როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია y=sin x? პირველ რიგში, განიხილეთ სინუსის გრაფიკი ინტერვალზე.

ვიღებთ ერთ სეგმენტს რვეულის 2 უჯრედის სიგრძით. ჩვენ აღვნიშნავთ ერთეულს Oy ღერძზე.

მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ვამრგვალებთ რიცხვს π/2 1,5-მდე (და არა 1,6-მდე, როგორც ამას დამრგვალების წესები მოითხოვს). ამ შემთხვევაში, π/2 სიგრძის სეგმენტი შეესაბამება 3 უჯრედს.

Ox ღერძზე ჩვენ აღვნიშნავთ არა ცალკეულ სეგმენტებს, არამედ π / 2 სიგრძის სეგმენტებს (ყოველ 3 უჯრედში). შესაბამისად, π სიგრძის სეგმენტი შეესაბამება 6 უჯრედს, π/6 სიგრძის სეგმენტს 1 უჯრედს.

ერთი სეგმენტის ამ არჩევანით, ბლოკნოტის ფურცელზე გამოსახული გრაფიკი მაქსიმალურად შეესაბამება y=sin x ფუნქციის გრაფიკს.

მოდით გავაკეთოთ სინუსების მნიშვნელობების ცხრილი ინტერვალზე:

შედეგად მიღებული წერტილები აღინიშნება კოორდინატულ სიბრტყეზე:

ვინაიდან y=sin x არის კენტი ფუნქცია, სინუს გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ - წერტილი O(0;0). ამ ფაქტის გათვალისწინებით, ჩვენ ვაგრძელებთ გრაფიკის დახატვას მარცხნივ, შემდეგ წერტილებს -π:

ფუნქცია y=sin x პერიოდულია T=2π პერიოდით. მაშასადამე, [-π; π] ინტერვალზე აღებული ფუნქციის გრაფიკი უსასრულოდ მეორდება მარჯვნივ და მარცხნივ.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ფუნქცია y=sin(x). განმარტებები და თვისებები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული სამშენებლო ამოცანები 7-10 კლასებისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:

• Y=sin(X) ფუნქციის თვისებები.
• ფუნქციის გრაფიკი.
• როგორ ავაშენოთ გრაფიკი და მისი მასშტაბები.
• მაგალითები.

სინუსური თვისებები. Y=ცოდვა (X)

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევხვდით რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. გახსოვთ ისინი?

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ Y=sin(X) ფუნქციას

მოდით ჩამოვწეროთ ამ ფუნქციის რამდენიმე თვისება:
1) განსაზღვრების დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე.
2) ფუნქცია კენტია. გავიხსენოთ კენტი ფუნქციის განმარტება. ფუნქციას კენტი ეწოდება, თუ ტოლობა მართალია: y(-x)=-y(x). როგორც გვახსოვს მოჩვენებების ფორმულებიდან: sin(-x)=-sin(x). განმარტება დაკმაყოფილებულია, ამიტომ Y=sin(X) არის უცნაური ფუნქცია.
3) ფუნქცია Y=sin(X) იზრდება ინტერვალზე და მცირდება [π/2; π]. პირველი მეოთხედის გასწვრივ (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით) მოძრაობისას ორდინატი იზრდება, მეორე მეოთხედის გასწვრივ კი მცირდება.

4) ფუნქცია Y=sin(X) შემოსაზღვრულია ქვემოდან და ზემოდან. ეს ქონება გამომდინარეობს იქიდან, რომ
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის -1 (x = - π/2+ πk-სთვის). ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის 1 (x = π/2+ πk-სთვის).

გამოვიყენოთ 1-5 თვისებები Y=sin(X) ფუნქციის გამოსათვლელად. ჩვენ ავაშენებთ ჩვენს გრაფიკს თანმიმდევრულად, ჩვენი თვისებების გამოყენებით. დავიწყოთ დიაგრამის აგება სეგმენტზე.

განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს მასშტაბს. ორდინატთა ღერძზე უფრო მოსახერხებელია 2 უჯრედის ტოლი ერთი სეგმენტის აღება, ხოლო აბსცისის ღერძზე - ერთი სეგმენტის (ორი უჯრედი) აღება π/3-ის ტოლი (იხ. სურათი).

ფუნქციის გამოსახვა sine x, y=sin(x)

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ჩვენს სეგმენტზე:

ავაშენოთ გრაფიკი ჩვენი პუნქტებისთვის მესამე თვისების გათვალისწინებით.

კონვერტაციის ცხრილი მოჩვენებების ფორმულებისთვის

გამოვიყენოთ მეორე თვისება, რომელიც ამბობს, რომ ჩვენი ფუნქცია კენტია, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება სიმეტრიულად აისახოს წარმოშობის მიმართ:

ჩვენ ვიცით, რომ sin(x+ 2π) = sin(x). ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტზე [- π; π] გრაფიკი გამოიყურება ისე, როგორც სეგმენტზე [π; 3π] ან [-3π; - pi] და ასე შემდეგ. ჩვენთვის რჩება წინა ფიგურის გრაფიკის ფრთხილად გადახაზვა მთელ x ღერძზე.

Y=sin(X) ფუნქციის გრაფიკს სინუსოიდი ეწოდება.

მოდით დავწეროთ კიდევ რამდენიმე თვისება აგებული გრაფიკის მიხედვით:
6) Y=sin(X) ფუნქცია იზრდება ფორმის ნებისმიერ სეგმენტზე: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k არის მთელი რიცხვი და მცირდება ფორმის ნებისმიერ სეგმენტზე: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k არის მთელი რიცხვი.
7) ფუნქცია Y=sin(X) არის უწყვეტი ფუნქცია. მოდით გადავხედოთ ფუნქციის გრაფიკს და დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს ფუნქციას არ აქვს წყვეტები, ეს ნიშნავს უწყვეტობას.
8) მნიშვნელობების დიაპაზონი: სეგმენტი [- 1; 1]. ეს ასევე აშკარად ჩანს ფუნქციის გრაფიკიდან.
9) Y=sin(X) ფუნქცია პერიოდული ფუნქციაა. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ გრაფიკს და ვნახოთ, რომ ფუნქცია გარკვეულ ინტერვალებში იღებს იმავე მნიშვნელობებს.

სინუსთან დაკავშირებული პრობლემების მაგალითები

1. ამოხსენით განტოლება sin(x)= x-π

ამოხსნა: ავაშენოთ ფუნქციის 2 გრაფიკი: y=sin(x) და y=x-π (იხ. ნახაზი).
ჩვენი გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში A(π; 0), ეს არის პასუხი: x = π

2. დახაზეთ ფუნქცია y=sin(π/6+x)-1

ამოხსნა: სასურველი გრაფიკი მიიღება y=sin(x) ფუნქციის გრაფიკის გადაადგილებით π/6 ერთეულით მარცხნივ და 1 ერთეულით ქვემოთ.

ამოხსნა: ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი და განვიხილოთ ჩვენი სეგმენტი [π/2; 5π/4].
ფუნქციის გრაფიკი გვიჩვენებს, რომ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა სეგმენტის ბოლოებზე, შესაბამისად π/2 და 5π/4 წერტილებში.
პასუხი: sin(π/2) = 1 არის უდიდესი მნიშვნელობა, sin(5π/4) = უმცირესი მნიშვნელობა.

სინუსური პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

• ამოხსენით განტოლება: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• დახაზეთ ფუნქცია y=sin(π/3+x)-2
• დახაზეთ ფუნქცია y=sin(-2π/3+x)+1
• იპოვეთ y=sin(x) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე
• იპოვეთ y=sin(x) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა [- π/3; 5π/6]

ახლა განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ გამოვსახოთ მრავალი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ωx, სად ω რაღაც დადებითი რიცხვია.

ფუნქციის დასახატად y = ცოდვა ωxშევადაროთ ეს ფუნქცია უკვე შესწავლილ ფუნქციას y = ცოდვა x. დავუშვათ, რომ ზე x = x 0 ფუნქცია y = ცოდვა xიღებს მნიშვნელობას 0-ის ტოლი. მერე

y 0 = ცოდვა x 0 .

მოდით გარდავქმნათ ეს თანაფარდობა შემდეგნაირად:

ამიტომ ფუნქცია y = ცოდვა ωxზე X = x 0 / ω იღებს იგივე მნიშვნელობას ზე 0 , რომელიც არის ფუნქცია y = ცოდვა xზე x = x 0 . და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = ცოდვა ωxიმეორებს თავის მნიშვნელობებს ω ჯერ უფრო ხშირად ვიდრე ფუნქცია y = sinx. ასე რომ, ფუნქციის გრაფიკი y = ცოდვა ωxმიღებული ფუნქციის გრაფიკის „შეკუმშვით“. y = ცოდვა xვ ω ჯერ x-ღერძის გასწვრივ.

მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y \u003d ცოდვა 2xმიღებული სინუსოიდის „შეკუმშვით“. y = ცოდვა xორჯერ აბსცისის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y \u003d ცოდვა x / 2 მიღებული სინუსოიდის y \u003d sin x ორჯერ "გაჭიმვით" (ან "შეკუმშვით" 1 / 2 ჯერ) x-ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციიდან გამომდინარე y = ცოდვა ωxიმეორებს თავის მნიშვნელობებს ω ჯერ უფრო ხშირად ვიდრე ფუნქცია
y = ცოდვა x, შემდეგ მისი პერიოდი ω ჯერ ნაკლები ფუნქციის პერიოდზე y = ცოდვა x. მაგალითად, ფუნქციის პერიოდი y \u003d ცოდვა 2xუდრის 2π / 2 = π და ფუნქციის პერიოდი y \u003d ცოდვა x / 2 უდრის π / x / 2 = 4π .

საინტერესოა ფუნქციის ქცევის შესწავლა y \u003d ცოდვა ცულიანიმაციის მაგალითზე, რომელიც ძალიან მარტივად შეიძლება შეიქმნას პროგრამაში ნეკერჩხალი:

ანალოგიურად, გრაფიკები აგებულია მრავალი კუთხის სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის. ფიგურაში ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი y = cos 2x, რომელიც მიიღება კოსინუსის „შეკუმშვით“. y = cos xორჯერ x-ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y = cos x / 2 მიღებული კოსინუსური ტალღის „გაჭიმვით“. y = cos xორჯერ x-ღერძის გასწვრივ.

სურათზე ხედავთ ფუნქციის გრაფიკს y = tg 2x, მიღებული ტანგენტოიდის „შეკუმშვით“. y = tg xორჯერ აბსცისის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y = tg x / 2 , მიღებული ტანგენტოიდის „გაჭიმვით“. y = tg xორჯერ x-ღერძის გასწვრივ.

და ბოლოს, პროგრამის მიერ შესრულებული ანიმაცია ნეკერჩხალი:

Სავარჯიშოები

1. შექმენით ამ ფუნქციების გრაფიკები და მიუთითეთ ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები კოორდინატთა ღერძებთან. განსაზღვრეთ ამ ფუნქციების პერიოდები.

ა). y=ცოდვა 4x / 3 გ). y=tg 5x / 6 და). y = cos 2x / 3

ბ). y= cos 5x / 3 ე). y=ctg 5x / 3 თ). y=ctg x / 3

V). y=tg 4x / 3 ე). y = ცოდვა 2x / 3

2. განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდები y \u003d ცოდვა (πx)და y = tg (πх / 2).

3. მიეცით ფუნქციის ორი მაგალითი, რომელიც იღებს ყველა მნიშვნელობას -1-დან +1-მდე (ამ ორი რიცხვის ჩათვლით) და პერიოდულად იცვლება 10-იანი პერიოდით.

4 *. მიეცით ფუნქციების ორი მაგალითი, რომლებიც იღებენ ყველა მნიშვნელობას 0-დან 1-მდე (ამ ორი რიცხვის ჩათვლით) და პერიოდულად იცვლება წერტილით π / 2.

5. მიეცით ფუნქციების ორი მაგალითი, რომლებიც იღებენ ყველა რეალურ მნიშვნელობას და პერიოდულად იცვლება 1 პერიოდით.

6 *. მიეცით ფუნქციების ორი მაგალითი, რომლებიც იღებენ ყველა უარყოფით მნიშვნელობას და ნულს, მაგრამ არ იღებენ დადებით მნიშვნელობებს და პერიოდულად იცვლება 5-იანი პერიოდით.