ამ გაკვეთილზე ჩვენ აღვწერთ სიმეტრიის ტიპებს სივრცეში, გავეცნობით რეგულარული პოლიედრონის კონცეფციას.

როგორც პლანიმეტრიაში, სივრცეში განვიხილავთ სიმეტრიას წერტილისა და წრფის მიმართ, მაგრამ დამატებით გამოჩნდება სიმეტრია სიბრტყის მიმართ.

განმარტება.

A წერტილებს და უწოდებენ სიმეტრიულს O წერტილის მიმართ (სიმეტრიის ცენტრი), თუ O არის სეგმენტის შუა წერტილი. წერტილი O სიმეტრიულია თავის მიმართ.

იმისათვის, რომ მიიღოთ მისთვის სიმეტრიული წერტილი O წერტილის მიმართ მოცემული A წერტილისთვის, თქვენ უნდა გაავლოთ სწორი ხაზი A და O წერტილებში, გამოყოთ OA-ს ტოლი სეგმენტი O წერტილიდან და მიიღოთ სასურველი წერტილი ( Ფიგურა 1).

ბრინჯი. 1. სიმეტრია წერტილის მიმართ

ანალოგიურად, B და წერტილები სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ, რადგან O არის სეგმენტის შუა წერტილი.

ასე რომ, მოცემულია კანონი, რომლის მიხედვითაც სიბრტყის თითოეული წერტილი მიდის სიბრტყის სხვა წერტილში და ჩვენ ვთქვით, რომ ნებისმიერი დისტანცია დაცულია, ანუ .

განვიხილოთ სიმეტრია სივრცეში წრფის მიმართ.

მოცემული A წერტილის სიმეტრიული წერტილის მისაღებად რაღაც a წრფესთან მიმართებაში, თქვენ უნდა ჩამოწიოთ პერპენდიკულარი A წერტილიდან წრფემდე და დააყენოთ მასზე თანაბარი სეგმენტი (სურათი 2).

ბრინჯი. 2. სიმეტრია სივრცეში სწორი ხაზის მიმართ

განმარტება.

A წერტილებს და უწოდებენ სიმეტრიულს a წრფესთან მიმართებაში (სიმეტრიის ღერძი), თუ წრფე a გადის სეგმენტის შუაში და პერპენდიკულარულია მასზე. წრფის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია თავის მიმართ.

განმარტება.

A წერტილებს და სიმეტრიულს უწოდებენ სიბრტყის მიმართ (სიმეტრიის სიბრტყე), თუ სიბრტყე გადის სეგმენტის შუაზე და არის მასზე პერპენდიკულარული. სიბრტყის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია თავის მიმართ (სურათი 3).

ბრინჯი. 3. სიმეტრია სიბრტყის მიმართ

ზოგიერთ გეომეტრიულ ფიგურას შეიძლება ჰქონდეს სიმეტრიის ცენტრი, სიმეტრიის ღერძი, სიმეტრიის სიბრტყე.

განმარტება.

O წერტილს უწოდებენ ფიგურის სიმეტრიის ცენტრს, თუ ფიგურის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია მის მიმართ ერთი და იგივე ფიგურის რაღაც წერტილთან.

მაგალითად, პარალელოგრამასა და პარალელეპიპედში, ყველა დიაგონალის გადაკვეთის წერტილი არის სიმეტრიის ცენტრი. მოდი პარალელეპიპედისთვის ილუსტრირება.

ბრინჯი. 4. პარალელეპიპედის სიმეტრიის ცენტრი

ასე რომ, სიმეტრიით O წერტილის მიმართ პარალელეპიპედში წერტილი A მიდის წერტილზე, B წერტილი მიდის წერტილზე და ა.შ., ამრიგად, ყუთი შედის თავის თავში.

განმარტება.

სწორ ხაზს უწოდებენ ფიგურის სიმეტრიის ღერძს, თუ ფიგურის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია მის მიმართ იმავე ფიგურის რაღაც წერტილთან.

მაგალითად, რომბის თითოეული დიაგონალი მისთვის სიმეტრიის ღერძია, რომბი თავისთავად გარდაიქმნება, როდესაც ის სიმეტრიულია რომელიმე დიაგონალის მიმართ.

განვიხილოთ მაგალითი სივრცეში - მართკუთხა პარალელეპიპედი (გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია ფუძეებზე, ტოლი ოთხკუთხედები ფუძეებზე). ასეთ პარალელეპიპედს აქვს სიმეტრიის ღერძი. ერთი მათგანი გადის პარალელეპიპედის (დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი) და ზედა და ქვედა ფუძის ცენტრების სიმეტრიის ცენტრში.

განმარტება.

სიბრტყეს ეწოდება ფიგურის სიმეტრიის სიბრტყეს, თუ ფიგურის თითოეული წერტილი სიმეტრიულია მის მიმართ ერთი და იგივე ფიგურის რაღაც წერტილთან.

მაგალითად, კუბოიდს აქვს სიმეტრიის სიბრტყეები. ერთი მათგანი გადის ზედა და ქვედა ფუძის მოპირდაპირე კიდეების შუაში (სურათი 5).

ბრინჯი. 5. მართკუთხა პარალელეპიპედის სიმეტრიის სიბრტყე

სიმეტრიის ელემენტები თანდაყოლილია რეგულარულ პოლიედრებში.

განმარტება.

ამოზნექილ მრავალკუთხედს რეგულარულს უწოდებენ, თუ მისი ყველა სახე თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედია და თითოეულ წვეროზე ერთი და იგივე რაოდენობის კიდეები იყრის თავს.

თეორემა.

არ არსებობს რეგულარული პოლიედონი, რომლის სახეები იყოს რეგულარული n-გონები .

მტკიცებულება:

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც არის რეგულარული ექვსკუთხედი. მისი ყველა შიდა კუთხე ტოლია:

შემდეგ შიდა კუთხეები უფრო დიდი იქნება.

პოლიედრონის თითოეულ წვეროზე, სულ მცირე, სამი კიდე იყრის თავს, რაც ნიშნავს, რომ თითოეული წვერო შეიცავს მინიმუმ სამ ბრტყელ კუთხეს. მათი ჯამი (დაშვებით, რომ თითოეული მეტია ან ტოლია) მეტია ან ტოლია. ეს ეწინააღმდეგება დებულებას: ამოზნექილ პოლიედრონში ყველა სიბრტყე კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე ნაკლებია.

თეორემა დადასტურდა.

კუბი (სურათი 6):

ბრინჯი. 6. კუბი

კუბი შედგება ექვსი კვადრატისგან; კვადრატი არის რეგულარული მრავალკუთხედი;

ყოველი წვერო არის სამი კვადრატის წვერო, მაგალითად, A წვერო საერთოა ABCD კვადრატების მიმართ. ;

ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე არის , რადგან ის შედგება სამი მართი კუთხისგან. ეს ნაკლებია ვიდრე , რომელიც აკმაყოფილებს რეგულარული პოლიედრონის ცნებას;

კუბს აქვს სიმეტრიის ცენტრი - დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი;

კუბს აქვს სიმეტრიის ღერძი, მაგალითად, სწორი ხაზები a და b (სურათი 6), სადაც სწორი ხაზი a გადის მოპირდაპირე სახეების შუა წერტილებში, ხოლო b მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებში;

კუბს აქვს სიმეტრიის სიბრტყეები, როგორიცაა სიბრტყე, რომელიც გადის a და b ხაზებს.

2. რეგულარული ტეტრაედონი (რეგულარული სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა კიდე ერთმანეთის ტოლია):

ბრინჯი. 7. რეგულარული ტეტრაედონი

რეგულარული ტეტრაედონი შედგება ოთხი ტოლგვერდა სამკუთხედისგან;

ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე არის , რადგან რეგულარული ტეტრაედონი შედგება სამი სიბრტყის კუთხისგან . ეს ნაკლებია ვიდრე , რომელიც აკმაყოფილებს რეგულარული პოლიედრონის ცნებას;

ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს აქვს სიმეტრიის ღერძი; ისინი გადიან საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში, მაგალითად, სწორი ხაზი MN. გარდა ამისა, MN არის მანძილი AB და CD გადაკვეთის ხაზებს შორის, MN არის AB და CD კიდეების პერპენდიკულარული;

რეგულარულ ტეტრაედრონს აქვს სიმეტრიის სიბრტყეები, თითოეული გადის კიდეზე და მოპირდაპირე კიდის შუა წერტილში (სურათი 7);

ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს არ აქვს სიმეტრიის ცენტრი.

3. რეგულარული ოქტაედრონი:

შედგება რვა ტოლგვერდა სამკუთხედისაგან;

ოთხი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე;

ყველა სიბრტყე კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე არის , რადგან რეგულარული რვაათედრონი შედგება ოთხი სიბრტყე კუთხისგან . ეს ნაკლებია ვიდრე , რომელიც აკმაყოფილებს რეგულარული პოლიედრონის კონცეფციას.

4. რეგულარული იკოსაედონი:

შედგება ოცი ტოლგვერდა სამკუთხედისაგან;

ხუთი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე;

ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე არის , რადგან რეგულარული იკოსედრონი შედგება ხუთი სიბრტყე კუთხისგან გასწვრივ . ეს ნაკლებია ვიდრე , რომელიც აკმაყოფილებს რეგულარული პოლიედრონის კონცეფციას.

5. რეგულარული დოდეკედრონი:

შედგება თორმეტი რეგულარული ხუთკუთხედისაგან;

სამი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე;

ყველა სიბრტყის კუთხის ჯამი თითოეულ წვეროზე არის . ეს ნაკლებია ვიდრე , რომელიც აკმაყოფილებს რეგულარული პოლიედრონის კონცეფციას.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ სიმეტრიის ტიპები სივრცეში და მივეცით მკაცრი განმარტებები. ჩვენ ასევე განვსაზღვრეთ რეგულარული პოლიედრონის კონცეფცია, განვიხილეთ ასეთი პოლიედრების მაგალითები და მათი თვისებები.

ბიბლიოგრაფია

1. I. M. სმირნოვა, V. A. სმირნოვი. გეომეტრია. 10-11 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და პროფილის დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ.
2. შარიგინი I.F. გეომეტრია. 10-11 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.
3. ე.ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და პროფილის შესწავლით / ე. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 2008. - 233გვ.: ავად.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5class.net().

Საშინაო დავალება

1. მიუთითეთ კუბოიდის სიმეტრიის ღერძების რაოდენობა;
2. მიუთითეთ რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმის სიმეტრიის ღერძების რაოდენობა;
3. მიუთითეთ ოქტაედრის სიმეტრიის სიბრტყეების რაოდენობა;
4. ააშენეთ პირამიდა, რომელსაც აქვს სიმეტრიის ყველა ელემენტი.

- (განმარტება) გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ყველა მხრიდან ბრტყელი მრავალკუთხედებით - სახეები.

პოლიედრების მაგალითები:

სახეების გვერდებს კიდეები ეწოდება, ხოლო კიდეების ბოლოებს წვეროები. სახეების რაოდენობის მიხედვით გამოიყოფა 4-თავიანი, 5-თავიანი და სხვ. პოლიედრონს ე.წ ამოზნექილი, თუ ეს ყველაფერი მდებარეობს მისი თითოეული სახის სიბრტყის ერთ მხარეს. პოლიედრონს ე.წ უფლება, თუ მისი სახეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები (ანუ ის, რომლებშიც ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია) და ყველა მრავალწახნაგოვანი კუთხე წვეროებზე ტოლია. არსებობს რეგულარული პოლიედრების ხუთი ტიპი: ტეტრაედრონი, კუბი, ოქტაედრონი, დოდეკედრონი, იკოსაედონი.

პოლიჰედრონისამგანზომილებიან სივრცეში (მრავალედნის ცნება) - ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობის ერთობლიობა.

1) ერთის თითოეული მხარე არის ამავე დროს მეორის (მაგრამ მხოლოდ ერთი) მხარე, რომელსაც უწოდებენ პირველს (ამ მხარეს);

2) მრავალკუთხედის შემადგენელი ნებისმიერი მრავალკუთხედიდან შეიძლება მიაღწიოს რომელიმე მათგანს მის გვერდით მდებარეზე გადასვლით და აქედან, თავის მხრივ, მის გვერდით და ა.შ.

ამ მრავალკუთხედებს ე.წ სახეები, მათი მხარეები ნეკნებიდა მათი წვეროებია მწვერვალებიმრავალწახნაგოვანი.

პოლიედრონის წვეროები

პოლიედრონის კიდეები

პოლიედრონის ასპექტები

პოლიედრონს ამოზნექილი ეწოდება, თუ ის დევს მისი რომელიმე სახის სიბრტყის ერთ მხარეს.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა სახე ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედია. ამოზნექილი პოლიედრონის ზედაპირი შედგება სხვადასხვა სიბრტყეში განლაგებული სახეებისგან. ამ შემთხვევაში მრავალკუთხედის კიდეები მრავალკუთხედების გვერდებია, მრავალწახნაგების წვეროები – წვეროები, მრავალწახნაგების ბრტყელი კუთხეები – მრავალკუთხედების კუთხეები – სახეები.

ამოზნექილ პოლიედრონს, რომლის ყველა წვერო დევს ორ პარალელურ სიბრტყეში, ეწოდება პრიზმატოიდი. პრიზმა, პირამიდა და შეკვეცილი პირამიდა პრიზმოიდის განსაკუთრებული შემთხვევებია. პრიზმოიდის ყველა გვერდითი სახე არის სამკუთხედი ან ოთხკუთხედი, ხოლო ოთხკუთხა სახეები არის ტრაპეცია ან პარალელოგრამები.

პოლიედრები არა მხოლოდ გამორჩეულ ადგილს იკავებს გეომეტრიაში, არამედ გვხვდება თითოეული ადამიანის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნურად შექმნილ საყოფაცხოვრებო ნივთებზე სხვადასხვა მრავალკუთხედის სახით, დაწყებული ასანთის კოლოფით და დამთავრებული არქიტექტურული ელემენტებით, კრისტალები კუბის სახით (მარილი), პრიზმი (კრისტალი), პირამიდა (შეელიტი), რვაედრონი (ბრილიანტი), და ა.შ. დ.

პოლიედრონის კონცეფცია, პოლიედრების ტიპები გეომეტრიაში

გეომეტრია, როგორც მეცნიერება, შეიცავს სტერეომეტრიის ნაწილს, რომელიც შეისწავლის სამგანზომილებიანი სხეულების მახასიათებლებსა და თვისებებს, რომელთა გვერდები სამგანზომილებიან სივრცეში წარმოიქმნება შეზღუდული სიბრტყეებით (სახეებით), ეწოდება "პოლიედრები". პოლიჰედრების ტიპები მოიცავს ათზე მეტ წარმომადგენელს, რომლებიც განსხვავდებიან სახეების რაოდენობითა და ფორმით.

თუმცა, ყველა პოლიედას აქვს საერთო თვისებები:

1. ყველა მათგანს აქვს 3 განუყოფელი კომპონენტი: სახე (მრავალკუთხედის ზედაპირი), წვერო (სახეების შეერთებისას წარმოქმნილი კუთხეები), კიდე (ფიგურის მხარე ან ორი სახის შეერთებისას წარმოქმნილი სეგმენტი). ).
2. თითოეული მრავალკუთხედის კიდე აკავშირებს ორ და მხოლოდ ორ სახეს, რომლებიც ერთმანეთის მიმდებარედ არიან.
3. ამოზნექილი ნიშნავს, რომ სხეული მთლიანად განლაგებულია თვითმფრინავის მხოლოდ ერთ მხარეს, რომელზეც ერთ-ერთი სახე დევს. წესი ვრცელდება პოლიედრონის ყველა სახეზე. სტერეომეტრიაში ასეთ გეომეტრიულ ფიგურებს ამოზნექილი პოლიედრები ეწოდება. გამონაკლისია ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრები, რომლებიც რეგულარული მრავალწახნაგოვანი გეომეტრიული მყარი ნაწილების წარმოებულებია.

პოლიედრები შეიძლება დაიყოს:

1. ამოზნექილი პოლიედრების ტიპები, რომლებიც შედგება შემდეგი კლასებისგან: ჩვეულებრივი ან კლასიკური (პრიზმა, პირამიდა, პარალელეპიპედი), რეგულარული (ასევე უწოდებენ პლატონურ მყარებს), ნახევრად რეგულარული (მეორე სახელი - არქიმედეს მყარი).
2. არაამოზნექილი პოლიედრები (ვარსკვლავური).

პრიზმა და მისი თვისებები

სტერეომეტრია, როგორც გეომეტრიის ფილიალი, სწავლობს სამგანზომილებიანი ფიგურების თვისებებს, პოლიედრების ტიპებს (ერთ-ერთი მათგანია პრიზმა). პრიზმა არის გეომეტრიული სხეული, რომელსაც აუცილებლად აქვს ორი სრულიად იდენტური სახე (მათ ასევე უწოდებენ ფუძეებს), რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში და n-ე რიცხვი გვერდითი სახეები პარალელოგრამების სახით. თავის მხრივ, პრიზმას ასევე აქვს რამდენიმე სახეობა, მათ შორის ისეთი ტიპის პოლიედრები, როგორიცაა:

1. პარალელეპიპედი წარმოიქმნება, თუ ფუძე არის პარალელოგრამი - მრავალკუთხედი 2 წყვილი თანაბარი საპირისპირო კუთხით და 2 წყვილი თანმიმდევრული მოპირდაპირე გვერდით.
2. აქვს ძირის პერპენდიკულარული ნეკნები.
3. ხასიათდება არასწორი კუთხით (90-ის გარდა) სახეებსა და ფუძეს შორის.
4. რეგულარულ პრიზმას ახასიათებს ბაზები თანაბარი გვერდითი სახეებით.

პრიზმის ძირითადი თვისებები:

• თანმიმდევრული ფუძეები.
• პრიზმის ყველა კიდე ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია.
• ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამის ფორმისაა.

პირამიდა

პირამიდა არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შედგება ერთი ფუძისა და სამკუთხა სახეების n-ე რიცხვისგან, რომლებიც დაკავშირებულია ერთ წერტილში - წვეროზე. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ პირამიდის გვერდითი სახეები აუცილებლად წარმოდგენილია სამკუთხედებით, მაშინ ფუძე შეიძლება იყოს ან სამკუთხა მრავალკუთხედი, ან ოთხკუთხედი, ან ხუთკუთხედი და ასე შემდეგ უსასრულოდ. ამ შემთხვევაში, პირამიდის სახელი შეესატყვისება ძირში არსებულ მრავალკუთხედს. მაგალითად, თუ პირამიდის ძირში არის სამკუთხედი - ეს არის ოთხკუთხედი - ოთხკუთხედი და ა.შ.

პირამიდები კონუსის მსგავსი პოლიედრებია. ამ ჯგუფის პოლიედრების ტიპები, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილთა გარდა, ასევე მოიცავს შემდეგ წარმომადგენლებს:

1. აქვს ფუძეზე რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი სიმაღლე დაპროექტებულია ფუძეში ჩაწერილი ან მის გარშემო აღწერილი წრის ცენტრში.
2. მართკუთხა პირამიდა იქმნება, როდესაც ერთ-ერთი გვერდითი კიდე სწორ კუთხით იკვეთება ფუძესთან. ამ შემთხვევაში ასევე სამართლიანია ამ კიდეს პირამიდის სიმაღლე ვუწოდოთ.

პირამიდის თვისებები:

• თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია (იგივე სიმაღლის), მაშინ ისინი ყველა ერთნაირი კუთხით იკვეთება ფუძესთან, ხოლო ფუძის გარშემო შეგიძლიათ დახაზოთ წრე ცენტრით, რომელიც ემთხვევა ზედა ნაწილის პროექციას. პირამიდა.
• თუ ჩვეულებრივი მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ძირში, მაშინ ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია, ხოლო სახეები ტოლფერდა სამკუთხედია.

რეგულარული პოლიედონი: პოლიედრების ტიპები და თვისებები

სტერეომეტრიაში განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს გეომეტრიულ სხეულებს აბსოლუტურად თანაბარი სახეებით, რომელთა წვეროებზე ერთნაირი რაოდენობის კიდეებია დაკავშირებული. ამ მყარ ნივთიერებებს პლატონურ მყარებს, ანუ ჩვეულებრივ პოლიედრებს უწოდებენ. ასეთი თვისებების მქონე პოლიედრების ტიპებს მხოლოდ ხუთი ფიგურა აქვთ:

1. ტეტრაედონი.
2. ჰექსაედონი.
3. ოქტაედონი.
4. დოდეკაედონი.
5. იკოსაედონი.

რეგულარულ პოლიედრებს თავიანთი სახელი ეკუთვნით ძველ ბერძენ ფილოსოფოს პლატონს, რომელმაც აღწერა ეს გეომეტრიული სხეულები თავის ნაწერებში და დააკავშირა ისინი ბუნებრივ ელემენტებთან: მიწა, წყალი, ცეცხლი, ჰაერი. მეხუთე ფიგურას მიენიჭა მსგავსება სამყაროს სტრუქტურასთან. მისი აზრით, ბუნებრივი ელემენტების ატომები ფორმაში წააგავს ჩვეულებრივი პოლიედრების ტიპებს. მათი ყველაზე მომხიბლავი თვისების - სიმეტრიის გამო, ეს გეომეტრიული სხეულები დიდ ინტერესს იწვევდა არა მხოლოდ უძველესი მათემატიკოსებისა და ფილოსოფოსებისთვის, არამედ ყველა დროის არქიტექტორებისთვის, მხატვრებისთვის და მოქანდაკეებისთვის. აბსოლუტური სიმეტრიის მქონე პოლიედრების მხოლოდ 5 ტიპის არსებობა ფუნდამენტურ აღმოჩენად ითვლებოდა, მათ ღვთაებრივ პრინციპთან კავშირიც კი მიენიჭათ.

ჰექსაედონი და მისი თვისებები

ექვსკუთხედის სახით, პლატონის მემკვიდრეებმა მიიღეს მსგავსება დედამიწის ატომების სტრუქტურასთან. რა თქმა უნდა, დღეისათვის ეს ჰიპოთეზა სრულიად უარყოფილია, რაც, თუმცა, ხელს არ უშლის ფიგურებს, თანამედროვეობის ესთეტიკით მიიზიდონ ცნობილი მოღვაწეების გონება.

გეომეტრიაში ჰექსაედონი, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც კუბი, განიხილება პარალელეპიპედის განსაკუთრებულ შემთხვევად, რომელიც, თავის მხრივ, ერთგვარი პრიზმაა. შესაბამისად, კუბის თვისებებს უკავშირდება ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ კუბის ყველა სახე და კუთხე ერთმანეთის ტოლია. აქედან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. კუბის ყველა კიდე თანმიმდევრულია და ერთმანეთის მიმართ პარალელურ სიბრტყეშია.
2. ყველა სახე არის თანმიმდევრული კვადრატი (კუბში სულ 6ა), რომელთაგან ნებისმიერი შეიძლება მივიღოთ ფუძედ.
3. ყველა ინტერედრული კუთხე არის 90.
4. თითოეული წვეროდან გამოდის კიდეების თანაბარი რაოდენობა, კერძოდ 3.
5. კუბს აქვს 9, რომელიც ყველა იკვეთება ექვსკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე, რომელსაც სიმეტრიის ცენტრს უწოდებენ.

ტეტრაედონი

ტეტრაედონი არის ოთხკუთხედის ტოლი სახეების მქონე ოთხკუთხედი, რომლის თითოეული წვერო არის სამი სახის შეერთების წერტილი.

რეგულარული ტეტრაედონის თვისებები:

1. ტეტრაედრის ყველა სახე - აქედან გამომდინარეობს, რომ ტეტრაედრის ყველა სახე კონგრუენტულია.
2. ვინაიდან ფუძე წარმოდგენილია რეგულარული გეომეტრიული ფიგურით, ანუ მას აქვს თანაბარი გვერდები, მაშინ ტეტრაედრის სახეები ერთნაირი კუთხით იყრის თავს, ანუ ყველა კუთხე თანაბარია.
3. ბრტყელი კუთხეების ჯამი თითოეულ წვეროზე არის 180, რადგან ყველა კუთხე ტოლია, მაშინ რეგულარული ტეტრაედრის ნებისმიერი კუთხე არის 60.
4. თითოეული წვერო დაპროექტებულია მოპირდაპირე (ორთოცენტრული) სახის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილამდე.

ოქტაედონი და მისი თვისებები

რეგულარული პოლიედრების ტიპების აღწერისას არ შეიძლება არ აღვნიშნოთ ისეთი ობიექტი, როგორიცაა ოქტაედრონი, რომელიც ვიზუალურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ორი ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდა, რომლებიც გაერთიანებულია ფუძებთან ერთად.

ოქტაედონის თვისებები:

1. გეომეტრიული სხეულის სახელი მიუთითებს მისი სახეების რაოდენობაზე. რვაკუთხედი შედგება 8 თანმიმდევრული ტოლგვერდა სამკუთხედისაგან, რომელთა თითოეულ წვეროზე იყრება თანაბარი რაოდენობის სახეები, კერძოდ 4.
2. ვინაიდან ოქტაედრის ყველა სახე ტოლია, ასე რომ, მისი ინტერფეისის კუთხეებიც ტოლია, რომელთაგან თითოეული უდრის 60-ს, ​​და ამგვარად, რომელიმე წვერის სიბრტყე კუთხის ჯამი არის 240.

დოდეკაედონი

თუ წარმოვიდგენთ, რომ გეომეტრიული სხეულის ყველა სახე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, მაშინ მივიღებთ დოდეკაედრონს - 12 მრავალკუთხედის ფიგურას.

დოდეკაედრების თვისებები:

1. თითოეულ წვეროზე სამი სახე იკვეთება.
2. ყველა სახე თანაბარია და აქვს ერთი კიდის სიგრძე და თანაბარი ფართობი.
3. დოდეკაედრონს აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე და რომელიმე მათგანი გადის სახის წვეროზე და მოპირდაპირე კიდის შუაზე.

იკოსაედონი

დოდეკაედრონზე არანაკლებ საინტერესოა, იკოსაედონი არის სამგანზომილებიანი გეომეტრიული სხეული 20 თანაბარი სახეებით. რეგულარული ოცი ჰედრონის თვისებებს შორის შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი:

1. იკოსაედრონის ყველა სახე ტოლფერდა სამკუთხედია.
2. პოლიედრონის თითოეულ წვეროზე ხუთი სახე იყრის თავს და წვეროს მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 300.
3. იკოსაედრონს, ისევე როგორც დოდეკაედრონს, აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე, რომლებიც გადის მოპირდაპირე სახეების შუა წერტილებში.

ნახევრადრეგულარული მრავალკუთხედები

პლატონური მყარების გარდა, ამოზნექილი პოლიედრების ჯგუფში ასევე შედის არქიმედეს მყარები, რომლებიც შეკვეცილი რეგულარული პოლიედრებია. ამ ჯგუფის პოლიედრების ტიპებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

1. გეომეტრიულ სხეულებს აქვთ რამდენიმე ტიპის წყვილი თანაბარი სახეები, მაგალითად, ჩამოჭრილ ტეტრაედრონს აქვს 8 სახე, ისევე როგორც ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს, მაგრამ არქიმედეს მყარის შემთხვევაში 4 სახე იქნება სამკუთხა, ხოლო 4 ექვსკუთხა.
2. ერთი წვერის ყველა კუთხე თანმიმდევრულია.

ვარსკვლავური პოლიედრა

გეომეტრიული სხეულების არამოცულობითი ტიპების წარმომადგენლები არიან ვარსკვლავისებური პოლიედრები, რომელთა სახეები იკვეთება ერთმანეთს. ისინი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ორი რეგულარული სამგანზომილებიანი სხეულის შერწყმით ან მათი სახის გაგრძელებით.

ამრიგად, ასეთი ვარსკვლავური პოლიედრები ცნობილია, როგორც: ოქტაედრის ვარსკვლავიანი ფორმები, დოდეკაედრონი, იკოსაედონი, კუბოქტაედონი, იკოსიდოდეკედრონი.

სასკოლო გეომეტრიაში არის სპეციალური თემები, რომლებსაც მოუთმენლად ელი, წარმოუდგენლად ლამაზი მასალით შეხვედრის მოლოდინში. ამ თემებში შედის "რეგულარული პოლიედრები".აქ იხსნება არა მხოლოდ უნიკალური თვისებების მქონე გეომეტრიული სხეულების მშვენიერი სამყარო, არამედ საინტერესო სამეცნიერო ჰიპოთეზებიც. შემდეგ კი გეომეტრიის გაკვეთილი ხდება ჩვეულებრივი სასკოლო საგნის მოულოდნელი ასპექტების ერთგვარი შესწავლა.

არცერთ გეომეტრიულ სხეულს არ გააჩნია ისეთი სრულყოფილება და სილამაზე, როგორიც ჩვეულებრივი პოლიედრებია. "რეგულარული პოლიედრები გამომწვევად ცოტაა", - წერდა ერთხელ ლ. კეროლი, "მაგრამ ამ რაზმმა, რომელიც ძალიან მოკრძალებულია რიცხოვნობით, მოახერხა სხვადასხვა მეცნიერების სიღრმეში მოხვედრა".

რა არის ეს გამომწვევად მცირე რიცხვი და რატომ არის ასეთი ბევრი. და რამდენი? გამოდის, რომ ზუსტად ხუთი - არც მეტი, არც ნაკლები. ამის დადასტურება შესაძლებელია ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის გაშლით. მართლაც, იმისათვის, რომ მივიღოთ ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედი მისი განმარტების მიხედვით, ერთნაირი რაოდენობის სახეები უნდა გადაიზარდოს თითოეულ წვეროზე, რომელთაგან თითოეული არის რეგულარული მრავალკუთხედი. მრავალწახნაგოვანი კუთხის სიბრტყე კუთხეების ჯამი უნდა იყოს 360 o-ზე ნაკლები, წინააღმდეგ შემთხვევაში მრავალწახნაგოვანი ზედაპირი არ მიიღება. უტოლობების შესაძლო მთელი რიცხვების ამონახსნების გავლა: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

რეგულარული პოლიედრების სახელები საბერძნეთიდან მოდის. ბერძნულიდან სიტყვასიტყვით თარგმანში "ტეტრაედრონი", "ოქტაედრონი", "ჰექსაედონი", "დოდეკაედონი", "იკოსაედონი" ნიშნავს: "ტეტრაჰედრონს", "ოქტაედრონს", "ჰექსაედრონს". დოდეკაედონი, დოდეკაედონი. ამ ლამაზ სხეულებს ეძღვნება ევკლიდეს ელემენტების მე-13 წიგნი. მათ პლატონის სხეულებსაც უწოდებენ, რადგან. მათ მნიშვნელოვანი ადგილი დაიკავეს პლატონის ფილოსოფიურ კონცეფციაში სამყაროს აგებულების შესახებ. ოთხი პოლიედონი განასახიერებდა მასში ოთხ არსს ან „ელემენტს“. ტეტრაედონი ცეცხლს განასახიერებდა, რადგან. მისი ზედა მიმართულია ზემოთ; იკოსაედონი - წყალი, რადგან ის არის ყველაზე „გამარტივებული“; კუბი - დედამიწა, როგორც ყველაზე "სტაბილური"; ოქტაედონი - ჰაერი, როგორც ყველაზე "ჰაეროვანი". მეხუთე პოლიედონი, დოდეკედრონი, განასახიერებდა „ყველაფერს, რაც არსებობს“, განასახიერებდა მთელ სამყაროს და ითვლებოდა მთავარად.

ძველი ბერძნები სამყაროს საფუძვლად ჰარმონიულ ურთიერთობებს თვლიდნენ, ამიტომ მათი ოთხი ელემენტი დაკავშირებული იყო ასეთი პროპორციით: მიწა/წყალი=ჰაერი/ცეცხლი. „ელემენტების“ ატომები პლატონის მიერ იყო სრულყოფილი თანხმოვნებით, როგორც ლირის ოთხი სიმი. შეგახსენებთ, რომ სასიამოვნო კონსონანსს თანხმობა ჰქვია. უნდა ითქვას, რომ პლატონურ სოლიდებში თავისებური მუსიკალური ურთიერთობები არის წმინდა სპეკულაციური და არ გააჩნია გეომეტრიული საფუძველი. არც პლატონური მყარების წვეროების რაოდენობა, არც რეგულარული პოლიედრების მოცულობა, არც კიდეების ან სახეების რაოდენობა არ არის დაკავშირებული ამ მიმართებით.

ამ სხეულებთან დაკავშირებით, მიზანშეწონილი იქნება იმის თქმა, რომ ელემენტთა პირველი სისტემა, რომელიც მოიცავდა ოთხ ელემენტს - მიწას, წყალს, ჰაერს და ცეცხლს - არისტოტელემ წმინდანად შერაცხა. ეს ელემენტები რჩებოდა სამყაროს ოთხ ქვაკუთხედად მრავალი საუკუნის განმავლობაში. სავსებით შესაძლებელია მათი იდენტიფიცირება ჩვენთვის ცნობილ მატერიის ოთხ მდგომარეობასთან - მყარი, თხევადი, აირისებრი და პლაზმური.

მნიშვნელოვანი ადგილი ეკავა რეგულარულ პოლიედრებს სამყაროს ჰარმონიული სტრუქტურის სისტემაში ი.კეპლერმა. ჰარმონიის, სილამაზისა და სამყაროს მათემატიკურად რეგულარული სტრუქტურის ერთმა რწმენამ ი. კეპლერი მიიყვანა იმ აზრამდე, რომ რადგან ხუთი რეგულარული პოლიედრაა, მათ მხოლოდ ექვსი პლანეტა შეესაბამება. მისი აზრით, პლანეტების სფეროები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული მათში ჩაწერილი პლატონური მყარებით. ვინაიდან ყოველი რეგულარული პოლიედრონისთვის ჩაწერილი და შემოხაზული სფეროების ცენტრები ემთხვევა, მთელ მოდელს ექნება ერთი ცენტრი, რომელშიც მზე იქნება განთავსებული.

უზარმაზარი გამოთვლითი სამუშაოს შესრულების შემდეგ, 1596 წელს ი. კეპლერმა გამოაქვეყნა თავისი აღმოჩენის შედეგები წიგნში "სამყაროს საიდუმლო". ის აწერს კუბს სატურნის ორბიტის სფეროს, კუბში - იუპიტერის სფეროს, იუპიტერის სფეროს - ტეტრაედრონს და ასე შემდეგ ზედიზედ ჯდება ერთმანეთში მარსის სფერო - დოდეკედრონი, დედამიწის სფერო. - იკოსაედონი, ვენერას სფერო - ოქტაედრონი, მერკურის სფერო. სამყაროს საიდუმლო ღიად ჩანს.

დღეს თამამად შეიძლება ითქვას, რომ პლანეტებს შორის მანძილი არ არის დაკავშირებული არც ერთ პოლიედრთან. თუმცა, შესაძლებელია, რომ გარეშე "სამყაროს საიდუმლოებები", ი. კეპლერის "სამყაროს ჰარმონია", რეგულარული პოლიედრები არ იქნებოდა ი. კეპლერის სამი ცნობილი კანონი, რომლებიც მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ მოძრაობის აღწერაში. პლანეტების.

კიდევ სად შეგიძლიათ ნახოთ ეს საოცარი სხეულები? ჩვენი საუკუნის დასაწყისის გერმანელი ბიოლოგის, ე.ჰეკელის ძალიან ლამაზ წიგნში „ფორმების სილამაზე ბუნებაში“ შეიძლება წაიკითხოთ შემდეგი სტრიქონები: „ბუნება წიაღში ასაზრდოებს საოცარი არსებების ამოუწურავ რაოდენობას. სილამაზითა და მრავალფეროვნებით აღემატება ადამიანის ხელოვნების მიერ შექმნილ ყველა ფორმას“. ამ წიგნში ბუნების შემოქმედება ლამაზი და სიმეტრიულია. ეს ბუნებრივი ჰარმონიის განუყოფელი თვისებაა. მაგრამ აქ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ერთუჯრედიანი ორგანიზმები - ფეოდარები, რომელთა ფორმა ზუსტად გადმოსცემს იკოსაედრონს. რამ გამოიწვია ასეთი ბუნებრივი გეომეტრიზაცია? შესაძლოა, ყველა პოლიედრის გამო, რომელსაც აქვს ერთი და იგივე რაოდენობის სახეები, სწორედ იკოსაედრონს აქვს ყველაზე დიდი მოცულობა და ყველაზე მცირე ზედაპირის ფართობი. ეს გეომეტრიული თვისება ეხმარება საზღვაო მიკროორგანიზმებს წყლის სვეტის წნევის დაძლევაში.

საინტერესოა ისიც, რომ სწორედ იკოსაედონი აღმოჩნდა ბიოლოგების ყურადღების ცენტრში ვირუსების ფორმასთან დაკავშირებით მათ კამათში. ვირუსი არ შეიძლება იყოს იდეალურად მრგვალი, როგორც ადრე ეგონათ. მისი ფორმის დასადგენად, მათ აიღეს სხვადასხვა პოლიედრები, მიმართეს მათ სინათლეს იმავე კუთხით, როგორც ატომების ნაკადი ვირუსისკენ. აღმოჩნდა, რომ მხოლოდ ერთი პოლიედონი იძლევა ზუსტად იმავე ჩრდილს - იკოსაედრონს. მისი გეომეტრიული თვისებები, ზემოთ ნახსენები, გენეტიკური ინფორმაციის შენახვის საშუალებას იძლევა. რეგულარული პოლიედრები ყველაზე ხელსაყრელი ფიგურებია. და ბუნება სარგებლობს ამით. ზოგიერთი ჩვენთვის ნაცნობი ნივთიერების კრისტალები რეგულარული პოლიედრების სახითაა. ასე რომ, კუბი გადმოსცემს ნატრიუმის ქლორიდის კრისტალების ფორმას NaCl, ალუმინის-კალიუმის ალუმინის ერთკრისტალს (KAlSO4) 2 12H2O აქვს რვაედნის ფორმა, პირიტის სულფიდის კრისტალს აქვს ნატრიუმის სულფიდის ფორმა, ანტიმონიტი. ტეტრაედონი, ბორი არის იკოსაედონი. რეგულარული პოლიედრები განსაზღვრავს ზოგიერთი ქიმიური ნივთიერების ბროლის გისოსების ფორმას. ამ აზრს შემდეგი პრობლემით გამოვხატავ.

დავალება. CH4 მეთანის მოლეკულის მოდელს აქვს რეგულარული ტეტრაედრის ფორმა, წყალბადის ატომებით ოთხ წვეროზე და ნახშირბადის ატომით ცენტრში. დაადგინეთ კავშირის კუთხე ორ CH ბმას შორის.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან რეგულარულ ტეტრაედრონს აქვს ექვსი თანაბარი კიდე, შესაძლებელია ისეთი კუბის არჩევა, რომ მისი სახეების დიაგონალები იყოს ჩვეულებრივი ტეტრაედრის კიდეები (ნახ. 2). კუბის ცენტრი ასევე არის ტეტრაედრის ცენტრი, რადგან ტეტრაედრის ოთხი წვერო ასევე არის კუბის წვეროები და მათ გარშემო აღწერილი სფერო ცალსახად არის განსაზღვრული ოთხი წერტილით, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში. სასურველი კუთხე j ორ CH ბმას შორის ტოლია AOS კუთხის. სამკუთხედი AOC არის ტოლფერდა. აქედან გამომდინარე, სადაც a არის კუბის მხარე, d არის ტეტრაედონის გვერდითი სახის ან კიდის დიაგონალის სიგრძე. ასე რომ, საიდანაც \u003d 54.73561 O და j \u003d 109.47 O

პითაგორას, პლატონის, ი. კეპლერის იდეებმა რეგულარული პოლიედრების სამყაროს ჰარმონიულ სტრუქტურასთან კავშირის შესახებ ჩვენს დროში უკვე იპოვეს გაგრძელება საინტერესო სამეცნიერო ჰიპოთეზაში, რომლის ავტორები (80-იანი წლების დასაწყისში) იყვნენ მოსკოვის ინჟინრები. ვ.მაკაროვი და ვ.მოროზოვი. მათ მიაჩნიათ, რომ დედამიწის ბირთვს აქვს მზარდი ბროლის ფორმა და თვისებები, რომელიც გავლენას ახდენს პლანეტაზე მიმდინარე ყველა ბუნებრივი პროცესის განვითარებაზე. ამ ბროლის სხივები, უფრო სწორად, მისი ძალის ველი განსაზღვრავს დედამიწის იკოსაედრულ-დოდეკაედრალურ სტრუქტურას (ნახ. 3), რაც გამოიხატება იმაში, რომ გლობუსზე ჩაწერილი რეგულარული პოლიედრების პროგნოზები ჩნდება დედამიწის ქერქში: იკოსაედრონში. და დოდეკაედონი. მათ 62 წვეროსა და კიდეების შუა წერტილებს, რომლებსაც ავტორებმა კვანძები უწოდეს, აქვთ მთელი რიგი სპეციფიკური თვისებები, რაც შესაძლებელს ხდის ახსნას ზოგიერთი გაუგებარი ფენომენის ახსნას.

თუ დედამიწაზე დააყენებთ უძველესი სამყაროს უდიდესი და ყველაზე ღირსშესანიშნავი კულტურებისა და ცივილიზაციების ცენტრებს, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ნიმუში მათ მდებარეობაზე, პლანეტის გეოგრაფიულ პოლუსებთან და ეკვატორთან შედარებით. ბევრი მინერალური საბადო გადაჭიმულია იკოსაედრულ-დოდეკაედრული ბადის გასწვრივ. კიდევ უფრო საოცარი რამ ხდება ამ ნეკნების კვეთაზე: აქ არის უძველესი კულტურისა და ცივილიზაციების ცენტრები: პერუ, ჩრდილოეთ მონღოლეთი, ჰაიტი, ობის კულტურა და სხვა. ამ წერტილებში არის ატმოსფერული წნევის მაქსიმალური და მინიმალური, მსოფლიო ოკეანის გიგანტური მორევები, აქ შოტლანდიის ლოხ ნესი, ბერმუდის სამკუთხედი. დედამიწის შემდგომი კვლევები, ალბათ, განსაზღვრავს დამოკიდებულებას ამ მშვენიერი სამეცნიერო ჰიპოთეზის მიმართ, რომელშიც, როგორც ჩანს, რეგულარულ პოლიედრებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

ასე რომ, გაირკვა, რომ არსებობს ზუსტად ხუთი რეგულარული პოლიედრა. და როგორ განვსაზღვროთ მათში კიდეების, სახეების, წვეროების რაოდენობა? ეს არ არის რთული გასაკეთებელი პოლიედრებისთვის მცირე რაოდენობის კიდეებით, მაგრამ, მაგალითად, როგორ მივიღოთ ასეთი ინფორმაცია იკოსაედრისთვის? ცნობილმა მათემატიკოსმა ლ.ეილერმა მიიღო ფორმულა В+Г-Р=2, რომელიც აკავშირებს ნებისმიერი მრავალედრონის წვეროების /В/, სახეების /Г/ და კიდეების /Р/ რაოდენობას. ამ ფორმულის სიმარტივე იმაში მდგომარეობს, რომ მას არანაირი კავშირი არ აქვს მანძილებთან ან კუთხეებთან. იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ რეგულარული მრავალწახნაგების კიდეების, წვეროების და სახეების რაოდენობა, ჯერ ვპოულობთ რიცხვს k \u003d 2y - xy + 2x, სადაც x არის კიდეების რაოდენობა, რომლებიც მიეკუთვნება ერთ სახეს, y არის კონვერტაციის სახეების რაოდენობა. ერთ წვეროზე. რეგულარული პოლიედრონის სახეების, წვეროებისა და კიდეების რაოდენობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულებს. ამის შემდეგ, ადვილია შეავსოთ ცხრილი, რომელიც გვაწვდის ინფორმაციას რეგულარული პოლიედრების ელემენტების შესახებ:

პოლიედონი H W R

ტეტრაედონი 4-4-6

ჰექსაედონი 6-8-12

ოქტაედონი 8-6-12

დოდეკაედონი 12-20-30

იკოსაედონი 20-12-30

და კიდევ ერთი კითხვა ჩნდება რეგულარულ პოლიედრებთან დაკავშირებით: შესაძლებელია თუ არა მათი სივრცის შევსება ისე, რომ მათ შორის ხარვეზები არ იყოს? ის წარმოიქმნება რეგულარული მრავალკუთხედების ანალოგიით, რომელთაგან ზოგიერთს შეუძლია სიბრტყის შევსება. გამოდის, რომ სივრცის შევსება მხოლოდ ერთი ჩვეულებრივი პოლიედრონ-კუბის დახმარებით შეგიძლიათ. სივრცე ასევე შეიძლება შეივსოს რომბისებრი დოდეკაედრონებით. ამის გასაგებად, თქვენ უნდა მოაგვაროთ პრობლემა.

დავალება.შვიდი კუბის დახმარებით, რომლებიც ქმნიან სივრცულ „ჯვარს“, ააგეთ რომბისებრი დოდეკედრონი და აჩვენეთ, რომ მათ შეუძლიათ სივრცის შევსება.

გადაწყვეტილება.კუბებს შეუძლიათ სივრცის შევსება. განვიხილოთ ნახ.4-ზე ნაჩვენები კუბური გისოსის ნაწილი. შუა კუბს ხელუხლებლად ვტოვებთ და თითოეულ "შემზღუდავ" კუბში ვხატავთ თვითმფრინავებს ექვსივე წყვილი მოპირდაპირე კიდეებით. ამ შემთხვევაში, "მიმდებარე" კუბურები დაიყოფა ექვს თანაბარ პირამიდად კვადრატული ფუძით და გვერდითი კიდეებით კუბის დიაგონალის ნახევრის ტოლი. ხელუხლებელი კუბის მიმდებარე პირამიდები ამ უკანასკნელთან ერთად რომბისებრ დოდეკაედრონს ქმნიან. აქედან ირკვევა, რომ მთელი სივრცის შევსება შესაძლებელია რომბისებრი დოდეკაედრონებით. შედეგად, მივიღებთ, რომ რომბისებრი დოდეკედრის მოცულობა უდრის კუბის მოცულობის ორჯერ, რომლის კიდე ემთხვევა დოდეკედრის ფორმის უფრო მცირე დიაგონალს.

ბოლო ამოცანის გადაწყვეტისას მივედით რომბის დოდეკაედრონებამდე. საინტერესოა, რომ ფუტკრის უჯრედები, რომლებიც ასევე ავსებენ სივრცეს ხარვეზების გარეშე, ასევე იდეალურად გეომეტრიული ფორმებია. ფუტკრის უჯრედის ზედა ნაწილი რომბის დოდეკედრის ნაწილია.

ასე რომ, რეგულარულმა პოლიედრებმა გამოავლინეს მეცნიერთა მცდელობები, მიახლოებულიყვნენ მსოფლიო ჰარმონიის საიდუმლოებას და აჩვენა გეომეტრიის დაუძლეველი მიმზიდველობა.

მთავარი > რეზიუმე

ᲒᲐᲜᲐᲗᲚᲔᲑᲘᲡ ᲛᲘᲜᲘᲡᲢᲠᲘ

№3 საშუალო საგანმანათლებლო სკოლა

ესეიგი

გეომეტრიაში

თემა:

"პოლიჰედრა".

Შესრულებული:მე-11-„ბ“ კლასის მემორანდუმის №3 საშუალო სკოლის მოსწავლე ალიაბიევა იულია. შემოწმებულია:მათემატიკის მასწავლებელი სერგეევა ლიუბოვ ალექსეევნა.

ჟელეზნოვოდსკი

Გეგმა

Შესავალი. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. თეორიული ნაწილი

დიჰედრული კუთხე. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 სამკუთხა და მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. . . . . . . . . . . . . . . . 4 პოლიჰედრონი. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 პრიზმა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 პრიზმის გამოსახულება და მისი მონაკვეთების აგება. . . . . 7 პირდაპირი პრიზმა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ცხრა პარალელეპიპედი. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ცხრა პარალელეპიპედის ცენტრალური სიმეტრია. . . . . . . . ათი მართკუთხა პარალელეპიპედი. . . . . . . . . . . . . . . . . . თერთმეტი

10. მართკუთხა პარალელეპიპედის სიმეტრია. . . . 12 11. პირამიდა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ცამეტი 12. პირამიდის და მისი სიბრტყეების კონსტრუქცია. . . . . . ცამეტი 13. დამსხვრეული პირამიდა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . თხუთმეტი 14. სწორი პირამიდა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . თხუთმეტი 15. რეგულარული პოლიედრები. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . თექვსმეტი III. პრაქტიკული ნაწილი. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. დასკვნა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ცხრამეტი V. ლიტერატურა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Შესავალი

სასკოლო გეომეტრიაში არის სპეციალური თემები, რომლებსაც მოუთმენლად ელი, წარმოუდგენლად ლამაზი მასალით შეხვედრის მოლოდინში. ასეთ თემებს მიეკუთვნება „პოლიჰედრა“. აქ იხსნება არა მხოლოდ უნიკალური თვისებების მქონე გეომეტრიული სხეულების მშვენიერი სამყარო, არამედ საინტერესო სამეცნიერო ჰიპოთეზებიც. შემდეგ კი გეომეტრიის გაკვეთილი ხდება ჩვეულებრივი სასკოლო საგნის მოულოდნელი ასპექტების ერთგვარი შესწავლა. არცერთ გეომეტრიულ სხეულს არ გააჩნია ისეთი სრულყოფილება და სილამაზე, როგორიც პოლიედრებია. "გამომწვევად ცოტაა პოლიედრონები", - წერდა ერთხელ ლ. კეროლი, "მაგრამ ამ რაზმმა, რომელიც ძალიან მოკრძალებულია, მოახერხა სხვადასხვა მეცნიერების სიღრმეში მოხვედრა".

II. თეორიული ნაწილი.

1. დიჰედრული კუთხე დიედრული კუთხეეწოდება ფიგურას, რომელიც წარმოიქმნება ორი "ნახევრად სიბრტყით, რომელთაც ესაზღვრება საერთო სწორი ხაზი (ნახ. 1). ნახევარსიბრტყეები ე.წ. სახეები,და ხაზი, რომელიც ზღუდავს მათ ზღვარიდიედრული კუთხე. ორმხრივი კუთხის კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყე კვეთს მის სახეებს ორი ნახევარწრფის გასწვრივ. ამ ნახევარხაზებით წარმოქმნილ კუთხეს ეწოდება ხაზოვანი. კუთხედიედრული კუთხე. დიედრული კუთხის ზომა აღებულია შესაბამისი წრფივი კუთხის საზომად. დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით, რაც ნიშნავს რომ ისინი ტოლია. ამიტომ, დიედრული კუთხის ზომა არ არის დამოკიდებული წრფივი კუთხის არჩევანზე. 2. სამკუთხედი და მრავალწახნაგოვანი კუთხეები განვიხილოთ სამი სხივი a, b, c,ერთი და იგივე წერტილიდან გამომავალი და ერთსა და იმავე სიბრტყეში არ წევს. სამკუთხედი (abc)ეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება "სამი ბრტყელი კუთხით (ab),(bc) და (ac) (ნახ. 2). ამ კუთხეებს ე.წ სახეებისამკუთხა კუთხე და მათი გვერდები - ნეკნებიბრტყელი კუთხეების საერთო წვერო ეწოდება სამიტისამკუთხა კუთხე. სამკუთხა კუთხის სახეებით წარმოქმნილ ორკუთხედებს უწოდებენ სამკუთხედის ორმხრივი კუთხეები.ანალოგიურად არის განსაზღვრული მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია (ნახ. 3).

3. მრავალწახნაგოვანი

სტერეომეტრიაში სწავლობენ სივრცეში არსებულ ფიგურებს, რომლებსაც სხეულებს უწოდებენ. ვიზუალურად, (გეომეტრიული) სხეული უნდა წარმოვიდგინოთ, როგორც ფიზიკური სხეულის მიერ დაკავებული და ზედაპირით შემოსაზღვრული სივრცის ნაწილი. მრავალედრონი არის სხეული, რომლის ზედაპირი შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან (ნახ. 4). მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის მდებარეობს მის ზედაპირზე არსებული ყველა ბრტყელი მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. ასეთი სიბრტყის საერთო ნაწილს და ამოზნექილი პოლიედრონის ზედაპირს სახე ეწოდება. ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდებს მრავალწახნაგების კიდეები ეწოდება, წვეროებს კი მრავალწახნაგა. ავხსნათ რა ითქვა ნაცნობი კუბის მაგალითზე (სურ. 5). კუბი არის ამოზნექილი პოლიედონი. მისი ზედაპირი შედგება ექვსი კვადრატისაგან: ABCD, BEFC, .... ისინი მისი სახეებია. კუბის კიდეები არის ამ კვადრატების გვერდები: AB, BC, BE,.... კუბის წვეროები არის კვადრატების წვეროები: A, B, C, D, E, .... კუბს აქვს ექვსი სახე, თორმეტი კიდე და რვა წვერო. უმარტივესი პოლიედრები - პრიზმები და პირამიდები, რომლებიც იქნება ჩვენი კვლევის მთავარი ობიექტი - მივცემთ ისეთ განმარტებებს, რომლებიც არსებითად არ იყენებენ სხეულის ცნებას. ისინი განისაზღვრება როგორც გეომეტრიული ფიგურები მათ კუთვნილი სივრცის ყველა წერტილის მითითებით. გეომეტრიული სხეულის და მისი ზედაპირის კონცეფცია ზოგად შემთხვევაში მოგვიანებით იქნება მოცემული.

4. პრიზმა

პრიზმა არის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება ორი ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან, რომლებიც მდებარეობს სხვადასხვა სიბრტყეში და გაერთიანებულია პარალელური ტრანსლაციის გზით, და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ მრავალკუთხედების შესაბამის წერტილებს (ნახ. 6). მრავალკუთხედებს პრიზმის ფუძეები ეწოდება, ხოლო შესაბამისი წვეროების დამაკავშირებელ სეგმენტებს პრიზმის გვერდითი კიდეები. ვინაიდან პარალელური თარგმანი მოძრაობაა, პრიზმის საფუძვლები ტოლია. ვინაიდან პარალელური გადაცემისას სიბრტყე გადადის პარალელურ სიბრტყეში (ან საკუთარ თავში), მაშინ პრიზმის ფუძეები პარალელურ სიბრტყეებში დევს, კიდეები პარალელური და ტოლია. პრიზმის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი ზედაპირისგან. გვერდითი ზედაპირი შედგება პარალელოგრამებისგან. თითოეული ამ პარალელოგრამისთვის ორი გვერდი არის ფუძის შესაბამისი მხარე, ხოლო დანარჩენი ორი არის მიმდებარე გვერდითი კიდეები. პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მისი ფუძის სიბრტყეებს შორის. სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს პრიზმის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, პრიზმის დიაგონალი ეწოდება. პრიზმას ეწოდება n-გონალური, თუ მისი ფუძეები არის n-გონები. მომავალში განვიხილავთ მხოლოდ პრიზმებს, რომელთა ფუძეები ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. ასეთი პრიზები არის ამოზნექილი პოლიედრები. სურათი 6 გვიჩვენებს ხუთკუთხა პრიზმას. მისი ფუძეები არის ხუთკუთხედები. მაგრამ 1 მაგრამ 2 ...მაგრამ 5 , მაგრამ 1 ’ მაგრამ" 2 ...მაგრამ" 5 . XX" -ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფუძეების შესაბამის წერტილებს. პრიზმ-სეგმენტების გვერდითი კიდეები მაგრამ 1 მაგრამ" 2 , მაგრამ 1 მაგრამ" 2 , ..., მაგრამ 5 მაგრამ" 5 . პრიზმის გვერდითი სახეები - პარალელოგრამები მაგრამ 1 მაგრამ 2 მაგრამ" 2 მაგრამ 1 , მაგრამ 2 მაგრამ 3 მაგრამ ’ 3 მაგრამ" 2 , ... .

5. პრიზმის გამოსახულება და მისი მონაკვეთების აგება

პარალელური პროექციის წესების შესაბამისად, პრიზმის გამოსახულება აგებულია შემდეგნაირად. ჯერ ერთ-ერთი საძირკველი შენდება რ(ნახ. 7). ეს იქნება რაღაც ბრტყელი მრავალკუთხედი. შემდეგ მრავალკუთხედის წვეროებიდან რპრიზმის გვერდითი ნეკნები დახატულია თანაბარი სიგრძის პარალელური სეგმენტების სახით. ამ სეგმენტების ბოლოები დაკავშირებულია და მიიღება პრიზმის სხვა საფუძველი. უხილავი კიდეები დახაზულია წყვეტილი ხაზებით. პრიზმის მონაკვეთები სიბრტყეებით გვერდითი კიდეების პარალელურად არის პარალელოგრამები. კერძოდ, დიაგონალური მონაკვეთები არის პარალელოგრამები. ეს არის სექციები თვითმფრინავებით, რომლებიც გადიან ორ გვერდით კიდეებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს (ნახ. 8). პრაქტიკაში, კერძოდ, პრობლემების გადაჭრისას, ხშირად საჭიროა პრიზმის მონაკვეთის აგება მოცემულ სწორ ხაზზე გამავალი სიბრტყით. გპრიზმის ერთ-ერთი ფუძის სიბრტყეზე. ასეთ ხაზს ე.წ შემდეგისაჭრელი თვითმფრინავი ბაზის სიბრტყეზე. პრიზმის მონაკვეთის ასაგებად საკმარისია სკანტური სიბრტყის გადაკვეთის სეგმენტების აგება პრიზმის სახეებთან. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ არის აგებული ასეთი მონაკვეთი, თუ რომელიმე წერტილი ცნობილია მაგრამმონაკვეთის კუთვნილი პრიზმის ზედაპირზე (სურ. 9). თუ ეს წერტილი მაგრამმიეკუთვნება პრიზმის სხვა ფუძეს, მაშინ მისი გადაკვეთა ჭრის სიბრტყესთან არის სეგმენტი მზე,გაღვიძების პარალელურად გდა შეიცავს მოცემულ პუნქტს მაგრამ(სურ. 9, ა). თუ ეს წერტილი მაგრამეკუთვნის გვერდით სახეს, შემდეგ აგებულია ამ სახის კვეთა ჭრის სიბრტყესთან, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 9, ბ.კერძოდ: ჯერ აშენდება წერტილი D,რომელშიც სახის სიბრტყე კვეთს მოცემულ კვალს გ.შემდეგ ხაზს უსვამენ წერტილებს მაგრამდა დ.ხაზის სეგმენტი მზესწორი ახ.წგანხილულ სახეზე არის ამ სახის გადაკვეთა ჭრის სიბრტყესთან. თუ წერტილის შემცველი სახე მაგრამ,კვალის პარალელურად გ, მაშინჭრის თვითმფრინავი კვეთს ამ სახეს სეგმენტის გასწვრივ მზე,წერტილის გავლით მაგრამდა g წრფის პარალელურად.

ხაზი მთავრდება მზეეკუთვნის მეზობელ სახეებს. ამიტომ, აღწერილი გზით, შესაძლებელია ამ სახეების გადაკვეთის აგება ჩვენს საჭრელ სიბრტყეზე. და ასე შემდეგ ნახაზი 10 გვიჩვენებს ოთხკუთხა პრიზმის მონაკვეთის აგებას სწორ ხაზზე გამავალი სიბრტყით აპრიზმის ქვედა ფუძის სიბრტყეში და წერტილი მაგრამერთ-ერთ გვერდით ნეკნებზე. 6. სწორი პრიზმა პრიზმას ეწოდება სწორი, თუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში პრიზმას ირიბი ეწოდება. სწორი პრიზმისთვის, გვერდითი სახეები მართკუთხედია. ფიგურაში სწორი პრიზმის გამოსახვისას გვერდითი ნეკნები ჩვეულებრივ ვერტიკალურადაა დახატული (სურ. 11). მართ პრიზმას ეწოდება რეგულარული, თუ მისი ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია. პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (უფრო ზუსტად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი) არის გვერდითი სახეების არეების ჯამი. პრიზმის მთლიანი ზედაპირი უდრის გვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამს. თეორემა 19.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს, ანუ გვერდითი კიდის სიგრძეს.მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედია. ამ მართკუთხედების ფუძეები არის პრიზმის ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდები, ხოლო სიმაღლეები ტოლია გვერდითი კიდეების სიგრძისა. აქედან გამომდინარეობს, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია

S=a 1 ლ+ა 1 ლ+...+ა ნ l=pl,

სადაც ა 1 ,..., ა ნ- ბაზის კიდეების სიგრძე, R -პრიზმის ფუძის პერიმეტრი, და 1 -გვერდითი ნეკნის სიგრძე. თეორემა დადასტურდა. 7. პარალელეპიპედი თუ პრიზმის ფუძე პარალელოგრამია, მაშინ მას პარალელეპიპედი ეწოდება. პარალელეპიპედის ყველა სახე პარალელოგრამია. 12 სურათზე a ნაჩვენებია დახრილი პარალელეპიპედი, ხოლო 12-ზე ბ - სწორი პარალელეპიპედი. პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, მოპირდაპირე სახეები ეწოდება. თეორემა 19.2. პარალელეპიპედს აქვს საპირისპირო სახეები, რომლებიც პარალელური და ტოლია. მტკიცებულება. განვიხილოთ პარალელეპიპედის ორი საპირისპირო სახე, მაგალითად A1A2A"2A"1 და A3A4A"4A"3. (სურ. 13). ვინაიდან პარალელეპიპედის ყველა სახე პარალელოგრამებია, A1A2 წრფე A4A3 წრფის პარალელურია, ხოლო A1A"1 წრფე A4A4 წრფის პარალელურია. აქედან გამომდინარეობს, რომ განხილული სახეების სიბრტყეები პარალელურია. იქიდან, რომ პარალელეპიპედის სახეები პარალელოგრამებია, გამოდის, რომ სეგმენტები A1A4, A1 "A4", A "2A" 3 და A2A3 პარალელურია და ტოლია. აქედან დავასკვნით, რომ სახე A1A2A"2A"1 გაერთიანებულია პარალელური გადაყვანით A1A4 კიდეზე. სახე A3A4A "4A" 3. ასე რომ, ეს კიდეები თანაბარია. პარალელეპიპედის სხვა საპირისპირო სახეების პარალელურობა და თანასწორობა ანალოგიურად არის დადასტურებული. თეორემა დადასტურდა.
8. პარალელეპიპედის ცენტრალური სიმეტრია თეორემა 19.3. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე. მტკიცებულება. განვიხილოთ პარალელეპიპედის ორი დიაგონალი, მაგალითად, A 1 A "3 და A 4 A" 2 (ნახ. 14). ვინაიდან ოთხკუთხედები A 1 A 2 A 3 A 4 და A 2 A "2 A" 3 A 3 არის პარალელოგრამები საერთო გვერდით A 2 A 3, მაშინ მათი გვერდები A 1 A 4 და A "2 A" 3 პარალელურია ერთმანეთი, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ. ეს სიბრტყე კვეთს პარალელეპიპედის მოპირდაპირე სახეების სიბრტყეებს A 1 A" 2 და A 4 A" 3 პარალელური ხაზების გასწვრივ. მაშასადამე, ოთხკუთხედი A 4 A 1 A "2 A" 3 არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედის A 1 A "3 და A 4 A" 2 დიაგონალები ამ პარალელოგრამის დიაგონალებია. მაშასადამე, ისინი იკვეთებიან და გადაკვეთის წერტილი O იყოფა შუაზე. ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომ დიაგონალები A1A"3 და A2A"4, ისევე როგორც დიაგონალები A1A"3 და A3A"1 იკვეთება და იკვეთება გადაკვეთის წერტილით. აქედან დავასკვნათ, რომ პარალელეპიპედის ოთხივე დიაგონალი იკვეთება ერთ წერტილში და გადაკვეთის წერტილი იყოფა ნახევრად. თეორემა დადასტურდა. თეორემა 19.3 გულისხმობს იმას პარალელეპიპედის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი არის მისი სიმეტრიის ცენტრი. 9. მართკუთხა ყუთი მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომლის ფუძე მართკუთხედია, მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდება. კუბოიდის ყველა სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, კუბი ეწოდება. მართკუთხა პარალელეპიპედის არაპარალელური კიდეების სიგრძეებს მის წრფივ განზომილებებს (გაზომვებს) უწოდებენ. კუბოიდს აქვს სამი განზომილება. თეორემა 19.4. კუბოიდში ნებისმიერი დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს.მტკიცებულება. განვიხილოთ მართკუთხა პარალელეპიპედი ABCDA"B"C"D" (სურ. 15). AC "C მართკუთხა სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ვიღებთ:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2.

ASV მართკუთხა სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემით, ვიღებთ

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

აქედან გამომდინარე, AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

კიდეები AB, BC და CC" არ არის პარალელური და, შესაბამისად, მათი სიგრძე არის პარალელეპიპედის წრფივი ზომები. თეორემა დადასტურებულია. 10. მართკუთხა პარალელეპიპედის სიმეტრია მართკუთხა პარალელეპიპედს, ისევე როგორც ნებისმიერ პარალელეპიპედს, აქვს სიმეტრიის ცენტრი - მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. მას ასევე აქვს სიმეტრიის სამი სიბრტყე, რომელიც გადის სიმეტრიის ცენტრში სახეების პარალელურად. სურათი 16 გვიჩვენებს ერთ-ერთ ამ თვითმფრინავს. ის გადის პარალელეპიპედის ოთხი პარალელური კიდეების შუა წერტილებში. კიდეების ბოლოები სიმეტრიული წერტილებია. თუ პარალელეპიპედს აქვს ყველა წრფივი განზომილება განსხვავებული, მაშინ მას არ აქვს სხვა სიმეტრიის სიბრტყეები გარდა დასახელებულისა. თუ პარალელეპიპედს აქვს ორი ტოლი წრფივი განზომილება, მაშინ მას აქვს სიმეტრიის კიდევ ორი ​​სიბრტყე. ეს არის დიაგონალური მონაკვეთების სიბრტყეები, რომლებიც ნაჩვენებია სურათ 17-ზე. თუ პარალელეპიპედს აქვს ყველა წრფივი განზომილება ტოლი, ანუ ის არის კუბი, მაშინ ნებისმიერი დიაგონალური მონაკვეთის მისი სიბრტყე არის სიმეტრიის სიბრტყე. ამრიგად, კუბს აქვს სიმეტრიის ცხრა სიბრტყე. 11. პირამიდა პირამიდაპოლიედრონს უწოდებენ, რომელიც შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან - პირამიდის ბაზები,წერტილი, რომელიც არ დევს ბაზის სიბრტყეში, - პირამიდის მწვერვალებიდა ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პირამიდის ზედა წერტილს ფუძის წერტილებთან (სურ. 18). პირამიდის ზედა ნაწილის ფუძის მწვერვალებთან დამაკავშირებელ სეგმენტებს ე.წ გვერდითი ნეკნები.პირამიდის ზედაპირი შედგება ფუძისა და გვერდითი სახეებისგან. თითოეული გვერდითი სახე არის სამკუთხედი. მისი ერთ-ერთი წვერო არის პირამიდის მწვერვალი, ხოლო მოპირდაპირე მხარე არის პირამიდის ფუძის მხარე. პირამიდის სიმაღლე,პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე ჩამოშვებულ პერპენდიკულარს უწოდებენ. პირამიდას ეწოდება n-გონალი, თუ მისი ფუძე არის n-გონი. სამკუთხა პირამიდასაც ეძახიან ტეტრაედონი.მე-18 სურათზე გამოსახულ პირამიდას აქვს ფუძე - მრავალკუთხედი A 1 A 2 ... A n, პირამიდის ზედა - S, გვერდითი კიდეები - SA 1, S A 2, ..., S A n, გვერდითი სახეები -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3, ... . შემდეგში განვიხილავთ მხოლოდ პირამიდებს ფუძეზე ამოზნექილი მრავალკუთხედით. ასეთი პირამიდები არის ამოზნექილი პოლიედრები. 12. პირამიდის და მისი სიბრტყეების კონსტრუქცია პარალელური პროექციის წესების შესაბამისად, პირამიდის გამოსახულება აგებულია შემდეგნაირად. ჯერ საძირკველი შენდება. ეს იქნება რაღაც ბრტყელი მრავალკუთხედი. შემდეგ აღინიშნება პირამიდის მწვერვალი, რომელიც დაკავშირებულია გვერდითი ნეკნებით ფუძის მწვერვალებთან. სურათი 18 გვიჩვენებს ხუთკუთხა პირამიდის გამოსახულებას. პირამიდის მონაკვეთები მის თავზე გამავალი სიბრტყეებით არის სამკუთხედები (სურ. 19). კერძოდ, დიაგონალური მონაკვეთები არის სამკუთხედები. ეს არის სიბრტყეების მონაკვეთები, რომლებიც გადიან პირამიდის ორ არამიმდებარე გვერდით კიდეებს (სურ. 20). პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით მოცემული კვალი g ფუძის სიბრტყეზე აგებულია ისევე, როგორც პრიზმის მონაკვეთი. პირამიდის მონაკვეთის სიბრტყით ასაგებად საკმარისია მისი გვერდითი სახეების კვეთის კვეთის სიბრტყეზე აწყობა. თუ სახეზე, რომელიც არ არის პარალელურად g კვალზე, ცნობილია A წერტილი, რომელიც ეკუთვნის მონაკვეთს, მაშინ პირველად აგებულია საჭრელი სიბრტყის g კვალის გადაკვეთა ამ სახის სიბრტყესთან - წერტილი D სურათზე 21. წერტილი. A წერტილს D უკავშირდება სწორი ხაზით. მაშინ ამ ხაზის სეგმენტი, რომელიც მიეკუთვნება სახეს, არის ამ სახის კვეთა ჭრის სიბრტყესთან. თუ წერტილი A დევს g კვალის პარალელურ სახეზე, მაშინ სეკანტური სიბრტყე კვეთს ამ სახეს g წრფის პარალელურად სეგმენტის გასწვრივ. მიმდებარე გვერდითი პირისკენ მიდის, აშენებენ მის კვეთას საჭრელ სიბრტყესთან და ა.შ. შედეგად მიიღება პირამიდის საჭირო მონაკვეთი.
ნახაზი 22 გვიჩვენებს ოთხკუთხა პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ფუძის მხარეს და A წერტილი მის ერთ-ერთ გვერდითა კიდეზე.

13. დამსხვრეული პირამიდა თეორემა 19.5. სიბრტყე, რომელიც კვეთს პირამიდას და მისი ფუძის პარალელურად კვეთს მსგავს პირამიდას. მტკიცებულება. ვთქვათ S იყოს პირამიდის წვერო, A ფუძის წვერო და A "- კვეთის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი SA გვერდით კიდესთან (ნახ. 23). პირამიდას ვაქვემდებარებთ ჰომოთეტურ ტრანსფორმაციას. წვერო S ჰომოთეტურობის კოეფიციენტით

ამ ჰომოთეტიკით ფუძის სიბრტყე გადადის პარალელურ სიბრტყეში, რომელიც გადის A წერტილში, ანუ სეკანტურ სიბრტყეში და, შესაბამისად, მთელი პირამიდა ამ სიბრტყით მოწყვეტილ ნაწილში. ვინაიდან ჰომოთეტურობა მსგავსებაა. ტრანსფორმაცია, პირამიდის ამოჭრილი ნაწილი არის პირამიდა, ამის მსგავსი, თეორემა დადასტურებულია.

თეორემა 19.5-ით, სიბრტყე, რომელიც პარალელურია პირამიდის ფუძის სიბრტყესთან და კვეთს მის გვერდით კიდეებს, წყვეტს მისგან მსგავს პირამიდას. მეორე ნაწილი არის მრავალწახნაგოვანი, რომელსაც ეძახიან წაკვეთილ პირამიდას (სურ. 24). პარალელურ სიბრტყეში გაშლილ ჩამოჭრილი პირამიდის სახეებს ფუძეები ეწოდება; დანარჩენ სახეებს ეძახიან გვერდითი კიდეები.დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები მსგავსი (უფრო მეტიც, ჰომოთეტური) მრავალკუთხედებია, გვერდითი სახეები ტრაპეცია. 14. სწორი პირამიდა პირამიდას უწოდებენ რეგულარულს, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და სიმაღლის ფუძე ემთხვევა ამ მრავალკუთხედის ცენტრს. რეგულარული პირამიდის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მის სიმაღლეს. ცხადია, რეგულარული პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია; მაშასადამე, გვერდითი სახეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები. რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლეს, რომელიც გამოყვანილია მისი ზემოდან, ეწოდება აპოთემა. პირამიდის გვერდითი ზედაპირი არის მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი. თეორემა 19.6. რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძისა და აპოთემის ნახევარპერიმეტრის ნამრავლს.მტკიცებულება. თუ ბაზის მხარე ა,მხარეების რაოდენობა P,მაშინ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი უდრის:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2"

სად ᲛᲔ-აპოთემა, ა p-პირამიდის ფუძის პერიმეტრი. თეორემა დადასტურდა. მოკვეთილ პირამიდას, რომელიც მიიღება ჩვეულებრივი პირამიდიდან, ასევე ე.წ სწორი.რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი სახეები თანაბარი ტოლფერდა ტრაპეციაა; მათ სიმაღლეებს უწოდებენ აპთემები. 15. რეგულარული პოლიედრები ამოზნექილ პოლიედრონს რეგულარულს უწოდებენ, თუ მისი სახეები არის რეგულარული მრავალკუთხედები, გვერდების ერთნაირი რაოდენობით და ერთი და იგივე რაოდენობის კიდეები ემთხვევა პოლიედრონის თითოეულ წვეროს.) არსებობს რეგულარული ამოზნექილი პოლიედრების ხუთი ტიპი (სურ. 25): რეგულარული ოთხკუთხედი (1), კუბი (2), რვააედონი (3), დოდეკაედონი (4); იკოსაედონი (5).ჩვეულებრივ ტეტრაედრონს აქვს სახეები, რომლებიც არის რეგულარული სამკუთხედები; სამი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე. ტეტრაედონი არის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა კიდე ტოლია. კუბში ყველა სახე კვადრატია; სამი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე. კუბი არის მართკუთხა პარალელეპიპედი თანაბარი კიდეებით. ოქტაედრის სახეები რეგულარული სამკუთხედებია, მაგრამ ტეტრაედრონისგან განსხვავებით, მის თითოეულ წვეროზე ოთხი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა. დოდეკედრის სახეები ჩვეულებრივი ხუთკუთხედია. სამი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე. იკოსაედრონის სახეები რეგულარული სამკუთხედებია, მაგრამ ტეტრაედრისა და რვაედრონისგან განსხვავებით, ხუთი კიდე ერთმანეთს ემთხვევა თითოეულ წვეროზე.

III. პრაქტიკული ნაწილი.

დავალება 1. A და B წერტილებიდან, რომლებიც დევს დიედრული კუთხის სახეებზე, AA\ და BB\ პერპენდიკულარები ჩამოშვებულია კუთხის კიდეზე. იპოვეთ AB სეგმენტის სიგრძე, თუ AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c და დიედრული კუთხე არის a (ნახ. 26). გადაწყვეტილება.დახაზეთ ხაზები A 1 C||BB 1 და BC||A 1 B 1 . ოთხკუთხედი A 1 B 1 BC არის პარალელოგრამი, რაც ნიშნავს AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b. A 1 B 1 წრფე პერპენდიკულარულია AA 1 C სამკუთხედის სიბრტყის მიმართ, რადგან ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში AA 1 და CA 1 ორი წრფის მიმართ. მაშასადამე, მის პარალელურად BC წრფე ასევე ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია. ეს ნიშნავს, რომ სამკუთხედი ABC მართკუთხაა მართი კუთხით C. კოსინუსების თეორემის მიხედვით, AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . პითაგორას თეორემის მიხედვით, AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. დავალება 2.სამკუთხედს (abc) აქვს ორკუთხედი კიდეზე სწორი ხაზით, ორწახნაგოვანი კუთხე b კიდეზე უდრის  და ბრტყელი კუთხე (bс) უდრის  (, ).</2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). გადაწყვეტილება.ნებაყოფლობით A წერტილიდან ჩამოვაგდოთ a კიდე, AB პერპენდიკულარული b კიდეს და AC პერპენდიკულარული c კიდეზე (სურ. 27). სამი პერპენდიკულარის თეორემის მიხედვით, CB არის პერპენდიკულარი b კიდეზე. მართკუთხა სამკუთხედებიდან OAB, OSV, AOC და ABC ვიღებთ: BC/sin )=tg  sin  დავალება 3. დახრილ პრიზმაში შედგენილია მონაკვეთი, რომელიც პერპენდიკულარულია გვერდითი ნეკნების მიმართ და კვეთს ყველა გვერდით ნეკნს. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, თუ მონაკვეთის პერიმეტრი არის p, ხოლო გვერდითი კიდეები არის l. გადაწყვეტილება.დახატული მონაკვეთის სიბრტყე ყოფს პრიზმას ორ ნაწილად (სურ. 28). მოდით, ერთ-ერთ მათგანს დავუმორჩილოთ პარალელურ თარგმანს, რომელიც აერთიანებს პრიზმის საფუძვლებს. ამ შემთხვევაში ვიღებთ სწორ პრიზმას, რომელშიც საწყისი პრიზმის მონაკვეთი ემსახურება საფუძველს, ხოლო გვერდითი კიდეები ლ-ის ტოლია. ამ პრიზმას აქვს იგივე გვერდითი ზედაპირი, როგორც ორიგინალი. ამრიგად, თავდაპირველი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია pl. დავალება 4.პირამიდის გვერდითი კიდე დაყოფილია ოთხ თანაბარ ნაწილად და ფუძის პარალელურად სიბრტყეები გაყვანილია გაყოფის წერტილებში. ბაზის ფართობია 400 სმ2. იპოვეთ მონაკვეთების ფართობი. გადაწყვეტილება.სექციები ჰგავს პირამიდის ფუძეს, მსგავსების კოეფიციენტებით ¼, 2/4 და ¾. მსგავსი ფიგურების არეები დაკავშირებულია როგორც წრფივი განზომილებების კვადრატები. ამრიგად, განივი ფართობების შეფარდება პირამიდის ფუძის ფართობთან არის (¼) 2, (2/4) 2 და (¾) 2. მაშასადამე, განივი ფართობებია 400 (¼) 2 \u003d 25 (სმ 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (სმ 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (სმ 2). დავალება 5.დაამტკიცეთ, რომ რეგულარული მოკვეთილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი ტოლია ფუძეებისა და აპოთემის პერიმეტრების ჯამის ნახევრის ნამრავლის. გადაწყვეტილება.დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი სახეები არის ტრაპეციები იგივე ზედა ფუძით a, ქვედა b და სიმაღლით (აპოთემა) l. ამრიგად, ერთი სახის ფართობი უდრის ½ (a + b)l. ყველა სახის ფართობი, ანუ გვერდითი ზედაპირი, უდრის ½ (an + bn)l, სადაც n არის წვეროების რაოდენობა პირამიდის ფუძესთან, an და bn არის ფუძეების პერიმეტრი. პირამიდა.

IV. დასკვნა

ამ ნამუშევრის წყალობით მე-11 კლასში სწავლის მსვლელობისას მიღებული ცოდნა შევაჯამე და სისტემატიზაცია მოვახდინე, გავეცანი შემოქმედებითი სამუშაოს შესრულების წესებს, მივიღე ახალი ცოდნა და განვახორციელე პრაქტიკაში. მინდა გამოვყო ჩემი 3 საყვარელი წიგნი: A.V. პოგორელოვი "გეომეტრია", გ.იაკუშევა "მათემატიკა - სკოლის მოსწავლის ცნობარი", ლ.ფ. პიჩურინი "გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა". ეს წიგნები სხვებზე მეტად დამეხმარა. მინდა, ახლად შეძენილი ცოდნა პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოვიყენო.

V. ლიტერატურა

1. ა.ვ. პოგორელოვის გეომეტრია. - მ .: განათლება, 1992 წ. 2. გ. იაკუშევა "მათემატიკა - სკოლის მოსწავლის სახელმძღვანელო". M.: Slovo, 1995 3. ლ.დ. კუდრიავცევი "მათემატიკური ანალიზის კურსი" ვ.1, მოსკოვი 1981 წ. 4. ლ.ფ. პიჩურინი "გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა". - მ .: განათლება, 1990 5. ი.ნ. ბაშმაკოვი "გეომეტრია".