ეს არის ორიდან ჩამოყალიბებული კუთხე აკორდებიწრის ერთ წერტილში წარმოშობილი. ჩაწერილი კუთხე ამბობენ ეყრდნობამის გვერდებს შორის ჩაკეტილ რკალზე.

ჩაწერილი კუთხეუდრის რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

Სხვა სიტყვებით, ჩაწერილი კუთხემოიცავს იმდენ გრადუსს, წუთს და წამს, რამდენიც რკალის გრადუსი, წუთები და წამები ჩასმულია რკალის ნახევარში, რომელსაც იგი ეყრდნობა. დასაბუთებისთვის ჩვენ ვაანალიზებთ სამ შემთხვევას:

პირველი შემთხვევა:

ცენტრი O მდებარეობს გვერდით ჩაწერილი კუთხე ABS. AO რადიუსის დახატვით მივიღებთ ΔABO, რომელშიც OA = OB (რადიუსების სახით) და შესაბამისად ∠ABO = ∠BAO. ამასთან დაკავშირებით სამკუთხედი AOC კუთხე გარეა. ასე რომ, ის უდრის ABO და BAO კუთხეების ჯამს, ან ABO ორმაგი კუთხის ტოლია. ასე რომ ∠ABO არის ნახევარი ცენტრალური კუთხე AOC. მაგრამ ეს კუთხე იზომება AC რკალით. ანუ, ჩაწერილი კუთხე ABC იზომება AC რკალის ნახევარით.

მეორე შემთხვევა:

O ცენტრი განლაგებულია გვერდებს შორის ჩაწერილი კუთხე ABC. BD დიამეტრის დახატვის შემდეგ, ABC კუთხეს გავყოფთ ორ კუთხედ, რომელთაგან, პირველ შემთხვევაში დადგენილის მიხედვით, ერთი იზომება ნახევარით. რკალები AD, და მეორე ნახევარი რკალის CD. და შესაბამისად, ABC კუთხე იზომება (AD + DC) / 2-ით, ე.ი. 1/2 AC.

მესამე შემთხვევა:

ცენტრი O მდებარეობს გარეთ ჩაწერილი კუთხე ABS. BD დიამეტრის დახაზვის შემდეგ გვექნება: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . მაგრამ კუთხეები ABD და CBD იზომება ადრე დასაბუთებული ნახევრების საფუძველზე რკალები AD და CD. და რადგან ∠ABС იზომება (AD-CD)/2-ით, ანუ AC რკალის ნახევარით.

შედეგი 1.ნებისმიერი, ერთი და იმავე რკალზე დაფუძნებული ერთნაირია, ანუ ისინი ერთმანეთის ტოლია. ვინაიდან თითოეული მათგანი იზომება იმავეს ნახევარით რკალები .

შედეგი 2. ჩაწერილი კუთხედიამეტრიდან გამომდინარე - სწორი კუთხე. ვინაიდან თითოეული ასეთი კუთხე იზომება ნახევარწრიულით და, შესაბამისად, შეიცავს 90 °.

ჩაწერილი კუთხე, პრობლემის თეორია. Მეგობრები! ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ამოცანებზე, რომელთა ამოხსნისთვის აუცილებელია ვიცოდეთ ჩაწერილი კუთხის თვისებები. ეს არის დავალებების მთელი ჯგუფი, ისინი ჩართულია გამოცდაში. მათი უმეტესობა მოგვარებულია ძალიან მარტივად, ერთ ნაბიჯში.

არის უფრო რთული ამოცანები, მაგრამ ისინი დიდ სირთულეს არ წარმოგიდგენთ, თქვენ უნდა იცოდეთ ჩაწერილი კუთხის თვისებები. თანდათან გავაანალიზებთ დავალების ყველა პროტოტიპს, გეპატიჟებით ბლოგზე!

ახლა აუცილებელი თეორია. გავიხსენოთ რა ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხე, აკორდი, რკალი, რომელსაც ეყრდნობა ეს კუთხეები:

წრეში ცენტრალურ კუთხეს ბრტყელი კუთხე ეწოდებამწვერვალი მის ცენტრში.

წრის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ბრტყელი კუთხის შიგნითწრის რკალი ეწოდება.

წრის რკალის გრადუსის ზომა არის გრადუსიანი ზომაშესაბამისი ცენტრალური კუთხე.

კუთხეს ეწოდება წრეში ჩაწერილი, თუ კუთხის წვერო დევსწრეზე და კუთხის გვერდები კვეთს ამ წრეს.

ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს, ეწოდებააკორდი. ყველაზე გრძელი აკორდი გადის წრის ცენტრში და ე.წდიამეტრი.

წრეში ჩაწერილი კუთხეების ამოცანების ამოხსნა,თქვენ უნდა იცოდეთ შემდეგი თვისებები:

1. ჩაწერილი კუთხე უდრის იმავე რკალზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხის ნახევარს.

2. ერთსა და იმავე რკალზე დაფუძნებული ყველა ჩაწერილი კუთხე ტოლია.

3. ერთსა და იმავე აკორდზე დაფუძნებული ყველა ჩაწერილი კუთხე, რომლის წვეროები ამ აკორდის ერთსა და იმავე მხარეს დევს, ტოლია.

4. ერთსა და იმავე აკორდზე დაფუძნებული კუთხის ნებისმიერი წყვილი, რომლის წვეროები აკორდის მოპირდაპირე მხარეს დევს, ემატება 180°.

დასკვნა: წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეები ჯამდება 180 გრადუსამდე.

5. დიამეტრის მიხედვით ყველა ჩაწერილი კუთხე სწორია.

ზოგადად, ეს საკუთრება არის საკუთრების შედეგი (1), ეს არის მისი კონკრეტული შემთხვევა. შეხედე - ცენტრალური კუთხე უდრის 180 გრადუსს (და ეს განვითარებული კუთხე სხვა არაფერია, თუ არა დიამეტრი), რაც ნიშნავს, რომ პირველი თვისების მიხედვით, ჩაწერილი კუთხე C უდრის მის ნახევარს, ანუ 90 გრადუსს.

ამ ქონების ცოდნა დაგეხმარებათ მრავალი პრობლემის გადაჭრაში და ხშირად საშუალებას გაძლევთ თავიდან აიცილოთ ზედმეტი გამოთვლები. კარგად ათვისების შემდეგ, თქვენ შეძლებთ ამ ტიპის პრობლემების ნახევარზე მეტის ზეპირად გადაჭრას. ორი შედეგი შეიძლება მოჰყვეს:

დასკვნა 1: თუ სამკუთხედი ჩაწერილია წრეში და მისი ერთ-ერთი გვერდი ემთხვევა ამ წრის დიამეტრს, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა (მართი კუთხის წვერო დევს წრეზე).

დასკვნა 2: მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი ემთხვევა მისი ჰიპოტენუზის შუა წერტილს.

სტერეომეტრიული პრობლემების მრავალი პროტოტიპი ასევე წყდება ამ თვისებისა და ამ თანმხლები შედეგების გამოყენებით. დაიმახსოვრეთ თავად ფაქტი: თუ წრის დიამეტრი არის ჩაწერილი სამკუთხედის გვერდი, მაშინ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა (დიამეტრის მოპირდაპირე კუთხე 90 გრადუსია). ყველა სხვა დასკვნა და შედეგი თქვენ თვითონ გამოიტანეთ, არ გჭირდებათ მათი სწავლება.

როგორც წესი, ჩაწერილი კუთხისთვის ამოცანების ნახევარი მოცემულია ჩანახატით, მაგრამ აღნიშვნის გარეშე. ამოცანების ამოხსნისას მსჯელობის პროცესის გასაგებად (სტატიაში ქვემოთ) შემოტანილია წვეროების (კუთხეების) აღნიშვნები. გამოცდაზე ამას ვერ გააკეთებ.განიხილეთ დავალებები:

რა არის მკვეთრი ჩაწერილი კუთხე, რომელიც კვეთს წრის რადიუსის ტოლ აკორდს? მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

ავაშენოთ ცენტრალური კუთხე მოცემული ჩაწერილი კუთხისთვის, აღვნიშნოთ წვეროები:

წრეში ჩაწერილი კუთხის თვისების მიხედვით:

AOB კუთხე უდრის 60 0-ს, ვინაიდან AOB სამკუთხედი ტოლგვერდაა, ხოლო ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა კუთხე უდრის 60 0-ს. სამკუთხედის გვერდები ტოლია, რადგან პირობა ამბობს, რომ აკორდი უდრის რადიუსს.

ამრიგად, ჩაწერილი კუთხე DIA არის 30 0.

პასუხი: 30

იპოვეთ აკორდი, რომელზეც ეყრდნობა კუთხე 30 0, ჩაწერილი 3 რადიუსის წრეში.

ეს არის არსებითად საპირისპირო პრობლემა (წინა). ავაშენოთ ცენტრალური კუთხე.

ის ორჯერ დიდია, ვიდრე ჩაწერილი, ანუ კუთხე AOB არის 60 0 . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ AOB სამკუთხედი ტოლგვერდაა. ამრიგად, აკორდი უდრის რადიუსს, ანუ სამს.

პასუხი: 3

წრის რადიუსი არის 1. იპოვეთ ბლაგვი ჩაწერილი კუთხის მნიშვნელობა ორის ფესვის ტოლი აკორდის საფუძველზე. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

მოდით ავაშენოთ ცენტრალური კუთხე:

რადიუსისა და აკორდის ცოდნა შეგვიძლია ვიპოვოთ ცენტრალური კუთხე DIA. ეს შეიძლება გაკეთდეს კოსინუსების კანონის გამოყენებით. ცენტრალური კუთხის ცოდნით, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ ჩაწერილი კუთხე ACB.

კოსინუსების თეორემა: სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე.

ამრიგად, მეორე ცენტრალური კუთხე არის 360 0 – 90 0 = 270 0 .

ჩაწერილი კუთხის თვისების მიხედვით, კუთხე DIA უდრის მის ნახევარს, ანუ 135 გრადუსს.

პასუხი: 135

იპოვეთ აკორდი, რომელზეც 120 გრადუსიანი კუთხე, სამის ფესვი, ჩაწერილია რადიუსის წრეში.

შეაერთეთ A და B წერტილები წრის ცენტრთან. მოდით ვუწოდოთ მას O:

ჩვენ ვიცით რადიუსი და ჩაწერილი კუთხე DIA. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ცენტრალური კუთხე AOB (180 გრადუსზე მეტი), შემდეგ ვიპოვოთ კუთხე AOB სამკუთხედში AOB. შემდეგ კი, კოსინუსების თეორემის გამოყენებით, გამოთვალეთ AB.

ჩაწერილი კუთხის თვისებით ცენტრალური კუთხე AOB (რომელიც 180 გრადუსზე მეტია) ტოლი იქნება ჩაწერილი კუთხის ორჯერ, ანუ 240 გრადუსი. ეს ნიშნავს, რომ AOB კუთხე AOB სამკუთხედში არის 360 0 - 240 0 = 120 0.

კოსინუსების კანონის მიხედვით:

პასუხი: 3

იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე რკალის საფუძველზე, რომელიც არის წრის 20%. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

ჩაწერილი კუთხის თვისებით ის არის იმავე რკალზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხის ზომის ნახევარი, ამ შემთხვევაში საუბარია AB რკალზე.

ამბობენ, რომ რკალი AB არის გარშემოწერილობის 20 პროცენტი. ეს ნიშნავს, რომ ცენტრალური კუთხე AOB ასევე არის 360 0-ის 20 პროცენტი.* წრე არის 360 გრადუსიანი კუთხე. ნიშნავს,

ამრიგად, ჩაწერილი კუთხე ACB არის 36 გრადუსი.

პასუხი: 36

წრის რკალი AC, არ შეიცავს ქულებს ბ, არის 200 გრადუსი. და წრის რკალი BC, რომელიც არ შეიცავს წერტილებს ა, არის 80 გრადუსი. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე ACB. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

სიცხადისთვის აღვნიშნოთ რკალი, რომელთა კუთხური ზომებია მოცემული. 200 გრადუსის შესაბამისი რკალი ლურჯია, 80 გრადუსის შესაბამისი რკალი წითელია, წრის დანარჩენი ნაწილი ყვითელია.

ამრიგად, რკალი AB (ყვითელი) და, შესაბამისად, ცენტრალური კუთხე AOB არის: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

ჩაწერილი კუთხე DAB არის AOB ცენტრალური კუთხის ნახევარი, ანუ 40 გრადუსის ტოლი.

პასუხი: 40

რა არის ჩაწერილი კუთხე წრის დიამეტრის მიხედვით? მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

დღეს ჩვენ განვიხილავთ სხვა ტიპის პრობლემებს 6 - ამჯერად წრეში. ბევრ სტუდენტს არ მოსწონს ისინი და უჭირს. და ეს სრულიად უშედეგოა, რადგან ასეთი ამოცანები მოგვარებულია ელემენტარულითუ იცით თეორემები. ან საერთოდ ვერ ბედავენ, თუ არ იცნობენ.

სანამ მთავარ თვისებებზე ვისაუბრებ, ნება მომეცით შეგახსენოთ განმარტება:

ჩაწერილი კუთხე არის ის, რომლის წვერო დევს თავად წრეზე და გვერდები ჭრიან აკორდს ამ წრეზე.

ცენტრალური კუთხე არის ნებისმიერი კუთხე წრის ცენტრში წვეროთი. მისი გვერდებიც კვეთს ამ წრეს და აკორდს კვეთს მასზე.

ასე რომ, ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხის ცნებები განუყოფლად არის დაკავშირებული მის შიგნით წრესთან და აკორდებთან. ახლა მთავარი განცხადება:

თეორემა. ცენტრალური კუთხე ყოველთვის ორჯერ აღემატება ჩაწერილ კუთხეს იმავე რკალის საფუძველზე.

განცხადების სიმარტივის მიუხედავად, არსებობს პრობლემების მთელი კლასი 6, რომლებიც მოგვარებულია მისი დახმარებით - და სხვა არაფერი.

დავალება. იპოვეთ მკვეთრი ჩაწერილი კუთხე წრის რადიუსის ტოლი აკორდის საფუძველზე.

მოდით AB იყოს განხილული აკორდი, O წრის ცენტრი. დამატებითი კონსტრუქცია: OA და OB არის წრის რადიუსი. ჩვენ ვიღებთ:

განვიხილოთ სამკუთხედი ABO. მასში AB = OA = OB - ყველა მხარე ტოლია წრის რადიუსის. ამიტომ სამკუთხედი ABO ტოლგვერდაა და მასში ყველა კუთხე არის 60°.

M იყოს ჩაწერილი კუთხის წვერო. ვინაიდან კუთხეები O და M ეყრდნობა ერთსა და იმავე AB რკალს, ჩაწერილი კუთხე M 2-ჯერ ნაკლებია ცენტრალურ კუთხეზე O. Ჩვენ გვაქვს:

M=O:2=60:2=30

დავალება. ცენტრალური კუთხე 36°-ით მეტია იმავე წრიულ რკალზე დაფუძნებულ ჩაწერილ კუთხეზე. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე.

შემოვიღოთ აღნიშვნა:

1. AB არის წრის აკორდი;
2. წერტილი O არის წრის ცენტრი, ამიტომ კუთხე AOB ცენტრალურია;
3. წერტილი C არის ჩაწერილი კუთხის ACB წვერო.

ვინაიდან ჩვენ ვეძებთ ჩაწერილ კუთხეს ACB , ავღნიშნოთ ის ACB = x . მაშინ ცენტრალური კუთხე AOB არის x + 36. მეორე მხრივ, ცენტრალური კუთხე ორჯერ აღემატება ჩაწერილ კუთხეს. Ჩვენ გვაქვს:

AOB = 2 ACB;
x + 36 = 2 x;
x=36.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ჩაწერილი კუთხე AOB - ის უდრის 36 °.

წრე არის 360° კუთხე

ქვესათაურის წაკითხვის შემდეგ, მცოდნე მკითხველი ალბათ ახლა იტყვის: „ფუ!“ მართლაც, მთლად სწორი არ არის წრის შედარება კუთხესთან. იმის გასაგებად, რაზე ვსაუბრობთ, გადახედეთ კლასიკურ ტრიგონომეტრიულ წრეს:

რატომ ეს სურათი? და იმ ფაქტზე, რომ სრული ბრუნვა არის 360 გრადუსიანი კუთხე. და თუ მას გაყოფთ, ვთქვათ, 20 თანაბარ ნაწილად, მაშინ თითოეული მათგანის ზომა იქნება 360: 20 = 18 გრადუსი. ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა B8 პრობლემის გადასაჭრელად.

A, B და C წერტილები დევს წრეზე და დაყავით ის სამ რკალად, რომელთა გრადუსის ზომები დაკავშირებულია 1:3:5. იპოვეთ ABC სამკუთხედის უდიდესი კუთხე.

პირველ რიგში, ვიპოვოთ თითოეული რკალის ხარისხი. მათგან უფრო პატარა იყოს x-ის ტოლი. ამ რკალს ფიგურაში AB აწერია. მაშინ დარჩენილი რკალი - BC და AC - შეიძლება გამოიხატოს AB-ით: რკალი BC = 3x; AC=5x. ეს რკალი ემატება 360 გრადუსს:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

ახლა განვიხილოთ დიდი რკალი AC, რომელიც არ შეიცავს B წერტილს. ეს რკალი, ისევე როგორც შესაბამისი ცენტრალური კუთხე AOC, არის 5x = 5 40 = 200 გრადუსი.

ABC კუთხე ყველაზე დიდია სამკუთხედის ყველა კუთხიდან. ეს არის ჩაწერილი კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია იმავე რკალზე, როგორც ცენტრალური კუთხე AOC. ასე რომ, კუთხე ABC 2-ჯერ მცირეა ვიდრე AOC. Ჩვენ გვაქვს:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

ეს იქნება ABC სამკუთხედის უდიდესი კუთხის ხარისხი.

მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე

ბევრს ავიწყდება ეს თეორემა. მაგრამ უშედეგოდ, რადგან ზოგიერთი B8 ამოცანის გარეშე საერთოდ ვერ მოგვარდება. უფრო ზუსტად, ისინი მოგვარებულია, მაგრამ გათვლების ისეთი მოცულობით, რომ გირჩევნიათ დაიძინოთ, ვიდრე მიაღწიოთ პასუხს.

თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი მდებარეობს ჰიპოტენუზის შუა წერტილში.

რა გამოდის ამ თეორემიდან?

1. ჰიპოტენუზის შუა წერტილი თანაბრად არის დაშორებული სამკუთხედის ყველა წვეროდან. ეს არის თეორემის პირდაპირი შედეგი;
2. ჰიპოტენუზაზე გამოსახული მედიანა თავდაპირველ სამკუთხედს ყოფს ორ ტოლფერდა სამკუთხედად. ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა B8 პრობლემის გადასაჭრელად.

მედიანა CD შედგენილია სამკუთხედში ABC. კუთხე C არის 90° და კუთხე B არის 60°. იპოვეთ კუთხე ACD.

ვინაიდან კუთხე C არის 90°, სამკუთხედი ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი. გამოდის, რომ CD არის ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი მედიანა. ასე რომ, სამკუთხედები ADC და BDC არის ტოლფერდა.

კერძოდ, განვიხილოთ სამკუთხედი ADC. მასში AD = CD. მაგრამ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია - იხილეთ "პრობლემა B8: სეგმენტები და კუთხეები სამკუთხედებში". ამიტომ, სასურველი კუთხე ACD = A.

ასე რომ, რჩება იმის გარკვევა, თუ რას უდრის A კუთხე. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ თავდაპირველ სამკუთხედს ABC. აღნიშნეთ კუთხე A = x. ვინაიდან ნებისმიერ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის 180°, გვაქვს:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

რა თქმა უნდა, ბოლო პრობლემის გადაჭრა სხვა გზითაც შეიძლება. მაგალითად, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ BCD სამკუთხედი არ არის მხოლოდ ტოლგვერდა, არამედ ტოლგვერდა. ასე რომ, კუთხე BCD არის 60 გრადუსი. ამიტომ კუთხე ACD არის 90 − 60 = 30 გრადუსი. როგორც ხედავთ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა ტოლფერდა სამკუთხედები, მაგრამ პასუხი ყოველთვის ერთი და იგივე იქნება.

საშუალო დონე

წრე და ჩაწერილი კუთხე. ვიზუალური გზამკვლევი (2019)

ძირითადი ტერმინები.

რამდენად კარგად გახსოვთ წრესთან დაკავშირებული ყველა სახელი? ყოველი შემთხვევისთვის, გავიხსენებთ - შეხედეთ სურათებს - განაახლეთ თქვენი ცოდნა.

ჯერ ერთი - წრის ცენტრი არის წერტილი, საიდანაც წრის ყველა წერტილი ერთნაირი მანძილია.

Მეორეც - რადიუსი - ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ცენტრს და წრის წერტილს.

რადიუსი ბევრია (რამდენიც არის წრეზე წერტილი), მაგრამ ყველა რადიუსს აქვს იგივე სიგრძე.

ხანდახან მოკლედ რადიუსიეძახიან სეგმენტის სიგრძე"ცენტრი არის წერტილი წრეზე", და არა თავად სეგმენტი.

და აი რა ხდება თუ წრეზე ორ წერტილს დააკავშირებთ? ასევე გაჭრა?

ასე რომ, ამ სეგმენტს ე.წ "აკორდი".

ისევე, როგორც რადიუსის შემთხვევაში, დიამეტრს ხშირად უწოდებენ სეგმენტის სიგრძეს, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს და გადის ცენტრში. სხვათა შორის, როგორ არის დაკავშირებული დიამეტრი და რადიუსი? Ახლოდან დააკვირდი. Რა თქმა უნდა, რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი.

აკორდების გარდა არის ასევე სეკანტი.

გახსოვთ ყველაზე მარტივი?

ცენტრალური კუთხე არის კუთხე ორ რადიუსს შორის.

ახლა კი ჩაწერილი კუთხე

ჩაწერილი კუთხე არის კუთხე ორ აკორდს შორის, რომლებიც იკვეთება წრის წერტილში.

ამ შემთხვევაში ისინი ამბობენ, რომ ჩაწერილი კუთხე ეყრდნობა რკალს (ან აკორდს).

Შეხედე სურათს:

რკალებისა და კუთხეების გაზომვა.

გარშემოწერილობა. რკალი და კუთხეები იზომება გრადუსით და რადიანებით. პირველ რიგში, გრადუსების შესახებ. კუთხეების პრობლემა არ არის - თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გაზომოთ რკალი გრადუსით.

ხარისხის საზომი (რკალის მნიშვნელობა) არის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის მნიშვნელობა (გრადუსებში).

რას ნიშნავს აქ სიტყვა "შესაბამისი"? მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ:

ხედავთ ორ რკალს და ორ ცენტრალურ კუთხეს? ისე, უფრო დიდი რკალი შეესაბამება უფრო დიდ კუთხეს (და კარგია, რომ ის უფრო დიდია), ხოლო პატარა რკალი შეესაბამება უფრო მცირე კუთხეს.

ასე რომ, ჩვენ შევთანხმდით: რკალი შეიცავს იმავე რაოდენობის გრადუსს, როგორც შესაბამისი ცენტრალური კუთხე.

ახლა კი საშინელებაზე - რადიანებზე!

როგორი ცხოველია ეს „რადიანი“?

წარმოიდგინე ეს: რადიანები არის კუთხის გაზომვის საშუალება... რადიუსებში!

რადიანის კუთხე არის ცენტრალური კუთხე, რომლის რკალის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს.

მაშინ ჩნდება კითხვა - რამდენი რადიანია გასწორებულ კუთხეში?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: რამდენი რადიუსი "ჯდება" ნახევარ წრეში? ან სხვა გზით: რამდენჯერ მეტია ნახევარი წრის სიგრძე რადიუსზე?

ეს კითხვა ძველ საბერძნეთში მცხოვრებ მეცნიერებს დაუსვეს.

ასე რომ, დიდი ხნის ძებნის შემდეგ, მათ აღმოაჩინეს, რომ წრეწირის თანაფარდობა რადიუსთან არ უნდა იყოს გამოხატული "ადამიანური" რიცხვებით, როგორიცაა და ა.შ.

და ამ დამოკიდებულების ფესვებით გამოხატვაც კი შეუძლებელია. ანუ, გამოდის, რომ არ შეიძლება ითქვას, რომ წრის ნახევარი რადიუსზე ორჯერ ან გამრავლებულია! წარმოგიდგენიათ, რა საოცარი იყო პირველად ადამიანების აღმოჩენა?! ნახევარ წრის სიგრძის რადიუსთან შეფარდებით საკმარისი იყო "ნორმალური" რიცხვები. წერილი უნდა შემეტანა.

ასე რომ, არის რიცხვი, რომელიც გამოხატავს ნახევარწრის სიგრძის თანაფარდობას რადიუსთან.

ახლა შეგვიძლია ვუპასუხოთ კითხვას: რამდენი რადიანია სწორ კუთხეში? აქვს რადიანი. ზუსტად იმიტომ, რომ წრის ნახევარი რადიუსზე ორჯერ არის.

უძველესი (და არც ისე) ხალხი საუკუნეების მანძილზე (!) ისინი ცდილობდნენ ამ იდუმალი რიცხვის უფრო ზუსტად გამოთვლას, უკეთეს (მინიმუმ დაახლოებით) გამოხატვას „ჩვეულებრივი“ რიცხვების საშუალებით. ახლა კი წარმოუდგენლად ზარმაცები ვართ - დაკავების შემდეგ ორი ნიშანი საკმარისია ჩვენთვის, მიჩვეულები ვართ

დაფიქრდით, ეს ნიშნავს, რომ მაგალითად, ერთი რადიუსის მქონე წრის y სიგრძით დაახლოებით ტოლია და უბრალოდ შეუძლებელია ამ სიგრძის ჩაწერა "ადამიანური" რიცხვით - გჭირდებათ ასო. და მაშინ ეს გარშემოწერილობა ტოლი იქნება. და რა თქმა უნდა, რადიუსის გარშემოწერილობა ტოლია.

დავუბრუნდეთ რადიანებს.

ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ სწორი კუთხე შეიცავს რადიანს.

რაც გვაქვს:

ძალიან მიხარია, ეს სასიხარულოა. ანალოგიურად, მიიღება ფირფიტა ყველაზე პოპულარული კუთხით.

შეფარდება ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხეების მნიშვნელობებს შორის.

გასაოცარი ფაქტია:

ჩაწერილი კუთხის მნიშვნელობა არის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის ნახევარი.

ნახეთ, როგორ გამოიყურება ეს განცხადება სურათზე. "შესაბამისი" ცენტრალური კუთხე არის ის, რომელშიც ბოლოები ემთხვევა ჩაწერილი კუთხის ბოლოებს, ხოლო წვერო არის ცენტრში. და ამავდროულად, "შესაბამისი" ცენტრალური კუთხე უნდა "იყურებოდეს" იმავე აკორდზე () როგორც ჩაწერილი კუთხე.

Რატომ ასე? ჯერ მარტივ შემთხვევას გადავხედოთ. ერთ-ერთმა აკორდმა ცენტრში გაიაროს. ბოლოს და ბოლოს, ეს ზოგჯერ ხდება, არა?

აქ რა ხდება? განიხილეთ. ის არის ტოლფერდა - ბოლოს და ბოლოს და არის რადიუსები. ასე რომ, (აღნიშნა ისინი).

ახლა მოდით შევხედოთ. ეს არის გარე კუთხე! გავიხსენოთ, რომ გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხეების ჯამს, რომლებიც არ არიან მის მიმდებარედ და დავწეროთ:

ე.ი. მოულოდნელი ეფექტი. მაგრამ ასევე არის ცენტრალური კუთხე წარწერისთვის.

ამრიგად, ამ შემთხვევისთვის ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ცენტრალური კუთხე ორჯერ აღემატება ჩაწერილ კუთხეს. მაგრამ ეს მტკივნეულად განსაკუთრებული შემთხვევაა: მართალია, რომ აკორდი ყოველთვის პირდაპირ ცენტრში არ გადის? მაგრამ არაფერი, ახლა ეს განსაკუთრებული შემთხვევა ძალიან დაგვეხმარება. იხილეთ: მეორე შემთხვევა: მიეცით ცენტრი შიგნით.

მოდით გავაკეთოთ ეს: დავხატოთ დიამეტრი. და შემდეგ ... ჩვენ ვხედავთ ორ სურათს, რომლებიც უკვე გაანალიზებულია პირველ შემთხვევაში. ამიტომ, უკვე გვაქვს

ასე რომ (ნახატზე, ა)

ბოლო შემთხვევა რჩება: ცენტრი კუთხის გარეთაა.

ჩვენც იგივეს ვაკეთებთ: დიამეტრის დახაზვა წერტილის მეშვეობით. ყველაფერი იგივეა, მაგრამ ჯამის ნაცვლად - განსხვავება.

Სულ ეს არის!

ახლა ჩამოვაყალიბოთ ორი ძირითადი და ძალიან მნიშვნელოვანი შედეგი იმ დებულებისა, რომ ჩაწერილი კუთხე არის ცენტრალურის ნახევარი.

დასკვნა 1

ყველა ჩაწერილი კუთხე, რომელიც კვეთს ერთსა და იმავე რკალს, ტოლია.

ჩვენ ვაჩვენებთ:

ერთიდაიგივე რკალზე დაფუძნებული უთვალავი ჩაწერილი კუთხეა (ჩვენ გვაქვს ეს რკალი), ისინი შეიძლება სრულიად განსხვავებულად გამოიყურებოდეს, მაგრამ ყველას აქვს ერთი და იგივე ცენტრალური კუთხე (), რაც ნიშნავს, რომ ყველა ეს ჩაწერილი კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

შედეგი 2

დიამეტრზე დაფუძნებული კუთხე არის მართი კუთხე.

შეხედეთ: რომელი კუთხეა ცენტრალური?

Რა თქმა უნდა, . მაგრამ ის თანაბარია! ისე, ამიტომ (ისევე, როგორც ბევრი ჩაწერილი კუთხეების საფუძველზე) და უდრის.

კუთხე ორ აკორდსა და სეკანტს შორის

რა მოხდება, თუ კუთხე, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს, არ არის ჩაწერილი და არ არის ცენტრალური, მაგრამ, მაგალითად, ასეთია:

ან ასე?

შესაძლებელია თუ არა მისი როგორმე გამოხატვა ცენტრალური კუთხით? თურმე შეგიძლია. შეხედე, ჩვენ გვაინტერესებს.

ა) (როგორც გარე კუთხე). მაგრამ - წარწერით, რკალზე დაყრდნობით - . - წარწერა, რკალზე დაფუძნებული - .

სილამაზისთვის ამბობენ:

აკორდებს შორის კუთხე უდრის ამ კუთხეში შემავალი რკალების კუთხური მნიშვნელობების ჯამის ნახევარს.

ეს დაწერილია მოკლედ, მაგრამ რა თქმა უნდა, ამ ფორმულის გამოყენებისას, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ცენტრალური კუთხეები

ბ) ახლა კი – „გარეთ“! Როგორ უნდა იყოს? დიახ, თითქმის იგივე! მხოლოდ ახლა (კიდევ ერთხელ გამოიყენეთ გარე კუთხის თვისება). ეს არის ახლა.

და ეს ნიშნავს. შემოვიტანოთ სილამაზე და სიმოკლე ჩანაწერებსა და ფორმულირებებს:

სექანტებს შორის კუთხე უდრის ამ კუთხეში ჩასმული რკალების კუთხური მნიშვნელობების განსხვავების ნახევარს.

კარგად, ახლა თქვენ შეიარაღებული ხართ ყველა ძირითადი ცოდნით წრესთან დაკავშირებული კუთხეების შესახებ. წინ, ამოცანების თავდასხმამდე!

წრე და ჩაწერილი კუთხე. შუა დონე

რა არის წრე, ხუთი წლის ბავშვმაც კი იცის, არა? მათემატიკოსებს, როგორც ყოველთვის, აქვთ აბსტრაქტული განმარტება ამ თემაზე, მაგრამ ჩვენ არ მივცემთ მას (იხ.), არამედ გვახსოვს, რა ჰქვია წრესთან დაკავშირებულ წერტილებს, ხაზებს და კუთხეებს.

მნიშვნელოვანი პირობები

ჯერ ერთი:

წრის ცენტრი- წერტილი, საიდანაც მანძილი, საიდანაც წრის ყველა წერტილამდე ერთნაირია.

Მეორეც:

აქ არის სხვა მიღებული გამოთქმა: „აკორდი იკუმშება რკალს“. აი, აქ, ფიგურაში, მაგალითად, აკორდი იკუმშება რკალი. და თუ აკორდი უცებ გაივლის ცენტრში, მაშინ მას განსაკუთრებული სახელი აქვს: "დიამეტრი".

სხვათა შორის, როგორ არის დაკავშირებული დიამეტრი და რადიუსი? Ახლოდან დააკვირდი. Რა თქმა უნდა,

ახლა კი - სახელები კუთხეებისთვის.

ბუნებრივია, არა? კუთხის გვერდები ცენტრიდან გამოდის, რაც იმას ნიშნავს, რომ კუთხე ცენტრალურია.

სწორედ აქ ჩნდება ზოგჯერ სირთულეები. Ყურადღებით - წრის შიგნით არცერთი კუთხე არ არის ჩაწერილი,მაგრამ მხოლოდ ერთი, რომლის წვეროც „ზის“ წრეზე.

ვნახოთ განსხვავება სურათებში:

სხვანაირადაც ამბობენ:

აქ არის ერთი სახიფათო წერტილი. რა არის "შესაბამისი" ან "საკუთარი" ცენტრალური კუთხე? უბრალოდ კუთხე წვეროთი წრის ცენტრში და მთავრდება რკალის ბოლოებში? რა თქმა უნდა არა ამ გზით. Შეხედე სურათს.

თუმცა ერთი მათგანი არც კი ჰგავს კუთხეს - უფრო დიდია. მაგრამ სამკუთხედში მეტი კუთხე არ შეიძლება იყოს, მაგრამ წრეში - შეიძლება! ასე რომ: პატარა რკალი AB შეესაბამება უფრო მცირე კუთხეს (ნარინჯისფერი), ხოლო უფრო დიდი - უფრო დიდს. ისევე, როგორც, არა?

წარწერისა და ცენტრალური კუთხეების მიმართება

გახსოვდეთ ძალიან მნიშვნელოვანი განცხადება:

სახელმძღვანელოებში მათ მოსწონთ იგივე ფაქტის დაწერა ასე:

მართალია, ცენტრალური კუთხით, ფორმულირება უფრო მარტივია?

მაგრამ მაინც, ვიპოვოთ შესაბამისობა ორ ფორმულირებას შორის და ამავდროულად ვისწავლოთ როგორ ვიპოვოთ „შესაბამისი“ ცენტრალური კუთხე და რკალი, რომელზეც ჩაწერილი კუთხე „ეყრდნობა“ ფიგურებს.

შეხედე, აქ არის წრე და ჩაწერილი კუთხე:

სად არის მისი "შესაბამისი" ცენტრალური კუთხე?

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ:

რა წესია?

მაგრამ! ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია, რომ ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხეები რკალის ერთ მხარეს „გამოიყურება“. Მაგალითად:

უცნაურად საკმარისია, ლურჯი! რადგან რკალი გრძელია, წრის ნახევარზე გრძელი! ასე რომ, არასოდეს დაიბნეთ!

რა შედეგის გამოტანა შეიძლება ჩაწერილი კუთხის „ნახევრობიდან“?

და აი, მაგალითად:

კუთხე დიამეტრის მიხედვით

უკვე შენიშნეთ, რომ მათემატიკოსებს ძალიან უყვართ ერთსა და იმავე თემაზე სხვადასხვა სიტყვებით საუბარი? რატომ არის ეს მათთვის? ხედავთ, თუმცა მათემატიკის ენა ფორმალურია, ის ცოცხალია და ამიტომ, როგორც ჩვეულებრივ ენაში, ყოველ ჯერზე გინდათ უფრო მოსახერხებელი თქვათ. ჩვენ უკვე ვნახეთ რა არის "კუთხე ეყრდნობა რკალს". და წარმოიდგინეთ, იგივე სურათს ჰქვია "კუთხე ეყრდნობა აკორდს". რაზე? დიახ, რა თქმა უნდა, მასზე, ვინც ამ რკალს ათრევს!

როდის არის უფრო მოსახერხებელი აკორდზე დაყრდნობა, ვიდრე რკალზე?

კარგად, კერძოდ, როდესაც ეს აკორდი არის დიამეტრი.

ასეთი სიტუაციისთვის არის საოცრად მარტივი, ლამაზი და სასარგებლო განცხადება!

შეხედეთ: აქ არის წრე, დიამეტრი და კუთხე, რომელიც ეყრდნობა მას.

წრე და ჩაწერილი კუთხე. მოკლედ მთავარის შესახებ

1. ძირითადი ცნებები.

3. რკალებისა და კუთხეების გაზომვები.

რადიანის კუთხე არის ცენტრალური კუთხე, რომლის რკალის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს.

ეს არის რიცხვი, რომელიც გამოხატავს ნახევარწრის სიგრძის თანაფარდობას რადიუსთან.

რადიუსის გარშემოწერილობა ტოლია.

4. შეფარდება ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხეების მნიშვნელობებს შორის.

ABC კუთხე არის ჩაწერილი კუთხე. იგი ეყრდნობა მის გვერდებს შორის მოქცეულ AC რკალს (სურ. 330).

თეორემა. ჩაწერილი კუთხე იზომება რკალის ნახევარით, რომელსაც ის კვეთს.

ეს ასე უნდა გავიგოთ: ჩაწერილი კუთხე შეიცავს იმდენ კუთხურ გრადუსს, წუთს და წამს, რამდენიც რკალის გრადუსს, წუთები და წამები შეიცავს რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

ამ თეორემის დასამტკიცებლად სამი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.

პირველი შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის მხარეს (სურ. 331).

მოდით ∠ABC იყოს ჩაწერილი კუთხე და O წრის ცენტრი მდებარეობს BC მხარეს. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ იგი იზომება AC რკალის ნახევარით.

დააკავშირეთ A წერტილი წრის ცენტრთან. იგივე წრის რადიუსად ვიღებთ \(\დელტა\)AOB ტოლფერს, რომელშიც AO = OB. ამიტომ, ∠A = ∠B.

∠AOC არის AOB სამკუთხედის გარე, ამიტომ ∠AOC = ∠A + ∠B და რადგან კუთხეები A და B ტოლია, ∠B არის 1/2 ∠AOC.

მაგრამ ∠AOC იზომება AC რკალით, ამიტომ ∠B იზომება AC რკალის ნახევარით.

მაგალითად, თუ \(\breve(AC)\) შეიცავს 60°18', მაშინ ∠B შეიცავს 30°9'-ს.

მეორე შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის გვერდებს შორის (სურ. 332).

მოდით ∠ABD იყოს ჩაწერილი კუთხე. O წრის ცენტრი მდებარეობს მის გვერდებს შორის. საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ∠ABD იზომება AD რკალის ნახევარით.

ამის დასამტკიცებლად დავხატოთ დიამეტრი ძვ.წ. კუთხე ABD იყოფა ორ კუთხედ: ∠1 და ∠2.

∠1 იზომება AC რკალის ნახევარით, ხოლო ∠2 იზომება რკალის CD-ის ნახევარით, შესაბამისად, მთელი ∠ABD იზომება 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), ანუ რკალის ნახევარი AD.

მაგალითად, თუ \(\breve(AD)\) შეიცავს 124°-ს, მაშინ ∠B შეიცავს 62°-ს.

მესამე შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის გარეთ (სურ. 333).

მოდით ∠MAD იყოს ჩაწერილი კუთხე. O წრის ცენტრი კუთხის გარეთაა. საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ∠MAD იზომება რკალის MD-ის ნახევარით.

ამის დასამტკიცებლად დავხატოთ დიამეტრი AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. მაგრამ ∠MAB ზომავს 1/2 \(\breve(MB)\) და ∠DAB ზომავს 1/2 \(\breve(DB)\).

ამიტომ, ∠MAD ზომავს 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), ანუ 1/2 \(\breve(MD)\).

მაგალითად, თუ \(\breve(MD)\) შეიცავს 48° 38", მაშინ ∠MAD შეიცავს 24° 19' 8"-ს.

შედეგები
1. ყველა ჩაწერილი კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია იმავე რკალზე, ერთმანეთის ტოლია, რადგან ისინი იზომება იმავე რკალის ნახევარით. (სურ. 334, ა).

2. დიამეტრზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე არის სწორი კუთხე, რადგან ის დაფუძნებულია ნახევარ წრეზე. წრის ნახევარი შეიცავს 180 რკალის გრადუსს, რაც ნიშნავს, რომ დიამეტრის მიხედვით დაფუძნებული კუთხე შეიცავს 90 კუთხურ გრადუსს (სურ. 334, ბ).