პითაგორას თეორემა- ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ამყარებს მიმართებას

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის.

ითვლება, რომ ეს დაამტკიცა ბერძენმა მათემატიკოსმა პითაგორამ, რომლის სახელიც დაარქვეს.

პითაგორას თეორემის გეომეტრიული ფორმულირება.

თეორემა თავდაპირველად ჩამოყალიბდა შემდეგნაირად:

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის კვადრატების ფართობების ჯამს,

აგებულია კათეტერებზე.

პითაგორას თეორემის ალგებრული ფორმულირება.

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს.

ეს არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის აღნიშვნა გ, და სიგრძის ფეხები მეშვეობით ადა ბ:

ორივე ფორმულირება პითაგორას თეორემებიექვივალენტურია, მაგრამ მეორე ფორმულირება უფრო ელემენტარულია, არა

მოითხოვს ფართობის კონცეფციას. ანუ მეორე განცხადება შეიძლება გადამოწმდეს ტერიტორიის შესახებ არაფრის ცოდნის გარეშე და

მართკუთხა სამკუთხედის მხოლოდ გვერდების სიგრძის გაზომვით.

შებრუნებული პითაგორას თეორემა.

თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, მაშინ

სამკუთხედი მართკუთხაა.

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

დადებითი რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა, ბდა გ, ისეთივე როგორც

არის მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით ადა ბდა ჰიპოტენუზა გ.

პითაგორას თეორემა ტოლფერდა სამკუთხედისთვის.

პითაგორას თეორემა ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის.

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები.

ამ დროისთვის სამეცნიერო ლიტერატურაში ამ თეორემის 367 მტკიცებულებაა დაფიქსირებული. ალბათ თეორემა

პითაგორა ერთადერთი თეორემაა მტკიცებულებების ასეთი შთამბეჭდავი რაოდენობით. ასეთი მრავალფეროვნება

შეიძლება აიხსნას მხოლოდ გეომეტრიისთვის თეორემის ფუნდამენტური მნიშვნელობით.

რა თქმა უნდა, კონცეპტუალურად, ყველა მათგანი შეიძლება დაიყოს კლასების მცირე რაოდენობად. მათგან ყველაზე ცნობილი:

მტკიცებულება ფართობის მეთოდი, აქსიომურიდა ეგზოტიკური მტკიცებულება(Მაგალითად,

მეშვეობით დიფერენციალური განტოლებები).

1. პითაგორას თეორემის დადასტურება მსგავსი სამკუთხედების თვალსაზრისით.

ალგებრული ფორმულირების შემდეგი მტკიცებულება აგებულ მტკიცებულებებს შორის ყველაზე მარტივია

პირდაპირ აქსიომებიდან. კერძოდ, ის არ იყენებს ფიგურის ფართობის კონცეფციას.

დაე იყოს ABCარის მართკუთხა სამკუთხედი C. მოდით დავხატოთ სიმაღლე Cდა აღვნიშნავთ

მისი საძირკვლის მეშვეობით ჰ.

სამკუთხედი ACHსამკუთხედის მსგავსი AB C ორ კუთხეში. ანალოგიურად, სამკუთხედი CBHმსგავსი ABC.

აღნიშვნის შემოღებით:

ჩვენ ვიღებთ:

,

რომელიც ემთხვევა -

დაკეცილი ა 2 და ბ 2, ჩვენ ვიღებთ:

ან , რაც დასამტკიცებელი იყო.

2. პითაგორას თეორემის დადასტურება ფართობის მეთოდით.

შემდეგი მტკიცებულებები, მიუხედავად მათი აშკარა სიმარტივისა, არც ისე მარტივია. Ყველა მათგანი

გამოიყენეთ ფართობის თვისებები, რომელთა მტკიცება უფრო რთულია, ვიდრე თავად პითაგორას თეორემის მტკიცებულება.

• დადასტურება ეკვიკომპლმენტაციის საშუალებით.

დაალაგეთ ოთხი თანაბარი მართკუთხა

სამკუთხედი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე

მარჯვნივ.

ოთხკუთხედი გვერდებით გ- კვადრატი,

ვინაიდან ორი მახვილი კუთხის ჯამი არის 90° და

განვითარებული კუთხე არის 180°.

მთელი ფიგურის ფართობი არის, ერთი მხრივ,

კვადრატის ფართობი გვერდით ( a+b), ხოლო მეორე მხრივ ოთხი სამკუთხედის ფართობების ჯამი და

ქ.ე.დ.

3. პითაგორას თეორემის დადასტურება უსასრულოდ მცირე მეთოდით.

​

ნახატზე ნაჩვენები ნახატის გათვალისწინებით და

უყურებს გვერდის შეცვლასა, ჩვენ შეგვიძლია

დაწერეთ შემდეგი მიმართება უსასრულოდ

პატარა გვერდითი მატებათანდა ა(მსგავსების გამოყენებით

სამკუთხედები):

ცვლადების გამიჯვნის მეთოდის გამოყენებით ვხვდებით:

უფრო ზოგადი გამოხატულება ჰიპოტენუზის შეცვლის შემთხვევაში ორივე ფეხის მატების შემთხვევაში:

ამ განტოლების ინტეგრირებით და საწყისი პირობების გამოყენებით ვიღებთ:

ამრიგად, ჩვენ მივდივართ სასურველ პასუხამდე:

როგორც ადვილი მისახვედრია, საბოლოო ფორმულაში კვადრატული დამოკიდებულება ჩნდება ხაზოვანის გამო

პროპორციულობა სამკუთხედის გვერდებსა და ნამატებს შორის, ხოლო ჯამი დაკავშირებულია დამოუკიდებელთან

წვლილი სხვადასხვა ფეხის ზრდისგან.

უფრო მარტივი მტკიცებულება შეიძლება მივიღოთ, თუ ვივარაუდებთ, რომ ერთ-ერთი ფეხი არ განიცდის ზრდას

(ამ შემთხვევაში ფეხი ბ). შემდეგ ინტეგრაციის მუდმივისთვის ვიღებთ:

არასოდეს დაივიწყოთ პითაგორას თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ფეხების კვადრატების ჯამს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის აღნიშვნა c-მდე, ხოლო ფეხების სიგრძეები a და b-ით:

ჰიპოტენუზაარის მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი. ასევე ამ სამკუთხედში არის ორი ფეხი.

ამ შემთხვევაში ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც სწორი კუთხის საპირისპიროა. და ფეხები არის მხარეები, რომლებიც ქმნიან მოცემულ კუთხეს.

პითაგორას თეორემის მიხედვით, ჰიპოტენუზის კვადრატი ტოლი იქნება ფეხების კვადრატების ჯამის.

ანუ AB = AC + BC.

პირიქითაც მართალია - თუ ეს ტოლობა მოქმედებს სამკუთხედში, მაშინ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა.

ეს თვისება ხელს უწყობს მრავალი გეომეტრიული პრობლემის გადაჭრას.

ამ თეორემის ოდნავ განსხვავებული ფორმულირებაა: კვადრატის ფართობი, რომელიც აგებულია ჰიპოტენუზაზე, უდრის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს.

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს ... სკოლიდან ზეპირად. ეს არის ერთ-ერთი წესი, რომელიც სამუდამოდ დაიმახსოვრება.)))

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს

ასეა, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. რა თქმა უნდა, ეს გვასწავლეს და რომ პითაგორას ეს თეორემა ეჭვს არ იწვევს, ძალიან სასიამოვნოა გავიხსენოთ ის, რაც დიდი ხნის წინ ისწავლებოდა ჩვეულებრივ რუტინაში.

ეს დამოკიდებულია ამ ჰიპოტენუზის სიგრძეზე. თუ ის უდრის ერთ მეტრს, მაშინ e კვადრატი არის ერთი კვადრატული მეტრი. და თუ, მაგალითად, ის უდრის 39,37 ინჩს, მაშინ e Square უდრის 1550 კვადრატულ ინჩს, ამაზე არაფერი შეიძლება გაკეთდეს.

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს - პითაგორას თეორემა (სხვათა შორის, ყველაზე მარტივი აბზაცი გეომეტრიის სახელმძღვანელოში)

დიახ, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. თითქოს სკოლაში გვასწავლიდნენ. რამდენი წელი გავიდა და ჩვენ ჯერ კიდევ გვახსოვს ეს ჩვენთვის საყვარელი თეორემა. ალბათ, დაძაბეთ და დავამტკიცე, რომ შემიძლია, როგორც სკოლის სასწავლო გეგმაშია.

მათ ასევე თქვეს დათვლის ციტატა: პითაგორას შარვალი, ყველა მიმართულებით თანაბარი;

მასწავლებელმა გვითხრა, რომ თუ გძინავს და უცებ გაჩნდება ცეცხლი - უნდა იცოდე პითაგორას თეორემა))) ის უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის სამკუთხედის (ფეხების) დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს.

შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს, ან გაიგოთ ერთხელ და სამუდამოდ რატომ არის ასე.

დასაწყისისთვის, განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი იდენტური ფეხებით და მოათავსეთ იგი კვადრატში, რომლის გვერდიც ტოლია ჰიპოტენუზას.

დიდი კვადრატის ფართობი ტოლი იქნება მის შიგნით ოთხი იდენტური სამკუთხედის ფართობისა.

ჩვენ სწრაფად ვიანგარიშებთ ყველაფერს და ვიღებთ საჭირო შედეგს.



იმ შემთხვევაში, თუ ფეხები არ არის იგივე, ყველაფერი ასევე საკმაოდ მარტივია:

დიდი კვადრატის ფართობი უდრის ოთხი ერთნაირი სამკუთხედის ფართობების ჯამს, პლუს კვადრატის ფართობი შუაში.



რაც არ უნდა თქვას, ჩვენ ყოველთვის ვიღებთ თანასწორობას

ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს.

ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი გეომეტრიაში, პითაგორას თეორემა ამბობს:

ეს თეორემა ეხება მართკუთხა სამკუთხედს, ანუ სამკუთხედს, რომლის კუთხე 90 გრადუსია. მართი კუთხის გვერდებს ფეხები ეწოდება, ხოლო ირიბ გვერდებს ჰიპოტენუზა. ასე რომ, თუ სამკუთხედის თითოეულ მხარეს ფუძით დახატავთ სამ კვადრატს, მაშინ ფეხის მახლობლად ორი კვადრატის ფართობი უდრის კვადრატის ფართობს ჰიპოტენუზასთან.

კრეატიულობის პოტენციალი ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებს, ტოვებს ბუნებრივ სამეცნიერო ანალიზს, პრაქტიკულ მიდგომას და ფორმულებისა და რიცხვების მშრალ ენას. მათემატიკა არ შეიძლება ჩაითვალოს ჰუმანიტარულ საგნად. მაგრამ "ყველა მეცნიერების დედოფალში" შემოქმედების გარეშე შორს ვერ წახვალ - ხალხმა ამის შესახებ დიდი ხანია იცოდა. მაგალითად, პითაგორას დროიდან.

სამწუხაროდ, სასკოლო სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, არ ხსნიან, რომ მათემატიკაში მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ თეორემების, აქსიომების და ფორმულების აწყობა. მნიშვნელოვანია მისი ფუნდამენტური პრინციპების გაგება და შეგრძნება. და ამავე დროს, შეეცადეთ გაათავისუფლოთ გონება კლიშეებისა და ელემენტარული ჭეშმარიტებისგან - მხოლოდ ასეთ პირობებში იბადება ყველა დიდი აღმოჩენა.

ასეთი აღმოჩენები მოიცავს ისეთს, რომელიც დღეს ჩვენ ვიცით, როგორც პითაგორას თეორემა. მისი დახმარებით შევეცდებით ვაჩვენოთ, რომ მათემატიკა არა მხოლოდ შეუძლია, არამედ უნდა იყოს სახალისო. და რომ ეს თავგადასავალი შესაფერისია არა მხოლოდ სქელი სათვალეების ნერდებისთვის, არამედ ყველასთვის, ვინც ძლიერია გონებით და ძლიერი სულით.

საკითხის ისტორიიდან

მკაცრად რომ ვთქვათ, მიუხედავად იმისა, რომ თეორემას "პითაგორას თეორემა" ჰქვია, თავად პითაგორამ ის ვერ აღმოაჩინა. მართკუთხა სამკუთხედი და მისი განსაკუთრებული თვისებები მასზე დიდი ხნით ადრე იყო შესწავლილი. ამ საკითხზე ორი პოლარული თვალსაზრისი არსებობს. ერთ-ერთი ვერსიით, პითაგორამ პირველმა იპოვა თეორემის სრული დადასტურება. მეორეს აზრით, მტკიცებულება არ ეკუთვნის პითაგორას ავტორს.

დღეს ვეღარ შეამოწმებ ვინ არის მართალი და ვინ არასწორი. ცნობილია მხოლოდ ის, რომ პითაგორას მტკიცებულება, თუ ის ოდესმე არსებობდა, არ შემორჩენილა. თუმცა, არსებობს ვარაუდები, რომ ცნობილი მტკიცებულება ევკლიდეს ელემენტებიდან შეიძლება ეკუთვნოდეს პითაგორას და ევკლიდემ მხოლოდ ჩაწერა იგი.

დღეს ასევე ცნობილია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ პრობლემები გვხვდება ეგვიპტურ წყაროებში ფარაონ ამენემჰეტ I-ის დროიდან, ბაბილონის თიხის ფირფიტებზე მეფე ჰამურაბის მეფობის დროიდან, ძველ ინდურ ტრაქტატში Sulva Sutra და ძველ ჩინურ ნაშრომში Zhou. -ბი სუან ჯინი.

როგორც ხედავთ, პითაგორას თეორემა უძველესი დროიდან იპყრობს მათემატიკოსთა გონებას. დაახლოებით 367 სხვადასხვა სახის მტკიცებულება, რომელიც დღეს არსებობს, დადასტურებას ემსახურება. სხვა თეორემა მას ამ მხრივ კონკურენციას ვერ გაუწევს. ცნობილი მტკიცებულების ავტორები არიან ლეონარდო და ვინჩი და შეერთებული შტატების მე-20 პრეზიდენტი ჯეიმს გარფილდი. ეს ყველაფერი მათემატიკისთვის ამ თეორემის უკიდურეს მნიშვნელობაზე მეტყველებს: გეომეტრიის თეორემების უმეტესობა მისგან არის მიღებული ან, ასე თუ ისე, მასთან დაკავშირებული.

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები

სასკოლო სახელმძღვანელოები ძირითადად ალგებრულ მტკიცებულებებს იძლევა. მაგრამ თეორემის არსი გეომეტრიაშია, ამიტომ პირველ რიგში განვიხილოთ ცნობილი თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც ამ მეცნიერებას ეფუძნება.

მტკიცებულება 1

მართკუთხა სამკუთხედის პითაგორას თეორემის უმარტივესი დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ იდეალური პირობები: დაე, სამკუთხედი იყოს არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდა. არსებობს საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ ეს იყო ასეთი სამკუთხედი, რომელიც თავდაპირველად განიხილებოდა უძველესი მათემატიკოსების მიერ.

განცხადება "მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი უდრის მის ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამს"შეიძლება ილუსტრირებული იყოს შემდეგი ნახატით:

შეხედეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედს ABC: ჰიპოტენუზაზე AC შეგიძლიათ ააგოთ კვადრატი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან, რომელიც ტოლია თავდაპირველი ABC. ხოლო AB და BC კვადრატზე აგებულ ფეხებზე, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ორ მსგავს სამკუთხედს.

სხვათა შორის, ამ ნახატმა საფუძველი ჩაუყარა პითაგორას თეორემისადმი მიძღვნილ მრავალ ანეკდოტსა და მულტფილმს. ალბათ ყველაზე ცნობილი "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია":

მტკიცებულება 2

ეს მეთოდი აერთიანებს ალგებრას და გეომეტრიას და შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკოს ბჰასკარის უძველესი ინდური მტკიცებულების ვარიანტად.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი გვერდებით a, b და c(ნახ. 1). შემდეგ ააგეთ ორი კვადრატი, რომელთა გვერდები უდრის ორი ფეხის სიგრძის ჯამს - (a+b). თითოეულ კვადრატში გააკეთეთ კონსტრუქციები, როგორც 2 და 3 სურათებში.

პირველ კვადრატში ააგეთ ოთხი იგივე სამკუთხედი, როგორც სურათზე 1. შედეგად, მიიღება ორი კვადრატი: ერთი გვერდით a, მეორე გვერდით. ბ.

მეორე კვადრატში, აგებული ოთხი მსგავსი სამკუთხედი ქმნის კვადრატს, რომლის გვერდი ტოლია ჰიპოტენუზას გ.

2-ში აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის იმ კვადრატის ფართობს, რომელიც ჩვენ ავაშენეთ c გვერდით ნახ.3-ში. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია ნახ. 2 ფორმულის მიხედვით. და ჩაწერილი კვადრატის ფართობი 3-ზე. კვადრატში ჩაწერილი ოთხი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის გამოკლებით დიდი კვადრატის ფართობიდან გვერდით. (a+b).

ამ ყველაფრის ჩამორთმევით, ჩვენ გვაქვს: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. გააფართოვეთ ფრჩხილები, გააკეთეთ ყველა საჭირო ალგებრული გამოთვლა და მიიღეთ ეს a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ამავდროულად, ნახ.3-ში ჩაწერილი ფართობი. კვადრატი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ტრადიციული ფორმულის გამოყენებით S=c2. იმათ. a2+b2=c2თქვენ დაამტკიცეთ პითაგორას თეორემა.

მტკიცებულება 3

იგივე ძველი ინდური მტკიცებულება აღწერილია მე-12 საუკუნეში ტრაქტატში „ცოდნის გვირგვინი“ („სიდჰანტა შირომანი“) და მთავარ არგუმენტად ავტორი იყენებს მიმართვას, რომელიც მიმართულია სტუდენტების მათემატიკური ნიჭისა და დაკვირვების შესაძლებლობებზე. მიმდევრები: "ნახე!".

მაგრამ ჩვენ უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ ამ მტკიცებულებას:

კვადრატის შიგნით ააგეთ ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი, როგორც ეს ნახაზზეა მითითებული. დიდი კვადრატის გვერდი, რომელიც ასევე ჰიპოტენუზაა, აღინიშნება თან. მოდით მოვუწოდოთ სამკუთხედის ფეხები ადა ბ. ნახატის მიხედვით, შიდა კვადრატის გვერდი არის (a-b).

გამოიყენეთ კვადრატული ფართობის ფორმულა S=c2გარე კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად. და ამავე დროს გამოთვალეთ იგივე მნიშვნელობა შიდა კვადრატის ფართობისა და ოთხი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დამატებით: (ა-ბ) 2 2+4*1\2*ა*ბ.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე ვარიანტი კვადრატის ფართობის გამოსათვლელად, რათა დარწმუნდეთ, რომ ისინი იმავე შედეგს იძლევა. და ეს გაძლევთ უფლებას დაწეროთ ეს c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ამოხსნის შედეგად მიიღებთ პითაგორას თეორემის ფორმულას c2=a2+b2. თეორემა დადასტურდა.

მტკიცებულება 4

ამ ცნობისმოყვარე ძველ ჩინურ მტკიცებულებას ეწოდა "პატარძლის სკამი" - სკამის მსგავსი ფიგურის გამო, რომელიც წარმოიქმნება ყველა კონსტრუქციიდან:

ის იყენებს ნახატს, რომელიც უკვე ვნახეთ მე-3 სურათზე მეორე მტკიცებულებაში. და შიდა კვადრატი c გვერდით აგებულია ისევე, როგორც ზემოთ მოცემულ ძველ ინდურ მტკიცებულებაში.

თუ 1-ელ ნახატზე გონებრივად ამოჭრით ორ მწვანე მართკუთხა სამკუთხედს, გადაიტანეთ ისინი კვადრატის მოპირდაპირე მხარეებზე c გვერდით და ჰიპოტენუსებს მიამაგრებთ იასამნისფერი სამკუთხედების ჰიპოტენუზას, მიიღებთ ფიგურას, რომელსაც ეწოდება "პატარძლის" სკამი“ (სურ. 2). სიცხადისთვის, იგივე შეგიძლიათ გააკეთოთ ქაღალდის კვადრატებითა და სამკუთხედებით. დაინახავთ, რომ „პატარძლის სკამი“ ორი კვადრატით არის ჩამოყალიბებული: პატარა გვერდითი ბდა დიდი გვერდით ა.

ამ კონსტრუქციებმა საშუალება მისცა ძველ ჩინელ მათემატიკოსებს და ჩვენც მათ მიმდევრებს მივსულიყავით დასკვნამდე, რომ c2=a2+b2.

მტკიცებულება 5

ეს არის კიდევ ერთი გზა გეომეტრიაზე დაფუძნებული პითაგორას თეორემის ამოხსნის მოსაძებნად. ამას ჰქვია გარფილდის მეთოდი.

ააგეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC. ჩვენ ეს უნდა დავამტკიცოთ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ამისათვის გააგრძელეთ ფეხი ACდა ავაშენოთ სეგმენტი CD, რომელიც უდრის ფეხს AB. ქვედა პერპენდიკულარი ახ.წხაზის სეგმენტი ედ. სეგმენტები ედდა ACთანაბარი არიან. შეაერთე წერტილები ედა AT, ისევე, როგორც ედა თანდა მიიღეთ ნახატი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე:

კოშკის დასამტკიცებლად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ჩვენ მიერ უკვე გამოსაცდელ მეთოდს: ვპოულობთ მიღებული ფიგურის ფართობს ორი გზით და ვაიგივებთ გამონათქვამებს ერთმანეთთან.

იპოვეთ მრავალკუთხედის ფართობი ABEDშეიძლება გაკეთდეს სამი სამკუთხედის ფართობის დამატებით, რომლებიც ქმნიან მას. და ერთ-ერთი მათგანი ERU, არის არა მხოლოდ მართკუთხა, არამედ ტოლფერდაც. ისიც არ დავივიწყოთ AB=CD, AC=EDდა ძვ.წ- ეს საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ ჩაწერა და არ გადატვირთოთ იგი. Ისე, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ამავე დროს, აშკარაა, რომ ABEDარის ტრაპეცია. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: SABED=(DE+AB)*1/2AD. ჩვენი გამოთვლებისთვის უფრო მოსახერხებელი და ნათელია სეგმენტის წარმოდგენა ახ.წროგორც სეგმენტების ჯამი ACდა CD.

მოდით დავწეროთ ორივე გზა ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად მათ შორის ტოლობის ნიშნის დაყენებით: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ჩვენ ვიყენებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი და ზემოთ აღწერილი სეგმენტების ტოლობას, რათა გავამარტივოთ აღნიშვნის მარჯვენა მხარე: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. ახლა ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და გარდაქმნით თანასწორობას: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ყველა ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ზუსტად იმას, რაც გვჭირდება: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა.

რა თქმა უნდა, მტკიცებულებათა ეს სია შორს არის სრული. პითაგორას თეორემა ასევე შეიძლება დადასტურდეს ვექტორების, რთული რიცხვების, დიფერენციალური განტოლებების, სტერეომეტრიის და ა.შ. და თუნდაც ფიზიკოსები: თუ, მაგალითად, სითხე შეედინება კვადრატულ და სამკუთხა მოცულობებში, რომლებიც ნახატებშია ნაჩვენები. სითხის ჩამოსხმით შესაძლებელია დადასტურდეს ფართობების თანასწორობა და შედეგად თავად თეორემა.

რამდენიმე სიტყვა პითაგორას სამეულების შესახებ

ეს საკითხი სასკოლო სასწავლო გეგმაში ცოტაა ან არ არის შესწავლილი. ამასობაში ძალიან საინტერესოა და გეომეტრიაში დიდი მნიშვნელობა აქვს. პითაგორას სამეულები გამოიყენება მრავალი მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. მათი იდეა შეიძლება გამოგადგეთ შემდგომ განათლებაში.

რა არის პითაგორას სამეული? ე.წ ნატურალური რიცხვები, შეგროვებული სამებად, რომელთაგან ორის კვადრატების ჯამი უდრის მესამე რიცხვს კვადრატში.

პითაგორას სამეულები შეიძლება იყოს:

• პრიმიტიული (სამივე რიცხვი შედარებით მარტივია);
• არაპრიმიტიული (თუ სამეულის თითოეული რიცხვი მრავლდება იმავე რიცხვზე, მიიღებთ ახალ სამეულს, რომელიც არ არის პრიმიტიული).

ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ძველ ეგვიპტელებს ხიბლავდათ პითაგორას სამეულების რიცხვის მანია: ამოცანებში ისინი განიხილავდნენ მართკუთხა სამკუთხედს 3,4 და 5 ერთეული გვერდებით. სხვათა შორის, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომლის გვერდებიც უდრის პითაგორას სამეულის რიცხვებს, ნაგულისხმევად მართკუთხაა.

პითაგორას სამეულების მაგალითები: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) და ა.შ.

თეორემის პრაქტიკული გამოყენება

პითაგორას თეორემა პოულობს გამოყენებას არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ არქიტექტურასა და მშენებლობაში, ასტრონომიაში და ლიტერატურაშიც კი.

პირველი, მშენებლობის შესახებ: პითაგორას თეორემა მასში ფართო გამოყენებას პოულობს სხვადასხვა დონის სირთულის ამოცანებში. მაგალითად, შეხედეთ რომაულ ფანჯარას:

ფანჯრის სიგანე აღვნიშნოთ როგორც ბ, მაშინ დიდი ნახევარწრის რადიუსი შეიძლება აღვნიშნოთ როგორც რდა გამოხატოს მეშვეობით ბ: R=b/2. უფრო მცირე ნახევარწრილების რადიუსი ასევე შეიძლება გამოისახოს ბ: r=b/4. ამ პრობლემაში ჩვენ გვაინტერესებს ფანჯრის შიდა წრის რადიუსი (მოდით დავარქვათ გვ).

პითაგორას თეორემა უბრალოდ გამოსათვლელად გამოდგება რ. ამისათვის ვიყენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც მითითებულია ფიგურაში წერტილოვანი ხაზით. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შედგება ორი რადიუსისგან: ბ/4+გვ. ერთი ფეხი არის რადიუსი ბ/4, სხვა ბ/2-პ. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: (ბ/4+პ) 2 =(ბ/4) 2 +(ბ/2-პ) 2. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. გადავიტანოთ ეს გამოთქმა bp/2=b 2 /4-bp. შემდეგ კი ყველა ტერმინს ვყოფთ ბ, მსგავსებს ვაძლევთ მისაღებად 3/2*p=b/4. და ბოლოს ჩვენ ვპოულობთ ამას p=b/6- რაც გვჭირდებოდა.

თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რაფტერების სიგრძე ღობე სახურავისთვის. დაადგინეთ, თუ რამდენად მაღალია მობილური კოშკი საჭირო იმისათვის, რომ სიგნალმა მიაღწიოს გარკვეულ დასახლებას. და კიდევ სტაბილურად დააინსტალირეთ ნაძვის ხე ქალაქის მოედანზე. როგორც ხედავთ, ეს თეორემა ცხოვრობს არა მხოლოდ სახელმძღვანელოების გვერდებზე, არამედ ხშირად გამოსადეგია რეალურ ცხოვრებაში.

რაც შეეხება ლიტერატურას, პითაგორას თეორემა შთააგონებდა მწერლებს უძველესი დროიდან და დღესაც გრძელდება. მაგალითად, მეცხრამეტე საუკუნის გერმანელი მწერალი ადელბერტ ფონ ჩამისო მისგან შთაგონებული იყო სონეტის დასაწერად:

ჭეშმარიტების შუქი მალე არ გაქრება,
მაგრამ, ბრწყინავს, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ დაიფანტოს
და, როგორც ათასობით წლის წინ,
არ გამოიწვევს ეჭვებს და კამათს.

ყველაზე ბრძენი, როცა თვალს ეხება
სიმართლის შუქი, მადლობა ღმერთებს;
და ასი ხარი, დაჭრილი, იტყუება -
იღბლიანი პითაგორას საპასუხო საჩუქარი.

მას შემდეგ ხარები სასოწარკვეთილად ღრიალებენ:
სამუდამოდ აღაგზნო ხარის ტომი
აქ ნახსენები მოვლენა.

ფიქრობენ, რომ დროა
და ისევ შეეწირებიან
რაღაც დიდი თეორემა.

(თარგმნა ვიქტორ ტოპოროვმა)

მეოცე საუკუნეში კი საბჭოთა მწერალმა ევგენი ველტისტოვმა თავის წიგნში "ელექტრონიკის თავგადასავალი" მთელი თავი მიუძღვნა პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებს. და ნახევარი თავი მოთხრობის ორგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ, რომელიც შეიძლება არსებობდეს, თუ პითაგორას თეორემა გახდება ფუნდამენტური კანონი და რელიგიაც კი ერთი სამყაროსთვის. მასში ცხოვრება ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა, მაგრამ ასევე უფრო მოსაწყენი: მაგალითად, იქ არავის ესმის სიტყვების "მრგვალი" და "ფუმფულა" მნიშვნელობა.

და წიგნში "ელექტრონული თავგადასავალი", ავტორი მათემატიკის მასწავლებლის ტარატარას პირით ამბობს: "მათემატიკაში მთავარია აზრის მოძრაობა, ახალი იდეები". აზროვნების სწორედ ეს შემოქმედებითი ფრენა წარმოშობს პითაგორას თეორემას - ტყუილად არ აქვს მას ამდენი მრავალფეროვანი მტკიცებულება. ეს გეხმარებათ გასცდეთ ჩვეულს და შეხედოთ ნაცნობ ნივთებს ახლებურად.

დასკვნა

ეს სტატია შეიქმნა იმისთვის, რომ შეხედოთ მათემატიკაში სასკოლო სასწავლო გეგმას და ისწავლოთ არა მხოლოდ პითაგორას თეორემის ის მტკიცებულებები, რომლებიც მოცემულია სახელმძღვანელოებში "გეომეტრია 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) და "გეომეტრია 7 -11". ” (A.V. Pogorelov), არამედ ცნობილი თეორემის დასამტკიცებლად სხვა საინტერესო გზები. ასევე იხილეთ მაგალითები, თუ როგორ შეიძლება პითაგორას თეორემა გამოიყენოს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

უპირველეს ყოვლისა, ეს ინფორმაცია საშუალებას მოგცემთ მოითხოვოთ უფრო მაღალი ქულები მათემატიკის კლასებში - ინფორმაცია ამ საკითხზე დამატებითი წყაროებიდან ყოველთვის მაღალი შეფასებაა.

მეორეც, გვინდოდა დაგეხმაროთ იმის გაგებაში, თუ რამდენად საინტერესოა მათემატიკა. კონკრეტული მაგალითებით დავრწმუნდეთ, რომ მასში ყოველთვის არის ადგილი შემოქმედებითობისთვის. ვიმედოვნებთ, რომ პითაგორას თეორემა და ეს სტატია მოგცემთ შთაგონებას გააკეთოთ საკუთარი კვლევა და საინტერესო აღმოჩენები მათემატიკასა და სხვა მეცნიერებებში.

გვითხარით კომენტარებში, თქვენთვის საინტერესო აღმოჩნდა თუ არა სტატიაში წარმოდგენილი მტკიცებულებები. დაგეხმარათ ეს ინფორმაცია თქვენს სწავლაში? გაგვაგებინეთ, რას ფიქრობთ პითაგორას თეორემაზე და ამ სტატიაზე - ჩვენ სიამოვნებით განვიხილავთ ამ ყველაფერს თქვენთან ერთად.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გეომეტრია არ არის მარტივი მეცნიერება. ის შეიძლება სასარგებლო იყოს როგორც სასკოლო სასწავლო გეგმისთვის, ასევე რეალურ ცხოვრებაში. მრავალი ფორმულის და თეორემის ცოდნა გაამარტივებს გეომეტრიულ გამოთვლებს. გეომეტრიის ერთ-ერთი უმარტივესი ფორმა არის სამკუთხედი. სამკუთხედების ერთ-ერთ სახეობას, ტოლგვერდა, აქვს საკუთარი მახასიათებლები.

ტოლგვერდა სამკუთხედის მახასიათებლები

განმარტებით, სამკუთხედი არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს სამი კუთხე და სამი გვერდი. ეს არის ბრტყელი ორგანზომილებიანი ფიგურა, მისი თვისებები შესწავლილია საშუალო სკოლაში. კუთხის ტიპის მიხედვით განასხვავებენ მახვილკუთხა, ბლაგვკუთხა და მართკუთხა სამკუთხედებს. მართკუთხა სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, სადაც ერთ-ერთი კუთხე არის 90º. ასეთ სამკუთხედს აქვს ორი ფეხი (ისინი ქმნიან მართ კუთხეს) და ერთი ჰიპოტენუზა (ის მართი კუთხის საპირისპიროა). იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობითაა ცნობილი, არსებობს სამი მარტივი გზა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას გამოსათვლელად.

პირველი გზა არის მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის პოვნა. პითაგორას თეორემა

პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის რომელიმე გვერდის გამოსათვლელად უძველესი გზაა. ეს ასე ჟღერს: „მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. ამრიგად, ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად, უნდა გამოვყოთ ორი ფეხის ჯამის კვადრატული ფესვი. სიცხადისთვის მოცემულია ფორმულები და დიაგრამა.

მეორე გზა. ჰიპოტენუზის გამოთვლა 2 ცნობილი მნიშვნელობის გამოყენებით: ფეხი და მიმდებარე კუთხე

მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი თვისება ამბობს, რომ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზას სიგრძესთან უდრის კუთხის კოსინუსს ამ ფეხსა და ჰიპოტენუზას შორის. ჩვენთვის ცნობილ კუთხეს ვუწოდოთ α. ახლა, კარგად ცნობილი განმარტების წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ჩამოვაყალიბოთ ფორმულა ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად: ჰიპოტენუზა = leg/cos(α)

მესამე გზა. ჰიპოტენუზის გამოთვლა 2 ცნობილი მნიშვნელობის გამოყენებით: ფეხი და საპირისპირო კუთხე

თუ საპირისპირო კუთხე ცნობილია, შესაძლებელია მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების ხელახლა გამოყენება. ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა საპირისპირო კუთხის სინუსს უდრის. ცნობილ კუთხეს კვლავ ვუწოდოთ α. ახლა გამოთვლებისთვის ჩვენ ვიყენებთ ოდნავ განსხვავებულ ფორმულას:
ჰიპოტენუზა = ფეხი/ცოდვა (α)

მაგალითები, რომლებიც დაგეხმარებათ გაიგოთ ფორმულები

თითოეული ფორმულის უფრო ღრმა გაგებისთვის, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ საილუსტრაციო მაგალითები. ასე რომ, დავუშვათ, მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედი, სადაც არის ასეთი მონაცემები:

• ფეხი - 8 სმ.
• მიმდებარე კუთხე cosα1 არის 0,8.
• საპირისპირო კუთხე sinα2 არის 0,8.

პითაგორას თეორემის მიხედვით: ჰიპოტენუზა \u003d კვადრატული ფესვი (36 + 64) \u003d 10 სმ.
ფეხის ზომით და ჩართული კუთხით: 8 / 0.8 \u003d 10 სმ.
ფეხის ზომით და საპირისპირო კუთხით: 8 / 0.8 \u003d 10 სმ.

ფორმულის გაგების შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ჰიპოტენუზა ნებისმიერი მონაცემით.

ვიდეო: პითაგორას თეორემა

დარწმუნდით, რომ თქვენთვის მოცემული სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია, რადგან პითაგორას თეორემა მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებს ეხება. მართკუთხა სამკუთხედებში სამი კუთხიდან ერთი ყოველთვის 90 გრადუსია.

• მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხე მრუდის ნაცვლად აღინიშნება კვადრატით, რომელიც წარმოადგენს არასწორ კუთხეებს.

მონიშნეთ სამკუთხედის გვერდები.დაასახელეთ ფეხები, როგორც "a" და "b" (ფეხები არის გვერდები, რომლებიც იკვეთება მართი კუთხით), ხოლო ჰიპოტენუზა როგორც "c" (ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის უდიდესი გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ).

განსაზღვრეთ სამკუთხედის რომელი გვერდი გსურთ იპოვოთ.პითაგორას თეორემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი (თუ დანარჩენი ორი გვერდი ცნობილია). დაადგინეთ რომელი მხარე (a, b, c) უნდა მოიძებნოს.

• მაგალითად, მოცემულია ჰიპოტენუზა 5-ის ტოლი და მოცემულია ფეხი 3-ის ტოლი. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე ფეხი. ამ მაგალითს მოგვიანებით დავუბრუნდებით.
• თუ დანარჩენი ორი მხარე უცნობია, საჭიროა ვიპოვოთ ერთ-ერთი უცნობი მხარის სიგრძე, რათა შევძლოთ პითაგორას თეორემის გამოყენება. ამისათვის გამოიყენეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (თუ თქვენ გეძლევათ ერთ-ერთი არასწორი კუთხის მნიშვნელობა).

შეცვალეთ ფორმულაში a 2 + b 2 \u003d c 2 თქვენთვის მოცემული მნიშვნელობები (ან თქვენ მიერ ნაპოვნი მნიშვნელობები).გახსოვდეთ, რომ a და b არის ფეხები, ხოლო c არის ჰიპოტენუზა.

• ჩვენს მაგალითში ჩაწერეთ: 3² + b² = 5².

მოედანზე ყოველი ცნობილი მხარე.ან დატოვეთ გრადუსები - შეგიძლიათ რიცხვების კვადრატში მოგვიანებით.

• ჩვენს მაგალითში ჩაწერეთ: 9 + b² = 25.

გამოყავით უცნობი მხარე განტოლების ერთ მხარეს.ამისათვის გადაიტანეთ ცნობილი მნიშვნელობები განტოლების მეორე მხარეს. თუ იპოვით ჰიპოტენუზას, მაშინ პითაგორას თეორემაში ის უკვე იზოლირებულია განტოლების ერთ მხარეს (ასე რომ არაფრის გაკეთება არ არის საჭირო).

• ჩვენს მაგალითში გადაიტანეთ 9 განტოლების მარჯვენა მხარეს უცნობი b²-ის გამოსაყოფად. თქვენ მიიღებთ b² = 16.

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი მას შემდეგ, რაც განტოლების ერთ მხარეს არის უცნობი (კვადრატი) და მეორე მხარეს კვეთა (რიცხვი).

• ჩვენს მაგალითში, b² = 16. აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი და მიიღეთ b = 4. ასე რომ, მეორე ფეხი არის 4.

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, რადგან მისი გამოყენება შესაძლებელია პრაქტიკულ სიტუაციებში. ამისათვის ისწავლეთ მართკუთხა სამკუთხედების ამოცნობა ყოველდღიურ ცხოვრებაში - ნებისმიერ სიტუაციაში, როდესაც ორი ობიექტი (ან წრფე) იკვეთება სწორი კუთხით, ხოლო მესამე ობიექტი (ან ხაზი) ​​აკავშირებს (დიაგონალურად) პირველი ორი ობიექტის (ან). ხაზები), შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა უცნობი მხარის საპოვნელად (თუ დანარჩენი ორი მხარე ცნობილია).

• მაგალითი: მოცემულია შენობასთან დაყრდნობილი კიბე. კიბეების ფსკერი კედლის ძირიდან 5 მეტრშია. კიბეების ზედა ნაწილი მიწიდან 20 მეტრშია (კედლის ზემოთ). რა არის კიბის სიგრძე?
  • "კედლის ძირიდან 5 მეტრი" ნიშნავს, რომ a = 5; "მიწიდან 20 მეტრშია" ნიშნავს, რომ b = 20 (ანუ თქვენ გეძლევათ მართკუთხა სამკუთხედის ორი ფეხი, რადგან შენობის კედელი და დედამიწის ზედაპირი სწორი კუთხით იკვეთება). კიბის სიგრძე არის ჰიპოტენუზის სიგრძე, რომელიც უცნობია.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. ამრიგად, კიბეების სავარაუდო სიგრძე 20,6 მეტრია.