წარმოიდგინეთ თვითმფრინავი: ფრთები, ფიუზელაჟი, კუდი, ეს ყველაფერი ერთად - ნამდვილი უზარმაზარი, უზარმაზარი, მთელი თვითმფრინავი. და თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ თვითმფრინავის მოდელი, პატარა, მაგრამ ყველაფერი რეალურია, იგივე ფრთები და ა.შ., მაგრამ კომპაქტური. ასეა მათემატიკური მოდელი. არის ტექსტის პრობლემა, უხერხული, შეგიძლიათ უყუროთ, წაიკითხოთ, მაგრამ ბოლომდე ვერ გაიგოთ და მით უმეტეს, გაუგებარია, როგორ მოაგვაროთ იგი. მაგრამ რა მოხდება, თუ დიდი ვერბალური პრობლემისგან მის პატარა მოდელს, მათემატიკურ მოდელს გავაკეთებთ? რას ნიშნავს მათემატიკური? ასე რომ, მათემატიკური აღნიშვნის წესებისა და კანონების გამოყენებით, გადააკეთეთ ტექსტი ლოგიკურად სწორ წარმოდგენაში რიცხვებისა და არითმეტიკული ნიშნების გამოყენებით. Ისე, მათემატიკური მოდელი არის რეალური სიტუაციის წარმოდგენა მათემატიკური ენის გამოყენებით.

დავიწყოთ მარტივით: რიცხვი მეტია რიცხვზე. ჩვენ უნდა ჩამოვწეროთ სიტყვების გარეშე, მხოლოდ მათემატიკის ენაზე. თუ მეტია, მაშინ გამოდის, რომ თუ გამოვაკლებთ, მაშინ ამ რიცხვების განსხვავება ტოლი დარჩება. იმათ. ან. გაიგეთ არსი?

ახლა უფრო რთულია, ახლა იქნება ტექსტი, რომელიც უნდა ეცადოთ წარმოადგინოთ მათემატიკური მოდელის სახით, სანამ არ წაიკითხავთ როგორ გავაკეთებ ამას, თავად სცადეთ! ოთხი რიცხვია: , და. პროდუქტი და მეტი პროდუქტი და ორჯერ.

Რა მოხდა?

მათემატიკური მოდელის სახით ასე გამოიყურება:

იმათ. პროდუქტი დაკავშირებულია როგორც ორიდან ერთთან, მაგრამ ეს შეიძლება კიდევ უფრო გამარტივდეს:

ისე, მარტივი მაგალითებით თქვენ ხვდებით აზრს, ვფიქრობ. გადავიდეთ სრულფასოვან ამოცანებზე, რომლებშიც ეს მათემატიკური მოდელებიც უნდა ამოხსნას! აქ არის ამოცანა.

მათემატიკური მოდელი პრაქტიკაში

დავალება 1

წვიმის შემდეგ ჭაში წყლის დონემ შესაძლოა მოიმატოს. ბიჭი ზომავს ჭაში პატარა კენჭების ჩავარდნის დროს და ითვლის მანძილს წყალამდე ფორმულის გამოყენებით, სადაც მანძილია მეტრებში და ჩავარდნის დრო წამებში. წვიმამდე კენჭების ცვენის დრო იყო ს. რამდენად უნდა გაიზარდოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო s-მდე შეიცვალოს? გამოხატეთ თქვენი პასუხი მეტრებში.

Ო ღმერთო! რა ფორმულები, როგორი ჭა, რა ხდება, რა ვქნა? წავიკითხე შენი გონება? დამშვიდდით, ამ ტიპის ამოცანებში პირობები კიდევ უფრო საშინელია, მთავარია გახსოვდეთ, რომ ამ ამოცანაში გაინტერესებთ ფორმულები და ურთიერთობები ცვლადებს შორის და რას ნიშნავს ეს ყველაფერი უმეტეს შემთხვევაში არ არის ძალიან მნიშვნელოვანი. რას ხედავთ აქ სასარგებლო? მე პირადად ვხედავ. ამ პრობლემების გადაჭრის პრინციპი ასეთია: თქვენ იღებთ ყველა ცნობილ რაოდენობას და ცვლით მათ.მაგრამ ხანდახან უნდა იფიქრო!

ჩემი პირველი რჩევის შემდეგ და ყველა ცნობილის განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

მე შევცვალე წამის დრო და ვიპოვე ის სიმაღლე, რომელსაც ქვა წვიმის წინ აფრინდა. ახლა კი ჩვენ უნდა დავთვალოთ წვიმის შემდეგ და ვიპოვოთ განსხვავება!

ახლა მოუსმინე მეორე რჩევას და დაფიქრდი, კითხვა განმარტავს, "რამდენი უნდა გაიზარდოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო ს-ით შეიცვალოს." სასწრაფოდ უნდა გაარკვიო, ოოოო, წვიმის შემდეგ წყლის დონე მატულობს, რაც იმას ნიშნავს, რომ ქვის წყლის დონემდე დაცემის დრო ნაკლებია და აქ არის მორთული ფრაზა "ისე, რომ გაზომილი დრო შეიცვალოს" კონკრეტულ მნიშვნელობაზე: დაცემის დრო არ იზრდება, მაგრამ მცირდება მითითებული წამით. ეს ნიშნავს, რომ წვიმის შემდეგ სროლის შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვაკლოთ c საწყის დროს c და მივიღებთ განტოლებას იმ სიმაღლეზე, რომლითაც ქვა გაფრინდება წვიმის შემდეგ:

და ბოლოს, იმისთვის, რომ გაიგოთ რამდენი უნდა მოიმატოს წყლის დონე წვიმის შემდეგ, რომ გაზომილი დრო ს-ით შეიცვალოს, უბრალოდ უნდა გამოაკლოთ მეორე დაცემის პირველ სიმაღლეს!

ვიღებთ პასუხს: მეტრზე.

როგორც ხედავ, არაფერია რთული, რაც მთავარია, ზედმეტად არ ინერვიულო, საიდან გაჩნდა ასეთი გაუგებარი და ზოგჯერ რთული განტოლება პირობებში და რას ნიშნავს მასში ყველაფერი, დამეხმარე, ამ განტოლებების უმეტესობა არის ფიზიკიდან აღებული და იქ ჯუნგლები ალგებრაზე უარესია. ზოგჯერ მეჩვენება, რომ ეს ამოცანები გამოიგონეს გამოცდაზე სტუდენტის დასაშინებლად რთული ფორმულებისა და ტერმინების სიმრავლით და უმეტეს შემთხვევაში ისინი თითქმის არ საჭიროებენ ცოდნას. უბრალოდ ყურადღებით წაიკითხეთ მდგომარეობა და შეცვალეთ ცნობილი მნიშვნელობები ფორმულაში!

აქ არის კიდევ ერთი პრობლემა, უკვე არა ფიზიკაში, არამედ ეკონომიკური თეორიის სამყაროდან, თუმცა მათემატიკის გარდა სხვა მეცნიერებების ცოდნა აქ ისევ არ არის საჭირო.

დავალება 2

მონოპოლიური საწარმოს პროდუქტებზე მოთხოვნის მოცულობის (თვეში ერთეული) დამოკიდებულება ფასზე (ათასი რუბლი) მოცემულია ფორმულით.

კომპანიის ყოველთვიური შემოსავალი (ათასი რუბლი) გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით. განსაზღვრეთ უმაღლესი ფასი, რომლითაც ყოველთვიური შემოსავალი იქნება მინიმუმ ათასი რუბლი. მიეცით პასუხი ათასი რუბლით.

გამოიცანით რას გავაკეთებ ახლა? ჰო, დავიწყებ იმის ჩანაცვლებას, რაც ვიცით, მაგრამ, კიდევ ერთხელ, ცოტა მაინც უნდა იფიქრო. მოდით წავიდეთ ბოლოდან, უნდა ვიპოვოთ რომელი. მაშ, არის, ზოგიერთის ტოლი, ვპოულობთ კიდევ რისი ტოლია და ტოლია და ჩავწერთ. როგორც ხედავთ, მე განსაკუთრებით არ მაწუხებს ყველა ამ რაოდენობის მნიშვნელობა, მე მხოლოდ პირობებიდან ვუყურებ, რა არის რისი ტოლი, ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ. დავუბრუნდეთ დავალებას, თქვენ უკვე გაქვთ ის, მაგრამ როგორც გახსოვთ, ერთი განტოლებიდან ორი ცვლადით, ვერცერთი ვერ მოიძებნა, რა უნდა გააკეთოს? დიახ, ჩვენ ჯერ კიდევ გვაქვს გამოუყენებელი ნაწილაკი მდგომარეობაში. აქ უკვე არის ორი განტოლება და ორი ცვლადი, რაც ნიშნავს, რომ ახლა ორივე ცვლადის პოვნა შესაძლებელია - შესანიშნავია!

შეგიძლიათ გადაჭრათ ასეთი სისტემა?

ვხსნით ჩანაცვლებით, უკვე გამოვხატეთ, რაც ნიშნავს, რომ ჩავანაცვლებთ პირველ განტოლებაში და გავამარტივებთ.

გამოდის, რომ აქ არის ასეთი კვადრატული განტოლება: , ჩვენ ვხსნით, ფესვები ასეთია, . ამოცანაში საჭიროა იპოვოთ უმაღლესი ფასი, რომლითაც დაკმაყოფილდება ყველა ის პირობა, რომელიც გავითვალისწინეთ სისტემის შედგენისას. ოჰ, თურმე ეს იყო ფასი. მაგარია, ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ფასები: და. ყველაზე მაღალი ფასი, თქვენ ამბობთ? კარგი, მათგან ყველაზე დიდი, ცხადია, პასუხად ვწერთ. ისე, რთულია? მე ვფიქრობ, რომ არა და თქვენ არ გჭირდებათ ამაში ზედმეტი ჩაღრმავება!

და აქ არის თქვენთვის საშიში ფიზიკა, უფრო სწორად, კიდევ ერთი პრობლემა:

დავალება 3

ვარსკვლავების ეფექტური ტემპერატურის დასადგენად გამოიყენება შტეფან-ბოლცმანის კანონი, რომლის მიხედვითაც, სადაც არის ვარსკვლავის გასხივოსნებული ძალა, არის მუდმივი, არის ვარსკვლავის ზედაპირის ფართობი და არის ტემპერატურა. ცნობილია, რომ გარკვეული ვარსკვლავის ზედაპირის ფართობი ტოლია, ხოლო მისი გამოსხივების სიმძლავრე W-ის ტოლია. იპოვეთ ამ ვარსკვლავის ტემპერატურა კელვინის გრადუსებში.

სად არის გასაგები? დიახ, პირობა ამბობს, რა უდრის რა. ადრე ვურჩევდი, რომ ყველა უცნობი დაუყოვნებლივ შეიცვალოს, მაგრამ აქ უმჯობესია გამოვხატოთ უცნობი ძებნილი. ნახეთ რა მარტივია ყველაფერი: არის ფორმულა და მასში იცნობენ და (ეს არის ბერძნული ასო „სიგმა“. ზოგადად ფიზიკოსებს უყვართ ბერძნული ასოები, შეეგუეთ). ტემპერატურა უცნობია. გამოვხატოთ ფორმულის სახით. როგორ გავაკეთოთ ეს, იმედია იცით? მე-9 კლასში GIA-სთვის ასეთი დავალებები ჩვეულებრივ იძლევა:

ახლა რჩება რიცხვების ჩანაცვლება ასოების ნაცვლად მარჯვენა მხარეს და გამარტივება:

აი პასუხი: გრადუსი კელვინი! და რა საშინელი დავალება იყო!

ჩვენ ვაგრძელებთ ფიზიკაში პრობლემების ტანჯვას.

დავალება 4

გასროლილი ბურთის სიმაღლე მიწის ზემოთ იცვლება კანონის მიხედვით, სადაც არის სიმაღლე მეტრებში, არის დრო წამებში, რომელიც გავიდა სროლიდან. რამდენ წამში იქნება ბურთი მინიმუმ სამი მეტრის სიმაღლეზე?

ეს იყო ყველა განტოლება, მაგრამ აქ აუცილებელია იმის დადგენა, თუ რამდენი იყო ბურთი მინიმუმ სამი მეტრის სიმაღლეზე, რაც ნიშნავს სიმაღლეზე. რის გაკეთებას ვაპირებთ? უთანასწორობა, დიახ! ჩვენ გვაქვს ფუნქცია, რომელიც აღწერს როგორ დაფრინავს ბურთი, სად არის ზუსტად იგივე სიმაღლე მეტრებში, სიმაღლე გვჭირდება. ნიშნავს

ახლა კი თქვენ უბრალოდ ამოხსნით უტოლობას, რაც მთავარია, არ დაგავიწყდეთ უტოლობის ნიშნის შეცვლა მეტიდან ან ტოლიდან მცირეზე ან ტოლზე, როცა გაამრავლებთ უტოლობის ორივე ნაწილზე, რათა თავიდან აიცილოთ მინუსი წინ.

აქ არის ფესვები, ჩვენ ვაშენებთ ინტერვალებს უთანასწორობისთვის:

ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალი, სადაც ნიშანი არის მინუს, რადგან უთანასწორობა იქ უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს, ეს არის ორივედან ჩათვლით. ახლა კი ჩავრთავთ ტვინს და კარგად ვფიქრობთ: უთანასწორობისთვის გამოვიყენეთ განტოლება, რომელიც აღწერს ბურთის ფრენას, ის როგორღაც დაფრინავს პარაბოლას გასწვრივ, ე.ი. აფრინდება, აღწევს მწვერვალს და ეცემა, როგორ გავიგოთ რამდენ ხანს იქნება ის მინიმუმ მეტრის სიმაღლეზე? აღმოვაჩინეთ 2 შემობრუნება, ე.ი. მეტრზე მაღლა ასვლის მომენტი და დაცემისას იმავე ნიშნულს რომ აღწევს, ეს ორი წერტილი გამოიხატება ჩვენი სახით დროის სახით, ე.ი. ჩვენ ვიცით ფრენის რომელ წამში შევიდა ის ჩვენთვის საინტერესო ზონაში (მეტრზე მაღლა) და რომელში დატოვა (დაეცა მეტრის ნიშნის ქვემოთ). რამდენი წამი იყო ამ ზონაში? ლოგიკურია ავიღოთ ზონიდან გასვლის დრო და გამოვაკლოთ ამ ზონაში შესვლის დრო. შესაბამისად: - იმდენი იყო მეტრზე მაღლა ზონაში, ეს არის პასუხი.

ძალიან გაგიმართლათ, რომ ამ თემაზე მაგალითების უმეტესობა ფიზიკის პრობლემების კატეგორიიდან შეიძლება აიღოთ, ასე რომ დაიჭირეთ კიდევ ერთი, ეს არის ბოლო, ასე რომ აიძულეთ თავი, ძალიან ცოტა დარჩა!

დავალება 5

გარკვეული მოწყობილობის გამაცხელებელი ელემენტისთვის ექსპერიმენტულად იქნა მიღებული ტემპერატურის დამოკიდებულება სამუშაო დროზე:

სად არის დრო წუთებში. ცნობილია, რომ მოწყობილობის ზემოთ გათბობის ელემენტის ტემპერატურაზე შეიძლება გაუარესდეს, ამიტომ ის უნდა გამორთოთ. იპოვეთ მაქსიმალური დრო მუშაობის დაწყების შემდეგ მოწყობილობის გამორთვისთვის. გამოხატეთ თქვენი პასუხი წუთებში.

ჩვენ ვმოქმედებთ კარგად ჩამოყალიბებული სქემის მიხედვით, ყველაფერი, რაც მოცემულია, ჯერ ვწერთ:

ახლა ჩვენ ვიღებთ ფორმულას და ვატოლებთ მას იმ ტემპერატურულ მნიშვნელობას, რომლითაც მოწყობილობა შეიძლება მაქსიმალურად გაცხელდეს სანამ არ დაიწვება, ანუ:

ახლა ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ასოების ნაცვლად, სადაც ისინი ცნობილია:

როგორც ხედავთ, მოწყობილობის მუშაობის დროს ტემპერატურა აღწერილია კვადრატული განტოლებით, რაც ნიშნავს, რომ იგი ნაწილდება პარაბოლის გასწვრივ, ე.ი. მოწყობილობა თბება გარკვეულ ტემპერატურამდე, შემდეგ კი გაცივდება. ჩვენ მივიღეთ პასუხები და, შესაბამისად, გაცხელების დროს და წუთებში ტემპერატურა კრიტიკულია, მაგრამ წუთებში კი ლიმიტზე მაღალია!

ასე რომ, თქვენ უნდა გამორთოთ მოწყობილობა ერთი წუთის შემდეგ.

მათემატიკური მოდელები. მოკლედ მთავარის შესახებ

ყველაზე ხშირად, მათემატიკური მოდელები გამოიყენება ფიზიკაში: ბოლოს და ბოლოს, თქვენ ალბათ მოგიწევთ ათობით ფიზიკური ფორმულის დამახსოვრება. და ფორმულა არის სიტუაციის მათემატიკური წარმოდგენა.

OGE-სა და ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში არის დავალებები მხოლოდ ამ თემაზე. USE-ში (პროფილში) ეს არის დავალება ნომერი 11 (ყოფილი B12). OGE-ში - დავალება ნომერი 20.

გადაწყვეტის სქემა აშკარაა:

1) პირობის ტექსტიდან აუცილებელია სასარგებლო ინფორმაციის „იზოლირება“ - რას ვწერთ ფიზიკის ამოცანებში სიტყვა „მოცემული“ ქვეშ. ეს სასარგებლო ინფორმაციაა:

• ფორმულა
• ცნობილი ფიზიკური რაოდენობები.

ანუ, ფორმულიდან თითოეულ ასოს უნდა მიენიჭოს გარკვეული რიცხვი.

2) აიღეთ ყველა ცნობილი რაოდენობა და ჩაანაცვლეთ ისინი ფორმულაში. უცნობი მნიშვნელობა რჩება ასოს სახით. ახლა თქვენ უბრალოდ უნდა ამოხსნათ განტოლება (ჩვეულებრივ საკმაოდ მარტივია) და პასუხი მზად არის.

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ დროულად მოაგვარეთ პრობლემები.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 899 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

მათემატიკური მოდელები

მათემატიკური მოდელი - სავარაუდო ოპიგამოყენებით მოდელირების ობიექტის აღწერაschyu მათემატიკური სიმბოლიკა.

მათემატიკური მოდელები მათემატიკასთან ერთად მრავალი საუკუნის წინ გამოჩნდა. მათემატიკური მოდელირების განვითარებას უზარმაზარი სტიმული მისცა კომპიუტერების გამოჩენამ. კომპიუტერების გამოყენებამ შესაძლებელი გახადა მრავალი მათემატიკური მოდელის ანალიზი და პრაქტიკაში დანერგვა, რომლებიც მანამდე არ ექვემდებარებოდნენ ანალიტიკურ კვლევას. კომპიუტერულად განხორციელებული მათემატიკურიცის მოდელიდაურეკა კომპიუტერული მათემატიკური მოდელი, ა კომპიუტერული მოდელის გამოყენებით მიზნობრივი გამოთვლების განხორციელებადაურეკა გამოთვლითი ექსპერიმენტი.

კომპიუტერული მათემატიკური ეტაპებიწაშლანაჩვენებია ფიგურაში. Პირველიეტაპი - მოდელირების მიზნების განსაზღვრა.ეს მიზნები შეიძლება იყოს განსხვავებული:

1. მოდელი საჭიროა იმის გასაგებად, თუ როგორ მუშაობს კონკრეტული ობიექტი, როგორია მისი სტრუქტურა, ძირითადი თვისებები, განვითარებისა და ურთიერთქმედების კანონები.
   გარე სამყაროსთან (გაგება);
2. მოდელი საჭიროა იმისათვის, რომ ვისწავლოთ ობიექტის (ან პროცესის) მართვა და განსაზღვროთ მოცემული მიზნებისა და კრიტერიუმების მართვის საუკეთესო გზები (მენეჯმენტი);
3. მოდელი საჭიროა ობიექტზე განსაზღვრული მეთოდებისა და ზემოქმედების ფორმების განხორციელების პირდაპირი და არაპირდაპირი შედეგების პროგნოზირებისთვის (პროგნოზირება).

ავხსნათ მაგალითებით. მოდით, შესწავლის ობიექტი იყოს სითხის ან აირის ნაკადის ურთიერთქმედება სხეულთან, რომელიც ამ დინების დაბრკოლებას წარმოადგენს. გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ სხეულის მხრიდან ნაკადის წინააღმდეგობის ძალა იზრდება დინების სიჩქარის მატებასთან ერთად, მაგრამ საკმარისად მაღალი სიჩქარით, ეს ძალა მკვეთრად მცირდება, რათა კვლავ გაიზარდოს სიჩქარის შემდგომი მატებასთან ერთად. რამ გამოიწვია წინააღმდეგობის ძალის შემცირება? მათემატიკური მოდელირება საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ მკაფიო პასუხი: წინააღმდეგობის მკვეთრი შემცირების მომენტში, გამარტივებული სხეულის უკან სითხის ან აირის ნაკადში წარმოქმნილი მორევები იწყებენ მისგან დაშორებას და ნაკადს მიჰყავს.

მაგალითი სრულიად განსხვავებული ტერიტორიიდან: მშვიდობიანად თანაარსებობენ ორი სახეობის ინდივიდების სტაბილურ პოპულაციებთან, საერთო კვების ბაზაზე, „მოულოდნელად“ იწყება მათი რიცხვის მკვეთრი ცვლილება. და აქ მათემატიკური მოდელირება საშუალებას იძლევა (გარკვეული ხარისხით) დაადგინოს მიზეზი (ან თუნდაც უარყოს გარკვეული ჰიპოთეზა).

ობიექტის მართვის კონცეფციის შემუშავება მოდელირების კიდევ ერთი შესაძლო მიზანია. თვითმფრინავის ფრენის რომელი რეჟიმი უნდა ავირჩიოთ, რომ ფრენა იყოს უსაფრთხო და ეკონომიკურად ყველაზე მომგებიანი? როგორ დავგეგმოთ ასობით სახის სამუშაო დიდი ობიექტის მშენებლობაზე, რათა ის რაც შეიძლება მალე დასრულდეს? ბევრი ასეთი პრობლემა სისტემატურად ჩნდება ეკონომისტების, დიზაინერებისა და მეცნიერების წინაშე.

დაბოლოს, ობიექტზე გარკვეული ზემოქმედების შედეგების პროგნოზირება შეიძლება იყოს როგორც შედარებით მარტივი საკითხი მარტივ ფიზიკურ სისტემებში, ასევე უკიდურესად რთული - მიზანშეწონილობის ზღვარზე - ბიოლოგიურ, ეკონომიკურ, სოციალურ სისტემებში. თუ შედარებით ადვილია პასუხის გაცემა თხელ ღეროში სითბოს გავრცელების რეჟიმის ცვლილების შესახებ მისი შემადგენელი შენადნობის ცვლილებით, მაშინ შეუდარებლად რთულია აგების ეკოლოგიური და კლიმატური შედეგების მიკვლევა (პროგნოზირება). დიდი ჰიდროელექტროსადგური ან საგადასახადო კანონმდებლობის ცვლილებების სოციალური შედეგები. შესაძლოა, აქაც მათემატიკური მოდელირების მეთოდები მომავალში უფრო მნიშვნელოვან დახმარებას გაუწევს.

მეორე ეტაპი:მოდელის შეყვანისა და გამომავალი პარამეტრების განსაზღვრა; შეყვანის პარამეტრების დაყოფა გამომუშავებაზე მათი ცვლილებების ზემოქმედების მნიშვნელოვნების ხარისხის მიხედვით. ამ პროცესს ჰქვია რანჟირება, ან დაყოფა რანგის მიხედვით (იხ. ქვემოთ). „ფორმალიზამოდელირება და მოდელირება").

მესამე ეტაპი:მათემატიკური მოდელის აგება. ამ ეტაპზე ხდება მოდელის აბსტრაქტული ფორმულირებიდან გადასვლა ფორმულირებაზე, რომელსაც აქვს სპეციფიკური მათემატიკური წარმოდგენა. მათემატიკური მოდელი არის განტოლებები, განტოლებათა სისტემები, უტოლობების სისტემები, დიფერენციალური განტოლებები ან ასეთი განტოლებების სისტემები და ა.შ.

მეოთხე ეტაპი:მათემატიკური მოდელის შესწავლის მეთოდის არჩევა. ყველაზე ხშირად, აქ გამოიყენება რიცხვითი მეთოდები, რომლებიც კარგად ერგება პროგრამირებას. როგორც წესი, რამდენიმე მეთოდი შესაფერისია ერთი და იგივე პრობლემის გადასაჭრელად, რომლებიც განსხვავდება სიზუსტით, სტაბილურობით და ა.შ. მთელი მოდელირების პროცესის წარმატება ხშირად მეთოდის სწორ არჩევანზეა დამოკიდებული.

მეხუთე ეტაპი:ალგორითმის შემუშავება, კომპიუტერული პროგრამის შედგენა და გამართვა არის პროცესი, რომლის ფორმალიზებაც რთულია. პროგრამირების ენებიდან, მათემატიკური მოდელირების ბევრი პროფესიონალი უპირატესობას ანიჭებს FORTRAN-ს: როგორც ტრადიციის, ასევე კომპილატორების შეუდარებელი ეფექტურობის გამო (გამოთვლითი სამუშაოსთვის) და მათემატიკური მეთოდების სტანდარტული პროგრამების უზარმაზარი, ყურადღებით გამართული და ოპტიმიზირებული ბიბლიოთეკების არსებობის გამო. ის. ასევე გამოიყენება ენები, როგორიცაა PASCAL, BASIC, C, რაც დამოკიდებულია დავალების ბუნებაზე და პროგრამისტის მიდრეკილებებზე.

მეექვსე ეტაპი:პროგრამის ტესტირება. პროგრამის მოქმედება შემოწმებულია ტესტის პრობლემაზე ცნობილი პასუხით. ეს მხოლოდ ტესტირების პროცედურის დასაწყისია, რომელიც ძნელია აღწერო ფორმალურად ამომწურავი გზით. როგორც წესი, ტესტირება მთავრდება, როდესაც მომხმარებელი, თავისი პროფესიული მახასიათებლების მიხედვით, პროგრამას სწორად ჩათვლის.

მეშვიდე ეტაპი:ფაქტობრივი გამოთვლითი ექსპერიმენტი, რომლის დროსაც ირკვევა, შეესაბამება თუ არა მოდელი რეალურ ობიექტს (პროცესს). მოდელი საკმარისად ადეკვატურია რეალური პროცესისთვის, თუ კომპიუტერზე მიღებული პროცესის ზოგიერთი მახასიათებელი ემთხვევა ექსპერიმენტულად მიღებულ მახასიათებლებს გარკვეული სიზუსტით. თუ მოდელი არ შეესაბამება რეალურ პროცესს, ვუბრუნდებით ერთ-ერთ წინა ეტაპს.

მათემატიკური მოდელების კლასიფიკაცია

მათემატიკური მოდელების კლასიფიკაცია შეიძლება ეფუძნებოდეს სხვადასხვა პრინციპებს. შესაძლებელია მოდელების კლასიფიკაცია მეცნიერების დარგების მიხედვით (მათემატიკური მოდელები ფიზიკაში, ბიოლოგიაში, სოციოლოგიაში და სხვ.). მისი კლასიფიცირება შესაძლებელია გამოყენებული მათემატიკური აპარატის მიხედვით (მოდელები, რომლებიც ეფუძნება ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებას, ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების, სტოქასტური მეთოდების, დისკრეტული ალგებრული გარდაქმნების და ა.შ.). დაბოლოს, თუ განვიხილავთ სხვადასხვა მეცნიერებებში მოდელირების ზოგად ამოცანებს, მიუხედავად მათემატიკური აპარატისა, ყველაზე ბუნებრივია შემდეგი კლასიფიკაცია:

• აღწერითი (აღწერითი) მოდელები;
• ოპტიმიზაციის მოდელები;
• მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები;
• თამაშის მოდელები.

ავხსნათ ეს მაგალითებით.

აღწერითი (აღწერითი) მოდელები. მაგალითად, მზის სისტემაში შემოჭრილი კომეტის მოძრაობის სიმულაციები კეთდება მისი ფრენის ტრაექტორიის, მანძილის გავლისას დედამიწიდან და ა.შ. ამ შემთხვევაში, მოდელირების მიზნები აღწერითია, რადგან არ არსებობს საშუალება გავლენა მოახდინოს კომეტის მოძრაობაზე, შეცვალოს მასში რაღაც.

ოპტიმიზაციის მოდელებიგამოიყენება იმ პროცესების აღსაწერად, რომლებზეც შეიძლება გავლენა იქონიოს მოცემული მიზნის მისაღწევად. ამ შემთხვევაში, მოდელი მოიცავს ერთ ან მეტ პარამეტრს, რომელზეც შეიძლება გავლენა იქონიოს. მაგალითად, მარცვლეულში თერმული რეჟიმის შეცვლით შეიძლება დასახული იქნას მიზანი, აირჩიოს ასეთი რეჟიმი მარცვლეულის მაქსიმალური შენარჩუნების მისაღწევად, ე.ი. შენახვის პროცესის ოპტიმიზაცია.

მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები. ხშირად საჭიროა პროცესის ოპტიმიზაცია რამდენიმე პარამეტრში ერთდროულად და მიზნები შეიძლება იყოს ძალიან წინააღმდეგობრივი. მაგალითად, სურსათის ფასების და ადამიანის საკვების მოთხოვნილების ცოდნით, აუცილებელია ადამიანთა დიდი ჯგუფებისთვის (ჯარში, ბავშვთა საზაფხულო ბანაკში და ა.შ.) ფიზიოლოგიურად სწორად და, ამავდროულად, რაც შეიძლება იაფად მოაწყოთ კვება. გასაგებია, რომ ეს მიზნები საერთოდ არ ემთხვევა ერთმანეთს; მოდელირებისას გამოყენებული იქნება რამდენიმე კრიტერიუმი, რომელთა შორის ბალანსი უნდა მოიძებნოს.

თამაშის მოდელებიშეიძლება უკავშირდებოდეს არა მხოლოდ კომპიუტერულ თამაშებს, არამედ ძალიან სერიოზულ რამეებს. მაგალითად, ბრძოლის წინ, მოწინააღმდეგე არმიის შესახებ არასრული ინფორმაციის არსებობის შემთხვევაში, მეთაურმა უნდა შეიმუშაოს გეგმა: რა თანმიმდევრობით შეიყვანოს გარკვეული ნაწილები ბრძოლაში და ა.შ., მტრის შესაძლო რეაქციის გათვალისწინებით. არსებობს თანამედროვე მათემატიკის სპეციალური განყოფილება - თამაშების თეორია, რომელიც სწავლობს გადაწყვეტილების მიღების მეთოდებს არასრული ინფორმაციის პირობებში.

კომპიუტერული მეცნიერების სასკოლო კურსზე სტუდენტები იღებენ საწყის იდეას კომპიუტერული მათემატიკური მოდელირების შესახებ, როგორც ძირითადი კურსის ნაწილი. საშუალო სკოლაში მათემატიკური მოდელირება შეიძლება ღრმად იყოს შესწავლილი ზოგადსაგანმანათლებლო კურსში ფიზიკისა და მათემატიკის კლასებისთვის, ასევე სპეციალიზებული არჩევითი კურსის ფარგლებში.

საშუალო სკოლაში კომპიუტერული მათემატიკური მოდელირების სწავლების ძირითადი ფორმებია ლექციები, ლაბორატორიული და საკრედიტო გაკვეთილები. როგორც წესი, ყოველი ახალი მოდელის შექმნასა და შესასწავლად მომზადებაზე მუშაობა 3-4 გაკვეთილს იღებს. მასალის წარდგენისას დგება ამოცანები, რომლებიც მომავალში მოსწავლეებმა დამოუკიდებლად უნდა გადაწყვიტონ, ზოგადად ასახულია მათი გადაჭრის გზები. ჩამოყალიბებულია კითხვები, რომლებზეც პასუხები უნდა მიიღოთ დავალებების შესრულებისას. მითითებულია დამატებითი ლიტერატურა, რომელიც იძლევა დამხმარე ინფორმაციის მოპოვების საშუალებას დავალებების უფრო წარმატებით შესრულებისთვის.

ახალი მასალის შესწავლისას გაკვეთილების ორგანიზების ფორმა ჩვეულებრივ ლექციაა. შემდეგი მოდელის განხილვის დასრულების შემდეგ სტუდენტებიმათ ხელთ აქვთ საჭირო თეორიული ინფორმაცია და დავალებების ნაკრები შემდგომი მუშაობისთვის. ამოცანისთვის მომზადებისას მოსწავლეები ირჩევენ გადაწყვეტის შესაბამის მეთოდს, ზოგიერთი ცნობილი კერძო გადაწყვეტის გამოყენებით, ამოწმებენ შემუშავებულ პროგრამას. დავალებების შესრულებისას საკმაოდ შესაძლო სირთულეების შემთხვევაში, ტარდება კონსულტაცია, შემოთავაზებულია ამ განყოფილებების უფრო დეტალურად შემუშავება ლიტერატურაში.

კომპიუტერული მოდელირების სწავლების პრაქტიკული ნაწილისთვის ყველაზე აქტუალურია პროექტების მეთოდი. ამოცანა მოსწავლისთვის ფორმულირებულია საგანმანათლებლო პროექტის სახით და ტარდება რამდენიმე გაკვეთილზე და ძირითადი ორგანიზაციული ფორმა ამ შემთხვევაში კომპიუტერული ლაბორატორიული სამუშაოა. მოდელირების სწავლა სასწავლო პროექტის მეთოდით შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა დონეზე. პირველი არის პროექტის განხორციელების პროცესის პრობლემური განცხადება, რომელსაც უძღვება მასწავლებელი. მეორე არის პროექტის განხორციელება მოსწავლეების მიერ მასწავლებლის ხელმძღვანელობით. მესამე არის სტუდენტების მიერ სასწავლო კვლევითი პროექტის დამოუკიდებელი განხორციელება.

სამუშაოს შედეგები წარმოდგენილი უნდა იყოს რიცხვითი სახით, გრაფიკების, დიაგრამების სახით. თუ შესაძლებელია, პროცესი წარმოდგენილია კომპიუტერის ეკრანზე დინამიურად. გამოთვლების დასრულების და შედეგების მიღების შემდეგ ხდება მათი ანალიზი, თეორიიდან ცნობილ ფაქტებთან შედარებით, სანდოობა დასტურდება და კეთდება აზრიანი ინტერპრეტაცია, რაც შემდგომში აისახება წერილობით ანგარიშში.

თუ შედეგი აკმაყოფილებს მოსწავლეს და მასწავლებელს, მაშინ მუშაობა ითვლისდასრულდა და მისი დასკვნითი ეტაპია ანგარიშის მომზადება. მოხსენებაში მოცემულია მოკლე თეორიული ინფორმაცია შესასწავლ თემაზე, პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება, ამოხსნის ალგორითმი და მისი დასაბუთება, კომპიუტერული პროგრამა, პროგრამის შედეგები, შედეგების ანალიზი და დასკვნები, ცნობარების სია.

როდესაც ყველა ანგარიში შედგენილია, ტესტის სესიაზე მოსწავლეები აკეთებენ მოკლე მოხსენებებს შესრულებული სამუშაოს შესახებ, იცავენ თავიანთ პროექტს. ეს არის პროექტის გუნდის კლასში მოხსენების ეფექტური ფორმა, მათ შორის პრობლემის დაყენება, ფორმალური მოდელის აგება, მოდელთან მუშაობის მეთოდების არჩევა, მოდელის კომპიუტერზე დანერგვა, მზა მოდელთან მუშაობა, შედეგების ინტერპრეტაცია. პროგნოზირება. შედეგად, მოსწავლეებს შეუძლიათ მიიღონ ორი შეფასება: პირველი არის პროექტის შემუშავებისა და მისი დაცვის წარმატებისთვის, მეორე - პროგრამისთვის, მისი ალგორითმის ოპტიმალური, ინტერფეისისთვის და ა.შ. სტუდენტები ასევე იღებენ შეფასებებს თეორიის გამოკითხვის კურსში.

არსებითი კითხვაა, რა სახის ინსტრუმენტები გამოვიყენოთ სკოლის ინფორმატიკის კურსში მათემატიკური მოდელირებისთვის? მოდელების კომპიუტერული დანერგვა შეიძლება განხორციელდეს:

• ცხრილების გამოყენებით (ჩვეულებრივ MS Excel);
• პროგრამების შექმნით ტრადიციულ პროგრამირების ენებზე (Pascal, BASIC და ა.შ.), ასევე მათ თანამედროვე ვერსიებში (Delphi, Visual).
  ძირითადი განაცხადისთვის და ა.შ.);
• მათემატიკური ამოცანების გადასაჭრელად სპეციალური პროგრამული პაკეტების გამოყენებით (MathCAD და სხვ.).

დაწყებითი სკოლის საფეხურზე პირველი წამალი, როგორც ჩანს, სასურველია. თუმცა, საშუალო სკოლაში, როცა პროგრამირება მოდელირებასთან ერთად კომპიუტერული მეცნიერების საკვანძო თემაა, სასურველია მისი ჩართვა სამოდელო ინსტრუმენტად. პროგრამირების პროცესში სტუდენტებისთვის ხელმისაწვდომი ხდება მათემატიკური პროცედურების დეტალები; უფრო მეტიც, ისინი უბრალოდ იძულებულნი არიან დაეუფლონ მათ და ეს ასევე ხელს უწყობს მათემატიკურ განათლებას. რაც შეეხება სპეციალური პროგრამული პაკეტების გამოყენებას, ეს მიზანშეწონილია პროფილური კომპიუტერული მეცნიერების კურსში, როგორც სხვა ინსტრუმენტების დამატება.

ვარჯიში :

• გამოიკვეთეთ ძირითადი ცნებები.

თქვენს ყურადღების ცენტრში მოყვანილ სტატიაში გთავაზობთ მათემატიკური მოდელების მაგალითებს. გარდა ამისა, ყურადღებას გავამახვილებთ მოდელების შექმნის ეტაპებზე და გავაანალიზებთ მათემატიკური მოდელირებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ პრობლემას.

ჩვენი კიდევ ერთი საკითხია მათემატიკური მოდელები ეკონომიკაში, რომელთა მაგალითებს განმარტებას ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ. ჩვენ ვთავაზობთ ჩვენი საუბრის დაწყებას „მოდელის“ კონცეფციით, მოკლედ განვიხილოთ მათი კლასიფიკაცია და გადავიდეთ ჩვენს მთავარ კითხვებზე.

"მოდელის" კონცეფცია

ხშირად გვესმის სიტყვა „მოდელი“. Რა არის ეს? ამ ტერმინს აქვს მრავალი განმარტება, აქ არის მხოლოდ სამი მათგანი:

• კონკრეტული ობიექტი, რომელიც შექმნილია ინფორმაციის მისაღებად და შესანახად, რომელიც ასახავს ამ ობიექტის ორიგინალის ზოგიერთ თვისებას ან მახასიათებელს და ა.შ.
• მოდელი ასევე ნიშნავს რაიმე კონკრეტული სიტუაციის, ცხოვრების ან მენეჯმენტის ჩვენებას;
• მოდელი შეიძლება იყოს ობიექტის შემცირებული ასლი (ისინი იქმნება უფრო დეტალური შესწავლისა და ანალიზისთვის, რადგან მოდელი ასახავს სტრუქტურას და ურთიერთობებს).

ყველაფერზე დაყრდნობით, რაც ადრე ითქვა, შეგვიძლია გამოვიტანოთ მცირე დასკვნა: მოდელი საშუალებას გაძლევთ დეტალურად შეისწავლოთ რთული სისტემა ან ობიექტი.

ყველა მოდელი შეიძლება დაიყოს რამდენიმე მახასიათებლის მიხედვით:

• გამოყენების სფეროს მიხედვით (საგანმანათლებლო, ექსპერიმენტული, სამეცნიერო და ტექნიკური, სათამაშო, სიმულაცია);
• დინამიკის მიხედვით (სტატიკური და დინამიკური);
• ცოდნის დარგის მიხედვით (ფიზიკური, ქიმიური, გეოგრაფიული, ისტორიული, სოციოლოგიური, ეკონომიკური, მათემატიკური);
• წარმოდგენის მეთოდის მიხედვით (მატერიალური და საინფორმაციო).

საინფორმაციო მოდელები, თავის მხრივ, იყოფა ნიშნად და სიტყვიერად. და iconic - კომპიუტერზე და არაკომპიუტერზე. ახლა მოდით გადავიდეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითების დეტალურ განხილვაზე.

მათემატიკური მოდელი

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, მათემატიკური მოდელი ასახავს ობიექტის ან ფენომენის ზოგიერთ მახასიათებელს სპეციალური მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენებით. მათემატიკა საჭიროა იმისთვის, რომ სამყაროს კანონები მის კონკრეტულ ენაზე მოდელირდეს.

მათემატიკური მოდელირების მეთოდი წარმოიშვა საკმაოდ დიდი ხნის წინ, ათასობით წლის წინ, ამ მეცნიერების გამოჩენასთან ერთად. თუმცა ამ მოდელირების მეთოდის შემუშავებას ბიძგი მისცა კომპიუტერების (ელექტრონული კომპიუტერების) გამოჩენამ.

ახლა გადავიდეთ კლასიფიკაციაზე. ის ასევე შეიძლება განხორციელდეს გარკვეული ნიშნების მიხედვით. ისინი წარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

ჩვენ ვთავაზობთ ბოლო კლასიფიკაციის შეჩერებას და უფრო დეტალურად განხილვას, რადგან ის ასახავს მოდელირების ზოგად შაბლონებს და შექმნილი მოდელების მიზნებს.

აღწერითი მოდელები

ამ თავში ჩვენ ვთავაზობთ უფრო დეტალურად ვისაუბროთ აღწერილობით მათემატიკურ მოდელებზე. იმისათვის, რომ ყველაფერი ძალიან ნათლად იყოს მოყვანილი, მაგალითი იქნება.

დასაწყისისთვის, ამ შეხედულებას შეიძლება ეწოდოს აღწერილობა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ჩვენ უბრალოდ ვაკეთებთ გათვლებს და პროგნოზებს, მაგრამ მოვლენის შედეგზე ვერანაირად ვერ ვიმოქმედებთ.

აღწერილობითი მათემატიკური მოდელის თვალსაჩინო მაგალითია ფრენის ბილიკის, სიჩქარის, დედამიწიდან დაშორებული კომეტის გაანგარიშება, რომელიც შემოიჭრა ჩვენი მზის სისტემის სივრცეებში. ეს მოდელი აღწერითი ხასიათისაა, ვინაიდან მიღებულ ყველა შედეგს მხოლოდ რაიმე სახის საფრთხის შესახებ გვაფრთხილებს. სამწუხაროდ, ღონისძიების შედეგზე გავლენას ვერ მოვახდენთ. თუმცა, მიღებული გამოთვლებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ნებისმიერი ზომის მიღება დედამიწაზე სიცოცხლის შესანარჩუნებლად.

ოპტიმიზაციის მოდელები

ახლა ცოტათი ვისაუბრებთ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელებზე, რომელთა მაგალითები შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიტუაციები. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ მოდელებზე, რომლებიც გარკვეულ პირობებში დაგეხმარებათ სწორი პასუხის პოვნაში. მათ უნდა ჰქონდეთ გარკვეული პარამეტრები. ამის გასაგებად, განვიხილოთ მაგალითი აგრარული ნაწილიდან.

ჩვენ გვაქვს მარცვალი, მაგრამ მარცვალი ძალიან სწრაფად ფუჭდება. ამ შემთხვევაში ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სწორი ტემპერატურული რეჟიმი და მოვახდინოთ შენახვის პროცესის ოპტიმიზაცია.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ „ოპტიმიზაციის მოდელის“ კონცეფცია. მათემატიკური გაგებით, ეს არის განტოლებათა სისტემა (როგორც წრფივი, ასევე არა), რომლის ამოხსნა გვეხმარება კონკრეტულ ეკონომიკურ სიტუაციაში ოპტიმალური ამოხსნის პოვნაში. ჩვენ განვიხილეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითი (ოპტიმიზაცია), მაგრამ კიდევ ერთი რამ მინდა დავამატო: ეს ტიპი მიეკუთვნება ექსტრემალური ამოცანების კლასს, ისინი ხელს უწყობენ ეკონომიკური სისტემის ფუნქციონირების აღწერას.

ჩვენ აღვნიშნავთ კიდევ ერთ ნიუანსს: მოდელები შეიძლება იყოს განსხვავებული ხასიათის (იხ. ცხრილი ქვემოთ).

მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები

ახლა გეპატიჟებით ცოტათი ვისაუბროთ მრავალობიექტური ოპტიმიზაციის მათემატიკურ მოდელზე. მანამდე ჩვენ მივეცით მათემატიკური მოდელის მაგალითი რომელიმე ერთი კრიტერიუმის მიხედვით პროცესის ოპტიმიზაციისთვის, მაგრამ რა მოხდება, თუ ისინი ბევრია?

მრავალკრიტერიუმიანი ამოცანის თვალსაჩინო მაგალითია ადამიანთა დიდი ჯგუფების სათანადო, ჯანსაღი და ამავე დროს ეკონომიური კვების ორგანიზება. ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება ჯარში, სკოლის სასადილოებში, საზაფხულო ბანაკებში, საავადმყოფოებში და ა.შ.

რა კრიტერიუმები გვაძლევს ამ ამოცანას?

1. საკვები უნდა იყოს ჯანსაღი.
2. საკვების ხარჯები უნდა იყოს მინიმუმამდე დაყვანილი.

როგორც ხედავთ, ეს მიზნები საერთოდ არ ემთხვევა ერთმანეთს. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის გადაჭრისას საჭიროა მოძებნოთ ოპტიმალური გადაწყვეტა, ბალანსი ორ კრიტერიუმს შორის.

თამაშის მოდელები

თამაშის მოდელებზე საუბრისას აუცილებელია „თამაშის თეორიის“ კონცეფციის გაგება. მარტივად რომ ვთქვათ, ეს მოდელები ასახავს რეალური კონფლიქტების მათემატიკურ მოდელებს. მხოლოდ იმის გაგება ღირს, რომ რეალური კონფლიქტისგან განსხვავებით, თამაშის მათემატიკურ მოდელს აქვს საკუთარი სპეციფიკური წესები.

ახლა მე მოგცემთ მინიმალურ ინფორმაციას თამაშის თეორიიდან, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ რა არის თამაშის მოდელი. ასე რომ, მოდელში აუცილებლად არის წვეულებები (ორი ან მეტი), რომლებსაც ჩვეულებრივ მოთამაშეებს უწოდებენ.

ყველა მოდელს აქვს გარკვეული მახასიათებლები.

თამაშის მოდელი შეიძლება იყოს დაწყვილებული ან მრავალჯერადი. თუ გვაქვს ორი საგანი, მაშინ კონფლიქტი დაწყვილებულია, თუ მეტი - მრავალჯერადი. ასევე შეიძლება გამოიყოს ანტაგონისტური თამაში, მას ასევე უწოდებენ ნულოვანი ჯამის თამაშს. ეს არის მოდელი, რომელშიც ერთ-ერთი მონაწილის მოგება უდრის მეორის დანაკარგს.

სიმულაციური მოდელები

ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სიმულაციური მათემატიკურ მოდელებზე. დავალებების მაგალითებია:

• მიკროორგანიზმების რაოდენობის დინამიკის მოდელი;
• მოლეკულური მოძრაობის მოდელი და ა.შ.

ამ შემთხვევაში საუბარია რეალურ პროცესებთან მაქსიმალურად მიახლოებულ მოდელებზე. ზოგადად, ისინი ბაძავენ ბუნებაში ნებისმიერ გამოვლინებას. პირველ შემთხვევაში, მაგალითად, შეგვიძლია ერთ კოლონიაში ჭიანჭველების რაოდენობის დინამიკის მოდელირება. ამ შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ დააკვირდეთ თითოეული ინდივიდის ბედს. ამ შემთხვევაში, მათემატიკური აღწერა იშვიათად გამოიყენება, უფრო ხშირად არის წერილობითი პირობები:

• ხუთი დღის შემდეგ მდედრი დებს კვერცხებს;
• ოცი დღის შემდეგ ჭიანჭველა კვდება და ა.შ.

ამრიგად, გამოიყენება დიდი სისტემის აღსაწერად. მათემატიკური დასკვნა არის მიღებული სტატისტიკური მონაცემების დამუშავება.

მოთხოვნები

ძალიან მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ არსებობს გარკვეული მოთხოვნები ამ ტიპის მოდელისთვის, რომელთა შორისაა ქვემოთ მოცემული ცხრილში.

მრავალმხრივობა	ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ერთი და იგივე მოდელი იმავე ტიპის ობიექტების ჯგუფების აღწერისას. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ უნივერსალური მათემატიკური მოდელები სრულიად დამოუკიდებელია შესასწავლი ობიექტის ფიზიკური ბუნებისაგან.
ადეკვატურობა	აქ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ეს თვისება იძლევა რეალური პროცესების ყველაზე სწორ რეპროდუქციას. საოპერაციო ამოცანებში მათემატიკური მოდელირების ეს თვისება ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდელის მაგალითია გაზის სისტემის გამოყენების ოპტიმიზაციის პროცესი. ამ შემთხვევაში ხდება გამოთვლილი და ფაქტობრივი მაჩვენებლების შედარება, რის შედეგადაც მოწმდება შედგენილი მოდელის სისწორე.
სიზუსტე	ეს მოთხოვნა გულისხმობს მნიშვნელობების დამთხვევას, რომელსაც ვიღებთ მათემატიკური მოდელისა და ჩვენი რეალური ობიექტის შეყვანის პარამეტრების გაანგარიშებისას.
Ეკონომია	ეკონომიურობის მოთხოვნა ნებისმიერი მათემატიკური მოდელისთვის ხასიათდება განხორციელების ხარჯებით. თუ მოდელთან მუშაობა ხორციელდება ხელით, მაშინ აუცილებელია გამოვთვალოთ რამდენი დრო დასჭირდება ერთი პრობლემის გადაჭრას ამ მათემატიკური მოდელის გამოყენებით. თუ ვსაუბრობთ კომპიუტერის დამხმარე დიზაინზე, მაშინ გამოითვლება დროისა და კომპიუტერის მეხსიერების მაჩვენებლები

მოდელირების ნაბიჯები

საერთო ჯამში, მათემატიკური მოდელირების ოთხი ეტაპის გამოყოფა ჩვეულებრივ ხდება.

1. მოდელის ნაწილების დამაკავშირებელი კანონების ფორმულირება.
2. მათემატიკური ამოცანების შესწავლა.
3. პრაქტიკული და თეორიული შედეგების დამთხვევის გარკვევა.
4. მოდელის ანალიზი და მოდერნიზაცია.

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი

ამ განყოფილებაში ჩვენ მოკლედ გამოვყოფთ საკითხს. დავალებების მაგალითები შეიძლება იყოს:

• ხორცპროდუქტების წარმოების საწარმოო პროგრამის ფორმირება, წარმოების მაქსიმალური მოგების უზრუნველყოფა;
• ორგანიზაციის მოგების მაქსიმიზაცია ავეჯის ქარხანაში დასამზადებელი მაგიდების და სკამების ოპტიმალური რაოდენობის გაანგარიშებით და ა.შ.

ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი აჩვენებს ეკონომიკურ აბსტრაქციას, რომელიც გამოიხატება მათემატიკური ტერმინებისა და ნიშნების გამოყენებით.

კომპიუტერული მათემატიკური მოდელი

კომპიუტერული მათემატიკური მოდელის მაგალითებია:

• ჰიდრავლიკის ამოცანები სქემების, დიაგრამების, ცხრილების და ა.შ.
• პრობლემები მყარი მექანიკის შესახებ და ა.შ.

კომპიუტერული მოდელი არის ობიექტის ან სისტემის გამოსახულება, წარმოდგენილი როგორც:

• მაგიდები;
• ბლოკ-სქემები;
• დიაგრამები;
• გრაფიკა და ა.შ.

ამავდროულად, ეს მოდელი ასახავს სისტემის სტრუქტურას და ურთიერთკავშირებს.

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელის აგება

რა არის ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი, უკვე ვისაუბრეთ. პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ახლავე განიხილება. ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ საწარმოო პროგრამა, რათა დავადგინოთ რეზერვი მოგების გაზრდისთვის ასორტიმენტის ცვლასთან ერთად.

ჩვენ სრულად არ განვიხილავთ პრობლემას, მაგრამ მხოლოდ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელს ავაშენებთ. ჩვენი ამოცანის კრიტერიუმია მოგების მაქსიმიზაცია. მაშინ ფუნქციას აქვს ფორმა: Л=р1*х1+р2*х2… მიდრეკილია მაქსიმუმამდე. ამ მოდელში p არის მოგება ერთეულზე, x არის წარმოებული ერთეულების რაოდენობა. გარდა ამისა, აგებული მოდელის საფუძველზე, აუცილებელია გამოთვლების გაკეთება და შეჯამება.

მარტივი მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი

დავალება.მეთევზე დაბრუნდა შემდეგი დაჭერით:

• 8 თევზი - ჩრდილოეთის ზღვების მკვიდრნი;
• დაჭერის 20% - სამხრეთის ზღვების მკვიდრნი;
• ადგილობრივი მდინარიდან არც ერთი თევზი არ აღმოჩნდა.

რამდენი თევზი იყიდა მან მაღაზიაში?

ასე რომ, ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი შემდეგია. თევზის საერთო რაოდენობას აღვნიშნავთ x-ით. ამ მდგომარეობის მიხედვით, 0.2x არის სამხრეთ განედებში მცხოვრები თევზის რაოდენობა. ახლა ვაერთებთ ყველა არსებულ ინფორმაციას და ვიღებთ ამოცანის მათემატიკურ მოდელს: x=0.2x+8. ვხსნით განტოლებას და ვიღებთ პასუხს მთავარ კითხვაზე: მან მაღაზიაში იყიდა 10 თევზი.

ეკონომიკური პრობლემების გადაჭრის საფუძველია მათემატიკური მოდელები.

მათემატიკური მოდელიპრობლემა არის მათემატიკური ურთიერთობების ერთობლიობა, რომელიც აღწერს პრობლემის არსს.

მათემატიკური მოდელის შედგენა მოიცავს:

• დავალების ცვლადის შერჩევა
• შეზღუდვების სისტემის შედგენა
• ობიექტური ფუნქციის არჩევანი

დავალების ცვლადებიეწოდება X1, X2, Xn სიდიდეებს, რომლებიც სრულად ახასიათებს ეკონომიკურ პროცესს. ჩვეულებრივ ისინი იწერება ვექტორად: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

შეზღუდვების სისტემაამოცანები არის განტოლებებისა და უტოლობების ერთობლიობა, რომელიც აღწერს განსახილველ პრობლემაში შეზღუდულ რესურსებს.

სამიზნე ფუნქციაამოცანა ეწოდება ამოცანის ცვლადების ფუნქციას, რომელიც ახასიათებს ამოცანის ხარისხს და რომლის ექსტრემის პოვნაა საჭირო.

ზოგადად, ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ეს ჩანაწერი ნიშნავს შემდეგს: იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი (1) და შესაბამისი ცვლადები X=(X 1 , X 2 ,...,X n) იმ პირობით, რომ ეს ცვლადები აკმაყოფილებენ შეზღუდვების სისტემას (2) და არა. -უარყოფითი პირობები (3) .

მისაღები გამოსავალიწრფივი პროგრამირების ამოცანის (გეგმა) არის ნებისმიერი n-განზომილებიანი ვექტორი X=(X 1 , X 2 ,...,X n), რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვებისა და არაუარყოფითი პირობების სისტემას.

პრობლემის ფორმების განხორციელებადი გადაწყვეტილებების (გეგმების) ნაკრები შესაძლო გადაწყვეტილებების სპექტრი(ODR).

ოპტიმალური გადაწყვეტაწრფივი პროგრამირების ამოცანის (გეგმა) არის პრობლემის ისეთი განხორციელებადი გადაწყვეტა (გეგმა), რომელშიც ობიექტური ფუნქცია აღწევს უკიდურესობას.

მათემატიკური მოდელის შედგენის მაგალითი

რესურსების (ნედლეულის) გამოყენების ამოცანა

მდგომარეობა: n ტიპის პროდუქტის წარმოებისთვის გამოიყენება m ტიპის რესურსები. გააკეთეთ მათემატიკური მოდელი.

ცნობილი:

• b i (i = 1,2,3,...,m) არის ყოველი i-ე ტიპის რესურსის რეზერვები;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) არის თითოეული i-ე ტიპის რესურსის ხარჯები მოცულობის ერთეულის წარმოებისთვის. j-ე ტიპის პროდუქტი;
• c j (j = 1,2,3,...,n) არის j-ე ტიპის პროდუქტის ერთეული მოცულობის გაყიდვიდან მიღებული მოგება.

საჭიროა პროდუქციის წარმოების გეგმის შედგენა, რომელიც უზრუნველყოფს მაქსიმალურ მოგებას რესურსებზე (ნედლეულზე) მოცემული შეზღუდვით.

გადაწყვეტილება:

წარმოგიდგენთ ცვლადების ვექტორს X=(X 1 , X 2 ,...,X n), სადაც x j (j = 1,2,...,n) არის j-ე ტიპის წარმოების მოცულობა. პროდუქტი.

i--ე ტიპის რესურსის ხარჯები მოცემული მოცულობის x j პროდუქციის წარმოებისთვის უდრის ij x j-ს, ​​შესაბამისად, რესურსების გამოყენების შეზღუდვას ყველა სახის პროდუქტის წარმოებისთვის აქვს ფორმა:
J-ე ტიპის პროდუქტის გაყიდვიდან მიღებული მოგება უდრის c j x j , ამიტომ ობიექტური ფუნქცია უდრის:

უპასუხე- მათემატიკური მოდელი ასე გამოიყურება:

წრფივი პროგრამირების პრობლემის კანონიკური ფორმა

ზოგად შემთხვევაში, წრფივი პროგრამირების პრობლემა იწერება ისე, რომ განტოლებებიც და უტოლობაც შეზღუდვებია და ცვლადები შეიძლება იყოს არაუარყოფითი ან თვითნებურად ცვალებადი.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა შეზღუდვა არის განტოლება და ყველა ცვლადი აკმაყოფილებს არაუარყოფითობის პირობას, წრფივი პროგრამირების პრობლემა ე.წ. კანონიკური.

ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კოორდინატებით, ვექტორებით და მატრიცებით.

კანონიკური წრფივი პროგრამირების პრობლემა კოორდინატულ ნოტაციაში აქვს ფორმა:

კანონიკური წრფივი პროგრამირების ამოცანა მატრიცის აღნიშვნით აქვს ფორმა:

• A არის განტოლებათა სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა
• X არის დავალების ცვლადების სვეტის მატრიცა
• Ao არის შეზღუდვის სისტემის მარჯვენა ნაწილების მატრიცა-სვეტი

ხშირად გამოიყენება წრფივი პროგრამირების ამოცანები, რომლებსაც სიმეტრიულს უწოდებენ, რომლებსაც მატრიცის აღნიშვნით აქვთ ფორმა:

ზოგადი წრფივი პროგრამირების ამოცანის კანონიკურ ფორმამდე შემცირება

ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის მეთოდების უმეტესობაში ვარაუდობენ, რომ შეზღუდვების სისტემა შედგება განტოლებისგან და ცვლადების არაუარყოფითობის ბუნებრივი პირობებისგან. თუმცა ეკონომიკური პრობლემების მოდელების შედგენისას შეზღუდვები ძირითადად ყალიბდება უტოლობათა სისტემის სახით, ამიტომ აუცილებელია უტოლობათა სისტემიდან განტოლებათა სისტემაზე გადასვლა.

ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:

აიღეთ წრფივი უტოლობა a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b და დაამატეთ გარკვეული მნიშვნელობა x n+1 მის მარცხენა მხარეს, ისე რომ უტოლობა გახდეს ტოლობა a 1 x 1 +a 2 x 2. + ...+a n x n +x n+1 =b. უფრო მეტიც, ეს მნიშვნელობა x n+1 არის არაუარყოფითი.

განვიხილოთ ყველაფერი მაგალითით.

მაგალითი 26.1

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის კანონიკურ ფორმამდე შემცირება:

გადაწყვეტილება:
გადავიდეთ ობიექტური ფუნქციის მაქსიმუმის პოვნის პრობლემაზე.
ამისათვის ჩვენ ვცვლით ობიექტური ფუნქციის კოეფიციენტების ნიშნებს.
შეზღუდვის სისტემის მეორე და მესამე უტოლობა განტოლებად გადასაყვანად შემოგვაქვს არაუარყოფითი დამატებითი ცვლადები x 4 x 5 (ეს ოპერაცია მათემატიკურ მოდელზე აღინიშნება ასო D-ით).
ცვლადი x 4 შეყვანილია მეორე უტოლობის მარცხენა მხარეს "+" ნიშნით, ვინაიდან უტოლობას აქვს "≤" ფორმა.
ცვლადი x 5 შეყვანილია მესამე უტოლობის მარცხენა მხარეს "-" ნიშნით, ვინაიდან უტოლობას აქვს "≥" ფორმა.
ცვლადები x 4 x 5 ობიექტურ ფუნქციაში შედის კოეფიციენტით. ნულის ტოლი.
პრობლემას ვწერთ კანონიკური ფორმით.

მაგალითი 1.5.1.

დაე, ზოგიერთმა ეკონომიკურმა რეგიონმა აწარმოოს რამდენიმე (n) ტიპის პროდუქტი ექსკლუზიურად დამოუკიდებლად და მხოლოდ ამ რეგიონის მოსახლეობისთვის. ვარაუდობენ, რომ დამუშავებულია ტექნოლოგიური პროცესი და შესწავლილია მოსახლეობის მოთხოვნა ამ საქონელზე. აუცილებელია პროდუქციის გამოშვების წლიური მოცულობის განსაზღვრა, იმის გათვალისწინებით, რომ ეს მოცულობა უნდა უზრუნველყოფდეს როგორც საბოლოო, ასევე სამრეწველო მოხმარებას.

მოდით გავაკეთოთ ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელი. მისი მდგომარეობის მიხედვით მოცემულია: პროდუქციის სახეები, მათზე მოთხოვნა და ტექნოლოგიური პროცესი; იპოვნეთ გამომუშავების მოცულობა თითოეული ტიპის პროდუქტისთვის.

მოდით აღვნიშნოთ ცნობილი რაოდენობები:

გ მე- საზოგადოების მოთხოვნა მე-ე პროდუქტი ( მე=1,...,ნ); ა იჯ- თანხა მე-ე პროდუქტი, რომელიც საჭიროა j-ე პროდუქტის ერთეულის წარმოებისთვის ამ ტექნოლოგიის გამოყენებით ( მე=1,...,ნ ; ჯ=1,...,ნ);

X მე - გამომავალი მოცულობა მე-ე პროდუქტი ( მე=1,...,ნ); მთლიანობა თან =(გ 1 ,..., გ ნ ) ეწოდება მოთხოვნის ვექტორი, რიცხვები ა იჯ– ტექნოლოგიური კოეფიციენტები და კომპლექტი X =(X 1 ,..., X ნ ) არის გათავისუფლების ვექტორი.

პრობლემის პირობით ვექტორი X იყოფა ორ ნაწილად: საბოლოო მოხმარებისთვის (ვექტორ თან ) და რეპროდუქცია (ვექტორ x-s ). გამოთვალეთ ვექტორის ეს ნაწილი X რომელიც გამრავლებამდე მიდის. წარმოებისთვის ჩვენი აღნიშვნების მიხედვით X ჯმიდის j-ე პროდუქტის რაოდენობა ა იჯ · X ჯრაოდენობა მე-ე პროდუქტი.

მერე ჯამი ა i1 · X 1 +...+ ა in · X ნგვიჩვენებს მნიშვნელობას მე-ე პროდუქტი, რომელიც საჭიროა მთელი გამომუშავებისთვის X =(X 1 ,..., X ნ ).

ამიტომ, თანასწორობა უნდა იყოს:

ამ მსჯელობის გაფართოებით ყველა სახის პროდუქტზე, მივდივართ სასურველ მოდელამდე:

n წრფივი განტოლების ამ სისტემის ამოხსნას მიმართ X 1 ,...,X ნდა იპოვნეთ საჭირო გამომავალი ვექტორი.

იმისათვის, რომ ეს მოდელი უფრო კომპაქტური (ვექტორული) სახით დავწეროთ, შემოგვაქვს აღნიშვნა:

მოედანი (
) -მატრიცა მაგრამტექნოლოგიის მატრიცას უწოდებენ. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ჩვენი მოდელი ახლა ასე დაიწერება: x-s=აჰან

(1.6)

ჩვენ მივიღეთ კლასიკური მოდელი" შეყვანა - გამომავალი “, რომლის ავტორია ცნობილი ამერიკელი ეკონომისტი ვ.ლეონტიევი.

მაგალითი 1.5.2.

ნავთობგადამამუშავებელ ქარხანას აქვს ორი კლასის ზეთი: კლასის მაგრამ 10 ერთეულის ოდენობით, კლასი AT- 15 ერთეული. ზეთის დამუშავებისას მიიღება ორი მასალა: ბენზინი (აღვნიშნავთ ბ) და მაზუთი ( მ). დამუშავების ტექნოლოგიის სამი ვარიანტი არსებობს:

მე: 1 ერთეული მაგრამ+ 2 ერთეული ATიძლევა 3 ერთეულს. ბ+ 2 ერთეული მ

II: 2 ერთეული მაგრამ+ 1 ერთეული ATიძლევა 1 ერთეულს. ბ+ 5 ერთეული მ

III: 2 ერთეული მაგრამ+ 2 ერთეული ATიძლევა 1 ერთეულს. ბ+ 2 ერთეული მ

ბენზინის ფასი ერთეულზე 10 დოლარია, მაზუთი 1 დოლარი.

საჭიროა განისაზღვროს ტექნოლოგიური პროცესების ყველაზე ხელსაყრელი კომბინაცია ნავთობის არსებული რაოდენობის დასამუშავებლად.

მოდელირებამდე ჩვენ განვმარტავთ შემდეგ პუნქტებს. პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ქარხნისთვის ტექნოლოგიური პროცესის „მომგებიანობა“ უნდა გავიგოთ მისი მზა პროდუქციის (ბენზინი და მაზუთი) რეალიზაციიდან მაქსიმალური შემოსავლის მიღების გაგებით. ამასთან დაკავშირებით, ცხადია, რომ ქარხნის „არჩევითი (მიღებული) გადაწყვეტილებაა იმის დადგენა, თუ რომელი ტექნოლოგია და რამდენჯერ გამოიყენოს. ცხადია, ასეთი შესაძლებლობები ბევრია.

მოდით აღვნიშნოთ უცნობი სიდიდეები:

X მე- გამოყენების რაოდენობა მე- ტექნოლოგიური პროცესი (i=1,2,3). მოდელის სხვა პარამეტრები (ნავთობის კლასის რეზერვები, ბენზინისა და საწვავის ფასები) ცნობილია.

ახლა მცენარის ერთი კონკრეტული გადაწყვეტილება მცირდება ერთი ვექტორის არჩევაზე X =(x 1 , X 2 , X 3 ) , რისთვისაც ქარხნის შემოსავალი უდრის (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) დოლარი აქ 32 დოლარი არის პირველი ტექნოლოგიური პროცესის ერთი განაცხადიდან მიღებული შემოსავალი (10 დოლარი 3 ერთეული. ბ+ $1 2 ერთეული მ= $32). კოეფიციენტებს 15 და 12 აქვთ მსგავსი მნიშვნელობა მეორე და მესამე ტექნოლოგიური პროცესებისთვის, შესაბამისად. ნავთობის რეზერვის აღრიცხვა იწვევს შემდეგ პირობებს:

მრავალფეროვნებისთვის მაგრამ:

მრავალფეროვნებისთვის AT:,

სადაც პირველ უტოლობაში კოეფიციენტები 1, 2, 2 არის A ხარისხის ზეთის მოხმარების მაჩვენებლები ტექნოლოგიური პროცესების ერთჯერადი გამოყენებისთვის. მე,II,IIIშესაბამისად. მეორე უტოლობის კოეფიციენტებს მსგავსი მნიშვნელობა აქვს B ხარისხის ზეთისთვის.

მათემატიკურ მოდელს მთლიანობაში აქვს ფორმა:

იპოვნეთ ასეთი ვექტორი x = (x 1 , X 2 , X 3 ) მაქსიმალურად გაზარდოს

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

როდესაც პირობები დაკმაყოფილებულია:

ამ ჩანაწერის შემოკლებული ფორმა ასეთია:

შეზღუდვების ქვეშ

(1.7)

მივიღეთ ე.წ წრფივი პროგრამირების პრობლემა.

მოდელი (1.7.) არის დეტერმინისტული ტიპის ოპტიმიზაციის მოდელის მაგალითი (კარგად განსაზღვრული ელემენტებით).

მაგალითი 1.5.3.

ინვესტორმა უნდა განსაზღვროს აქციების, ობლიგაციებისა და სხვა ფასიანი ქაღალდების საუკეთესო ნაკრები, რომ შეიძინოს ისინი გარკვეულ თანხაზე, რათა მიიღოს გარკვეული მოგება მინიმალური რისკით საკუთარი თავისთვის. ფასიანი ქაღალდში ჩადებული ყოველი დოლარის დაბრუნება ჯ-ე ტიპი, ხასიათდება ორი ინდიკატორით: მოსალოდნელი მოგება და ფაქტობრივი მოგება. ინვესტორისთვის სასურველია, რომ ფასიანი ქაღალდების მთელი ნაკრებისთვის ინვესტიციების თითო დოლარზე მოსალოდნელი მოგება არ იყოს მოცემულ ღირებულებაზე დაბალი. ბ.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემის სწორი მოდელირებისთვის მათემატიკოსს სჭირდება გარკვეული საბაზისო ცოდნა ფასიანი ქაღალდების პორტფელის თეორიის სფეროში.

მოდით აღვნიშნოთ პრობლემის ცნობილი პარამეტრები:

ნ- ფასიანი ქაღალდების სახეობების რაოდენობა; ა ჯ– ფაქტობრივი მოგება (შემთხვევითი რიცხვი) j-ე ტიპის ფასიანი ქაღალდიდან; არის მოსალოდნელი მოგება ჯუსაფრთხოების ე ტიპი.

აღნიშნე უცნობი სიდიდეები :

წ ჯ - ამ ტიპის ფასიანი ქაღალდების შესაძენად გამოყოფილი სახსრები ჯ.

ჩვენს აღნიშვნაში ინვესტიციის მთლიანი თანხა გამოიხატება როგორც . მოდელის გასამარტივებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ რაოდენობას

.

ამრიგად, X მე- ეს არის ამ ტიპის ფასიანი ქაღალდების შესაძენად გამოყოფილი ყველა სახსრების წილი ჯ.

გასაგებია რომ

პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ ინვესტორის მიზანია მინიმალური რისკის მქონე მოგების გარკვეული დონის მიღწევა. არსებითად, რისკი არის რეალური მოგების გადახრის საზომი მოსალოდნელიდან. აქედან გამომდინარე, მისი იდენტიფიცირება შესაძლებელია i და j ტიპის ფასიანი ქაღალდების მოგების კოვარიანსით. აქ M არის მათემატიკური მოლოდინის აღნიშვნა.

ორიგინალური ამოცანის მათემატიკურ მოდელს აქვს ფორმა:

შეზღუდვების ქვეშ

,
,
,
. (1.8)

ჩვენ მივიღეთ ცნობილი მარკოვიცის მოდელი ფასიანი ქაღალდების პორტფელის სტრუქტურის ოპტიმიზაციისთვის.

მოდელი (1.8.) არის სტოქასტური ტიპის ოპტიმიზაციის მოდელის მაგალითი (შემთხვევითობის ელემენტებით).

მაგალითი 1.5.4.

სავაჭრო ორგანიზაციის ბაზაზე არსებობს ასორტიმენტის ერთ-ერთი პროდუქტის n სახეობა. ამ პროდუქტის მხოლოდ ერთი სახეობა უნდა მიტანილი იყოს მაღაზიაში. საჭიროა აირჩიოს საქონლის ტიპი, რომელიც მიზანშეწონილია მაღაზიაში მიტანა. თუ პროდუქტის ტიპი ჯიქნება მოთხოვნადი, მაშინ მაღაზია სარგებელს მიიღებს მისი გაყიდვიდან რ ჯ, თუ მოთხოვნა არ არის - ზარალი ქ ჯ .

მოდელირებამდე განვიხილავთ რამდენიმე ფუნდამენტურ პუნქტს. ამ პრობლემაში გადაწყვეტილების მიმღები (DM) არის მაღაზია. თუმცა, შედეგი (მაქსიმალური მოგების მიღება) დამოკიდებულია არა მხოლოდ მის გადაწყვეტილებაზე, არამედ იმაზეც, იქნება თუ არა იმპორტირებული საქონელი მოთხოვნადი, ანუ შეისყიდის თუ არა მას მოსახლეობას (ვარაუდობენ, რომ რაიმე მიზეზით მაღაზია აკეთებს. არ აქვს მოსახლეობის მოთხოვნის შესწავლის შესაძლებლობა). აქედან გამომდინარე, მოსახლეობა შეიძლება ჩაითვალოს მეორე გადაწყვეტილების მიმღებად, რომელიც არჩევს საქონლის ტიპს მათი პრეფერენციების მიხედვით. მოსახლეობის ყველაზე ცუდი „გადაწყვეტილება“ მაღაზიისთვის არის: „იმპორტირებული საქონელი არ არის მოთხოვნადი“. ასე რომ, ყველა სახის სიტუაციის გასათვალისწინებლად, მაღაზიამ უნდა განიხილოს მოსახლეობა თავის „მოწინააღმდეგედ“ (პირობითად), საპირისპირო მიზნის მისაღწევად - მინიმუმამდე დაიყვანოს მაღაზიის მოგება.

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს გადაწყვეტილების პრობლემა ორ მონაწილესთან, რომლებიც საპირისპირო მიზნებს ატარებენ. განვმარტავთ, რომ მაღაზია ირჩევს გასაყიდი საქონლის ერთ-ერთ სახეობას (არსებობს n გამოსავალი), ხოლო მოსახლეობა ირჩევს საქონლის ერთ-ერთ სახეობას, რომელიც ყველაზე დიდი მოთხოვნაა ( ნგადაწყვეტის ვარიანტები).

მათემატიკური მოდელის შესადგენად ვხატავთ ცხრილს ნხაზები და ნსვეტები (სულ ნ 2 უჯრედები) და ეთანხმებით, რომ რიგები შეესაბამება მაღაზიის არჩევანს, ხოლო სვეტები შეესაბამება პოპულაციის არჩევანს. შემდეგ უჯრედი (i, j)შეესაბამება იმ სიტუაციას, როდესაც მაღაზია ირჩევს მე- საქონლის მე-2 სახეობა ( მე-ე ხაზი) ​​და მოსახლეობა ირჩევს ჯ- საქონლის მე-2 სახეობა ( j-ე სვეტი). თითოეულ უჯრედში ვწერთ შესაბამისი სიტუაციის ციფრულ შეფასებას (მოგება ან ზარალი) მაღაზიის თვალსაზრისით:

ნომრები ქ მედაწერილი მინუსით, რათა ასახოს მაღაზიის დაკარგვა; თითოეულ სიტუაციაში მოსახლეობის „ანაზღაურება“ (პირობითად) უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მაღაზიის „ანაზღაურებას“.

ამ მოდელის შემოკლებული ხედი ასეთია:

(1.9)

მივიღეთ ე.წ მატრიცის თამაში. მოდელი (1.9.) არის თამაშის გადაწყვეტილების მიღების მოდელების მაგალითი.