20. მრავალსაფეხურიანი კუთხეების, სამკუთხედის ბრტყელი კუთხისა და მრავალწახნაგოვანი კუთხის თვისებების შესწავლა.

ძირითადი დონე:

ათანასიანი

განიხილავს მხოლოდ დიედრალურ კუთხეს.

პოგორელოვი

ჯერ განიხილავს ორკუთხედს და შემდეგ დაუყოვნებლივ სამკუთხედს და მრავალწახნაგს.

განვიხილოთ სამი სხივი a, b, c, რომელიც მოდის ერთი წერტილიდან და დევს იმავე სიბრტყეში. სამკუთხედი (abc) არის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი ბრტყელი კუთხით (ab), (bc) და (ac) (სურ. 400). ამ კუთხეებს ეწოდება სამკუთხედის კუთხის სახეები, ხოლო მათ გვერდებს კიდეები. ბრტყელი კუთხეების საერთო წვეროს ეწოდება სამკუთხედის წვერო. სამკუთხედის კუთხის პირებით წარმოქმნილ ორკუთხედ კუთხეებს სამკუთხედის ორკუთხედს უწოდებენ.

ანალოგიურად არის შემოტანილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია (სურ. 401).

სურ.400 და სურ.401

პ პროფილის დონე(A.D. Aleksndrov, A.L. Verner, V.I. Ryzhikh):

თვითნებური მრავალწახნაგოვანი კუთხეების განმარტება და შესწავლა § 31-ს რომ დავუტოვოთ, ახლა განვიხილავთ მათგან უმარტივესს - სამკუთხედს. თუ სტერეომეტრიაში დიედრული კუთხეები შეიძლება ჩაითვალოს სიბრტყის კუთხეების ანალოგებად, მაშინ სამკუთხედი შეიძლება მივიჩნიოთ სიბრტყის სამკუთხედების ანალოგებად და შემდეგ აბზაცებში ვნახავთ, თუ როგორ არის ისინი ბუნებრივად დაკავშირებული სფერულ სამკუთხედებთან.

თქვენ შეგიძლიათ ააწყოთ (და შესაბამისად კონსტრუქციულად განსაზღვროთ) სამკუთხა კუთხე შემდეგნაირად. ავიღოთ ნებისმიერი სამი სხივი a, b, c, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი O და არ დევს ერთ სიბრტყეში (სურ. 150). ეს სხივები არის სამი ამოზნექილი სიბრტყე კუთხის გვერდი: კუთხე α გვერდებით b, c, კუთხე β გვერდებით a, c და კუთხე γ გვერდებით a, b. ამ სამი კუთხის α, β, γ გაერთიანებას ეწოდება სამკუთხედი Oabc (ან მოკლედ სამკუთხედი O). სხივებს a, b, c ეწოდება სამკუთხედის Oabc კუთხის კიდეებს, ხოლო α, β, γ სიბრტყეებს - მის სახეებს. O წერტილს სამკუთხედის წვერო ეწოდება.

შენიშვნა 3. არაამოზნექილი პირით სამკუთხედის განსაზღვრა შესაძლებელი იქნებოდა (სურ. 151), მაგრამ ასეთ სამკუთხედებს არ განვიხილავთ.

სამკუთხედის კუთხის თითოეული კიდესთვის განისაზღვრება შესაბამისი ორკუთხედი კუთხე, რომლის კიდე შეიცავს სამკუთხედის შესაბამის კიდეს და რომლის სახეები შეიცავს ამ კიდეს მიმდებარე სამკუთხედის კუთხის სახეებს.

სამკუთხედის Oabc კუთხის ორწახნაგოვანი კუთხეების მნიშვნელობები a, b, c კიდეებზე, შესაბამისად, აღინიშნება a^, b^, c^ (ასოების ზემოთ ქუდები).

სამი გვერდი α, β, γ სამკუთხედის Oabc კუთხიდან და მისი სამი ორმხრივი კუთხე a, b, c კიდეებზე, ასევე მნიშვნელობები α, β, γ და a^, b^, c^ იქნება. ეწოდება სამკუთხედის კუთხის ელემენტებს. (გახსოვდეთ, რომ ბრტყელი სამკუთხედის ელემენტებია მისი გვერდები და კუთხეები.)

ჩვენი ამოცანაა გამოვხატოთ სამკუთხედის ზოგიერთი ელემენტი მისი სხვა ელემენტების მიხედვით, ანუ ავაშენოთ სამკუთხედის "ტრიგონომეტრია".

1) დავიწყოთ კოსინუსების თეორემის ანალოგის გამოყვანით. პირველ რიგში, განვიხილოთ ასეთი სამკუთხა კუთხე Oabc, რომელსაც აქვს მინიმუმ ორი სახე, მაგალითად, α და β არის მახვილი კუთხეები. აიღეთ C წერტილი მის c კიდეზე და მისგან α და β სახეებში დახაზეთ CB და CA პერპენდიკულარები c კიდემდე, სანამ არ გადაიკვეთება a და b კიდეებთან A და B წერტილებში (სურ. 152). ჩვენ გამოვხატავთ AB მანძილს სამკუთხედებიდან OAB და CAB კოსინუსების თეორემის გამოყენებით.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) და AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

თუ გამოვაკლებთ პირველ ტოლობას მეორე ტოლობას, მივიღებთ:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). იმიტომ რომ სამკუთხედები OSV და OSA მართკუთხაა, შემდეგ AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 და OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

ამიტომ, (1) და (2)-დან გამომდინარეობს, რომ OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

იმათ.

მაგრამ
,
,
,
. Ისე

(3) არის კოსინუსების თეორემის ანალოგი სამკუთხედის კუთხეებისთვის კოსინუსის ფორმულა.

ორივე სახე α და β ბლაგვი კუთხეებია.

α და β კუთხეებიდან ერთი, მაგალითად α, მახვილია, მეორე კი β-ბლაგვია.

α ან β კუთხიდან მინიმუმ 1 არის მართალი.

სამკუთხედის ტოლობის ნიშნებისამკუთხედების თანასწორობის ნიშნების მსგავსი. მაგრამ არის განსხვავება: მაგალითად, ორი სამკუთხედი ტოლია, თუ მათი ორთავიანი კუთხეები შესაბამისად ტოლია. შეგახსენებთ, რომ ორი სიბრტყე სამკუთხედი, რომელთა შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მსგავსია. სამკუთხედის კუთხეებისთვის კი მსგავს მდგომარეობას მივყავართ არა მსგავსებამდე, არამედ თანასწორობამდე.

სამკუთხა კუთხეებს აქვთ შესანიშნავი ქონებარომელსაც ორმაგობა ჰქვია. თუ სამკუთხედის Oabc კუთხის რომელიმე თეორემაში a, b, c სიდიდეებს შევცვლით π-α, π-β, π-γ და პირიქით, α, β, γ შევცვალოთ π-a^, π-b^. , π -c^, შემდეგ ისევ მივიღებთ სწორ დებულებას სამკუთხედის კუთხეების შესახებ, რომელიც ორმაგია თავდაპირველ თეორემასთან. მართალია, თუ ასეთი ჩანაცვლება ხდება სინუსების თეორემაში, მაშინ ისევ მივდივართ სინუს თეორემამდე (ის ორმაგია თავისთვის). მაგრამ თუ ამას გავაკეთებთ კოსინუსების თეორემაში (3), მაშინ მივიღებთ ახალ ფორმულას

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

რატომ ხდება ასეთი გაორება, გასაგები გახდება, თუ სამკუთხედის კუთხისთვის ავაშენებთ მის ორმაგ სამკუთხედს, რომლის კიდეები პერპენდიკულარულია თავდაპირველი კუთხის სახეებზე (იხ. სეკ. 33.3 და სურ. 356).

ზოგიერთი ყველაზე მარტივი ზედაპირია მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. ისინი შედგება ჩვეულებრივი კუთხებისაგან (ამ კუთხეებს ახლა ხშირად ვუწოდებთ ბრტყელ კუთხეებს), ისევე როგორც დახურული გატეხილი ხაზი შედგება სეგმენტებისგან. კერძოდ, მოცემულია შემდეგი განმარტება:

მრავალწახნაგოვანი კუთხე არისფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია ბრტყელი კუთხით, რათა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები:

1) არცერთ კუთხეს არ აქვს საერთო წერტილები, გარდა მათი საერთო წვერის ან მთელი მხარისა.

2) თითოეულ ამ კუთხეს აქვს თითოეული გვერდი საერთო ერთ და მხოლოდ ერთ სხვა ასეთ კუთხესთან.

3) ყოველი კუთხიდან თითოეულში შეგიძლიათ წახვიდეთ კუთხეების გასწვრივ, რომლებსაც აქვთ საერთო მხარეები.

4) ერთი და იმავე სიბრტყეში ორი საერთო გვერდის მქონე კუთხე არ არის (სურ. 324).

ამ პირობით, სიბრტყე კუთხეებს, რომლებიც ქმნიან მრავალწახნაგა კუთხეს, უწოდებენ მის სახეებს, ხოლო მათ გვერდებს კიდეებს.

დიედრული კუთხე ასევე შეესაბამება ამ განმარტებას. იგი შედგება ორი განვითარებული ბრტყელი კუთხით. მის კიდეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილი შეიძლება ჩაითვალოს მის წვეროზე და ეს წერტილი ყოფს კიდეს ორ კიდედ, რომლებიც თავსდება წვეროზე. მაგრამ წვეროს პოზიციაში ამ გაურკვევლობის გათვალისწინებით, ორწახნაგოვანი კუთხე გამორიცხულია მრავალწახნაგოვანი კუთხეების რიცხვიდან.

პ

მრავალწახნაგოვანი კუთხის ცნება მნიშვნელოვანია, კერძოდ, პოლიედრების შესწავლისას - პოლიედრების თეორიაში. მრავალკუთხედის სტრუქტურა ხასიათდება იმით, თუ რა სახისგან არის დამზადებული იგი და როგორ ემთხვევა ისინი წვეროებს, ანუ რა მრავალწახნაგოვანი კუთხეებია.

განვიხილოთ სხვადასხვა პოლიედრების მრავალწახნაგოვანი კუთხეები.

გაითვალისწინეთ, რომ მრავალწახნაგოვანი კუთხეების სახეები ასევე შეიძლება იყოს არა ამოზნექილი კუთხეები.

№1 თარიღი 05.09.14

საგანი გეომეტრია

Კლასი 11

გაკვეთილის თემა: მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია. სამკუთხა კუთხე.

გაკვეთილის მიზნები:

გააცანით ცნებები: „სამკუთხედი კუთხეები“, „მრავალედრული კუთხეები“, „მრავალედრები“;

გააცნოს მოსწავლეებს სამკუთხედის და მრავალწახნაგოვანი კუთხეების ელემენტები, მრავალწახნაგები, აგრეთვე ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის განმარტებები და მრავალწახნაგოვანი კუთხის ბრტყელი კუთხეების თვისებები;

გააგრძელონ მუშაობა სივრცითი წარმოდგენებისა და სივრცითი წარმოსახვის განვითარებაზე, ასევე მოსწავლეთა ლოგიკურ აზროვნებაზე.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის შესწავლა

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.

მოსწავლეების მისალმება, გაკვეთილისთვის კლასის მზადყოფნის შემოწმება, მოსწავლეთა ყურადღების ორგანიზება, გაკვეთილის ზოგადი მიზნების და მისი გეგმის გამჟღავნება.

2. ახალი ცნებებისა და მოქმედების მეთოდების ჩამოყალიბება.

ამოცანები: უზრუნველყოს მოსწავლეთა მიერ შესწავლილი მასალის აღქმა, გააზრება და დამახსოვრება. სტუდენტების მიერ შესწავლილი მასალის რეპროდუცირების მეთოდოლოგიის ათვისების უზრუნველყოფა, ასიმილირებული ცნებების, კანონების, წესების, ფორმულების ფილოსოფიური გაგების ხელშეწყობა. მოსწავლეთა მიერ შესწავლილი მასალის სისწორის და ცნობადობის დადგენა, პირველადი გაგების ხარვეზების გამოვლენა, შესწორების განხორციელება. იმის უზრუნველსაყოფად, რომ მოსწავლეებმა დააკავშირონ თავიანთი სუბიექტური გამოცდილება სამეცნიერო ცოდნის ნიშნებთან.

მიეცით სამი სხივია, ბ დას ს საერთო საწყისი წერტილიო (ნახ. 1.1). ეს სამი სხივი სულაც არ დევს ერთ სიბრტყეში. სურათზე 1.2, სხივებიბ დათან თვითმფრინავში დაწოლაR, სხივია არ წევს ამ თვითმფრინავში.

სხივებია, ბ დათან წყვილი განსაზღვრავს სამ ბრტყელ კუთხეს, რომლებიც გამოირჩევიან რკალებით (ნახ. 1.3).

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც შედგება ზემოთ მითითებული სამი კუთხისგან და სივრცის ნაწილისგან, რომელიც შემოიფარგლება ამ ბრტყელი კუთხით. ეს სივრცითი ფიგურა ე.წსამკუთხა კუთხე (ნახ. 2).

სხივებია, ბ და თან დაურეკასამკუთხა კუთხის კიდეები, და კუთხეები: = AOC, = AOB,

= BOC , სამკუთხა კუთხის შეზღუდვა, - მისისახეები. ეს კუთხეები ყალიბდებასამკუთხა ზედაპირი. Წერტილიო დაურეკასამკუთხა კუთხის წვერო. სამკუთხედი შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად: OABC

ნახატ 3-ში ნაჩვენები ყველა მრავალწახნაგოვანი კუთხის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თითოეულ მრავალკუთხედს აქვს იგივე რაოდენობის კიდეები და სახეები:

4 სახე და ერთი წვერო;

ხუთმხრივ კუთხეს აქვს 5 კიდე, 5 სახე და ერთი წვერო;

• 
  ექვსკუთხა კუთხეს აქვს 6 კიდე, 6 სახე და ერთი წვერო და ა.შ.

მრავალწახნაგოვანი კუთხეებია ამოზნექილი და არაამოზნექილი.

წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ ავიღეთ ოთხი სხივი საერთო წარმოშობით, როგორც სურათზე 4. ამ შემთხვევაში მივიღეთარაამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხე.

განმარტება 1. მრავალწახნაგა კუთხეს ეწოდება ამოზნექილი კუთხე,თუ ისდევს მისი თითოეული სახის სიბრტყის ერთ მხარეს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხე ყოველთვის შეიძლება განთავსდეს მის რომელიმე სახეზე რომელიმე სიბრტყეზე. თქვენ ხედავთ, რომ მე-4 სურათზე ნაჩვენები შემთხვევაში ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. 4-ზე ნაჩვენები ოთხკუთხედის კუთხე არის არაამოზნექილი.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენს სახელმძღვანელოში, თუ ვამბობთ "მრავალედრალურ კუთხეს", ვგულისხმობთ, რომ ის ამოზნექილია. თუ განხილული მრავალწახნაგოვანი კუთხე არაამოზნექილია, ეს ცალკე იქნება განხილული.

მრავალწახნაგოვანი კუთხის სიბრტყე კუთხეების თვისებები

თეორემა 1.სამკუთხედის თითოეული ბრტყელი კუთხე ნაკლებია დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე.

თეორემა 2.ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი კუთხის ყველა სიბრტყის კუთხის მნიშვნელობების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია.

3. განაცხადი. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება.

მიზნები: უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა გამოიყენონ ის ცოდნა და მოქმედების მეთოდები, რაც მათ სჭირდებათ SW-სთვის, შექმნან პირობები სტუდენტებისთვის, რათა გამოავლინონ ნასწავლის გამოყენების ინდივიდუალური გზები.

6. სასცენო ინფორმაცია საშინაო დავალების შესახებ.

მიზნები: უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა გაიგონ საშინაო დავალების შესრულების მიზანი, შინაარსი და მეთოდები.

§1 (1.1, 1.2) გვ. 4, No. 9.

7. გაკვეთილის შეჯამება.

მიზანი: კლასის და ცალკეული მოსწავლეების მუშაობის ხარისხობრივი შეფასება.

8. რეფლექსიის ეტაპი.

ამოცანები: წამოიწყონ მოსწავლეთა რეფლექსია მათი საქმიანობის თვითშეფასებაზე. უზრუნველყოს, რომ მოსწავლეებმა ისწავლონ თვითრეგულირებისა და თანამშრომლობის პრინციპები.

საუბარი თემაზე:

რა მოგეჩვენათ საინტერესო გაკვეთილზე?

რა გაუგებარია?

რას უნდა მიაქციოს მასწავლებელმა ყურადღება მომდევნო გაკვეთილზე?

როგორ შეაფასებდით თქვენს სამუშაოს კლასში?

სამკუთხა კუთხე

სამკუთხა კუთხე.

სამკუთხა კუთხე- ეს არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი ბრტყელი კუთხით საერთო წვერით და წყვილ-წყვილად საერთო გვერდებით, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში. ამ კუთხეების საერთო O წვეროს ეწოდება სამკუთხედის წვერო. კუთხეების გვერდებს კიდეები ეწოდება, ბრტყელ კუთხეებს სამკუთხა კუთხის წვეროზე ეწოდება მისი სახეები. სამკუთხა კუთხის სამი წყვილი სახიდან თითოეული ქმნის დიედრალურ კუთხეს (შეზღუდულია მესამე პირით, რომელიც არ შედის წყვილში; საჭიროების შემთხვევაში, ეს შეზღუდვა ბუნებრივად მოიხსნება, რის შედეგადაც წარმოიქმნება აუცილებელი ნახევრად სიბრტყეები, რომლებიც ქმნიან მთელ დიედრალს. კუთხე შეზღუდვის გარეშე). თუ სფეროს ცენტრში მოათავსებთ სამკუთხედის წვეროს, მის ზედაპირზე წარმოიქმნება მისგან შემოსაზღვრული სფერული სამკუთხედი, რომლის გვერდები ტოლია სამკუთხედის სიბრტყეზე, ხოლო კუთხეები ორკუთხედის კუთხეებთან. .

სამკუთხედის უტოლობა სამკუთხედის კუთხისთვის

სამკუთხა კუთხის თითოეული ბრტყელი კუთხე ნაკლებია მისი დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე.

სამკუთხედის სიბრტყე კუთხეების ჯამი

სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეების ჯამი 360 გრადუსზე ნაკლებია.

მტკიცებულება

მოდით, OABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი A წვერით, რომელიც წარმოიქმნება ABO, ACO და BAC კუთხით. დავწეროთ უტოლობა:

ანალოგიურად, B და C წვეროებით დარჩენილი სამკუთხედის კუთხეებისთვის:

ამ უტოლობების მიმატებით და იმის გათვალისწინებით, რომ ABC სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°, მივიღებთ

აქედან გამომდინარე:

კოსინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის

პირველი კოსინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის

მეორე კოსინუსის თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის
სადაც α, β, γ არის სიბრტყე კუთხეები, A, B, C არის ორმხრივი კუთხეები, რომლებიც შედგება β და γ, α და γ, α და β კუთხეების სიბრტყეებით.

მეორე კოსინუსების თეორემის დადასტურება სამკუთხედის კუთხისთვის

მოდით, OABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. მოდით ჩამოვწიოთ პერპენდიკულარები სამკუთხედის კუთხის შიდა წერტილიდან მის სახეებზე და მივიღოთ ახალი პოლარული სამკუთხედი (ორმაგი მოცემული). ერთი სამკუთხედის ბრტყელი კუთხეები ავსებს მეორის ორკუთხედს, ხოლო ერთი კუთხის ორწახნაგოვანი კუთხეები ავსებს მეორის ბრტყელს 180 გრადუსამდე. იმათ. პოლარული კუთხის სიბრტყის კუთხეები შესაბამისად უდრის: 180 - A; 180 - ბ; 180 - C, და dihedral - 180 - α; 180-β; 180-გ

დავწეროთ მისთვის პირველი კოსინუსების თეორემა

და გამარტივების შემდეგ ვიღებთ:

სინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის

სადაც α, β, γ არის სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეები; A, B, C - საპირისპირო დიჰედრული კუთხეები.

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "სამკუთხედი" სხვა ლექსიკონებში:

სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია უსასრულო სამკუთხა პირამიდით (იხ. ნახ.). ამ პირამიდის სახეებს უწოდებენ T. u.-ს სახეებს, მისი წვერო არის T. u-ის მწვერვალი. ნეკნები ქმნიან ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

სამკუთხა კუთხე- სივრცითი ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი სხივით, რომელიც გამოდის ერთი წერტილიდან და არ დევს იმავე სიბრტყეში. საინჟინრო თემები ზოგადად… ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

იხილეთ მყარი კუთხე. * * * სამთავიანი კუთხე სამკუთხედი, იხილეთ მყარი კუთხე (იხ. მყარი კუთხე)… ენციკლოპედიური ლექსიკონიენციკლოპედიური ლექსიკონი

სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია კონუსის გარკვეული გროვით. ზედაპირი (ნახ. 1); კერძოდ, სამკუთხედი (სურ. 2) და მრავალწახნაგოვანი (ნახ. 3) კუთხეები შესაბამისად შემოსაზღვრულია. სამი და მეტი ბრტყელი სახეები იყრის თავს T-ის ზევით. თ-ის ღირებულება. უდრის მიმართებას ...... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სამკუთხა- ოჰ ოჰ. 1) სამი სახის მქონე. სამკუთხა ფაილი. თ ს ბაიონეტები. 2) მათემატიკა. ჩამოყალიბებულია სამი სახის გადაკვეთით, რომელიც გადის ერთ წერტილში. სამკუთხა / nny კუთხე ... მრავალი გამოთქმის ლექსიკონი

მართკუთხა სფერული სამკუთხედი ჰიპოტენუზით c, ფეხებით a და b და მართი კუთხით C. სფერული პითაგორას თეორემა არის თეორემა, რომელიც ადგენს მიმართებას მართკუთხა გვერდებს შორის ... Wikipedia

საერთო წვერით და წყვილი საერთო გვერდებით, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში. ამ კუთხეების საერთო O წვეროს ეწოდება სამკუთხედის წვერო. კუთხეების გვერდებს კიდეები ეწოდება, ბრტყელ კუთხეებს სამკუთხა კუთხის წვეროზე ეწოდება მისი სახეები. სამკუთხა კუთხის სამი წყვილიდან თითოეული ქმნის დიედრალურ კუთხეს (შეზღუდულია მესამე გვერდით, რომელიც არ შედის წყვილში; საჭიროების შემთხვევაში, ეს შეზღუდვა ბუნებრივად მოიხსნება, რის შედეგადაც წარმოიქმნება აუცილებელი ნახევარსიბრტყეები, რომლებიც ქმნიან მთელ დიედრალს. კუთხე შეზღუდვის გარეშე). თუ სფეროს ცენტრში მოვათავსებთ სამკუთხედის წვეროს, მის ზედაპირზე წარმოიქმნება მისგან შემოსაზღვრული სფერული სამკუთხედი, რომლის გვერდები ტოლია სამკუთხედის სიბრტყეზე, ხოლო კუთხეები ორკუთხედის. .

სამკუთხედის უტოლობა სამკუთხედის კუთხისთვის

სამკუთხა კუთხის თითოეული ბრტყელი კუთხე ნაკლებია მისი დანარჩენი ორი ბრტყელი კუთხის ჯამზე.

სამკუთხედის სიბრტყე კუთხეების ჯამი

სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეების ჯამი 360 გრადუსზე ნაკლებია.

მტკიცებულება

მოდით, OABC იყოს მოცემული სამკუთხედის კუთხე (იხ. სურ. 1). განვიხილოთ სამკუთხედი A წვერით, რომელიც წარმოიქმნება ABO, ACO და BAC კუთხით. დავწეროთ უტოლობა:

ანალოგიურად, B და C წვეროებით დარჩენილი სამკუთხედის კუთხეებისთვის:

ამ უტოლობების მიმატებით და იმის გათვალისწინებით, რომ ABC სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°, მივიღებთ

აქედან გამომდინარე:

კოსინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის

მიეცით სამკუთხედი (იხ. სურ. 2), α, β, γ - მისი ბრტყელი კუთხეები, A, B, C - ორმხრივი კუთხეები, რომლებიც შედგება β და γ, α და γ, α და β კუთხეების სიბრტყეებით.

პირველი კოსინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის: $\backslash cos\; (\backslash ალფა)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash გამა)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash გამა)\; \backslash cos\; (A)$

მეორე კოსინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

მეორე კოსინუსების თეორემის დადასტურება სამკუთხედის კუთხისთვის

მოდით, OABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. მოდით ჩამოვწიოთ პერპენდიკულარები სამკუთხედის კუთხის შიდა წერტილიდან მის სახეებზე და მივიღოთ ახალი პოლარული სამკუთხედი (ორმაგი მოცემული). ერთი სამკუთხედის ბრტყელი კუთხეები ავსებს მეორის ორწახნაგიან კუთხეებს, ხოლო ერთი კუთხის ორთავიანი კუთხეები ავსებს მეორის ბრტყელ კუთხეებს 180 გრადუსამდე. ანუ პოლარული კუთხის სიბრტყის კუთხეები შესაბამისად ტოლია: 180 - A; 180 - ბ; 180 - C, და dihedral - 180 - α; 180-β; 180-გ

დავწეროთ მისთვის პირველი კოსინუსების თეორემა

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

და გამარტივების შემდეგ ვიღებთ:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

სინუსების თეორემა სამკუთხედის კუთხისთვის

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash გამა\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, სადაც α, β, γ არის სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეები; A, B, C - მოპირდაპირე დიჰედრული კუთხეები (იხ. ნახ. 2).

იხილეთ ასევე

დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "სამმხრივი კუთხე"

სამკუთხედის დამახასიათებელი ამონაწერი

- დარგე. დაჯექი, ძვირფასო, დაჯექი. ჩაიცვი პალტო, ანტონოვ.
იუნკერი იყო როსტოვი. მეორე ხელით ეჭირა, ფერმკრთალი იყო, ქვედა ყბა კი სიცხის კანკალით კანკალებდა. დააყენეს მატვევნაზე, სწორედ იმ იარაღზე, საიდანაც გარდაცვლილი ოფიცერი დააწვინეს. შემოხაზულ პალტოზე სისხლი იყო, რომელშიც როსტოვის შარვალი და ხელები იყო დაბინძურებული.
-რა, დაშავებული ხარ ძვირფასო? - თქვა თუშინმა და მიუახლოვდა იარაღს, რომელზეც როსტოვი იჯდა.
- არა, შეძრწუნებული.
- საწოლზე სისხლი რატომ არის? ჰკითხა თუშინმა.
- ეს ოფიცერი, თქვენო პატივცემულო, დასისხლიანდა, - უპასუხა საარტილერიო ჯარისკაცმა, ხალათის ყდით მოიწმინდა სისხლი და თითქოს ბოდიში მოიხადა იმ უწმინდურებისთვის, რომელშიც იარაღს იდო.
იძულებით, ქვეითების დახმარებით, აიღეს იარაღი მთაზე და სოფელ გუნტერსდორფამდე მიაღწიეს, გაჩერდნენ. უკვე ისე ბნელოდა, რომ ათ ნაბიჯზე შეუძლებელი იყო ჯარისკაცების ფორმების გარჩევა და შეტაკება დაიწყო. უცებ მარჯვენა მხარეს ახლოს ისევ ყვირილი და სროლა გაისმა. სიბნელეში უკვე გაბრწყინებული კადრებიდან. ეს იყო ფრანგების ბოლო თავდასხმა, რასაც სოფლის სახლებში ჩასახლებულმა ჯარისკაცებმა უპასუხეს. ისევ ყველაფერი გამოვარდა სოფლიდან, მაგრამ თუშინის თოფები ვერ იძვროდა და მსროლელებმა, თუშინმა და იუნკერმა, ჩუმად გადახედეს ერთმანეთს და ბედის მოლოდინში. ცეცხლის ჩხუბი ჩაცხრება დაიწყო და ანიმაციური ჯარისკაცები გამოვიდნენ გვერდითი ქუჩიდან.
-ცელი, პეტროვი? იკითხა ერთმა.
- იკითხა ძმაო, სიცხე. ახლა ისინი არ გამოვლენ, თქვა მეორემ.
- სანახავი არაფერია. როგორ შემწვა მათში! არ ჩანდეს; სიბნელე, ძმებო. არის სასმელი?
ფრანგებმა უკანასკნელად მოიგეს. და ისევ, სრულ სიბნელეში, თუშინის თოფები, თითქოს მღელვარე ქვეითების ჩარჩოთი იყო გარშემორტყმული, სადღაც წინ წაიწია.
სიბნელეში თითქოს უხილავი, პირქუში მდინარე მიედინებოდა, სულ ერთი მიმართულებით, ჩურჩულით, ხმებითა და ჩლიქების და ბორბლების ხმით გუგუნებდა. საერთო წუწუნში, ყველა სხვა ბგერის გამო, ღამის სიბნელეში დაჭრილების კვნესა და ხმები ყველაზე ნათელი იყო. მათი კვნესა თითქოს ავსებდა მთელ ამ სიბნელეს, რომელიც გარშემორტყმული იყო ჯარებს. მათი კვნესა და იმ ღამის სიბნელე ერთი და იგივე იყო. ცოტა ხანში მოძრავ ბრბოში აურზაური იყო. ვიღაც თეთრ ცხენზე ამხედრებულმა ამხედრდა და მართავდა რაღაცას. Რა თქვი? Ახლა საით? დარჩი, რა? მადლობა, არა? - ყოველი მხრიდან გაუმაძღარი კითხვები ისმოდა და მთელმა მოძრავმა მასამ თავის თავზე დაიწყო წნეხი (აშკარაა, რომ წინები გაჩერდნენ) და გავრცელდა ჭორი, რომ შეჩერება უბრძანეს. ყველა გაჩერდა, როცა მიდიოდა, შუა ტალახიან გზაზე.
შუქი აინთო და ხმა გაუმკაცრდა. კაპიტანმა თუშინმა ასეულს ბრძანება გასცა, ერთ-ერთი ჯარისკაცი გაგზავნა გასახდელი სადგურის ან იუნკერის ექიმის მოსაძებნად და ჯარისკაცების მიერ გზაზე დადებულ ცეცხლთან დაჯდა. როსტოვმაც ცეცხლთან მიათრია თავი. ტკივილისგან, სიცივისა და სინესტისგან სიცხემ აკანკალა მთელი სხეული. ძილმა დაუძლევლად მიბიძგა, მაგრამ ვერ იძინებდა მტკივნეული და უპოზიციური მკლავის მტანჯველი ტკივილის გამო. ან თვალები დახუჭა, ან მზერა ცეცხლს მიაშტერდა, რომელიც მას მხურვალედ წითლად მოეჩვენა, შემდეგ კი გვერდით თურქულ სტილში მჯდომ ტუშინის დახრილ, სუსტ ფიგურას. თუშინის დიდმა, კეთილმა და ჭკვიანმა თვალებმა მას თანაგრძნობითა და თანაგრძნობით უჩვენა. ხედავდა, რომ თუშინს მთელი გულით უნდოდა და ვერანაირად ვერ ეხმარებოდა.

განვიხილოთ სამი სხივი a, b, c, რომლებიც გამოდიან ერთი და იმავე წერტილიდან და არ დევს ერთ სიბრტყეში. სამკუთხედი (abc) არის ფიგურა, რომელიც შედგება "სამი ბრტყელი კუთხისგან (ab), (bc) და (ac) (ნახ. 2). ამ კუთხეებს ეწოდება სამკუთხედის სახეები, ხოლო მათი გვერდები კიდეებია. ბრტყელი კუთხის საერთო წვერო ეწოდება.

ანალოგიურად არის განსაზღვრული მრავალწახნაგოვანი კუთხის კონცეფცია (ნახ. 3).

პოლიჰედრონი

სტერეომეტრიაში სწავლობენ სივრცეში არსებულ ფიგურებს, რომლებსაც სხეულებს უწოდებენ. ვიზუალურად, (გეომეტრიული) სხეული უნდა წარმოვიდგინოთ, როგორც ფიზიკური სხეულის მიერ დაკავებული და ზედაპირით შემოსაზღვრული სივრცის ნაწილი.

მრავალედრონი არის სხეული, რომლის ზედაპირი შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან (ნახ. 4). მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის მდებარეობს მის ზედაპირზე არსებული ყველა ბრტყელი მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. ასეთი სიბრტყის საერთო ნაწილს და ამოზნექილი პოლიედრონის ზედაპირს სახე ეწოდება. ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდებს მრავალწახნაგების კიდეები ეწოდება, წვეროებს კი მრავალწახნაგა.

ავხსნათ რა ითქვა ნაცნობი კუბის მაგალითზე (სურ. 5). კუბი არის ამოზნექილი პოლიედონი. მისი ზედაპირი შედგება ექვსი კვადრატისაგან: ABCD, BEFC, .... ისინი მისი სახეებია. კუბის კიდეები არის ამ კვადრატების გვერდები: AB, BC, BE,.... კუბის წვეროები არის კვადრატების წვეროები: A, B, C, D, E, .... კუბს აქვს ექვსი სახე, თორმეტი კიდე და რვა წვერო.

უმარტივესი პოლიედრები - პრიზმები და პირამიდები, რომლებიც ჩვენი შესწავლის მთავარი ობიექტი იქნება - მივცემთ განმარტებებს, რომლებიც, არსებითად, არ იყენებენ სხეულის ცნებას. ისინი განისაზღვრება როგორც გეომეტრიული ფიგურები მათ კუთვნილი სივრცის ყველა წერტილის მითითებით. გეომეტრიული სხეულის და მისი ზედაპირის კონცეფცია ზოგად შემთხვევაში მოგვიანებით იქნება მოცემული.