორთა ერთი სისტემიდან ნებისმიერი 2 MLIS შეიცავს ვექტორების ერთსა და იმავე რაოდენობას (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k MLLM ვექტორების რაოდენობას ე.წ. წოდებაორიგინალური სისტემა. წრფივი სივრცის შემთხვევაში (ვექტორთა სისტემა შედგება სივრცეში არსებული ყველა ვექტორისგან), MLLM mb არის სასრული ან უსასრულო. ჩვენ განვიხილავთ საბოლოო შემთხვევას. ვექტორების რაოდენობა (რანგი) არის წრფივი სივრცის განზომილება. MLNP ბაზა. მიმართული სეგმენტების სივრცე.ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი შედგება ბაზასიბრტყეზე ვექტორების სივრცეში. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 ვექტორი წრფივად დამოკიდებული α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . თანაბარობა - 3 ვექტორი პარალელურია იმავე სიბრტყის α 4 = α 4 ′+ α 5 ′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . n სიგრძის სიმების სივრცე. α= შეთავაზება: n სიგრძის სიმების სივრცეს აქვს n განზომილება. ( ξ 1 =<1…0>ξ2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (წრფივი დამოუკიდებლობა) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →n სიგრძის სიმების სივრცეს აქვს განზომილება და n.

მატრიცის წოდება.

α და β ვექტორების ორ სისტემას ექვივალენტური ეწოდება, თუ თითოეული ვექტორი

α( β (გამოხატული) და β( α.

შეთავაზება.ეკვივალენტური სისტემების რიგები ემთხვევა.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLLM α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLLM β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

α და β ადგილების შეცვლა → r>=k >>> აქედან გამომდინარე, r=k.

განმარტება. მოდით მატრიცა A=

α i =

მატრიცის რანგი A ეწოდება α1, α2,…, αm ვექტორების სისტემის რანგი, რომელიც შედგება ამ მატრიცისგან >>rank(A)-rank

განმარტებიდან აშკარაა, რომ როდესაც სვეტების გადალაგება ხდება, რანგი არ იცვლება. ვაჩვენოთ, რომ სვეტების გადალაგებისას რანგიც არ იცვლება.

A'=

α'i=

ხაზოვანი დამოკიდებული:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

იგი უდრის რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტების და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს, ე.ი. , სადაც i 0 ფიქსირდება.
გამოსახულებას (*) ეწოდება D დეტერმინანტის დაშლა i 0 რიცხვით მწკრივის ელემენტების მიხედვით.

სამსახურის დავალება. ეს სერვისი შექმნილია იმისთვის, რომ იპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ონლაინ რეჟიმში მთელი ამოხსნის Word ფორმატში შესრულებით. გარდა ამისა, Excel-ში იქმნება გადაწყვეტის შაბლონი.

ინსტრუქცია. აირჩიეთ მატრიცის განზომილება, დააჭირეთ შემდეგი.

მატრიცის განზომილება 2 3 4 5 6 7 8 9 10

დეტერმინანტის გამოსათვლელად ორი გზა არსებობს: ა-პრიორიტეტიდა დაშლა მწკრივის ან სვეტის მიხედვით. თუ გსურთ იპოვოთ განმსაზღვრელი ერთ-ერთ მწკრივში ან სვეტში ნულების შექმნით, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს კალკულატორი.

დეტერმინანტის პოვნის ალგორითმი

1. n=2 რიგის მატრიცებისთვის დეტერმინანტი გამოითვლება ფორმულით: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. n=3 რიგის მატრიცებისთვის დეტერმინანტი გამოითვლება ალგებრული მიმატებების ან სარრუსის მეთოდი.
3. სამზე მეტი განზომილების მატრიცა იშლება ალგებრულ დანამატებად, რისთვისაც გამოითვლება მათი დეტერმინანტები (მინორები). Მაგალითად, მე-4 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელიგვხვდება რიგებში ან სვეტებში გაფართოების გზით (იხ. მაგალითი).

მატრიცაში დეტერმინანტის შემცველი ფუნქციების გამოსათვლელად გამოიყენება სტანდარტული მეთოდები. მაგალითად, გამოთვალეთ მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი:

მოდით გამოვიყენოთ პირველი ხაზის გაფართოება.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

დეტერმინანტის პოვნა ალგებრული მიმატებების საშუალებითგავრცელებული მეთოდია. მისი გამარტივებული ვერსია არის დეტერმინანტის გამოთვლა სარრუს წესით. თუმცა, დიდი მატრიცის განზომილებით, გამოიყენება შემდეგი მეთოდები:

1. დეტერმინანტის გაანგარიშება შეკვეთის შემცირებით
2. დეტერმინანტის გაანგარიშება გაუსის მეთოდით (მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე შემცირებით).

Excel-ში დეტერმინანტის გამოსათვლელად გამოიყენება ფუნქცია = MOPRED (უჯრედების დიაპაზონი).

დეტერმინანტების გამოყენებითი გამოყენება

დეტერმინანტები გამოითვლება, როგორც წესი, კონკრეტული სისტემისთვის, რომელიც მოცემულია კვადრატული მატრიცის სახით. განვიხილოთ რამდენიმე სახის დავალება მატრიცის დეტერმინანტის პოვნა. ზოგჯერ საჭიროა უცნობი პარამეტრის პოვნა a, რომლის განმსაზღვრელი იქნება ნულის ტოლი. ამისათვის აუცილებელია განტოლების შედგენა დეტერმინანტისთვის (მაგალითად, მიხედვით სამკუთხედის წესი) და 0-ის ტოლფასი, გამოთვალეთ პარამეტრი a.
დაშლა სვეტების მიხედვით (პირველი სვეტით):
მცირე (1,1): წაშალეთ პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი მატრიციდან.
მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

მოდით განვსაზღვროთ მინორი (2,1): ამისათვის ჩვენ ვშლით მეორე სტრიქონს და პირველ სვეტს მატრიციდან.

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . მცირე (3,1): წაშალეთ მე-3 მწკრივი და 1 სვეტი მატრიციდან.
მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
მთავარი განმსაზღვრელია: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი რიგების მიხედვით გაფართოების გამოყენებით (პირველი მწკრივით):
მცირე (1,1): წაშალეთ პირველი მწკრივი და პირველი სვეტი მატრიციდან.

მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. მინორი (1,2): წაშალეთ 1-ლი მწკრივი და მე-2 სვეტი მატრიციდან. მოდით გამოვთვალოთ ამ მინორის განმსაზღვრელი. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. და (1,3) მინორის საპოვნელად ჩვენ ვშლით პირველ სტრიქონს და მესამე სვეტს მატრიციდან. მოდი ვიპოვოთ განმსაზღვრელი ამ მცირეწლოვანისთვის. ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = 4
ჩვენ ვპოულობთ მთავარ განმსაზღვრელს: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

m წრფივი განტოლებათა სისტემა n უცნობითფორმათა სისტემას უწოდებენ

სადაც აიჯდა ბ ი (მე=1,…,მ; ბ=1,…,ნ) არის რამდენიმე ცნობილი რიცხვი და x 1,…,x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში აიჯპირველი ინდექსი მეაღნიშნავს განტოლების რიცხვს და მეორე ჯარის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი.

კოეფიციენტები უცნობისთვის დაიწერება მატრიცის სახით , რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ სისტემის მატრიცა.

განტოლებების მარჯვენა მხარეს რიცხვები b 1,…,b mდაურეკა თავისუფალი წევრები.

Აგრეგატი ნნომრები c 1,…,c nდაურეკა გადაწყვეტილებაამ სისტემის, თუ სისტემის თითოეული განტოლება ხდება ტოლობა მასში რიცხვების ჩანაცვლების შემდეგ c 1,…,c nშესაბამისი უცნობის ნაცვლად x 1,…,x n.

ჩვენი ამოცანა იქნება სისტემის გადაწყვეტის პოვნა. ამ შემთხვევაში შეიძლება წარმოიშვას სამი სიტუაცია:

წრფივი განტოლებათა სისტემას, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, ეწოდება ერთობლივი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ე.ი. თუ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

განიხილეთ სისტემის გადაწყვეტის გზების პოვნა.

ხაზოვანი განტოლებების სისტემების გადაჭრის მატრიცული მეთოდი

მატრიცები შესაძლებელს ხდის წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ ჩამოწერას. მიეცით 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

განვიხილოთ სისტემის მატრიცა უცნობი და თავისუფალი წევრების მატრიცული სვეტები

მოდი ვიპოვოთ პროდუქტი

იმათ. პროდუქტის შედეგად ვიღებთ ამ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს. შემდეგ, მატრიცული თანასწორობის განმარტების გამოყენებით, ეს სისტემა შეიძლება დაიწეროს როგორც

ან უფრო მოკლე ა∙X=B.

აქ არის მატრიცები ადა ბცნობილია და მატრიცა Xუცნობი. ის უნდა მოიძებნოს, რადგან. მისი ელემენტები ამ სისტემის გამოსავალია. ეს განტოლება ე.წ მატრიცული განტოლება.

დაე, მატრიცის განმსაზღვრელი იყოს განსხვავებული ნულიდან | ა| ≠ 0. მაშინ მატრიცული განტოლება იხსნება შემდეგნაირად. გაამრავლეთ მარცხნივ განტოლების ორივე მხარე მატრიცით A-1მატრიცის ინვერსია ა: . Იმდენად, რამდენადაც A -1 A = Eდა ე∙X=X, შემდეგ ვიღებთ მატრიცული განტოლების ამოხსნას სახით X = A -1 B .

გაითვალისწინეთ, რომ რადგან ინვერსიული მატრიცა შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის, მატრიცის მეთოდს შეუძლია გადაჭრას მხოლოდ ის სისტემები, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა იგივეა რაც უცნობის რაოდენობა. თუმცა, სისტემის მატრიცული აღნიშვნა შესაძლებელია იმ შემთხვევაშიც, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა არ უდრის უცნობის რაოდენობას, მაშინ მატრიცა აარ არის კვადრატი და ამიტომ შეუძლებელია სისტემის გამოსავლის პოვნა ფორმაში X = A -1 B.

მაგალითები.განტოლებათა სისტემების ამოხსნა.

კრამერის წესი

განვიხილოთ 3 წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

სისტემის მატრიცის შესაბამისი მესამე რიგის განმსაზღვრელი, ე.ი. შედგენილი კოეფიციენტებისგან უცნობებზე,

დაურეკა სისტემის განმსაზღვრელი.

ჩვენ ვადგენთ კიდევ სამ განმსაზღვრელს შემდეგნაირად: ჩვენ ვცვლით ზედიზედ 1, 2 და 3 სვეტებს განმსაზღვრელ D-ში თავისუფალი წევრების სვეტით.

შემდეგ შეგვიძლია დავამტკიცოთ შემდეგი შედეგი.

თეორემა (კრამერის წესი).თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ განსახილველ სისტემას აქვს ერთი და მხოლოდ ერთი ამონახსნი და

მტკიცებულება. ასე რომ, განვიხილოთ 3 განტოლების სისტემა სამი უცნობით. გაამრავლეთ სისტემის 1-ლი განტოლება ალგებრულ დანამატზე A 11ელემენტი a 11, მე-2 განტოლება - ჩართულია A21და მე-3 - ჩართული A 31:

დავამატოთ ეს განტოლებები:

განვიხილოთ თითოეული ფრჩხილები და ამ განტოლების მარჯვენა მხარე. დეტერმინანტის გაფართოების თეორემით 1-ლი სვეტის ელემენტების მიხედვით

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ და .

ბოლოს და ბოლოს, ამის დანახვა ადვილია

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას: .

აქედან გამომდინარე,.

ტოლობები და მიღებულია ანალოგიურად, საიდანაც მოდის თეორემის მტკიცება.

ამრიგად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი და პირიქით. თუ სისტემის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემას ან აქვს ამონახსნების უსასრულო ნაკრები, ან არ აქვს ამონახსნები, ე.ი. შეუთავსებელი.

მაგალითები.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გაუსის მეთოდი

ადრე განხილული მეთოდები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ სისტემების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობის რაოდენობას, ხოლო სისტემის განმსაზღვრელი უნდა იყოს განსხვავებული ნულიდან. გაუსის მეთოდი უფრო უნივერსალურია და შესაფერისია ნებისმიერი რაოდენობის განტოლების მქონე სისტემებისთვის. იგი შედგება სისტემის განტოლებიდან უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრაში.

კვლავ განვიხილოთ სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

.

პირველ განტოლებას ვტოვებთ უცვლელად, ხოლო მე-2 და მე-3-დან გამოვრიცხავთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს x 1. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ მეორე განტოლებას ა 21 და გაამრავლე - ა 11 და შემდეგ დავამატოთ 1 განტოლება. ანალოგიურად, ჩვენ ვყოფთ მესამე განტოლებას ა 31 და გაამრავლე - ა 11 და შემდეგ დაამატეთ იგი პირველს. შედეგად, ორიგინალური სისტემა მიიღებს ფორმას:

ახლა, ბოლო განტოლებიდან, ჩვენ გამოვრიცხავთ შემცველ ტერმინს x2. ამისათვის გაყავით მესამე განტოლება ზე, გაამრავლეთ და დაუმატეთ მეორეს. მაშინ გვექნება განტოლებათა სისტემა:

აქედან გამომდინარე, ბოლო განტოლებიდან მისი პოვნა ადვილია x 3, შემდეგ მე-2 განტოლებიდან x2და ბოლოს 1-დან - x 1.

გაუსის მეთოდის გამოყენებისას, საჭიროების შემთხვევაში, განტოლებები შეიძლება შეიცვალოს.

ხშირად, განტოლებათა ახალი სისტემის დაწერის ნაცვლად, ისინი შემოიფარგლებიან სისტემის გაფართოებული მატრიცის ჩამოწერით:

და შემდეგ მიიყვანეთ სამკუთხა ან დიაგონალურ ფორმამდე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით.

რომ ელემენტარული გარდაქმნებიმატრიცები მოიცავს შემდეგ გარდაქმნებს:

1. სტრიქონების ან სვეტების პერმუტაცია;
2. სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;
3. ერთ ხაზზე სხვა ხაზების დამატება.

მაგალითები:განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამრიგად, სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

2. თუ │A│=0, მაშინ მატრიცა A არის გადაგვარებული და შებრუნებული მატრიცა A -1 არ არსებობს.

თუ A მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ არსებობს შებრუნებული მატრიცა.

3. იპოვნეთ A T გადატანილი A-ზე.

4. იპოვეთ გადატანილი მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატები და შეადგინეთ მათგან მიმდებარე მატრიცა. 5. შებრუნებულ მატრიცას ვიანგარიშებთ ფორმულის მიხედვით: 6. შევამოწმოთ შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის სისწორე, მისი განმარტებიდან გამომდინარე A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· m x n მატრიცაში, ნებისმიერი მწკრივისა და სვეტის წაშლით, შეიძლება აირჩიოთ kth რიგის კვადრატული ქვემატრიცები, სადაც k≤min(m; n). ასეთი ქვემატრიცების განმსაზღვრელებს უწოდებენ A მატრიცის k-th რიგის მინორებს.

· A მატრიცის რანგი არის ამ მატრიცის არანულოვანი მინორების უმაღლესი რიგი.

· A მატრიცის რანგი აღინიშნება A ან r(A) რანგით.

· განმარტებიდან შემდეგია:

· 1) m x n ზომის მატრიცის რანგი არ აღემატება მის ზომათა უმცირესს, ე.ი. r(A) ≤ წთ (m; n).

· 2) r(A)=0 თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ე.ი. A=0.

· 3) n-ე რიგის კვადრატული მატრიცისთვის, r(A) = n თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცა A არასიგნორულია.

· ზოგადად, მატრიცის რანგის დადგენა ყველა არასრულწლოვანთა დათვლით საკმაოდ შრომატევადია. ამ ამოცანის გასაადვილებლად გამოიყენება ელემენტარული გარდაქმნები, რომლებიც ინარჩუნებენ მატრიცის წოდებას:

· 1) ნულოვანი რიგის (სვეტის) უარყოფა.

· 2) მატრიცის მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით.

· 3) მატრიცის რიგების (სვეტების) რიგის შეცვლა.

· 4) ერთი რიგის (სვეტის) თითოეულ ელემენტს ემატება მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.

· 5) მატრიცის ტრანსპოზიცია.

· თეორემა. მატრიცის რანგი არ შეიცვლება მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნების დროს.

№31

— მოდით, (1) სისტემაში განტოლებების რაოდენობა იყოს ცვლადების რაოდენობის ტოლი, ე.ი. m=n. მაშინ სისტემის მატრიცა არის კვადრატი, ხოლო მის განმსაზღვრელს Δ=│А│ სისტემის დეტერმინანტი ეწოდება.

— დავუშვათ, რომ │А│ არ არის ნულის ტოლი, მაშინ არის შებრუნებული მატრიცა A -1.

— მატრიცის ტოლობის ორივე ნაწილის მარცხნივ გამრავლებით შებრუნებული მატრიცით A -1 მივიღებთ:

— A -1 (AX) \u003d A -1 B.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შებრუნებული მატრიცის მეთოდით იქნება სვეტის მატრიცა:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— კრამერის თეორემა. მოდით Δ იყოს A სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი, ხოლო Δ j მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი j-ე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. მაშინ თუ Δ არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრულია კრამერის ფორმულებით:

სადაც j=1..n.

№33

—
გაუსის მეთოდი - ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - შედგება იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი ან სამკუთხა ტიპის ეკვივალენტურ სისტემამდე.

— განვიხილოთ მატრიცა:

— ამ მატრიცას ეწოდება სისტემის გაფართოებული მატრიცა (1), რადგან A სისტემის მატრიცის გარდა, იგი დამატებით შეიცავს უფასო ტერმინების სვეტს.

№26

— N-განზომილებიანი ვექტორი არის n რეალური რიცხვის მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც დაწერილია X=(x 1,x 2,...x n) , სადაც x i არის X ვექტორის i-ე კომპონენტი.

— ორი n-განზომილებიანი ვექტორი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია, ე.ი. X=Y თუ x i =y i, i=1…n.

რეალური კომპონენტების მქონე ვექტორთა სიმრავლეს, რომელშიც განსაზღვრულია ვექტორების დამატების და ვექტორის გამრავლების ოპერაციები, რომლებიც აკმაყოფილებს ზემოხსენებულ თვისებებს, ეწოდება ვექტორული სივრცე.

— ვექტორულ სივრცეს R ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ მასში არის n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორი და ნებისმიერი n + 1 ვექტორი უკვე დამოკიდებულია. რიცხვს n ეწოდება ვექტორული სივრცის განზომილება R და აღინიშნება dim(R).

№29

ხაზოვანი ოპერატორები

— განმარტება. თუ მოცემულია კანონი (წესი), რომლის მიხედვითაც სივრცის ყოველი x ვექტორი ასოცირდება სივრცის y ვექტორთან.

შემდეგ ამბობენ: რომ ოპერატორი (ტრანსფორმაცია, გამოსახვა) A(x) არის მოცემული, რომელიც მოქმედებს და-დან

ჩაწერეთ y=A(x).

— ოპერატორს ეწოდება წრფივი, თუ სივრცის x და y ვექტორისთვის

და ნებისმიერი რიცხვი λ, მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

№37

— ვთქვათ А არის სიმრავლე, რომელიც შედგება სასრული რაოდენობის ელემენტებისაგან a 1 , a 2 , a 3 …a n . ჯგუფები შეიძლება ჩამოყალიბდეს A ნაკრების სხვადასხვა ელემენტებისგან. თუ თითოეული ჯგუფი მოიცავს m ელემენტების ერთსა და იმავე რაოდენობას (m n-დან), მაშინ ამბობენ, რომ ისინი ქმნიან n ელემენტის ნაერთებს m თითოეულთან ერთად. არსებობს სამი სახის კავშირი: განლაგება, კომბინაციები და პერმუტაციები.

— კავშირები,რომელთაგან თითოეული შეიცავს A სიმრავლის ყველა n ელემენტს და რომლებიც, მაშასადამე, ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება n ელემენტის პერმუტაცია. ასეთი პერმუტაციების რაოდენობა აღინიშნება Р n სიმბოლოთი.

№35

ალბათობის კლასიკური განმარტება ეფუძნება მოვლენათა თანაბარი ალბათობის კონცეფციას.

მოვლენების ეკვივალენტობა ნიშნავს, რომ არ არსებობს რაიმე მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს სხვებზე უპირატესობა მიანიჭოთ.

განვიხილოთ ტესტი, რომლის შედეგადაც შეიძლება მოხდეს მოვლენა A. თითოეულ შედეგს, რომელშიც A მოვლენა ხდება, ეწოდება ხელსაყრელი მოვლენა A.

A მოვლენის ალბათობა (აღნიშნავს P(A)) არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის შეფარდება (აღნიშნავს k-ით) ყველა ტესტის შედეგის რაოდენობას - N ე.ი. P(A)=k/N.

— შემდეგი თვისებები გამომდინარეობს ალბათობის კლასიკური განმარტებიდან:

— ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა.

— გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

— შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია

№39, 40

— მიმატების თეორემა. თუ A და B არათანმიმდევრულია, მაშინ P(A + B) = P(A) + P(B)