როგორ მოვძებნოთ წერტილი სიმეტრიული წრფის მიმართ. უმარტივესი პრობლემები სიბრტყეზე სწორი ხაზით

პრობლემის ფორმულირება. იპოვნეთ წერტილის სიმეტრიული წერტილის კოორდინატები თვითმფრინავთან შედარებით.

გადაწყვეტის გეგმა.

1. ვპოულობთ სწორი წრფის განტოლებას, რომელიც პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეზე და გადის წერტილს. . ვინაიდან წრფე არის მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ სიბრტყის ნორმის ვექტორი შეიძლება მივიღოთ მისი მიმართულების ვექტორად, ე.ი.

ამრიგად, სწორი ხაზის განტოლება იქნება

2. იპოვე წერტილი ხაზის კვეთა და თვითმფრინავები (იხ. ამოცანა 13).

3. წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი, სადაც წერტილი არის წერტილის სიმეტრიული წერტილი , Ამიტომაც

დავალება 14. იპოვეთ სიმეტრიული წერტილი სიბრტყის მიმართ.

სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ წერტილში იქნება:

იპოვეთ წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი.

სად - წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი, შესაბამისად

იმათ. .

ჰომოგენური სიბრტყის კოორდინატები. აფინური ტრანსფორმაციები თვითმფრინავში.

დაე იყოს მ Xდა ზე

მ(X, ზემე (X, ზე, 1) სივრცეში (სურ. 8).

მე (X, ზე

მე (X, ზე ჰუ.

(hx, hy, h), h  0,

კომენტარი

თ(Მაგალითად, თ

მართლაც, იმის გათვალისწინებით თ

კომენტარი

მაგალითი 1

ბ) კუთხეში (ნახ. 9).

1 ნაბიჯი.

მე-2 ნაბიჯი.კუთხის ბრუნვა 

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მე-3 ნაბიჯი.გადატანა ვექტორზე A(a, ბ)

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მაგალითი 3

 x-ღერძის გასწვრივ და

1 ნაბიჯი.

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მე-2 ნაბიჯი.

მე-3 ნაბიჯი.

საბოლოოდ მიიღეთ

კომენტარი

[R], [D], [M], [T],

დაე იყოს მ- თვითმფრინავის თვითნებური წერტილი კოორდინატებით Xდა ზეგამოითვლება მოცემული სწორხაზოვანი კოორდინატთა სისტემის მიმართ. ამ წერტილის ერთგვაროვანი კოორდინატები არის x 1, x 2, x 3 ერთდროულად არანულოვანი რიცხვების ნებისმიერი სამეული, რომელიც დაკავშირებულია მოცემულ x და y რიცხვებთან შემდეგი მიმართებით:

კომპიუტერული გრაფიკის ამოცანების ამოხსნისას, ერთგვაროვანი კოორდინატები ჩვეულებრივ შემოდის შემდეგნაირად: თვითნებური წერტილი მ(X, ზე) თვითმფრინავს ენიჭება წერტილი მე (X, ზე, 1) სივრცეში (სურ. 8).

გაითვალისწინეთ, რომ საწყისი წერტილის დამაკავშირებელი ხაზის თვითნებური წერტილი, წერტილი 0(0, 0, 0) წერტილით მე (X, ზე, 1) შეიძლება მიცემული იყოს ფორმის რიცხვების სამმაგით (hx, hy, h).

ვექტორი hx, hy კოორდინატებით არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი, რომელიც აკავშირებს წერტილებს 0 (0, 0, 0) და მე (X, ზე, ერთი). ეს ხაზი კვეთს z = 1 სიბრტყეს წერტილში (x, y, 1), რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს კოორდინატთა სიბრტყის წერტილს (x, y). ჰუ.

ამგვარად, თვითნებურ წერტილს შორის კოორდინატებით (x, y) და ფორმის რიცხვების სამმაგთა სიმრავლეს შორის

(hx, hy, h), h  0,

იქმნება (ერთი-ერთ) შესაბამისობა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ამ წერტილის ახალ კოორდინატებად მივიჩნიოთ რიცხვები hx, hy, h.

კომენტარი

საპროექტო გეომეტრიაში ფართოდ გამოყენებული ჰომოგენური კოორდინატები შესაძლებელს ხდის ეგრეთ წოდებული არასათანადო ელემენტების ეფექტურად აღწერას (არსებითად ის, რომლებშიც საპროექტო სიბრტყე განსხვავდება ჩვენთვის ნაცნობი ევკლიდური სიბრტყისგან). დანერგილი ერთგვაროვანი კოორდინატებით მოწოდებული ახალი ფუნქციების შესახებ მეტი დეტალები განხილულია ამ თავის მეოთხე ნაწილში.

პროექციულ გეომეტრიაში, ერთგვაროვანი კოორდინატებისთვის, მიღებულია შემდეგი აღნიშვნა:

x: y: 1, ან, ზოგადად, x 1: x 2: x 3

(შეგახსენებთ, რომ აქ აბსოლუტურად აუცილებელია, რომ რიცხვები x 1, x 2, x 3 ერთდროულად არ გაქრეს).

ერთგვაროვანი კოორდინატების გამოყენება მოსახერხებელი აღმოჩნდება უმარტივესი პრობლემების გადაჭრისასაც კი.

განვიხილოთ, მაგალითად, სკალირებასთან დაკავშირებული საკითხები. თუ ჩვენების მოწყობილობა მუშაობს მხოლოდ მთელი რიცხვებით (ან თუ საჭიროა მხოლოდ მთელი რიცხვებით მუშაობა), მაშინ თვითნებური მნიშვნელობისთვის თ(Მაგალითად, თ= 1) წერტილი ერთგვაროვანი კოორდინატებით

წარმოდგენაც შეუძლებელია. თუმცა, h-ის გონივრული არჩევანით, შესაძლებელია იმის უზრუნველყოფა, რომ ამ წერტილის კოორდინატები მთელი რიცხვებია. კერძოდ, h = 10-ისთვის, განსახილველი მაგალითისთვის, გვაქვს

განვიხილოთ სხვა შემთხვევა. იმისათვის, რომ ტრანსფორმაციის შედეგებმა არ გამოიწვიოს არითმეტიკული გადინება, კოორდინატების მქონე წერტილისთვის (80000 40000 1000) შეგიძლიათ აიღოთ, მაგალითად, h=0.001. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ (80 40 1).

მოყვანილი მაგალითები აჩვენებს გამოთვლებში ერთგვაროვანი კოორდინატების გამოყენების სარგებლობას. ამასთან, კომპიუტერულ გრაფიკაში ერთგვაროვანი კოორდინატების დანერგვის მთავარი მიზანი არის მათი უდავო მოხერხებულობა გეომეტრიულ გარდაქმნებზე გამოყენებისას.

ჰომოგენური კოორდინატების სამმაგი და მესამე რიგის მატრიცების დახმარებით შეიძლება აღწერილი იყოს სიბრტყის ნებისმიერი აფინური ტრანსფორმაცია.

მართლაც, იმის გათვალისწინებით თ= 1, შეადარეთ ორი ჩანაწერი: მონიშნულია * და შემდეგი, მატრიცით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო მიმართების მარჯვენა მხარეს გამოსახულებების გამრავლების შემდეგ მივიღებთ ორივე ფორმულას (*) და სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 1=1.

კომენტარი

ზოგჯერ ლიტერატურაში გამოიყენება სხვა აღნიშვნა - აღნიშვნა სვეტების მიხედვით:

ეს აღნიშვნა ექვივალენტურია ზემოთ მოცემული ხაზის აღნიშვნისა (და მისგან მიღებულია ტრანსპოზიციით).

აფინური ტრანსფორმაციის თვითნებური მატრიცის ელემენტებს არ აქვთ გამოკვეთილი გეომეტრიული მნიშვნელობა. ამიტომ, კონკრეტული რუკების განსახორციელებლად, ანუ შესაბამისი მატრიცის ელემენტების მოძიება მოცემული გეომეტრიული აღწერილობის მიხედვით, საჭიროა სპეციალური ტექნიკა. ჩვეულებრივ, ამ მატრიცის აგება, განსახილველი პრობლემის სირთულისა და ზემოთ აღწერილი კონკრეტული შემთხვევების შესაბამისად, იყოფა რამდენიმე ეტაპად.

თითოეულ ეტაპზე იძებნება მატრიცა, რომელიც შეესაბამება ამა თუ იმ ზემოხსენებულ შემთხვევებს A, B, C ან D, რომლებსაც აქვთ კარგად განსაზღვრული გეომეტრიული თვისებები.

დავწეროთ მესამე რიგის შესაბამისი მატრიცები.

ა. ბრუნვის მატრიცა, (როტაცია)

B. დილატაციური მატრიცა

B. ასახვის მატრიცა

დ. გადაცემის მატრიცა (თარგმანი)

განვიხილოთ სიბრტყის აფინური გარდაქმნების მაგალითები.

მაგალითი 1

შექმენით ბრუნვის მატრიცა A წერტილის გარშემო (a,ბ) კუთხეში (ნახ. 9).

1 ნაბიჯი.გადატანა ვექტორზე - A (-a, -b) ბრუნვის ცენტრის დასაწყისთან გასასწორებლად;

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მე-2 ნაბიჯი.კუთხის ბრუნვა 

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მე-3 ნაბიჯი.გადატანა ვექტორზე A(a, ბ)ბრუნვის ცენტრის წინა პოზიციაზე დაბრუნება;

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

ჩვენ ვამრავლებთ მატრიცებს იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ისინი იწერება:

შედეგად, მივიღებთ, რომ სასურველი ტრანსფორმაცია (მატრიცის აღნიშვნით) ასე გამოიყურება:

შედეგად მიღებული მატრიცის ელემენტები (განსაკუთრებით ბოლო რიგში) ადვილი დასამახსოვრებელი არ არის. ამავდროულად, სამი გამრავლებული მატრიციდან თითოეული ადვილად შეიძლება აშენდეს შესაბამისი რუკების გეომეტრიული აღწერილობიდან.

მაგალითი 3

შექმენით გაჭიმვის მატრიცა გაჭიმვის ფაქტორებით x-ღერძის გასწვრივ და y-ღერძის გასწვრივ და ცენტრით A(a, b) წერტილში.

1 ნაბიჯი.გადატანა ვექტორზე -А(-а, -b) გაჭიმვის ცენტრის დასაწყისთან შესატყვისად;

შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

მე-2 ნაბიჯი.კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ გაჭიმვა კოეფიციენტებით  და  შესაბამისად; ტრანსფორმაციის მატრიცას აქვს ფორმა

მე-3 ნაბიჯი.გადაიტანეთ A(a,b) ვექტორზე გაჭიმვის ცენტრის წინა პოზიციაზე დასაბრუნებლად; შესაბამისი ტრანსფორმაციის მატრიცაა

გაამრავლეთ მატრიცები იმავე თანმიმდევრობით

საბოლოოდ მიიღეთ

კომენტარი

მსგავსი გზით კამათი, ანუ შემოთავაზებული ტრანსფორმაციის დაშლა მატრიცებით მხარდაჭერილ ეტაპებად[R], [D], [M], [T], ნებისმიერი აფინური ტრანსფორმაციის მატრიცა შეიძლება ავაშენოთ მისი გეომეტრიული აღწერილობიდან.

Shift ხორციელდება მიმატებით, ხოლო მასშტაბირება და ბრუნვა გამრავლებით.

მასშტაბის ტრანსფორმაცია (დილაცია) წარმოშობასთან შედარებით აქვს ფორმა:

ან მატრიცის სახით:

სადაც დx,დწარის სკალირების ფაქტორები ღერძების გასწვრივ და

- სკალირების მატრიცა.

D > 1-ისთვის ხდება გაფართოება, 0-ისთვის<=D<1- сжатие

როტაცია ტრანსფორმაცია წარმოშობასთან შედარებით აქვს ფორმა:

ან მატრიცის სახით:

სადაც φ არის ბრუნვის კუთხე და

- ბრუნვის მატრიცა.

კომენტარი:ბრუნვის მატრიცის სვეტები და რიგები ორთოგონალური ერთეული ვექტორებია. მართლაც, მწკრივის ვექტორების სიგრძის კვადრატები ერთის ტოლია:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 და (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

ხოლო მწკრივის ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

ვინაიდან ვექტორების სკალარული ნამრავლი ა · ბ = |ა| ·| ბ| ·cosψ, სადაც | ა| - ვექტორის სიგრძე ა, |ბ| - ვექტორის სიგრძე ბ, და ψ არის მათ შორის ყველაზე პატარა დადებითი კუთხე, შემდეგ 1 სიგრძის ორი რიგის ვექტორების სკალარული ნამრავლის 0-დან გამომდინარეობს, რომ მათ შორის კუთხე არის 90 °.

Oh-oh-oh-oh-oh ... კარგი, ეს თინაა, თითქოს შენთვის წაიკითხე წინადადება =) თუმცა, მაშინ დასვენება დაგეხმარებათ, მით უმეტეს, რომ დღეს ვიყიდე შესაფერისი აქსესუარები. ამიტომ, მოდით გადავიდეთ პირველ ნაწილზე, იმედი მაქვს, სტატიის ბოლომდე შევინარჩუნებ ხალისიან განწყობას.

ორი სწორი ხაზის ურთიერთგანლაგება

შემთხვევა, როცა დარბაზი გუნდში მღერის. ორი ხაზი შეიძლება:

1) მატჩი;

2) იყოს პარალელური: ;

3) ან იკვეთება ერთ წერტილზე: .

დახმარება დუიმებისთვის : გთხოვთ დაიმახსოვროთ კვეთის მათემატიკური ნიშანი, ის ძალიან ხშირად მოხდება. ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ხაზი კვეთს ხაზს წერტილში.

როგორ განვსაზღვროთ ორი ხაზის შედარებითი პოზიცია?

დავიწყოთ პირველი შემთხვევით:

ორი წრფე ემთხვევა თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულია, ანუ არის ისეთი რიცხვი „ლამბდა“ რომ ტოლები

განვიხილოთ სწორი ხაზები და შევადგინოთ სამი განტოლება შესაბამისი კოეფიციენტებიდან: . თითოეული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ, შესაბამისად, ეს ხაზები ემთხვევა.

მართლაც, თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გავამრავლოთ -1-ზე (ცვლის ნიშნები) და განტოლების ყველა კოეფიციენტი შეამცირეთ 2-ით, მიიღებთ იგივე განტოლებას: .

მეორე შემთხვევა, როდესაც ხაზები პარალელურია:

ორი წრფე პარალელურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოეფიციენტები ცვლადებში პროპორციულია: , მაგრამ.

მაგალითად, განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი. ჩვენ ვამოწმებთ შესაბამისი კოეფიციენტების პროპორციულობას ცვლადებისთვის:

თუმცა, ცხადია, რომ.

და მესამე შემთხვევა, როდესაც ხაზები იკვეთება:

ორი წრფე იკვეთება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ცვლადების მათი კოეფიციენტები პროპორციული არ არის, ანუ არ არსებობს "ლამბდას" ისეთი მნიშვნელობა, რომ ტოლობები შესრულდეს

ასე რომ, სწორი ხაზებისთვის ჩვენ შევქმნით სისტემას:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , ხოლო მეორე განტოლებიდან: , მაშასადამე, სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ცვლადებში კოეფიციენტები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ხაზები იკვეთება

პრაქტიკულ პრობლემებში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ახლად განხილული გადაწყვეტის სქემა. სხვათა შორის, ის ძალიან ჰგავს ვექტორების კოლინარობის შემოწმების ალგორითმს, რომელიც განვიხილეთ გაკვეთილზე. ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულების ცნება. ვექტორული საფუძველი. მაგრამ არსებობს უფრო ცივილიზებული პაკეტი:

მაგალითი 1

გაარკვიეთ ხაზების შედარებითი პოზიცია:

გადაწყვეტილებასწორი ხაზების მიმართული ვექტორების შესწავლის საფუძველზე:

ა) განტოლებიდან ვპოულობთ წრფეების მიმართულების ვექტორებს: .

, ასე რომ, ვექტორები არ არის ხაზოვანი და ხაზები იკვეთება.

ყოველი შემთხვევისთვის გზაჯვარედინზე დავდებ ქვას მითითებით:

დანარჩენები ახტებიან ქვას და მიჰყვებიან პირდაპირ კაშჩეის უკვდავებამდე =)

ბ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

ხაზებს აქვთ იგივე მიმართულების ვექტორი, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ან პარალელურები არიან ან ერთნაირი. აქ განმსაზღვრელი არ არის საჭირო.

ცხადია, უცნობის კოეფიციენტები პროპორციულია, ხოლო .

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი:

ამრიგად,

გ) იპოვეთ წრფეების მიმართულების ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან:
მაშასადამე, მიმართულების ვექტორები კოლინარულია. ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა.

პროპორციულობის კოეფიციენტი „ლამბდა“ ადვილი შესამჩნევია პირდაპირ კოლინარული მიმართულების ვექტორების თანაფარდობიდან. თუმცა, ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს თავად განტოლებების კოეფიციენტების საშუალებით: .

ახლა მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა თანასწორობა ჭეშმარიტი. ორივე უფასო ტერმინი ნულის ტოლია, ასე რომ:

მიღებული მნიშვნელობა აკმაყოფილებს ამ განტოლებას (ნებისმიერი რიცხვი ზოგადად აკმაყოფილებს მას).

ამრიგად, ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

უპასუხე:

ძალიან მალე ისწავლით (ან უკვე ისწავლეთ) განხილული პრობლემის სიტყვიერად გადაჭრას რამდენიმე წამში. ამასთან დაკავშირებით, მე ვერ ვხედავ მიზეზს, რომ შემოგთავაზოთ რაიმე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, უმჯობესია გეომეტრიულ საძირკველში კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი აგურის ჩაყრა:

როგორ გავავლოთ წრფე მოცემულის პარალელურად?

ამ უმარტივესი ამოცანის უცოდინრობის გამო, ბულბული ყაჩაღი სასტიკად სჯის.

მაგალითი 2

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პარალელური ხაზისთვის, რომელიც გადის წერტილში.

გადაწყვეტილება: უცნობი სტრიქონის აღნიშვნა ასოთი . რას ამბობს მდგომარეობა ამაზე? ხაზი გადის წერტილში. ხოლო თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ აშკარაა, რომ „ce“ წრფის მიმართულების ვექტორიც შესაფერისია „de“ წრფის ასაგებად.

განტოლებიდან ამოვიღებთ მიმართულების ვექტორს:

უპასუხე:

მაგალითის გეომეტრია მარტივია:

ანალიტიკური შემოწმება შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან:

1) ვამოწმებთ, რომ წრფეებს აქვთ ერთნაირი მიმართულების ვექტორი (თუ წრფის განტოლება სათანადოდ არ არის გამარტივებული, მაშინ ვექტორები იქნება კოლინარული).

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას.

ანალიტიკური გადამოწმება უმეტეს შემთხვევაში მარტივია ზეპირად შესასრულებლად. შეხედეთ ორ განტოლებას და ბევრი თქვენგანი სწრაფად გაიგებს, თუ როგორ არის წრფეები პარალელურად ყოველგვარი ნახაზის გარეშე.

კრეატიული იქნება დღევანდელი თვითგადაჭრის მაგალითები. იმიტომ, რომ ბაბა იაგას მაინც უნდა ეჯიბრო და ის, ხომ იცი, ყველანაირი გამოცანების მოყვარულია.

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება წრფის, რომელიც გადის წრფის პარალელურ წერტილში, თუ

არსებობს გადაჭრის რაციონალური და არც თუ ისე რაციონალური გზა. უმოკლესი გზა არის გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ გავაკეთეთ მცირე მუშაობა პარალელური ხაზებით და მათ მოგვიანებით დავუბრუნდებით. სტრიქონების დამთხვევის შემთხვევა ნაკლებად საინტერესოა, ამიტომ განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც თქვენთვის კარგად არის ცნობილი სკოლის სასწავლო გეგმიდან:

როგორ მოვძებნოთ ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი?

თუ სწორი იკვეთება წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები გამოსავალია წრფივი განტოლებათა სისტემები

როგორ მოვძებნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი? გადაჭრით სისტემა.

აი შენ ორი უცნობი წრფივი განტოლების სისტემის გეომეტრიული მნიშვნელობაარის ორი გადამკვეთი (ყველაზე ხშირად) სწორი ხაზი სიბრტყეზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადაჭრის ორი გზა არსებობს - გრაფიკული და ანალიტიკური.

გრაფიკული გზა არის უბრალოდ მოცემული ხაზების დახატვა და გადაკვეთის წერტილის გარკვევა პირდაპირ ნახაზიდან:

აქ არის ჩვენი აზრი: . შესამოწმებლად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი კოორდინატები სწორი ხაზის თითოეულ განტოლებაში, ისინი უნდა შეესაბამებოდეს იქაც და იქაც. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის კოორდინატები არის სისტემის ამოხსნა. ფაქტობრივად, ჩვენ განვიხილეთ გადაჭრის გრაფიკული გზა წრფივი განტოლებათა სისტემებიორი განტოლებით, ორი უცნობით.

გრაფიკული მეთოდი, რა თქმა უნდა, არ არის ცუდი, მაგრამ არის შესამჩნევი უარყოფითი მხარეები. არა, საქმე ის არ არის, რომ მეშვიდე კლასელები ასე წყვეტენ, საქმე იმაშია, რომ სწორი და ზუსტი ნახატის გაკეთებას დრო დასჭირდება. გარდა ამისა, ზოგიერთი ხაზი არც ისე ადვილია აგებული და თავად გადაკვეთის წერტილი შეიძლება იყოს სადღაც ოცდამეათე სამეფოში ნოუთბუქის ფურცლის მიღმა.

ამიტომ უფრო მიზანშეწონილია გადაკვეთის წერტილის ძიება ანალიტიკური მეთოდით. მოდით გადავჭრათ სისტემა:

სისტემის ამოსახსნელად გამოყენებული იქნა განტოლებების ტერმინული მიმატების მეთოდი. შესაბამისი უნარების გასავითარებლად ეწვიეთ გაკვეთილს როგორ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა?

უპასუხე:

გადამოწმება ტრივიალურია - გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის თითოეულ განტოლებას.

მაგალითი 5

იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ ისინი იკვეთებიან.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანა მოხერხებულად შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ეტაპად. მდგომარეობის ანალიზი ვარაუდობს, რომ აუცილებელია:
1) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
2) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება.
3) გაარკვიეთ ხაზების ფარდობითი პოზიცია.
4) თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი.

მოქმედებების ალგორითმის შემუშავება დამახასიათებელია მრავალი გეომეტრიული პრობლემისთვის და ამაზე არაერთხელ გავამახვილებ ყურადღებას.

სრული გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს:

წყვილი ფეხსაცმელი ჯერ არ არის გაცვეთილი, რადგან მივედით გაკვეთილის მეორე განყოფილებაში:

პერპენდიკულარული ხაზები. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.
კუთხე ხაზებს შორის

დავიწყოთ ტიპიური და ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანებით. პირველ ნაწილში ვისწავლეთ როგორ ავაგოთ სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად და ახლა ქათმის ფეხებზე ქოხი 90 გრადუსით დაბრუნდება:

როგორ დავხატოთ მოცემული წრფის პერპენდიკულარული?

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით. დაწერეთ განტოლება პერპენდიკულარულ წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს.

გადაწყვეტილება: ვარაუდით ცნობილია რომ . კარგი იქნებოდა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის პოვნა. ვინაიდან ხაზები პერპენდიკულარულია, ხრიკი მარტივია:

განტოლებიდან „ამოგვაქვს“ ნორმალური ვექტორი: , რომელიც იქნება სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი.

ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებას წერტილით და მიმართული ვექტორით:

უპასუხე:

მოდით გავშალოთ გეომეტრიული ესკიზი:

ჰმ... ნარინჯისფერი ცა, ნარინჯისფერი ზღვა, ნარინჯისფერი აქლემი.

ხსნარის ანალიტიკური შემოწმება:

1) ამოიღეთ მიმართულების ვექტორები განტოლებიდან და დახმარებით ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლივასკვნით, რომ წრფეები მართლაც პერპენდიკულარულია: .

სხვათა შორის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნორმალური ვექტორები, ეს კიდევ უფრო ადვილია.

2) შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა წერტილი მიღებულ განტოლებას .

გადამოწმება, ისევ და ისევ, მარტივია სიტყვიერად შესრულება.

მაგალითი 7

იპოვეთ პერპენდიკულარული წრფეების გადაკვეთის წერტილი, თუ განტოლება ცნობილია და წერტილი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოცანაში რამდენიმე მოქმედებაა, ამიტომ მოსახერხებელია ამოხსნის პუნქტად მოწყობა.

ჩვენი საინტერესო მოგზაურობა გრძელდება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

ჩვენს თვალწინ არის მდინარის სწორი ზოლი და ჩვენი ამოცანაა უმოკლესი გზით მივაღწიოთ მას. არ არსებობს დაბრკოლებები და ყველაზე ოპტიმალური მარშრუტი იქნება მოძრაობა პერპენდიკულარულის გასწვრივ. ანუ, მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე.

მანძილი გეომეტრიაში ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასო "ro"-ით, მაგალითად: - მანძილი წერტილიდან "em" სწორ ხაზამდე "de".

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე გამოიხატება ფორმულით

მაგალითი 8

იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

გადაწყვეტილება: ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის გულდასმით ჩაანაცვლოთ რიცხვები ფორმულაში და გააკეთოთ გამოთვლები:

უპასუხე:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ნაპოვნი მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ზუსტად წითელი სეგმენტის სიგრძე. თუ თქვენ გააკეთებთ ნახატს ჭადრაკულ ქაღალდზე 1 ერთეულის მასშტაბით. \u003d 1 სმ (2 უჯრედი), შემდეგ მანძილის გაზომვა შესაძლებელია ჩვეულებრივი მმართველით.

განიხილეთ სხვა დავალება იმავე ნახაზის მიხედვით:

ამოცანაა იპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია წერტილის მიმართ წრფესთან მიმართებაში. . მე ვთავაზობ მოქმედებების დამოუკიდებლად შესრულებას, თუმცა მე გამოვყოფ ამოხსნის ალგორითმს შუალედური შედეგებით:

1) იპოვეთ წრფე, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული.

2) იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება დეტალურად არის განხილული ამ გაკვეთილზე.

3) წერტილი არის სეგმენტის შუა წერტილი. ჩვენ ვიცით შუა და ერთ-ერთი ბოლოების კოორდინატები. ავტორი ფორმულები შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვისიპოვე .

ზედმეტი არ იქნება იმის შემოწმება, რომ მანძილიც უდრის 2.2 ერთეულს.

სირთულეები აქ შეიძლება წარმოიშვას გამოთვლებში, მაგრამ კოშკში მიკროკალკულატორი ბევრს ეხმარება, რაც საშუალებას გაძლევთ დათვალოთ ჩვეულებრივი წილადები. ბევრჯერ ვურჩიე და კიდევ გირჩევ.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის?

მაგალითი 9

იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

ეს არის კიდევ ერთი მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. პატარა მინიშნება: გადაჭრის უსასრულოდ ბევრი გზა არსებობს. გაკვეთილის ბოლოს ბრიფინგი, ოღონდ სცადეთ თავად გამოიცნოთ, ვფიქრობ, კარგად მოახერხეთ თქვენი ჭკუის დაშლა.

კუთხე ორ ხაზს შორის

რაც არ უნდა იყოს კუთხე, მაშინ ჯამი:

გეომეტრიაში, კუთხე ორ წრფეს შორის აღებულია როგორც უფრო მცირე კუთხე, საიდანაც ავტომატურად ირკვევა, რომ ის არ შეიძლება იყოს ბლაგვი. ნახატზე წითელი რკალით მითითებული კუთხე არ ითვლება გადამკვეთ ხაზებს შორის. და მისი "მწვანე" მეზობელი ან საპირისპიროდ ორიენტირებულიჟოლოსფერი კუთხე.

თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ 4 კუთხიდან რომელიმე შეიძლება მივიღოთ მათ შორის კუთხედ.

რით განსხვავდება კუთხეები? ორიენტაცია. პირველ რიგში, ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია კუთხის "გადახვევის" მიმართულება. მეორეც, უარყოფითად ორიენტირებული კუთხე იწერება მინუს ნიშნით, მაგალითად, თუ .

რატომ ვთქვი ეს? როგორც ჩანს, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ კუთხის ჩვეულ კონცეფციას. ფაქტია, რომ ფორმულებში, რომლებითაც ვიპოვით კუთხეებს, ადვილად შეიძლება უარყოფითი შედეგის მიღება და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. მინუს ნიშნის მქონე კუთხე არ არის უარესი და აქვს ძალიან სპეციფიკური გეომეტრიული მნიშვნელობა. უარყოფითი კუთხისთვის ნახაზში აუცილებელია მისი ორიენტაციის (საათის ისრის მიმართულებით) მითითება ისრით.

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ წრფეს შორის?არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

გადაწყვეტილებადა მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით მოცემული ორი სწორი ხაზი ზოგადი ფორმით:

თუ სწორი არა პერპენდიკულარული, მაშინ ორიენტირებულიმათ შორის კუთხე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

დიდი ყურადღება მივაქციოთ მნიშვნელს - ეს არის ზუსტად სკალარული პროდუქტისწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები:

თუ , მაშინ ფორმულის მნიშვნელი ქრება და ვექტორები ორთოგონალური იქნება და წრფეები პერპენდიკულარული. სწორედ ამიტომ გაკეთდა დათქმა ფორმულირებაში ხაზების არაპერპენდიკულარულობის შესახებ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, გამოსავალი მოხერხებულად ფორმალიზებულია ორ ეტაპად:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
ასე რომ, ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) ხაზებს შორის კუთხეს ვპოულობთ ფორმულით:

ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით, ადვილია თავად კუთხის პოვნა. ამ შემთხვევაში ვიყენებთ რკალის ტანგენსის უცნაურობას (იხ. ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები):

უპასუხე:

პასუხში ჩვენ მივუთითებთ ზუსტ მნიშვნელობას, ისევე როგორც სავარაუდო მნიშვნელობას (სასურველია, როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში), გამოთვლილი კალკულატორის გამოყენებით.

კარგი, მინუს, ასე რომ მინუს, არა უშავს. აქ არის გეომეტრიული ილუსტრაცია:

გასაკვირი არ არის, რომ კუთხე უარყოფითი ორიენტაციის აღმოჩნდა, რადგან პრობლემის პირობებში პირველი რიცხვი არის სწორი ხაზი და კუთხის „გადახვევა“ სწორედ მისგან დაიწყო.

თუ ნამდვილად გსურთ დადებითი კუთხის მიღება, თქვენ უნდა შეცვალოთ სწორი ხაზები, ანუ აიღოთ კოეფიციენტები მეორე განტოლებიდან. და აიღეთ კოეფიციენტები პირველი განტოლებიდან. მოკლედ, თქვენ უნდა დაიწყოთ პირდაპირი .

მიეცით წრფივი განტოლებით მოცემული სწორი ხაზი და მისი კოორდინატებით მოცემული წერტილი (x0, y0) და არ დევს ამ სწორ ხაზზე. საჭიროა იპოვოთ წერტილი, რომელიც იქნება მოცემული წერტილის სიმეტრიული მოცემული სწორი ხაზის მიმართ, ანუ დაემთხვევა მას, თუ თვითმფრინავი გონებრივად არის მოხრილი ამ სწორი ხაზის გასწვრივ.

ინსტრუქცია

1. გასაგებია, რომ ორივე წერტილი - მოცემული და სასურველი - უნდა მდებარეობდეს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და ეს ხაზი უნდა იყოს მოცემულის პერპენდიკულარული. ამრიგად, პრობლემის პირველი ნაწილი არის სწორი ხაზის განტოლების პოვნა, რომელიც იქნება პერპენდიკულარული რომელიმე მოცემულ წრფეზე და ამავე დროს გაივლის მოცემულ წერტილს.

2. სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით. სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება ასე გამოიყურება: Ax + By + C = 0, სადაც A, B და C მუდმივებია. ასევე, სწორი ხაზის დადგენა შესაძლებელია წრფივი ფუნქციის გამოყენებით: y \u003d kx + b, სადაც k არის კუთხური მაჩვენებელი, b არის გადაადგილება. ეს ორი მეთოდი ურთიერთშემცვლელია და ნებადართულია გადაადგილება ერთიდან მეორეზე. თუ Ax + By + C = 0, მაშინ y = – (Ax + C)/B. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წრფივ ფუნქციაში y = kx + b, კუთხური მაჩვენებელი k = -A/B და ოფსეტი b = -C/B. დასახული ამოცანისთვის უფრო კომფორტულია მსჯელობა სწორი ხაზის კანონიკური განტოლების საფუძველზე.

3. თუ ორი წრფე ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და პირველი წრფის განტოლებაა Ax + By + C = 0, მაშინ მე-2 წრფის განტოლება უნდა იყოს Bx - Ay + D = 0, სადაც D არის მუდმივი. D-ის გარკვეული მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა დამატებით ვიცოდეთ რომელ წერტილში გადის პერპენდიკულარული წრფე. ამ შემთხვევაში ეს არის წერტილი (x0, y0) შესაბამისად, D უნდა აკმაყოფილებდეს ტოლობას: Bx0 – Ay0 + D = 0, ანუ D = Ay0 – Bx0.

4. მოგვიანებით, პერპენდიკულარული წრფის აღმოჩენის შემდეგ, აუცილებელია გამოვთვალოთ მოცემულთან მისი გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები. ამისათვის თქვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. მისი ამონახსნი მისცემს რიცხვებს (x1, y1), რომლებიც ემსახურებიან კოორდინატებს. ხაზების გადაკვეთის წერტილი.

5. სასურველი წერტილი უნდა იყოს გამოვლენილ ხაზზე, ხოლო მისი მანძილი გადაკვეთის წერტილამდე უნდა იყოს ტოლი მანძილის გადაკვეთის წერტილიდან წერტილამდე (x0, y0). (x0, y0) წერტილის სიმეტრიული წერტილის კოორდინატები ამგვარად შეიძლება ვიპოვოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნით: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. მაგრამ მოდით გავამარტივოთ. თუ წერტილები (x0, y0) და (x, y) თანაბარ მანძილზეა (x1, y1) წერტილიდან და სამივე წერტილი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, მაშინ: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0 შესაბამისად x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. ამ მნიშვნელობების პირველი სისტემის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით და გამონათქვამების გამარტივებით, ადვილია დარწმუნდეთ, რომ მისი მარჯვენა მხარე იგივე გახდება, რაც მარცხენა მხარე. გარდა ამისა, აზრი არ აქვს პირველი განტოლების უფრო მჭიდროდ განხილვას, რადგან ცნობილია, რომ წერტილები (x0, y0) და (x1, y1) აკმაყოფილებენ მას, ხოლო წერტილი (x, y) რა თქმა უნდა დევს იმავე წრფეზე. .

1) იპოვეთ წრფე, რომელიც არის წრფის პერპენდიკულარული.

2) იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი: .

ორივე მოქმედება დეტალურად არის განხილული ამ გაკვეთილზე.

ზედმეტი არ იქნება იმის შემოწმება, რომ მანძილიც უდრის 2.2 ერთეულს.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის?

მაგალითი 9

იპოვეთ მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის

კუთხე ორ ხაზს შორის

როგორ მოვძებნოთ კუთხე ორ წრფეს შორის?არსებობს ორი სამუშაო ფორმულა:

მაგალითი 10

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

გადაწყვეტილებადა მეთოდი პირველი

განვიხილოთ განტოლებებით მოცემული ორი სწორი ხაზი ზოგადი ფორმით:

1) გამოთვალეთ სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების სკალარული ნამრავლი:

2) ხაზებს შორის კუთხეს ვპოულობთ ფორმულით:

უპასუხე:

არ დავმალავ, მე თვითონ ვირჩევ სწორ ხაზებს იმ თანმიმდევრობით, რომ კუთხე დადებითია. უფრო ლამაზია, მაგრამ მეტი არაფერი.

გამოსავლის შესამოწმებლად შეგიძლიათ აიღოთ პროტრატორი და გაზომოთ კუთხე.

მეთოდი მეორე

თუ წრფეები მოცემულია განტოლებებით დახრილობით და არა პერპენდიკულარული, მაშინ ორიენტირებულიმათ შორის კუთხე შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

სწორი ხაზების პერპენდიკულარულობის პირობა გამოიხატება ტოლობით, საიდანაც, სხვათა შორის, პერპენდიკულარული წრფეების დახრილობის კოეფიციენტების ძალზე სასარგებლო ურთიერთობა მოდის: , რომელიც გამოიყენება ზოგიერთ ამოცანებში.

ამოხსნის ალგორითმი წინა აბზაცის მსგავსია. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით გადავიწეროთ ჩვენი სტრიქონები საჭირო ფორმით:

ამრიგად, დახრილობის კოეფიციენტები:

1) შეამოწმეთ არის თუ არა ხაზები პერპენდიკულარული:
ასე რომ, ხაზები არ არის პერპენდიკულარული.

2) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

უპასუხე:

მეორე მეთოდი მიზანშეწონილია გამოსაყენებლად, როდესაც ხაზების განტოლებები თავდაპირველად მითითებულია დახრილობით. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ მინიმუმ ერთი ხაზი პარალელურია y-ღერძის პარალელურად, მაშინ ფორმულა საერთოდ არ გამოიყენება, რადგან დახრილობა არ არის განსაზღვრული ასეთი ხაზებისთვის (იხ. სტატია სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება).

არის მესამე გამოსავალიც. იდეა არის ხაზების მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლა გაკვეთილზე განხილული ფორმულის გამოყენებით ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი:

აქ ჩვენ არ ვსაუბრობთ ორიენტირებულ კუთხეზე, არამედ "უბრალოდ კუთხეზე", ანუ შედეგი ნამდვილად დადებითი იქნება. მთავარი ის არის, რომ შეგიძლიათ მიიღოთ ბლაგვი კუთხე (არა ის, რაც გჭირდებათ). ამ შემთხვევაში, თქვენ მოგიწევთ დათქმა, რომ ხაზებს შორის კუთხე არის უფრო მცირე კუთხე და გამოკლოთ მიღებული რკალის კოსინუსი „pi“ რადიანებიდან (180 გრადუსი).

მსურველებს შეუძლიათ პრობლემის მოგვარება მესამე გზით. მაგრამ მე მაინც გირჩევთ დაიცვან პირველი კუთხეზე ორიენტირებული მიდგომა, რადგან ის ფართოდ გამოიყენება.

მაგალითი 11

იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სცადეთ მისი გადაჭრა ორი გზით.

გზაში რატომღაც ზღაპარი გაქრა .... რადგან არ არსებობს კაშჩეი უკვდავი. არის მე, და არა განსაკუთრებით ორთქლზე. მართალი გითხრათ, ვფიქრობდი, რომ სტატია გაცილებით გრძელი იქნებოდა. მაგრამ მაინც, ავიღებ ახლახან შეძენილ ქუდს სათვალეებით და წავალ სექტემბრის ტბის წყალში საბანაოდ. შესანიშნავად ხსნის დაღლილობას და უარყოფით ენერგიას.

Მალე გნახავ!

და გახსოვდეთ, ბაბა იაგა არ გაუქმებულა =)

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 3:გადაწყვეტილება : იპოვეთ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი :

ჩვენ შევადგენთ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას წერტილის გამოყენებით და მიმართულების ვექტორი . ვინაიდან ერთ-ერთი მიმართულების ვექტორის კოორდინატი ნულია, განტოლება გადაწერეთ ფორმაში:

უპასუხე :

მაგალითი 5:გადაწყვეტილება :
1) სწორი ხაზის განტოლება გააკეთე ორი წერტილი :

2) სწორი ხაზის განტოლება გააკეთე ორი წერტილი :

3) ცვლადების შესაბამისი კოეფიციენტები პროპორციულად: ასე რომ, ხაზები იკვეთება.
4) იპოვნეთ წერტილი :

შენიშვნა : აქ სისტემის პირველი განტოლება მრავლდება 5-ზე, შემდეგ მე-2 აკლდება ტერმინით პირველ განტოლებას.
უპასუხე :

სივრცეში სწორი ხაზი ყოველთვის შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორი არაპარალელური სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი. თუ ერთი სიბრტყის განტოლება არის მეორე სიბრტყის განტოლება, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება მოცემულია როგორც

აქ არაკოლინარული
. ეს განტოლებები ე.წ ზოგადი განტოლებები სწორი ხაზი სივრცეში.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები

მოცემულ წრფეზე ან მის პარალელურად მდებარე ნებისმიერ არანულოვან ვექტორს ამ წრფის მიმართულ ვექტორს უწოდებენ.

თუ წერტილი ცნობილია
ხაზი და მისი მიმართულების ვექტორი
, მაშინ წრფის კანონიკურ განტოლებებს აქვთ ფორმა:

. (9)

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები

მოდით იყოს მოცემული წრფის კანონიკური განტოლებები

აქედან ვიღებთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს:

(10)

ეს განტოლებები სასარგებლოა წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად.

ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება
და
როგორც ჩანს:

კუთხე ხაზებს შორის

კუთხე ხაზებს შორის

და

უდრის კუთხეს მათ მიმართულების ვექტორებს შორის. ამრიგად, ის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით (4):

პარალელური წრფეების მდგომარეობა:

სიბრტყეების პერპენდიკულარულობის მდგომარეობა:

წერტილის მანძილი სწორი ხაზიდან

პ მოცემული წერტილი
და პირდაპირი

წრფის კანონიკური განტოლებიდან ცნობილია წერტილი
წრფეს ეკუთვნის და მისი მიმართულების ვექტორს
. შემდეგ წერტილი მანძილი
სწორი ხაზიდან უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის სიმაღლეს და
. აქედან გამომდინარე,

ხაზის გადაკვეთის მდგომარეობა

ორი არაპარალელური ხაზი

იკვეთება თუ და მხოლოდ თუ

სწორი ხაზისა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება.

დაუშვით სწორი ხაზი
და ბინა. ინექცია მათ შორის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით

პრობლემა 73.დაწერეთ წრფის კანონიკური განტოლებები

(11)

გადაწყვეტილება. წრფის (9) კანონიკური განტოლებების ჩასაწერად საჭიროა ვიცოდეთ წრფის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილი და წრფის მიმართული ვექტორი.

ვიპოვოთ ვექტორი მოცემული ხაზის პარალელურად. ვინაიდან ის ამ სიბრტყეების ნორმალურ ვექტორებზე პერპენდიკულარული უნდა იყოს, ე.ი.

,
, მაშინ

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან გვაქვს ეს
,
. მერე

მას შემდეგ რაც წერტილი
წრფის ნებისმიერი წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს წრფის განტოლებებს და ერთ-ერთი მათგანი შეიძლება იყოს მითითებული, მაგალითად,
, ჩვენ ვიპოვით დანარჩენ ორ კოორდინატს სისტემიდან (11):

აქედან,
.

ამრიგად, სასურველი ხაზის კანონიკურ განტოლებებს აქვს ფორმა:

ან
.

პრობლემა 74.

და
.

გადაწყვეტილება.პირველი ხაზის კანონიკური განტოლებებიდან ცნობილია წერტილის კოორდინატები
წრფეს ეკუთვნის და მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
. მეორე ხაზის კანონიკური განტოლებიდან ცნობილია წერტილის კოორდინატებიც
და მიმართულების ვექტორის კოორდინატები
.

პარალელურ ხაზებს შორის მანძილი უდრის წერტილის მანძილს
მეორე ხაზიდან. ეს მანძილი გამოითვლება ფორმულით

ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები
.

გამოთვალეთ ვექტორული პროდუქტი
:

პრობლემა 75.იპოვე წერტილი სიმეტრიული წერტილი
შედარებით სწორი

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარული და წერტილის გავლით სიბრტყის განტოლებას . როგორც მისი ნორმალური ვექტორი ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ სამართავი ვექტორი, როგორც სწორი ხაზი. მერე
. აქედან გამომდინარე,

მოდი ვიპოვოთ წერტილი
მოცემული წრფისა და P სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი. ამისათვის ვწერთ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს (10) განტოლებების გამოყენებით, ვიღებთ

აქედან გამომდინარე,
.

დაე იყოს
წერტილი სიმეტრიული წერტილი
ამ ხაზის შესახებ. მაშინ წერტილი
შუა წერტილი
. წერტილის კოორდინატების პოვნა ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს შუა სეგმენტის კოორდინატებისთვის:

,
,
.

Ისე,
.

პრობლემა 76.დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სწორ ხაზზე
და

ა) წერტილის მეშვეობით
;

ბ) სიბრტყეზე პერპენდიკულარული.

გადაწყვეტილება.მოდით დავწეროთ ამ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებები. ამისათვის განიხილეთ ორი თანასწორობა:

ეს ნიშნავს, რომ სასურველი სიბრტყე ეკუთვნის გენერატორების მქონე თვითმფრინავების ფანქარს და მისი განტოლება შეიძლება დაიწეროს სახით (8):

ა) პოვნა
და იმ პირობით, რომ თვითმფრინავი გადის წერტილში
მაშასადამე, მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სიბრტყის განტოლებას. შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები
სიბრტყეების სხივის განტოლებაში:

ნაპოვნი ღირებულება
ჩვენ ვცვლით განტოლებას (12). ვიღებთ სასურველი სიბრტყის განტოლებას:

ბ) პოვნა
და იმ პირობით, რომ სასურველი სიბრტყე სიბრტყის პერპენდიკულარულია. მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორი
, სასურველი სიბრტყის ნორმალური ვექტორი (იხ. სიბრტყეების შეკვრის განტოლება (12).