MBOU "სიდორსკაია

ყოვლისმომცველი სკოლა"

ღია გაკვეთილის კონტურის გეგმის შემუშავება

ალგებრაში მე-11 კლასში თემაზე:

მომზადებული და ჩატარებული

მათემატიკის მასწავლებელი

ისხაკოვა ე.ფ.

ღია გაკვეთილის მონახაზი ალგებრაში მე-11 კლასში.

საგანი : „ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით“.

გაკვეთილის ტიპი : ახალი მასალის შესწავლა

გაკვეთილის მიზნები:

გააცნოს სტუდენტებს რაციონალური ინდიკატორის ხარისხის ცნება და მისი ძირითადი თვისებები, ადრე შესწავლილი მასალის საფუძველზე (ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით).

გამოთვლების უნარ-ჩვევების და რაციონალური მაჩვენებლით რიცხვების გარდაქმნისა და შედარების უნარის გამომუშავება.

მოსწავლეებში მათემატიკური წიგნიერების და მათემატიკური ინტერესის გამომუშავება.

აღჭურვილობა : დავალების ბარათები, მოსწავლის პრეზენტაცია ხარისხზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, მასწავლებლის პრეზენტაცია ხარისხზე რაციონალური მაჩვენებლით, ლეპტოპი, მულტიმედიური პროექტორი, ეკრანი.

გაკვეთილების დროს:

ორგანიზების დრო.

ინდივიდუალური დავალების ბარათებით დაფარული თემის ათვისების შემოწმება.

დავალება ნომერი 1.

=2;

ბ) = x + 5;

ამოხსენით ირაციონალური განტოლებათა სისტემა: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

დავალება ნომერი 2.

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება: = - 3;

ბ) = x - 2;

ამოხსენით ირაციონალური განტოლებათა სისტემა: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

გაკვეთილის თემისა და მიზნების პრეზენტაცია.

ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილის თემა ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით».

ახალი მასალის ახსნა ადრე შესწავლილი მაგალითზე.

თქვენ უკვე იცნობთ ხარისხის ცნებას მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ვინ დამეხმარება მათ გახსენებაში?

გამეორება პრეზენტაციით ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით».

ნებისმიერი რიცხვისთვის a , b და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის m და n ტოლობები მართალია:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(ა ბ) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

დღეს განვაზოგადებთ რიცხვის ხარისხის ცნებას და მნიშვნელობას მივანიჭებთ გამონათქვამებს, რომლებსაც აქვთ წილადის მაჩვენებლები. წარმოგიდგინოთ განმარტებაგრადუსი რაციონალური მაჩვენებლით (პრეზენტაცია "ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით"):

ხარისხი ა > 0 რაციონალური მაჩვენებლით რ = , სად მ არის მთელი რიცხვი და ნ - ბუნებრივი ( ნ > 1), დარეკა ნომერზე მ .

ასე რომ, განსაზღვრებით, ჩვენ ამას მივიღებთ = მ .

შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს განმარტება დავალების შესრულებისას.

მაგალითი #1

რიცხვის ფესვად გამოვხატავ გამონათქვამს:

მაგრამ) ბ) AT) .

ახლა შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს განმარტება საპირისპიროდ

II გამოხატეთ გამოთქმა ძალაუფლების სახით რაციონალური მაჩვენებლით:

მაგრამ) 2 ბ) AT) 5 .

0-ის სიმძლავრე განისაზღვრება მხოლოდ დადებითი მაჩვენებლებისთვის.

0 რ= 0 ნებისმიერისთვის რ> 0.

ამ განმარტების გამოყენებით, სახლებითქვენ შეავსებთ #428 და #429.

ახლა ვაჩვენოთ, რომ რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ზემოაღნიშნული განმარტება ინარჩუნებს ხარისხების ძირითად თვისებებს, რომლებიც ჭეშმარიტია ნებისმიერი მაჩვენებლისთვის.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის r და s და ნებისმიერი დადებითი a და b, ტოლობები მართალია:

1 0 . ა რ ა ს =ა r+s ;

მაგალითი: *

20 . a r: a s =a r-s ;

მაგალითი: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

მაგალითი: ( -2/3

4 0 . ( აბ) რ = ა რ ბ რ ; 5 0 . ( = .

მაგალითი: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

მაგალითი რამდენიმე თვისების ერთდროულად გამოყენების შესახებ: * : .

ფიზკულტმინუტკა.

მაგიდაზე კალმები დავდეთ, ზურგები გავასწორეთ და ახლა წინ ვიწევთ, გვინდა დაფას შევეხოთ. ახლა კი ავწიეთ და დავიხარეთ მარჯვნივ, მარცხნივ, წინ, უკან. კალმები მაჩვენეს და ახლა მაჩვენე როგორ ცეკვავენ შენს თითებს.

იმუშავეთ მასალაზე

ჩვენ აღვნიშნავთ ძალების კიდევ ორ თვისებას რაციონალური მაჩვენებლებით:

60 . დაე იყოს r არის რაციონალური რიცხვი და 0< a < b . Тогда

ა რ < b რზე რ> 0,

ა რ < b რზე რ< 0.

7 0 . ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვისრდა სუთანასწორობიდან რ> სამას მოჰყვება

ა რ> ა რ> 1-ისთვის,

ა რ < а რ 0-ზე< а < 1.

მაგალითი: შეადარეთ რიცხვები:

და ; 2 300 და 3 200 .

გაკვეთილის შეჯამება:

დღეს გაკვეთილზე გავიხსენეთ ხარისხის თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ვისწავლეთ რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა და ძირითადი თვისებები, განვიხილეთ ამ თეორიული მასალის პრაქტიკაში გამოყენება სავარჯიშოების შესრულებისას. თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო იმ ფაქტზე, რომ საგამოცდო დავალებებში სავალდებულოა თემა „დიპლომი რაციონალური მაჩვენებლით“. საშინაო დავალების მომზადებისას No428 და No429

a რიცხვის მთელი რიცხვითი მაჩვენებლებიდან რაციონალურ მაჩვენებელზე გადასვლა თავისთავად გვთავაზობს. ქვემოთ განვსაზღვრავთ ხარისხს რაციონალური მაჩვენებლით და ამას გავაკეთებთ ისე, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება შენარჩუნდეს. ეს აუცილებელია, რადგან მთელი რიცხვები რაციონალური რიცხვების ნაწილია.

ცნობილია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედგება მთელი და წილადი რიცხვებისაგან და ყოველი წილადი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი ჩვეულებრივი წილადი. წინა აბზაცში განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ამიტომ, რომ დავასრულოთ ხარისხის განსაზღვრება რაციონალური მაჩვენებლით, უნდა მივცეთ რიცხვის ხარისხის მნიშვნელობა. აწილადით მ/ნ, სად მარის მთელი რიცხვი და ნ- ბუნებრივი. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

განვიხილოთ ხარისხი ფორმის წილადი მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ ხარისხის თვისება ძალაში დარჩეს, თანასწორობა უნდა იყოს . თუ გავითვალისწინებთ მიღებულ თანასწორობას და როგორ დავადგინეთ n-ე ხარისხის ფესვი, მაშინ ლოგიკურია მიღება, იმ პირობით, რომ მონაცემებით მ, ნდა აგამოხატვას აზრი აქვს.

ადვილია იმის დადასტურება, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება მოქმედებს როგორც (ეს კეთდება განყოფილებაში რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების შესახებ).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნა: თუ მოცემულია მ, ნდა აგამოხატვას აქვს აზრი, შემდეგ რიცხვის ძალა აწილადით მ/ნფესვს უწოდებენ ნე ხარისხი არამდენადაც მ.

ეს დებულება გვაახლოებს წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებასთან. რჩება მხოლოდ იმის აღწერა, თუ რა მ, ნდა აგამოხატვას აზრი აქვს. დაწესებული შეზღუდვების მიხედვით მ, ნდა აარსებობს ორი ძირითადი მიდგომა.

1. უმარტივესი გზაა შეზღუდვის დაწესება ა, მიღება a≥0პოზიტივისთვის მდა a>0უარყოფითისთვის მ(რადგან ზე მ≤0ხარისხი 0 მდაუზუსტებელი). შემდეგ მივიღებთ ხარისხის შემდეგ განმარტებას წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დადებითი რიცხვის ხარისხი აწილადით მ/ნ , სად მარის მთელი და ნარის ბუნებრივი რიცხვი, რომელსაც ფესვი ეწოდება ნ- შიგნიდან არამდენადაც მ, ე.ი.

ნულის წილადი ხარისხი ასევე განისაზღვრება ერთადერთი გაფრთხილებით, რომ მაჩვენებლი დადებითი უნდა იყოს.

განმარტება.

ნულის სიმძლავრე წილადი დადებითი მაჩვენებლით მ/ნ , სად მარის დადებითი მთელი რიცხვი და ნარის ნატურალური რიცხვი, განისაზღვრება როგორც .
როდესაც ხარისხი არ არის განსაზღვრული, ანუ ნულის რიცხვის ხარისხს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს.

უნდა აღინიშნოს, რომ ხარისხის ასეთი განმარტებით წილადის მაჩვენებლით, არსებობს ერთი ნიუანსი: ზოგიერთი უარყოფითისთვის ადა ზოგიერთი მდა ნგამოთქმას აქვს აზრი და ჩვენ გავაუქმეთ ეს შემთხვევები პირობის შემოღებით a≥0. მაგალითად, აზრი აქვს წერას ან , და ზემოაღნიშნული განმარტება გვაიძულებს ვთქვათ, რომ გრადუსები ფორმის წილადი მაჩვენებლით უაზროა, რადგან ბაზა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

2. წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრის კიდევ ერთი მიდგომა მ/ნშედგება ფესვის ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განხილვაში. ეს მიდგომა მოითხოვს დამატებით პირობას: რიცხვის სიმძლავრეს ა, რომლის მაჩვენებელი არის შემცირებული ჩვეულებრივი წილადი, ითვლება რიცხვის ხარისხად ა, რომლის მაჩვენებელიც არის შესაბამისი შეუქცევადი წილადი (ამ პირობის მნიშვნელობა ქვემოთ იქნება ახსნილი). ანუ თუ მ/ნარის შეუქცევადი წილადი, მაშინ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის კხარისხი წინასწარ შეიცვალა .

ამისთვის კი ნდა დადებითი მგამოხატვას აზრი აქვს ნებისმიერი არაუარყოფითისთვის ა(უარყოფითი რიცხვის ლუწი ხარისხის ფესვს აზრი არ აქვს), უარყოფითით მნომერი ამაინც უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს იქნება ნულზე გაყოფა). და უცნაურად ნდა დადებითი მნომერი აშეიძლება იყოს ნებისმიერი (კენტი ხარისხის ფესვი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის) და უარყოფითი მნომერი აუნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (ისე, რომ არ მოხდეს ნულზე გაყოფა).

ზემოაღნიშნული მსჯელობა მიგვიყვანს ხარისხის ასეთ განსაზღვრებამდე წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დაე იყოს მ/ნ- შეუქცევადი წილადი მარის მთელი და ნ- ნატურალური რიცხვი. ნებისმიერი რედუცირებადი ჩვეულებრივი წილადისთვის, ხარისხი იცვლება . ხარისხი აშეუქცევადი წილადის მაჩვენებლით მ/ნ- ეს არის ამისთვის

o ნებისმიერი რეალური რიცხვი ა, მთელი რიცხვი დადებითი მდა უცნაური ბუნებრივი ნ, Მაგალითად, ;

o ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი ა, მთელი რიცხვი უარყოფითი მდა კენტი ნ, მაგალითად, ;

o ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი ა, მთელი რიცხვი დადებითი მდა კიდევ ნ, Მაგალითად, ;

o ნებისმიერი დადებითი ა, მთელი რიცხვი უარყოფითი მდა კიდევ ნ, მაგალითად, ;

o სხვა შემთხვევებში, ხარისხი წილადის მაჩვენებლით არ არის განსაზღვრული, როგორც, მაგალითად, გრადუსები არ არის განსაზღვრული ჩანაწერები ჩვენ არ ვანიჭებთ მნიშვნელობას, ჩვენ განვსაზღვრავთ ნულის ხარისხს დადებითი წილადის მაჩვენებლებისთვის მ/ნროგორც , უარყოფითი წილადის მაჩვენებლებისთვის ნულის რიცხვის ხარისხი არ არის განსაზღვრული.

ამ აბზაცის დასასრულს, მოდით ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ წილადის მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი ან შერეული რიცხვი, მაგალითად, . ამ სახის გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაწეროთ მაჩვენებლები, როგორც ჩვეულებრივი წილადი, შემდეგ კი გამოიყენოთ ხარისხის განმარტება წილადის მაჩვენებლით. ამ მაგალითებისთვის გვაქვს და

ამ სტატიაში ჩვენ გავიგებთ რა არის ხარისხი. აქ მივცემთ რიცხვის ხარისხის განმარტებებს, ხოლო დეტალურად განვიხილავთ ხარისხის ყველა შესაძლო მაჩვენებელს, დაწყებული ბუნებრივი მაჩვენებლით, დამთავრებული ირაციონალურით. მასალაში ნახავთ ხარისხების უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს ყველა წარმოშობილ დახვეწილობას.

გვერდის ნავიგაცია.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით, რიცხვის კვადრატი, რიცხვის კუბი

დავიწყოთ იმით. წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ a-ს ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით n მოცემულია a-სთვის, რომელსაც დავარქმევთ. ხარისხის საფუძველიდა n, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ ექსპონენტი. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ხარისხი ბუნებრივი ინდიკატორით განისაზღვრება პროდუქტის საშუალებით, ამიტომ ქვემოთ მოცემული მასალის გასაგებად, თქვენ უნდა გქონდეთ წარმოდგენა რიცხვების გამრავლების შესახებ.

განმარტება.

a რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლითარის a n ფორმის გამოხატულება, რომლის მნიშვნელობა უდრის n ფაქტორების ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს, ანუ .
კერძოდ, a რიცხვის ხარისხი 1 მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი a, ანუ a 1 =a.

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს ხარისხების კითხვის წესები. a n ჩანაწერის წაკითხვის უნივერსალური გზაა: "a n-ის ხარისხამდე". ზოგიერთ შემთხვევაში, ასეთი ვარიანტებიც მისაღებია: „a-დან n-ე ხარისხამდე“ და „ა რიცხვის n-ე ხარისხში“. მაგალითად, ავიღოთ 8 12-ის სიმძლავრე, ეს არის "რვა თორმეტის ხარისხამდე", ან "რვა მეთორმეტე ხარისხამდე", ან "რვის მეთორმეტე ხარისხში".

რიცხვის მეორე ხარისხს, ისევე როგორც რიცხვის მესამე ხარისხს, აქვთ საკუთარი სახელები. რიცხვის მეორე ხარისხს ეწოდება რიცხვის კვადრატიმაგალითად, 7 2 იკითხება როგორც "შვიდი კვადრატში" ან "შვიდი რიცხვის კვადრატი". რიცხვის მესამე ხარისხს ეწოდება კუბის ნომერიმაგალითად, 5 3 შეიძლება წაიკითხოთ როგორც "ხუთი კუბი" ან ვთქვათ "კუბი ნომერი 5".

მოტანის დროა გრადუსების მაგალითები ფიზიკური მაჩვენებლებით. დავიწყოთ 5 7-ის სიმძლავრით, სადაც 5 არის სიმძლავრის საფუძველი და 7 არის მაჩვენებელი. მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 4.32 არის ფუძე, ხოლო ნატურალური რიცხვი 9 არის მაჩვენებლის (4.32) 9 .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო მაგალითში 4.32 ხარისხის ფუძე იწერება ფრჩხილებში: შეუსაბამობების თავიდან ასაცილებლად ფრჩხილებში ავიღებთ ხარისხის ყველა ფუძეს, რომელიც განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ შემდეგ ხარისხებს ბუნებრივი მაჩვენებლებით , მათი ფუძეები არ არის ნატურალური რიცხვები, ამიტომ ისინი იწერება ფრჩხილებში. ამ ეტაპზე სრული სიცხადისთვის ჩვენ ვაჩვენებთ სხვაობას, რომელიც შეიცავს (−2) 3 და −2 3 ფორმის ჩანაწერებში. გამოსახულება (−2) 3 არის −2-ის სიმძლავრე 3-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, ხოლო გამოსახულება −2 3 (ის შეიძლება დაიწეროს როგორც −(2 3) ) შეესაბამება რიცხვს, 2 3 სიმძლავრის მნიშვნელობას.

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს a ხარისხის აღნიშვნა a^n ფორმის n მაჩვენებლით. უფრო მეტიც, თუ n არის მრავალმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვი, მაშინ მაჩვენებელი აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 4^9 არის კიდევ ერთი აღნიშვნა 4 9-ის ხარისხზე. და აი, გრადუსების ჩაწერის სხვა მაგალითები "^" სიმბოლოს გამოყენებით: 14^(21) , (−2,1)^(155) . შემდეგში ძირითადად გამოვიყენებთ a n ფორმის ხარისხის აღნიშვნას.

ერთ-ერთი პრობლემა, სიძლიერის შებრუნება ბუნებრივი მაჩვენებლით, არის ხარისხის საფუძვლის პოვნის პრობლემა ხარისხის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი მაჩვენებლისგან. ეს ამოცანა იწვევს.

ცნობილია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედგება მთელი და წილადი რიცხვებისაგან და ყოველი წილადი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი ჩვეულებრივი წილადი. ჩვენ წინა აბზაცში განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ამიტომ, იმისთვის, რომ დავასრულოთ ხარისხის განსაზღვრება რაციონალური მაჩვენებლით, უნდა მივცეთ a რიცხვის ხარისხის მნიშვნელობა წილადი მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

განვიხილოთ ხარისხი ფორმის წილადი მაჩვენებლით. იმისთვის, რომ ხარისხის თვისება ძალაში დარჩეს, თანასწორობა უნდა იყოს . თუ გავითვალისწინებთ მიღებულ თანასწორობას და ჩვენ მიერ განსაზღვრულ გზას, მაშინ ლოგიკურია მიღება, იმ პირობით, რომ მოცემული m, n და a გამოთქმას აქვს აზრი.

ადვილია იმის დადასტურება, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება მოქმედებს როგორც (ეს კეთდება განყოფილებაში რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების შესახებ).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნა: თუ მოცემული m, n და a გამოთქმას აქვს აზრი, მაშინ a რიცხვის ძალა წილადის მაჩვენებლით m/n არის a-ს n-ე ხარისხის ფესვი m ხარისხზე.

ეს დებულება გვაახლოებს წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებასთან. რჩება მხოლოდ იმის აღწერა, თუ რისთვის აქვს m, n და a გამოხატულება აზრი. m, n და a-ზე დაწესებული შეზღუდვებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი ძირითადი მიდგომა.

a შეზღუდვის უმარტივესი გზაა ვივარაუდოთ a≥0 დადებითი m და a>0 უარყოფითი m (რადგან m≤0 არ აქვს 0 m სიმძლავრე). შემდეგ მივიღებთ ხარისხის შემდეგ განმარტებას წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დადებითი რიცხვის სიმძლავრე a წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი, ეწოდება a რიცხვის n-ის ფესვი m-ის ხარისხზე, ანუ .

ნულის წილადი ხარისხი ასევე განისაზღვრება ერთადერთი გაფრთხილებით, რომ მაჩვენებლი დადებითი უნდა იყოს.

განმარტება.

ნულის სიმძლავრე წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი, განისაზღვრება როგორც .
როდესაც ხარისხი არ არის განსაზღვრული, ანუ ნულის რიცხვის ხარისხს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს.

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადის მაჩვენებლით ხარისხის ასეთი განსაზღვრისას არის ერთი ნიუანსი: ზოგიერთ უარყოფით a-სთვის და ზოგიერთი m და n-ისთვის გამოხატულებას აზრი აქვს და ეს შემთხვევები გავაუქმეთ a≥0 პირობის შემოღებით. მაგალითად, აზრი აქვს წერას ან , და ზემოაღნიშნული განმარტება გვაიძულებს ვთქვათ, რომ გრადუსები ფორმის წილადი მაჩვენებლით უაზროა, რადგან ბაზა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

კიდევ ერთი მიდგომა წილადის მაჩვენებლით მ/ნ მაჩვენებლით ხარისხის დასადგენად არის ფესვის ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განხილვა. ეს მიდგომა მოითხოვს დამატებით პირობას: a რიცხვის ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია , ითვლება a რიცხვის ხარისხად, რომლის მაჩვენებელია შესაბამისი შეუქცევადი წილადი (ამ პირობის მნიშვნელობა ქვემოთ იქნება ახსნილი). ანუ, თუ m/n არის შეუქცევადი წილადი, მაშინ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის k ხარისხი ჯერ შეიცვლება .

ლუწი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის, გამოთქმა აზრი აქვს ნებისმიერ არაუარყოფით a-ს (უარყოფითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ფესვს აზრი არ აქვს), უარყოფითი m-სთვის, რიცხვი a მაინც უნდა განსხვავდებოდეს ნულიდან (თორემ არსებობს იქნება გაყოფა ნულზე). და კენტი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის, რიცხვი a შეიძლება იყოს ნებისმიერი (კენტი ხარისხის ფესვი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის), ხოლო უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (ისე რომ არ იყოს გაყოფა. ნული).

ზემოაღნიშნული მსჯელობა მიგვიყვანს ხარისხის ასეთ განსაზღვრებამდე წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

მოდით m/n იყოს შეუქცევადი წილადი, m მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი. ნებისმიერი რედუცირებადი ჩვეულებრივი წილადისთვის, ხარისხი იცვლება . a-ს სიმძლავრე შეუქცევადი წილადი მაჩვენებლით m/n არის ამისთვის



მოდით ავხსნათ, თუ რატომ შეიცვალა ხარისხი შემცირებადი წილადის მაჩვენებლით ჯერ შეუქცევადი მაჩვენებლით. თუ ჩვენ უბრალოდ განვსაზღვრავთ ხარისხს, როგორც , და არ გავაკეთებთ დათქმას m/n წილადის შეუმცირებლობაზე, მაშინ შევხვდებოდით შემდეგ მსგავს სიტუაციებს: ვინაიდან 6/10=3/5, მაშინ ტოლობა , მაგრამ , ა .

ვიდეოგაკვეთილი ,,ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით“ შეიცავს ვიზუალურ საგანმანათლებლო მასალას ამ თემაზე გაკვეთილის ჩასატარებლად. ვიდეო გაკვეთილი შეიცავს ინფორმაციას რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ცნების, ასეთი ხარისხების თვისებებზე, ასევე მაგალითებს, რომლებიც აღწერს სასწავლო მასალის გამოყენებას პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად. ამ ვიდეო გაკვეთილის ამოცანაა ნათლად და ნათლად წარმოადგინოს სასწავლო მასალა, ხელი შეუწყოს მის შემუშავებას და დამახსოვრებას მოსწავლეების მიერ, ჩამოაყალიბოს ნასწავლი ცნებების გამოყენებით ამოცანების გადაჭრის უნარი.

ვიდეოგაკვეთილის მთავარი უპირატესობაა ვიზუალური გარდაქმნებისა და გამოთვლების უნარი, ანიმაციური ეფექტების გამოყენების შესაძლებლობა სწავლის ეფექტურობის გასაუმჯობესებლად. ხმის თანხლება ხელს უწყობს სწორი მათემატიკური მეტყველების განვითარებას, ასევე შესაძლებელს ხდის მასწავლებლის ახსნა-განმარტების ჩანაცვლებას, ათავისუფლებს მას ინდივიდუალური მუშაობისთვის.

ვიდეო გაკვეთილი იწყება თემის გაცნობით. ახალი თემის შესწავლის ადრე შესწავლილ მასალასთან დაკავშირებისას, რეკომენდებულია გავიხსენოთ, რომ n √a სხვაგვარად აღინიშნება 1/n-ით ბუნებრივი n-ით და დადებითი a-ით. n-root-ის ეს წარმოდგენა ნაჩვენებია ეკრანზე. გარდა ამისა, შემოთავაზებულია განიხილოს რას ნიშნავს გამოთქმა a m / n, რომელშიც a არის დადებითი რიცხვი, ხოლო m / n არის გარკვეული წილადი. უჯრაში მონიშნული ხარისხის განმარტება მოცემულია რაციონალური მაჩვენებლით, როგორც m/n = n √ a m. აღსანიშნავია, რომ n შეიძლება იყოს ნატურალური რიცხვი, ხოლო m - მთელი რიცხვი.

რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრის შემდეგ მისი მნიშვნელობა ვლინდება მაგალითებით: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . ასევე ნაჩვენებია მაგალითი, რომელშიც ათწილადით წარმოდგენილი სიმძლავრე გარდაიქმნება საერთო წილადად, რომელიც უნდა იყოს წარმოდგენილი ფესვის სახით: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 და მაგალითი უარყოფითი მაჩვენებლით: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

ცალკე, კონკრეტული შემთხვევის მახასიათებელი მითითებულია, როდესაც ხარისხის საფუძველი ნულია. აღნიშნულია, რომ ამ ხარისხს აქვს აზრი მხოლოდ დადებითი წილადის მაჩვენებლით. ამ შემთხვევაში მისი მნიშვნელობა ნულის ტოლია: 0 მ/ნ =0.

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის კიდევ ერთი თავისებურება აღინიშნება - ის, რომ წილადის მაჩვენებლით ხარისხი არ შეიძლება ჩაითვალოს წილადის მაჩვენებლით. მოყვანილია ხარისხის არასწორი აღნიშვნის მაგალითები: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

შემდგომ ვიდეო გაკვეთილზე განიხილება რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებები. აღნიშნულია, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებები ასევე მოქმედებს რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე. შემოთავაზებულია გავიხსენოთ იმ თვისებების ჩამონათვალი, რომლებიც ასევე მოქმედებს ამ შემთხვევაში:

1. სიმძლავრეების ერთსა და იმავე საფუძვლებთან გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება: a p a q \u003d a p + q.
2. გრადუსების დაყოფა იმავე ფუძეებით მცირდება ხარისხამდე მოცემული ფუძით და განსხვავება მაჩვენებლებში: a p:a q =a p-q .
3. თუ სიმძლავრეს ავწევთ გარკვეულ სიმძლავრემდე, მაშინ შედეგად მივიღებთ სიმძლავრეს მოცემული ფუძით და მაჩვენებლების ნამრავლით: (a p) q =a pq .

ყველა ეს თვისება მართებულია p, q და დადებითი ფუძის მქონე რაციონალური მაჩვენებლებით a>0. ასევე, ხარისხის გარდაქმნები რჩება ჭეშმარიტი ფრჩხილების გახსნისას:

1. (ab) p =a p b p - ორი რიცხვის ნამრავლის აწევა გარკვეულ სიმძლავრემდე რაციონალური მაჩვენებლით მცირდება რიცხვების ნამრავლამდე, რომელთაგან თითოეული ამაღლებულია მოცემულ ხარისხზე.
2. (a/b) p =a p /b p - წილადის რაციონალური მაჩვენებლით გაძლიერება მცირდება წილადზე, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი ამაღლებულია მოცემულ ხარისხზე.

ვიდეო გაკვეთილი განიხილავს მაგალითების ამოხსნას, რომლებიც იყენებენ გრადუსების განხილულ თვისებებს რაციონალური მაჩვენებლით. პირველ მაგალითში შემოთავაზებულია ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს x ცვლადებს წილადის ხარისხში: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). გამოხატვის სირთულის მიუხედავად, გრადუსების თვისებების გამოყენებით, ის საკმაოდ მარტივად წყდება. ამოცანის ამოხსნა იწყება გამოხატვის გამარტივებით, რომელიც იყენებს რაციონალური მაჩვენებლის სიმძლავრის სიმძლავრის აწევის წესს, ასევე იმავე ფუძის მქონე ძალების გამრავლებას. მოცემული x=8 მნიშვნელობის ჩანაცვლების შემდეგ გამარტივებულ გამოხატულებაში x 1/3 +48, ​​ადვილია მნიშვნელობის მიღება - 50.

მეორე მაგალითში საჭიროა წილადის შემცირება, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს რაციონალური მაჩვენებლის ხარისხებს. ხარისხის თვისებების გამოყენებით განსხვავებიდან ვირჩევთ ფაქტორს x 1/3, რომელიც შემდეგ მცირდება მრიცხველში და მნიშვნელში, ხოლო კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მრიცხველი იშლება ფაქტორებად, რაც იძლევა უფრო მეტ შემცირებას. იგივე ფაქტორები მრიცხველში და მნიშვნელში. ასეთი გარდაქმნების შედეგია მოკლე წილადი x 1/4 +3.

გაკვეთილის ახალი თემის ახსნის ნაცვლად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ვიდეოგაკვეთილი „ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით“. ასევე, ეს სახელმძღვანელო შეიცავს საკმარის ინფორმაციას სტუდენტის მიერ თვითშესწავლისთვის. მასალა შეიძლება სასარგებლო იყოს დისტანციური სწავლების დროს.