უთანასწორობათა სისტემა.
მაგალითი 1. იპოვნეთ გამოხატვის ფარგლები
გადაწყვეტილება.კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ორი უტოლობა ერთდროულად უნდა იყოს: ასეთ შემთხვევებში, ამბობენ, რომ პრობლემა მცირდება უთანასწორობის სისტემის გადაწყვეტაზე

მაგრამ ასეთი მათემატიკური მოდელი (უტოლობათა სისტემა) ჯერ არ შეგვხვედრია. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ ვერ ვახერხებთ მაგალითის ამოხსნის დასრულებას.

უტოლობები, რომლებიც ქმნიან სისტემას, გაერთიანებულია ხვეულ ფრჩხილთან (იგივეა განტოლებათა სისტემებში). მაგალითად, ჩანაწერი

ნიშნავს, რომ უტოლობები 2x - 1 > 3 და 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

ზოგჯერ უტოლობათა სისტემა იწერება როგორც ორმაგი უტოლობა. მაგალითად, უტოლობების სისტემა

შეიძლება დაიწეროს როგორც ორმაგი უტოლობა 3<2х-1<11.

მე-9 კლასის ალგებრის კურსში განვიხილავთ მხოლოდ ორი უტოლობის სისტემებს.

განვიხილოთ უტოლობების სისტემა

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მისი რამდენიმე კონკრეტული გადაწყვეტა, მაგალითად x = 3, x = 4, x = 3.5. მართლაც, x = 3-ისთვის პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 5 > 3, ხოლო მეორე - 7 ფორმას.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

ამავე დროს, მნიშვნელობა x = 5 არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნა. x = 5-ისთვის პირველი უტოლობა იღებს ფორმას 9 > 3 - სწორი რიცხვითი უტოლობა, ხოლო მეორე - ფორმა 13.< 11- неверное числовое неравенство .
უტოლობების სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა კონკრეტული ამონახსნის პოვნას. ცხადია, რომ ზემოთ ნაჩვენები ასეთი გამოცნობა არ არის უტოლობების სისტემის ამოხსნის მეთოდი. შემდეგ მაგალითში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ მსჯელობენ ჩვეულებრივ უტოლობათა სისტემის ამოხსნისას.

მაგალითი 3ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

გადაწყვეტილება.

ა)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ 2x > 4, x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ Zx-ს< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
ბ)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნისას ვპოულობთ ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ხარვეზებს ერთ კოორდინატთა ხაზზე, პირველი უფსკრულისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 23). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. განხილულ მაგალითში ვიღებთ სხივს

in)სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x-ს< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

განვაზოგადოთ განხილულ მაგალითში განხორციელებული მსჯელობა. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობების სისტემა

მაგალითად, ინტერვალი (a, b) იყოს fx 2 > g (x) უტოლობის ამონახსნი, ხოლო ინტერვალი (c, d) არის f 2 (x) > s 2 (x) უტოლობის ამონახსნი. ). ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ხარვეზებს ერთ კოორდინატთა ხაზზე, პირველი უფსკრულისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორესთვის კი ქვედა გამოჩეკით (სურ. 25). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. ნახ. 25 არის ინტერვალი (s, b).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გადავჭრათ უტოლობათა სისტემა, რომელიც მივიღეთ ზემოთ, მაგალითად 1-ში:

სისტემის პირველი უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x > 2; სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნით ვპოულობთ x-ს< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

რა თქმა უნდა, უტოლობათა სისტემა არ უნდა შედგებოდეს წრფივი უტოლობებისაგან, როგორც ეს აქამდე ხდებოდა; ნებისმიერი რაციონალური (და არა მხოლოდ რაციონალური) უთანასწორობა შეიძლება მოხდეს. ტექნიკურად, რაციონალური არაწრფივი უტოლობების სისტემასთან მუშაობა, რა თქმა უნდა, უფრო რთულია, მაგრამ ფუნდამენტურად ახალი არაფერია (წრფივი უტოლობების სისტემებთან შედარებით).

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

გადაწყვეტილება.

1) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს
დააკვირდით რიცხვთა წრფეზე -3 და 3 წერტილებს (სურ. 27). ისინი ხაზს ყოფენ სამ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოხატულება p (x) = (x - 3) (x + 3) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს - ეს ნიშნები მითითებულია ნახ. 27. ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, სადაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა p(x) > 0 (ისინი დაჩრდილულია ნახ. 27-ში) და წერტილები, სადაც დაკმაყოფილებულია ტოლობა p(x) = 0, ე.ი. წერტილები x \u003d -3, x \u003d 3 (ისინი მონიშნულია ნახ. 2 7-ში მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 27 გვიჩვენებს გეომეტრიულ მოდელს პირველი უტოლობის გადასაჭრელად.

2) ამოხსენით უტოლობა, რომელიც გვაქვს
დააკვირდით რიცხვთა წრფეზე 0 და 5 წერტილებს (სურ. 28). ისინი ხაზს სამ ინტერვალად ყოფენ და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (დაჩრდილულია ნახ. 28-ზე), და წერტილები, რომლებზეც ტოლობა g (x) - O დაკმაყოფილებულია, ე.ი. წერტილები x = 0, x = 5 (ისინი 28-ზე მონიშნულია მუქი წრეებით). ამრიგად, ნახ. 28 გვიჩვენებს გეომეტრიულ მოდელს სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნისთვის.

3) სისტემის პირველი და მეორე უტოლობების აღმოჩენილ ამონახსნებს ვნიშნავთ იმავე კოორდინატთა ხაზზე, პირველი უტოლობის ამონახსნებისთვის ზედა გამოჩეკით, მეორის ამონახსნებისთვის კი ქვედა გამოჩეკვით (სურ. 29). უტოლობათა სისტემის ამოხსნა იქნება სისტემის უტოლობათა ამონახსნების გადაკვეთა, ე.ი. ინტერვალი, სადაც ორივე ლუქი ემთხვევა. ასეთი ინტერვალი არის სეგმენტი.

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობების სისტემა:

გადაწყვეტილება:

ა)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x >2. განვიხილოთ მეორე უტოლობა. კვადრატულ ტრინომს x 2 + x + 2 არ აქვს ნამდვილი ფესვები და მისი წამყვანი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x 2-ზე) დადებითია. ეს ნიშნავს, რომ ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა x 2 + x + 2>0 და, შესაბამისად, სისტემის მეორე უტოლობას არ აქვს ამონახსნები. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ბ)პირველი უტოლობიდან ვპოულობთ x > 2, ხოლო მეორე უტოლობა მოქმედებს x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობებზე. რას ნიშნავს ეს უთანასწორობის სისტემისთვის? ეს ნიშნავს, რომ მის ამოხსნას აქვს x>2 ფორმა, ე.ი. ემთხვევა პირველი უტოლობის ამოხსნას.

პასუხი:

ა) არ არსებობს გადაწყვეტილებები; ბ) x>2.

ეს მაგალითი არის შემდეგი სასარგებლო ილუსტრაცია

1. თუ ერთი ცვლადის მქონე რამდენიმე უტოლობათა სისტემაში ერთ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, მაშინ სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

2. თუ ორი უტოლობის სისტემაში ერთი ცვლადით ერთი უტოლობა დაკმაყოფილებულია ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის, მაშინ სისტემის ამოხსნა არის სისტემის მეორე უტოლობის ამოხსნა.

ამ განყოფილების დასასრულს, დავუბრუნდეთ მის დასაწყისში მოცემულ ჩაფიქრებული რიცხვის პრობლემას და მოვაგვაროთ, როგორც ამბობენ, ყველა წესის მიხედვით.

მაგალითი 2(იხ. გვ. 29). იფიქრეთ ნატურალურ რიცხვზე. ცნობილია, რომ თუ ჩაფიქრებული რიცხვის კვადრატს 13 დაემატება, მაშინ ჯამი მეტი იქნება ჩაფიქრებული რიცხვისა და რიცხვის 14-ის ნამრავლზე. თუ ჩაფიქრებული რიცხვის კვადრატს დაემატება 45, მაშინ ჯამი იქნება. იყოს ჩაფიქრებული რიცხვისა და 18 რიცხვის ნამრავლზე ნაკლები. რა რიცხვია ჩაფიქრებული?

გადაწყვეტილება.

პირველი ეტაპი. მათემატიკური მოდელის შედგენა.
განზრახ რიცხვი x, როგორც ზემოთ ვნახეთ, უნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობათა სისტემას

მეორე ფაზა. შედგენილ მათემატიკურ მოდელთან მუშაობა.სისტემის პირველი უტოლობა გადავიყვანოთ ფორმაში
x2- 14x+ 13 > 0.

ვიპოვოთ x 2 - 14x + 13 ტრინომის ფესვები: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. პარაბოლის გამოყენებით y \u003d x 2 - 14x + 13 (ნახ. 30), დავასკვნათ, რომ უტოლობა ჩვენთვის ინტერესი დაკმაყოფილებულია x-ისთვის< 1 или x > 13.

გადავიყვანოთ სისტემის მეორე უტოლობა x2 - 18 2 + 45 სახით< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

უტოლობები და უტოლობათა სისტემები ერთ-ერთი თემაა, რომელსაც უმაღლეს სკოლაში ასწავლიან ალგებრაში. სირთულის თვალსაზრისით, ეს არ არის ყველაზე რთული, რადგან მას აქვს მარტივი წესები (მათ შესახებ ცოტა მოგვიანებით). როგორც წესი, სკოლის მოსწავლეები საკმაოდ მარტივად სწავლობენ უთანასწორობის სისტემების ამოხსნას. ეს იმითაც არის განპირობებული, რომ მასწავლებლები უბრალოდ „ავარჯიშებენ“ მოსწავლეებს ამ თემაზე. და მათ არ შეუძლიათ ამის გაკეთება, რადგან ის მომავალში შეისწავლება სხვა მათემატიკური სიდიდეების გამოყენებით, ასევე მოწმდება OGE-სთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის. სასკოლო სახელმძღვანელოებში უთანასწორობისა და უთანასწორობის სისტემების თემა დეტალურად არის გაშუქებული, ამიტომ თუ მის შესწავლას აპირებთ, უმჯობესია მათ მიმართოთ. ეს სტატია მხოლოდ დიდ მასალებს იმეორებს და მასში შეიძლება იყოს გარკვეული ხარვეზები.

უთანასწორობის სისტემის კონცეფცია

თუ მეცნიერულ ენას მივმართავთ, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ცნება „უთანასწორობათა სისტემა“. ეს არის ისეთი მათემატიკური მოდელი, რომელიც წარმოადგენს რამდენიმე უტოლობას. ეს მოდელი, რა თქმა უნდა, მოითხოვს ამოხსნას და ის იქნება ზოგადი პასუხი ამოცანაში შემოთავაზებული სისტემის ყველა უტოლობაზე (ჩვეულებრივ, მასში წერია, მაგალითად: „ამოხსენით უტოლობათა სისტემა 4 x + 1 > 2. და 30 - x > 6..."). თუმცა, სანამ გადაწყვეტის ტიპებსა და მეთოდებზე გადავიდოდეთ, სხვა რამის გაგება გჭირდებათ.

უტოლობების სისტემები და განტოლებათა სისტემები

ახალი თემის შესწავლის პროცესში ხშირად ჩნდება გაუგებრობები. ერთის მხრივ, ყველაფერი გასაგებია და მირჩევნია ამოცანების ამოხსნა დავიწყო, მაგრამ მეორე მხრივ, რაღაც მომენტები „ჩრდილში“ რჩება, კარგად არ არის გასაგები. ასევე, უკვე მიღებული ცოდნის ზოგიერთი ელემენტი შეიძლება გადახლართული იყოს ახალთან. ამ "გადაფარვის" შედეგად ხშირად ხდება შეცდომები.

ამიტომ, სანამ ჩვენი თემის ანალიზს გავაგრძელებთ, უნდა გავიხსენოთ განტოლებები და უტოლობა, მათი სისტემები. ამისათვის თქვენ კიდევ ერთხელ უნდა აგიხსნათ რა არის ეს მათემატიკური ცნებები. განტოლება ყოველთვის ტოლია და ის ყოველთვის რაღაცის ტოლია (მათემატიკაში ეს სიტყვა აღინიშნება ნიშნით "="). უტოლობა არის მოდელი, რომელშიც ერთი მნიშვნელობა ან მეტია ან ნაკლებია მეორეზე, ან შეიცავს მტკიცებას, რომ ისინი არ არიან იგივე. ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია საუბარი თანასწორობაზე, ხოლო მეორეში, რაც არ უნდა აშკარად ჟღერდეს თავად სახელიდან, საწყისი მონაცემების უთანასწორობაზე. განტოლებათა და უტოლობათა სისტემები პრაქტიკულად არ განსხვავდება ერთმანეთისგან და მათი ამოხსნის მეთოდები ერთი და იგივეა. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ პირველი იყენებს თანასწორობას, ხოლო მეორე იყენებს უტოლობას.

უტოლობების სახეები

არსებობს ორი სახის უტოლობა: რიცხვითი და უცნობი ცვლადით. პირველ ტიპში მოცემულია მნიშვნელობები (რიცხვები), რომლებიც ერთმანეთის არატოლია, მაგალითად, 8 > 10. მეორე არის უტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობ ცვლადს (მითითებულია ლათინური ანბანის რომელიმე ასოთი, ყველაზე ხშირად X). ეს ცვლადი უნდა მოიძებნოს. იმის მიხედვით, თუ რამდენია, მათემატიკური მოდელი განასხვავებს უტოლობას ერთით (ისინი ქმნიან უტოლობათა სისტემას ერთი ცვლადით) ან რამდენიმე ცვლადით (ისინი ქმნიან უტოლობათა სისტემას რამდენიმე ცვლადით).

ბოლო ორი ტიპი, მათი კონსტრუქციის ხარისხისა და ამოხსნის სირთულის მიხედვით, იყოფა მარტივ და რთულებად. მარტივებს ასევე უწოდებენ წრფივ უტოლობას. ისინი, თავის მხრივ, იყოფა მკაცრ და არამკაცრად. მკაცრად კონკრეტულად "თქვით", რომ ერთი მნიშვნელობა უნდა იყოს ან ნაკლები ან მეტი, ასე რომ, ეს არის სუფთა უთანასწორობა. არსებობს რამდენიმე მაგალითი: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 და ა.შ. არამკაცრებში ასევე შედის თანასწორობა. ანუ, ერთი მნიშვნელობა შეიძლება იყოს სხვა მნიშვნელობაზე მეტი ან ტოლი (ნიშანი "≥") ან ნაკლები ან ტოლი სხვა მნიშვნელობაზე (ნიშანი "≤"). წრფივ უტოლობაშიც კი ცვლადი არ დგას ფესვზე, კვადრატში, არ იყოფა არაფერზე, რის გამოც მათ უწოდებენ "მარტივს". რთულები მოიცავს უცნობ ცვლადებს, რომელთა აღმოჩენაც მეტ მათემატიკური ოპერაციებს მოითხოვს. ისინი ხშირად არიან კვადრატში, კუბში ან ფესვის ქვეშ, შეიძლება იყოს მოდულარული, ლოგარითმული, წილადი და ა.შ. მაგრამ რადგან ჩვენი ამოცანაა გავიგოთ უტოლობების სისტემების ამოხსნა, ვისაუბრებთ წრფივი უტოლობების სისტემაზე. თუმცა მანამდე მათ თვისებებზე ორიოდე სიტყვა უნდა ითქვას.

უტოლობების თვისებები

უტოლობების თვისებები მოიცავს შემდეგ დებულებებს:

1. უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია, თუ გამოიყენება მხარეთა მიმდევრობის შეცვლის ოპერაცია (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2, მაშინ t 2 ≥ t 1).
2. უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას გაძლევთ დაამატოთ იგივე რიცხვი საკუთარ თავს (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2, მაშინ t 1 + რიცხვი ≤ t 2 + რიცხვი).
3. ორი ან მეტი უტოლობა, რომლებსაც აქვთ იგივე მიმართულების ნიშანი, საშუალებას გაძლევთ დაამატოთ მათი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები (მაგალითად, თუ t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, მაშინ t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას აძლევს საკუთარ თავს გამრავლდეს ან გაიყოს იმავე დადებით რიცხვზე (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2 და რიცხვი ≤ 0, მაშინ რიცხვი t 1 ≥ რიცხვი t 2).
5. ორი ან მეტი უტოლობა, რომლებსაც აქვთ დადებითი წევრი და ერთი და იგივე მიმართულების ნიშანი, საშუალებას აძლევს საკუთარ თავს გამრავლდნენ ერთმანეთზე (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 შემდეგ t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას აძლევს საკუთარ თავს გამრავლდეს ან გაიყოს იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაგრამ უტოლობის ნიშანი იცვლება (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2 და რიცხვი ≤ 0, მაშინ რიცხვი t 1 ≥ რიცხვი t 2).
7. ყველა უტოლობას აქვს გარდამავალობის თვისება (მაგალითად, თუ t 1 ≤ t 2 და t 2 ≤ t 3, მაშინ t 1 ≤ t 3).

ახლა, უთანასწორობასთან დაკავშირებული თეორიის ძირითადი დებულებების შესწავლის შემდეგ, შეგვიძლია პირდაპირ გადავიდეთ მათი სისტემების ამოხსნის წესების განხილვაზე.

უტოლობების სისტემების ამოხსნა. Ზოგადი ინფორმაცია. გადაწყვეტილებები

როგორც ზემოთ აღინიშნა, გამოსავალი არის ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება მოცემული სისტემის ყველა უტოლობას. უტოლობების სისტემების ამოხსნა არის მათემატიკური ოპერაციების განხორციელება, რომლებიც საბოლოოდ იწვევს მთელი სისტემის ამოხსნას ან ამტკიცებს, რომ მას არ აქვს ამონახსნები. ამ შემთხვევაში, ნათქვამია, რომ ცვლადი ეხება ცარიელ ციფრულ სიმრავლეს (დაწერილი ასე: ცვლადის აღმნიშვნელი ასო∈ (ნიშანი "ეკუთვნის") ø (ნიშანი "ცარიელი ნაკრები"), მაგალითად, x ∈ ø (იკითხება: "ცვლადი "x" ეკუთვნის ცარიელ სიმრავლეს"). უტოლობათა სისტემის ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს: გრაფიკული, ალგებრული, ჩანაცვლების მეთოდი. აღსანიშნავია, რომ ისინი ეხება იმ მათემატიკურ მოდელებს, რომლებსაც აქვთ რამდენიმე უცნობი ცვლადი. იმ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს მხოლოდ ერთი, ინტერვალის მეთოდი შესაფერისია.

გრაფიკული გზა

საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა რამდენიმე უცნობიდან (ორიდან ან მეტიდან). ამ მეთოდის წყალობით წრფივი უტოლობათა სისტემა საკმაოდ მარტივად და სწრაფად წყდება, ამიტომ ის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია. ეს იმიტომ ხდება, რომ ნახატი ამცირებს მათემატიკური ოპერაციების ჩაწერის რაოდენობას. განსაკუთრებით სასიამოვნო ხდება კალმისგან ცოტათი შესვენება, სახაზავი ფანქრის აღება და მათი დახმარებით შემდგომი მოქმედებების გაგრძელება, როცა ბევრი სამუშაოა გაკეთებული და ცოტა მრავალფეროვნება გინდა. თუმცა, ზოგს ეს მეთოდი არ მოსწონს იმის გამო, რომ თქვენ უნდა გაშორდეთ დავალებას და გონებრივი აქტივობა ხატვაზე გადართოთ. თუმცა ძალიან ეფექტური საშუალებაა.

გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით უტოლობების სისტემის ამოსახსნელად აუცილებელია თითოეული უტოლობის ყველა წევრის მარცხენა მხარეს გადატანა. ნიშნები შებრუნებული იქნება, მარჯვნივ უნდა დაიწეროს ნული, შემდეგ ყოველი უტოლობა ცალ-ცალკე დაიწეროს. შედეგად, ფუნქციები მიიღება უტოლობებიდან. ამის შემდეგ შეგიძლიათ მიიღოთ ფანქარი და სახაზავი: ახლა თქვენ უნდა დახაზოთ თითოეული მიღებული ფუნქციის გრაფიკი. რიცხვების მთელი სიმრავლე, რომელიც იქნება მათი გადაკვეთის ინტერვალში, იქნება უტოლობათა სისტემის ამოხსნა.

ალგებრული გზა

საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა ორი უცნობი ცვლადით. ასევე, უტოლობებს უნდა ჰქონდეთ ერთი და იგივე უტოლობის ნიშანი (ანუ უნდა შეიცავდეს მხოლოდ ნიშანს „ზე მეტი“, ან მხოლოდ „ნაკლები“ ​​და ა.შ.) მიუხედავად მისი შეზღუდვებისა, ეს მეთოდი ასევე უფრო რთულია. იგი გამოიყენება ორ ეტაპად.

პირველი მოიცავს მოქმედებებს ერთ-ერთი უცნობი ცვლადისგან თავის დასაღწევად. ჯერ უნდა აირჩიოთ ის, შემდეგ შეამოწმეთ ამ ცვლადის წინ ნომრების არსებობა. თუ არცერთი არ არის (მაშინ ცვლადი გამოიყურება როგორც ერთი ასო), მაშინ ჩვენ არაფერს ვცვლით, თუ არის (ცვლადის ტიპი იქნება, მაგალითად, 5y ან 12y), მაშინ აუცილებელია დარწმუნდეთ რომ თითოეულ უტოლობაში არჩეული ცვლადის წინ რიცხვი იგივეა. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ უტოლობების თითოეული წევრი საერთო კოეფიციენტზე, მაგალითად, თუ პირველ უტოლობაში 3y იწერება, მეორეში კი 5y, მაშინ პირველი უტოლობაში ყველა წევრი უნდა გაამრავლოთ. 5-ით, მეორე კი 3-ით. გამოვა შესაბამისად 15 წ და 15 წ.

გადაწყვეტილების მეორე ეტაპი. აუცილებელია თითოეული უტოლობის მარცხენა მხარე გადავიტანოთ მათ მარჯვენა მხარეს, თითოეული წევრის ნიშნის საპირისპირო ცვლილებით, მარჯვნივ ჩაწეროთ ნული. შემდეგ მოდის სახალისო ნაწილი: არჩეული ცვლადის მოშორება (სხვაგვარად ცნობილი როგორც "შემცირება") უტოლობების დამატებით. თქვენ მიიღებთ უტოლობას ერთი ცვლადით, რომელიც უნდა გადაიჭრას. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე, მხოლოდ სხვა უცნობი ცვლადით. მიღებული შედეგები იქნება სისტემის გადაწყვეტა.

ჩანაცვლების მეთოდი

საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა, როდესაც შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება. როგორც წესი, ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც უცნობი ცვლადი უტოლობის ერთ წევრში ამაღლებულია მეოთხე ხარისხში, ხოლო მეორე ნაწილში კვადრატში. ამრიგად, ეს მეთოდი მიზნად ისახავს სისტემაში უთანასწორობის ხარისხის შემცირებას. ნიმუშის უტოლობა x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 იხსნება ამ გზით შემდეგნაირად. შემოღებულია ახალი ცვლადი, მაგალითად t. ისინი წერენ: "Let t = x 2", შემდეგ მოდელი გადაიწერება ახალი ფორმით. ჩვენს შემთხვევაში ვიღებთ t 2 - t - 1 ≤0. ეს უტოლობა უნდა გადაწყდეს ინტერვალის მეთოდით (დაახლოებით ცოტა მოგვიანებით), შემდეგ დაუბრუნდეთ X ცვლადს, შემდეგ იგივე გააკეთოთ სხვა უტოლობით. მიღებული პასუხები იქნება სისტემის გადაწყვეტილება.

დაშორების მეთოდი

ეს უტოლობების სისტემების ამოხსნის უმარტივესი გზაა და ამავდროულად უნივერსალური და ფართოდ გავრცელებული. იგი გამოიყენება საშუალო სკოლაში და თუნდაც საშუალო სკოლაში. მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ სტუდენტი ეძებს უტოლობის ინტერვალებს რიცხვით წრფეზე, რომელიც დახატულია რვეულში (ეს არ არის გრაფიკი, არამედ ჩვეულებრივი სწორი ხაზი რიცხვებით). სადაც უტოლობათა ინტერვალები იკვეთება, სისტემის ამონახსნები იპოვება. ინტერვალის მეთოდის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

1. ყოველი უტოლობის ყველა წევრი გადადის მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნის ცვლილებით (მარჯვნივ იწერება ნული).
2. უტოლობა იწერება ცალ-ცალკე, დგინდება თითოეული მათგანის ამოხსნა.
3. ნაპოვნია უტოლობების გადაკვეთები რეალურ წრფეზე. ყველა რიცხვი ამ კვეთაზე იქნება გამოსავალი.

რომელი გზა გამოვიყენო?

ცხადია, ყველაზე მარტივი და მოსახერხებელი ჩანს, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ამოცანები მოითხოვს გარკვეულ მეთოდს. ყველაზე ხშირად, ისინი ამბობენ, რომ თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ან გრაფიკის გამოყენებით, ან ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით. ალგებრული მეთოდი და ჩანაცვლება გამოიყენება ძალიან იშვიათად ან საერთოდ არ გამოიყენება, რადგან ისინი საკმაოდ რთული და დამაბნეველია და გარდა ამისა, ისინი უფრო მეტად გამოიყენება განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად, ვიდრე უტოლობა, ამიტომ უნდა მიმართოთ გრაფიკების და ინტერვალების დახატვას. მათ მოაქვთ ხილვადობა, რაც ხელს უწყობს მათემატიკური ოპერაციების ეფექტურ და სწრაფ შესრულებას.

თუ რამე არ მუშაობს

ალგებრაში კონკრეტული თემის შესწავლისას, რა თქმა უნდა, შეიძლება წარმოიშვას პრობლემები მის გაგებასთან დაკავშირებით. და ეს ნორმალურია, რადგან ჩვენი ტვინი შექმნილია ისე, რომ მას არ შეუძლია რთული მასალის ერთბაშად გაგება. ხშირად გჭირდებათ აბზაცის ხელახლა წაკითხვა, მასწავლებლის დახმარება ან ტიპიური პრობლემების გადაჭრის ვარჯიში. ჩვენს შემთხვევაში ისინი, მაგალითად, ასე გამოიყურებიან: „ამოხსენით უტოლობათა სისტემა 3 x + 1 ≥ 0 და 2 x - 1 > 3“. ამრიგად, პირადი სწრაფვა, მესამე მხარის ადამიანების დახმარება და პრაქტიკა ხელს უწყობს ნებისმიერი რთული თემის გაგებას.

რეშებნიკი?

და გადაწყვეტის წიგნი ასევე ძალიან კარგად შეეფერება, მაგრამ არა საშინაო დავალების მოტყუებისთვის, არამედ თვითდახმარებისთვის. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ უტოლობების სისტემები მათში ამონახსნით, შეხედოთ მათ (როგორც შაბლონებს), შეეცადოთ გაიგოთ, თუ როგორ გაართვა თავი ამოხსნის ავტორმა დავალებას და შემდეგ სცადოთ ამის გაკეთება საკუთარ თავზე.

დასკვნები

ალგებრა სკოლაში ერთ-ერთი ყველაზე რთული საგანია. აბა, რა შეგიძლია გააკეთო? მათემატიკა ყოველთვის ასე იყო: ზოგისთვის ადვილია, ზოგისთვის კი რთული. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, უნდა გვახსოვდეს, რომ ზოგადსაგანმანათლებლო პროგრამა შექმნილია ისე, რომ ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია გაუმკლავდეს მას. გარდა ამისა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ასისტენტების დიდი რაოდენობა. ზოგიერთი მათგანი ზემოთ იყო ნახსენები.

უთანასწორობის სისტემაჩვეულებრივად არის გამოძახებული ორი ან მეტი უტოლობის ნებისმიერი ნაკრები, რომელიც შეიცავს უცნობ რაოდენობას.

ეს ფორმულირება ნათლად არის ილუსტრირებული, მაგალითად, ასეთი უტოლობების სისტემები:

ამოხსენით უტოლობების სისტემა - ნიშნავს უცნობი ცვლადის ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რომლისთვისაც რეალიზებულია სისტემის თითოეული უტოლობა, ან იმის მტკიცება, რომ არ არსებობს ასეთი .

ასე რომ, თითოეული ინდივიდისთვის სისტემური უთანასწორობებიგამოთვალეთ უცნობი ცვლადი. გარდა ამისა, მიღებული მნიშვნელობებიდან ირჩევს მხოლოდ იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც შეესაბამება როგორც პირველ, ასევე მეორე უტოლობას. ამიტომ, არჩეული მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას, სისტემის ორივე უტოლობა სწორი ხდება.

მოდით გავაანალიზოთ რამდენიმე უტოლობის ამოხსნა:

მოათავსეთ ერთი რიცხვითი ხაზების მეორე წყვილის ქვეშ; დააყენეთ მნიშვნელობა ზევით x, რომლის ქვეშ არის პირველი უტოლობა o ( x> 1) გახდეს ჭეშმარიტი და ბოლოში მნიშვნელობა Xრომელიც არის მეორე უტოლობის ამოხსნა ( X> 4).

მონაცემების შედარებით რიცხვითი ხაზები, გაითვალისწინეთ, რომ გამოსავალი ორივესთვის უთანასწორობებინება X> 4. პასუხი, X> 4.

მაგალითი 2

პირველის გაანგარიშება უთანასწორობავიღებთ -3 X< -6, или x> 2, მეორე - X> -8, ან X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, რომლის მიხედვითაც პირველი სისტემის უთანასწორობადა ქვედა რიცხვების ხაზში, ყველა ეს მნიშვნელობა X, რომლის პირობებშიც რეალიზებულია სისტემის მეორე უტოლობა.

მონაცემების შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ ორივე უთანასწორობებიგანხორციელდება ყველა ღირებულებისთვის Xგანთავსებულია 2-დან 8-მდე. ღირებულებების ნაკრები Xაღნიშნავენ ორმაგი უთანასწორობა 2 < X< 8.

მაგალითი 3მოდი ვიპოვოთ

ამ სტატიაში შეგროვდა საწყისი ინფორმაცია უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აქ ჩვენ ვაძლევთ უტოლობების სისტემის განმარტებას და უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტებას. ასევე ჩამოთვლილია სისტემების ძირითადი ტიპები, რომლებთანაც ყველაზე ხშირად გიწევთ მუშაობა სკოლაში ალგებრის გაკვეთილებზე და მოცემულია მაგალითები.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის უთანასწორობის სისტემა?

მოსახერხებელია უტოლობების სისტემების განსაზღვრა ისევე, როგორც ჩვენ შემოვიღეთ განტოლებათა სისტემის განმარტება, ანუ ჩანაწერის ტიპისა და მასში ჩადებული მნიშვნელობის მიხედვით.

განმარტება.

უტოლობების სისტემაარის ჩანაწერი, რომელიც წარმოადგენს უტოლობების გარკვეულ რაოდენობას დაწერილი ერთმანეთის ქვეშ, გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით და აღნიშნავს ყველა ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც ერთდროულად ამონახსნებია სისტემის თითოეული უტოლობისთვის.

მოვიყვანოთ უტოლობების სისტემის მაგალითი. აიღეთ ორი თვითნებური, მაგალითად, 2 x−3>0 და 5−x≥4 x−11, ჩაწერეთ ისინი ერთმანეთის ქვეშ.
2x−3>0,
5−x≥4 x−11
და გავერთიანდეთ სისტემის ნიშანთან - ხვეული ფრჩხილით, შედეგად ვიღებთ შემდეგი ფორმის უტოლობების სისტემას:

ანალოგიურად, მოცემულია იდეა სასკოლო სახელმძღვანელოებში უთანასწორობის სისტემების შესახებ. აღსანიშნავია, რომ მათში განმარტებები მოცემულია უფრო ვიწრო: უტოლობებისთვის ერთი ცვლადით ან ორი ცვლადით.

უტოლობების სისტემების ძირითადი ტიპები

ნათელია, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი სხვადასხვა უტოლობის სისტემა. იმისათვის, რომ არ დაიკარგოთ ამ მრავალფეროვნებაში, მიზანშეწონილია მათი განხილვა ჯგუფებში, რომლებსაც აქვთ საკუთარი გამორჩეული თვისებები. უტოლობების ყველა სისტემა შეიძლება დაიყოს ჯგუფებად შემდეგი კრიტერიუმების მიხედვით:

• სისტემაში არსებული უტოლობების რაოდენობით;
• ჩაწერაში ჩართული ცვლადების რაოდენობის მიხედვით;
• უტოლობების ბუნებით.

ჩანაწერში შეტანილი უტოლობათა რაოდენობის მიხედვით გამოიყოფა სისტემები ორი, სამი, ოთხი და ა.შ. უთანასწორობები. წინა აბზაცში ჩვენ მოვიყვანეთ სისტემის მაგალითი, რომელიც არის ორი უტოლობის სისტემა. მოდით ვაჩვენოთ ოთხი უტოლობის სისტემის კიდევ ერთი მაგალითი .

ცალკე ვამბობთ, რომ აზრი არ აქვს ერთი უთანასწორობის სისტემაზე ლაპარაკს, ამ შემთხვევაში, ფაქტობრივად, საუბარია თავად უთანასწორობაზე და არა სისტემაზე.

თუ გადავხედავთ ცვლადების რაოდენობას, მაშინ არის უტოლობების სისტემები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები (ან, როგორც ამბობენ, უცნობი). შეხედეთ ზემოთ დაწერილ ორ აბზაცში დაწერილ უტოლობათა ბოლო სისტემას. ეს არის სისტემა სამი ცვლადით x , y და z . გაითვალისწინეთ, რომ მისი პირველი ორი უტოლობა არ შეიცავს სამივე ცვლადს, არამედ მხოლოდ ერთ მათგანს. ამ სისტემის კონტექსტში ისინი უნდა გავიგოთ, როგორც უტოლობები x+0 y+0 z≥−2 და 0 x+y+0 z≤5 ფორმის სამი ცვლადით, შესაბამისად. გაითვალისწინეთ, რომ სკოლა ორიენტირებულია უთანასწორობაზე ერთი ცვლადით.

რჩება განხილვა, თუ რა სახის უთანასწორობაა ჩართული დამწერლობის სისტემებში. სკოლაში ძირითადად განიხილავენ ორი უტოლობის სისტემებს (ნაკლებად ხშირად - სამი, უფრო იშვიათად - ოთხი ან მეტი) ერთი ან ორი ცვლადით, ხოლო თავად უტოლობები ჩვეულებრივ. მთელი რიცხვების უტოლობებიპირველი ან მეორე ხარისხი (ნაკლებად ხშირად - უმაღლესი ხარისხი ან წილადი რაციონალური). მაგრამ არ გაგიკვირდეთ, თუ OGE-ს მოსამზადებელ მასალებში შეხვდებით უტოლობების სისტემებს, რომლებიც შეიცავს ირაციონალურ, ლოგარითმულ, ექსპონენციალურ და სხვა უტოლობას. მაგალითისთვის წარმოგიდგენთ უტოლობათა სისტემას , აღებულია .

რა არის უტოლობათა სისტემის ამოხსნა?

ჩვენ შემოგთავაზებთ კიდევ ერთ განმარტებას, რომელიც დაკავშირებულია უტოლობათა სისტემებთან - უტოლობების სისტემის ამოხსნის განმარტება:

განმარტება.

უტოლობათა სისტემის ამოხსნა ერთი ცვლადითცვლადის ისეთ მნიშვნელობას უწოდებენ, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ უტოლობას ჭეშმარიტად, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნა.

ავხსნათ მაგალითით. ავიღოთ ორი უტოლობის სისტემა ერთი ცვლადით. ავიღოთ x ცვლადის მნიშვნელობა 8-ის ტოლი, ეს არის ჩვენი უტოლობების სისტემის ამოხსნა განმარტებით, რადგან მისი ჩანაცვლება სისტემის უტოლობებით იძლევა ორ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას 8>7 და 2−3 8≤0 . პირიქით, ერთეული არ არის სისტემის ამონახსნი, რადგან როდესაც ის ჩაანაცვლებს x ცვლადს, პირველი უტოლობა გადაიქცევა არასწორ რიცხვით უტოლობად 1>7 .

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ამოხსნის განმარტება უტოლობათა სისტემისთვის ორი, სამი ან მეტი ცვლადით:

განმარტება.

უტოლობების სისტემის ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიე.წ. წყვილი, სამმაგი და ა.შ. ამ ცვლადების მნიშვნელობები, რომელიც ერთდროულად არის სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნა, ანუ აქცევს სისტემის თითოეულ უტოლობას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად.

მაგალითად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2 ან სხვაგვარად (1, 2) არის ამონახსნი უტოლობათა სისტემის ორი ცვლადით, ვინაიდან 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

უტოლობების სისტემებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეთ ამონახსნების სასრული რაოდენობა, ან შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ხშირად საუბრობენ უთანასწორობების სისტემის ამოხსნის ერთობლიობაზე. როდესაც სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, მაშინ არის მისი გადაწყვეტილებების ცარიელი ნაკრები. როდესაც ამონახსნების სასრული რაოდენობაა, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შეიცავს ელემენტთა სასრულ რაოდენობას, ხოლო როდესაც ამონახსნები უსასრულოდ ბევრია, მაშინ ამონახსნთა სიმრავლე შედგება ელემენტების უსასრულო რაოდენობისგან.

ზოგიერთი წყარო შემოაქვს უთანასწორობების სისტემის კონკრეტული და ზოგადი ამოხსნის განმარტებებს, როგორც, მაგალითად, მორდკოვიჩის სახელმძღვანელოებში. ქვეშ უტოლობების სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტაგაიგე მისი ერთი გამოსავალი. თავის მხრივ უტოლობათა სისტემის ზოგადი ამოხსნა- ეს ყველაფერი მისი პირადი გადაწყვეტილებებია. თუმცა, ამ ტერმინებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც საჭიროა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, თუ რომელი გამოსავალი განიხილება, მაგრამ, როგორც წესი, ეს უკვე ნათელია კონტექსტიდან, ამიტომ ბევრად უფრო გავრცელებულია უბრალოდ ვთქვათ „უთანასწორობათა სისტემის ამოხსნა“.

ამ სტატიაში მოყვანილი უტოლობათა სისტემის განმარტებებიდან და მისი ამონახსნებიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის ამ სისტემის ყველა უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა.

ბიბლიოგრაფია.

1. Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ .: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. გამოყენება-2013წ. მათემატიკა: ტიპიური საგამოცდო ვარიანტები: 30 ვარიანტი / რედ. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. - მ .: გამომცემლობა "ეროვნული განათლება", 2012. - 192გვ. - (USE-2013. FIPI - სკოლა).

ორი ან მეტი წრფივი უტოლობის ნებისმიერი კრებული, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე უცნობ რაოდენობას, ეწოდება

აქ მოცემულია ასეთი სისტემების მაგალითები:

ორი სხივის გადაკვეთის შუალედი ჩვენი გამოსავალია. ამიტომ, ამ უთანასწორობის ამოხსნა არის ყველაფერი Xმდებარეობს ორდან რვამდე.

პასუხი: X

უტოლობების სისტემის ამოხსნის ამ ტიპის რუკის გამოყენებას ზოგჯერ უწოდებენ სახურავის მეთოდი.

განმარტება:ორი კომპლექტის გადაკვეთა მაგრამდა ATეწოდება ისეთ მესამე კომპლექტს, რომელიც მოიცავს ყველა ელემენტს, რომელიც შედის და შედის მაგრამდა ში AT. ეს არის თვითნებური ხასიათის კომპლექტების გადაკვეთის მნიშვნელობა. ახლა დეტალურად განვიხილავთ რიცხვით სიმრავლეებს, ამიტომ წრფივი უტოლობების პოვნისას ასეთი სიმრავლეებია სხივები - თანამიმართული, წინააღმდეგ მიმართული და ა.შ.

მოდი გავარკვიოთ რეალურზე მაგალითებიუტოლობების წრფივი სისტემების პოვნა, როგორ განვსაზღვროთ სისტემაში შემავალი ცალკეული უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეების კვეთა.

გამოთვლა უთანასწორობის სისტემა:

მოდით მოვათავსოთ ძალის ორი ხაზი ერთმანეთის ქვემოთ. ზემოდან ჩვენ ვაყენებთ ამ მნიშვნელობებს X,რომლებიც ასრულებენ პირველ უტოლობას x>7 , და ბოლოში - რომლებიც მოქმედებენ როგორც მეორე უტოლობის ამოხსნა x>10 ჩვენ ვაკავშირებთ რიცხვითი წრფეების შედეგებს, გავარკვიეთ, რომ ორივე უტოლობა დაკმაყოფილდება x>10.

პასუხი: (10;+∞).

ჩვენ ვაკეთებთ ანალოგიით პირველ ნიმუშთან. მოცემულ ციფრულ ღერძზე დახაზეთ ყველა ეს მნიშვნელობა Xრომლისთვისაც პირველი არსებობს სისტემის უთანასწორობადა მეორე ციფრულ ღერძზე, რომელიც მოთავსებულია პირველის ქვეშ, ყველა ეს მნიშვნელობა X, რისთვისაც დაკმაყოფილებულია სისტემის მეორე უტოლობა. მოდით შევადაროთ ეს ორი შედეგი და დავადგინოთ, რომ ორივე უტოლობა ერთდროულად დაკმაყოფილდება ყველა მნიშვნელობისთვის Xმდებარეობს 7-დან 10-მდე, ნიშნების გათვალისწინებით, ვიღებთ 7-ს<x≤10

პასუხი: (7; 10].

ქვემოთ მოგვარებულია იმავე გზით. უტოლობების სისტემები.