კონუსი. ფრუსტუმი

შეკუმშული ზედაპირიეწოდება ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სწორი ხაზით, რომელიც გადის მოცემული მრუდის თითოეულ წერტილს და მრუდის გარეთ არსებულ წერტილს (სურ. 32).

ეს მრუდი ე.წ სახელმძღვანელო პირდაპირი - წარმოქმნის , წერტილი - სამიტი კონუსური ზედაპირი.

სწორი წრიული ზედაპირიეწოდება ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება მოცემული წრის თითოეულ წერტილში გამავალი ყველა წრფის მიერ და წრფის წერტილი, რომელიც პერპენდიკულარულია წრის სიბრტყეზე და გადის მის ცენტრში. შემდგომში ამ ზედაპირს მოკლედ მოიხსენიებენ, როგორც კონუსური ზედაპირი (სურ.33).

კონუსი (სწორი წრიული კონუსი ) ეწოდება გეომეტრიულ სხეულს, რომელიც შემოსაზღვრულია კონუსური ზედაპირით და სიბრტყით, რომელიც პარალელურია სახელმძღვანელო წრის სიბრტყის (სურ. 34).

ბრინჯი. 32 ნახ. 33 ნახ. 34

კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის ერთ-ერთ ფეხს.

წრე, რომელიც ზღუდავს კონუსს, ეწოდება საფუძველი . კონუსური ზედაპირის წვერო ეწოდება სამიტი კონუსი. ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კონუსის ზედა ნაწილს მისი ფუძის ცენტრთან, ეწოდება სიმაღლე კონუსი. სეგმენტებს, რომლებიც ქმნიან კონუსურ ზედაპირს, ე.წ წარმოქმნის კონუსი. ღერძი კონუსი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის კონუსის წვეროზე და მისი ფუძის ცენტრში. ღერძული განყოფილება კონუსის ღერძზე გამავალ მონაკვეთს უწოდებენ. გვერდითი ზედაპირის განვითარება კონუსი არის სექტორი, რომლის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსის სიგრძეს, ხოლო სექტორის რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას.

კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც რარის ფუძის რადიუსი;

ჰ- სიმაღლე;

ლ- გენერატრიქსის სიგრძე;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

S მხარე

S სავსე

ვარის კონუსის მოცულობა.

შეკვეცილი კონუსიეწოდება კონუსის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის კონუსის ფუძის პარალელურად (სურ. 35).

ჩამოსხმული კონუსი შეიძლება ჩაითვალოს სხეულად, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის ბრუნვით ღერძის გარშემო, რომელიც შეიცავს ტრაპეციის გვერდითი მხარეს, ფუძეებზე პერპენდიკულარული.

ორ წრეს, რომლებიც აკრავს კონუსს, მისი ეწოდება საფუძველი . სიმაღლე შეკვეცილი კონუსი არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან შეკვეცილი კონუსის კონუსურ ზედაპირს, ეწოდება წარმოქმნის . ფუძეების ცენტრებში გამავალ სწორ ხაზს ეწოდება ღერძი შეკვეცილი კონუსი. ღერძული განყოფილება მოუწოდა მონაკვეთი, რომელიც გადის შეკვეცილი კონუსის ღერძზე.

შეკვეცილი კონუსისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

(8)

სადაც რარის ქვედა ფუძის რადიუსი;

რარის ზედა ფუძის რადიუსი;

ჰარის სიმაღლე, l არის გენერატრიქსის სიგრძე;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

ვარის შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

მაგალითი 1კონუსის მონაკვეთი ძირის პარალელურად ყოფს სიმაღლეს 1:3 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლეა 9 სმ და 12 სმ.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 36).

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას (8). იპოვეთ ფუძეების რადიუსი დაახლოებით 1 ადა დაახლოებით 1 ვდა გენერირება AB.

განვიხილოთ მსგავსი სამკუთხედები SO 2 Bდა SO 1A, მსგავსების კოეფიციენტი , მაშინ

აქედან

Მას შემდეგ

შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

პასუხი: .

მაგალითი 2.რადიუსის მეოთხედი წრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე.

გამოსავალი.წრის ოთხმაგი არის კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. აღნიშნეთ რარის მისი ფუძის რადიუსი, H-სიმაღლე. გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: . ის უდრის წრის მეოთხედის ფართობს: . ვიღებთ განტოლებას ორი უცნობით რდა ლ(კონუსის გენერატორი). ამ შემთხვევაში, გენერატრიქსი უდრის წრის მეოთხედის რადიუსს რ, ასე რომ მივიღებთ შემდეგ განტოლებას: , საიდანაც ფუძისა და გენერატრიქსის რადიუსის გაცნობით ვპოულობთ კონუსის სიმაღლეს:

პასუხი: 2 სმ,.

მაგალითი 3მართკუთხა ტრაპეცია მწვავე კუთხით 45 O, უფრო მცირე ფუძით 3 სმ და ტოლი დახრილი გვერდით, ბრუნავს ფუძეების პერპენდიკულარული მხარის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის მიღებული სხეულის მოცულობა.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 37).

ბრუნვის შედეგად ვიღებთ შეკვეცილ კონუსს, რომ ვიპოვოთ მისი მოცულობა, ვიანგარიშოთ უფრო დიდი ფუძის რადიუსი და სიმაღლე. ტრაპეციაში O 1 O 2 ABდავხარჯავთ AC^O 1 B. ჩვენ გვაქვს: ასე რომ, ეს სამკუთხედი არის ტოლფერდა AC=ძვ.წ\u003d 3 სმ.

პასუხი:

მაგალითი 4სამკუთხედი გვერდებით 13 სმ, 37 სმ და 40 სმ ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც პარალელურია უფრო დიდი მხარის და მისგან 3 სმ დაშორებით (ღერძი მდებარეობს სამკუთხედის სიბრტყეში). იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი . დავხატოთ ნახატი (სურ. 38).

რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირი შედგება ორი შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის გვერდითი ზედაპირისგან. ამ უბნების გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ კონუსების და ცილინდრის ფუძეების რადიუსი ( BEდა OCკონუსების ფორმირება ( ძვ.წდა AC) და ცილინდრის სიმაღლე ( AB). უცნობია მხოლოდ CO. არის მანძილი სამკუთხედის გვერდიდან ბრუნვის ღერძამდე. მოდი ვიპოვოთ DC. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთ მხარეს უდრის AB გვერდის ნახევრის ნამრავლს და მისკენ მიზიდულ სიმაღლეს. DCმეორეს მხრივ, სამკუთხედის ყველა გვერდის ცოდნით, ჩვენ ვიანგარიშებთ მის ფართობს ჰერონის ფორმულით.

თემის მასალის შესწავლისას თქვენ უნდა ისწავლოთ:

რევოლუციის ორგანოების ტიპები;

რევოლუციის ორგანოების განმარტებები;

რევოლუციის ორგანოების ელემენტების განმარტებები;

ცილინდრისა და კონუსის განვითარების ცნებები;

ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის განსაზღვრა და გამოთვლა;

სფეროს ტანგენტის სიბრტყის განსაზღვრა და მისი თვისებები;

სფეროს ზედაპირის ფართობის კონცეფცია;

სფეროში ჩაწერილი და მის ირგვლივ აღწერილი პოლიედონის განმარტება.

პრობლემების გადაჭრის პროცესში ამოწმებენ შემდეგ უნარებს:

ასახავს რევოლუციის სხეულებს;

რევოლუციის ორგანოების ელემენტების გამოთვლა;

სხეულების მონაკვეთების გამოსახვა;

გამოთვალეთ ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი;

დაწერეთ განტოლება სფეროსთვის.

თეორიული ტესტის კითხვები

ვარიანტი 1

1. ცილინდრული ზედაპირის ცნება და მისი ელემენტები. ჩამოაყალიბეთ ცილინდრისა და მისი ელემენტების განმარტება.

2. გამოიტანეთ ფორმულა სფეროს ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად.

3. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და ღერძული მონაკვეთის თანაფარდობა.

ვარიანტი 2

1. კონუსური ზედაპირის ცნება. ჩამოაყალიბეთ კონუსის და მისი ელემენტების განმარტება.

2. განსაზღვრეთ სფეროს ცენტრის პოზიცია, რომელიც შემოიფარგლება რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გარშემო. დაამტკიცე შენი პრეტენზია.

3. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირისა და ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის თანაფარდობა.

ვარიანტი 3

1. ჩამოაყალიბეთ შეკვეცილი კონუსისა და მისი ელემენტების განმარტება.

2. განვსაზღვროთ რეგულარული სამკუთხა პირამიდაში ჩაწერილი სფეროს ცენტრის პოზიცია. დაამტკიცე შენი პრეტენზია.

3. დაამტკიცეთ, რომ ტოლგვერდა კონუსის მთლიანი ზედაპირი ტოლია კონუსის სიმაღლის დიამეტრის მქონე ბურთის ზედაპირის.

ვარიანტი 4

1. ჩამოაყალიბეთ სფეროს და ბურთის განმარტებები. ჩაწერეთ R რადიუსის სფეროს განტოლებები, რომელიც ცენტრით არის O(0; 0; 0) და A(x0; y0; z0) წერტილში.

2. გამოიტანეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელი ფორმულა.

3. დაამტკიცეთ, რომ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი უდრის იმავე რადიუსის სხვა ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობს, რომლის სიმაღლე უდრის რადიუსის ჯამს და ამ ცილინდრის სიმაღლეს. .

დამოუკიდებელი სამუშაო 17

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობი არის 16. იპოვნეთ ამ ცილინდრის მონაკვეთის ფართობი, რომელიც არის ღერძის პარალელურად და მდებარეობს მისგან დაშორებით, რომელიც უდრის ფუძის რადიუსის ნახევარს. ცილინდრი.

2. ნახევარწრე იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ კუთხე გენერატრიქსსა და კონუსის სიმაღლეს შორის.

3. ორი ბურთის რადიუსია 16 და 20 დმ, მათ ცენტრებს შორის მანძილი 25 დმ. იპოვეთ წრის გარშემოწერილობა, სადაც მათი ზედაპირები იკვეთება.

ვარიანტი 2

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 26 სმ, ქმნის 4,8 დმ. ცილინდრის ღერძიდან რა მანძილზე უნდა გაივლოს მონაკვეთი, რომელიც არის ღერძის პარალელურად და აქვს კვადრატის ფორმა?

2. სექტორის რადიუსი 3 მ, კუთხე 120°. სექტორი იკეცება კონუსურ ზედაპირზე. იპოვეთ კონუსის ფუძის რადიუსი.

3. რომბის დიაგონალები არის 30 და 40 სმ.სფერული ზედაპირი რომბის ყველა მხარეს ეხება. იპოვეთ მანძილი სფეროს ცენტრიდან რომბის სიბრტყემდე, თუ სფეროს რადიუსი 13 სმ-ია.

ვარიანტი 3

1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ იპოვეთ მანძილი ღერძულ მონაკვეთსა და ნახევარ ფართობის მქონე მონაკვეთს შორის.

2. კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე არის 120°. კონუსის გენერატრიქსი 15 სმ. გამოთვალეთ კონუსის ფუძის დიამეტრი.

3. რომბი 10 სმ რადიუსის მქონე ბურთზე ისეა გადაკრული, რომ 12,5 სმ-ის ტოლი თითო მხარე ეხებოდეს ბურთს. რომბის სიბრტყე დაშორებულია ბურთის ცენტრიდან 8 სმ. იპოვეთ რომბის ფართობი.

ვარიანტი 4

1. ცილინდრის გენერატრიქსის მეშვეობით გავლებულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული მონაკვეთი, რომელთა ფართობები ტოლია 60 და 80 დმ. იპოვნეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი.

2. კონუსის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ, ქმნის 40 სმ. გამოთვალეთ ამ კონუსის გადახრის კუთხე.

3. სამკუთხედის გვერდებია 10 დმ, 10 დმ და 12 დმ. იპოვეთ მანძილი სამკუთხედის სიბრტყიდან ბურთის ცენტრამდე სამკუთხედის გვერდებზე ტანგენსამდე. ბურთის რადიუსი 5 დმ.

დამოუკიდებელი სამუშაო 18

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი 25%-ით მეტია მისი ფუძის დიამეტრზე. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ფართობი, თუ მის ცენტრებს შორის მანძილი 15 სმ-ია.

2. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის განვითარება - კვადრატი გვერდითი 4 დმ. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

3. შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალები ერთმანეთის პერპენდიკულურია, კონუსის სიმაღლეა H, ქმნის l-ს. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

4. კონუსის ფუძის რადიუსი არის 12 სმ, ქმნის 40 სმ. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე.

5. შეკვეცილი კონუსის გენერატორი 10 სმ, ფუძის სხვაობა 6 სმ, ღერძული მონაკვეთის ფართობი 112 სმ2. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

6. პარალელოგრამი, რომლის გვერდებია 21 სმ და 89 სმ და დიაგონალი 100 სმ, ბრუნავს პატარა გვერდის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა.

7. მართკუთხა სამკუთხედი 16 და 12 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ ბრუნვის მოცულობა და ფართობი.

ვარიანტი 2

1. ცილინდრის გვერდითი ზედაპირი მისი მთლიანი ზედაპირის ნახევარია. იპოვეთ ცილინდრის მთლიანი ზედაპირი, თუ ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი 10 დიუმია.

2. ცილინდრის მთლიანი ზედაპირია 500 p სმ2, მისი ფუძის დიამეტრი 20 სმ. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა.

3. დამსხვრეული კონუსის გენერაცია აღნიშნავს მის სიმაღლეს, როგორც 41:40. ფუძის რადიუსი არის 24 და 6 სმ. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირი.

4. კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარების კუთხე არის 120°. კონუსის გენერატრიქსია 15 სმ იპოვეთ კონუსის მთლიანი ზედაპირი.

5. იპოვნეთ შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე, თუ მისი გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძეთა ფართობების ჯამს, ხოლო ფუძეების რადიუსი არის R და r.

6. ტოლფერდა ტრაპეცია 12 და 18 სმ ფუძით და 60 ° მწვავე კუთხით ბრუნავს პატარა ფუძის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი და მოცულობა.

7. სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლია 5 სმ და 8 სმ, გააკეთეთ კუთხე 60 °, ბრუნავს ყველაზე დიდი მხარის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი და მოცულობა.

დამოუკიდებელი სამუშაო 19

ვარიანტი 1

1. მართკუთხა სამკუთხედი 16 და 12 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი.

2. სფერული სარტყლის ფუძეების რადიუსია 63 და 39 სმ, სიმაღლე 36 სმ იპოვეთ სფერული სარტყლის ზედაპირი.

3. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე თ. გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პერპენდიკულურია. იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

4. რეგულარულ სამკუთხა ჩამოჭრილ პირამიდაში სიმაღლე 17 სმ, ფუძეების ირგვლივ აღწერილი წრეების რადიუსი 5 და 12 სმ. იპოვეთ შემოხაზული ბურთის რადიუსი.

5. კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია a-ს, ბრუნავს დიაგონალის პერპენდიკულარულად, მის ბოლოზე გავლებული. იპოვეთ მიღებული სხეულის ზედაპირი.

ვარიანტი 2

1. სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი არის 5 და 8 სმ, ქმნის კუთხეს 60 °, ბრუნავს ყველაზე დიდი მხარის გარშემო. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის ზედაპირი.

2. სფერული სეგმენტის ჯამური ზედაპირი უდრის S. განვსაზღვროთ სეგმენტის სიმაღლე, თუ ბურთის რადიუსი არის R.

3. პირამიდის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი, რომლის გვერდი არის 3 დმ. ერთ-ერთი გვერდითი კიდე არის 2 დმ და ფუძის პერპენდიკულარულია. იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

4. რეგულარული ოთხკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდების გვერდები 7 და 1 დმ. გვერდითი კიდე ფუძისკენ არის დახრილი 45° კუთხით.იპოვეთ შემოხაზული სფეროს რადიუსი.

5. რეგულარული ექვსკუთხედი a გვერდით ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო, რომელიც გვერდის პარალელურია და მისგან აპოთემის სიგრძით არის დაშორებული. იპოვეთ მიღებული სხეულის ზედაპირი.

დამოუკიდებელი სამუშაო 20

ვარიანტი 1

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი კიდე b-ის ტოლია და ფუძის სიბრტყესთან ქმნის a კუთხეს. ტოლგვერდა ცილინდრი ჩაწერილია პირამიდაში ისე, რომ ფუძის სიბრტყე დევს პირამიდის ფუძის სიბრტყეში. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

2. პირამიდის ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი. ერთი გვერდითი კიდე საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარულია და ტოლია l-ის, ხოლო დანარჩენი ორი ფუძის სიბრტყეს ქმნის a კუთხეს. პირამიდაში ჩაწერილია სწორი პრიზმა, რომლის სამი წვერო დევს პირამიდის გვერდით კიდეებზე, დანარჩენი სამი კი პირამიდის ძირზე, პრიზმის გვერდითი სახის დიაგონალი ფუძის სიბრტყესთანაა. Ð ბ. იპოვეთ პრიზმის სიმაღლე.

3. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმაში გვერდითი სახის ფართობი უდრის q-ს. იპოვნეთ დიაგონალური მონაკვეთის ფართობი.

4. ბურთის დიამეტრზე პერპენდიკულარული სიბრტყე ყოფს მას 3 და 9 სმ ნაწილებად რა ნაწილებად იყოფა ბურთის მოცულობა?

ვარიანტი 2

1. კონუსის ღერძული მონაკვეთის ზედა კუთხე არის 2b. ფუძის გარშემოწერილობა არის გ. განსაზღვრეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

2. შეკვეცილი კონუსის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალები იყოფა გადაკვეთის წერტილით 2:1 თანაფარდობით, დიდი ფუძიდან დათვლა. ფუძისკენ მიმართულ დიაგონალებს შორის კუთხე არის a. დიაგონალი არის l. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. მარჯვენა პარალელეპიპედის გვერდითი კიდე 5 სმ, ფუძის გვერდები 6 და 8 სმ, ფუძის ერთ-ერთი დიაგონალი 12 სმ. იპოვეთ პარალელეპიპედის დიაგონალები.

4. ბურთის მოცულობის რა ნაწილია ბურთის დიამეტრის 0,1 სიმაღლის სფერული სეგმენტის მოცულობა?

ვარიანტი 3

1. კონუსის გენერატრიქსი ტოლია l-ის და დახრილია ფუძის სიბრტყეზე a კუთხით. განსაზღვრეთ ჩაწერილი კუბის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

2. კონუსის ძირში ჩაწერილია კვადრატი, რომლის გვერდია ა. სიბრტყე, რომელიც გადის ამ კვადრატის ერთ-ერთ მხარეს და კონუსის წვეროზე, კონუსის ზედაპირთან გადაკვეთისას ქმნის ტოლფერდა სამკუთხედს, რომლის კუთხით წვეროზე a-ს ტოლია. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი 15 სმ, სიმაღლე კი 20 სმ იპოვეთ უმოკლესი მანძილი ფუძის გვერდიდან პრიზმის დიაგონალამდე, რომელიც არ კვეთს მას.

4. ორი თანაბარი ბურთი ისეა მოწყობილი, რომ ერთის ცენტრი მეორის ზედაპირზე დევს. როგორ არის დაკავშირებული ბურთების მთლიანი ნაწილის მოცულობა მთელი ბურთის მოცულობასთან?

ვარიანტი 4

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმა თანაბარი ნეკნებით ჩაწერილია კონუსში, რომლის გენერაცია დახრილია ფუძის სიბრტყეზე a კუთხით. იპოვეთ პრიზმის მოცულობა, თუ კონუსის ფუძის რადიუსი არის R.

2. კონუსის მოცულობა არის V. კონუსში ჩაწერილია პირამიდა, რომლის ძირში დევს ტოლფერდა სამკუთხედი გვერდებს შორის a კუთხით. იპოვნეთ პირამიდის მოცულობა.

3. მარჯვენა პარალელეპიპედში გვერდითი კიდე არის 1 მ, ფუძის გვერდები 23 დმ და 11 დმ, ფუძის დიაგონალები 2: 3. იპოვეთ დიაგონალური მონაკვეთების ფართობები.

4. a ფუძის მხარეს და b გვერდით კიდეს იპოვეთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის სრული ზედაპირი.

. კონუსი. Ძირითადი ცნებები.

განმარტება. კონუსი გეომეტრიულ ფიგურას უწოდებენ, რომელიც მიიღება მართკუთხა სამკუთხედის ერთი ფეხის გარშემო ბრუნვით. ფეხი, რომლის მიმართაც ხდება ბრუნვა - ღერძი კონუსი, რიცხობრივად მისი სიმაღლის ტოლი; მეორე ფეხი - რადიუსი საფუძველი; ჰიპოტენუზა - გენერატრიქსი (ბრუნვის დროს ქმნის კონუსის გვერდით ზედაპირს).

მ- კონუსის ზევით ო- ბაზის ცენტრი MO- კონუსის ღერძი, MO = ჰარის კონუსის სიმაღლე, OA = OV =…= რარის ფუძის რადიუსი, ᲕᲐᲠ= BM =…= ლარის კონუსის გენერაცია. კონუსის ღერძული მონაკვეთი ტოლფერდა სამკუთხედი (მაგ. სამკუთხედი AMB). კონუსის მონაკვეთი სიბრტყით ფუძის პარალელურად არის ფუძის მსგავსი წრე.

კონუსის ზედაპირის განვითარება შედგება წრისა და წრის სექტორისგან.

. ფრუსტუმი.

განმარტება. შეკვეცილი კონუსი უწოდებენ გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც მიიღება მართკუთხა ტრაპეციის შემობრუნებით მისი პატარა მხარის გარშემო. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: შეკვეცილი კონუსი არის კონუსის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და კონუსის მონაკვეთს შორის ფუძის პარალელურად. ღერძული განყოფილება ტოლფერდა ტრაპეცია (მაგალითად, ABB 1 მაგრამ 1 ) .

ბ 1 ა 1

. კონუსის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი.

	შეკვეცილი

Აქ რარის ქვედა ფუძის რადიუსი, რარის ზედა ბაზის რადიუსი, ჰ- სიმაღლე, ლ- გენერირება.

კითხვები და ამოცანები

ქაღალდისგან იკეცება ჩანთა, რომელსაც აქვს კონუსის ფორმა ბაზის რადიუსით 5 სმ და სიმაღლე 10 სმ. განსაზღვრეთ ჩანთის ზედაპირის ფართობი.

კონუსის გენერაცია არის 2 სმ, ხოლო ფუძის რადიუსი 1 სმ. ახსენით, არის თუ არა მისი მთლიანი ზედაპირის ფართობი 6 სმ 2-ზე მეტი თუ ნაკლები.

იპოვეთ კონუსის მთლიანი ზედაპირი, თუ:

ა) მისი ფუძის რადიუსი არის 2, ხოლო გენერატორი არის 4;

ბ) ფუძის რადიუსი არის 3, ხოლო სიმაღლე 4;

გ) ფუძის რადიუსი არის 4, ხოლო გენერატრიქსის დახრილობის კუთხე ფუძესთან არის 30 0.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა, თუ:

ა) ბაზის რადიუსი არის 2 და სიმაღლე 3;

ბ) მისი ფუძის რადიუსი არის 3, ხოლო გენერატორი არის 5;

გ) ფუძის რადიუსი უდრის 2-ს, ხოლო გენერატორი დახრილია ფუძის სიბრტყეზე 30° კუთხით;

დ) ფუძის რადიუსი არის 3, ხოლო ღერძული მონაკვეთის ფართობი 12.

ა და ბ (ა < ბ) ბრუნავს ჯერ ერთი მათგანის გარშემო, შემდეგ კი მეორის გარშემო. შედარება:

ა) მიღებული კონუსების გვერდითი ზედაპირების ფართობი;

ბ) მიღებული კონუსების მთლიანი ზედაპირების ფართობებს.

ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედი 2 სიგრძის ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ მიღებული ზედაპირის ფართობი.

მართკუთხა სამკუთხედი 3 და 4 ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვნეთ მიღებული ზედაპირის ფართობი.

მართკუთხა სამკუთხედი 6 სმ და 8 სმ ფეხებით ტრიალებს პატარა ფეხის გარშემო. გამოთვალეთ ამ ბრუნვის დროს წარმოქმნილი კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობები.

მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით ადა ბბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის მოცულობა.

პარალელოგრამი გვერდებით 6 სმ და 8 სმ და კუთხით 60 0 ბრუნავს სწორი ხაზის გარშემო, რომელიც შეიცავს პარალელოგრამის უფრო დიდ მხარეს. იპოვნეთ მიღებული ზედაპირის ფართობი.

გენერატრიქსსა და კონუსის ღერძს შორის კუთხე არის 45°, გენერატრიქსი 6,5 სმ. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

კონუსის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 0,6 სმ². კონუსის სიმაღლეა 1.2 სმ. გამოთვალეთ კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა, თუ მისი ფუძის ფართობი არის Q და მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის P.

კონუსის სიმაღლე უდრის მისი ფუძის დიამეტრს. იპოვეთ კონუსის მოცულობა, თუ მისი სიმაღლეა H.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა, თუ მისი გენერაცია არის 13 სმ, ხოლო ღერძული მონაკვეთის ფართობი 60 სმ².

შეკვეცილი კონუსის ფუძეების რადიუსი არის 3 მ და 6 მ, გენერატრიქსი კი 5 მ. იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

განიხილება კონუსი ბაზის რადიუსით 5 სმ და გენერატრიქსი 3 სმ. კონუსის ფუძის პარალელური მონაკვეთი გაყვანილია გენერატრიქსის წერტილიდან, რომელიც მდებარეობს ზემოდან 1 სმ მანძილზე. შეასრულეთ შემდეგი დავალებები თანმიმდევრობით:

ა) იპოვეთ ამ მონაკვეთის ფართობი;

ბ) იპოვეთ ამ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

გ) იპოვეთ დახატული სიბრტყით მოწყვეტილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

დ) იპოვნეთ დახატული სიბრტყით მოწყვეტილი შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ე) იპოვეთ ამ შეკვეცილი კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

იპოვეთ შეკვეცილი კონუსის გენერაცია, თუ ფუძეების რადიუსი არის 3 სმ და 6 სმ, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

კონუსის ფუძის ფართობია 12 სმ², სიმაღლე 6 სმ. იპოვეთ მისი მონაკვეთის ფართობი ფუძის პარალელურად და დახაზეთ:

ა) შუა სიმაღლის გავლით;

ბ) კონუსის ზემოდან 2 სმ დაშორებით;

გ) კონუსის ზემოდან 4 სმ დაშორებით.

იპოვეთ კონუსების მოცულობები, რომელთა ფუძეები არის განხილული მონაკვეთები და რომელთა წვერო არის მოცემული კონუსის წვერო.

კონუსის ძირის ფართობია 25 სმ², სიმაღლე კი 5 სმ. ძირის პარალელურად გაყვანილია ზემოდან 1 სმ მანძილზე. იპოვეთ დახატული მონაკვეთით ამოჭრილი შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

კონუსის სიმაღლე 5სმ.ზემოდან 2სმ დაშორებით მას კვეთს ფუძის პარალელურად სიბრტყე. იპოვეთ თავდაპირველი კონუსის მოცულობა, თუ ორიგინალისგან მოწყვეტილი პატარა კონუსის მოცულობა არის 24 სმ³.

ჩამოსხმულ კონუსში სიმაღლე ცნობილია თ, ქმნიან l-ს და ფართობს სგვერდითი ზედაპირი. იპოვეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი და შეკვეცილი კონუსის მოცულობა.

როგორც ცნობილია; როდესაც წერტილი ბრუნავს ღერძის გარშემო, ის მოძრაობს ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში და აღწერს წრეს. ნახაზის გარდაქმნის მიზნით ბრუნვის მეთოდის გამოსაყენებლად, ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ ოთხ ელემენტს (ნახ. 5.8):

ბრუნვის ღერძი (MN);

წერტილის ბრუნვის თვითმფრინავი(pl. S არის პერპენდიკულარული (MN));

ბრუნვის ცენტრი;

ბრუნვის რადიუსი (R; R= |OA|).

როგორც ბრუნვის ღერძი, ჩვეულებრივ გამოიყენება სწორი ხაზები, პროექციის სიბრტყეების პერპენდიკულარული ან პარალელურად. განვიხილოთ ბრუნვა პროექციის სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ ღერძებზე.

წერტილი A ბრუნვა ღერძის გარშემო ნახაზზე MN, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული H, ნაჩვენებია ფიგურაში 5.9. ბრუნვის სიბრტყეს არის H სიბრტყის პარალელურად და გამოსახულია შუბლის პროექციაზე შემდეგნაირადს ვ. ჰორიზონტალური პროექციაბრუნვის ცენტრის შესახებ პროექციას ემთხვევა tp ღერძები და ჰორიზონტალური პროექციაოა ბრუნვის რადიუსი OA არის მისი ბუნებრივი ღირებულება. წერტილის როტაციამაგრამ ნახაზზე 5.9 დამზადებულია კუთხით φ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ისე, რომ წერტილის ახალ პოზიციაში პროექციებით a1", a1 ბრუნის რადიუსი სიბრტყის პარალელურად იყოV როდესაც წერტილი ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო, მისი ჰორიზონტალური პროექცია მოძრაობს წრის გასწვრივ, ხოლო შუბლის პროექცია მოძრაობს x-ღერძის პარალელურად და ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულად.

თუ წერტილი ბრუნავს V სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მაშინ მისი ფრონტალური პროექცია მოძრაობს წრის გასწვრივ, ხოლო ჰორიზონტალური პროექცია x-ღერძის პარალელურად.

წერტილის ბრუნვა საპროექტო ხაზის ირგვლივ გამოიყენება ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, მაგალითად, ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრისას. ამისთვის (სურ. 5.10) საკმარისია ბრუნვის ღერძი პროექციებით t "p", tp აირჩიეთ ისე, რომ მან გაიაროს სეგმენტის ერთ-ერთი უკიდურესი წერტილი, მაგალითად, წერტილი პროგნოზებით b“, ბ. შემდეგ წერტილის შემობრუნებისასმაგრამ კუთხე φ პოზიციაში A1 (OA1 || კვადრატი V, oa, || x-ღერძი) სეგმენტი AB გადადის პოზიციაზე A1B, თვითმფრინავის პარალელურადვ და, შესაბამისად, დაპროექტებულია მასზე სრული ზომით. ამავდროულად, სეგმენტის დახრილობის კუთხე a იქნება დაპროექტებული სრული ზომით AB თვითმფრინავ H-მდე.

წერტილის ბრუნვა (ბრუნვა) პროექციებით ბ“, ბ პროექციებით ღერძთან შედარებით t"p", tp, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული V, ნაჩვენებია სურათზე 5.11. წერტილის მობრუნებისას AT მოძრაობს ბრუნვის სიბრტყეშით (თ) პოზიციონირება პროგნოზებით b1", b1 ისე რომ ბრუნვის რადიუსი OV გახდეს თვითმფრინავის პარალელურად H (o "b" || x-ღერძი).

ბრუნვის მეთოდის გამოყენება საპროექციო სიბრტყეებზე პერპენდიკულარული ბრუნვის ღერძების ნახაზზე მითითების გარეშე.თუ თქვენ ატრიალებთ გეომეტრიულ ფიგურას პროექციის სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მაშინ ამ სიბრტყეზე პროექცია არ იცვლება არც გარეგნულად და არც ზომით (იცვლება მხოლოდ პროექციის პოზიცია პროექციის ღერძთან მიმართებაში). ბრუნვის ღერძის პარალელურ სიბრტყეზე გეომეტრიული ფიგურის წერტილების პროექცია მოძრაობს სწორი ხაზების გასწვრივ პროექციის ღერძის პარალელურად (ბრუნვის ღერძზე მდებარე წერტილების პროგნოზების გარდა) და პროექცია მთლიანად იცვლება ფორმა და ზომა. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბრუნვის მეთოდის გამოყენება ბრუნვის ღერძის წარმოდგენის დაზუსტების გარეშე. Იმაში

შემთხვევაში, გეომეტრიული გამოსახულების ერთ-ერთი პროექციის ზომისა და ფორმის შეცვლის გარეშე, გადაიტანეთ ეს პროექცია საჭირო პოზიციაზე და შემდეგ შექმენით სხვა პროექცია, როგორც ზემოთ არის მითითებული.

სურათი 5.12 გვიჩვენებს ბრუნვის მეთოდის გამოყენებას ღერძების მითითების გარეშე სამკუთხედის რეალური ზომის დასადგენად abc, მოცემულია პროგნოზებით a"b"c", abc. ამისთვის სიბრტყის ორი ბრუნვა ზოგად პოზიციაზე, რომელშიც მდებარეობს სამკუთხედი, შესრულებულია ისე, რომ პირველი ბრუნის შემდეგ ეს სიბრტყე სიბრტყის პერპენდიკულარული გახდეს. V, ხოლო მეორის შემდეგ - H სიბრტყის პარალელურად. პირველი ბრუნი H სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო, მისი პოზიციის დაზუსტების გარეშე, განხორციელდა ჰორიზონტალური პროექციებით. s"1", s-1 სამკუთხედის სიბრტყეში. ამ შემთხვევაში, ჰორიზონტალური პროექციაროგორც შემოტრიალდა პროექციის მიმართულების შესატყვისად. სამკუთხედის ჰორიზონტალური პროექცია ინარჩუნებს ფორმას და ზომას, იცვლება მხოლოდ მისი პოზიცია. ქულები A, B და C ასეთი ბრუნვით ისინი მოძრაობენ H სიბრტყის პარალელურად სიბრტყეებში.პროექციები a1", c1, b1" a"a1", b"b1" და c"c1". სამკუთხედის შუბლის პროექცია ახალ პოზიციაში არის სეგმენტი a1"b1"c1".

მეორე ბრუნვა, სამკუთხედის H სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში მიყვანა, კეთდება ბრუნვის ღერძის გარშემო H სიბრტყის პერპენდიკულარული (ღერძის პოზიცია ასევე არ არის მითითებული). მეორე ბრუნვისას შუბლის პროექცია ინარჩუნებს პირველი ბრუნვის შემდეგ მიღებულ გარეგნობას და ზომას. ქულები A1, D1 და C1 გადაადგილება თვითმფრინავის პარალელურად V პროგნოზები a 2 , b 2 , c 2 არიან ჰორიზონტალური კომუნიკაციის ხაზებზე a, a 2, blb2, c1c2. პროექცია a2b2c 2 არის მოცემული სამკუთხედის რეალური ზომა.

საპროექციო სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ღერძების ირგვლივ განხილული ბრუნების შესრულებისას ეს ღერძები არ არის მითითებული, მაგრამ მათი პოვნა ადვილად შეიძლება. მაგალითად, თუ დახატავთ სეგმენტებს aa1, b1b2 და დახაზეთ პერპენდიკულარები მათი შუა წერტილებით, მაშინ ამ პერპენდიკულარების გადაკვეთის შედეგად მიღებული წერტილი იქნება ბრუნვის ღერძის ჰორიზონტალური პროექცია H სიბრტყეზე პერპენდიკულარული.

ბრუნვის მეთოდის გამოყენება ღერძების მითითების გარეშე გარკვეულწილად ამარტივებს კონსტრუქციას, არ არის ერთის გადახურვა

განყოფილება მეორეზე, მაგრამ ნახატი დიდ ფართობს იკავებს. (ბრუნვის განხილული შემთხვევა ბრუნვის ღერძების გამოსახვის გარეშე არის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა.)

პროექციის სიბრტყეების პარალელურად სწორი ხაზების გარშემო ბრუნვის მეთოდი.ბრტყელი ფიგურის ბუნებრივი ზომა შეიძლება განისაზღვროს საპროექციო სიბრტყის პარალელურად ღერძის გარშემო ბრუნვით, ფიგურის ერთი შემობრუნებით პროექციის სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში მიყვანა.

ნახაზი 5.13 გვიჩვენებს სამკუთხედის ზომის განსაზღვრას პროექციებით a"b"c", abc როტაცია ჰორიზონტალურის გარშემო.ამ შემთხვევაში სამკუთხედის ყველა წერტილი(ბრუნვის ღერძზე მწოლიარეთა გარდა)ბრუნავს ღერძის გარშემო წრეებში ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეებში.თუ სამკუთხედი დაიკავებს პოზიციას პროექციის სიბრტყის პარალელურად, მისი წერტილების ბრუნვის რადიუსი იქნება ამ სიბრტყის პარალელურად, ანუ ისინი დაპროექტდება სიბრტყეზე.ჰ ნამდვილი ზომა.

ბრუნვის ღერძად აღებული იყო ჰორიზონტალური პროექციებით s"1", s-1.

C წერტილი ბრუნვის ღერძზე ფიქსირებული რჩება. ბრუნვის შემდეგ სამკუთხედის ჰორიზონტალური პროექციის გამოსასახად საჭიროა მისი სხვა ორი წვერის პროგნოზების პოზიციის პოვნა. ვერტიკები პროგნოზებით a", a და b", b გადაადგილების სამკუთხედი -

არიან თვითმფრინავებში P და Q ამ წერტილების მოძრაობა. ჰორიზონტალური პროექციაშესახებ წვეროების ბრუნვის ცენტრიმაგრამ არის ჰორიზონტალური პროექციის გადაკვეთის წერტილი s-1 ბრუნვის ღერძი ჰორიზონტალური პროექციით Ph.h. მასზე მონიშნულია მისი შუბლის პროექცია. o სეგმენტები oa - ჰორიზონტალური, o "ა" - წერტილის ბრუნვის რადიუსის შუბლის პროექციამაგრამ. ცხოვრების ზომა oA წერტილის ბრუნვის რადიუსიმაგრამ განისაზღვრება 2.3-ში განხილული წესით (იხ. ნახ. 2.9), ანუ მართკუთხა სამკუთხედის აგებით. ფეხებზე oa და aA \u003d o "2" აგებულია სამკუთხედიოა, მისი ჰიპოტენუზა უდრის წერტილის ბრუნვის რადიუსსმაგრამ.

საწყისი პროექცია შესახებ საყრდენი წერტილიმაგრამ მისი მოძრაობის სიბრტყის Ph კვალის მიმართულებით, ჩვენ განზე ვდებთ ბრუნვის რადიუსის ბუნებრივ მნიშვნელობას. ჰორიზონტალური პროექციის მარკირება a, წერტილები A, ბრუნავს სიბრტყის პარალელურად სამკუთხედის პოზიციაზენ. ჰორიზონტალური პროექცია bt წერტილი AT შემობრუნებულ მდგომარეობაში ვხვდებით, როგორც ჰორიზონტალური პროექციის გადაკვეთის წერტილს 1-ат კვალი Q h . ჰორიზონტალური პროექცია a1cb1 გამოხატავს ა-ს ბუნებრივ ღირებულებას ABC, რადგან ბრუნვის შემდეგ სამკუთხედის სიბრტყე სიბრტყის პარალელურიან. შემობრუნებული სამკუთხედის შუბლის პროექცია ემთხვევა ჰორიზონტალურის შუბლის პროექციას 1 "წმ", ანუ ეს არის სწორი ხაზის სეგმენტი.

თუ გსურთ ბრტყელი გეომეტრიული გამოსახულების როტაცია სიბრტყის პარალელურ მდგომარეობაში V, მაშინ ბრუნვის ღერძისთვის არჩეულია შუბლის.

დაატრიალეთ სიბრტყე მისი კვალის გარშემო, სანამ ის არ დაემთხვევა შესაბამის პროექციის სიბრტყეს(ამ შემთხვევას კომბინაციის მეთოდსაც უწოდებენ). თუ თვითმფრინავი ბრუნავს თავისი კვალის ირგვლივ, სანამ არ დაემთხვევა პროექციის სიბრტყეს, რომელშიც ეს კვალი მდებარეობს, მაშინ სიბრტყეში მდებარე გეომეტრიული გამოსახულებები გამოჩნდება დამახინჯების გარეშე. ეს მეთოდი არის ჰორიზონტალური ან შუბლის გარშემო ბრუნვის განსაკუთრებული შემთხვევა, ვინაიდან სიბრტყის ჰორიზონტალური კვალი შეიძლება ჩაითვალოს ჰორიზონტალური სიბრტყის „ნულოვანი“ ჰორიზონტალურად, ხოლო შუბლის კვალი, როგორც „ნულოვანი“ შუბლის.

სურათი 5.14 გვიჩვენებს ზოგადი პოზიციის სიბრტყის ბრუნვის ვიზუალურ წარმოდგენასრ ჰორიზონტალური ბილიკის გარშემოპ სთ თვითმფრინავიდან მიმართულებითვ მაყურებელს თვითმფრინავთან გასწორებამდენ. სიბრტყის განლაგების მდგომარეობაში R თვითმფრინავით

H სწორი ხაზი P Uq არის კვალი R და, გასწორებულია თვითმფრინავთან N. Trace Ph როგორ არ იცვლის თავის პოზიციას ბრუნვის ღერძი. Წერტილი Rx კვალის გადაკვეთა ასევე არ ცვლის მის პოზიციას. კომბინირებული პოზიციის შესაქმნელად P L, კვალი P v საკმარისია კიდევ ერთი წერტილის პოვნა, მაგალითად წერტილი N, ეს კვალი (პუნქტის გარდა R x) თვითმფრინავთან გასწორებულ მდგომარეობაშინ.

წერტილი N აღწერს რკალს სიბრტყეში Q, ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული. ცენტრიო ეს რკალი არის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი Q კვალი P h. წერტილი N 0 თვითმფრინავზე H არის რადიუსის რკალის გადაკვეთის წერტილი ON სიბრტყეში Q კვალით Q h . სწორი ხაზის გავლებით P x და N 0-ზე მივიღებთ P U0 . სეგმენტი P X N არ იცვლის სიგრძეს თვითმფრინავის ბრუნვისას; ასე რომ მიუთითეთ N0 მიღება შესაძლებელია გადაკვეთით Qh სიბრტყეში აღწერილი რკალით H, Р x წერტილიდან P X N რადიუსით.

ნახაზზე განხილული კონსტრუქციების შესრულება (სურ. 5.15) კვალზერ და არჩეული თვითნებური წერტილინ (ეს ემთხვევა მის პროექციას P"). მისი ჰორიზონტალური პროექციის მეშვეობითპ პირდაპირიზე, ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარული - კვალი Ph.h. ამ ხაზზე არის წერტილი N 0, ანუ წერტილი N თვითმფრინავთან გასწორების შემდეგნ. იგი შორს იპოვეს P X N 0 \u003d P x n "P x წერტილიდან ან მანძილზე oN 0 წერტილიდან o, წერტილის ბრუნვის რადიუსის ტოლია N. რადიუსის სიგრძე oN 0 = oN განსაზღვრულია, მაგალითად, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა ფეხებით on და nN (nN=nn"). სწორი ხაზი P U0, წერტილების გავლით P x და N 0, - კომბინირებული ტრასის პოზიციარ ი.

C0 წერტილის კომბინირებული პოზიცია ანალოგიურად არის აგებული C. ბრუნვის რადიუსი oC ნაპოვნია როგორც მართკუთხა ჰიპოტენუზა

სამკუთხედი ერთი ფეხით oc, მეორე ფეხი cc = s "1. კონსტრუქციის მეორე ვერსია დამზადებულია ჰორიზონტალური სიბრტყის გამოყენებით P პროგნოზებით c"2", c -2. რკალის რადიუსის გამოყენებით R x 2" ნაპოვნია შესაბამისი პოზიცია 2o წერტილი 2 Pv0 ხაზზე, და კომბინირებულ მდგომარეობაში 20С0 ჰორიზონტალური ხაზი წერტილის გავლით 2 0 Ph-ის კვალის პარალელურად.

თუ საჭიროა თვითმფრინავის შერწყმა პროგნოზების შუბლის სიბრტყესთან, მაშინ თვითმფრინავი უნდა შემობრუნდეს მისი შუბლის კვალის გარშემო.

ჩვენ ვხატავთ

6.1. იყოს სათანადო პრიზმა. გადაცემა მოცემულია ვექტორით: ა) 0,5AB; ბ) AO, სადაც O არის ქვედა ფუძის ცენტრი. დახატეთ პრიზმის გამოსახულება ამ თარგმანის დროს. დახაზეთ თავდაპირველი და მიღებული პრიზმების კავშირი და გადაკვეთა.

6.2. მოცემულია რეგულარული ტეტრაედონი. დახაზეთ ტეტრაედონი, რომელიც მიღებულია მოცემულიდან: ა) ცენტრალური სიმეტრიის დაახლოებით შუა სიმაღლეზე; ბ) სარკის სიმეტრია მასზე პერპენდიკულარული სიმაღლის შუაზე გამავალი სიბრტყის მიმართ; გ) ბრუნვა 60°-ით მისი სიმაღლის გარშემო; დ) 90" ბრუნვა ხაზის ირგვლივ, რომელიც აერთებს მისი მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებს. დახაზეთ საწყისი და მიღებული ტეტრაედრების კავშირი და გადაკვეთა.

6.3. მოცემული კუბი. დახაზეთ კუბი, რომელიც მიიღება მოცემულისაგან: ა) მისი დიაგონალის გასწვრივ მიმართულ ვექტორზე გადატანის შედეგად, რომლის სიგრძეა ამ დიაგონალის ნახევარი; ბ) ცენტრალური სიმეტრია წერტილის მიმართ, რომელიც მდებარეობს მის დიაგონალზე და ყოფს მას 2:1 თანაფარდობით; გ) სარკის სიმეტრია სიბრტყის მიმართ, რომელიც მას კვეთს რეგულარული ექვსკუთხედის გასწვრივ; დ) შემოატრიალეთ 90"-ით სწორი ხაზის ირგვლივ, რომელიც გადის ორი პარალელური კიდეების შუა წერტილებში, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დახაზეთ საწყისი და მიღებული კუბების კავშირი და გადაკვეთა.

6.4. დახაზეთ სხეულები, რომლებიც მიიღება წრის შემობრუნებით

6.5. დახაზეთ სხეულები, რომლებიც მიიღება ბრუნვით: ა) კუბი კიდეს გარშემო; ბ) კუბი დიაგონალის გარშემო; გ) რეგულარული ტეტრაედონი კიდის გარშემო; დ) კონუსი ღერძის პარალელურად და მის გარეთ გამავალი სწორი ხაზის გარშემო.

გეგმავენ

6.6. როგორ მოვძებნოთ ფიგურების მოცულობა და ზედაპირის ფართობი - გაერთიანებები და კვეთები - ამოცანებიდან 6.1, 6.2?

6.7. როგორ მოვძებნოთ ფიგურების მოცულობა და ზედაპირის ფართობი 6.5 პრობლემისგან?

გაცნობა

6.8. შეიძლება თუ არა სხეულის სიმეტრიის ცენტრი მას არ მიეკუთვნებოდეს?

6.9. ორი ტოლი სეგმენტი: ა) პარალელური; ბ) აქვს ზუსტად ერთი საერთო წერტილი; გ) შეჯვარება. რა მოძრაობა შეიძლება აჩვენოს ერთმა მათგანმა მეორეზე?

6.10. ორი სეგმენტი ერთმანეთის სიმეტრიულია ორი სიბრტყის მიმართ. როგორი იქნება ფიგურა, თუ მათი ბოლოები სეგმენტებით არის დაკავშირებული?

6.11. ყველა შესაძლო თვითმფრინავი დახაზულია სწორი ხაზით. ეს წერტილი აისახება ყველა ამ თვითმფრინავიდან. რა ფორმას ქმნის ყველა მიღებული წერტილი?

6.12. მართალია, რომ: ა) დახრილ პარალელეპიპედს, რომლის ორი სახე ფუძესთან პერპენდიკულარულია, აქვს სიმეტრიის სიბრტყე; ბ) სიმეტრიის სიბრტყის მქონე პარალელეპიპედის სახეებს შორის არის მართკუთხედები; გ) არის მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელსაც აქვს სიმეტრიის ორი სიბრტყე?

6.13. როგორ დავჭრათ კუბი სამ თანაბარ პირამიდად?

შეაფასეთ

6.14. მართკუთხა სამკუთხედი ჰიპოტენუზით d ბრუნავს ერთ-ერთი ფეხის გარშემო. რა პირობით იქნება რევოლუციის სხეულის მოცულობა ყველაზე დიდი?

6.15. ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი არის P. ეს სამკუთხედი ბრუნავს ფუძის გარშემო. ამ სამკუთხედებიდან რომელი იძლევა რევოლუციის სხეულის ყველაზე დიდ მოცულობას?

Ჩვენ ვფიქრობთ

6.16. კუბის ცენტრი აისახება მისი თითოეული სახის სიბრტყეში. დაამტკიცეთ, რომ მიღებული წერტილები რვაკუთხედის წვეროებია. შესაძლებელია თუ არა ამ გზით სხვა რეგულარული პოლიედრების მიღება?

6.17. ეს ბურთი შეიცავს:

ა) რეგულარული ტეტრაედონი;

ბ) კუბი. ამ პოლიედრონის სახეები სფეროსთან კვეთამდე იყო გაშლილი. რა ფორმებად იყოფა სფერო? რა ფორმად არის დაყოფილი ბურთი? რამდენი მათგანი უდრის ერთმანეთს?

Გამოკვლევა

6.18. არის თუ არა სივრცის მოძრაობა ისეთი ტრანსფორმაცია, რომელიც აყენებს წერტილს კოორდინატებთან შესაბამისობაში კოორდინატებთან წერტილებთან:

6.19. პოლიედრონს აქვს სიმეტრიის ცენტრი, ჩაწერილი ბურთის ცენტრი, ჩაწერილი ბურთის ცენტრი და მასის ცენტრი. ამ პუნქტებიდან რამდენი შეიძლება ემთხვეოდეს?

შევდივართ უნივერსიტეტში

6.20. ბურთის დიამეტრის ბოლოდან ამოღებულია აკორდი ისე, რომ ამ დიამეტრის გარშემო მისი ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირი ბურთის მოცულობას ორ თანაბარ ნაწილად ყოფს. დაადგინეთ კუთხე აკორდსა და დიამეტრს შორის.

6.21. ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით a ბრუნავს გარე ღერძის გარშემო სამკუთხედის გვერდის პარალელურად და დაშორებულია მისგან სამკუთხედის სიმაღლის ნახევრის ტოლ მანძილზე. იპოვნეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა.

6.22. სამკუთხედი ბრუნავს AD ბისექტრის გარშემო. დაამტკიცეთ, რომ AB და AC გვერდების მიერ აღწერილი ზედაპირების ფართობები დაკავშირებულია როგორც ABD და ნაწილების ბრუნვით მიღებული მოცულობები.

6.23. ორკუთხედი სამკუთხედი, რომლის ფუძე არის a, ხოლო კუთხე a ფუძესთან, ბრუნავს სწორი ხაზის გარშემო, რომელიც გადის ფუძის ერთ-ერთ ბოლოზე მის პერპენდიკულარულად. იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის ზედაპირის ფართობი.

6.24. ABCD კვადრატის ნაწილი, რომელიც რჩება წრის მეოთხედის შემდეგ ცენტუმით D წვეროსთან და რადიუსით ტოლია კვადრატის გვერდით, ამოჭრილია მისგან, ბრუნავს ღერძის გარშემო, რომელიც გადის D-ზე AC დიაგონალის პარალელურად. . იპოვეთ მიღებული რევოლუციის სხეულის მოცულობა, თუ კვადრატის გვერდი არის a.

6.25. ABCD მართკუთხა ტრაპეციის ფართობი უდრის , სიმაღლის AB უდრის h, ტრაპეციის მწვავე კუთხის მნიშვნელობა ADC

ტოლია ა. წერტილი E აღებულია CD-ს გვერდზე ისე, რომ . იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ABED ოთხკუთხედის AB წრფის გარშემო ბრუნვით.

6.26. იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია რეგულარული ექვსკუთხედის გარშემო a-ის ტოლი ბრუნვით

6.27. A და B წერტილები მოცემულია R რადიუსის ნახევარწრის წრეზე. თუ N არის დიამეტრის ერთ-ერთი ბოლო, ხოლო O არის წრის ცენტრი, მაშინ განსაზღვრეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება AOB წრიული სექტორის როტაცია დიამეტრის გარშემო.

6.28. მოცემულია რეგულარული ტეტრაედონი ABCD. მისი თითოეული წვერო სიმეტრიულად აისახება მის მოპირდაპირე სახის სიბრტყის მიმართ, რის შედეგადაც მიიღება, შესაბამისად, KLMN წერტილები. იპოვეთ თავდაპირველი და მიღებული ტეტრაედრების მოცულობების თანაფარდობა.

6.29. ტეტრაედრონში შედგენილია სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს მის წვეროებს მოპირდაპირე სახეების შუალედების გადაკვეთის წერტილებთან. ისინი ყველა იკვეთება O წერტილში. მეორე ტეტრაედონი სიმეტრიულია პირველის მიმართ O წერტილის მიმართ. საწყისი ტეტრაედრის მოცულობა არის V. იპოვეთ ორი ტეტრაედრის საერთო ნაწილის მოცულობა.

პასუხი: 0.5 ვ.

6.30. რეგულარული პრიზმის ფუძის გვერდს აქვს სიგრძე a, ხოლო გვერდითი კიდის სიგრძე 1,125a. წერტილი E არის AB კიდის შუა, ხოლო წერტილი M დევს EC და EM EC სეგმენტზე. მეორე პრიზმა სიმეტრიულია პრიზმის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ იპოვეთ ამ პრიზმების საერთო ნაწილის მოცულობა.

6.31. მოცემულია V მოცულობის რეგულარული ტეტრაედონი. მეორე ტეტრაედონი მიიღება პირველისგან კუთხით ბრუნვით.

და ტეტრაედრის გადაკვეთის კიდეების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სწორი ხაზის ირგვლივ. იპოვეთ ამ ორი ტეტრაედრის საერთო ნაწილის მოცულობა.

6.32. კუბი a კიდეით ბრუნავს 90"-ით სწორი ხაზის ირგვლივ, რომელიც აკავშირებს ორი პარალელური კიდეების შუა წერტილებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. იპოვეთ საწყისი კუბის საერთო ნაწილისა და ბრუნვის მოცულობა.

6.33. რეგულარული სამკუთხა პირამიდა ფუძის გვერდით a ბრუნავს სიმეტრიის ღერძის გარშემო 60 კუთხით. დაადგინეთ საწყისი და შემობრუნებული პირამიდების საერთო ნაწილის მოცულობა, თუ გვერდითი მხარეები მართკუთხა სამკუთხედია.

6.34. რეგულარული ტეტრაედონი ჩაწერილია R რადიუსის ბურთში. კუთხით - სიმაღლის ირგვლივ შემობრუნებით, მიიღება ახალი ტეტრაედონი, ჩაწერილი ბურთში. იპოვეთ სფეროს ნაწილის მოცულობა ორივე ტეტრაედრის გარედან.

6.35. ბრუნვის კონუსი ღერძის გარშემო - სწორი ხაზი მის სიმაღლეზე პერპენდიკულარული და გადის წვეროზე. იპოვეთ რევოლუციის შედეგად მიღებული სხეულის განივი კვეთის ფართობი ბრუნვის ღერძზე გამავალი სიბრტყით, თუ კონუსის გენერაცია არის 5, ხოლო სიმაღლე 4.

ამოცანები § 26-მდე

თეორიის შევსება

6.36. დაამტკიცეთ, რომ სიბრტყე გადადის მის პარალელურ სიბრტყეში (თუ არა საკუთარ თავში) შედეგად:

ა) გადაცემა; ბ) ცენტრალური სიმეტრია.

გეგმავენ

6.37. კუბში წერტილი O არის ABCD სახის ცენტრი. როგორ გამოვთვალოთ კუთხე B, O და ხაზებს შორის:

ა) სწორი სწორი სიბრტყე

დ) თვითმფრინავი

6.38. მოდით PABCD იყოს პირამიდა, რომლის ფუძეა რომბი ABCD. RVCAVS). RVS სახის ფართობი უდრის S-ს. K წერტილის გავლით - AD კიდის შუა - განყოფილება გაყვანილია PAB სიბრტყის პარალელურად. როგორ მოვძებნოთ მისი ტერიტორია?

6.39. რეგულარული ტეტრაედრის თითოეული გვერდითი სახე ძირის კიდეების გარშემო ერთი და იგივე კუთხით ბრუნავს გარეთ. ამის შედეგად შეიქმნა პოლიედონი ექვსი წვერით და თანაბარი კიდეებით. რა კუთხით შემობრუნდა კიდეები?

გაცნობა

6.40. შეიძლება თუ არა ორ უთანასწორო კონუსს ჰქონდეს ორი თანაბარი წრიული მონაკვეთი იმავე სიბრტყით, თუ ისინი დგანან იმავე სიბრტყეზე მის ერთ მხარეს?

6.41. ორი წრე ცენტრალურად სიმეტრიულია და არ დევს ერთ სიბრტყეში. მართალია, რომ ისინი დევს: ა) ერთი სფეროს ზედაპირზე; ბ) ერთი ცილინდრი? რა მოხდება, თუ ეს წრეები სარკე-სიმეტრიულია?

6.42. ამ შემთხვევაში ორი ტოლია:

ა) ბურთი ბ) ცილინდრი; გ) არის თუ არა კონუსები ცენტრალურად სიმეტრიული? სარკე სიმეტრიულია?

6.43. რა ბრუნებით შეიძლება ბურთის თავის თავზე გამოსახვა?

6.44. რა მონაცვლეობით არის ამ ფიგურებიდან ერთი მეორეზე გამოსახული, თუ ეს ფიგურებია: ა) ორი სწორი ხაზი; ბ) ორი თვითმფრინავი; გ) ორი თანაბარი ბურთი? არის თუ არა ბრუნვა, რომელიც ასახავს მეორე ფიგურას პირველზე?

6.45. ყოველთვის ვიღებთ ამოზნექილ სხეულს ამოზნექილი ფიგურის ბრუნვით?

Ჩვენ ვფიქრობთ

6.46. თარგმნის თვისებების გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ: ა) ერთი სიბრტყის ორი პერპენდიკულარი პარალელურია; ბ) ერთი სწორი ხაზის პერპენდიკულარული ორი სიბრტყე პარალელურია; გ) თუ წრფე პარალელურია სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფის, მაშინ ის სიბრტყის პერპენდიკულარულია; დ) დიედრული კუთხის წრფივი კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

6.47. დაამტკიცეთ, რომ ორი სიბრტყის გაერთიანება არის ფიგურა: ა) ცენტრალურად სიმეტრიული; ბ) სარკე-სიმეტრიული.

6.48. b წრფე მიიღება a წრფედან a სიბრტყეში ასახვით. ამ ხაზებს აქვთ საერთო წერტილი. დაამტკიცეთ, რომ ეს წერტილი დგას a სიბრტყეში.

6.49. R რადიუსის ბურთში ორი სიბრტყე იხაზება ცენტრში, რომლებიც ქმნიან კუთხეს მათ შორის. როგორ გავარკვიოთ, რა თანაფარდობით დაარღვიეს ბურთის მოცულობა?

6.50. სიბრტყე დახაზულია კუთხის ბისექტრის გავლით. დაამტკიცეთ, რომ კუთხის გვერდები ქმნიან მასთან თანაბარ კუთხეებს.

Გამოკვლევა

6.51. შესაძლებელია თუ არა მთელი სივრცის თანაბარი პარალელეპიპედებით შევსება? შეიძლება ამის გაკეთება სხვა თანაბარი პოლიედრების მიერ?

6.52. იქნება თუ არა ცენტრალური სიმეტრიული სხეულის მონაკვეთი, რომელიც გადის სიმეტრიის ცენტრში?

6.53. სხეული ცენტრალურად სიმეტრიულია. იქნება თუ არა მისი ორთოგონალური პროექცია ცენტრალურად სიმეტრიული? პირიქით იქნება?

6.54. ორი სხეულიდან თითოეული ცენტრალური სიმეტრიულია. იქნება ისინი ცენტრალურად სიმეტრიული: ა) გაერთიანება; ბ) კვეთა?

6.55. ცენტრალურად სიმეტრიული სხეული იყოფა სიბრტყით. მისი ერთი ნაწილი ცენტრალურად სიმეტრიული აღმოჩნდა. იქნება თუ არა მისი სხვა ნაწილი?

6.56. არის თუ არა პოლიედონი, რომელსაც აქვს სიმეტრიის სიბრტყეების წინასწარ განსაზღვრული რაოდენობა?

ამოცანები § 27-მდე

თეორიის შევსება

6.57. დაამტკიცეთ, რომ გადამკვეთ სიბრტყეში ორი ანარეკლის შემადგენლობა ბრუნვაა, ხოლო ორ პარალელურ სიბრტყეში - ტრანსლაცია.

6.58. დახაზეთ ფიგურა, რომელიც თავის თავში გადადის: ა) ხრახნის შედეგად; ბ) სარკის შემობრუნება; გ) სრიალი ანარეკლი.

6.59. დაუშვით კუბი გარკვეული მოძრაობის შედეგად ის სხვა კუბში გადადის. დახაზეთ ეს მეორე კუბი, თუ მოძრაობა არის: ა) ხრახნი, რომლის ბრუნვის ღერძი გადის სახეების ცენტრებში

ვექტორი a, ბრუნვის კუთხე უდრის სარკის ბრუნს ბრუნვის ღერძთან და ასახვას სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეში და გადის კუბის ცენტრში; გ) სრიალი ანარეკლი, სადაც ანარეკლი ხდება კუბის დიაგონალის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში და გადის კუბის ცენტრში და ვექტორი AC-ის ტოლია.

6.60. დაე, RABC იყოს რეგულარული ტეტრაედონი. მოძრაობის შედეგად ის გადადის სხვა ტეტრაედრონში. დახაზეთ ეს სხვა ტეტრაედონი, თუ მოძრაობა ასეთია:

ა) ხრახნი ფუძის ბრუნვის ცენტრის ღერძით), ბრუნვის კუთხე 60" და ვექტორი

ბ) სარკის ბრუნვა ბრუნვის ღერძით PQ, ბრუნის კუთხით 60° და არეკვლის სიბრტყით PQ-ზე პერპენდიკულარული და შუა სიმაღლის გავლით.

გ) ძოვების ანარეკლი PB და K-ზე გამავალი ამრეკლი სიბრტყით - AC-ის შუა და ვექტორი 0,5 კვ.

გაცნობა

6.61. ინარჩუნებს თუ არა საფუძვლის ორიენტაცია: ა) თარგმანი; ბ) ცენტრალური სიმეტრია; გ) სარკის სიმეტრია; დ) შემობრუნება; ე) ხრახნიანი; ე) სარკის ბრუნვა; ზ) სრიალის ანარეკლი?

6.62. აქვს თუ არა მოძრაობას ფიქსირებული წერტილები, თუ ეს მოძრაობა: ა) გადატანა; ბ) ცენტრალური სიმეტრია; გ) სარკის სიმეტრია; დ) შემობრუნება; ე) ხრახნიანი; ე) სარკის ბრუნვა; ზ) სრიალის ანარეკლი?

6.63. მოცემულია ორი ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედი. რა მოძრაობები შეიძლება მათი შერწყმა, თუ მათ საერთო აქვთ: ა) თანაბარი გვერდების ზედა; ბ) ფუძის მხარე; გ) გვერდითი მხარე; დ) მედიანა ფუძემდე; ე) გვერდების შუა ხაზი?

გ) მისი ერთი სიმაღლე მეორემდე;

დ) სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებს სხვა ასეთ სეგმენტთან;

ე) სიმეტრიის ერთი სიბრტყის მონაკვეთი მეორესთან ერთნაირია;

ვ) მონაკვეთი, რომელიც არის კვადრატი მეორესთან, რომელიც იგივეა? იქნება თუ არა მეორე ფიგურა პირველზე გადატანილი ასეთი მოძრაობისას?

6.66. რა მოძრაობების შედეგად არის ნაჩვენები თავის თავზე:

ა) გაჭრა ბ) სწორი ხაზი; გ) წრე; დ) კვადრატი; ე) წესიერი მრავალკუთხედი; ე) რომბი; ზ) თვითმფრინავი; თ) დიედრული კუთხე?

6.67. რა მოძრაობების შედეგად გამოისახება თავის თავზე ტეტრაედონი RABC, რომელშიც: ა) ; ბ)

6.68. სხეული არის ორი ბურთის გაერთიანება, მაგრამ არა ბურთი. რა მოძრაობები გამოიხატება თავის თავზე?

6.69. ოთხკუთხა პირამიდას აქვს: ა) ყველა გვერდითი კიდე ტოლია და მოპირდაპირე ბრტყელი კუთხეები ზევით ტოლია;

ბ) ყველა ბრტყელი კუთხე წვეროზე ტოლია და მოპირდაპირე გვერდითი კიდეები ტოლია. რა მოძრაობებით შეიძლება მისი თვითშეთავსება?

6.70. რა მოძრაობები ასახავს ანტიპრიზმს საკუთარ თავზე?

6.71. როგორ დავყოთ კუბი: ა) 8 ტოლ კუბებად; ბ) 6 თანაბარი პირამიდა; გ) 3 თანაბარი პირამიდა; დ) 4 ტოლი სამკუთხა პრიზმა?

6.72. როგორ გავყოთ მართკუთხა სამკუთხა პრიზმა 3 ტოლ ტეტრაედად? რომელიმე მათგანი თანაბარია?

6.73. როგორ დავყოთ პარალელეპიპედი: ა) 6 თანაბარი ზომის პირამიდად; ბ) სამი თანაბარი პირამიდა? არის თუ არა რომელიმე მათგანი თანაბარი?

6.74. 1 რადიუსის მქონე ბურთში დახაზულია სამი რადიუსი OA, OB, OS, რომელთაგან ყოველი ორი პერპენდიკულარულია. ბურთის მოცულობის რა ნაწილი შემოიფარგლება ბურთის დიდი წრეების მეოთხედით OAB, OAC, OBC და ზედაპირით? ზედაპირის რა ნაწილი?

Ჩვენ ვფიქრობთ

6.75. ორი რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა და აქვს საერთო ფუძე ABCD. წერტილი K არის კიდის შუა, წერტილი L არის კიდის შუა, წერტილი M არის მედიანების გადაკვეთის წერტილი სახეზე, წერტილი N არის მედიანების გადაკვეთის წერტილი სახეზე. დაამტკიცე რომ:

ე) მანძილი K წერტილიდან სიბრტყემდე ტოლია მანძილის L წერტილიდან RHVS-ის სიბრტყემდე.

Გამოკვლევა

6.76. აიღეთ თქვენთვის ცნობილი ნებისმიერი ორი მოძრაობის შემადგენლობა და გაარკვიეთ: ა) ცვლის თუ არა სიბრტყის ორიენტაციას; ბ) აქვს თუ არა მას ფიქსირებული წერტილები?

6.77. რამდენი ფიქსირებული წერტილი შეიძლება ჰქონდეს თითოეულ მოძრაობას, რომელიც იცით? როგორ მდებარეობს ისინი? და რამდენი ფიქსირებული ხაზი შეიძლება ჰქონდეს? თვითმფრინავები?

6.78. ბ წრფე მიიღება a წრფედან გარკვეული მოძრაობით. დაადგინეთ ამ ხაზების მდებარეობა ერთმანეთთან, თუ ეს მოძრაობაა: ა) ხრახნიანი; ბ) სარკის შემობრუნება; გ) სარკის ანარეკლი.

გადართვა

6.79. მავთული დახვეულია ცილინდრზე R რადიუსით და H სიმაღლით. როგორ იცით მისი სიგრძე?

6.80. თქვენ უნდა დააპროექტოთ სპირალური კიბე. როგორ მოიქცევით?

6.81. შეგიძლიათ ამიხსნათ როგორ მუშაობს კუთხის რეფლექტორი? იგი შედგება სამი წყვილი პერპენდიკულარული სარკისგან.