შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი

შემთხვევითი ცვლადები (შემოკლებით: r.v.) აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით X, Y, ზ,...(ან მცირე ბერძნული ასო ξ (xi), η (ეს), θ (თეტა), ψ (psi) და ა.შ.), და მათ მიერ მიღებული მნიშვნელობები, შესაბამისად, მცირე ასოებით x 1 , x 2 ,…, 1 , 2-ზე , 3 …

მაგალითებითან. in. შეიძლება ემსახურებოდეს: 1) X- ქულების რაოდენობა, რომელიც ჩნდება კამათლის სროლისას; 2) Y - გასროლების რაოდენობა მიზანზე პირველ დარტყმამდე; 3) ზ- მოწყობილობის მუშაობის დრო და ა.შ. (ადამიანის სიმაღლე, დოლარის კურსი, დეფექტური ნაწილების რაოდენობა პარტიაში, ჰაერის ტემპერატურა, მოთამაშის მოგება, წერტილის კოორდინატი, თუ ის შემთხვევით არის შერჩეული, კომპანიის მოგება, ...).

შემთხვევითი ცვლადი XΏ ვ

X(w), ე.ი. X= X(w), wО Ώ (ან X=f(ვ)) (31)

მაგალითი 1. გამოცდილება მოიცავს მონეტის 2-ჯერ სროლას. PES-ზე Ώ=( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), სადაც w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, შეგიძლიათ განიხილოთ. in. X- გერბის გამოჩენათა რაოდენობა. ს.ვ. Xელემენტარული მოვლენის ფუნქციაა w i :X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- დ.ს. in. x 1 მნიშვნელობებით = 0,x2 =1 x 3 = 2.

X(w) S P(A) = P(X< X).

X- დ.ს. in.,

x 1, x 2, x 3,…,x n,…

p i,სადაც მე = 1,2,3, ...,n,… .

განაწილების კანონიდ.ს. in. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,...,n,...,

თან. in. X x მე . :

X	x 1	x2	….	x n	…
პ	p1	p2	….	p n	…

მოვლენებიდან მოყოლებული (X= x 1), (X= x 2),…, (X= x n), ე.ი. .

(x 1 , p1 ), (x 2, p 2),…, (x n, p n) ეწოდება მრავალკუთხედი(ან მრავალკუთხედი) განაწილება(იხ. სურ. 17).

შემთხვევითი მნიშვნელობა X არის დისკრეტული,თუ არსებობს რიცხვების სასრული ან თვლადი სიმრავლე x 1 , x2 , ..., x n ისეთი რომ P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) გვ 1 + p2 + გვ 3 +…= 1 (32)

ჯამიდ.ს. in. X, რომელიც იღებს x i მნიშვნელობებს ალბათობით p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n და d.s. in. Y, მნიშვნელობების აღება y j ალბათობით p i = P(Y = y j), j = 1,2,3,...,m, ეწოდება d.s. in. Z = X + Y , მნიშვნელობების აღება z ij = x i + y j ალბათობით p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), ყველა მითითებული მნიშვნელობისთვის მედა ჯ. თუ ზოგიერთი ჯამი x i + y j ემთხვევა, შესაბამისი ალბათობები ემატება.

განსხვავებად.ს. in. X, რომელიც იღებს x i მნიშვნელობებს ალბათობით p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n და d.s. in. Y, მნიშვნელობების აღება y j ალბათობით p i = P(Y = y j), j = 1,2,3,...,m, ეწოდება d.s. in. Z = X - Y, მნიშვნელობების აღება z ij = x i – y j ალბათობით p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), ყველა მითითებული მნიშვნელობისთვის მედა ჯ. თუ ზოგიერთი განსხვავება x i – y j ემთხვევა, ემატება შესაბამისი ალბათობები.

მუშაობად.ს. in. X, რომელიც იღებს x i მნიშვნელობებს ალბათობით p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n და d.s. in. Y, მნიშვნელობების აღება y j ალბათობით p i = P(Y = y j), j = 1,2,3,...,m, ეწოდება d.s. in. Z = X × Y, მნიშვნელობების აღება z ij = x i × y j ალბათობით p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), ყველა მითითებული მნიშვნელობისთვის მედა ჯ. თუ ზოგიერთი პროდუქტი x i × y j ემთხვევა, შესაბამისი ალბათობები ემატება.

დ.ს. in. сХ, с x i р i = Р(Х = x i).

X და Y მოვლენები (X = x i ) = А i და (Y = y j ) = В j დამოუკიდებელია ნებისმიერი i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, ე.ი.

P(X = x i;Y = y j) =P(X = x i) ×P (Y = y j) (33)

მაგალითი 2ურნაში არის 8 ბურთი, აქედან 5 თეთრი, დანარჩენი შავი. მისგან შემთხვევით იშლება 3 ბურთი. იპოვეთ ნიმუშში თეთრი ბურთულების რაოდენობის განაწილების კანონი.

შემთხვევითი მნიშვნელობა არის სიდიდე, რომელიც ექსპერიმენტის შედეგად იღებს მანამდე უცნობ მნიშვნელობას.

ლექციაზე დამსწრე სტუდენტების რაოდენობა.

მიმდინარე თვეში ექსპლუატაციაში შესული სახლების რაოდენობა.

Გარემო ტემპერატურა.

აფეთქებული ჭურვის ფრაგმენტის წონა.

შემთხვევითი ცვლადები იყოფა დისკრეტულ და უწყვეტად.

დისკრეტული (შეწყვეტილი) ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს ცალკეულ, ერთმანეთისგან იზოლირებულ მნიშვნელობებს გარკვეული ალბათობით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრული ან თვლადი.

უწყვეტი ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან.

ცხადია, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა.

მოცემულ მაგალითებში: 1 და 2 არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები, 3 და 4 არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

სამომავლოდ სიტყვების ნაცვლად „შემთხვევითი ცვლადი“ ხშირად გამოვიყენებთ აბრევიატურას c. in.

როგორც წესი, შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ასოებით, ხოლო მათი შესაძლო მნიშვნელობები მცირე ასოებით.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებების სიმრავლე-თეორიულ ინტერპრეტაციაში შემთხვევითი ცვლადი X არის ელემენტარული მოვლენის ფუნქცია: X =φ(ω), სადაც ω არის ელემენტარული მოვლენა, რომელიც ეკუთვნის Ω (ω  Ω) სივრცეს. ამ შემთხვევაში, c-ის შესაძლო მნიშვნელობების Ξ სიმრავლე. in. X შედგება ყველა მნიშვნელობისაგან, რომელსაც ფუნქცია φ(ω) იღებს.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ნებისმიერ წესს (ცხრილს, ფუნქციას) ეწოდება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ შემთხვევით ცვლადთან დაკავშირებული ყველა სახის მოვლენის ალბათობა (მაგალითად, ალბათობა იმისა, რომ ის მიიღებს გარკვეულ მნიშვნელობას ან მოხვდება გარკვეულ ინტერვალში).

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონების დადგენის ფორმები. განაწილების დიაპაზონი.

ეს არის ცხრილი, რომლის ზედა სტრიქონში X შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ჩამოთვლილია ზრდადი თანმიმდევრობით: x 1, x 2, ..., x n, ხოლო ბოლოში - ამ მნიშვნელობების ალბათობა. : p 1, p 2, ..., p n, სადაც p i \u003d P (X \u003d x i).

ვინაიდან მოვლენები (X \u003d x 1), (X \u003d x 2), ... შეუთავსებელია და ქმნიან სრულ ჯგუფს, განაწილების სერიის ქვედა სტრიქონში ყველა ალბათობის ჯამი უდრის ერთს.

განაწილების სერია გამოიყენება მხოლოდ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონის დასაყენებლად.

განაწილების პოლიგონი

განაწილების სერიის გრაფიკულ გამოსახულებას განაწილების პოლიგონი ეწოდება. იგი აგებულია ასე: ყოველი შესაძლო მნიშვნელობისთვის c. in. აღდგენილია x ღერძის პერპენდიკულარი, რომელზედაც გამოსახულია c მნიშვნელობის ალბათობა. in. მიღებული ქულები სიცხადისთვის (და მხოლოდ სიცხადისთვის!) დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით.

კუმულაციური განაწილების ფუნქცია (ან უბრალოდ განაწილების ფუნქცია).

ეს არის ფუნქცია, რომელიც x არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობისთვის რიცხობრივად უდრის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი  ნაკლები იქნება x არგუმენტის მნიშვნელობაზე.

განაწილების ფუნქცია აღინიშნება F(x)-ით: F(x) = P (X  x).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის უფრო ზუსტი განმარტება: შემთხვევით ცვლადს ეწოდება უწყვეტი, თუ მისი განაწილების ფუნქცია არის უწყვეტი, ნაწილებად დიფერენცირებადი ფუნქცია უწყვეტი წარმოებულით.

განაწილების ფუნქცია არის c პარამეტრის ყველაზე მრავალმხრივი ფორმა. in., რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც დისკრეტული, ისე უწყვეტი ს-ების განაწილების კანონების დასაყენებლად. in.

გვერდი 2

გრაფიკულად, დისკრეტული სიდიდის განაწილების კანონი მოცემულია ე.წ განაწილების მრავალკუთხედის სახით.

განაწილების სერიის გრაფიკულ გამოსახულებას (იხ. სურ. 5) ეწოდება განაწილების მრავალკუთხედი.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის დასახასიათებლად ხშირად გამოიყენება რიგი (ცხრილი) და განაწილების პოლიგონი.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მისი გამოსახულების მიზნით, წერტილები აგებულია (Y Pi) (x - i Pa) და დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით. განაწილების პოლიგონი იძლევა შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ბუნების სავარაუდო ვიზუალურ წარმოდგენას.

სიცხადისთვის, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს გრაფიკულად, რისთვისაც წერტილები (x/, p) აგებულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში და შემდეგ ერთმანეთთან დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით.მიღებულ ფიგურას ეწოდება განაწილება. მრავალკუთხედი.

M (xn; pn) (ls - - Xt pi-ს შესაძლო მნიშვნელობები - შესაბამისი ალბათობები) და დააკავშირეთ ისინი ხაზის სეგმენტებთან. მიღებულ ფიგურას ეწოდება განაწილების მრავალკუთხედი.

განვიხილოთ კამათელზე ქულების ჯამის ალბათობის განაწილება. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურები აჩვენებს განაწილების მრავალკუთხედებს ერთი, ორი და სამი ძვლის შემთხვევაში.

ამ შემთხვევაში შემთხვევითი განაწილების მრავალკუთხედის ნაცვლად აგებულია განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება დიფერენციალური განაწილების ფუნქცია და არის დიფერენციალური განაწილების კანონი. ალბათობის თეორიაში, x (x Xr) შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე გაგებულია, როგორც ალბათობის შეფარდების ზღვარი, რომ x მოხვდება Ax-ის ინტერვალში (x, x - - Ax), როდესაც Al; მიდრეკილია ნულისკენ. დიფერენციალური ფუნქციის გარდა, შემთხვევითი ცვლადის განაწილების დასახასიათებლად გამოიყენება ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია, რომელსაც ხშირად უწოდებენ უბრალოდ განაწილების ფუნქციას ან ინტეგრალური განაწილების კანონს.

ასეთი კონსტრუქციით, ინტერვალებში დაცემის ფარდობითი სიხშირე ტოლი იქნება ჰისტოგრამის შესაბამისი სვეტების ფართობების, ისევე როგორც ალბათობა უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობებს. y ზოგჯერ, შედარების სიცხადისთვის, აგებულია განაწილების პოლიგონი, რომელიც სერიულად აკავშირებს ჰისტოგრამის ზოლების ზედა ფუძეების შუა წერტილებს.

m სხვადასხვა მნიშვნელობების მიცემით 0-დან z-მდე მიიღება ალბათობები PQ, P RF - Pp, რომლებიც გამოსახულია გრაფიკზე. მოცემული r; i11, ააგეთ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ნებისმიერი შესაბამისობა მის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის. კანონი შეიძლება დაზუსტდეს ცხრილად (განაწილების სერია), გრაფიკულად (განაწილების მრავალკუთხედი და ა.შ.) და ანალიტიკურად.

განაწილების მრუდის პოვნა, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავად შემთხვევითი ცვლადის განაწილების დადგენა, შესაძლებელს ხდის უფრო ღრმად გამოვიკვლიოთ ფენომენი, რომელიც შორს არის სრულად გამოხატული ამ კონკრეტული განაწილების სერიით. ნახაზზე როგორც ნაპოვნი ნიველირების განაწილების მრუდის, ასევე ნაწილობრივი პოპულაციის საფუძველზე აგებული განაწილების მრავალკუთხედის წარმოდგენით, მკვლევარს შეუძლია ნათლად დაინახოს შესასწავლი ფენომენის დამახასიათებელი ნიშნები. ამის გამო, სტატისტიკური ანალიზი აკავებს მკვლევარის ყურადღებას დაკვირვებული მონაცემების გადახრებზე ფენომენის ზოგიერთი რეგულარული ცვლილებისგან და მკვლევარის წინაშე დგას ამოცანა, გაარკვიოს ამ გადახრების მიზეზები.

შემდეგ, აბსციები (შკალაზე) იხატება შუალედებიდან, რაც შეესაბამება ამ ინტერვალში ნაკადის მქონე თვეების რაოდენობას. ამ აბსცისების ბოლოები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული და, ამრიგად, მიიღება მრავალკუთხედი, ანუ განაწილების მრავალკუთხედი.

წერტილები, რომლებიც ასახავს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის გრაფიკულ წარმოდგენას მნიშვნელობის მნიშვნელობის კოორდინატულ სიბრტყეზე - მნიშვნელობების ალბათობა, ჩვეულებრივ დაკავშირებულია ხაზის სეგმენტებით და მიღებულ გეომეტრიულ ფიგურას ეწოდება განაწილების პოლიგონი. ნახ. 3 ცხრილში 46 (ისევე როგორც 4 და 5 სურათებში) უბრალოდ აჩვენებს განაწილების მრავალკუთხედებს.

დისკრეტული ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს ცალკეული, იზოლირებული მნიშვნელობები გარკვეული ალბათობით.

მაგალითი 1.გერბის შემთხვევების რაოდენობა სამ მონეტის გადაგდებაში. შესაძლო მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, მათი ალბათობა ტოლია შესაბამისად:

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

მაგალითი 2.წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა მოწყობილობაში, რომელიც შედგება ხუთი ელემენტისგან. შესაძლო მნიშვნელობები: 0, 1, 2, 3, 4, 5; მათი ალბათობა დამოკიდებულია თითოეული ელემენტის სანდოობაზე.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xშეიძლება მიცემული იყოს განაწილების სერიით ან განაწილების ფუნქციით (ინტეგრალური განაწილების კანონი).

განაწილებასთან ახლოს არის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნაკრები Xმედა მათი შესაბამისი ალბათობები რi = P(X = xმე), ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით:

x i				x n
p i				p n

ამავე დროს, ალბათობა რმედააკმაყოფილოს პირობა

რმე= 1 იმიტომ

სად არის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა ნშეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.

განაწილების სერიის გრაფიკული წარმოდგენა განაწილების მრავალკუთხედს უწოდებენ . მის ასაგებად, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები ( Xმე) გამოსახულია x ღერძის გასწვრივ და ალბათობები რმე- y-ღერძის გასწვრივ; ქულები მაგრამმეკოორდინატებით ( Xმე, გვმე) დაკავშირებულია გატეხილი ხაზებით.

განაწილების ფუნქცია შემთხვევითი ცვლადი Xფუნქციას უწოდებენ ფ(X), რომლის ღირებულებაც წერტილშია Xუდრის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას Xიქნება ამ მნიშვნელობაზე ნაკლები X, ანუ

F(x) = P(X< х).

ფუნქცია ფ(X) ამისთვის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიგამოითვლება ფორმულით

ფ(X) = რმე , (1.10.1)

სადაც ჯამი არის ყველა მნიშვნელობაზე მე, რისთვისაც Xმე< х.

მაგალითი 3. 100 ნივთის შემცველი პარტიიდან, რომელთა შორის არის 10 დეფექტური ნივთი, შემთხვევითი წესით შეირჩევა ხუთი ელემენტი მათი ხარისხის შესამოწმებლად. შექმენით შემთხვევითი რიცხვის განაწილების სერია Xდეფექტური პროდუქტები, რომლებიც შეიცავს ნიმუშს.

გამოსავალი. ვინაიდან დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა ნიმუშში შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი 0-დან 5-ის ჩათვლით, შესაძლო მნიშვნელობები Xმეშემთხვევითი ცვლადი Xთანაბარია:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

ალბათობა რ(X = k) რომ ნიმუშში იქნება ზუსტად კ(კ = 0, 1, 2, 3, 4, 5) დეფექტური პროდუქტები, ტოლია

P (X \u003d k) \u003d.

ამ ფორმულის გამოყენებით 0.001 სიზუსტით გამოთვლების შედეგად მივიღებთ:

რ 1 = პ(X = 0) @ 0,583;რ 2 = პ(X = 1) @ 0,340;რ 3 = პ(X = 2) @ 0,070;

რ 4 = პ(X = 3) @ 0,007;რ 5 = პ(X= 4) @ 0;რ 6 = პ(X = 5) @ 0.

თანასწორობის გამოყენება შესამოწმებლად რკ=1, ჩვენ ვზრუნავთ, რომ გამოთვლები და დამრგვალება ხდება სწორად (იხ. ცხრილი).

x i
p i

მაგალითი 4.მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია X :

x i
p i

იპოვეთ ალბათობის განაწილების ფუნქცია ფ(X) ამ შემთხვევითი ცვლადის და ააშენეთ იგი.

გამოსავალი. Თუ Xმაშინ 10 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0;

თუ 10<Xმაშინ 20 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 ;

თუ 20<Xმაშინ 30 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

თუ 30<Xმაშინ 40 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

თუ 40<Xმაშინ 50 ფუნტი ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

თუ X> 50, მაშინ ფ(X)= პ(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.