მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის

Ექსპერიმენტი

გაკვეთილი 9 შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ივარჯიშე

გაკვეთილის შეჯამება

ძირითადად, რკალი ფუნქციებთან მუშაობის უნარი გამოგვადგება ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ამოცანები, რომლებსაც ახლა განვიხილავთ, იყოფა ორ ტიპად: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა და მათი გადაქცევა ძირითადი თვისებების გამოყენებით.

რკალის ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა

დავიწყოთ რკალის ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლით.

დავალება #1. გამოთვალეთ.

როგორც ხედავთ, რკალის ფუნქციების ყველა არგუმენტი დადებითი და ცხრილია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ კუთხეების მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის პირველი ნაწილიდან კუთხებისთვის დან . კუთხის ეს დიაპაზონი შედის თითოეული რკალის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ ვიყენებთ ცხრილს, ვიპოვით მასში ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობას და აღვადგენთ რომელ კუთხეს შეესაბამება.

ა)

ბ)

in)

გ)

უპასუხე. .

დავალება #2. გამოთვალეთ

.

ამ მაგალითში უკვე ვხედავთ უარყოფით არგუმენტებს. ტიპიური შეცდომა ამ შემთხვევაში არის ფუნქციის ქვეშ მინუსის უბრალოდ ამოღება და უბრალოდ დავალების წინაზე შემცირება. თუმცა, ეს შეიძლება ყველა შემთხვევაში არ იყოს შესაძლებელი. გავიხსენოთ, როგორ განვსაზღვრეთ გაკვეთილის თეორიულ ნაწილში ყველა რკალი ფუნქციის პარიტეტი. კენტი არის რკალი და არქტანგენსი, ანუ მათგან მინუსი ამოღებულია, ხოლო არკოზინი და არკოტანგენსი ზოგადი ფორმის ფუნქციებია, არგუმენტში მინუსის გასამარტივებლად მათ აქვთ სპეციალური ფორმულები. გაანგარიშების შემდეგ, შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, ვამოწმებთ, რომ შედეგი შედის მნიშვნელობების დიაპაზონში.

როდესაც ფუნქციის არგუმენტები გამარტივებულია დადებით ფორმამდე, ჩვენ ვწერთ შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობებს ცხრილიდან.

შეიძლება გაჩნდეს კითხვა, რატომ არ უნდა ამოწეროთ შესაბამისი კუთხის მნიშვნელობა, მაგალითად, დაუყოვნებლივ ცხრილიდან? ჯერ ერთი, იმიტომ, რომ წინა ცხრილი უფრო რთული დასამახსოვრებელია, ვიდრე ადრე, და მეორეც, იმიტომ, რომ მასში არ არის უარყოფითი სინუსური მნიშვნელობები და უარყოფითი ტანგენტის მნიშვნელობები ცხრილის მიხედვით არასწორ კუთხეს მისცემს. უმჯობესია გქონდეთ ერთიანი მიდგომა გადაწყვეტის მიმართ, ვიდრე დაბნეული იყოთ მრავალი განსხვავებული მიდგომით.

დავალება #3. გამოთვალეთ.

ა) ტიპიური შეცდომა ამ შემთხვევაში არის მინუსის ამოღება და რაღაცის გამარტივება. პირველი, რაც უნდა შეამჩნიოთ, არის ის, რომ რკალის არგუმენტი სცილდება

მაშასადამე, ამ ჩანაწერს მნიშვნელობა არ აქვს და არქსინის გამოთვლა შეუძლებელია.

ბ) სტანდარტული შეცდომა ამ შემთხვევაში არის ის, რომ ისინი ერთმანეთში არევენ არგუმენტისა და ფუნქციის მნიშვნელობებს და აძლევენ პასუხს. Ეს არ არის სიმართლე! რა თქმა უნდა, ჩნდება აზრი, რომ ცხრილში მნიშვნელობა შეესაბამება კოსინუსს, მაგრამ ამ შემთხვევაში დაბნეულია, რომ რკალის ფუნქციები გამოითვლება არა კუთხიდან, არამედ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებით. ანუ არა.

გარდა ამისა, რადგან ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის ზუსტად რკალის კოსინუსის არგუმენტი, აუცილებელია შევამოწმოთ, რომ იგი შედის განსაზღვრების დომენში. ამისათვის გახსოვდეთ ეს ანუ, რაც ნიშნავს, რომ რკალის კოსინუსს აზრი არ აქვს და მისი გამოთვლა შეუძლებელია.

სხვათა შორის, მაგალითად, გამოთქმას აქვს აზრი, რადგან, მაგრამ რადგან კოსინუსის ტოლი მნიშვნელობა არ არის ცხრილი, მაშინ შეუძლებელია რკალის კოსინუსის გამოთვლა ცხრილის გამოყენებით.

უპასუხე. გამოთქმებს აზრი არ აქვს.

ამ მაგალითში ჩვენ არ განვიხილავთ არქტანგენტს და არკოტანგენტს, რადგან მათ არ აქვთ შეზღუდული არეალი და ფუნქციების მნიშვნელობები იქნება ნებისმიერი არგუმენტისთვის.

დავალება #4. გამოთვალეთ .

სინამდვილეში, დავალება შემცირებულია პირველზე, ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვთვალოთ ცალ-ცალკე ორი ფუნქციის მნიშვნელობები და შემდეგ ჩავანაცვლოთ ისინი თავდაპირველ გამოხატულებაში.

რკალის ტანგენტის არგუმენტი არის ცხრილი და შედეგი არის დიაპაზონში.

არკოზინის არგუმენტი არ არის ცხრილი, მაგრამ ამან არ უნდა შეგვაშინოს, რადგან რასაც არქოზინი უდრის, მისი მნიშვნელობა ნულზე გამრავლებისას მიიღება ნულამდე. რჩება ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: აუცილებელია შემოწმდეს, ეკუთვნის თუ არა არკოზინის არგუმენტი განსაზღვრების სფეროს, რადგან თუ არა, მაშინ მთლიან გამოთქმას აზრი არ ექნება, მიუხედავად იმისა, რომ შეიცავს ნულზე გამრავლებას. მაგრამ, ასე რომ, შეგვიძლია ვიკამათოთ, რომ აზრი აქვს და პასუხში ნულს მივიღებთ.

მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი, რომელშიც აუცილებელია ერთი რკალის ფუნქციის გამოთვლა, მეორის მნიშვნელობის ცოდნა.

დავალება #5. გამოთვალეთ თუ ცნობილია, რომ.

შეიძლება ჩანდეს, რომ ჯერ უნდა გამოვთვალოთ x-ის მნიშვნელობა მითითებული განტოლებიდან, შემდეგ კი მისი ჩანაცვლება სასურველ გამოსახულებაში, ანუ რკალის კოტანგენტში, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი.

გავიხსენოთ ფორმულა, რომლითაც ეს ფუნქციები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული:

და მისგან გამოვხატავთ იმას, რაც გვჭირდება:

დარწმუნებისთვის, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ შედეგი მდგომარეობს რკალის კოტანგენტის დიაპაზონში.

რკალის ფუნქციების ტრანსფორმაციები მათი ძირითადი თვისებების გამოყენებით

ახლა გადავიდეთ დავალებების სერიაზე, რომლებშიც მოგვიწევს რკალის ფუნქციების გარდაქმნების გამოყენება მათი ძირითადი თვისებების გამოყენებით.

დავალება #6. გამოთვალეთ .

გამოსავლისთვის ჩვენ გამოვიყენებთ მითითებული რკალი ფუნქციების ძირითად თვისებებს, მხოლოდ მათ შესაბამისი შეზღუდვების შემოწმებას.

ა)

ბ) .

უპასუხე. ა) ; ბ) .

დავალება #7. გამოთვალეთ.

ტიპიური შეცდომა ამ შემთხვევაში არის პასუხის დაუყოვნებლივ ჩაწერა 4. როგორც წინა მაგალითში ავღნიშნეთ, რკალი ფუნქციების ძირითადი თვისებების გამოსაყენებლად აუცილებელია მათი არგუმენტის შესაბამისი შეზღუდვების შემოწმება. საქმე გვაქვს ქონებასთან:

ზე

მაგრამ . გადაწყვეტილების ამ ეტაპზე მთავარია არ ვიფიქროთ, რომ მითითებულ გამოთქმას აზრი არ აქვს და ვერ გამოითვლება. ბოლოს და ბოლოს, ოთხმაგი, რომელიც არის ტანგენსის არგუმენტი, შეგვიძლია შევამციროთ ტანგენტის პერიოდის გამოკლებით და ეს არ იმოქმედებს გამოხატვის მნიშვნელობაზე. ასეთი მოქმედებების განხორციელების შემდეგ, ჩვენ გვექნება შანსი შევამციროთ არგუმენტი ისე, რომ ის შევიდეს მითითებულ დიაპაზონში.

ვინაიდან, შესაბამისად, , იმიტომ რომ .

დავალება #8. გამოთვალეთ.

ამ მაგალითში საქმე გვაქვს გამონათქვამთან, რომელიც მსგავსია არქსინის ძირითადი თვისებისა, მაგრამ მხოლოდ ის შეიცავს თანაფუნქციებს. ის უნდა მივიყვანოთ რკოსინის სინუსის ან არქოზინის კოსინუსის ფორმამდე. ვინაიდან პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაცია უფრო ადვილია, ვიდრე ინვერსიული, მოდით გადავიდეთ სინუსიდან კოსინუსზე "ტრიგონომეტრიული ერთეულის" ფორმულის გამოყენებით.

როგორც უკვე ვიცით:

ჩვენს შემთხვევაში, როლში. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ ჯერ გამოვთვალოთ .

სანამ ფორმულაში ჩავანაცვლებთ, ვიგებთ მის ნიშანს, ანუ თავდაპირველი სინუსის ნიშანს. ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ სინუსი რკალის კოსინუსის მნიშვნელობიდან, როგორიც არ უნდა იყოს ეს მნიშვნელობა, ვიცით, რომ ის დიაპაზონშია. ეს დიაპაზონი შეესაბამება პირველი და მეორე მეოთხედის კუთხეებს, რომლებშიც სინუსი დადებითია (ეს თავად შეამოწმეთ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით).

დღევანდელ პრაქტიკულ სესიაზე განვიხილეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების გამოთვლა და ტრანსფორმაცია.

დააფიქსირეთ მასალა სიმულატორების დახმარებით

მანქანა 1 მანქანა 2 მანქანა 3 მანქანა 4 მანქანა 5

გაკვეთილები 32-33. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

09.07.2015 6432 0

სამიზნე: განვიხილოთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გამოყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამონახსნების ჩასაწერად.

I. გაკვეთილების თემისა და მიზნების კომუნიკაცია

II. ახალი მასალის სწავლა

1. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

დავიწყოთ ეს თემა შემდეგი მაგალითით.

მაგალითი 1

მოდით ამოხსნათ განტოლება:ა) sin x = 1/2; ბ) ცოდვა x \u003d ა.

ა) ორდინატთა ღერძზე გამოვყოთ მნიშვნელობა 1/2 და გამოვსახოთ კუთხეები x 1 და x2, რისთვისაცცოდვა x = 1/2. ამ შემთხვევაში, x1 + x2 = π, საიდანაც x2 = π – x 1 . ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის მიხედვით ვპოულობთ მნიშვნელობას x1 = π/6, შემდეგჩვენ ვითვალისწინებთ სინუსური ფუნქციის პერიოდულობას და ვწერთ ამ განტოლების ამონახსნებს:სადაც k ∈ Z.

ბ) აშკარაა, რომ განტოლების ამოხსნის ალგორითმიცოდვა x = a იგივეა, რაც წინა აბზაცში. რა თქმა უნდა, ახლა a-ს მნიშვნელობა გამოსახულია y-ღერძის გასწვრივ. საჭიროა როგორმე აღვნიშნოთ კუთხე x1. ჩვენ შევთანხმდით ასეთი კუთხის აღნიშვნაზე სიმბოლოთირკალი ცოდვა ა. მაშინ ამ განტოლების ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს როგორცეს ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:სადაც

ანალოგიურად არის შემოღებული სხვა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ძალიან ხშირად საჭიროა კუთხის მნიშვნელობის დადგენა მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან. ასეთი პრობლემა მრავალმნიშვნელოვანია - არის უსასრულო რაოდენობის კუთხეები, რომელთა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ერთნაირი სიდიდის ტოლია. ამიტომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთფეროვნებიდან გამომდინარე, შემოღებულია შემდეგი შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები კუთხეების ცალსახად დასადგენად.

a-ს რკალი (arcsin , რომლის სინუსი უდრის a-ს, ე.ი.

რიცხვის რკალის კოსინუსია (არქოსი ა) - ისეთი კუთხე a ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი უდრის a-ს, ე.ი.

რიცხვის თაღოვანი ტანგენსია (არქტგ ა) - ასეთი კუთხე a ინტერვალიდანრომლის ტანგენტი არის a, ე.ი.tg a = a.

რიცხვის თაღოვანი ტანგენსია (არქტგ ა) - ისეთი კუთხე a ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს, ე.ი. ctg a = a.

მაგალითი 2

მოდი ვიპოვოთ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებიდან გამომდინარე, მივიღებთ:

მაგალითი 3

გამოთვლა

მოდით კუთხე a = arcsin 3/5, შემდეგ განსაზღვრებით sin a = 3/5 და . ამიტომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ cos ა. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ:მხედველობაში მიიღება, რომ cos a ≥ 0. ასე რომ,

ფუნქციის თვისებები	ფუნქცია
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
დომენი	x ∈ [-1; ერთი]	x ∈ [-1; ერთი]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
ღირებულებების დიაპაზონი	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π /2)	y ∈ (0; π)
პარიტეტი	კენტი	არც ლუწი და არც კენტი	კენტი	არც ლუწი და არც კენტი
ფუნქციის ნულები (y = 0)	როდესაც x = 0	x = 1-ისთვის	როდესაც x = 0	y ≠ 0
მუდმივი ინტერვალები	y > 0 x ∈-ისთვის (0; 1], ზე< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 x ∈-ისთვის [-1; ერთი)	y > 0 x ∈-ისთვის (0; +∞), ზე< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x ∈-ისთვის (-∞; +∞)
მონოტონური	მზარდი	მცირდება	მზარდი	მცირდება
კავშირი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციასთან	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
განრიგი

მოდით მოვიყვანოთ არაერთი ტიპიური მაგალითი, რომლებიც დაკავშირებულია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებთან და ძირითად თვისებებთან.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

იმისათვის, რომ y ფუნქცია განისაზღვროს, აუცილებელია უტოლობარომელიც უდრის უტოლობათა სისტემასპირველი უტოლობის ამონახსნი არის x ინტერვალი∈ (-∞; +∞), მეორე -ეს ინტერვალი და არის გამოსავალი უტოლობათა სისტემისა და, შესაბამისად, ფუნქციის დომენისთვის

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის ცვლილების არე

განვიხილოთ ფუნქციის ქცევაზ \u003d 2x - x2 (იხ. სურათი).

ჩანს, რომ z ∈ (-∞; 1]. იმის გათვალისწინებით, რომ არგუმენტიზ შებრუნებული ტანგენსის ფუნქცია იცვლება მითითებულ საზღვრებში, ცხრილის მონაცემებიდან ვიღებთ ამასამრიგად, ცვლილების არეალი

მაგალითი 6

დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია y = arctg x კენტი. დაე იყოსშემდეგ tg a \u003d -x ან x \u003d - tg a \u003d tg (- a), და ამიტომ, - a \u003d arctg x ან a \u003d - arctg X. ამრიგად, ჩვენ ამას ვხედავთანუ y(x) არის კენტი ფუნქცია.

მაგალითი 7

ჩვენ გამოვხატავთ ყველა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიხედვით

დაე იყოს აშკარაა რომ შემდეგ მას შემდეგ

მოდით შემოვიტანოთ კუთხე როგორც მაშინ

შესაბამისად, შესაბამისად და

Ისე,

მაგალითი 8

მოდით ავაშენოთ y \u003d ფუნქციის გრაფიკი cos (arcsin x).

აღნიშნეთ \u003d arcsin x, შემდეგ ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ x \u003d sin a და y \u003d cos a, ანუ x 2 + y2 = 1 და შეზღუდვები x (x∈ [-ერთი; 1]) და y (y ≥ 0). შემდეგ y = ფუნქციის გრაფიკი cos(arcsin x) არის ნახევარწრიული.

მაგალითი 9

მოდით ავაშენოთ y \u003d ფუნქციის გრაფიკი arccos (cosx).

ვინაიდან ფუნქცია cos x ცვლილებები სეგმენტზე [-1; 1], შემდეგ ფუნქცია y განისაზღვრება მთელ რეალურ ღერძზე და იცვლება ინტერვალზე. ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ y = arccos (cosx) \u003d x სეგმენტზე; ფუნქცია y არის ლუწი და პერიოდული 2π პერიოდით. იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციას აქვს ეს თვისებები cos x, ახლა ადვილია შეთქმულება.

ჩვენ აღვნიშნავთ რამდენიმე სასარგებლო თანასწორობას:

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობებიაღნიშნეთ მაშინ მიიღეთ ფუნქცია ამ ფუნქციას აქვს მინიმალური რაოდენობა z = π/4 და ის უდრის ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილში z = -π/2 და ის უდრის ამრიგად, და

მაგალითი 11

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:ან სადაც რკალის ტანგენტის განმარტებით ვიღებთ:

2. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

მაგალითად 1-ის მსგავსად, შეგიძლიათ მიიღოთ ამონახსნები უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების შესახებ.

განტოლება	გადაწყვეტილება
tgx = a
ctg x = a

მაგალითი 12

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან სინუს ფუნქცია კენტია, განტოლებას ვწერთ ფორმითამ განტოლების ამონახსნები:სად ვიპოვოთ

მაგალითი 13

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით ვწერთ განტოლების ამონახსნებს:და იპოვე

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებების ამოხსნისას კონკრეტულ შემთხვევებში (a = 0; ±1). sin x = a და cos x \u003d მაგრამ უფრო ადვილი და მოსახერხებელია გამოიყენოთ არა ზოგადი ფორმულები, არამედ დაწეროთ გადაწყვეტილებები ერთეული წრის საფუძველზე:

განტოლებისთვის sin x = 1 ამონახსნი

განტოლებისთვის sin x \u003d 0 ამონახსნები x \u003d π k;

განტოლებისთვის sin x = -1 ამონახსნი

განტოლებისთვის cos x = 1 ამონახსნი x = 2πკ;

cos x = 0 განტოლებისთვის

cos x = -1 განტოლებისთვის

მაგალითი 14

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან ამ მაგალითში არის განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევა, ჩვენ ვწერთ ამონახსანს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით:სად ვიპოვოთ

III. საკონტროლო კითხვები (ფრონტალური გამოკითხვა)

1. განსაზღვრეთ და ჩამოთვალეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

2. მიეცით შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.

3. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

IV. დავალება გაკვეთილებზე

§ 15, No3 (a, b); 4 (c, d); 7 (ა); 8 (ა); 12(ბ); 13(a); 15 (გ); 16 (ა); 18 (ა, ბ); 19 (გ); 21;

§ 16, No4 (a, b); 7 (ა); 8 (ბ); 16 (ა, ბ); 18(ა); 19 (გ, დ);

§ 17, No3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (ბ); 10 (ა, გ).

V. საშინაო დავალება

§ 15, No3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (ბ); 12 (ა); 13(ბ); 15 (დ); 16(ბ); 18 (გ, დ); 19 (დ); 22;

§ 16, No4 (c, d); 7(ბ); 8 (ა); 16 (c, d); 18(ბ); 19 (ა, ბ);

§ 17, No3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (ა, ბ); 9 (დ); 10 (ბ, დ).

VI. შემოქმედებითი ამოცანები

1. იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები:

პასუხები:

2. იპოვეთ ფუნქციის დიაპაზონი:

პასუხები:

3. ფუნქციის გრაფიკი:

VII. გაკვეთილების შეჯამება

რუსეთის ფედერაციის განათლების ფედერალური სააგენტო

SEI HPE "მარის სახელმწიფო უნივერსიტეტი"

მათემატიკისა და მპმ დეპარტამენტი

კურსის მუშაობა

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

Შესრულებული:

სტუდენტი

33 JNF ჯგუფი

იაშმეტოვა ლ.ნ.

ხელმძღვანელი:

დოქტორი ასისტენტ - პროფესორი

ბოროდინა მ.ვ.

იოშკარ-ოლა

შესავალი …………………………………………………………………………………...3

თავი I. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება.

1.1. ფუნქცია y=რკალი ცოდვა x……………………………………………………........4

1.2. ფუნქცია y=არკოები x…………………………………………………….......5

1.3. ფუნქცია y=arctg x………………………………………………………….6

1.4. ფუნქცია y=arcctg x…………………………………………………….......7

თავი II. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით განტოლებების ამოხსნა.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მიმართებები ... .8

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნა……………………………………………………………………………..11

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა ................... 21

დასკვნა………………………………………………………………………….25

გამოყენებული ლიტერატურის სია………………………………………………………………………………………………………

შესავალი

ბევრ პრობლემაში საჭიროა არა მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა მოცემული კუთხისთვის, არამედ, პირიქით, კუთხის ან რკალისთვის გარკვეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მოცემული მნიშვნელობისთვის.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პრობლემები შეიცავს USE ამოცანებს (განსაკუთრებით ბევრი B და C ნაწილებში). მაგალითად, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B ნაწილში, საჭირო იყო ტანგენტის შესაბამისი მნიშვნელობის პოვნა სინუსის (კოსინუსის) მნიშვნელობით ან გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილის მნიშვნელობებს. რაც შეეხება ამ ტიპის დავალებებს, აღვნიშნავთ, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოებში ასეთი ამოცანები არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ ჩამოყალიბდეს მათი შესრულების მყარი უნარი.

რომ. სასწავლო კურსის მიზანია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და მათი თვისებების გათვალისწინება და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ამოცანების ამოხსნის სწავლა.

მიზნის მისაღწევად, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი ამოცანები:

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თეორიული საფუძვლების შესწავლა,

აჩვენეთ თეორიული ცოდნის გამოყენება პრაქტიკაში.

თავიმე. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება

1.1. ფუნქცია y =რკალი ცოდვაx

განიხილეთ ფუნქცია
. (1)

ამ ინტერვალში ფუნქცია მონოტონურია (იზრდება -1-დან 1-მდე), შესაბამისად არის შებრუნებული ფუნქცია.

,
. (2)

თითოეული მოცემული ღირებულებისთვის ზე(სინუს მნიშვნელობა) [-1,1] ინტერვალიდან შეესაბამება ერთ კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას X(რკალის მნიშვნელობა) დიაპაზონიდან
. ზოგადად მიღებულ აღნიშვნაზე გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ

სად
. (3)

ეს არის ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური სპეციფიკაცია (1). ფუნქცია (3) ეწოდება რკალიარგუმენტი . ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიული მრუდი, სადაც I და III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ.

წარმოვადგინოთ ფუნქციის თვისებები, სადაც .

საკუთრება 1.ფუნქციის მნიშვნელობების ცვლილების არე: .

საკუთრება 2.ფუნქცია კენტია, ე.ი.

საკუთრება 3.ფუნქციას სადაც , აქვს ერთი ფესვი
.

საკუთრება 4.თუ მაშინ
; თუ , მაშინ.

საკუთრება 5.ფუნქცია მონოტონურია: როგორც არგუმენტი იზრდება -1-დან 1-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობა იზრდება დან
ადრე
.

1.2. ფუნქციაწ = ართანcosx

განიხილეთ ფუნქცია
, . (4)

ამ ინტერვალში ფუნქცია მონოტონურია (მცირდება +1-დან -1-მდე), რაც ნიშნავს, რომ მისთვის არის შებრუნებული ფუნქცია.

, , (5)

იმათ. თითოეული ღირებულება (კოსინუსის მნიშვნელობა) [-1,1] ინტერვალიდან შეესაბამება ერთ კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას (რკალის მნიშვნელობა) ინტერვალიდან . ზოგადად მიღებულ აღნიშვნაზე გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ

, . (6)

ეს არის ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური სპეციფიკაცია (4). ფუნქცია (6) ეწოდება რკალის კოსინუსიარგუმენტი X. ამ ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება აშენდეს ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკების თვისებების საფუძველზე.

ფუნქცია , სადაც , აქვს შემდეგი თვისებები.

საკუთრება 1.ფუნქციის მნიშვნელობების ცვლილების არე:
.

საკუთრება 2.რაოდენობები
და
თანაფარდობით დაკავშირებული

საკუთრება 3.ფუნქციას აქვს ერთი ფესვი
.

საკუთრება 4.ფუნქცია არ იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს.

საკუთრება 5.ფუნქცია მონოტონურია: როგორც არგუმენტი იზრდება -1-დან +1-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება 0-მდე.

1.3. ფუნქციაწ = arctgx

განიხილეთ ფუნქცია
,
. (7)

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც მკაცრად დევს ინტერვალიდან დან ; ის არ არსებობს ამ ინტერვალის ბოლოებში, რადგან მნიშვნელობები

- ტანგენსის წყვეტის წერტილები.

შუალედში
ფუნქცია მონოტონურია (იზრდება -
ადრე
), შესაბამისად, ფუნქციისთვის (1) არის შებრუნებული ფუნქცია:

,
, (8)

იმათ. ყოველ მოცემულ მნიშვნელობაზე (ტანგენტის მნიშვნელობა) ინტერვალიდან
შეესაბამება ერთ კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას (რკალის სიდიდე) ინტერვალიდან .

ზოგადად მიღებულ აღნიშვნაზე გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ

,
. (9)

ეს არის ფუნქციის ანალიტიკური სპეციფიკაცია (7-ზე). ფუნქცია (9) ეწოდება რკალის ტანგენსიარგუმენტი X. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც
ფუნქციის მნიშვნელობა
, და როცა

, ე.ი. ფუნქციის გრაფიკს აქვს ორი ასიმპტოტი:
და.

ფუნქცია , , აქვს შემდეგი თვისებები.

საკუთრება 1.ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი
.

საკუთრება 2.ფუნქცია კენტია, ე.ი. .

საკუთრება 3.ფუნქციას აქვს ერთი ფესვი.

საკუთრება 4.Თუ
, მაშინ

; თუ , მაშინ
.

საკუთრება 5.ფუნქცია მონოტონურია: როგორც არგუმენტი იზრდება, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება +-მდე.

1.4. ფუნქციაწ = arcctgx

განიხილეთ ფუნქცია
,
. (10)

ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც დევს ინტერვალში 0-დან ; ის არ არსებობს ამ ინტერვალის ბოლოებში, რადგან მნიშვნელობები და არის კოტანგენტის შეწყვეტის წერტილები. ინტერვალში (0,) ფუნქცია მონოტონურია (მცირდება მდე), შესაბამისად, ფუნქციისთვის (1) არის შებრუნებული ფუნქცია.

, (11)

იმათ. თითოეულ მოცემულ მნიშვნელობას (კოტანგენტის მნიშვნელობა) ინტერვალიდან (
) შეესაბამება ერთ კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას (რკალის სიდიდე) ინტერვალიდან (0,). საყოველთაოდ მიღებულ აღნიშვნაზე რომ მივმართოთ, ჩვენ მივიღებთ დაკავშირებას რეზიუმე >> მათემატიკა ტრიგონომეტრიით ფუნქციები. რომ საპირისპირო ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიჩვეულებრივ მოიხსენიება როგორც ექვსი ფუნქციები: რკალი...

ცნების განვითარების დიალექტიკა ფუნქციებისასკოლო მათემატიკაში

ნაშრომი >> პედაგოგიკა

... . უკუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მთავარი მიზანია თვისებების შესწავლა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ასწავლეთ მოსწავლეებს თავიანთი გრაფიკების აგება. Პირველი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ...

როგორ გაჩნდა და განვითარდა კონცეფცია? ფუნქციები

რეზიუმე >> მათემატიკა

როგორ მოიცავს ეს განტოლება საპირისპირო ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, ციკლოიდი არ არის ალგებრული... და ასევე აღნიშვნა ტრიგონომეტრიული) საპირისპირო ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები. ასეთი ფუნქციებიელემენტარული ეწოდება. მალე...

სექციები: მათემატიკა

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ფართოდ გამოიყენება გამოთვლებში.

შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დაკავშირებული ამოცანები ხშირად უქმნის მნიშვნელოვან სირთულეებს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს. ეს, უპირველეს ყოვლისა, განპირობებულია იმით, რომ არსებულ სახელმძღვანელოებსა და სახელმძღვანელოებში ასეთ დავალებებს დიდი ყურადღება არ ეთმობა და თუ მოსწავლეები მაინც როგორღაც უმკლავდებიან შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლის ამოცანებს, მაშინ განტოლებები და ამ ფუნქციების შემცველი უტოლობა ხშირად აბნევს მათ. ეს უკანასკნელი გასაკვირი არ არის, რადგან პრაქტიკულად არც ერთი სახელმძღვანელო (მათ შორის სახელმძღვანელოები კლასებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით) არ აღწერს ამ ტიპის უმარტივესი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდსაც. შემოთავაზებული პროგრამა ეძღვნება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდებს და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების გარდაქმნას.

გამოადგება როგორც მაღალ კლასებში - როგორც ზოგადსაგანმანათლებლო და მათემატიკაში მომუშავე მასწავლებლებს, ასევე მათემატიკით დაინტერესებულ მოსწავლეებს.

ეს კურსი აფართოებს მათემატიკის საბაზისო კურსს, იძლევა შესაძლებლობას გაეცნოთ მათემატიკის საინტერესო კითხვებს. კურსში განხილული კითხვები მათემატიკის საჭირო კურსის ფარგლებს სცილდება. თუმცა, ისინი მჭიდრო კავშირშია ძირითად კურსთან. შესაბამისად, ეს არჩევითი კურსი ხელს შეუწყობს სტუდენტების მათემატიკური ცოდნისა და უნარების გაუმჯობესებას და განვითარებას.

გაკვეთილების ჩატარებისას გამოყენებული უნდა იყოს ტრადიციული ფორმები, როგორიცაა ლექცია და სემინარი, მაგრამ წინა პლანზე უნდა გამოვიდეს ისეთი ორგანიზაციული ფორმები, როგორიცაა დისკუსია, დებატები, პრეზენტაციები, ესეების წერა.

საბოლოო სერტიფიცირების ვარიანტები შეიძლება იყოს: ტესტირება, ტესტები, მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებულ თემებზე ესეების წერა; ინდივიდუალური ამოცანები, რომლებშიც აუცილებელია დამოუკიდებელი კვლევის ჩატარება, თემატური ტესტები.

კურსის მიზანია შექმნას პირობები სპეციალიზებული ტრენინგის განსახორციელებლად; მათემატიკური ცოდნის ინტეგრალური სისტემის ჩამოყალიბება და სხვადასხვა პროფილის უნივერსიტეტებში მათემატიკური განათლების გაგრძელების საფუძველი.

კურსის მიზნები:

• გააფართოვოს მოსწავლეთა მათემატიკური ცოდნის ფარგლები;
• გააფართოვოს მოსწავლეების გაგება შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესახებ;
• შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების, უტოლობების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების განზოგადება;
• განიხილეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკების აგების მეთოდები.

მოთხოვნები სტუდენტების მომზადების დონის მიმართ.

• სტუდენტებმა უნდა იცოდნენ:
  – შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრა, მათი თვისებები;
  - ძირითადი ფორმულები;
  – შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდები;
  – ფუნქციის გრაფიკების გამოსახვის მეთოდები: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• სტუდენტებს უნდა შეეძლოთ:
  - გამოიყენოს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები და ძირითადი ფორმულები;
  – ამოხსნის უმარტივეს განტოლებებსა და უტოლობას;
  – შეასრულოს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია;
  - განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის გამოყენება;
  – ამოხსნას განტოლებები და უტოლობა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი პარამეტრებით;
  - შეადგინეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.

მოცემული თემატური კურსის დაგეგმვა სამაგალითოა. მასწავლებელს შეუძლია შეცვალოს ცალკეული თემების შესწავლისთვის დათმობილი საათების რაოდენობა, მოსწავლეთა მომზადების დონის გათვალისწინებით.

თემატური დაგეგმვა

	საგანი	საათების რაოდენობა	სასწავლო აქტივობების ფორმები
	შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი თვისებები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები.		დამოუკიდებელი მუშაობა სასწავლო ლიტერატურასთან, სემინარი.
	შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.		Პრაქტიკული სამუშაო.
	შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია.		ხსნარების გარჩევა და ანალიზი. ტესტირება.
	უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.		სემინარის სესია.
	შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდები.		ხსნარების გარჩევა და ანალიზი. Დავა. ტესტი.
	პარამეტრების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.		ხსნარების გარჩევა და ანალიზი. დისკუსია.
	განმეორების განზოგადება		პროექტის შემუშავება და დაცვა.
	კურსის საბოლოო კონტროლი.		ტესტი. აბსტრაქტული დაცვა.

„შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გრაფიკები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები“.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება, მათი თვისებები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა.

„შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები“.

ფუნქციებიწ= arcsinx, წ= აrccosx, წ= არctgx, წ= arcctgx, მათი სქემები.

„შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია“.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებიდან. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი ტოლობების მართებულობის შემოწმება. გამოსახულების შემცველი გამონათქვამების გამარტივებამყარი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები» .

"უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა, რომლებიც შეიცავს შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს".

განტოლებები:arcsinx=ა,arccosx=ა,arctgx=ა,arcctgx=ა.
უტოლობები:arcsinx>ა,arccosx>ა,arctgx>ა,arcctgx>ა,arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

„შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდები“.

განტოლებები და უტოლობა, რომელთა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები ამავე სახელწოდების შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია. განტოლებები და უტოლობა, რომელთა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები საპირისპირო შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია. ცვლადი ჩანაცვლება. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთფეროვნებისა და შეზღუდვის გამოყენება.

„პარამეტრების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა“.

პარამეტრების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდები.

"განზოგადებული გამეორება".

სხვადასხვა დონის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.

კურსის საბოლოო კონტროლი (2 საათი).

საკონტროლო აქტივობები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმითტესტები რამდენიმე ვარიანტში და სხვადასხვა დონის სირთულის. რეფერატების დაცვა მოცემულ თემაზე.

ლიტერატურა სტუდენტებისთვის:

1. კრამორი ვ.ს., მიხაილოვი პ.ა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. – მ.: განმანათლებლობა, 1983 წ.
2. Litvinenko VN, Mordkovich AG სემინარი მათემატიკური ამოცანების ამოხსნის შესახებ. – მ.: განმანათლებლობა, 1984 წ.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის პრობლემების გადაჭრის მეთოდების შესახებ. – მ.: ნაუკა, 1983 წ.
4. CD დისკი 1C: დამრიგებელი, მათემატიკა. 1 ნაწილი.
5. ინტერნეტ რესურსები: რეფერატების კრებული.

ლიტერატურა მასწავლებლისთვის:

1. ერშოვი ვ., რაიხმისტი რ.ბ. ფუნქციების გრაფიკების აგება. – მ.: განმანათლებლობა, 1984 წ.
2. Vasil'eva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო მათემატიკაში უნივერსიტეტებში აბიტურიენტებისთვის. – M.: MAI, 1992 წ.
3. ერშოვა A.P., Goloborodko V.V. ალგებრა. ანალიზის დასაწყისი. – მ.: ილექსა, 2003 წ.
4. მათემატიკაში ამოცანების კრებული საკონკურსო გამოცდებისთვის ტექნიკურ უნივერსიტეტებში / რედ. მ ი სკანავი. - M .: უმაღლესი სკოლა, 2003 წ.
5. ჟურნალები "მათემატიკა სკოლაში".