თეორემა სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამის შესახებ

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება:

• სამკუთხედი ABC მოცემულია.
• დახაზეთ ხაზი DK B წვეროზე AC ფუძის პარალელურად.
• \კუთხე CBK= \კუთხე C, როგორც შიდა ჯვარედინი, რომელიც მდებარეობს პარალელურად DK და AC, და სეკანტი BC.
• \კუთხე DBA = \კუთხე შიდა ჯვარედინი დევს DK \პარალელური AC და სეკანტი AB. კუთხე DBK არის სწორი და ტოლი
• \ კუთხე DBK = \კუთხე DBA + \კუთხე B + \კუთხე CBK
• ვინაიდან სწორი კუთხე არის 180 ^\circ, და \კუთხე CBK = \კუთხე C და \კუთხე DBA = \კუთხე A, მივიღებთ 180 ^\circ = \კუთხე A + \კუთხე B + \კუთხე C.

დადასტურებული თეორემა

სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემის შედეგები:

1. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90°.
2. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედში თითოეული მახვილი კუთხე არის 45°.
3. ტოლგვერდა სამკუთხედში თითოეული კუთხე არის 60°.
4. ნებისმიერ სამკუთხედში ან ყველა კუთხე არის მახვილი, ან ორი კუთხე მახვილია, მესამე კი ბლაგვი ან მართია.
5. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.

სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემა

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი დარჩენილი კუთხის ჯამს, რომელიც არ არის ამ გარე კუთხის მიმდებარედ.

მტკიცებულება:

• მოცემულია ABC სამკუთხედი, სადაც BCD არის გარე კუთხე.
• \ კუთხე BAC + \ კუთხე ABC +\ კუთხე BCA = 180^0
• თანასწორობიდან, კუთხე \ კუთხე BCD + \კუთხე BCA = 180^0
• ვიღებთ \კუთხე BCD = \კუთხე BAC+\კუთხე ABC.

>>გეომეტრია: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. სრული გაკვეთილები

გაკვეთილის თემა: სამკუთხედის კუთხეების ჯამი.

გაკვეთილის მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნის კონსოლიდაცია და შემოწმება თემაზე: „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი“;
• სამკუთხედის კუთხეების თვისებების დადასტურება;
• ამ ქონების გამოყენება უმარტივესი პრობლემების გადაჭრაში;
• ისტორიული მასალის გამოყენება მოსწავლეთა შემეცნებითი აქტივობის განვითარებისათვის;
• ნახატების აგებისას სიზუსტის უნარის დანერგვა.

გაკვეთილის მიზნები:

• შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემების გადაჭრის უნარი.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. სამკუთხედი;
2. თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ;
3. დავალების მაგალითი.

სამკუთხედი.

ფაილი:O.gif სამკუთხედი- უმარტივესი მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს 3 წვერო (კუთხე) და 3 გვერდი; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი წერტილით და სამი ხაზით, რომლებიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში.
სივრცეში სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთ სიბრტყეს.
ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს სამკუთხედებად - ამ პროცესს ე.წ სამკუთხედი.
არსებობს მათემატიკის ნაწილი, რომელიც მთლიანად ეძღვნება სამკუთხედების ნიმუშების შესწავლას - ტრიგონომეტრია.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

ფაილი:T.gif სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა არის კლასიკური თეორემა ევკლიდეს გეომეტრიაში, რომელიც ამბობს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება" :

მიეცით Δ ABC. B წვეროზე გავავლოთ (AC) პარალელური წრფე და მოვნიშნოთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები იყოს BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს. მაშინ კუთხე (DBC) და კუთხე (ACB) ტოლია, როგორც შიდა ჯვრები, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ ხაზებზე BD და AC და სეკანტი (BC). მაშინ B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ტოლია კუთხის (ABD). მაგრამ კუთხე (ABD) და კუთხე (BAC) ABC სამკუთხედის A წვეროსთან არის შიდა ცალმხრივი პარალელური ხაზებით BD და AC და სეკანტით (AB), და მათი ჯამი არის 180°. მაშასადამე, სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის გვერდით.

მტკიცებულება:

მიეცით Δ ABC. წერტილი D დევს AC წრფეზე ისე, რომ A დევს C-სა და D-ს შორის. მაშინ BAD არის სამკუთხედის კუთხის გარე A წვეროზე და A + BAD = 180°. მაგრამ A + B + C = 180 °, და აქედან გამომდინარე, B + C = 180 ° - A. აქედან გამომდინარე, BAD = B + C. დასკვნა დადასტურებულია.

შედეგები.

სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია სამკუთხედის ნებისმიერ კუთხეზე, რომელიც არ არის მის მიმდებარედ.

დავალება.

სამკუთხედის გარე კუთხე არის ამ სამკუთხედის ნებისმიერი კუთხის მიმდებარე კუთხე. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამის, რომლებიც არ არიან მიმდებარე.
(ნახ.1)

გადაწყვეტილება:

მოდით Δ ABC ∠DAC იყოს გარე (ნახ.1). მაშინ ∠DAC=180°-∠BAC (მიმდებარე კუთხეების თვისების მიხედვით), თეორემის მიხედვით სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ ∠B+∠C =180°-∠BAC. ამ ტოლობებიდან ვიღებთ ∠DAC=∠B+∠C

Საინტერესო ფაქტი:

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი :

ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე ნაკლებია, ევკლიდეს გეომეტრიაში ის ყოველთვის 180-ის ტოლია. რიმანის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180-ზე მეტია.

მათემატიკის ისტორიიდან:

ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.) ნაშრომში "დასაწყისები" იძლევა შემდეგ განმარტებას: "პარალელური არის სწორი ხაზები, რომლებიც ერთ სიბრტყეშია და, განუსაზღვრელი ვადით ორივე მიმართულებით გაშლილი, არ ხვდებიან ერთმანეთს არც ერთ მხარეს" .
პოსიდონიუსი (ძვ. წ. I ს.) "ორი სწორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში, ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე"
ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა პაპუსმა (ძვ. წ. III ს.) შემოიღო პარალელური ხაზების სიმბოლო - ნიშანი =. შემდგომში ინგლისელმა ეკონომისტმა რიკარდომ (1720-1823) ეს სიმბოლო ტოლობის ნიშნად გამოიყენა.
მხოლოდ მე-18 საუკუნეში დაიწყეს პარალელური ხაზების სიმბოლოს - ნიშნის || გამოყენება.
თაობებს შორის ცოცხალი კავშირი ერთი წუთითაც არ წყდება, ყოველდღე ვსწავლობთ ჩვენი წინაპრების მიერ დაგროვილ გამოცდილებას. ძველი ბერძნები, დაკვირვებისა და პრაქტიკული გამოცდილების საფუძველზე, გამოიტანეს დასკვნები, გამოთქვეს ჰიპოთეზები, შემდეგ კი, მეცნიერთა შეხვედრებზე - სიმპოზიუმებზე (სიტყვასიტყვით "დღესასწაული") - ცდილობდნენ ამ ჰიპოთეზების დასაბუთებას და დამტკიცებას. ამ დროს ჩამოყალიბდა განცხადება: „ჭეშმარიტება კამათში იბადება“.

კითხვები:

1. რა არის სამკუთხედი?
2. რას ამბობს სამკუთხედის ჯამის თეორემა?
3. რა არის სამკუთხედის გარე კუთხე?

თეორემა. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი ორი მართი კუთხის ტოლია.

აიღეთ სამკუთხედი ABC (ნახ. 208). ავღნიშნოთ მისი შიდა კუთხეები 1-ით, 2-ით და 3-ით. დავამტკიცოთ ეს

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

მოდით დავხატოთ სამკუთხედის ზოგიერთი წვეროდან, მაგალითად B, წრფე MN AC-ის პარალელურად.

B წვეროზე მივიღეთ სამი კუთხე: ∠4, ∠2 და ∠5. მათი ჯამი არის სწორი კუთხე, შესაბამისად, ის უდრის 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

მაგრამ ∠4 \u003d ∠1 არის შიდა ჯვარედინი კუთხეები პარალელური ხაზებით MN და AC და სეკანტი AB.

∠5 = ∠3 არის შიდა ჯვარი დაწოლილი კუთხეები MN და AC პარალელური ხაზებით და BC სკანტით.

აქედან გამომდინარე, ∠4 და ∠5 შეიძლება შეიცვალოს მათი ტოლებით ∠1 და ∠3.

ამიტომ, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. თეორემა დადასტურდა.

2. სამკუთხედის გარე კუთხის თვისება.

თეორემა. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.

მართლაც, სამკუთხედში ABC (ნახ. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, მაგრამ ასევე ∠BCD, ამ სამკუთხედის გარე კუთხე, რომელიც არ არის მიმდებარე ∠1 და ∠2, ასევე უდრის 180° - ∠3.

ამრიგად:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

ამიტომ, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

სამკუთხედის გარე კუთხის გამომუშავებული თვისება აზუსტებს ადრე დადასტურებული თეორემის შინაარსს სამკუთხედის გარე კუთხეზე, რომელშიც ნათქვამია მხოლოდ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია სამკუთხედის თითოეულ შიდა კუთხეზე. არა მის მიმდებარედ; ახლა დადგენილია, რომ გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე ორივე შიდა კუთხის ჯამს.

3. 30° კუთხით მართკუთხა სამკუთხედის თვისება.

თეორემა. 30° კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

მოდით, კუთხე B იყოს 30°-ის ტოლი მართკუთხა სამკუთხედში ACB (ნახ. 210). მაშინ მისი სხვა მახვილი კუთხე იქნება 60°.

დავამტკიცოთ, რომ ფეხი AC უდრის AB ჰიპოტენუზის ნახევარს. ვაგრძელებთ AC ფეხს C მარჯვენა კუთხის წვეროს მიღმა და გვერდით ვდებთ CM სეგმენტს, AC სეგმენტის ტოლი. M წერტილს ვუკავშირებთ B წერტილს. მიღებული სამკუთხედი BCM უდრის სამკუთხედს DIA. ჩვენ ვხედავთ, რომ AVM სამკუთხედის თითოეული კუთხე ტოლია 60°-ის, შესაბამისად, ეს სამკუთხედი ტოლგვერდაა.

AC ფეხი უდრის AM-ის ნახევარს და რადგან AM უდრის AB, AC ფეხი ტოლი იქნება AB ჰიპოტენუზის ნახევარის.

. (სლაიდი 1)

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილზე ახალი მასალის შესწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო:
  • განვიხილოთ სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა,
  • აჩვენეთ თეორემის გამოყენება ამოცანების ამოხსნაში.
• საგანმანათლებლო:
  • მოსწავლეებში ცოდნისადმი პოზიტიური დამოკიდებულების ჩამოყალიბება,
  • გაკვეთილის საშუალებით მოსწავლეებში ნდობის აღძვრა.
• საგანმანათლებლო:
  • ანალიტიკური აზროვნების განვითარება,
  • „სწავლის უნარების“ განვითარება: ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების გამოყენება სასწავლო პროცესში,
  • ლოგიკური აზროვნების განვითარება, აზრების მკაფიოდ გამოხატვის უნარი.

აღჭურვილობა:ინტერაქტიული დაფა, პრეზენტაცია, ბარათები.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი

- დღეს გაკვეთილზე გავიხსენებთ მართკუთხა, ტოლგვერდა, ტოლგვერდა სამკუთხედების განმარტებებს. გავიმეოროთ სამკუთხედების კუთხეების თვისებები. შიდა ცალმხრივი და შიდა ჯვარედინი კუთხეების თვისებების გამოყენებით დავამტკიცებთ თეორემას სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ ის ამოცანების ამოხსნაში.

II. ზეპირად(სლაიდი 2)

1) იპოვეთ ფიგურებში მართკუთხა, ტოლგვერდა, ტოლგვერდა სამკუთხედები.
2) განსაზღვრეთ ეს სამკუთხედები.
3) ჩამოაყალიბეთ ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეების თვისებები.

4) ფიგურაში KE II NH. (სლაიდი 3)

– მიუთითეთ სექანტები ამ ხაზებისთვის
– იპოვეთ შიდა ცალმხრივი კუთხეები, შიდა ჯვარედინი კუთხეები, დაასახელეთ მათი თვისებები

III. ახალი მასალის ახსნა

თეორემა.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 o

თეორემის ფორმულირების მიხედვით, ბიჭები ქმნიან ნახატს, წერენ პირობას, დასკვნას. კითხვებზე პასუხის გაცემით დამოუკიდებლად დაადასტურეთ თეორემა.

მოცემული: დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1. დახაზეთ BD II AC წრფე B სამკუთხედის წვეროზე.
2. მიუთითეთ სეკანტები პარალელური ხაზებისთვის.
3. რა შეიძლება ითქვას CBD და ACB კუთხეებზე? (გააკეთე ჩანაწერი)
4. რა ვიცით CAB და ABD კუთხეების შესახებ? (გააკეთე ჩანაწერი)
5. შეცვალეთ კუთხე CBD კუთხით ACB
6. გააკეთე დასკვნა.

IV. დაასრულეთ შეთავაზება.(სლაიდი 4)

1. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის ...
2. სამკუთხედში ერთი კუთხე ტოლია, მეორე, სამკუთხედის მესამე კუთხე უდრის ...
3. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის ...
4. ტოლკუთხა მართკუთხა სამკუთხედის კუთხეები ტოლია ...
5. ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეები ტოლია ...
6. თუ ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდებს შორის კუთხე არის 1000, მაშინ ფუძის კუთხეები არის ...

V. ცოტა ისტორია.(სლაიდები 5-7)

თეორემის დადასტურება სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ "შინაგანის ჯამი სამკუთხედის კუთხეები უდრის ორ მართ კუთხს" მიაწერეს პითაგორას (ძვ. წ. 580-500 წწ.)
ძველი ბერძენი მეცნიერი პროკლე (410-485 წ.),