აქამდე განვიხილეთ სიბრტყეზე ხაზების განტოლებები, რომლებიც პირდაპირ აკავშირებს ამ წრფეების წერტილების მიმდინარე კოორდინატებს. თუმცა, ხშირად გამოიყენება ხაზის დაზუსტების სხვა გზა, რომელშიც მიმდინარე კოორდინატები განიხილება, როგორც მესამე ცვლადის ფუნქციები.

ცვლადის ორი ფუნქცია იყოს მოცემული

განიხილება ტ-ის იგივე მნიშვნელობებისთვის. მაშინ t-ის ამ მნიშვნელობებიდან რომელიმე შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას და y-ის გარკვეულ მნიშვნელობას და, შესაბამისად, გარკვეულ წერტილს. როდესაც ცვლადი t გადის ყველა მნიშვნელობას ფუნქციის განსაზღვრის არედან (73), წერტილი აღწერს სიბრტყეში С წრფეს. განტოლებებს (73) ეწოდება ამ ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს, ხოლო ცვლადს ეწოდება პარამეტრი.

დავუშვათ, რომ ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია. ამ ფუნქციის ჩანაცვლება განტოლებიდან მეორეში (73), მივიღებთ განტოლებას.

y-ს ფუნქციის სახით გამოხატვა

შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ეს ფუნქცია პარამეტრულად მოცემულია განტოლებებით (73). ამ განტოლებიდან გადასვლას (74) განტოლებაზე ეწოდება პარამეტრის აღმოფხვრა. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციების განხილვისას, პარამეტრის გამორიცხვა არა მხოლოდ აუცილებელი არ არის, არამედ ყოველთვის პრაქტიკულად არ არის შესაძლებელი.

ხშირ შემთხვევაში, ბევრად უფრო მოსახერხებელია, პარამეტრის სხვადასხვა მნიშვნელობების გათვალისწინებით, შემდეგ ფორმულების გამოყენებით (73) გამოვთვალოთ არგუმენტისა და ფუნქციის y შესაბამისი მნიშვნელობები.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. მოდით იყოს წრის თვითნებური წერტილი, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და R რადიუსზე. ამ წერტილის დეკარტიის კოორდინატები x და y გამოიხატება მისი პოლარული რადიუსისა და პოლარული კუთხით, რომელსაც აქ ვნიშნავთ t-ით შემდეგნაირად ( იხ. I, § 3, პუნქტი 3):

განტოლებებს (75) წრის პარამეტრულ განტოლებებს უწოდებენ. მათში პარამეტრი არის პოლარული კუთხე, რომელიც მერყეობს 0-დან.

თუ განტოლებები (75) მოეწყობა კვადრატში და დაემატება ტერმინი ტერმინით, მაშინ, იდენტურობის გამო, პარამეტრი აღმოიფხვრება და მიიღება წრის განტოლება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ორ ელემენტარულ ფუნქციას:

თითოეული ეს ფუნქცია პარამეტრულად არის განსაზღვრული განტოლებებით (75), მაგრამ ამ ფუნქციების პარამეტრების ცვალებადობის დიაპაზონი განსხვავებულია. პირველისთვის; ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედა ნახევარწრიული. მეორე ფუნქციისთვის მისი გრაფიკი არის ქვედა ნახევარწრიული.

მაგალითი 2. ერთდროულად განვიხილოთ ელიფსი

და წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და რადიუსზე a (სურ. 138).

ელიფსის M წერტილს ვუკავშირებთ წრის N წერტილს, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა, როგორც M წერტილი და მასთან ერთად მდებარეობს Ox ღერძის იმავე მხარეს. N წერტილის პოზიცია და, შესაბამისად, წერტილი M, მთლიანად განისაზღვრება წერტილის t პოლარული კუთხით. ამ შემთხვევაში, მათი საერთო აბსცისისთვის ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: x \u003d a. ჩვენ ვპოულობთ ორდინატს M წერტილში ელიფსის განტოლებიდან:

ნიშანი არჩეულია იმის გამო, რომ ორდინატს M წერტილში და ორდინატს N წერტილში უნდა ჰქონდეს იგივე ნიშნები.

ამრიგად, ელიფსისთვის მიიღება შემდეგი პარამეტრული განტოლებები:

აქ პარამეტრი t იცვლება 0-დან.

მაგალითი 3. განვიხილოთ წრე a) წერტილით ცენტრით და a რადიუსით, რომელიც, ცხადია, სათავეში ეხება x ღერძს (სურ. 139). დავუშვათ, რომ ეს არის წრე, რომელიც მოძრაობს x-ღერძის გასწვრივ სრიალის გარეშე. შემდეგ წრის წერტილი M, რომელიც საწყის მომენტში დაემთხვა საწყისს, აღწერს წრფეს, რომელსაც ციკლოიდი ეწოდება.

გამოვიყვანთ ციკლოიდის პარამეტრულ განტოლებებს, პარამეტრად ვიღებთ MSW წრის ბრუნვის კუთხეს მისი ფიქსირებული წერტილის O პოზიციიდან M პოზიციაზე გადატანისას. შემდეგ M წერტილის კოორდინატებისთვის და y ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებებს:

იმის გამო, რომ წრე ღერძის გასწვრივ მოძრაობს ცურვის გარეშე, OB სეგმენტის სიგრძე უდრის რკალის VM სიგრძის. ვინაიდან VM რკალის სიგრძე უდრის a რადიუსისა და ცენტრალური კუთხის ნამრავლს, მაშინ . Ისე . მაგრამ, შესაბამისად,

ეს განტოლებები არის ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები. t პარამეტრის 0-დან წრეზე შეცვლისას მოხდება ერთი სრული რევოლუცია. წერტილი M აღწერს ციკლოიდის ერთ რკალს.

t პარამეტრის გამორიცხვა აქ იწვევს რთულ გამონათქვამებამდე და პრაქტიკულად არაპრაქტიკულია.

ხაზების პარამეტრული განსაზღვრა განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება მექანიკაში, ხოლო დრო პარამეტრის როლს ასრულებს.

მაგალითი 4. განვსაზღვროთ თოფიდან ნასროლი ჭურვის ტრაექტორია საწყისი სიჩქარით ჰორიზონტის მიმართ a კუთხით. უგულებელყოფილია ჰაერის წინააღმდეგობა და ჭურვის ზომები, იმის გათვალისწინებით, რომ იგი მატერიალური წერტილია.

ავირჩიოთ კოორდინატთა სისტემა. კოორდინატების წარმოშობისთვის ჩვენ ვიღებთ ჭურვის ამოსვლის წერტილს მჭიდიდან. Ox ღერძი მივმართოთ ჰორიზონტალურად, ხოლო Oy ღერძი - ვერტიკალურად, განვათავსოთ ისინი იმავე სიბრტყეში იარაღის მჭიდით. გრავიტაციული ძალა რომ არ არსებობდეს, მაშინ ჭურვი გადაადგილდებოდა სწორი ხაზის გასწვრივ, ქმნიდა A კუთხეს Ox ღერძთან და იმ დროისთვის t ჭურვი გაივლიდა მანძილს. დედამიწის მიზიდულობის გამო ჭურვი ამ მომენტში ვერტიკალურად უნდა დაეცეს მნიშვნელობით, ამიტომ რეალურად t მომენტში ჭურვის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

ეს განტოლებები მუდმივებია. როდესაც t იცვლება, შეიცვლება ჭურვის ტრაექტორიის წერტილის კოორდინატებიც. განტოლებები არის ჭურვის ტრაექტორიის პარამეტრული განტოლებები, რომლებშიც პარამეტრი არის დრო

პირველი განტოლებიდან გამოხატვა და მისი ჩანაცვლება

მეორე განტოლება, ვიღებთ ჭურვის ტრაექტორიის განტოლებას სახით ეს არის პარაბოლის განტოლება.

განვიხილოთ სიბრტყეზე წრფის განმარტება, რომელშიც x, y ცვლადები მესამე t ცვლადის ფუნქციებია (ე.წ. პარამეტრი):

ყოველი ღირებულებისთვის ტგარკვეული ინტერვალიდან შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობებს xდა y, და, აქედან გამომდინარე, სიბრტყის გარკვეული წერტილი M(x, y). Როდესაც ტგადის ყველა მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, შემდეგ წერტილიდან მ (x, y) აღწერს ზოგიერთ ხაზს ლ. განტოლებებს (2.2) უწოდებენ წრფის პარამეტრულ განტოლებებს ლ.

თუ x = φ(t) ფუნქციას აქვს შებრუნებული t = Ф(x), მაშინ ამ გამოხატვის ჩანაცვლებით განტოლებაში y = g(t), მივიღებთ y = g(Ф(x)), რომელიც განსაზღვრავს წროგორც ფუნქცია x. ამ შემთხვევაში, განტოლებები (2.2) ამბობენ, რომ განსაზღვრავს ფუნქციას წპარამეტრულად.

მაგალითი 1დაე იყოს M (x, y)არის რადიუსის წრის თვითნებური წერტილი რდა ორიენტირებულია საწყისზე. დაე იყოს ტ- კუთხე ღერძს შორის ოქსიდა რადიუსი OM(იხ. სურათი 2.3). მერე x, yგამოხატული მეშვეობით t:

განტოლებები (2.3) არის წრის პარამეტრული განტოლებები. გამოვრიცხოთ პარამეტრი t (2.3) განტოლებიდან. ამისათვის, თითოეულ განტოლებას ვაწყობთ კვადრატში და ვაგროვებთ მას, მივიღებთ: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ან x 2 + y 2 \u003d R 2 - წრის განტოლება დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. ის განსაზღვრავს ორ ფუნქციას: თითოეული ეს ფუნქცია მოცემულია პარამეტრული განტოლებით (2.3), მაგრამ პირველი ფუნქციისთვის და მეორესთვის.

მაგალითი 2. პარამეტრული განტოლებები

განსაზღვრეთ ელიფსი ნახევარღერძებით ა, ბ(ნახ. 2.4). პარამეტრის ამოღება განტოლებიდან ტვიღებთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას:

მაგალითი 3. ციკლოიდი არის ხაზი, რომელიც აღწერილია წრეზე დაწოლილი წერტილით, თუ ეს წრე მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ სრიალის გარეშე (ნახ. 2.5). შემოვიღოთ ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები. იყოს მოძრავი წრის რადიუსი ა, წერტილი მ, რომელიც აღწერს ციკლოიდს, მოძრაობის დასაწყისში დაემთხვა წარმოშობას.

განვსაზღვროთ კოორდინატები x, y ქულა მმას შემდეგ, რაც წრე შემობრუნდება კუთხით ტ
(ნახ. 2.5), t = ÐMCB. რკალის სიგრძე მბსეგმენტის სიგრძის ტოლია OB,ვინაიდან წრე ცურვის გარეშე მოძრაობს, ასე რომ

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a (1 - ღირებულება).

ასე რომ, მიიღება ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები:

პარამეტრის შეცვლისას ტ 0-დან 2πწრე ბრუნავს ერთი რევოლუციით, ხოლო წერტილი მაღწერს ციკლოიდის ერთ რკალს. განტოლებები (2.5) განსაზღვრავს წროგორც ფუნქცია x. მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქცია x = a (t - sint)აქვს შებრუნებული ფუნქცია, მაგრამ ის არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით, ამიტომ ფუნქცია y = f(x)არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით.

განვიხილოთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის დიფერენციაცია (2.2) განტოლებებით. x = φ(t) ფუნქციას t ცვლილების გარკვეულ ინტერვალზე აქვს შებრუნებული ფუნქცია t = Ф(x), მაშინ y = g(Ф(x)). დაე იყოს x = φ(t), y = g(t)აქვს წარმოებულები და x"t≠0. რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის მიხედვით y"x=y"t×t"x.შებრუნებული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის საფუძველზე, შესაბამისად:

შედეგად მიღებული ფორმულა (2.6) საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წარმოებული პარამეტრულად მოცემული ფუნქციისთვის.

მაგალითი 4. მოდით ფუნქცია წ, დამოკიდებულია x, დაყენებულია პარამეტრულად:

გადაწყვეტილება. .
მაგალითი 5იპოვეთ ფერდობი კპარამეტრის მნიშვნელობის შესაბამისი M 0 წერტილში ციკლოიდზე ტანგენსი.
გადაწყვეტილება.ციკლოიდური განტოლებიდან: y" t = asint, x" t = a (1 - ღირებულება),Ამიტომაც

ტანგენტის დახრილობა წერტილში M0ტოლი მნიშვნელობის t 0 \u003d π / 4:

ფუნქციის დიფერენციალი

დაუშვით ფუნქცია ერთ წერტილში x0აქვს წარმოებული. ა-პრიორიტეტი:
შესაბამისად, ლიმიტის თვისებებით (სექ. 1.8) , სადაც აარის უსასრულოდ პატარა ∆x → 0. აქედან

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

როგორც Δx → 0, ტოლობის მეორე წევრი (2.7) არის უსასრულოდ მცირე უმაღლესი რიგი, შედარებით , შესაბამისად Δy და f "(x 0) × Δx არის ექვივალენტური, უსასრულოდ მცირე (f "(x 0) ≠ 0).

ამრიგად, Δy ფუნქციის ზრდა შედგება ორი წევრისაგან, რომელთაგან პირველი f "(x 0) × Δx არის მთავარი ნაწილი იზრდება Δy, წრფივი Δx-ის მიმართ (f "(x 0) ≠ 0-ისთვის).

დიფერენციალურიფუნქცია f(x) x 0 წერტილში ეწოდება ფუნქციის ნაზრდის ძირითად ნაწილს და აღინიშნება: დიან df(x0). აქედან გამომდინარე,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის დიფერენციალი დიდა Δy ფუნქციის ზრდა y \u003d x 2 ფუნქციისთვის, როდესაც:
1) თვითნებური xდა Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

გადაწყვეტილება

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) თუ x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, მაშინ Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0.1= 4.

ჩვენ ვწერთ ტოლობას (2.7) სახით:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

ნამატი Δy განსხვავდება დიფერენციალისგან დიუსასრულოდ მცირე უფრო მაღალი რიგით Δx-თან შედარებით, შესაბამისად, სავარაუდო გამოთვლებში, სავარაუდო ტოლობა Δy ≈ dy გამოიყენება, თუ Δx საკმარისად მცირეა.

იმის გათვალისწინებით, რომ Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), მივიღებთ სავარაუდო ფორმულას:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

მაგალითი 2. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გადაწყვეტილება.განიხილეთ:

ფორმულის გამოყენებით (2.10) ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, ≈ 2.025.

განვიხილოთ დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა df(x0)(ნახ. 2.6).

დახაზეთ tangent y = f (x) ფუნქციის გრაფიკზე M 0 წერტილში (x0, f (x 0)), დავუშვათ φ არის კუთხე KM0 ტანგენტსა და Ox ღერძს შორის, შემდეგ f" (x 0). ) = tgφ. ΔM0NP-დან:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). მაგრამ PN არის ტანგენტის ორდინატის ზრდა, როდესაც x იცვლება x 0-დან x 0-მდე + Δx.

მაშასადამე, f(x) ფუნქციის დიფერენციალი x 0 წერტილში ტოლია ტანგენტის ორდინატის ნამატის.

მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის დიფერენციალი
y=x. ვინაიდან (x)" = 1, მაშინ dx = 1 × Δx = Δx. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ x დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის მის ზრდას, ანუ dx = Δx.

თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ (2.8) ტოლობიდან ვიღებთ df(x) = f "(x)dx, საიდანაც .
ამრიგად, y = f(x) ფუნქციის წარმოებული უდრის არგუმენტის დიფერენციალურთან მისი დიფერენციალის შეფარდებას.

განვიხილოთ ფუნქციის დიფერენციალური თვისებები.

თუ u(x), v(x) დიფერენცირებადი ფუნქციებია, მაშინ ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები:

ამ ფორმულების დასამტკიცებლად გამოიყენება წარმოებული ფორმულები ჯამის, პროდუქტისა და კოეფიციენტისთვის. მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, ფორმულა (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

განვიხილოთ რთული ფუნქციის დიფერენციალი: y = f(x), x = φ(t), ე.ი. y = f(φ(t)).

მაშინ dy = y" t dt, მაგრამ y" t = y" x ×x" t , ასე რომ dy =y" x x" t dt. იმის გათვალისწინებით,

რომ x" t = dx, მივიღებთ dy = y" x dx =f "(x)dx.

ამრიგად, კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციალს y \u003d f (x), სადაც x \u003d φ (t), აქვს ფორმა dy \u003d f "(x) dx, იგივეა, როცა x დამოუკიდებელი ცვლადია. ეს თვისება ეწოდება ფორმის უცვლელი დიფერენციალი ა.

ლოგარითმული დიფერენციაცია

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

დიფერენცირების ძირითადი წესები

ფუნქციის დიფერენციალი

ფუნქციის ზრდის ძირითადი წრფივი ნაწილი ად xფუნქციის დიფერენციალურობის განსაზღვრაში

დ f=f(x)-ვ(x 0)= ა(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

ეწოდება ფუნქციის დიფერენციალი ვ(x) წერტილში x 0 და აღინიშნება

დფ(x 0)=f¢(x 0)დ x=Aდ x.

განსხვავება დამოკიდებულია წერტილზე x 0 და ნამატიდან D x.დ xდამოუკიდებელ ცვლადად შეხედვისას ისე, რომ თითოეულ წერტილში დიფერენციალი არის D ნამატის წრფივი ფუნქცია x.

ფუნქციად თუ განვიხილავთ ვ(x)=x, შემდეგ მივიღებთ dx=დ x, dy=Adx. ეს შეესაბამება ლაიბნიცის აღნიშვნას

დიფერენციალის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, როგორც ტანგენტის ორდინატის ნამატი.

ბრინჯი. 4.3

1) f=კონსტ , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

შედეგი. (შდრ(x))¢=cf¢(x), (გ 1 ვ 1 (x)+…+c n f n(x))¢= გ 1 ვ¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 და წარმოებული არსებობს, მაშინ f¢=(u¢v-v¢ u)/ვ 2 .

მოკლედ აღვნიშნავთ u=u(x), u 0 =უ(x 0), შემდეგ

ლიმიტის გავლა დ x® 0 ჩვენ ვიღებთ საჭირო თანასწორობას.

5) რთული ფუნქციის წარმოებული.

თეორემა. თუ არსებობს f¢(x 0), გ¢(x 0)და x 0 =გ(ტ 0), შემდეგ რომელიღაც უბანში თ 0 რთული ფუნქცია ვ(გ(ტ)), ის დიფერენცირებადია t წერტილში 0 და

მტკიცებულება.

ვ(x)-ვ(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ ა ( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

ვ(გ(ტ))-ვ(გ(ტ 0))= f¢(x 0)(გ(ტ)-გ(ტ 0))+ ა ( გ(ტ))(გ(ტ)-გ(ტ 0)).

ამ თანასწორობის ორივე მხარე გაყავით ( t - t 0) და გადადით ლიმიტამდე ზე t®t 0 .

6) შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლა.

თეორემა. დაე, f იყოს უწყვეტი და მკაცრად ერთფეროვანი[ა, ბ]. მოდით x წერტილში 0 Î( ა, ბ)არსებობს f¢(x 0)¹ 0 , მაშინ შებრუნებული ფუნქცია x=f -1 (წ)აქვს y წერტილში 0 წარმოებული ტოლი

მტკიცებულება. Ჩვენ გვჯერა ვმკაცრად მონოტონურად იზრდება, მაშინ ვ -1 (წ) არის უწყვეტი, მონოტონურად იზრდება [ ვ(ა), ვ(ბ)]. დავსვათ წ 0 =ვ(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

წ-წ 0=D წ. შებრუნებული ფუნქციის უწყვეტობის გამო D წ®0 Þ D x®0, გვაქვს

ზღვარზე გადასვლისას ვიღებთ საჭირო თანასწორობას.

7) ლუწი ფუნქციის წარმოებული არის კენტი, კენტი ფუნქციის წარმოებული ლუწი.

მართლაც, თუ x®-x 0 , შემდეგ - x® x 0 , Ამიტომაც

ლუწი ფუნქციისთვის კენტი ფუნქციისთვის

1) f=კონსტ, ვ¢(x)=0.

2) ვ(x)=x, f¢(x)=1.

3) ვ(x)=e x, ვ¢(x)= e x ,

4) ვ(x)=a x,(ნაჯახი)¢ = xლნ ა.

5) ლნ ა.

6) ვ(x)=ლნ x ,

შედეგი. (ლუწი ფუნქციის წარმოებული კენტია)

7) (xმ )¢= მ xმ-1 , x>0, xმ =ემ ლნ x .

8) (ცოდვა x)¢= cos x,

9) (Cos x)¢=- ცოდვა x,(კოს x)¢= (ცოდო( x+ p/2)) ¢= cos( x+პ/2)=-ცოდვა x.

10) (ტგ x)¢= 1/co 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/ცოდვა2 x.

16) შ x,ჩვ x.

f(x),, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ ვ¢(x)=ვ(x) (ლნ ვ(x))¢ .

ერთი და იგივე ფორმულა სხვაგვარად შეიძლება მივიღოთ ვ(x)=ელნ ვ(x) , f¢=eლნ ვ(x) (ლნ ვ(x))¢.

მაგალითი. გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული f=x x.

=x x = x x = x x = x x(ლნ x + 1).

წერტილების ლოკუსი სიბრტყეზე

დაერქმევა ფუნქციის გრაფიკს, მოცემული პარამეტრულად. ისინი ასევე საუბრობენ ფუნქციის პარამეტრულ განსაზღვრებაზე.

შენიშვნა 1.Თუ x, yუწყვეტი [ა, ბ] და x(ტ) მკაცრად მონოტონური სეგმენტზე (მაგალითად, მკაცრად მონოტონურად მზარდი), შემდეგ [ ა, ბ], a=x(ა) ,b=x(ბ) ფუნქცია განსაზღვრულია ვ(x)=y(ტ(x)), სადაც ტ(x) – x(t)-ის შებრუნებული ფუნქცია. ამ ფუნქციის გრაფიკი იგივეა, რაც ფუნქციის გრაფიკი

თუ ფარგლები პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია შეიძლება დაიყოს სეგმენტების სასრულ რაოდენობად ,k= 1,2,…,n,რომელთაგან თითოეულზე ფუნქცია x(ტ) მკაცრად მონოტონურია, შემდეგ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქცია იშლება ჩვეულებრივ ფუნქციების სასრულ რაოდენობად ფკ(x)=y(ტ -1 (x)) ფარგლებით [ x(ა კ), x(ბ კ)] აღმავალი უბნებისთვის x(ტ) და დომენებით [ x(ბ კ), x(ა კ)] ფუნქციის დაღმავალი მონაკვეთებისთვის x(ტ). ამ გზით მიღებულ ფუნქციებს პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ერთმნიშვნელოვანი ტოტები ეწოდება.

ნახატზე ნაჩვენებია პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი

არჩეული პარამეტრიზაციით, განსაზღვრების დომენი დაყოფილია ხუთ სექციად მკაცრი ერთფეროვნების ფუნქციის sin(2 ტ), ზუსტად: ტÎ ტÎ ,ტÎ ,ტÎ , და, შესაბამისად, გრაფიკი დაიყოფა ხუთ ერთმნიშვნელოვან ტოტად, რომლებიც შეესაბამება ამ განყოფილებებს.

ბრინჯი. 4.4

ბრინჯი. 4.5

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ იგივე წერტილის სხვა პარამეტრიზაცია

ამ შემთხვევაში მხოლოდ ოთხი ასეთი ფილიალი იქნება. ისინი შეესაბამება მკაცრი ერთფეროვნების სფეროებს ტÎ ,ტÎ , ტÎ ,ტÎ ფუნქციები ცოდვა (2 ტ).

ბრინჯი. 4.6

ფუნქციის sin(2.) ერთფეროვნების ოთხი მონაკვეთი ტ) გრძელ სეგმენტზე.

ბრინჯი. 4.7

ორივე გრაფიკის გამოსახულება ერთ ფიგურაში საშუალებას გაძლევთ დაახლოებით გამოსახოთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის გრაფიკი ორივე ფუნქციის მონოტონურობის არეების გამოყენებით.

განვიხილოთ, მაგალითად, პირველი ფილიალი, რომელიც შეესაბამება სეგმენტს ტÎ . ამ განყოფილების ბოლოში არის ფუნქცია x=ცოდვა (2 ტ) იღებს მნიშვნელობებს -1 და 1 ასე რომ, ეს ფილიალი განისაზღვრება [-1,1]-ზე. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა დაათვალიეროთ მეორე ფუნქციის ერთფეროვნების სფეროები y= cos( ტ), მას აქვს ერთფეროვნების ორი სფერო . ეს საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, რომ პირველ ტოტს აქვს მონოტონურობის ორი სეგმენტი. გრაფიკის ბოლო წერტილების პოვნის შემდეგ, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ისინი სწორი ხაზებით, რათა მიუთითოთ გრაფიკის ერთფეროვნების ბუნება. ამის გაკეთების შემდეგ თითოეულ ტოტთან, ჩვენ ვიღებთ გრაფიკის ერთმნიშვნელოვანი ტოტების ერთფეროვნების უბნებს (სურათზე ისინი წითლად არის გამოკვეთილი)

ბრინჯი. 4.8

პირველი ერთი ფილიალი ვ 1 (x)=y(ტ(x)) განყოფილების შესაბამისი დადგინდება x n[-1,1] . პირველი ერთი ფილიალი ტÎ , xО[-1,1].

სამივე დანარჩენ ფილიალს ასევე ექნება სიმრავლე [-1,1], როგორც მათი დომენი .

ბრინჯი. 4.9

მეორე ფილიალი ტÎ xО[-1,1].

ბრინჯი. 4.10

მესამე ფილიალი ტÎ x n[-1,1]

ბრინჯი. 4.11

მეოთხე ფილიალი ტÎ x n[-1,1]

ბრინჯი. 4.12

კომენტარი 2. ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული პარამეტრული დავალებები. განსხვავებები შეიძლება ეხებოდეს ორივე ფუნქციას x(ტ),ი(ტ) , და განსაზღვრების დომენები ეს ფუნქციები.

ერთი და იგივე ფუნქციის სხვადასხვა პარამეტრული მინიჭების მაგალითი

და ტ n[-1, 1] .

შენიშვნა 3.თუ x,y უწყვეტია , x(უ) -მკაცრად მონოტონური სეგმენტზე და არის წარმოებულები y¢(ტ 0),x¢(ტ 0)¹0, მაშინ არსებობს ვ¢(x 0)= .

ნამდვილად,.

ბოლო განცხადება ასევე ვრცელდება პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ერთმნიშვნელოვან ტოტებზე.

4.2 უმაღლესი ორდერის წარმოებულები და დიფერენციალი

უმაღლესი წარმოებულები და დიფერენციაციები. პარამეტრულად მოცემული ფუნქციების დიფერენცირება. ლაიბნიცის ფორმულა.

დაე, ფუნქცია იყოს მოცემული პარამეტრულად:
(1)
სადაც არის რაღაც ცვლადი, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. და მოდით, ფუნქციები და ჰქონდეს წარმოებულები ცვლადის გარკვეულ მნიშვნელობაზე. უფრო მეტიც, ფუნქციას ასევე აქვს შებრუნებული ფუნქცია წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში. შემდეგ ფუნქციას (1) აქვს წარმოებული წერტილში, რომელიც პარამეტრულ ფორმაში განისაზღვრება ფორმულებით:
(2)

აქ არის ფუნქციების წარმოებულები და ცვლადის (პარამეტრი) მიმართ. ისინი ხშირად იწერება შემდეგი ფორმით:
;
.

შემდეგ სისტემა (2) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

მტკიცებულება

პირობით, ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია. აღვნიშნოთ როგორც
.
მაშინ ორიგინალური ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რთული ფუნქცია:
.
ვიპოვოთ მისი წარმოებული რთული და შებრუნებული ფუნქციების დიფერენციაციის წესების გამოყენებით:
.

წესი დამტკიცებულია.

მტკიცებულება მეორე გზით

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული მეორე გზით, ფუნქციის წარმოებულის განმარტებაზე დაყრდნობით წერტილში:
.
შემოვიღოთ აღნიშვნა:
.
შემდეგ წინა ფორმულა იღებს ფორმას:
.

გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია წერტილის სიახლოვეს.
შემოვიღოთ აღნიშვნა:
; ;
; .
წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაყავით:
.
ზე,. მერე
.

წესი დამტკიცებულია.

უმაღლესი ორდერების წარმოებულები

უმაღლესი რიგის წარმოებულების მოსაძებნად საჭიროა რამდენჯერმე დიფერენცირება. დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის მეორე წარმოებული, შემდეგი სახით:
(1)

ფორმულის მიხედვით (2), ჩვენ ვპოულობთ პირველ წარმოებულს, რომელიც ასევე განისაზღვრება პარამეტრულად:
(2)

აღნიშნეთ პირველი წარმოებული ცვლადის საშუალებით:
.
შემდეგ, ცვლადთან მიმართებაში ფუნქციის მეორე წარმოებული რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული ცვლადის მიმართ. ცვლადის დამოკიდებულება ცვლადზე ასევე მითითებულია პარამეტრული გზით:
(3)
თუ შევადარებთ (3) ფორმულებს (1) და (2), ვხვდებით:

ახლა გამოვხატოთ შედეგი ფუნქციების და . ამისათვის ჩვენ ვცვლით და ვიყენებთ ფორმულას წილადის წარმოებულისთვის:
.
მერე
.

აქედან ვიღებთ ფუნქციის მეორე წარმოებულს ცვლადის მიმართ:

იგი ასევე მოცემულია პარამეტრული ფორმით. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ხაზი ასევე შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
.

პროცესის გაგრძელებით შესაძლებელია ფუნქციების წარმოებულების მიღება მესამე და უმაღლესი რიგის ცვლადიდან.

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელია წარმოებულის აღნიშვნა არ შემოვიტანოთ. შეიძლება ასე დაიწეროს:
;
.

მაგალითი 1

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულებს და მიმართებაში.
წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
;
.
ჩვენ მივმართავთ:

.
Აქ .

.
Აქ .

სასურველი წარმოებული:
.

უპასუხე

მაგალითი 2

იპოვნეთ პარამეტრით გამოხატული ფუნქციის წარმოებული:

გადაწყვეტილება

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები დენის ფუნქციებისა და ფესვების ფორმულების გამოყენებით:
.

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

.

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს. ამისათვის ჩვენ შემოგვაქვს ცვლადი და ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

.

ჩვენ ვპოულობთ სასურველ წარმოებულს:
.

უპასუხე

მაგალითი 3

იპოვეთ 1-ლ მაგალითში პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის მეორე და მესამე წარმოებულები:

გადაწყვეტილება

მაგალით 1-ში ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:

შემოვიღოთ აღნიშვნა. მაშინ ფუნქცია არის წარმოებული . პარამეტრულად არის დაყენებული:

მეორე წარმოებულის საპოვნელად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პირველი წარმოებულის მიმართ.

ჩვენ განვასხვავებთ .
.
ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული მაგალითი 1-ში:
.
მეორე რიგის წარმოებული ტოლია პირველი რიგის წარმოებულის მიმართ:
.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვნეთ მეორე რიგის წარმოებული პარამეტრული ფორმის მიმართ:

ახლა ჩვენ ვიპოვით მესამე რიგის წარმოებულს. შემოვიღოთ აღნიშვნა. შემდეგ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული, რომელიც მოცემულია პარამეტრულად:

წარმოებულს ვპოულობთ . ამისათვის ჩვენ ვწერთ ექვივალენტური ფორმით:
.
დან
.

მესამე რიგის წარმოებული ტოლია პირველი რიგის წარმოებულის მიმართ:
.

კომენტარი

შესაძლებელია არ შემოვიტანოთ ცვლადები და , რომლებიც წარმოებულები არიან და შესაბამისად. მაშინ შეგიძლია დაწერო ასე:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

უპასუხე

პარამეტრულ წარმოდგენაში მეორე რიგის წარმოებულს აქვს შემდეგი ფორმა:

მესამე რიგის წარმოებული.

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე გზით. ეს დამოკიდებულია წესზე, რომელიც გამოიყენება მისი დაყენებისას. ფუნქციის განსაზღვრის აშკარა ფორმაა y = f (x) . არის შემთხვევები, როცა მისი აღწერა შეუძლებელია ან მოუხერხებელია. თუ არსებობს წყვილების სიმრავლე (x; y), რომელიც უნდა გამოითვალოს t პარამეტრისთვის (a; b) ინტერვალით. სისტემის ამოსახსნელად x = 3 cos t y = 3 sin t 0 ≤ t-ით< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

პარამეტრული ფუნქციის განსაზღვრა

აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ x = φ (t) , y = ψ (t) განსაზღვრულია t ∈ (a ; b) მნიშვნელობისთვის და აქვთ შებრუნებული ფუნქცია t = Θ (x) x = φ (t)-სთვის, მაშინ საუბარია y = ψ (Θ (x)) ფუნქციის პარამეტრული განტოლების დაყენებაზე.

არის შემთხვევები, როდესაც ფუნქციის შესასწავლად საჭიროა წარმოებულის ძიება x-ის მიმართ. განვიხილოთ y x " = ψ " (t) φ " (t) ფორმის პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა, ვისაუბროთ მე-2 და n-ე რიგის წარმოებულზე.

პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყვანა

გვაქვს x = φ (t) , y = ψ (t) , განსაზღვრული და დიფერენცირებადი t ∈ a-სთვის; b , სადაც x t " = φ " (t) ≠ 0 და x = φ (t) , მაშინ არის t = Θ (x) ფორმის შებრუნებული ფუნქცია.

დასაწყისისთვის, თქვენ უნდა გადახვიდეთ პარამეტრული ამოცანიდან აშკარაზე. ამისათვის თქვენ უნდა მიიღოთ y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) ფორმის რთული ფუნქცია, სადაც არის x არგუმენტი.

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესიდან გამომდინარე, მივიღებთ, რომ y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

ეს აჩვენებს, რომ t = Θ (x) და x = φ (t) არის შებრუნებული ფუნქციები ინვერსიული ფუნქციის ფორმულიდან Θ "(x) = 1 φ" (t) , შემდეგ y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

მოდით გადავიდეთ დიფერენციაციის წესის მიხედვით წარმოებულების ცხრილის გამოყენებით რამდენიმე მაგალითის ამოხსნის განხილვაზე.

მაგალითი 1

იპოვეთ წარმოებული x = t 2 + 1 y = t ფუნქციისთვის.

გადაწყვეტილება

პირობით, გვაქვს, რომ φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, აქედან გამომდინარე, მივიღებთ, რომ φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1. აუცილებელია გამოვიყენოთ მიღებული ფორმულა და დაწეროთ პასუხი ფორმაში:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 ტ

პასუხი: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

ფუნქციის წარმოებულთან მუშაობისას, პარამეტრი t განსაზღვრავს არგუმენტის x გამოხატვას იმავე t პარამეტრის მეშვეობით, რათა არ დაკარგოს კავშირი წარმოებულის მნიშვნელობებსა და პარამეტრულად განსაზღვრულ ფუნქციას შორის არგუმენტთან, რომელსაც ეს ეხება. ღირებულებები შეესაბამება.

პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი რიგის წარმოებულის ფორმულა მიღებულ ფუნქციაზე, შემდეგ მივიღებთ, რომ

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

მაგალითი 2

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის მე-2 და მე-2 რიგის წარმოებულები x = cos (2 t) y = t 2 .

გადაწყვეტილება

პირობით მივიღებთ, რომ φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

შემდეგ ტრანსფორმაციის შემდეგ

φ "(t) \u003d cos (2 ტ)" \u003d - ცოდვა (2 ტ) 2 ტ " \u003d - 2 ცოდვა (2 ტ) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 ტ

აქედან გამომდინარეობს, რომ y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

მივიღებთ, რომ 1-ლი რიგის წარმოებულის ფორმაა x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

მის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე რიგის წარმოებული ფორმულა. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 ტ) - t cos (2 ტ) (2 ტ) " 2 sin 3 (2 ტ) = ცოდვა (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 sin 3 (2 ტ)

შემდეგ მე-2 რიგის წარმოებულის დაყენება პარამეტრული ფუნქციის გამოყენებით

x = cos (2 ტ) y x "" = sin (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 sin 3 (2 ტ)

მსგავსი გამოსავალი შეიძლება მოგვარდეს სხვა მეთოდით. მერე

φ "t \u003d (cos (2 ტ)) " \u003d - ცოდვა (2 ტ) 2 ტ " \u003d - 2 ცოდვა (2 ტ) ⇒ φ "" t \u003d - 2 ცოდვა (2 ტ) " \u003d - 2 ცოდვა (2 ტ) "= - 2 cos (2 ტ) (2 ტ)" = - 4 cos (2 ტ) ψ "(t) = (t 2)" = 2 ტ ⇒ ψ "" (t) = (2 ტ) " = 2

აქედან გამომდინარე მივიღებთ ამას

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 ტ)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 s i n 3 (2 ტ)

პასუხი: y "" x \u003d sin (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 s i n 3 (2 ტ)

ანალოგიურად, უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები გვხვდება პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციებით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter