წილადის ათწილადად გადაქცევა

ვთქვათ, ჩვენ გვინდა გადავიტანოთ საერთო წილადი 11/4 ათწილადში. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა ასეთია:

						2∙2∙5∙5

ჩვენ წარმატებას მივაღწიეთ, რადგან ამ შემთხვევაში მნიშვნელის ფაქტორიზაცია პირველ ფაქტორებად შედგება მხოლოდ ორისაგან. ჩვენ დავამატეთ ეს გაფართოება კიდევ ორი ​​ხუთეულით, ვისარგებლეთ იმით, რომ 10 = 2∙5 და მივიღეთ ათობითი წილადი. ასეთი პროცედურა, ცხადია, შესაძლებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელის ფაქტორიზაცია პირველ ფაქტორებად შეიცავს ორს და ხუთეულს. თუ რომელიმე სხვა მარტივი რიცხვი იმყოფება მნიშვნელის გაფართოებაში, მაშინ ასეთი წილადი ვერ გადაიქცევა ათწილადში. მიუხედავად ამისა, ჩვენ შევეცდებით ამის გაკეთებას, მაგრამ მხოლოდ სხვა გზით, რომელსაც გავეცნობით იგივე წილადის 11/4-ის მაგალითზე. მოდით გავყოთ 11 4-ზე "კუთხეში":

საპასუხო სტრიქონში მივიღეთ მთელი რიცხვი (2) და ასევე გვაქვს დარჩენილი (3). ადრე ჩვენ დავასრულეთ დაყოფა ამაზე, მაგრამ ახლა ვიცით, რომ მძიმით და რამდენიმე ნულით შეიძლება მივაკუთვნოთ დივიდენდს ( 11 ) მარჯვნივ, რასაც ახლა გონებრივად გავაკეთებთ. ათობითი წერტილის შემდეგ მეათე ადგილი მოდის. ნული, რომელიც წარმოადგენს დივიდენდს ამ კატეგორიაში, მივაწერთ შედეგად ნაშთს (3):

ახლა დაყოფა შეიძლება გაგრძელდეს ისე, თითქოს არაფერი მომხდარა. თქვენ უბრალოდ უნდა დაიმახსოვროთ პასუხის ხაზში მთელი რიცხვის შემდეგ მძიმის ჩასმა:

ახლა ჩვენ მივაწერთ ნარჩენს (2) ნულს, რომელიც დგას დივიდენდის მეასედებში და მივყავართ გაყოფა ბოლომდე:

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ, როგორც ადრე,

ახლა ვცადოთ ზუსტად ისე გამოვთვალოთ, თუ რას უდრის წილადი 27/11:

პასუხის სტრიქონში მივიღეთ რიცხვი 2.45, დარჩენილი სტრიქონში კი ნომერი 5. მაგრამ ასეთი ნარჩენი ადრეც გვინახავს. მაშასადამე, შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ თუ გავაგრძელებთ ჩვენს დაყოფას „კუთხით“, მაშინ პასუხის ხაზში შემდეგი ციფრი იქნება 4, შემდეგ რიცხვი 5 წავა, შემდეგ ისევ 4 და ისევ 5 და ასე შემდეგ, უსასრულოდ. :

27 / 11 = 2,454545454545...

ჩვენ მივიღეთ ე.წ პერიოდულიათწილადი წილადი 45-იანი პერიოდით. ​​ასეთი წილადებისთვის გამოიყენება უფრო კომპაქტური აღნიშვნა, რომელშიც წერტილი იწერება მხოლოდ ერთხელ, მაგრამ ამავე დროს ის ჩასმულია ფრჩხილებში:

2,454545454545... = 2,(45).

ზოგადად რომ ვთქვათ, თუ ერთ ნატურალურ რიცხვს გავყოფთ „კუთხეზე“, პასუხს დავწერთ ათწილადის სახით, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი შედეგი: (1) ადრე თუ გვიან მივიღებთ ნულს დანარჩენ ხაზში, (2) ან იქნება ასეთი ნაშთი, რომელიც ჩვენ უკვე შევხვდით (შესაძლო ნარჩენების ნაკრები შეზღუდულია, რადგან ისინი ყველა აშკარად ნაკლებია გამყოფზე). პირველ შემთხვევაში, გაყოფის შედეგი არის საბოლოო ათობითი წილადი, მეორე შემთხვევაში - პერიოდული.

პერიოდული ათწილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადად

მოდით მივცეთ დადებითი პერიოდული ათობითი წილადი ნულოვანი მთელი ნაწილით, მაგალითად:

ა = 0,2(45).

როგორ გადავიყვანო ეს წილადი საერთო წილადად?

გავამრავლოთ 10-ზე კ, სად კარის ციფრების რაოდენობა მძიმსა და გახსნის ფრჩხილებს შორის, რომელიც მიუთითებს წერტილის დასაწყისს. Ამ შემთხვევაში კ= 1 და 10 კ = 10:

ა∙ 10 კ = 2,(45).

გაამრავლეთ შედეგი 10-ზე ნ, სად ნ- პერიოდის "სიგრძე", ანუ ფრჩხილებს შორის ჩასმული ციფრების რაოდენობა. Ამ შემთხვევაში ნ= 2 და 10 ნ = 100:

ა∙ 10 კ ∙ 10 ნ = 245,(45).

ახლა მოდით გამოვთვალოთ განსხვავება

ა∙ 10 კ ∙ 10 ნ − ა∙ 10 კ = 245,(45) − 2,(45).

ვინაიდან წილადი ნაწილები მინუენდისა და ქვეტრაჰენდის ერთნაირია, მაშინ სხვაობის წილადი ნაწილი არის ნული და მივდივართ მარტივ განტოლებამდე ა:

ა∙ 10 კ ∙ (10 ნ − 1) = 245 − 2.

ეს განტოლება წყდება შემდეგი გარდაქმნების გამოყენებით:

ა∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

ა∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

ჩვენ შეგნებულად ჯერ არ მიგვიყვანს გამოთვლები ბოლომდე, რათა ნათლად დავინახოთ, თუ როგორ შეიძლება ამ შედეგის დაუყოვნებლივ ჩაწერა, შუალედური არგუმენტების გამოტოვებით. მრიცხველში კლება (245) არის რიცხვის წილადი ნაწილი

ა = 0,2(45)

თუ წაშლით ფრჩხილებს მის ჩანაწერში. მრიცხველში (2) სუბტრაჰენდი არის რიცხვის არაპერიოდული ნაწილი ა, მდებარეობს მძიმასა და გახსნის ფრჩხილებს შორის. მნიშვნელში (10) პირველი ფაქტორი არის ერთი, რომელსაც ენიჭება იმდენი ნული, რამდენი ციფრია არაპერიოდულ ნაწილში ( კ). მეორე კოეფიციენტი მნიშვნელში (99) არის იმდენი ცხრა, რამდენი ციფრია პერიოდში ( ნ).

ახლა ჩვენი გამოთვლები შეიძლება დასრულდეს:

აქ არის წერტილი მრიცხველში და იმდენი ცხრა არის მნიშვნელში, რამდენი ციფრია წერტილში. 9-ით შემცირების შემდეგ მიღებული წილადი უდრის

Იგივენაირად,

ათწილადს აქვს ორი ნაწილი, რომლებიც გამოყოფილია მძიმეებით. პირველი ნაწილი არის მთელი რიცხვი, მეორე ნაწილი არის ათეული (თუ რიცხვი ათწილადის შემდეგ არის ერთი), ასეულები (ორი რიცხვი ათწილადის შემდეგ, როგორც ორი ნული ასში), მეათასედი და ა.შ. ვნახოთ ათწილადების მაგალითები: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6.32; 0.5. ეს ყველაფერი ათწილადებია. როგორ გადაიყვანოთ ათწილადი საერთო წილადად?

მაგალითი ერთი

გვაქვს წილადი, მაგალითად, 0.5. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ის ორი ნაწილისგან შედგება. პირველი რიცხვი 0 გვიჩვენებს, რამდენი მთელი ერთეული აქვს წილადს. ჩვენს შემთხვევაში, ისინი არ არიან. მეორე რიცხვი აჩვენებს ათეულებს. წილადი კი კითხულობს ნულოვან წერტილს ხუთ მეათედს. ათწილადი რიცხვი წილადად გადაქცევაახლა არ იქნება რთული, ვწერთ 5/10. თუ ხედავთ, რომ რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი. გვაქვს ეს რიცხვი 5, წილადის ორივე ნაწილს ვყოფთ 5-ზე, ვიღებთ - 1/2.

მაგალითი ორი

ავიღოთ უფრო რთული წილადი - 2,25. იკითხება ასე - ორი მთელი და ოცდახუთი მეასედი. ყურადღება მიაქციეთ - მეასედებს, რადგან ათობითი წერტილის შემდეგ ორი რიცხვია. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ საერთო წილადში. ჩვენ ვწერთ - 2 25/100. მთელი ნაწილი არის 2, წილადი არის 25/100. როგორც პირველ მაგალითში, ეს ნაწილი შეიძლება შემცირდეს. 25-ისა და 100-ის საერთო გამყოფი არის 25. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ყოველთვის ვირჩევთ უდიდეს საერთო გამყოფს. წილადის ორივე ნაწილის GCD-ზე გაყოფით მივიღეთ 1/4. ანუ 2, 25 არის 2 1/4.

მაგალითი სამი

და მასალის გასამყარებლად ავიღოთ ათობითი წილადი 4.112 - ოთხი მთელი და ას თორმეტი მეათედი. რატომ მეათასედი, ვფიქრობ, გასაგებია. ახლა ჩვენ ვწერთ 4 112/1000. ალგორითმის მიხედვით ვპოულობთ 112 და 1000 რიცხვების GCD-ს. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის რიცხვი 6. ვიღებთ 4 14/125.

დასკვნა

1. წილადს ვყოფთ მთელ და წილადებად.
2. ჩვენ ვუყურებთ რამდენი ციფრის შემდეგ ათობითი წერტილი. თუ ერთი არის ათეული, ორი არის ასეული, სამი არის მეათასედი და ა.შ.
3. წილადს ვწერთ ჩვეულებრივი ფორმით.
4. ვამცირებთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს.
5. ჩამოწერეთ მიღებული წილადი.
6. ვასრულებთ შემოწმებას, წილადის ზედა ნაწილს ვყოფთ ქვედაზე. თუ არის მთელი რიცხვი, დაამატეთ მიღებული ათობითი წილადი. აღმოჩნდა ორიგინალური ვერსია - შესანიშნავი, ასე რომ თქვენ ყველაფერი სწორად გააკეთეთ.

მაგალითების გამოყენებით მე ვაჩვენე, თუ როგორ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივზე. როგორც ხედავთ, ამის გაკეთება ძალიან მარტივი და მარტივია.

წილადი შეიძლება გარდაიქმნას მთელ რიცხვად ან ათწილადად. არასწორი წილადი, რომლის მრიცხველი მნიშვნელზე დიდია და მასზე იყოფა ნაშთის გარეშე, გარდაიქმნება მთელ რიცხვად, მაგალითად: 20/5. გაყავით 20 5-ზე და მიიღეთ რიცხვი 4. თუ წილადი სწორია, ანუ მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია, გადააქციეთ იგი რიცხვად (ათწილადი წილადი). თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ მეტი წილადების შესახებ ჩვენი განყოფილებიდან -.

წილადის რიცხვად გადაქცევის გზები

• წილადის რიცხვად გადაქცევის პირველი გზა შესაფერისია წილადისთვის, რომელიც შეიძლება გარდაიქმნას რიცხვად, რომელიც არის ათობითი წილადი. ჯერ გავარკვიოთ შესაძლებელია თუ არა მოცემული წილადის ათწილადად გადაქცევა. ამისათვის ყურადღება მიაქციეთ მნიშვნელს (რიცხვი, რომელიც არის ხაზის ქვეშ ან ირიბის მარჯვნივ). თუ მნიშვნელი შეიძლება დაიშალა ფაქტორებად (ჩვენს მაგალითში - 2 და 5), რაც შეიძლება განმეორდეს, მაშინ ეს წილადი ნამდვილად შეიძლება გადაკეთდეს საბოლოო ათობითი წილადად. მაგალითად: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). ეს საერთო წილადი გარდაიქმნება რიცხვად (ათწილადი წილადი) ათწილადების სასრული რაოდენობით. მაგრამ წილადი 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) გადაითარგმნება რიცხვად უსასრულო რაოდენობის ათწილადით. ანუ რიცხვითი მნიშვნელობის ზუსტად გაანგარიშებისას საკმაოდ რთულია საბოლოო ნიშნის დადგენა ათობითი წერტილის შემდეგ, ვინაიდან ასეთი ნიშნების უსასრულო რაოდენობაა. ამიტომ, პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ ჩვეულებრივ უნდა დამრგვალოთ მნიშვნელობა მეასედებად ან მეათასედებად. გარდა ამისა, აუცილებელია მრიცხველიც და მნიშვნელიც გავამრავლოთ ისეთ რიცხვზე, რომ მნიშვნელს ჰქონდეს რიცხვები 10, 100, 1000 და ა.შ. მაგალითად: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• წილადის რიცხვად გადაქცევის მეორე გზა უფრო მარტივია: მრიცხველი უნდა გაყოთ მნიშვნელზე. ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, ჩვენ უბრალოდ ვასრულებთ გაყოფას და შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება სასურველი ათობითი წილადი. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ წილადი 2/15 რიცხვად. 2-ს ვყოფთ 15-ზე. მივიღებთ 0, 1333 ... - უსასრულო წილადი. ჩვენ მას ასე ვწერთ: 0.13(3). თუ წილადი არასწორია, ანუ მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს (მაგალითად, 345/100), მაშინ მისი რიცხვად გადაქცევის შედეგად იქნება მთელი რიცხვითი მნიშვნელობა ან ათწილადი წილადი წილადი ნაწილით. იყოს მიღებული. ჩვენს მაგალითში ეს იქნება 3.45. 3 2/7-ის მსგავსი შერეული წილადის რიცხვად გადასაყვანად, ჯერ ის არასწორ წილადად უნდა გადაიყვანოთ: (3∙7+2)/7 =23/7. შემდეგ 23-ს ვყოფთ 7-ზე და ვიღებთ რიცხვს 3.2857143, რომელსაც ვამცირებთ 3.29-მდე.

წილადის რიცხვად გადაქცევის უმარტივესი გზა არის კალკულატორის ან სხვა გამოთვლითი მოწყობილობის გამოყენება. ჯერ მივუთითებთ წილადის მრიცხველს, შემდეგ ვაჭერთ ღილაკს „გაყოფა“ და აკრიფებთ მნიშვნელს. "=" კლავიშის დაჭერის შემდეგ ვიღებთ სასურველ რიცხვს.

ათწილადი რიცხვები, როგორიცაა 0.2; 1.05; 3.017 და ა.შ. როგორც ისმის, ისე იწერება. ნულოვანი წერტილი ორი, მივიღებთ წილადს. მთელი ხუთასედი, ვიღებთ წილადს. სამი მთელი ჩვიდმეტი მეათასედი, ვიღებთ წილადს. ათობითი რიცხვში ათწილადის წინ ციფრები არის წილადის მთელი რიცხვი. რიცხვი ათწილადის შემდეგ არის მომავალი წილადის მრიცხველი. თუ ათობითი წერტილის შემდეგ არის ერთნიშნა რიცხვი, მნიშვნელი იქნება 10, თუ ორნიშნა - 100, სამნიშნა - 1000 და ა.შ. ზოგიერთი მიღებული ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ჩვენს მაგალითებში

წილადის ათწილად რიცხვად გადაქცევა

ეს წინა ტრანსფორმაციის საპირისპიროა. რა არის ათობითი წილადი? მისი მნიშვნელი ყოველთვის არის 10, ან 100, ან 1000, ან 10,000 და ა.შ. თუ თქვენს ჩვეულებრივ წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, ან

თუ წილადი, მაგალითად. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება და გადაიყვანოთ მნიშვნელი 10 ან 100, ან 1000-ზე... ჩვენს მაგალითში, თუ მრიცხველს და მნიშვნელს გავამრავლებთ 4-ზე, მივიღებთ წილადს, რომელიც შეიძლება დაიწეროს. როგორც ათობითი რიცხვი 0.12.

ზოგიერთი წილადის გაყოფა უფრო ადვილია, ვიდრე მნიშვნელის გადაქცევა. Მაგალითად,

ზოგიერთი წილადი ვერ გადაიქცევა ათობითი რიცხვებად!
Მაგალითად,

შერეული წილადის არასწორად გადაქცევა

შერეული წილადი, როგორიცაა , ადვილად გარდაიქმნება არასწორ წილადად. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი ნაწილი მნიშვნელზე (ქვედა) და დაამატოთ იგი მრიცხველზე (ზემოდან), მნიშვნელი (ქვედა) უცვლელი დარჩეს. ე.ი

შერეული წილადის არასწორად გადაქცევისას, შეგიძლიათ გახსოვდეთ, რომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ წილადების დამატება

არასწორი წილადის შერეულ წილადად გადაქცევა (მთელი ნაწილის ხაზგასმა)

არასწორი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას შერეულ წილადად მთელი ნაწილის ხაზგასმით. განვიხილოთ მაგალითი,. დაადგინეთ რამდენჯერ ჯდება "3" "23"-ში. ან კალკულატორზე 23-ს ვყოფთ 3-ზე, მთელი რიცხვი ათწილადამდე სასურველია. ეს არის "7". შემდეგი, ჩვენ განვსაზღვრავთ მომავალი წილადის მრიცხველს: მიღებულ "7"-ს ვამრავლებთ მნიშვნელზე "3" და გამოვაკლებთ შედეგს მრიცხველს "23". როგორ ვიპოვით ზედმეტს, რომელიც რჩება მრიცხველიდან „23“, თუ „3“-ის მაქსიმალურ რაოდენობას მოვაცილებთ. მნიშვნელი უცვლელი რჩება. ყველაფერი გაკეთებულია, დაწერეთ შედეგი

ყველა წილადი იყოფა ორ ტიპად: ჩვეულებრივ და ათობითი. ამ ტიპის ფრაქციებს ჩვეულებრივ უწოდებენ: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4. განასხვავებენ ზედა რიცხვს (მრიცხველს) და ქვედა რიცხვს (მნიშვნელს). როცა მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია, წილადს სათანადო ეწოდება, წინააღმდეგ შემთხვევაში წილადი არასწორია. წილადები, როგორიცაა 1 7/8 შედგება მთელი რიცხვი ნაწილისგან (1) და წილადი ნაწილისგან (7/8) და შერეულს უწოდებენ.

ასე რომ, წილადები არის:

1. ჩვეულებრივი
   1. სწორი
   2. არასწორი
   3. შერეული
2. ათწილადი

როგორ გადავიყვანოთ საერთო წილადი ათწილადად

როგორ გადავიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადი ათწილადად, ასწავლის საბაზო სკოლის მათემატიკის კურსს. ყველაფერი ძალიან მარტივია: თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე "ხელით" ან, თუ სრულიად ზარმაცი ხართ, მაშინ მიკროკალკულატორზე. აი მაგალითი: 2/5=0.4;3/4=0.75; 1/2=0.5. ათწილადის არასწორ წილადად გადაქცევა არც ისე რთულია. მაგალითი: 1 3/4= 7/4= 1,75. ბოლო შედეგის მიღება შესაძლებელია გაყოფის გარეშე, თუ გავითვალისწინებთ, რომ 3/4 = 0,75 და დავამატებთ ერთს: 1 + 0,75 = 1,75.

თუმცა, ყველა ჩვეულებრივი წილადი ასე მარტივი არ არის. მაგალითად, ვცადოთ 1/3 გადავიტანოთ ჩვეულებრივი წილადებიდან ათწილადებად. მათაც კი, ვისაც მათემატიკაში სამმაგი ჰქონდა (ხუთქულიანი სისტემის მიხედვით), შეამჩნევს, რომ რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს გაყოფა, ნულისა და მძიმის შემდეგ იქნება უსასრულო რაოდენობის სამეული 1/3 = 0,3333 ... . . ჩვეულებრივად იკითხება შემდეგნაირად: ნულოვანი რიცხვები, სამი წერტილით. შესაბამისად იწერება: 1/3=0,(3). ანალოგიური სიტუაცია იქნება, თუ თქვენ ცდილობთ 5/6 გადაიყვანოთ ათწილადად: 5/6=0.8(3). ასეთ წილადებს უსასრულო პერიოდულს უწოდებენ. აი მაგალითად წილადი 3/7: 3/7= 0.42857142857142857142857142857143…, ანუ 3/7=0,(428571).

ასე რომ, ჩვეულებრივი წილადის ათწილადად გადაქცევის შედეგად შეიძლება მიიღოთ:

1. არაპერიოდული ათობითი;
2. პერიოდული ათობითი.

აღსანიშნავია, რომ არსებობს ასევე უსასრულო არაპერიოდული წილადები, რომლებიც მიიღება ასეთი მოქმედებების შესრულებით: n-ე ხარისხის ფესვის აღება, ლოგარითმების აღება, გაძლიერება. მაგალითად, √3= 1.732050807568877…. ცნობილი რიცხვი π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

მოდით გავამრავლოთ 3 0-ზე,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. გამოდის, რომ 0,(9) არის დამწერლობის ერთიანობის განსხვავებული ფორმა. ანალოგიურად, 9=9/9.16=16.0 და ა.შ.

ამ სტატიის სათაურში მოცემულის საპირისპირო კითხვა ასევე ლეგიტიმურია: „როგორ გადავიტანოთ ათობითი წილადი ნორმალურად“. ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია მაგალითზე: 0.5= 5/10=1/2. ბოლო მაგალითში 5/10 წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შევამცირეთ 5-ით, ანუ ათწილადი წილადის ჩვეულებრივად გადაქცევისთვის საჭიროა წილადის სახით წარმოდგენა 10-იანი მნიშვნელით.

საინტერესო იქნება ვიდეოს ყურება იმის შესახებ, თუ რა არის წილადები ზოგადად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ გადაიყვანოთ ათწილადი საერთო წილადად, იხილეთ აქ: