ამ თემაში ჩვენ გავაანალიზებთ იმ ფორმულებს, რომელთა მიღებაც შესაძლებელია მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენებით (მოთავსებულია თემა, რომელიც უშუალოდ მეორე ღირსშესანიშნავ ლიმიტს ეძღვნება). შეგახსენებთ მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ორ ფორმულირებას, რომელიც საჭირო იქნება ამ განყოფილებაში: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ და $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

ჩვეულებრივ ფორმულებს მტკიცების გარეშე ვაძლევ, მაგრამ ამ გვერდისთვის, ვფიქრობ, გამონაკლისს დავუშვებ. ფაქტია, რომ მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის შედეგების მტკიცებულება შეიცავს რამდენიმე ხრიკს, რომელიც გამოსადეგია პრობლემების უშუალო გადაწყვეტაში. ისე, და, ზოგადად, სასურველია ვიცოდეთ, როგორ დასტურდება ესა თუ ის ფორმულა. ეს საშუალებას გაძლევთ უკეთ გაიგოთ მისი შიდა სტრუქტურა, ისევე როგორც გამოყენების საზღვრები. მაგრამ იმის გამო, რომ მტკიცებულებები შეიძლება არ იყოს ყველა მკითხველისთვის საინტერესო, მე დავმალავ მათ შენიშვნების ქვეშ ყოველი დასკვნის შემდეგ.

შედეგი #1

\ დასაწყისი(განტოლება) \lim_(x\ to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\ბოლო(განტოლება)

დასკვნა #1: ჩვენება/დამალვა

ვინაიდან $x\ to 0$ გვაქვს $\ln(1+x)\ to 0$, მაშინ განხილულ ლიმიტში არის $\frac(0)(0)$ ფორმის განუსაზღვრელობა. ამ გაურკვევლობის გამოსავლენად, წარმოვიდგინოთ გამონათქვამი $\frac(\ln(1+x))(x)$ შემდეგნაირად: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. ახლა მოდით დავუმატოთ $\frac(1)(x)$ კოეფიციენტი $(1+x)$-ის ხარისხს და გამოვიყენოთ მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტი:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\მარცხნივ| \frac(0)(0) \მარჯვნივ|= \lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

ჩვენ კვლავ გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. ჩვენ დავეყრდნობით უკვე დადასტურებულ ფორმულას. ვინაიდან $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, მაშინ $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\მარცხნივ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

შედეგი #2

\ დასაწყისი(განტოლება) \lim_(x\ to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\ბოლო(განტოლება)

დასკვნა #2: ჩვენება/დამალვა

ვინაიდან $x\to 0$ გვაქვს $e^x-1\to 0$, მაშინ განხილულ ლიმიტში არის $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. ამ გაურკვევლობის გამოსავლენად, მოდით შევცვალოთ ცვლადი, რომელიც აღნიშნავს $t=e^x-1$-ს. $x\ to 0$-მდე, შემდეგ $t\ to 0$-მდე. გარდა ამისა, $t=e^x-1$ ფორმულიდან ვიღებთ: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\მარცხნივ| \frac(0)(0) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ | \ დასაწყისი (გასწორებული) & t=e^x-1;\; t\ 0-მდე.\\ & x=\ln(1+t).\end (გასწორებული) \მარჯვნივ|= \lim_(t\ 0-მდე)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\ 0-მდე)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

ჩვენ კვლავ გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. ჩვენ დავეყრდნობით უკვე დადასტურებულ ფორმულას. ვინაიდან $a^x=e^(x\n a)$, მაშინ:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\მარცხნივ| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\ 0-მდე)\frac(e^(x\n a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\ 0-მდე )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

შედეგი #3

\begin(განტოლება) \lim_(x\ to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(განტოლება)

დასკვნა #3: ჩვენება/დამალვა

ისევ, საქმე გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობასთან. ვინაიდან $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, მივიღებთ:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \მარცხნივ| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \მარჯვნივ)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

მაგალითი #1

გამოთვალეთ ლიმიტი $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა. ამ გაურკვევლობის გასამჟღავნებლად, ჩვენ გამოვიყენებთ ფორმულას. იმისათვის, რომ შეესაბამებოდეს ჩვენი ლიმიტი ამ ფორმულას, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ გამონათქვამები $e$ რიცხვის სიმძლავრეში და მნიშვნელში უნდა ემთხვეოდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მნიშვნელში სინუსს ადგილი არ აქვს. მნიშვნელი უნდა იყოს $9x$. ასევე, ამ მაგალითის ამოხსნისას გამოყენებული იქნება პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \მარჯვნივ|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \მარჯვნივ)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

მაგალითი #2

გამოთვალეთ ლიმიტი $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

გვაქვს $\frac(0)(0)$ ფორმის გაურკვევლობა (შეგახსენებთ, რომ $\ln\cos 0=\ln 1=0$). ამ გაურკვევლობის გასამჟღავნებლად, ჩვენ გამოვიყენებთ ფორმულას. პირველ რიგში, გავითვალისწინოთ, რომ $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (იხილეთ ჩამონათვალი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესახებ). ახლა $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, ამიტომ მნიშვნელი უნდა იყოს $-2\sin^2 \frac(x) (2)$ (ჩვენი მაგალითისთვის რომ მოერგოს). შემდგომ გადაწყვეტაში გამოყენებული იქნება პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\მარცხნივ| \frac(0)(0) \მარჯვნივ ^2)= \lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\მარჯვნივ))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \მარჯვნივ)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \მარჯვნივ)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

უპასუხე: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

ახლა, სიმშვიდით, ჩვენ მივმართავთ განხილვას საოცარი საზღვრები.
როგორც ჩანს .

x ცვლადის ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვადასხვა ფუნქციები, რაც მთავარია, ისინი 0-ისკენ მიდრეკილნი არიან.

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ლიმიტი

როგორც ხედავთ, ეს ზღვარი ძალიან ჰგავს პირველ ღირსშესანიშნავს, მაგრამ ეს მთლად ასე არ არის. ზოგადად, თუ შეამჩნევთ ცოდვას ლიმიტში, მაშინ დაუყოვნებლივ უნდა იფიქროთ იმაზე, შესაძლებელია თუ არა პირველი მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება.

ჩვენი წესის No1 მიხედვით, ჩვენ ვცვლით ნულს x-ს:

ჩვენ ვიღებთ გაურკვევლობას.

ახლა შევეცადოთ დამოუკიდებლად მოვაწყოთ პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი. ამისათვის ჩვენ განვახორციელებთ მარტივ კომბინაციას:

ასე ვაწყობთ მრიცხველს და მნიშვნელს ისე, რომ 7x გამორჩეული იყოს. ნაცნობი ღირსშესანიშნავი ზღვარი უკვე გამოჩნდა. მიზანშეწონილია მისი ხაზგასმა, როდესაც გადაწყვეტთ:

ჩვენ ვცვლით პირველი ღირსშესანიშნავი მაგალითის ამოხსნას და ვიღებთ:

წილადის გამარტივება:

პასუხი: 7/3.

როგორც ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია.

ფორმა აქვს , სადაც e = 2.718281828… არის ირაციონალური რიცხვი.

x ცვლადის ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვადასხვა ფუნქციები, რაც მთავარია, რომ ისინი მიდრეკილნი არიან .

ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ლიმიტი

აქ ჩვენ ვხედავთ ხარისხის არსებობას ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, რაც ნიშნავს, რომ მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის გამოყენება შესაძლებელია.

როგორც ყოველთვის, ჩვენ გამოვიყენებთ წესს ნომერ 1 - ჩანაცვლებას x-ის ნაცვლად:

ჩანს, რომ x-სთვის გრადუსის საფუძველი არის , ხოლო მაჩვენებელი არის 4x > , ე.ი. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გაურკვევლობას:

მოდით გამოვიყენოთ მეორე მშვენიერი ზღვარი ჩვენი გაურკვევლობის გამოსავლენად, მაგრამ ჯერ მისი ორგანიზება გვჭირდება. როგორც ხედავთ, აუცილებელია ინდიკატორში ყოფნის მიღწევა, რისთვისაც ჩვენ ავწევთ საფუძველს 3x სიმძლავრემდე და ამავე დროს 1/3x სიმძლავრემდე, რათა გამოთქმა არ შეიცვალოს:

არ დაგავიწყდეთ ხაზი გავუსვათ ჩვენს მშვენიერ ლიმიტს:

ესენი ნამდვილად არიან მშვენიერი საზღვრები!
თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა პირველი და მეორე შესანიშნავი საზღვრებითავისუფლად ჰკითხეთ მათ კომენტარებში.
ჩვენ ყველას ვუპასუხებთ რაც შეიძლება მალე.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იმუშაოთ მასწავლებელთან ამ თემაზე.
მოხარული ვართ შემოგთავაზოთ თქვენს ქალაქში კვალიფიციური დამრიგებლის არჩევის სერვისები. ჩვენი პარტნიორები სასწრაფოდ შეარჩევენ თქვენთვის კარგ მასწავლებელს თქვენთვის ხელსაყრელი პირობებით.

არ არის საკმარისი ინფორმაცია? - Შენ შეგიძლია !

შეგიძლიათ ჩაწეროთ მათემატიკური გამოთვლები რვეულებში. გაცილებით სასიამოვნოა ცალკეულ რვეულებში ლოგოთი ჩაწერა (http://www.blocnot.ru).

არსებობს რამდენიმე შესანიშნავი ლიმიტი, მაგრამ ყველაზე ცნობილი არის პირველი და მეორე შესანიშნავი ლიმიტები. აღსანიშნავი რამ ამ ლიმიტებთან დაკავშირებით არის ის, რომ ისინი ფართოდ გამოიყენება და შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა საზღვრების მოსაძებნად, რომლებიც გვხვდება მრავალ პრობლემაში. ეს არის ის, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ ამ გაკვეთილის პრაქტიკულ ნაწილში. პრობლემების გადასაჭრელად პირველ ან მეორე შესანიშნავ ზღვარზე შემცირებით, არ არის საჭირო მათში არსებული გაურკვევლობების გამჟღავნება, რადგან ამ ლიმიტების მნიშვნელობები დიდი ხანია გამოირჩეოდა დიდი მათემატიკოსების მიერ.

პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარიეწოდება უსასრულოდ პატარა რკალის სინუსის შეფარდების ზღვარი იმავე რკალთან, გამოსახული რადიანის ზომით:

მოდით გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრაზე პირველ საყურადღებო ზღვარზე. შენიშვნა: თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია არის ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, ეს არის თითქმის დარწმუნებული ნიშანი იმისა, რომ ეს გამოხატულება შეიძლება შემცირდეს პირველ შესანიშნავ ზღვარამდე.

მაგალითი 1იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. ჩანაცვლება xნული იწვევს გაურკვევლობას:

.

მნიშვნელი არის სინუსი, ამიტომ გამოხატულება შეიძლება შემცირდეს პირველ შესანიშნავ ზღვარამდე. დავიწყოთ ტრანსფორმაცია:

.

მნიშვნელში - სამი x-ის სინუსი, ხოლო მრიცხველში არის მხოლოდ ერთი x, რაც ნიშნავს, რომ მრიცხველში უნდა მიიღოთ სამი x. Რისთვის? წარმოგიდგინოთ 3 x = ადა მიიღეთ გამოხატულება.

და ჩვენ მივედით პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ვარიაციამდე:

რადგან არ აქვს მნიშვნელობა ამ ფორმულაში რომელი ასოა (ცვლადი) X-ის ნაცვლად.

ჩვენ გავამრავლებთ x სამზე და მაშინვე ვყოფთ:

.

აღნიშნული პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტის შესაბამისად, ჩვენ ვცვლით წილადის გამოსახულებას:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია საბოლოოდ გადავჭრათ ეს ლიმიტი:

.

მაგალითი 2იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. პირდაპირი ჩანაცვლება კვლავ იწვევს "ნულოვანი გაყოფა ნულზე" გაურკვევლობას:

.

პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მისაღებად, აუცილებელია, რომ x მრიცხველში სინუს ნიშნის ქვეშ და მხოლოდ x მნიშვნელში იყოს იგივე კოეფიციენტით. მოდით ეს კოეფიციენტი იყოს 2-ის ტოლი. ამისათვის წარმოვიდგინოთ მიმდინარე კოეფიციენტი x-ზე, როგორც ქვემოთ, წილადებთან მოქმედებების შესრულებისას მივიღებთ:

.

მაგალითი 3იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. ჩანაცვლებისას კვლავ ვიღებთ გაურკვევლობას "ნული გაყოფილი ნულზე":

.

ალბათ უკვე გესმით, რომ ორიგინალური გამონათქვამიდან შეგიძლიათ მიიღოთ პირველი მშვენიერი ლიმიტი გამრავლებული პირველ მშვენიერ ლიმიტზე. ამისთვის x-ის კვადრატებს მრიცხველში და სინუსს მნიშვნელში ვყოფთ ერთნაირ ფაქტორებად და იმისთვის რომ მივიღოთ იგივე კოეფიციენტები x-ისა და სინუსისთვის, მრიცხველში x-ს ვყოფთ 3-ზე და დაუყოვნებლივ გავამრავლოთ 3-ზე. მივიღებთ:

.

მაგალითი 4იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. ისევ მივიღებთ გაურკვევლობას "ნული გაყოფილი ნულზე":

.

ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ პირველი ორი მნიშვნელოვანი ლიმიტის თანაფარდობა. მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ვყოფთ x-ზე. შემდეგ, იმისათვის, რომ კოეფიციენტები სინუსებზე და x-ზე დაემთხვეს, ჩვენ გავამრავლებთ ზედა x-ს 2-ზე და მაშინვე ვყოფთ 2-ზე, ხოლო ქვედა x გავამრავლებთ 3-ზე და მაშინვე ვყოფთ 3-ზე. მივიღებთ:

მაგალითი 5იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. და ისევ, გაურკვევლობა "ნული გაყოფილი ნულზე":

ტრიგონომეტრიიდან გვახსოვს, რომ ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან, ხოლო ნულის კოსინუსი უდრის ერთს. ჩვენ ვაკეთებთ გარდაქმნებს და ვიღებთ:

.

მაგალითი 6იპოვეთ ლიმიტი.

გადაწყვეტილება. ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ზღვრის ნიშნის ქვეშ კვლავ გვთავაზობს პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენების იდეას. ჩვენ წარმოვადგენთ მას, როგორც სინუსსა და კოსინუსს.

ზემოაღნიშნული სტატიიდან შეგიძლიათ გაიგოთ, რა არის ლიმიტი და რითი მიირთმევენ - ეს ძალიან მნიშვნელოვანია. რატომ? შეიძლება ვერ გაიგოთ რა არის განმსაზღვრელი და წარმატებით ამოხსნათ ისინი, შეიძლება საერთოდ ვერ გაიგოთ რა არის წარმოებული და იპოვოთ ისინი "ხუთეულზე". მაგრამ თუ არ გესმით რა არის ლიმიტი, მაშინ გაგიჭირდებათ პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრა. ასევე, ზედმეტი არ იქნება გაეცნოთ გადაწყვეტილებების დიზაინის ნიმუშებს და დიზაინს ჩემს რეკომენდაციებს. ყველა ინფორმაცია წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი გზით.

და ამ გაკვეთილის მიზნებისთვის ჩვენ გვჭირდება შემდეგი მეთოდოლოგიური მასალები: ღირსშესანიშნავი საზღვრებიდა ტრიგონომეტრიული ფორმულები. მათი ნახვა შეგიძლიათ გვერდზე. უმჯობესია ინსტრუქციების დაბეჭდვა - ეს ბევრად უფრო მოსახერხებელია, გარდა ამისა, მათ ხშირად ოფლაინზე წვდომა უწევთ.

რა არის გასაოცარი მშვენიერი ლიმიტების შესახებ? ამ საზღვრების ღირსშესანიშნავობა მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი დაამტკიცა ცნობილი მათემატიკოსების უდიდესი გონებით და მადლიერი შთამომავლები არ უნდა იტანჯონ საშინელი საზღვრები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების, ლოგარითმებისა და გრადუსების გროვით. ანუ ლიმიტების პოვნისას გამოვიყენებთ თეორიულად დადასტურებულ მზა შედეგებს.

არსებობს რამდენიმე თვალსაჩინო ლიმიტი, მაგრამ პრაქტიკაში, ნახევარ განაკვეთზე სტუდენტებს შემთხვევების 95% -ში აქვთ ორი შესანიშნავი ზღვარი: პირველი მშვენიერი ლიმიტი, მეორე მშვენიერი ლიმიტი. უნდა აღინიშნოს, რომ ეს არის ისტორიულად ჩამოყალიბებული სახელები და როდესაც, მაგალითად, საუბრობენ „პირველ მშვენიერ ზღვარზე“, ამაში გულისხმობენ ძალიან კონკრეტულ რამეს და არა ჭერიდან ამოღებულ შემთხვევით ზღვარს.

პირველი მშვენიერი ლიმიტი

გაითვალისწინეთ შემდეგი ლიმიტი: (მშობლიური ასო „ის“-ის ნაცვლად გამოვიყენებ ბერძნულ ასო „ალფას“, ეს უფრო მოსახერხებელია მასალის პრეზენტაციის მხრივ).

საზღვრების პოვნის ჩვენი წესის მიხედვით (იხილეთ სტატია ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითები) ვცდილობთ ნული ჩავანაცვლოთ ფუნქციაში: მრიცხველში ვიღებთ ნულს (ნულის სინუსი არის ნული), მნიშვნელში, ცხადია, ასევე ნულს. ამრიგად, სახეზე გვაქვს ფორმის განუსაზღვრელობა, რომლის გამჟღავნება, საბედნიეროდ, არ არის საჭირო. მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურებულია, რომ:

ეს მათემატიკური ფაქტი ე.წ პირველი მშვენიერი ლიმიტი. ლიმიტის ანალიტიკურ მტკიცებულებას არ მივცემ, მაგრამ მის გეომეტრიულ მნიშვნელობას განვიხილავთ გაკვეთილზე უსასრულოდ მცირე ფუნქციები.

ხშირად პრაქტიკულ ამოცანებში ფუნქციები შეიძლება განსხვავებულად იყოს მოწყობილი, ეს არაფერს ცვლის:

- იგივე პირველი მშვენიერი ლიმიტი.

მაგრამ თქვენ თვითონ არ შეგიძლიათ მრიცხველის და მნიშვნელის გადაწყობა! თუ ლიმიტი მოცემულია ფორმაში, მაშინ ის უნდა გადაწყდეს იმავე ფორმით, არაფრის გადაკეთების გარეშე.

პრაქტიკაში, არა მხოლოდ ცვლადი შეიძლება იმოქმედოს როგორც პარამეტრი, არამედ ელემენტარული ფუნქცია, რთული ფუნქცია. მნიშვნელოვანია მხოლოდ ის, რომ ის ნულამდე მიდის.

მაგალითები:
, , ,

Აქ , , , , და ყველაფერი ზუზუნებს - მოქმედებს პირველი მშვენიერი ლიმიტი.

და აქ არის შემდეგი ჩანაწერი - ერესი:

რატომ? იმის გამო, რომ მრავალწევრი არ არის ნულისკენ მიდრეკილი, ის იხრება ხუთამდე.

სხვათა შორის, კითხვა არის ზურგის შევსება, მაგრამ რა არის ზღვარი ? პასუხი შეგიძლიათ იხილოთ გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში ყველაფერი ასე გლუვი არ არის, სტუდენტს თითქმის არასდროს შესთავაზებენ უფასო ლიმიტის გადაჭრას და მარტივი კრედიტის მიღებას. ჰმ... ამ სტრიქონებს ვწერ და ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი აზრი გამიჩნდა - ბოლოს და ბოლოს, როგორც ჩანს, ჯობია ზეპირად გავიხსენოთ მათემატიკური განმარტებები და ფორმულები, ეს შეიძლება იყოს ფასდაუდებელი დახმარება ტესტში, როდესაც საკითხი გადაწყდება "ორსა" და "სამს" შორის და მასწავლებელი გადაწყვეტს დაუსვას მოსწავლეს მარტივი შეკითხვა ან შესთავაზოს უმარტივესი მაგალითის ამოხსნა ("იქნებ მან (ა) მაინც იცის რა ?!").

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკულ მაგალითებზე:

მაგალითი 1

იპოვეთ ლიმიტი

თუ ლიმიტში სინუსს შევნიშნავთ, მაშინ ამან დაუყოვნებლივ უნდა მიგვიყვანოს ვიფიქროთ პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის გამოყენების შესაძლებლობაზე.

პირველ რიგში, ჩვენ ვცდილობთ შევცვალოთ 0 გამონათქვამში ზღვრის ნიშნის ქვეშ (ამას ვაკეთებთ გონებრივად ან მონახაზზე):

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ფორმის განუსაზღვრელობა, მისი აუცილებლად მიუთითეთგადაწყვეტილების მიღებისას. ლიმიტის ნიშნის ქვეშ გამოხატული გამოთქმა პირველ მშვენიერ ზღვარს ჰგავს, მაგრამ ეს მთლად ასე არ არის, ის არის სინუსში, მაგრამ მნიშვნელში.

ასეთ შემთხვევებში ჩვენ უნდა მოვაწყოთ პირველი მშვენიერი ლიმიტი დამოუკიდებლად, ხელოვნური მოწყობილობის გამოყენებით. მსჯელობის ხაზი შეიძლება იყოს შემდეგი: "სინუსის ქვეშ გვაქვს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე უნდა მივიღოთ მნიშვნელში".
და ეს კეთდება ძალიან მარტივად:

ანუ მნიშვნელი ხელოვნურად მრავლდება ამ შემთხვევაში 7-ზე და იყოფა იმავე შვიდზე. ახლა ჩანაწერმა ნაცნობი ფორმა მიიღო.
როდესაც დავალება შედგენილია ხელით, მიზანშეწონილია მონიშნოთ პირველი მშვენიერი ლიმიტი მარტივი ფანქრით:

Რა მოხდა? ფაქტობრივად, წრიული გამოხატულება გადაიქცა ერთეულად და გაქრა პროდუქტში:

ახლა რჩება მხოლოდ სამსართულიანი წილადის მოშორება:

ვინც დაივიწყა მრავალსართულიანი წილადების გამარტივება, გთხოვთ განაახლოთ მასალა საცნობარო წიგნში ცხელი სკოლის მათემატიკის ფორმულები .

მზადაა. საბოლოო პასუხი:

თუ არ გსურთ ფანქრის ნიშნების გამოყენება, მაშინ გამოსავალი შეიძლება ასე ფორმატირდეს:

“

ჩვენ ვიყენებთ პირველ შესანიშნავ ზღვარს

“

მაგალითი 2

იპოვეთ ლიმიტი

კვლავ ვხედავთ წილადსა და სინუსს ზღვარში. ჩვენ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ ნული მრიცხველში და მნიშვნელში:

მართლაც, ჩვენ გვაქვს გაურკვევლობა და, შესაბამისად, უნდა ვეცადოთ მოვაწყოთ პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი. გაკვეთილზე ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითებიჩვენ განვიხილეთ წესი, რომ როდესაც გვაქვს გაურკვევლობა, მაშინ მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორებად უნდა გავამრავლოთ. აქ - იგივე, ჩვენ წარმოგიდგენთ ხარისხებს პროდუქტის სახით (მამრავლები):

წინა მაგალითის მსგავსად, ჩვენ ფანქრით გამოვყოფთ შესანიშნავ საზღვრებს (აქ არის ორი მათგანი) და მივუთითებთ, რომ ისინი მიდრეკილნი არიან ერთისკენ:

ფაქტობრივად, პასუხი მზად არის:

შემდეგ მაგალითებში, მე არ გავაკეთებ ხელოვნებას Paint-ში, ვფიქრობ, როგორ სწორად შევადგინოთ გამოსავალი ნოუთბუქში - თქვენ უკვე გესმით.

მაგალითი 3

იპოვეთ ლიმიტი

ჩვენ ვცვლით ნულს გამონათქვამში ზღვრის ნიშნის ქვეშ:

მიღებულია გაურკვევლობა, რომელიც უნდა გამჟღავნდეს. თუ ლიმიტში არის ტანგენსი, მაშინ ის თითქმის ყოველთვის გარდაიქმნება სინუსად და კოსინუსად ცნობილი ტრიგონომეტრიული ფორმულის მიხედვით (სხვათა შორის, დაახლოებით იგივეს აკეთებენ კოტანგენსთან, იხილეთ მეთოდოლოგიური მასალა ცხელი ტრიგონომეტრიული ფორმულებიგვერდზე მათემატიკური ფორმულები, ცხრილები და საცნობარო მასალები).

Ამ შემთხვევაში:

ნულის კოსინუსი ერთის ტოლია და მისგან თავის დაღწევა მარტივია (არ დაგავიწყდეთ აღნიშნოთ, რომ ის მიდრეკილია ერთისკენ):

ამრიგად, თუ ლიმიტში კოსინუსი არის გამრავლებული, მაშინ, უხეშად რომ ვთქვათ, ის უნდა იქცეს ერთეულად, რომელიც ქრება პროდუქტში.

აქ ყველაფერი უფრო მარტივი აღმოჩნდა, ყოველგვარი გამრავლებისა და გაყოფის გარეშე. პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი ასევე იქცევა ერთიანობაში და ქრება პროდუქტში:

შედეგად, უსასრულობა მიიღება, ეს ხდება.

მაგალითი 4

იპოვეთ ლიმიტი

ჩვენ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ ნული მრიცხველში და მნიშვნელში:

მიღებული განუსაზღვრელობა (ნულის კოსინუსი, როგორც გვახსოვს, უდრის ერთს)

ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას. გაითვალისწინეთ! გარკვეული მიზეზების გამო, ამ ფორმულის გამოყენების შეზღუდვები ძალიან ხშირია.

ჩვენ ვიღებთ მუდმივ მულტიპლიკატორებს ლიმიტის მიღმა ხატულა:

მოდით მოვაწყოთ პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტი:

აქ გვაქვს მხოლოდ ერთი მშვენიერი ლიმიტი, რომელიც იქცევა ერთად და ქრება პროდუქტში:

მოვიშოროთ სამსართულიანი:

ზღვარი ფაქტობრივად ამოხსნილია, ჩვენ მივუთითებთ, რომ დარჩენილი სინუსი ნულისკენ მიისწრაფვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ ლიმიტი

ეს მაგალითი უფრო რთულია, შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ:

ზოგიერთი ლიმიტი შეიძლება შემცირდეს პირველ შესანიშნავ ზღვარამდე ცვლადის შეცვლით, ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ ცოტა მოგვიანებით სტატიაში ლიმიტის ამოხსნის მეთოდები.

მეორე მშვენიერი ლიმიტი

მათემატიკური ანალიზის თეორიაში დადასტურებულია, რომ:

ამ ფაქტს ე.წ მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

მითითება: ირაციონალური რიცხვია.

არა მხოლოდ ცვლადი შეიძლება იმოქმედოს როგორც პარამეტრი, არამედ კომპლექსური ფუნქცია. მნიშვნელოვანია მხოლოდ ის, რომ ის უსასრულობისკენ ისწრაფვის.

მაგალითი 6

იპოვეთ ლიმიტი

როდესაც ლიმიტის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა ძალაშია - ეს არის პირველი ნიშანი იმისა, რომ თქვენ უნდა სცადოთ მეორე მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება.

მაგრამ ჯერ, როგორც ყოველთვის, ვცდილობთ გამოსახულებაში ჩავანაცვლოთ უსასრულოდ დიდი რიცხვი, რა პრინციპით კეთდება ეს, გაანალიზდა გაკვეთილზე ლიმიტები. გადაწყვეტის მაგალითები.

ადვილი მისახვედრია, როცა ხარისხის საფუძველი და მაჩვენებელი - ანუ, არსებობს ფორმის გაურკვევლობა:

ეს გაურკვევლობა მხოლოდ მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის დახმარებით ვლინდება. მაგრამ, როგორც ხშირად ხდება, მეორე მშვენიერი ზღვარი არ დევს ვერცხლის ლანგარზე და ის ხელოვნურად უნდა იყოს ორგანიზებული. თქვენ შეგიძლიათ მსჯელობა შემდეგნაირად: ამ მაგალითში, პარამეტრი ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე გვჭირდება ორგანიზება ინდიკატორში. ამისათვის ჩვენ ავწევთ საფუძველს ძალამდე და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, ჩვენ ვაყენებთ მას ძალამდე:

როდესაც დავალება შედგენილია ხელით, ფანქრით ვნიშნავთ:

თითქმის ყველაფერი მზადაა, საშინელი ხარისხი ლამაზ ასოდ იქცა:

ამავდროულად, ლიმიტის ხატი თავად გადადის ინდიკატორზე:

მაგალითი 7

იპოვეთ ლიმიტი

ყურადღება! ამ ტიპის ლიმიტი ძალიან გავრცელებულია, გთხოვთ, ყურადღებით შეისწავლოთ ეს მაგალითი.

ჩვენ ვცდილობთ შევცვალოთ უსასრულოდ დიდი რიცხვი გამონათქვამში ლიმიტის ნიშნის ქვეშ:

შედეგი არის გაურკვევლობა. მაგრამ მეორე საყურადღებო ზღვარი ეხება ფორმის გაურკვევლობას. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ხარისხის საფუძველი. ჩვენ ასე ვკამათობთ: მნიშვნელში გვაქვს , რაც ნიშნავს, რომ მრიცხველში ორგანიზებაც გვჭირდება.

იპოვნეთ შესანიშნავი საზღვრებირთულია არა მხოლოდ სწავლის პირველი, მეორე კურსის ბევრი სტუდენტისთვის, რომლებიც სწავლობენ ლიმიტების თეორიას, არამედ ზოგიერთი მასწავლებლისთვისაც.

პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმულა

პირველი საყურადღებო ლიმიტის შედეგები დაწერეთ ფორმულები
1. 2. 3. 4. მაგრამ თავისთავად, ღირსშესანიშნავი ლიმიტების ზოგადი ფორმულები არავის ეხმარება გამოცდაში ან ტესტში. დასკვნა ის არის, რომ რეალური ამოცანები ისეა აგებული, რომ ზემოთ დაწერილი ფორმულები ჯერ კიდევ უნდა მივიდეს. და სტუდენტების უმეტესობა, რომლებიც გამოტოვებენ გაკვეთილებს, სწავლობენ ამ კურსს მიმოწერით ან ჰყავთ მასწავლებლები, რომლებსაც თავად ყოველთვის არ ესმით, რას ხსნიან, ვერ გამოთვლიან ყველაზე ელემენტარულ მაგალითებს შესანიშნავ საზღვრებამდე. პირველი ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ფორმულებიდან ვხედავთ, რომ ისინი შეიძლება გამოვიყენოთ ისეთი გაურკვევლობების გამოსაკვლევად, როგორიცაა ნული გაყოფილი ნულზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მქონე გამონათქვამებისთვის. ჯერ განვიხილავთ მაგალითების სერიას პირველ საყურადღებო ზღვარზე, შემდეგ კი შევისწავლით მეორე შესანიშნავ ზღვარს.

მაგალითი 1. იპოვეთ sin(7*x)/(5*x) ფუნქციის ზღვარი
გამოსავალი: როგორც ხედავთ, ლიმიტის ქვეშ მყოფი ფუნქცია ახლოსაა პირველ შესანიშნავ ზღვართან, მაგრამ თავად ფუნქციის ლიმიტი ნამდვილად არ არის ერთის ტოლი. ლიმიტებზე ასეთი მინიჭებისას მნიშვნელში უნდა გამოვყოთ ცვლადი იგივე კოეფიციენტით, რომელსაც შეიცავს სინუს ქვეშ მყოფი ცვლადი. ამ შემთხვევაში გავყოთ და გავამრავლოთ 7-ზე

ზოგს ასეთი დეტალების გაცნობა ზედმეტი მოეჩვენება, მაგრამ სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებსაც უჭირთ შეზღუდვების მიცემა, ეს დაგეხმარებათ უკეთ გაიაზრონ წესები და შეისწავლონ თეორიული მასალა.
ასევე, თუ არსებობს ფუნქციის ინვერსიული ფორმა - ეს ასევე პირველი მშვენიერი ლიმიტია. და ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ მშვენიერი ზღვარი უდრის ერთს

იგივე წესი ვრცელდება 1 მნიშვნელოვანი ლიმიტის შედეგებზე. ამიტომ, თუ გკითხავთ "რა არის პირველი მშვენიერი ლიმიტი?" უყოყმანოდ უნდა უპასუხოთ, რომ ეს არის ერთეული.

მაგალითი 2. იპოვეთ sin(6x)/tan(11x) ფუნქციის ზღვარი.
ამოხსნა: საბოლოო შედეგის გასაგებად ვწერთ ფუნქციას ფორმაში

ღირსშესანიშნავი ლიმიტის წესების გამოსაყენებლად გაამრავლეთ და გაყავით ფაქტორებზე

შემდეგი, ჩვენ ვწერთ ფუნქციების ნამრავლის ლიმიტს ლიმიტების ნამრავლის მიხედვით

რთული ფორმულების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ზღვარი. მარტივი ფორმულების დასაუფლებლად, შეეცადეთ გამოთვალოთ და იპოვოთ ლიმიტი 2-ზე და 4-ზე, მშვენიერი ლიმიტის დასკვნის 1-ის ფორმულა. ჩვენ განვიხილავთ უფრო რთულ ამოცანებს.

მაგალითი 3. გამოთვალეთ ლიმიტი (1-cos(x))/x^2
ამოხსნა: ჩანაცვლებით შემოწმებისას ვიღებთ გაურკვევლობას 0/0 . ბევრმა არ იცის როგორ შეამციროს ასეთი მაგალითი 1 მშვენიერ ზღვარამდე. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულა

ამ შემთხვევაში, ლიმიტი გარდაიქმნება მკაფიო ფორმაში

ჩვენ მოვახერხეთ ფუნქციის შესანიშნავ ლიმიტის კვადრატამდე შემცირება.

მაგალითი 4. იპოვეთ ლიმიტი
გამოსავალი: ჩანაცვლებისას ვიღებთ ნაცნობ მახასიათებელს 0/0. თუმცა, ცვლადი უახლოვდება Pi-ს და არა ნულს. ამიტომ, პირველი საყურადღებო ლიმიტის გამოსაყენებლად, მოდით შევცვალოთ x ცვლადი ისე, რომ ახალი ცვლადი გადავიდეს ნულამდე. ამისათვის ჩვენ აღვნიშნავთ მნიშვნელს ახალ ცვლადად Pi-x=y

ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია წინა ამოცანაში, მაგალითი მცირდება 1 შესანიშნავ ზღვარამდე.

მაგალითი 5 ლიმიტის გამოთვლა
გამოსავალი: თავდაპირველად გაუგებარია, როგორ გავამარტივოთ საზღვრები. მაგრამ თუ არსებობს მაგალითი, მაშინ უნდა იყოს პასუხი. ის ფაქტი, რომ ცვლადი მიდის ერთიანობაზე, ჩანაცვლებისას იძლევა ნულის ფორმის სინგულარობას, გამრავლებული უსასრულობაზე, ამიტომ ტანგენსი უნდა შეიცვალოს ფორმულით.

ამის შემდეგ ვიღებთ სასურველ გაურკვევლობას 0/0. შემდეგი, ჩვენ ვასრულებთ ცვლადების ცვლილებას ლიმიტში და ვიყენებთ კოტანგენტის პერიოდულობას

ბოლო ჩანაცვლებები საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ აღსანიშნავი ლიმიტის დასკვნა 1.

მეორე საყურადღებო ზღვარი უდრის მაჩვენებელს

ეს არის კლასიკა, რომლისთვისაც რეალურ პრობლემებში ყოველთვის ადვილი არ არის საზღვრების მიღწევა.
გამოთვლებისთვის დაგჭირდებათ ლიმიტები მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის შედეგია:
1. 2. 3. 4.
მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტისა და მისი შედეგების წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ გაურკვევლობები, როგორიცაა ნული გაყოფილი ნულზე, ერთი უსასრულობის ხარისხში და უსასრულობა გაყოფილი უსასრულობაზე და თუნდაც იგივე ხარისხით.

დავიწყოთ რამდენიმე მარტივი მაგალითით.

მაგალითი 6 იპოვნეთ ფუნქციის ზღვარი
გამოსავალი: 2 მშვენიერი ლიმიტის პირდაპირ გამოყენება არ იმუშავებს. ჯერ უნდა გადაატრიალოთ ინდიკატორი ისე, რომ მას ჰქონდეს ფრჩხილებში მოცემული ტერმინის საპირისპირო ფორმა

ეს არის მე-2 საყურადღებო ზღვრამდე შემცირების ტექნიკა და, ფაქტობრივად, ლიმიტის შედეგის მე-2 ფორმულის წარმოშობა.

მაგალითი 7 იპოვნეთ ფუნქციის ზღვარი
ამოხსნა: ჩვენ გვაქვს ამოცანები ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მე-2 შედეგის მე-3 ფორმულისთვის. ნულოვანი ჩანაცვლება იძლევა 0/0 ფორმის სინგულარობას. წესის მიხედვით ლიმიტის ასამაღლებლად, ჩვენ ვაქცევთ მნიშვნელს ისე, რომ ცვლადს ჰქონდეს იგივე კოეფიციენტი, როგორც ლოგარითმში.

ასევე ადვილი გასაგებია და გამოცდაზე შესრულება. მოსწავლეთა სირთულეები ლიმიტების გამოთვლაში იწყება შემდეგი ამოცანებით.

მაგალითი 8 ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
ამოხსნა: გვაქვს 1 ტიპის სინგულარობა უსასრულობის ხარისხში. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ ყველგან „x“-ის ნაცვლად უსასრულობა ჩაანაცვლოთ და თავად დარწმუნდეთ. წესით ასამაღლებლად მრიცხველს ვყოფთ მნიშვნელზე ფრჩხილებში, ამისთვის ჯერ ვასრულებთ მანიპულაციებს

შეცვალეთ გამონათქვამი ლიმიტით და გადააქციეთ 2 შესანიშნავ ზღვარზე

ზღვარი არის 10-ის სიმძლავრის მაჩვენებელი. მუდმივები, რომლებიც ცვლადის მქონე ტერმინებია როგორც ფრჩხილებში, ისე ხარისხით, არ უწყობს ხელს რაიმე „ამინდი“ - ეს უნდა გვახსოვდეს. და თუ მასწავლებლები გკითხავენ - "რატომ არ ატრიალებთ ინდიკატორს?" (ამ მაგალითისთვის x-3), შემდეგ თქვით, რომ "როდესაც ცვლადი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, დაამატეთ მას 100, ან გამოაკლეთ 1000 და ზღვარი იგივე დარჩება!".
ამ ტიპის ლიმიტების გამოთვლის მეორე გზა არსებობს. ამის შესახებ შემდეგ დავალებაში ვისაუბრებთ.

მაგალითი 9 იპოვეთ ლიმიტი
ამოხსნა: ახლა ამოვიღებთ ცვლადს მრიცხველში და მნიშვნელში და ვაქცევთ ერთ მახასიათებელს მეორეში. საბოლოო მნიშვნელობის მისაღებად ვიყენებთ აღსანიშნავი ლიმიტის დასკვნის 2 ფორმულას

მაგალითი 10 იპოვნეთ ფუნქციის ზღვარი
გამოსავალი: ყველა ვერ იპოვის მოცემულ ლიმიტს. ლიმიტის 2-მდე ასამაღლებლად, წარმოიდგინეთ, რომ sin (3x) არის ცვლადი და თქვენ უნდა შეცვალოთ მაჩვენებლები

შემდეგი, ჩვენ ვწერთ ინდიკატორს, როგორც ხარისხი ხარისხში


შუალედური არგუმენტები აღწერილია ფრჩხილებში. პირველი და მეორე შესანიშნავი ლიმიტების გამოყენების შედეგად მივიღეთ კუბური მაჩვენებლები.

მაგალითი 11. ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა sin(2*x)/log(3*x+1)
გამოსავალი: გვაქვს 0/0 ფორმის გაურკვევლობა. გარდა ამისა, ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია უნდა გარდაიქმნას ორივე შესანიშნავი ლიმიტის გამოყენებაში. შევასრულოთ წინა მათემატიკური გარდაქმნები

გარდა ამისა, სირთულის გარეშე, ლიმიტი იღებს მნიშვნელობას

ასე თავს კომფორტულად იგრძნობთ ტესტებზე, ტესტებზე, მოდულებზე, თუ ისწავლით როგორ სწრაფად დახატოთ ფუნქციები და შეამციროთ ისინი პირველ ან მეორე შესანიშნავ ზღვრამდე. თუ გაგიჭირდებათ ლიმიტების პოვნის ზემოაღნიშნული მეთოდების დამახსოვრება, მაშინ ჩვენთან ყოველთვის შეგიძლიათ შეუკვეთოთ საკონტროლო სამუშაოები ლიმიტებზე.
ამისათვის შეავსეთ ფორმა, მიუთითეთ მონაცემები და დაურთოთ ფაილი მაგალითებით. ჩვენ ბევრ სტუდენტს დავეხმარეთ - ჩვენც შეგვიძლია დაგეხმაროთ!