საშუალო ღირებულება- ეს არის განზოგადებული მაჩვენებელი, რომელიც ახასიათებს თვისობრივად ერთგვაროვან მოსახლეობას გარკვეული რაოდენობრივი ატრიბუტის მიხედვით. მაგალითად, ქურდობისთვის მსჯავრდებულთა საშუალო ასაკი.
სასამართლო სტატისტიკაში საშუალო მაჩვენებლები გამოიყენება დასახასიათებლად:
ამ კატეგორიის საქმეების განხილვის საშუალო ვადები;
საშუალო ზომის პრეტენზია;
ბრალდებულთა საშუალო რაოდენობა თითო საქმეზე;
ზიანის საშუალო ოდენობა;
მოსამართლეთა საშუალო დატვირთვა და ა.შ.
საშუალო მნიშვნელობა ყოველთვის დასახელებულია და აქვს იგივე განზომილება, როგორც პოპულაციის ცალკეული ერთეულის ატრიბუტი. ყოველი საშუალო მნიშვნელობა ახასიათებს შესწავლილ პოპულაციას რომელიმე განსხვავებული ატრიბუტის მიხედვით, შესაბამისად, ყოველი საშუალოს უკან დგას ამ პოპულაციის ერთეულების განაწილების სერია შესწავლილი ატრიბუტის მიხედვით. საშუალო ტიპის არჩევანი განისაზღვრება ინდიკატორის შინაარსითა და საშუალო გამოთვლის საწყისი მონაცემებით.
სტატისტიკურ კვლევებში გამოყენებული ყველა სახის საშუალო მაჩვენებელი ორ კატეგორიად იყოფა:
1) სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლები;
2) სტრუქტურული საშუალო.
საშუალოების პირველი კატეგორია მოიცავს: საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული საშუალო, გეომეტრიული საშუალო და ფესვი საშუალო კვადრატი . მეორე კატეგორია არის მოდადა მედიანური. უფრო მეტიც, თითოეული ჩამოთვლილი ტიპის სიმძლავრის საშუალოდ შეიძლება ჰქონდეს ორი ფორმა: მარტივი და შეწონილი . საშუალების მარტივი ფორმა გამოიყენება შესასწავლი ნიშან-თვისების საშუალოს მისაღებად, როდესაც გამოთვლა ეფუძნება დაუჯგუფებელ სტატისტიკას, ან როდესაც თითოეული ვარიანტი პოპულაციაში მხოლოდ ერთხელ გვხვდება. შეწონილ საშუალოებს უწოდებენ მნიშვნელობებს, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ მახასიათებლის მნიშვნელობების ვარიანტებს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები და, შესაბამისად, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს შესაბამისი სიხშირით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული ვარიანტი "აწონის" ხდება მისი სიხშირით. სიხშირეს ეწოდება სტატისტიკური წონა.
მარტივი არითმეტიკული საშუალო- ყველაზე გავრცელებული ტიპის საშუალო. ეს უდრის ინდივიდუალური დამახასიათებელი მნიშვნელობების ჯამს, გაყოფილი ამ მნიშვნელობების საერთო რაოდენობაზე:
სადაც x 1, x 2, …, x N- ცვლადის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ოფციები) და N - პოპულაციის ერთეულების რაოდენობა.
საშუალო შეწონილი არითმეტიკულიგამოიყენება, როდესაც მონაცემები წარმოდგენილია განაწილების სერიების ან დაჯგუფების სახით. იგი გამოითვლება, როგორც ოფციონების პროდუქციის ჯამი და მათი შესაბამისი სიხშირეები, გაყოფილი ყველა ვარიანტის სიხშირეების ჯამზე:
სადაც x i- მნიშვნელობა მემახასიათებლის - ე ვარიანტები; ფი- სიხშირე მეე პარამეტრები.
ამრიგად, თითოეული ვარიანტის მნიშვნელობა იწონის მისი სიხშირით, რის გამოც სიხშირეებს ზოგჯერ სტატისტიკურ წონას უწოდებენ.
კომენტარი.როდესაც საქმე ეხება საშუალო არითმეტიკას მისი ტიპის დაზუსტების გარეშე, იგულისხმება მარტივი არითმეტიკული საშუალო.
ცხრილი 12
გადაწყვეტილება.გამოსათვლელად ვიყენებთ საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულას:
ამრიგად, სისხლის სამართლის საქმეზე საშუალოდ ორი ბრალდებული მოდის.
თუ საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლა ხორციელდება მონაცემების მიხედვით დაჯგუფებული ინტერვალის განაწილების სერიების სახით, მაშინ ჯერ უნდა დაადგინოთ ყოველი ინტერვალის მედიანური მნიშვნელობები x"i და შემდეგ გამოთვალოთ საშუალო მნიშვნელობა შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულა, რომელშიც x" i არის ჩანაცვლებული x i.
მაგალითი.მონაცემები ქურდობისთვის მსჯავრდებული დამნაშავეების ასაკის შესახებ მოცემულია ცხრილში:
ცხრილი 13
დაადგინეთ ქურდობისთვის მსჯავრდებული დამნაშავეების საშუალო ასაკი.
გადაწყვეტილება.იმისათვის, რომ დადგინდეს კრიმინალების საშუალო ასაკი ინტერვალის ცვალებადობის სერიებზე დაყრდნობით, ჯერ უნდა იპოვოთ ინტერვალების მედიანური მნიშვნელობები. ვინაიდან მოცემულია ინტერვალის სერია ღია პირველი და ბოლო ინტერვალებით, ამ ინტერვალების მნიშვნელობები აღებულია მიმდებარე დახურული ინტერვალების მნიშვნელობების ტოლფასი. ჩვენს შემთხვევაში, პირველი და ბოლო ინტერვალის მნიშვნელობა არის 10.
ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამნაშავეთა საშუალო ასაკს შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულის გამოყენებით:
ამრიგად, ქურდობისთვის მსჯავრდებულთა საშუალო ასაკი დაახლოებით 27 წელია.
საშუალო ჰარმონიული მარტივი არის მახასიათებლის საპასუხო მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული საპასუხო:
სადაც 1/ x iარის ოფციონების ორმხრივები, ხოლო N არის მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.
მაგალითი.სისხლის სამართლის საქმეების განხილვისას რაიონული სასამართლოს მოსამართლეების საშუალო წლიური დატვირთვის დასადგენად ჩატარდა გამოკითხვა ამ სასამართლოს 5 მოსამართლის დატვირთვაზე. ერთი სისხლის სამართლის საქმეზე დახარჯული საშუალო დრო თითოეული გამოკითხული მოსამართლისთვის თანაბარი აღმოჩნდა (დღეებში): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. იპოვეთ ერთის საშუალო ხარჯები. სისხლის სამართლის საქმე და ამ რაიონული სასამართლოს მოსამართლეების საშუალო წლიური დატვირთვა სისხლის სამართლის საქმეების განხილვისას.
გადაწყვეტილება.ერთი სისხლის სამართლის საქმეზე დახარჯული საშუალო დროის დასადგენად ვიყენებთ ჰარმონიულ მარტივ ფორმულას:
მაგალითში გამოთვლების გასამარტივებლად, ავიღოთ წელიწადში დღეების რაოდენობა 365-ის ტოლი შაბათ-კვირის ჩათვლით (ეს არ მოქმედებს გაანგარიშების მეთოდზე და პრაქტიკაში მსგავსი ინდიკატორის გამოთვლისას აუცილებელია სამუშაოს რაოდენობის ჩანაცვლება. დღეები კონკრეტულ წელიწადში 365 დღის ნაცვლად). მაშინ ამ რაიონული სასამართლოს მოსამართლეების საშუალო წლიური დატვირთვა სისხლის სამართლის საქმეების განხილვისას იქნება: 365 (დღე): 5.56 ≈ 65.6 (საქმე).
თუ გამოვიყენებდით საშუალო არითმეტიკული ფორმულას ერთ სისხლის სამართლის საქმეზე დახარჯული საშუალო დროის დასადგენად, მივიღებდით:
365 (დღე): 5,64 ≈ 64,7 (შემთხვევები), ე.ი. მოსამართლეების საშუალო დატვირთვა ნაკლები იყო.
მოდით შევამოწმოთ ამ მიდგომის მართებულობა. ამისთვის ვიყენებთ მონაცემებს თითოეული მოსამართლისთვის ერთ სისხლის სამართლის საქმეზე გატარებული დროის შესახებ და ვიანგარიშებთ თითოეული მათგანის მიერ წელიწადში განხილული სისხლის სამართლის საქმეების რაოდენობას.
შესაბამისად ვიღებთ:
365 (დღე): 6 ≈ 61 (შემთხვევა), 365 (დღე): 5.6 ≈ 65.2 (შემთხვევა), 365 (დღე): 6.3 ≈ 58 (შემთხვევა),
365 (დღე) : 4.9 ≈ 74.5 (შემთხვევები), 365 (დღე): 5.4 ≈ 68 (შემთხვევები).
ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ რაიონული სასამართლოს მოსამართლეების საშუალო წლიურ დატვირთვას სისხლის სამართლის საქმეების განხილვისას:
იმათ. საშუალო წლიური დატვირთვა იგივეა, რაც ჰარმონიული საშუალოს გამოყენებისას.
ამრიგად, ამ შემთხვევაში საშუალო არითმეტიკულის გამოყენება უკანონოა.
იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მახასიათებლის ვარიანტები, მათი მოცულობითი მნიშვნელობები (ვარიანტების ნამრავლი სიხშირით), მაგრამ თავად სიხშირეები უცნობია, გამოიყენება ჰარმონიული შეწონილი საშუალო ფორმულა:
,
სადაც x iარის ნიშან-თვისებების ვარიანტების მნიშვნელობები და w i არის ვარიანტების მოცულობითი მნიშვნელობები ( w i = x i f i).
მაგალითი.სასჯელაღსრულების სისტემის სხვადასხვა დაწესებულების მიერ წარმოებული ერთი და იგივე ტიპის საქონლის ერთეულის ფასი და მისი განხორციელების მოცულობა მოცემულია ცხრილში 14.
ცხრილი 14
იპოვნეთ პროდუქტის საშუალო გასაყიდი ფასი.
გადაწყვეტილება.საშუალო ფასის გამოთვლისას უნდა გამოვიყენოთ გაყიდული თანხის შეფარდება გაყიდული ერთეულების რაოდენობასთან. ჩვენ არ ვიცით გაყიდული ერთეულების რაოდენობა, მაგრამ ვიცით საქონლის გაყიდვის ოდენობა. ამიტომ, გაყიდული საქონლის საშუალო ფასის საპოვნელად ვიყენებთ ჰარმონიული შეწონილი საშუალო ფორმულას. ვიღებთ
თუ აქ იყენებთ საშუალო არითმეტიკის ფორმულას, შეგიძლიათ მიიღოთ საშუალო ფასი, რომელიც არარეალური იქნება:
გეომეტრიული საშუალოგამოითვლება N ხარისხის ფესვის ამოღებით ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ნამრავლიდან:
,
სადაც x 1, x 2, …, x N- ცვლადი ნიშან-თვისებების ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ვარიანტები) და
ნ- მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.
ამ ტიპის საშუალო გამოიყენება დროის სერიების საშუალო ზრდის ტემპების გამოსათვლელად.
ფესვი საშუალო კვადრატიგამოიყენება სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, რომელიც ვარიაციის მაჩვენებელია და ქვემოთ იქნება განხილული.
მოსახლეობის სტრუქტურის დასადგენად გამოიყენება სპეციალური საშუალო მაჩვენებლები, რომლებიც მოიცავს მედიანური და მოდა , ანუ ე.წ. სტრუქტურული საშუალო. თუ საშუალო არითმეტიკული გამოითვლება ატრიბუტების მნიშვნელობების ყველა ვარიანტის გამოყენების საფუძველზე, მაშინ მედიანა და რეჟიმი ახასიათებს იმ ვარიანტის მნიშვნელობას, რომელიც იკავებს გარკვეულ საშუალო პოზიციას რანჟირებულ (მოწესრიგებულ) სერიაში. სტატისტიკური პოპულაციის ერთეულების დალაგება შეიძლება განხორციელდეს შესასწავლი ნიშან-თვისების ვარიანტების აღმავალი ან კლებადობით.
მედიანა (მე)არის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება რანჟირებული სერიის შუაში არსებულ ვარიანტს. ამრიგად, მედიანა არის რანჟირებული სერიის ის ვარიანტი, რომლის ორივე მხარეს ამ სერიაში უნდა იყოს თანაბარი რაოდენობის მოსახლეობის ერთეული.
მედიანას მოსაძებნად, ჯერ უნდა დაადგინოთ მისი სერიული ნომერი რეიტინგულ სერიაში ფორმულის გამოყენებით:
სადაც N არის სერიის მოცულობა (პოპულაციის ერთეულების რაოდენობა).
თუ სერია შედგება წევრების კენტი რაოდენობისგან, მაშინ მედიანა უდრის N Me რიცხვის მქონე ვარიანტს. თუ სერია შედგება წევრების ლუწი რაოდენობისგან, მაშინ მედიანა განისაზღვრება, როგორც შუაში მდებარე ორი მიმდებარე ვარიანტის არითმეტიკული საშუალო.
მაგალითი.მოცემულია რანჟირებული სერიები 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. სერიის მოცულობა არის N = 9, რაც ნიშნავს N Me = (9 + 1) / 2 = 5. ამიტომ, მე = 6, ე.ი. მეხუთე ვარიანტი. თუ მწკრივს მოცემულია 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, ე.ი. რიგი წევრების ლუწი რიცხვით (N = 8), შემდეგ N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. ასე რომ, მედიანა უდრის მეოთხე და მეხუთე ვარიანტების ჯამის ნახევარს, ე.ი. მე = (9 + 11) / 2 = 10.
დისკრეტულ ვარიაციის სერიაში მედიანა განისაზღვრება დაგროვილი სიხშირეებით. ვარიანტის სიხშირეები, დაწყებული პირველიდან, ჯამდება მედიანური რიცხვის გადამეტებამდე. ბოლო შეჯამებული ვარიანტების მნიშვნელობა იქნება მედიანა.
მაგალითი.იპოვეთ ბრალდებულთა საშუალო რაოდენობა სისხლის სამართლის საქმეზე მე-12 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით.
გადაწყვეტილება.ამ შემთხვევაში, ვარიაციის სერიის მოცულობა არის N = 154, შესაბამისად, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. პირველი და მეორე ვარიანტის სიხშირეების შეჯამებით მივიღებთ: 75 + 43 = 118, ე.ი. ჩვენ გადავაჭარბეთ მედიანას. ასე რომ მე = 2.
განაწილების ინტერვალის ვარიაციის სერიაში, ჯერ მიუთითეთ ინტერვალი, რომელშიც განთავსდება მედიანა. მას ეძახიან მედიანური . ეს არის პირველი ინტერვალი, რომლის კუმულაციური სიხშირე აჭარბებს ინტერვალის ვარიაციის სერიის მოცულობის ნახევარს. შემდეგ მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა განისაზღვრება ფორმულით:
სადაც x მე- მედიანური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; i - მედიანური ინტერვალის მნიშვნელობა; S Me-1- ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე, რომელიც წინ უსწრებს მედიანას; ვ მე- მედიანური ინტერვალის სიხშირე.
მაგალითი.იპოვეთ ქურდობისთვის მსჯავრდებული დამნაშავეების საშუალო ასაკი მე-13 ცხრილში წარმოდგენილი სტატისტიკის საფუძველზე.
გადაწყვეტილება.სტატისტიკური მონაცემები წარმოდგენილია ინტერვალის ვარიაციის სერიით, რაც იმას ნიშნავს, რომ პირველ რიგში განვსაზღვრავთ მედიანურ ინტერვალს. პოპულაციის მოცულობა N = 162, შესაბამისად, მედიანური ინტერვალი არის 18-28 ინტერვალი, რადგან ეს არის პირველი ინტერვალი, რომლის დაგროვილი სიხშირე (15 + 90 = 105) აღემატება ინტერვალის ვარიაციის სერიის მოცულობის ნახევარს (162: 2 = 81). ახლა მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა განისაზღვრება ზემოაღნიშნული ფორმულით:
ამრიგად, ქურდობისთვის მსჯავრდებულთა ნახევარი 25 წლამდე ასაკისაა.
მოდა (Mo)დაასახელეთ ატრიბუტის მნიშვნელობა, რომელიც ყველაზე ხშირად გვხვდება პოპულაციის ერთეულებში. მოდა გამოიყენება იმ თვისების ღირებულების დასადგენად, რომელსაც აქვს ყველაზე დიდი განაწილება. დისკრეტული სერიებისთვის რეჟიმი იქნება ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი. მაგალითად, მე-3 ცხრილში წარმოდგენილი დისკრეტული სერიისთვის მო= 1, ვინაიდან ოფციონის ეს მნიშვნელობა შეესაბამება უმაღლეს სიხშირეს - 75. ინტერვალის სერიის რეჟიმის დასადგენად ჯერ განსაზღვრეთ მოდალური ინტერვალი (უმაღლესი სიხშირის მქონე ინტერვალი). შემდეგ, ამ ინტერვალის ფარგლებში, იპოვება ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება იყოს რეჟიმი.
მისი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით:
სადაც x მო- მოდალური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; i - მოდალური ინტერვალის მნიშვნელობა; ვ მო- მოდალური ინტერვალის სიხშირე; ვ მო-1- მოდალის წინა ინტერვალის სიხშირე; f Mo+1- მოდალის შემდეგ ინტერვალის სიხშირე.
მაგალითი.იპოვნეთ ქურდობისთვის მსჯავრდებული დამნაშავეების ასაკობრივი რეჟიმი, რომლის მონაცემები მოცემულია ცხრილში 13.
გადაწყვეტილება.ყველაზე მაღალი სიხშირე შეესაბამება 18-28 ინტერვალს, შესაბამისად, რეჟიმი ამ ინტერვალში უნდა იყოს. მისი ღირებულება განისაზღვრება ზემოაღნიშნული ფორმულით:
ამრიგად, ქურდობისთვის მსჯავრდებულთა ყველაზე მეტი რაოდენობა 24 წლისაა.
საშუალო მნიშვნელობა იძლევა შესასწავლი ფენომენის მთლიანობის განზოგადებულ მახასიათებელს. თუმცა, ერთი და იგივე საშუალო მნიშვნელობების მქონე ორი პოპულაცია შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან შესწავლილი მახასიათებლის მნიშვნელობის რყევის (ვარიაციის) ხარისხის მიხედვით. მაგალითად, ერთ სასამართლოში თავისუფლების აღკვეთა განესაზღვრა შემდეგი ვადით: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 წლით, ხოლო მეორეში - 5, 5, 6, 6, 7, 7. , 7, 8, 8, 8 წლის. ორივე შემთხვევაში საშუალო არითმეტიკული არის 6,7 წელი. თუმცა, ეს აგრეგატები მნიშვნელოვნად განსხვავდებიან ერთმანეთისგან თავისუფლების აღკვეთის მინიჭებული ვადის ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო ღირებულებასთან შედარებით.
ხოლო პირველი სასამართლოსთვის, სადაც ეს ვარიაცია საკმაოდ დიდია, თავისუფლების აღკვეთის საშუალო ვადა კარგად არ ასახავს მთელ მოსახლეობას. ამრიგად, თუ ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები ცოტათი განსხვავდება ერთმანეთისგან, მაშინ საშუალო არითმეტიკული იქნება ამ პოპულაციის თვისებების საკმაოდ საჩვენებელი მახასიათებელი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, საშუალო არითმეტიკული იქნება ამ პოპულაციის არასანდო მახასიათებელი და მისი გამოყენება პრაქტიკაში არაეფექტურია. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გავითვალისწინოთ შესწავლილი მახასიათებლის მნიშვნელობების ცვალებადობა.
Ვარიაცია- ეს არის განსხვავებები მახასიათებლის მნიშვნელობებში მოცემული მოსახლეობის სხვადასხვა ერთეულში იმავე პერიოდში ან დროის მომენტში. ტერმინი „ვარიაცია“ ლათინური წარმოშობისაა – variatio, რაც განსხვავებას, ცვლილებას, რყევას ნიშნავს. ეს წარმოიქმნება იმის შედეგად, რომ ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები იქმნება სხვადასხვა ფაქტორების (პირობების) ერთობლივი გავლენის ქვეშ, რომლებიც გაერთიანებულია სხვადასხვა გზით თითოეულ ცალკეულ შემთხვევაში. ნიშან-თვისების ცვალებადობის გასაზომად გამოიყენება სხვადასხვა აბსოლუტური და ფარდობითი ინდიკატორი.
ვარიაციის ძირითადი მაჩვენებლები მოიცავს შემდეგს:
1) ვარიაციის დიაპაზონი;
2) საშუალო წრფივი გადახრა;
3) დისპერსია;
4) სტანდარტული გადახრა;
5) ვარიაციის კოეფიციენტი.
მოკლედ შევეხოთ თითოეულ მათგანს.
დიაპაზონის ვარიაცია R არის ყველაზე ხელმისაწვდომი აბსოლუტური მაჩვენებელი გაანგარიშების სიმარტივის თვალსაზრისით, რომელიც განისაზღვრება, როგორც განსხვავება ატრიბუტის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს შორის ამ პოპულაციის ერთეულებისთვის:
ცვალებადობის დიაპაზონი (რყევების დიაპაზონი) არის თვისების ცვალებადობის მნიშვნელოვანი მაჩვენებელი, მაგრამ შესაძლებელს ხდის დავინახოთ მხოლოდ უკიდურესი გადახრები, რაც ზღუდავს მის ფარგლებს. ნიშან-თვისების ვარიაციის უფრო ზუსტი დახასიათებისთვის მისი მერყეობის საფუძველზე გამოიყენება სხვა ინდიკატორები.
საშუალო წრფივი გადახრაწარმოადგენს ნიშან-თვისების ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალოდან გადახრების აბსოლუტური მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულ მნიშვნელობას და განისაზღვრება ფორმულებით:
1) ამისთვის დაუჯგუფებელი მონაცემები
2) ამისთვის ვარიაციის სერია
თუმცა, ვარიაციის ყველაზე ფართოდ გამოყენებული საზომია დისპერსია . იგი ახასიათებს შესწავლილი ნიშან-თვისების მნიშვნელობების გავრცელების ზომას მის საშუალო მნიშვნელობასთან შედარებით. დისპერსია განისაზღვრება, როგორც გადახრების საშუალო კვადრატში.
მარტივი ვარიაციადაუჯგუფებელი მონაცემებისთვის:
.
შეწონილი განსხვავებავარიაციების სერიისთვის:
კომენტარი.პრაქტიკაში, უმჯობესია გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულები დისპერსიის გამოსათვლელად:
მარტივი დისპერსიისთვის
.
შეწონილი დისპერსიისთვის
Სტანდარტული გადახრაარის სხვაობის კვადრატული ფესვი:
სტანდარტული გადახრა არის საშუალო სანდოობის საზომი. რაც უფრო მცირეა სტანდარტული გადახრა, მით უფრო ერთგვაროვანია პოპულაცია და მით უკეთესი არითმეტიკული საშუალო ასახავს მთელ პოპულაციას.
ზემოთ განხილული დისპერსიული ზომები (ვარიაციის დიაპაზონი, ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა) არის აბსოლუტური მაჩვენებლები, რომლითაც ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ნიშან-თვისების რყევის ხარისხის შეფასება. ზოგიერთ პრობლემაში აუცილებელია ფარდობითი გაფანტვის ინდექსების გამოყენება, რომელთაგან ერთ-ერთია ვარიაციის კოეფიციენტი.
ცვალებადობის კოეფიციენტი- გამოხატულია სტანდარტული გადახრის თანაფარდობის პროცენტულად საშუალო არითმეტიკასთან:
ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოიყენება არა მხოლოდ სხვადასხვა პოპულაციაში სხვადასხვა ნიშან-თვისებების ან ერთი და იმავე ნიშნის ვარიაციის შედარებითი შეფასებისთვის, არამედ პოპულაციის ჰომოგენურობის დასახასიათებლად. სტატისტიკური პოპულაცია რაოდენობრივად ჰომოგენურად ითვლება, თუ ვარიაციის კოეფიციენტი არ აღემატება 33%-ს (ნორმალურ განაწილებასთან ახლოს განაწილებისთვის).
მაგალითი.სასჯელაღსრულების სისტემის გამასწორებელ დაწესებულებაში სასამართლოს მიერ შეფარდებული 50 მსჯავრდებულის თავისუფლების აღკვეთის ვადების შესახებ არსებობს შემდეგი მონაცემები: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2. , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. სადისტრიბუციო სერიის აგება თავისუფლების აღკვეთის ვადით.
2. იპოვეთ საშუალო, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა.
3. გამოთვალეთ ცვალებადობის კოეფიციენტი და გამოიტანეთ დასკვნა შესწავლილი პოპულაციის ერთგვაროვნების ან ჰეტეროგენურობის შესახებ.
გადაწყვეტილება.დისკრეტული განაწილების სერიის ასაგებად აუცილებელია ვარიანტებისა და სიხშირის განსაზღვრა. ამ პრობლემის ვარიანტს წარმოადგენს თავისუფლების აღკვეთის ვადა, სიხშირე კი ინდივიდუალური ვარიანტის რაოდენობაა. სიხშირეების გამოთვლის შემდეგ ვიღებთ შემდეგ დისკრეტულ განაწილების სერიებს:
იპოვეთ საშუალო და განსხვავება. ვინაიდან სტატისტიკური მონაცემები წარმოდგენილია დისკრეტული ვარიაციული სერიებით, ჩვენ გამოვიყენებთ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულებს და დისპერსიას მათ გამოსათვლელად. ჩვენ ვიღებთ:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
ახლა ჩვენ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა:
ჩვენ ვპოულობთ ცვალებადობის კოეფიციენტს:
შესაბამისად, სტატისტიკური პოპულაცია რაოდენობრივად ჰეტეროგენულია.
ყველა ადამიანი თანამედროვე სამყაროში, როდესაც გეგმავს სესხის აღებას ან ბოსტნეულის შენახვას ზამთრისთვის, პერიოდულად ხვდება ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა "საშუალო". მოდით გავარკვიოთ: რა არის, რა ტიპები და კლასები არსებობს და რატომ გამოიყენება სტატისტიკასა და სხვა დისციპლინებში.
საშუალო ღირებულება - რა არის ეს?
მსგავსი სახელწოდება (SV) არის ერთგვაროვანი ფენომენების სიმრავლის განზოგადებული მახასიათებელი, რომელიც განისაზღვრება ნებისმიერი რაოდენობრივი ცვლადის ატრიბუტით.
თუმცა, ადამიანები, რომლებიც შორს არიან ასეთი აბსტრაქტული განმარტებებისგან, ეს ცნებას ესმით, როგორც რაღაცის საშუალო რაოდენობა. მაგალითად, ბანკის თანამშრომელი სესხის აღებამდე აუცილებლად სთხოვს პოტენციურ კლიენტს, მიაწოდოს მონაცემები წლის საშუალო შემოსავლის, ანუ ადამიანის მიერ მიღებული თანხის მთლიანი ოდენობის შესახებ. იგი გამოითვლება მთელი წლის შემოსავლის შეჯამებით და თვეების რაოდენობაზე გაყოფით. ამრიგად, ბანკი შეძლებს განსაზღვროს, შეძლებს თუ არა მისი კლიენტი ვალის დროულად დაფარვას.
რატომ გამოიყენება?
როგორც წესი, საშუალო მნიშვნელობები ფართოდ გამოიყენება გარკვეული სოციალური ფენომენების საბოლოო დახასიათების მიზნით, რომლებიც მასობრივი ხასიათისაა. ისინი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას უფრო მცირე გამოთვლებისთვის, როგორც სესხის შემთხვევაში, ზემოთ მოცემულ მაგალითში.
თუმცა, ყველაზე ხშირად საშუალო მაჩვენებლები კვლავ გამოიყენება გლობალური მიზნებისთვის. ერთ-ერთი მათგანის მაგალითია მოქალაქეების მიერ ერთი კალენდარული თვის განმავლობაში მოხმარებული ელექტროენერგიის ოდენობის გაანგარიშება. მიღებული მონაცემების მიხედვით, შემდგომში დგინდება მაქსიმალური ნორმები მოსახლეობის იმ კატეგორიებისთვის, რომლებიც სარგებლობენ სახელმწიფოს შეღავათებით.
ასევე, საშუალო მნიშვნელობების დახმარებით მუშავდება გარკვეული საყოფაცხოვრებო ტექნიკის, მანქანების, შენობების და ა.შ მომსახურების საგარანტიო ვადა, ამ გზით შეგროვებული მონაცემების საფუძველზე ოდესღაც შემუშავდა მუშაობისა და დასვენების თანამედროვე სტანდარტები.
ფაქტობრივად, თანამედროვე ცხოვრების ნებისმიერი ფენომენი, რომელიც მასობრივი ხასიათისაა, ამა თუ იმ გზით აუცილებლად დაკავშირებულია განსახილველ კონცეფციასთან.
აპლიკაციები
ეს ფენომენი ფართოდ გამოიყენება თითქმის ყველა ზუსტ მეცნიერებაში, განსაკუთრებით ექსპერიმენტულ მეცნიერებაში.
საშუალოს პოვნას დიდი მნიშვნელობა აქვს მედიცინაში, ინჟინერიაში, კულინარიაში, ეკონომიკაში, პოლიტიკაში და ა.შ.
ასეთი განზოგადებიდან მიღებულ მონაცემებზე დაყრდნობით ავითარებენ სამედიცინო პრეპარატებს, საგანმანათლებლო პროგრამებს, ადგენენ მინიმალურ საარსებო მინიმუმს და ხელფასს, ადგენენ სასწავლო განრიგს, აწარმოებენ ავეჯს, ტანსაცმელს და ფეხსაცმელს, ჰიგიენურ ნივთებს და სხვა.
მათემატიკაში ამ ტერმინს „საშუალო მნიშვნელობას“ უწოდებენ და გამოიყენება სხვადასხვა მაგალითებისა და ამოცანების ამოხსნის განსახორციელებლად. მათგან უმარტივესი არის ჩვეულებრივი წილადებით შეკრება და გამოკლება. ბოლოს და ბოლოს, როგორც მოგეხსენებათ, ასეთი მაგალითების ამოსახსნელად აუცილებელია ორივე წილადის საერთო მნიშვნელთან მიყვანა.
ასევე, ზუსტი მეცნიერებების დედოფალში ხშირად გამოიყენება ტერმინი „შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა“, რაც მნიშვნელობით ახლოსაა. უმეტესობისთვის ის უფრო ცნობილია, როგორც "მოლოდინი", უფრო ხშირად განიხილება ალბათობის თეორიაში. აღსანიშნავია, რომ მსგავსი ფენომენი ასევე ეხება სტატისტიკური გამოთვლების ჩატარებისას.
საშუალო მნიშვნელობა სტატისტიკაში
თუმცა, ყველაზე ხშირად შესწავლილი კონცეფცია გამოიყენება სტატისტიკაში. მოგეხსენებათ, თავად ეს მეცნიერება სპეციალიზირებულია მასობრივი სოციალური ფენომენების რაოდენობრივი მახასიათებლების გამოთვლასა და ანალიზში. აქედან გამომდინარე, სტატისტიკის საშუალო მნიშვნელობა გამოიყენება, როგორც სპეციალიზებული მეთოდი მისი ძირითადი მიზნების - ინფორმაციის შეგროვებისა და ანალიზის მისაღწევად.
ამ სტატისტიკური მეთოდის არსი არის განსახილველი თვისების ინდივიდუალური უნიკალური მნიშვნელობების შეცვლა გარკვეული დაბალანსებული საშუალო მნიშვნელობით.
ამის მაგალითია ცნობილი საკვები ხუმრობა. ასე რომ, სამშაბათს ლანჩზე გარკვეულ ქარხანაში მისი უფროსები ჩვეულებრივ ხორცს მიირთმევენ, ჩვეულებრივი მუშები კი ჩაშუშულ კომბოსტოს მიირთმევენ. ამ მონაცემებზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ საშუალოდ, სამშაბათობით ქარხნის თანამშრომლები კომბოსტოს რულონებზე სადილობენ.
მიუხედავად იმისა, რომ ეს მაგალითი ოდნავ გაზვიადებულია, ის ასახავს საშუალო ღირებულების ძიების მეთოდის მთავარ ნაკლს - ობიექტების ან პიროვნებების ინდივიდუალური მახასიათებლების ნიველირებას.
საშუალო მაჩვენებლები გამოიყენება არა მხოლოდ შეგროვებული ინფორმაციის გასაანალიზებლად, არამედ შემდგომი ქმედებების დაგეგმვისა და პროგნოზირებისთვის.
იგი ასევე გამოიყენება მიღწეული შედეგების შესაფასებლად (მაგალითად, გაზაფხული-ზაფხულის სეზონისთვის ხორბლის მოყვანისა და მოსავლის გეგმის განხორციელება).
როგორ გამოვთვალოთ
მიუხედავად იმისა, რომ CV ტიპის მიხედვით, არსებობს მისი გამოთვლის სხვადასხვა ფორმულები, სტატისტიკის ზოგად თეორიაში, როგორც წესი, გამოიყენება მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის მხოლოდ ერთი მეთოდი. ამისათვის ჯერ უნდა დაამატოთ ყველა ფენომენის მნიშვნელობები და შემდეგ გაყოთ მიღებული ჯამი მათ რიცხვზე.
ასეთი გამოთვლების გაკეთებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ საშუალო მნიშვნელობას ყოველთვის აქვს იგივე განზომილება (ან ერთეული), როგორც მოსახლეობის ცალკეული ერთეული.
სწორი გაანგარიშების პირობები
ზემოთ განხილული ფორმულა ძალიან მარტივი და უნივერსალურია, ამიტომ მასში შეცდომის დაშვება თითქმის შეუძლებელია. თუმცა, ყოველთვის ღირს ორი ასპექტის გათვალისწინება, წინააღმდეგ შემთხვევაში მიღებული მონაცემები არ ასახავს რეალურ მდგომარეობას.
CB კლასები
იპოვნეთ პასუხები მთავარ კითხვებზე: "საშუალო მნიშვნელობა - რა არის?", "სად გამოიყენება?" და "როგორ გამოვთვალო?", ღირს იმის ცოდნა, თუ რა კლასები და ტიპები არსებობს CB.
პირველ რიგში, ეს ფენომენი იყოფა 2 კლასად. ეს არის სტრუქტურული და სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლები.
სიმძლავრის SW ტიპები
თითოეული ზემოთ ჩამოთვლილი კლასი, თავის მხრივ, იყოფა ტიპებად. სიმძლავრის კლასს აქვს ოთხი მათგანი.
- საშუალო არითმეტიკული SV-ის ყველაზე გავრცელებული ტიპია. ეს არის საშუალო ტერმინი, რომლის განსაზღვრისას მონაცემთა ნაკრების განხილული ატრიბუტის მთლიანი მოცულობა თანაბრად ნაწილდება ამ ნაკრების ყველა ერთეულზე.
ეს ტიპი იყოფა ქვესახეობებად: მარტივი და შეწონილი არითმეტიკული SV.
- საშუალო ჰარმონიული მნიშვნელობა არის მაჩვენებელი, რომელიც არის მარტივი არითმეტიკული საშუალოს საპასუხო მაჩვენებელი, რომელიც გამოითვლება მოცემული მახასიათებლის საპასუხო მნიშვნელობებიდან.
იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია ფუნქციისა და პროდუქტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, მაგრამ არა სიხშირის მონაცემები.
- გეომეტრიული საშუალო ყველაზე ხშირად გამოიყენება ეკონომიკური ფენომენების ზრდის ტემპების ანალიზისას. ეს შესაძლებელს ხდის მოცემული რაოდენობის ცალკეული მნიშვნელობების ნამრავლის უცვლელად შენარჩუნებას, ვიდრე ჯამის.
ის ასევე ხდება მარტივი და დაბალანსებული.
- ძირის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა გამოიყენება ინდიკატორების ცალკეული ინდიკატორების გამოთვლაში, როგორიცაა ცვალებადობის კოეფიციენტი, რომელიც ახასიათებს გამომუშავების რიტმს და ა.შ.
ასევე, მისი დახმარებით გამოითვლება მილების, ბორბლების, კვადრატის საშუალო გვერდების და მსგავსი ფიგურების საშუალო დიამეტრი.
ისევე როგორც ყველა სხვა ტიპის საშუალო SW, ფესვის საშუალო კვადრატი მარტივი და წონიანია.
სტრუქტურული სიდიდის სახეები
საშუალო SW-ების გარდა, სტატისტიკაში ხშირად გამოიყენება სტრუქტურული ტიპები. ისინი უკეთესად შეეფერება ცვლადი მახასიათებლის მნიშვნელობების შედარებითი მახასიათებლების და განაწილების სერიების შიდა სტრუქტურის გამოსათვლელად.
არსებობს ორი ასეთი ტიპი.
Excel-ში საშუალო მნიშვნელობის საპოვნელად (იქნება ეს რიცხვითი, ტექსტური, პროცენტული თუ სხვა მნიშვნელობა), ბევრი ფუნქციაა. და თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი მახასიათებლები და უპირატესობები. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ამოცანაში შეიძლება დაწესდეს გარკვეული პირობები.
მაგალითად, Excel-ში რიცხვების სერიის საშუალო მნიშვნელობები გამოითვლება სტატისტიკური ფუნქციების გამოყენებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ხელით შეიყვანოთ თქვენი ფორმულა. განვიხილოთ სხვადასხვა ვარიანტები.
როგორ მოვძებნოთ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული?
საშუალო არითმეტიკის საპოვნელად, თქვენ უმატებთ სიმრავლის ყველა რიცხვს და ყოფთ ჯამს რიცხვზე. მაგალითად, მოსწავლის შეფასებები კომპიუტერულ მეცნიერებაში: 3, 4, 3, 5, 5. რა ეხება მეოთხედს: 4. ჩვენ ვიპოვეთ საშუალო არითმეტიკული ფორმულის გამოყენებით: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
როგორ გავაკეთოთ ეს სწრაფად Excel ფუნქციების გამოყენებით? მაგალითად ავიღოთ შემთხვევითი რიცხვების სერია სტრიქონში:
ან: გააქტიურეთ უჯრედი და უბრალოდ ხელით შეიყვანეთ ფორმულა: =AVERAGE(A1:A8).
ახლა ვნახოთ კიდევ რისი გაკეთება შეუძლია AVERAGE ფუნქციას.
იპოვეთ პირველი ორი და ბოლო სამი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული. ფორმულა: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1). შედეგი:
საშუალო მდგომარეობით
არითმეტიკული საშუალოს პოვნის პირობა შეიძლება იყოს რიცხვითი კრიტერიუმი ან ტექსტური. ჩვენ გამოვიყენებთ ფუნქციას: =AVERAGEIF().
იპოვეთ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული რიცხვები, რომლებიც 10-ზე მეტი ან ტოლია.
ფუნქცია: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
AVERAGEIF ფუნქციის გამოყენების შედეგი პირობით ">=10": მესამე არგუმენტი - "საშუალო დიაპაზონი" - გამოტოვებულია. ჯერ ერთი, ეს არ არის საჭირო. მეორეც, პროგრამის მიერ გაანალიზებული დიაპაზონი შეიცავს მხოლოდ ციფრულ მნიშვნელობებს. პირველ არგუმენტში მითითებულ უჯრედებში ძიება განხორციელდება მეორე არგუმენტში მითითებული პირობის მიხედვით.
ყურადღება! ძებნის კრიტერიუმი შეიძლება მითითებული იყოს უჯრედში. და ფორმულაში, რომ მივმართოთ მას.
ტექსტის კრიტერიუმით ვიპოვოთ რიცხვების საშუალო მნიშვნელობა. მაგალითად, პროდუქტის საშუალო გაყიდვები "მაგიდები".
ფუნქცია ასე გამოიყურება: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). დიაპაზონი - სვეტი პროდუქტის სახელებით. ძიების კრიტერიუმი არის უჯრედის ბმული სიტყვა "ცხრილები" (შეგიძლიათ ჩასვათ სიტყვა "ცხრილები" A7 ბმულის ნაცვლად). საშუალო დიაპაზონი - ის უჯრედები, საიდანაც მონაცემები იქნება აღებული საშუალო მნიშვნელობის გამოსათვლელად.
ფუნქციის გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობას:
ყურადღება! ტექსტის კრიტერიუმისთვის (პირობით) უნდა იყოს მითითებული საშუალო დიაპაზონი.
როგორ გამოვთვალოთ საშუალო შეწონილი ფასი Excel-ში?
როგორ გავიგოთ საშუალო შეწონილი ფასი?
ფორმულა: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიგებთ მთლიან შემოსავალს საქონლის მთელი რაოდენობის გაყიდვის შემდეგ. ხოლო SUM ფუნქცია - აჯამებს საქონლის რაოდენობას. საქონლის რეალიზაციიდან მიღებული მთლიანი შემოსავლის გაყოფით საქონლის მთლიან რაოდენობაზე ვიპოვეთ საშუალო შეწონილი ფასი. ეს მაჩვენებელი ითვალისწინებს თითოეული ფასის "წონას". მისი წილი ღირებულებათა მთლიან მასაში.
სტანდარტული გადახრა: ფორმულა Excel-ში
განასხვავებენ სტანდარტულ გადახრას საერთო პოპულაციისა და ნიმუშისთვის. პირველ შემთხვევაში, ეს არის ზოგადი დისპერსიის საფუძველი. მეორეში, ნიმუშის დისპერსიიდან.
ამ სტატისტიკური ინდიკატორის გამოსათვლელად შედგენილია დისპერსიის ფორმულა. ფესვი მისგან არის აღებული. მაგრამ Excel-ში არის მზა ფუნქცია სტანდარტული გადახრის პოვნისთვის.
სტანდარტული გადახრა უკავშირდება წყაროს მონაცემების მასშტაბს. ეს არ არის საკმარისი გაანალიზებული დიაპაზონის ვარიაციის ფიგურალური წარმოდგენისთვის. მონაცემებში სკატერის ფარდობითი დონის მისაღებად გამოითვლება ცვალებადობის კოეფიციენტი:
სტანდარტული გადახრა / საშუალო არითმეტიკული
Excel-ში ფორმულა ასე გამოიყურება:
STDEV (მნიშვნელობების დიაპაზონი) / AVERAGE (მნიშვნელობების დიაპაზონი).
ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოითვლება პროცენტულად. ამიტომ, ჩვენ ვაყენებთ პროცენტულ ფორმატს უჯრედში.
ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ საშუალო მნიშვნელობა.საშუალო(მათემატიკასა და სტატისტიკაში) რიცხვების სიმრავლე - ყველა რიცხვის ჯამი გაყოფილი მათ რიცხვზე. ეს არის ცენტრალური ტენდენციის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული საზომი.
იგი შემოთავაზებული იყო (გეომეტრიულ საშუალოსა და ჰარმონიულ საშუალოსთან ერთად) პითაგორელთა მიერ.
არითმეტიკული საშუალოს განსაკუთრებული შემთხვევებია საშუალო (ზოგადი პოპულაციის) და შერჩევის საშუალო (ნიმუშების).
შესავალი
მიუთითეთ მონაცემთა ნაკრები X = (x 1 , x 2 , …, x ნ), მაშინ ნიმუშის საშუალო ჩვეულებრივ აღინიშნება ჰორიზონტალური ზოლით ცვლადის თავზე (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , გამოითქმის " xტირესთან ერთად").
ბერძნული ასო μ გამოიყენება მთელი მოსახლეობის არითმეტიკული საშუალოს აღსანიშნავად. შემთხვევითი ცვლადისთვის, რომლისთვისაც საშუალო მნიშვნელობა არის განსაზღვრული, μ არის ალბათობა ნიშნავსან შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. თუ კომპლექტი Xარის შემთხვევითი რიცხვების ერთობლიობა μ საშუალო ალბათობით, შემდეგ ნებისმიერი ნიმუშისთვის x მეამ კოლექციიდან μ = E( x მე) არის ამ ნიმუშის მოლოდინი.
პრაქტიკაში, განსხვავება μ და x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) შორის არის ის, რომ μ არის ტიპიური ცვლადი, რადგან თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ნიმუში და არა მთელი პოპულაცია. ამიტომ, თუ ნიმუში წარმოდგენილია შემთხვევით (ალბათობის თეორიის თვალსაზრისით), მაშინ x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (მაგრამ არა μ) შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს ალბათობის განაწილება ნიმუშზე ( საშუალოს ალბათობის განაწილება).
ორივე ეს რაოდენობა გამოითვლება ერთნაირად:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Თუ Xარის შემთხვევითი ცვლადი, შემდეგ მათემატიკური მოლოდინი Xშეიძლება ჩაითვალოს მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულად რაოდენობის განმეორებით გაზომვებში X. ეს არის დიდი რიცხვების კანონის გამოვლინება. ამიტომ, შერჩევის საშუალო გამოიყენება უცნობი მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად.
ელემენტარულ ალგებრაში დადასტურებულია, რომ საშუალო ნ+ 1 რიცხვი საშუალოზე მაღალი ნრიცხვები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ახალი რიცხვი აღემატება ძველ საშუალოს, ნაკლებია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ახალი რიცხვი საშუალოზე ნაკლებია და არ იცვლება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ახალი რიცხვი საშუალოს უდრის. Უფრო ნ, მით უფრო მცირეა სხვაობა ახალ და ძველ საშუალოებს შორის.
გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს რამდენიმე სხვა "საშუალება", მათ შორის ძალაუფლების კანონის საშუალო, კოლმოგოროვის საშუალო, ჰარმონიული საშუალო, არითმეტიკურ-გეომეტრიული საშუალო და სხვადასხვა შეწონილი საშუალებები (მაგ., არითმეტიკურად შეწონილი საშუალო, გეომეტრიული შეწონილი საშუალო, ჰარმონიული შეწონილი საშუალო) .
მაგალითები
- სამი რიცხვისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ 3-ზე:
- ოთხი რიცხვისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ 4-ზე:
ან უფრო ადვილია 5+5=10, 10:2. იმიტომ, რომ დავამატეთ 2 რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ რამდენ რიცხვს დავამატებთ, იმდენზე ვყოფთ.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი
უწყვეტად განაწილებული მნიშვნელობისთვის f (x) (\displaystyle f(x)) საშუალო არითმეტიკული ინტერვალზე [a; b ] (\displaystyle ) განისაზღვრება განსაზღვრული ინტეგრალის მეშვეობით:
F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
საშუალო გამოყენების ზოგიერთი პრობლემა
სიმტკიცის ნაკლებობა
მთავარი სტატია: გამძლეობა სტატისტიკაშიმიუხედავად იმისა, რომ საშუალო არითმეტიკული ხშირად გამოიყენება როგორც საშუალება ან ცენტრალური ტენდენციები, ეს კონცეფცია არ ვრცელდება მყარ სტატისტიკაზე, რაც ნიშნავს, რომ არითმეტიკული საშუალოზე დიდ გავლენას ახდენს "დიდი გადახრები". აღსანიშნავია, რომ დიდი დახრილობის მქონე დისტრიბუციებისთვის, საშუალო არითმეტიკული შეიძლება არ შეესაბამებოდეს "საშუალო" კონცეფციას, ხოლო საშუალო სტატისტიკის მნიშვნელობები (მაგალითად, მედიანა) უკეთესად აღწერს ცენტრალურ ტენდენციას.
კლასიკური მაგალითია საშუალო შემოსავლის გაანგარიშება. საშუალო არითმეტიკული შეიძლება არასწორად იქნას განმარტებული, როგორც მედიანა, რამაც შეიძლება მიგვიყვანოს დასკვნამდე, რომ უფრო მეტი ადამიანია, რომელსაც უფრო მეტი შემოსავალი აქვს, ვიდრე რეალურად არის. „საშუალო“ შემოსავალი ისეა განმარტებული, რომ ადამიანების უმეტესობის შემოსავალი ამ რიცხვთან ახლოსაა. ეს "საშუალო" (საშუალო არითმეტიკული გაგებით) შემოსავალი უფრო მაღალია, ვიდრე ადამიანების უმეტესობის შემოსავალი, რადგან მაღალი შემოსავალი საშუალოდან დიდი გადახრით ხდის საშუალო არითმეტიკის მკვეთრად დახრილობას (განსხვავებით, მედიანური შემოსავალი "წინააღმდეგობს" ასეთი დახრილობა). თუმცა, ეს „საშუალო“ შემოსავალი არაფერს ამბობს მედიანურ შემოსავალთან ახლოს მყოფი ადამიანების რაოდენობაზე (და არაფერს ამბობს მოდალურ შემოსავალთან მახლობლად მყოფი ადამიანების რაოდენობაზე). თუმცა, თუ „საშუალო“ და „უმრავლესობის“ ცნებებს მსუბუქად მივიღებთ, მაშინ შეიძლება არასწორად დავასკვნათ, რომ ადამიანების უმეტესობას უფრო მაღალი შემოსავალი აქვს, ვიდრე რეალურად არის. მაგალითად, მოხსენება მედინაში, ვაშინგტონის "საშუალო" წმინდა შემოსავალზე, რომელიც გამოითვლება რეზიდენტების ყველა წლიური წმინდა შემოსავლის არითმეტიკული საშუალოდ, ბილ გეითსის გამო საოცრად მაღალ რიცხვს მისცემს. განვიხილოთ ნიმუში (1, 2, 2, 2, 3, 9). საშუალო არითმეტიკული არის 3.17, მაგრამ ექვსი მნიშვნელობიდან ხუთი ამ საშუალოზე დაბალია.
Საერთო ინტერესი
მთავარი სტატია: ROIთუ ნომრები გამრავლება, მაგრამ არა ჩამოყაროს, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გეომეტრიული საშუალო და არა საშუალო არითმეტიკული. ყველაზე ხშირად, ეს ინციდენტი ხდება ფინანსებში ინვესტიციის ანაზღაურების გაანგარიშებისას.
მაგალითად, თუ აქციები დაეცა 10%-ით პირველ წელს და გაიზარდა 30%-ით მეორე წელს, მაშინ არასწორია ამ ორი წლის განმავლობაში "საშუალო" ზრდის გამოთვლა საშუალო არითმეტიკულად (−10% + 30%) / 2. = 10%; სწორი საშუალო ამ შემთხვევაში მოცემულია რთული წლიური ზრდის ტემპით, საიდანაც წლიური ზრდა არის მხოლოდ დაახლოებით 8,16653826392% ≈ 8,2%.
ამის მიზეზი ის არის, რომ პროცენტებს ყოველ ჯერზე ახალი საწყისი წერტილი აქვთ: 30% არის 30%. პირველი წლის დასაწყისში ფასზე ნაკლები რიცხვიდან:თუ აქცია $30-დან დაიწყო და 10%-ით დაეცა, მეორე წლის დასაწყისში 27$ ღირს. თუ აქცია გაიზარდა 30%, მეორე წლის ბოლოს ღირს $35.1. ამ ზრდის საშუალო არითმეტიკული მაჩვენებელია 10%, მაგრამ ვინაიდან აქცია მხოლოდ $5.1 გაიზარდა 2 წლის განმავლობაში, საშუალო ზრდა 8.2% იძლევა საბოლოო შედეგს $35.1:
[30$ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. თუ 10%-ის არითმეტიკული საშუალოს ანალოგიურად გამოვიყენებთ, ვერ მივიღებთ რეალურ მნიშვნელობას: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
რთული პროცენტი 2 წლის ბოლოს: 90% * 130% = 117%, ანუ მთლიანი ზრდა 17%, ხოლო საშუალო წლიური ნაერთი პროცენტი არის 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \დაახლოებით 108,2\%), ანუ საშუალო წლიური ზრდა 8,2%.
მიმართულებები
მთავარი სტატია: დანიშნულების სტატისტიკაზოგიერთი ცვლადის არითმეტიკული საშუალოს გამოთვლისას, რომელიც ციკლურად იცვლება (მაგალითად, ფაზა ან კუთხე), განსაკუთრებული სიფრთხილეა საჭირო. მაგალითად, 1° და 359° საშუალო იქნება 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. ეს რიცხვი არასწორია ორი მიზეზის გამო.
- პირველი, კუთხის ზომები განისაზღვრება მხოლოდ 0°-დან 360°-მდე დიაპაზონისთვის (ან 0-დან 2π-მდე რადიანებში გაზომვისას). ამრიგად, რიცხვების ერთი და იგივე წყვილი შეიძლება დაიწეროს როგორც (1° და −1°) ან როგორც (1° და 719°). თითოეული წყვილის საშუალო მაჩვენებლები განსხვავებული იქნება: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- მეორე, ამ შემთხვევაში, 0°-ის (360°-ის ექვივალენტური) მნიშვნელობა იქნება გეომეტრიულად საუკეთესო საშუალო, ვინაიდან რიცხვები 0°-დან ნაკლებად გადახრილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობიდან (0° მნიშვნელობას აქვს ყველაზე მცირე განსხვავება). შეადარეთ:
- რიცხვი 1° გადაიხრება 0°-დან მხოლოდ 1°-ით;
- რიცხვი 1° გამოითვლება გამოთვლილი საშუალოდან 180° 179°-ით.
ციკლური ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით, ხელოვნურად გადაინაცვლებს რეალურ საშუალოსთან შედარებით რიცხვითი დიაპაზონის შუაში. ამის გამო, საშუალო გამოითვლება სხვაგვარად, კერძოდ, საშუალო მნიშვნელობად არჩეულია ყველაზე მცირე დისპერსიის მქონე რიცხვი (ცენტრის წერტილი). ასევე, გამოკლების ნაცვლად, გამოიყენება მოდულის მანძილი (ანუ წრეწირის მანძილი). მაგალითად, მოდულური მანძილი 1°-სა და 359°-ს შორის არის 2° და არა 358° (წრეში 359°-დან 360°==0°-მდე - ერთი გრადუსი, 0°-დან 1°-მდე - ასევე 1°, საერთო ჯამში. - 2 °).
4.3. საშუალო მნიშვნელობები. საშუალოების არსი და მნიშვნელობა
Საშუალო ღირებულებასტატისტიკაში უწოდებენ განზოგადებულ ინდიკატორს, რომელიც ახასიათებს ფენომენის ტიპურ დონეს ადგილისა და დროის კონკრეტულ პირობებში, რომელიც ასახავს ხარისხობრივად ერთგვაროვანი მოსახლეობის ერთეულზე განსხვავებული ატრიბუტის სიდიდეს. ეკონომიკურ პრაქტიკაში გამოიყენება ინდიკატორების ფართო სპექტრი, რომლებიც გამოითვლება საშუალოდ.
მაგალითად, სააქციო საზოგადოებაში (სს) დასაქმებულთა შემოსავლის განზოგადებული მაჩვენებელი არის ერთი მუშაკის საშუალო შემოსავალი, რომელიც განისაზღვრება განსახილველი პერიოდის სახელფასო ფონდისა და სოციალური გადასახადების თანაფარდობით (წელი, კვარტალი, თვე). ) სს-ში დასაქმებულთა რაოდენობაზე.
საშუალოს გამოთვლა ერთ-ერთი გავრცელებული განზოგადების ტექნიკაა; საშუალო მაჩვენებელი ასახავს ზოგადს, რომელიც ტიპიურია (ტიპიური) შესწავლილი პოპულაციის ყველა ერთეულისთვის, ამავდროულად ის უგულებელყოფს განსხვავებებს ცალკეულ ერთეულებს შორის. ყველა ფენომენში და მის განვითარებაში არის კომბინაცია შანსიდა საჭიროება.საშუალოების გაანგარიშებისას, დიდი რიცხვების კანონის მოქმედების გამო, შემთხვევითობა არღვევს ერთმანეთს, აბალანსებს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აბსტრაქტული ფენომენის უმნიშვნელო მახასიათებლებიდან, ატრიბუტის რაოდენობრივი მნიშვნელობებიდან თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში. ინდივიდუალური მნიშვნელობების შემთხვევითობისგან აბსტრაქციის უნარში, რყევები მდგომარეობს საშუალოების სამეცნიერო მნიშვნელობაში, როგორც შემაჯამებელიაგრეგატის მახასიათებლები.
სადაც არის განზოგადების საჭიროება, ასეთი მახასიათებლების გამოთვლა იწვევს ატრიბუტის მრავალი განსხვავებული ინდივიდუალური მნიშვნელობის შეცვლას. საშუალოინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს ფენომენების მთლიანობას, რაც შესაძლებელს ხდის მასობრივი სოციალური ფენომენების თანდაყოლილი შაბლონების იდენტიფიცირებას, ცალკეულ ფენომენებში შეუმჩნეველი.
საშუალო ასახავს შესწავლილი ფენომენების დამახასიათებელ, ტიპურ, რეალურ დონეს, ახასიათებს ამ დონეებს და მათ ცვლილებებს დროსა და სივრცეში.
საშუალო არის პროცესის კანონზომიერების შემაჯამებელი მახასიათებელი იმ პირობებში, რომელშიც ის მიმდინარეობს.
4.4. საშუალოების ტიპები და მათი გამოთვლის მეთოდები
საშუალო ტიპის არჩევანი განისაზღვრება გარკვეული ინდიკატორის ეკონომიკური შინაარსითა და საწყისი მონაცემებით. თითოეულ შემთხვევაში გამოიყენება ერთ-ერთი საშუალო მნიშვნელობა: არითმეტიკა, გარმონიკური, გეომეტრიული, კვადრატული, კუბურიდა ა.შ. ჩამოთვლილი საშუალოები ეკუთვნის კლასს ძალასაშუალო.
გარდა ძალაუფლების კანონის საშუალო მაჩვენებლებისა, სტატისტიკურ პრაქტიკაში გამოიყენება სტრუქტურული საშუალო მაჩვენებლები, რომლებიც განიხილება რეჟიმად და მედიანად.
მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ენერგიის საშუალებებზე.
Საშუალო არითმეტიკული
საშუალო ყველაზე გავრცელებული ტიპია საშუალო არითმეტიკა.იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ცვლადი ატრიბუტის მოცულობა მთელი მოსახლეობისთვის არის მისი ცალკეული ერთეულების ატრიბუტების მნიშვნელობების ჯამი. სოციალურ ფენომენებს ახასიათებს ცვალებადი ატრიბუტის მოცულობების დანამატობა (ჯამობა), ეს განსაზღვრავს საშუალო არითმეტიკის ფარგლებს და ხსნის მის გავრცელებას, როგორც განზოგადებულ ინდიკატორს, მაგალითად: მთლიანი სახელფასო ფონდი არის ყველა ხელფასის ჯამი. მუშები, მთლიანი მოსავალი არის წარმოებული პროდუქციის ჯამი მთელი სათესი ფართობიდან.
საშუალო არითმეტიკის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაყოთ ყველა მახასიათებლის მნიშვნელობის ჯამი მათი რიცხვით.
არითმეტიკული საშუალო გამოიყენება ფორმაში მარტივი საშუალო და შეწონილი საშუალო.მარტივი საშუალო ემსახურება როგორც საწყისი, განმსაზღვრელი ფორმა.
მარტივი არითმეტიკული საშუალოუდრის საშუალო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების მარტივ ჯამს, გაყოფილი ამ მნიშვნელობების საერთო რაოდენობაზე (იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს მახასიათებლის დაუჯგუფებელი ინდივიდუალური მნიშვნელობები):
სადაც 
- ცვლადის ინდივიდუალური მნიშვნელობები (ოფციები); მ
- მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა.
ფორმულებში შეჯამების შემდგომი ლიმიტები არ იქნება მითითებული. მაგალითად, საჭიროა ერთი მუშის (მბრძანებლის) საშუალო გამომუშავების პოვნა, თუ ცნობილია 15 მუშადან თითოეულმა რამდენი ნაწილი გამოუშვა, ე.ი. მოცემული ნიშან-თვისების რიგი ინდივიდუალური მნიშვნელობების, ც.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
მარტივი არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება ფორმულით (4.1), 1 ც.:
ვარიანტების საშუალოს, რომლებიც განსხვავებულად მეორდება, ან ამბობენ, რომ განსხვავებული წონა აქვთ, ეწოდება შეწონილი.წონები არის ერთეულების რაოდენობა მოსახლეობის სხვადასხვა ჯგუფში (ჯგუფი აერთიანებს ერთსა და იმავე ვარიანტებს).
საშუალო შეწონილი არითმეტიკული- საშუალო დაჯგუფებული მნიშვნელობები, - გამოითვლება ფორმულით:
, (4.2)
სადაც 
- წონა (იგივე მახასიათებლების გამეორების სიხშირე);
-
თვისებების სიდიდის ნამრავლების ჯამი მათი სიხშირეების მიხედვით;
-
მოსახლეობის ერთეულების საერთო რაოდენობა.
ჩვენ განვიხილავთ არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს გამოთვლის ტექნიკას ზემოთ განხილული მაგალითის გამოყენებით. ამისათვის ვაჯგუფებთ საწყის მონაცემებს და ვათავსებთ ცხრილში. 4.1.
ცხრილი 4.1
მუშების განაწილება ნაწილების განვითარებისთვის
ფორმულის მიხედვით (4.2), არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ტოლია, ცალი:
ზოგიერთ შემთხვევაში, წონა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს არა აბსოლუტური მნიშვნელობებით, არამედ ფარდობითი მნიშვნელობებით (ერთეულის პროცენტებში ან წილადებში). შემდეგ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულა ასე გამოიყურება:
სადაც 
- კონკრეტულად, ე.ი. თითოეული სიხშირის წილი საერთო ჯამში
თუ სიხშირეები დათვლილია წილადებში (კოეფიციენტებში), მაშინ 
= 1 და არითმეტიკურად შეწონილი საშუალო ფორმულა არის:
არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს გამოთვლა ჯგუფის საშუალოებიდან 
ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:
,
სადაც ვ- ერთეულების რაოდენობა თითოეულ ჯგუფში.
ჯგუფური საშუალებების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის შედეგები მოცემულია ცხრილში. 4.2.
ცხრილი 4.2
მუშაკთა განაწილება საშუალო სტაჟის მიხედვით
ამ მაგალითში, ვარიანტები არ არის ინდივიდუალური მონაცემები ცალკეული მუშაკების მომსახურების ხანგრძლივობის შესახებ, არამედ საშუალო თითოეული სახელოსნოსათვის. სასწორები ვარის მაღაზიებში დასაქმებულთა რაოდენობა. მაშასადამე, საწარმოში დასაქმებულთა საშუალო სამუშაო გამოცდილება იქნება წლები:
.
საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა განაწილების სერიაში
თუ საშუალოდ ატრიბუტის მნიშვნელობები მოცემულია ინტერვალებად ("-დან --მდე"), ე.ი. ინტერვალის განაწილების სერიები, შემდეგ საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გაანგარიშებისას, ამ ინტერვალების შუა წერტილები მიიღება ჯგუფებში მახასიათებლების მნიშვნელობებად, რის შედეგადაც იქმნება დისკრეტული სერია. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი (ცხრილი 4.3).
მოდით გადავიდეთ ინტერვალის სერიიდან დისკრეტულზე, ინტერვალის მნიშვნელობების მათი საშუალო მნიშვნელობებით ჩანაცვლებით / (მარტივი საშუალო
ცხრილი 4.3
AO მუშაკების განაწილება ყოველთვიური ხელფასის დონის მიხედვით
|
მუშათა ჯგუფები ამისთვის |
მუშათა რაოდენობა |
შუა შუალედი |
|
|
ხელფასი, რუბლს შეადგენს. |
პერს., ვ |
რუბლს შეადგენს, X |
|
|
900 და მეტი |
|||
ღია ინტერვალების მნიშვნელობები (პირველი და ბოლო) პირობითად უტოლდება მათ მიმდებარე ინტერვალებს (მეორე და წინაბოლო).
საშუალოს ასეთი გაანგარიშებით, დაშვებულია გარკვეული უზუსტობა, რადგან კეთდება ვარაუდი ჯგუფში ატრიბუტის ერთეულების ერთგვაროვანი განაწილების შესახებ. თუმცა, შეცდომა იქნება უფრო მცირე, ვიწრო ინტერვალი და მეტი ერთეული ინტერვალში.
ინტერვალების შუა წერტილების აღმოჩენის შემდეგ, გამოთვლები კეთდება ისე, როგორც დისკრეტულ სერიაში - ოფციები მრავლდება სიხშირეებზე (წონით) და პროდუქციის ჯამი იყოფა სიხშირეების (წონით) ჯამზე. ათასი რუბლი:
.
ასე რომ, სს-ში მუშაკთა ანაზღაურების საშუალო დონეა 729 რუბლი. თვეში.
არითმეტიკული საშუალოს გამოთვლა ხშირად დაკავშირებულია დროისა და შრომის დიდ ხარჯებთან. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, საშუალო გამოთვლის პროცედურა შეიძლება გამარტივდეს და გაადვილდეს მისი თვისებების გამოყენებით. წარმოვადგინოთ (დამტკიცების გარეშე) არითმეტიკული საშუალოს რამდენიმე ძირითადი თვისება.
საკუთრება 1. თუ ყველა ინდივიდუალური მახასიათებელი მნიშვნელობა (ე.ი. ყველა ვარიანტი) შემცირება ან გაზრდა მეჯერ, შემდეგ საშუალო მნიშვნელობა ახალი ფუნქციის შესაბამისად შემცირდება ან გაიზრდება მეერთხელ.
საკუთრება 2. თუ შემცირებულია საშუალო მახასიათებლის ყველა ვარიანტიშეკერეთ ან გაზარდეთ A რიცხვით, შემდეგ საშუალო არითმეტიკითმნიშვნელოვნად შემცირდება ან იზრდება იგივე რიცხვი A.
საკუთრება 3. თუ ყველა საშუალო ვარიანტის წონა შემცირდება ან გაზრდამდე რომ ჯერ არითმეტიკული საშუალო არ შეიცვლება.
როგორც საშუალო წონა, აბსოლუტური მაჩვენებლების ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კონკრეტული წონები მთლიან ჯამში (წილები ან პროცენტები). ეს ამარტივებს საშუალოს გამოთვლას.
საშუალოს გამოთვლების გასამარტივებლად, ისინი მიჰყვებიან ვარიანტების და სიხშირეების მნიშვნელობების შემცირების გზას. უდიდესი გამარტივება მიიღწევა როცა მაგრამყველაზე მაღალი სიხშირის მქონე ერთ-ერთი ცენტრალური ვარიანტის მნიშვნელობა არჩეულია, როგორც / - ინტერვალის მნიშვნელობა (იგივე ინტერვალებით მწკრივებისთვის). L-ის მნიშვნელობას ეწოდება საწყისი, ამიტომ საშუალო გამოთვლის ამ მეთოდს ეწოდება "პირობითი ნულიდან დათვლის მეთოდი" ან "მომენტების მეთოდი".
დავუშვათ, რომ ყველა ვარიანტი Xჯერ შემცირდა იგივე რიცხვით A და შემდეგ შემცირდა მეერთხელ. ჩვენ ვიღებთ ახალი ვარიანტების ვარიაციის განაწილების სერიას 
.
მერე ახალი პარამეტრებიგამოხატული იქნება:
,
და მათი ახალი არითმეტიკული საშუალო 
, -პირველი შეკვეთის მომენტი- ფორმულა:
.
იგი უდრის ორიგინალური ვარიანტების საშუალოს, ჯერ შემცირებული მაგრამ,და შემდეგ შიგნით მეერთხელ.
რეალური საშუალოს მისაღებად საჭიროა პირველი რიგის მომენტი მ 1 , გავამრავლოთ მედა დაამატეთ მაგრამ:
.
ვარიაციული სერიებიდან საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ამ მეთოდს ე.წ "მომენტების მეთოდი".ეს მეთოდი გამოიყენება რიგებში თანაბარი ინტერვალებით.
საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა მომენტების მეთოდით ილუსტრირებულია ცხრილში მოცემული მონაცემებით. 4.4.
ცხრილი 4.4
მცირე საწარმოების განაწილება რეგიონში ძირითადი საწარმოო საშუალებების (OPF) ღირებულებით 2000 წ.
|
საწარმოთა ჯგუფები OPF ღირებულებით, ათასი რუბლი |
საწარმოთა რაოდენობა ვ |
შუა ინტერვალები, x |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
პირველი შეკვეთის მომენტის პოვნა
.
შემდეგ, ვივარაუდოთ A = 19 და იცოდეთ ეს მე= 2, გამოთვალეთ X,ათასი მანეთი.:
საშუალო მნიშვნელობების ტიპები და მათი გაანგარიშების მეთოდები
სტატისტიკური დამუშავების სტადიაზე შეიძლება დაისვას სხვადასხვა კვლევითი ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტისთვის საჭიროა შესაბამისი საშუალოს შერჩევა. ამ შემთხვევაში, აუცილებელია იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით: მნიშვნელობები, რომლებიც წარმოადგენს საშუალო მრიცხველს და მნიშვნელს, ლოგიკურად უნდა იყოს დაკავშირებული ერთმანეთთან.
- სიმძლავრის საშუალო;
- სტრუქტურული საშუალო.
მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:
მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო;
საშუალო, სადაც ზემოთ მოცემული სტრიქონი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება;
სიხშირე (ინდივიდუალური ნიშან-თვისებების მნიშვნელობების განმეორებადობა).
სხვადასხვა საშუალებები მიღებულია ზოგადი სიმძლავრის საშუალო ფორმულიდან:
(5.1)
k = 1-ისთვის - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = -2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.
საშუალოები არის მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოებისიდიდეებს უწოდებენ, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტის მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები და, შესაბამისად, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „წონები“ არის მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "წონით" ხდება მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონით.
Საშუალო არითმეტიკული- ყველაზე გავრცელებული ტიპის საშუალო. იგი გამოიყენება, როდესაც გაანგარიშება ხორციელდება დაუჯგუფებელ სტატისტიკურ მონაცემებზე, სადაც გსურთ მიიღოთ საშუალო ჯამი. საშუალო არითმეტიკული არის მახასიათებლის ისეთი საშუალო მნიშვნელობა, რომლის მიღების შემდეგ მახასიათებლის მთლიანი მოცულობა პოპულაციაში უცვლელი რჩება.
საშუალო არითმეტიკული ფორმულა ( მარტივი) აქვს ფორმა
სადაც n არის მოსახლეობის ზომა.
მაგალითად, საწარმოს თანამშრომლების საშუალო ხელფასი გამოითვლება როგორც საშუალო არითმეტიკული:
აქ განმსაზღვრელი ინდიკატორებია თითოეული თანამშრომლის ხელფასი და საწარმოში დასაქმებულთა რაოდენობა. საშუალო გაანგარიშებისას, ხელფასის მთლიანი ოდენობა იგივე დარჩა, მაგრამ განაწილდა, როგორც ეს, თანაბრად ყველა მუშაკს შორის. მაგალითად, აუცილებელია გამოვთვალოთ მცირე კომპანიის თანამშრომლების საშუალო ხელფასი, სადაც 8 ადამიანია დასაქმებული:
საშუალოების გაანგარიშებისას, საშუალოდ შეფასებული ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შეიძლება განმეორდეს, ამიტომ საშუალო გამოითვლება დაჯგუფებული მონაცემების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ გამოყენებაზე საშუალო შეწონილი არითმეტიკული, რომელიც ჰგავს
(5.3)
ასე რომ, საფონდო ბირჟაზე უნდა გამოვთვალოთ სააქციო საზოგადოების აქციების საშუალო ფასი. ცნობილია, რომ ტრანზაქცია განხორციელდა 5 დღის ვადაში (5 ტრანზაქცია), გაყიდული აქციების რაოდენობა გაყიდული კურსით ასე გადანაწილდა:
1 - 800 აკ. - 1010 რუბლი
2 - 650 აკ. - 990 რუბლი.
3 - 700 აკ. - 1015 რუბლი.
4 - 550 აკ. - 900 რუბლი.
5 - 850 წ. - 1150 რუბლი.
აქციების საშუალო ფასის განსაზღვრის საწყისი თანაფარდობა არის ტრანზაქციის მთლიანი თანხის (OSS) თანაფარდობა გაყიდული აქციების რაოდენობასთან (KPA).
ყველაზე მეტად ეკვ. პრაქტიკაში უნდა გამოვიყენოთ საშუალო არითმეტიკული, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს როგორც მარტივი და შეწონილი არითმეტიკული საშუალო.
საშუალო არითმეტიკული (CA)-ნყველაზე გავრცელებული ტიპის საშუალო. იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ცვლადი ატრიბუტის მოცულობა მთელი მოსახლეობისთვის არის მისი ცალკეული ერთეულების ატრიბუტების მნიშვნელობების ჯამი. სოციალურ ფენომენებს ახასიათებს ცვალებადი ატრიბუტის მოცულობების დამატება (ჯამობა), ეს განსაზღვრავს SA-ს ფარგლებს და ხსნის მის გავრცელებას, როგორც განზოგადებულ ინდიკატორს. მაგალითად: საერთო სახელფასო ფონდი არის ყველა დასაქმებულის ხელფასის ჯამი.
SA-ს გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაყოთ ყველა მახასიათებლის მნიშვნელობის ჯამი მათი რიცხვით. SA გამოიყენება 2 ფორმით.
ჯერ განვიხილოთ მარტივი არითმეტიკული საშუალო.
1-CA მარტივი (საწყისი, განმსაზღვრელი ფორმა) უდრის საშუალო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების მარტივ ჯამს, გაყოფილი ამ მნიშვნელობების მთლიან რაოდენობაზე (გამოიყენება, როდესაც არსებობს მახასიათებლის დაუჯგუფებელი ინდექსის მნიშვნელობები):
მიღებული გამოთვლები შეიძლება შეჯამდეს შემდეგ ფორმულაში:
(1)
სადაც 
- ცვლადის ატრიბუტის საშუალო მნიშვნელობა, ანუ მარტივი არითმეტიკული საშუალო;
ნიშნავს შეჯამებას, ანუ ცალკეული ნიშნების დამატებას;
x- ცვლადის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, რომლებსაც უწოდებენ ვარიანტებს;
ნ - მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა
მაგალითი 1,საჭიროა ერთი მუშის (მბრძანებლის) საშუალო გამომუშავების პოვნა, თუ ცნობილია 15 მუშადან თითოეულმა რამდენი ნაწილი გამოუშვა, ე.ი. მოცემული რაოდენობის ინდ. თვისების მნიშვნელობები, ც.: 21; 20; 20; ცხრამეტი; 21; ცხრამეტი; თვრამეტი; 22; ცხრამეტი; 20; 21; 20; თვრამეტი; ცხრამეტი; 20.
SA მარტივი გამოითვლება ფორმულით (1), ც.:
მაგალითი 2. მოდით გამოვთვალოთ SA პირობითი მონაცემების საფუძველზე 20 მაღაზიისთვის, რომლებიც შედიან სავაჭრო კომპანიის შემადგენლობაში (ცხრილი 1). ცხრილი 1
სავაჭრო კომპანია „ვესნას“ მაღაზიების განაწილება სავაჭრო ფართის მიხედვით, კვ. მ
|
მაღაზიის ნომერი |
მაღაზიის ნომერი | ||
მაღაზიის საშუალო ფართობის გამოსათვლელად ( 
) აუცილებელია ყველა მაღაზიის ფართობის შეკრება და შედეგის გაყოფა მაღაზიების რაოდენობაზე:
ამრიგად, სავაჭრო საწარმოების ამ ჯგუფის საშუალო სათავსო ფართი 71 კვ.მ.
ამიტომ, იმისათვის, რომ დადგინდეს SA მარტივია, აუცილებელია მოცემული ატრიბუტის ყველა მნიშვნელობის ჯამი გავყოთ იმ ერთეულების რაოდენობაზე, რომლებსაც აქვთ ეს ატრიბუტი.
2
სადაც ვ 1
,
ვ 2
,
… ,ვ ნ
–
წონა (იგივე მახასიათებლების გამეორების სიხშირე); არის თვისებების სიდიდისა და მათი სიხშირეების ნამრავლების ჯამი; არის მოსახლეობის ერთეულების საერთო რაოდენობა.
(2)
სად X- პარამეტრები;
ვ- სიხშირე (წონა).
SA შეწონილი არის ვარიანტებისა და მათი შესაბამისი სიხშირეების ნამრავლების ჯამის გაყოფის ყველა სიხშირეების ჯამზე. სიხშირეები ( ვ) SA ფორმულაში გამოჩენილ ჩვეულებრივ უწოდებენ სასწორები, რის შედეგადაც წონების გათვალისწინებით გამოთვლილ SA-ს ეწოდება შეწონილი SA.
ჩვენ ილუსტრირებთ შეწონილი SA-ის გამოთვლის ტექნიკას ზემოთ განხილული მაგალითი 1. ამისათვის ვაჯგუფებთ საწყის მონაცემებს და ვათავსებთ ცხრილში.
დაჯგუფებული მონაცემების საშუალო მაჩვენებელი განისაზღვრება შემდეგნაირად: ჯერ ოფციონები მრავლდება სიხშირეებზე, შემდეგ ემატება პროდუქცია და მიღებული ჯამი იყოფა სიხშირეების ჯამზე.
ფორმულის მიხედვით (2), შეწონილი SA არის ც.: 
პ
ვესნას მაღაზიების განაწილება საცალო ფართის მიხედვით, კვ. მ
ამრიგად, შედეგი იგივეა. თუმცა, ეს უკვე იქნება არითმეტიკული შეწონილი საშუალო.
წინა მაგალითში ჩვენ გამოვთვალეთ საშუალო არითმეტიკული, იმ პირობით, რომ აბსოლუტური სიხშირეები (საწყობების რაოდენობა) ცნობილია. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში არ არსებობს აბსოლუტური სიხშირეები, მაგრამ ფარდობითი სიხშირეები ცნობილია, ან, როგორც მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ, სიხშირეები, რომლებიც აჩვენებენ პროპორციას ანსიხშირეების პროპორცია მთელ პოპულაციაში.
SA შეწონილი გამოყენების გაანგარიშებისას სიხშირეებისაშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები, როდესაც სიხშირე გამოიხატება დიდი, მრავალნიშნა რიცხვებით. გაანგარიშება ხდება ანალოგიურად, თუმცა, რადგან საშუალო მნიშვნელობა 100-ჯერ გაიზარდა, შედეგი უნდა გაიყოს 100-ზე.
შემდეგ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულა ასე გამოიყურება:
სადაც დ- სიხშირე, ე.ი. თითოეული სიხშირის წილი ყველა სიხშირის ჯამში.
(3)ჩვენს მაგალით 2-ში პირველ რიგში განვსაზღვრავთ მაღაზიების წილს ჯგუფების მიხედვით კომპანია „გაზაფხულის“ მაღაზიების მთლიან რაოდენობაში. ასე რომ, პირველი ჯგუფისთვის სპეციფიკური სიმძიმე შეესაბამება 10% -ს. 
. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მონაცემებს ცხრილი3
