და ასე შემდეგ, ლოგიკურია გაეცნოთ სხვა ტიპის განტოლებებს. შემდეგი რიგში არიან წრფივი განტოლებები, რომლის მიზანმიმართული შესწავლა მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილებზე იწყება.

გასაგებია, რომ ჯერ უნდა აგიხსნათ რა არის წრფივი განტოლება, მიეცით წრფივი განტოლების განმარტება, მისი კოეფიციენტები, აჩვენოთ მისი ზოგადი ფორმა. შემდეგ შეგიძლიათ გაარკვიოთ რამდენი ამონახსნები აქვს წრფივ განტოლებას კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე და როგორ არის ნაპოვნი ფესვები. ეს საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე და ამით გააერთიანოთ შესწავლილი თეორია. ამ სტატიაში ჩვენ ამას გავაკეთებთ: დეტალურად ვისაუბრებთ ყველა თეორიულ და პრაქტიკულ პუნქტზე წრფივი განტოლებებისა და მათი ამოხსნის შესახებ.

მაშინვე ვთქვათ, რომ აქ განვიხილავთ მხოლოდ წრფივ განტოლებებს ერთი ცვლადით და ცალკე სტატიაში შევისწავლით ამოხსნის პრინციპებს წრფივი განტოლებები ორ ცვლადში.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის წრფივი განტოლება?

წრფივი განტოლების განმარტება მოცემულია მისი აღნიშვნის ფორმით. უფრო მეტიც, მათემატიკისა და ალგებრის სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში, წრფივი განტოლებების განმარტებების ფორმულირებებს აქვთ გარკვეული განსხვავებები, რომლებიც გავლენას არ ახდენს საკითხის არსზე.

მაგალითად, იუ.ნ. მაკარიჩევას და სხვების მიერ მე-7 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

განმარტება.

ტიპის განტოლება ცული=ბ, სადაც x არის ცვლადი, a და b არის რამდენიმე რიცხვი, ეწოდება წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით.

მოვიყვანოთ გახმოვანებული განმარტების შესაბამისი წრფივი განტოლებების მაგალითები. მაგალითად, 5 x=10 არის წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადით, აქ კოეფიციენტი a არის 5, ხოლო b რიცხვი არის 10. კიდევ ერთი მაგალითი: −2.3 y=0 ასევე წრფივი განტოლებაა, მაგრამ y ცვლადით, სადაც a=−2.3 და b=0. ხოლო წრფივ განტოლებებში x=−2 და −x=3.33 a აშკარად არ არის წარმოდგენილი და უდრის შესაბამისად 1 და −1, ხოლო პირველ განტოლებაში b=−2 და მეორეში - b=3.33 .

და ერთი წლით ადრე, ნ.ია. ვილენკინის მათემატიკის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით, x = b ფორმის განტოლებების გარდა, ასევე განიხილებოდა განტოლებები, რომლებიც შეიძლება ამ ფორმამდე შემცირდეს ერთიდან ტერმინების გადატანით. განტოლების ნაწილი მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ასევე მსგავსი ტერმინების შემცირებით. ამ განსაზღვრების მიხედვით 5 x=2 x+6 ფორმის განტოლებები და ა.შ. ასევე ხაზოვანი.

თავის მხრივ, შემდეგი განმარტება მოცემულია ალგებრის სახელმძღვანელოში 7 კლასისთვის A.G. Mordkovich-ის მიერ:

განმარტება.

წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადითარის a x+b=0 ფორმის განტოლება, სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება წრფივი განტოლების კოეფიციენტები.

მაგალითად, ამ ტიპის წრფივი განტოლებებია 2 x−12=0, აქ კოეფიციენტი a უდრის 2-ს, b უდრის −12-ს და 0.2 y+4.6=0 კოეფიციენტებით a=0.2 და b =4.6. მაგრამ ამავე დროს, არის ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ ფორმა არა x+b=0, არამედ x=b, მაგალითად, 3 x=12.

მოდით, რათა მომავალში არ გვქონდეს შეუსაბამობები, წრფივი განტოლების ქვეშ ერთი ცვლადი x და a და b კოეფიციენტები გავიგოთ a x+b=0 ფორმის განტოლება. ამ ტიპის წრფივი განტოლება, როგორც ჩანს, ყველაზე გამართლებულია, რადგან წრფივი განტოლებები არის ალგებრული განტოლებებიპირველი ხარისხი. და ყველა სხვა ზემოთ მითითებული განტოლება, ისევე როგორც განტოლებები, რომლებიც მცირდება x+b=0 სახით ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით, ე.წ. წრფივი განტოლებამდე დაყვანის განტოლებები. ამ მიდგომით განტოლება 2 x+6=0 არის წრფივი განტოლება და 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 და ა.შ. არის წრფივი განტოლებები.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები?

ახლა დროა გავარკვიოთ, როგორ ამოიხსნება x+b=0 წრფივი განტოლებები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დროა გავარკვიოთ, აქვს თუ არა წრფივ განტოლებას ფესვები და თუ ასეა, რამდენი და როგორ ვიპოვოთ ისინი.

წრფივი განტოლების ფესვების არსებობა დამოკიდებულია a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში წრფივი განტოლება a x+b=0 აქვს

• ერთადერთი ფესვი a≠0-ზე,
• არ აქვს ფესვები a=0 და b≠0,
• აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი a=0 და b=0-სთვის, ამ შემთხვევაში ნებისმიერი რიცხვი არის წრფივი განტოლების ფესვი.

მოდით განვმარტოთ, როგორ იქნა მიღებული ეს შედეგები.

ჩვენ ვიცით, რომ განტოლებების ამოსახსნელად შესაძლებელია საწყისი განტოლებიდან გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე, ანუ განტოლებებზე ერთი და იგივე ფესვებით ან, როგორც თავდაპირველი, ფესვების გარეშე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნები:

• ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით,
• და ასევე განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა იმავე არანულოვანი რიცხვით.

ასე რომ, x+b=0 ფორმის ერთი ცვლადის მქონე წრფივ განტოლებაში b ტერმინი მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ გადავიტანოთ საპირისპირო ნიშნით. ამ შემთხვევაში განტოლება მიიღებს x=−b ფორმას.

შემდეგ კი განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა a რიცხვზე თავს გვთავაზობს. მაგრამ არის ერთი რამ: რიცხვი a შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში ასეთი გაყოფა შეუძლებელია. ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჯერ ვივარაუდებთ, რომ რიცხვი a განსხვავდება ნულისაგან და განვიხილავთ ნულის a შემთხვევას ცალკე ცოტა მოგვიანებით.

ასე რომ, როდესაც a არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შეგვიძლია a x=−b განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ a-ზე, რის შემდეგაც იგი გარდაიქმნება x=(−b ფორმაში): a , ეს შედეგი შეიძლება დაიწეროს a-ს გამოყენებით. მყარი ხაზი, როგორც.

ამრიგად, a≠0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 უდრის განტოლებას, საიდანაც ჩანს მისი ფესვი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს ფესვი უნიკალურია, ანუ წრფივ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ეს საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ საპირისპირო მეთოდი.

ძირი ავღნიშნოთ x 1-ით. დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი განტოლების სხვა ფესვი, რომელსაც აღვნიშნავთ x 2, და x 2 ≠ x 1, რომელიც თანაბარი რიცხვების განმარტებები განსხვავების მეშვეობითუდრის x 1 − x 2 ≠0 პირობას. ვინაიდან x 1 და x 2 არის წრფივი განტოლების ფესვები a x+b=0, მაშინ ხდება რიცხვითი ტოლობები a x 1 +b=0 და a x 2 +b=0. ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ ამ ტოლობების შესაბამისი ნაწილები, რის საშუალებასაც გვაძლევს რიცხვითი ტოლობების თვისებები, გვაქვს x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , საიდანაც a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 და შემდეგ a (x 1 − x 2)=0 . და ეს ტოლობა შეუძლებელია, რადგან a≠0 და x 1 − x 2 ≠0. ასე რომ, მივედით წინააღმდეგობამდე, რომელიც ადასტურებს წრფივი განტოლების ფესვის უნიკალურობას a≠0-სთვის.

ამგვარად, ჩვენ ამოვხსენით x+b=0 წრფივი განტოლება a≠0-ით. ამ ქვეპუნქტის დასაწყისში მოცემული პირველი შედეგი გამართლებულია. არის კიდევ ორი, რომელიც აკმაყოფილებს a=0 პირობას.

a=0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 ხდება 0·x+b=0. ამ განტოლებიდან და რიცხვების ნულზე გამრავლების თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ x, როცა მას ჩავანაცვლებთ განტოლებაში 0 x+b=0, მივიღებთ რიცხვით ტოლობას b=0. ეს ტოლობა მართალია, როდესაც b=0 , ხოლო სხვა შემთხვევებში, როდესაც b≠0 ეს ტოლობა მცდარია.

მაშასადამე, a=0 და b=0-სთვის ნებისმიერი რიცხვი არის a x+b=0 წრფივი განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0=0. ხოლო a=0 და b≠0 წრფივ განტოლებას a x+b=0 არ აქვს ფესვები, რადგან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება მივყავართ არასწორ რიცხვით ტოლობას b=0.

ზემოაღნიშნული დასაბუთებები შესაძლებელს ხდის მოქმედებების თანმიმდევრობის ჩამოყალიბებას, რომელიც იძლევა ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნის საშუალებას. Ისე, წრფივი განტოლების ამოხსნის ალგორითმიარის:

• ჯერ წრფივი განტოლების დაწერით ვპოულობთ a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებს.
• თუ a=0 და b=0 , მაშინ ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, კერძოდ, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ წრფივი განტოლების ფესვი.
• თუ a განსხვავდება ნულიდან, მაშინ
• კოეფიციენტი b გადადის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო წრფივი განტოლება გარდაიქმნება x=−b სახით,
• რის შემდეგაც მიღებული განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, რომელიც იძლევა საწყისი წრფივი განტოლების სასურველ ფესვს.

წერილობითი ალგორითმი არის ამომწურავი პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებები.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ მსგავსი ალგორითმი გამოიყენება x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. მისი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ როდესაც a≠0, განტოლების ორივე ნაწილი მაშინვე იყოფა ამ რიცხვზე, აქ b უკვე განტოლების სასურველ ნაწილშია და მისი გადატანა არ არის საჭირო.

x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• თუ a=0 და b=0 , მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი.
• თუ a=0 და b≠0, მაშინ თავდაპირველ განტოლებას ფესვები არ აქვს.
• თუ a არ არის ნულოვანი, მაშინ განტოლების ორივე მხარე იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, საიდანაც ნაპოვნია განტოლების ერთადერთი ფესვი, რომელიც ტოლია b/a.

ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე. მოდით გავაანალიზოთ, თუ როგორ გამოიყენება წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი. მოდით წარმოვადგინოთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნები, რომლებიც შეესაბამება წრფივი განტოლებების კოეფიციენტების სხვადასხვა მნიშვნელობებს.

მაგალითი.

ამოხსენით წრფივი განტოლება 0 x−0=0 .

გადაწყვეტილება.

ამ წრფივ განტოლებაში a=0 და b=−0, რაც იგივეა, რაც b=0. ამრიგად, ამ განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ განტოლების ფესვი.

პასუხი:

x არის ნებისმიერი რიცხვი.

მაგალითი.

აქვს თუ არა ამონახსნები წრფივ განტოლებას 0 x+2.7=0?

გადაწყვეტილება.

ამ შემთხვევაში a კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ხოლო ამ წრფივი განტოლების კოეფიციენტი b უდრის 2,7-ს, ანუ განსხვავდება ნულისაგან. ამრიგად, წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

წრფივი განტოლებები. გამოსავალი, მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებები არ არის ყველაზე რთული თემა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ არსებობს რამდენიმე ხრიკი, რომელსაც შეუძლია გაწვრთნილი სტუდენტიც კი დააბრკოლოს. გავარკვიოთ?)

წრფივი განტოლება ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც ფორმის განტოლება:

ნაჯახი + ბ = 0 სადაც ა და ბ- ნებისმიერი რიცხვი.

2x + 7 = 0. აქ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 აქ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 აქ a=12, b=1/2

არაფერი რთული, არა? მით უმეტეს, თუ ვერ ამჩნევთ სიტყვებს: "სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი"... და თუ შეამჩნიე, მაგრამ დაუდევრად იფიქრე?) ბოლოს და ბოლოს, თუ a=0, b=0(ნებისმიერი რიცხვი შესაძლებელია?), შემდეგ მივიღებთ სასაცილო გამოთქმას:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! თუ, ვთქვათ, a=0,ა b=5,გამოდის რაღაც საკმაოდ აბსურდული:

რა ძაბავს და ძირს უთხრის მათემატიკაში ნდობას, დიახ...) განსაკუთრებით გამოცდებზე. მაგრამ ამ უცნაური გამონათქვამებიდან, თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ X! რაც საერთოდ არ არსებობს. და, გასაკვირია, რომ ეს X ძალიან ადვილია. ჩვენ ვისწავლით როგორ გავაკეთოთ ეს. ამ გაკვეთილზე.

როგორ ამოვიცნოთ წრფივი განტოლება გარეგნულად? ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გარეგნობა.) ხრიკი ის არის, რომ წრფივ განტოლებებს უწოდებენ არა მხოლოდ ფორმის განტოლებებს ნაჯახი + ბ = 0 , არამედ ნებისმიერი განტოლება, რომელიც ამ ფორმამდე მცირდება გარდაქმნებისა და გამარტივების შედეგად. და ვინ იცის, შემცირდა თუ არა?)

ზოგიერთ შემთხვევაში წრფივი განტოლება მკაფიოდ შეიძლება ამოვიცნოთ. ვთქვათ, თუ გვაქვს განტოლება, რომელშიც მხოლოდ პირველი ხარისხის უცნობია, დიახ რიცხვები. და განტოლება არა წილადები გაყოფილი უცნობი , ეს არის მნიშვნელოვანი! და გაყოფა ნომერი,ან რიცხვითი წილადი - ესე იგი! Მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. აქ არის წილადები, მაგრამ არ არის x-ები კვადრატში, კუბში და ა.შ. და არ არის x-ები მნიშვნელებში, ე.ი. არა გაყოფა x-ზე. და აქ არის განტოლება

არ შეიძლება ეწოდოს ხაზოვანი. აქ x ყველა პირველ ხარისხშია, მაგრამ არის დაყოფა გამოსახულებით x-ით. გამარტივების და გარდაქმნების შემდეგ, შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება და ყველაფერი, რაც მოგწონთ.

გამოდის, რომ შეუძლებელია წრფივი განტოლების გარკვევა რაიმე რთულ მაგალითში, სანამ მას თითქმის არ ამოხსნით. აღმაშფოთებელია. მაგრამ დავალებებში, როგორც წესი, ისინი არ ეკითხებიან განტოლების ფორმას, არა? ამოცანებში განტოლებები დალაგებულია გადაწყვიტოს.ეს მახარებს.)

წრფივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

წრფივი განტოლებების მთელი ამონახსნი შედგება განტოლებების იდენტური გარდაქმნებისაგან. სხვათა შორის, ეს გარდაქმნები (ორივე!) ეფუძნება გადაწყვეტილებებს მათემატიკის ყველა განტოლება.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გადაწყვეტილება ნებისმიერიგანტოლება იწყება იმავე გარდაქმნებით. წრფივი განტოლებების შემთხვევაში ის (ამოხსნა) ამ გარდაქმნებზე სრულდება სრულფასოვანი პასუხით. აზრი აქვს ბმულს, არა?) მეტიც, არის ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითებიც.

დავიწყოთ უმარტივესი მაგალითით. ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. ვთქვათ, უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება.

x - 3 = 2 - 4x

ეს არის წრფივი განტოლება. X-ები ყველა პირველ ხარისხშია, X-ზე არ არის გაყოფა. მაგრამ, რეალურად, ჩვენ არ გვაინტერესებს რა არის განტოლება. ჩვენ უნდა მოვაგვაროთ. აქ სქემა მარტივია. შეაგროვეთ ყველაფერი x-ებით განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველაფერი x-ების გარეშე (რიცხვები) მარჯვნივ.

ამისათვის თქვენ უნდა გადაიტანოთ - 4x მარცხენა მხარეს, ნიშნის ცვლილებით, რა თქმა უნდა, მაგრამ - 3 - მარჯვნივ. სხვათა შორის, ეს არის განტოლებების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.გაკვირვებული? ასე რომ, მათ არ მიჰყვნენ ბმულს, მაგრამ ამაოდ ...) ჩვენ ვიღებთ:

x + 4x = 2 + 3

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსს, მიგვაჩნია:

რა გვჭირდება რომ ვიყოთ სრულიად ბედნიერები? დიახ, ისე, რომ მარცხნივ არის სუფთა X! ხუთი უშვებს გზას. მოშორება ხუთს ერთად განტოლების მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია.კერძოდ, განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ 5-ზე. ვიღებთ მზა პასუხს:

ელემენტარული მაგალითი, რა თქმა უნდა. ეს გახურებისთვისაა.) გაუგებარია, რატომ გამახსენდა აქ იდენტური გარდაქმნები? ᲙᲐᲠᲒᲘ. ხარს რქებით ვიჭერთ.) რამე უფრო შთამბეჭდავი გადავწყვიტოთ.

მაგალითად, აქ არის ეს განტოლება:

საიდან დავიწყოთ? X-ით - მარცხნივ, X გარეშე - მარჯვნივ? შეიძლება ასეც იყოს. პატარა ნაბიჯები გრძელი გზის გასწვრივ. და თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ, უნივერსალური და ძლიერი გზით. თუ, რა თქმა უნდა, თქვენს არსენალში არ არის განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.

მე დაგისვამ საკვანძო კითხვას: რა არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში?

100-დან 95 ადამიანი უპასუხებს: წილადები ! პასუხი სწორია. მაშ, მოვიშოროთ ისინი. ასე რომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიწყებთ მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია. რა გჭირდებათ მარცხნივ წილადის გასამრავლებლად, რომ მნიშვნელი მთლიანად შემცირდეს? მართალია, 3. და მარჯვნივ? 4-ით. მაგრამ მათემატიკა საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ ორივე მხარე იგივე ნომერი. როგორ გამოვიდეთ? გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე! იმათ. საერთო მნიშვნელისკენ. მაშინ სამი შემცირდება და ოთხი. არ დაგავიწყდეთ, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული ნაწილი მთლიანად. აი, როგორ გამოიყურება პირველი ნაბიჯი:

ფრჩხილების გაფართოება:

Შენიშვნა! მრიცხველი (x+2)ფრჩხილებში ავიღე! ეს იმიტომ, რომ წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მთლიანზე, მთლიანად! ახლა კი შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები და შეამციროთ:

დარჩენილი ფრჩხილების გახსნა:

არა მაგალითი, არამედ სუფთა სიამოვნება!) ახლა გავიხსენოთ შელოცვა ქვედა კლასებიდან: x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ!და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

და ორივე ნაწილს ვყოფთ 25-ზე, ე.ი. კვლავ გამოიყენეთ მეორე ტრანსფორმაცია:

Სულ ეს არის. პასუხი: X=0,16

გაითვალისწინეთ: ორიგინალური დამაბნეველი განტოლება სასიამოვნო ფორმამდე რომ მივიყვანოთ, ჩვენ გამოვიყენეთ ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური გარდაქმნები- თარგმნა მარცხნივ-მარჯვნივ ნიშნის ცვლილებით და განტოლების გამრავლება-გაყოფით იმავე რიცხვზე. ეს არის უნივერსალური გზა! ჩვენ ვიმუშავებთ ამ გზით ნებისმიერი განტოლებები! აბსოლუტურად ნებისმიერი. ამიტომაც მე მუდმივად ვიმეორებ ამ იდენტურ გარდაქმნებს.)

როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი მარტივია. ვიღებთ განტოლებას და ვამარტივებთ მას იდენტური გარდაქმნების დახმარებით, სანამ პასუხს არ მივიღებთ. აქ მთავარი პრობლემები გათვლებშია და არა გადაწყვეტის პრინციპში.

მაგრამ... არის ისეთი სიურპრიზები ყველაზე ელემენტარული წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცესში, რომ მათ შეუძლიათ ძლიერ სისულელემდე მიიყვანონ...) საბედნიეროდ, მხოლოდ ორი ასეთი სიურპრიზი შეიძლება იყოს. დავარქვათ მათ განსაკუთრებული შემთხვევები.

სპეციალური შემთხვევები წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

ჯერ სიურპრიზი.

დავუშვათ, რომ წააწყდებით ელემენტარულ განტოლებას, მსგავსი:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

ოდნავ მოწყენილი, X-ით გადავდივართ მარცხნივ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ... ნიშნის ცვლილებით ყველაფერი ჩინ-ჩინარია... ვიღებთ:

2x-5x+3x=5-2-3

ჩვენ გვჯერა და ... ოჰ! ჩვენ ვიღებთ:

თავისთავად, ეს თანასწორობა არ არის სადავო. ნული ნამდვილად ნულია. მაგრამ X წავიდა! და ჩვენ უნდა დავწეროთ პასუხში, რისი ტოლია x.თორემ გამოსავალი არ ითვლება, კი...) ჩიხი?

დამშვიდდი! ასეთ საეჭვო შემთხვევებში, ყველაზე ზოგადი წესები დაზოგავს. როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? Ეს ნიშნავს, იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც, როდესაც ჩანაცვლდება თავდაპირველ განტოლებაში, მოგვცემს სწორ ტოლობას.

მაგრამ ჩვენ გვაქვს სწორი თანასწორობა უკვემოხდა! 0=0, მართლა სად?! რჩება იმის გარკვევა, თუ რა x-ზე მიიღება ეს. x-ის რომელ მნიშვნელობებში შეიძლება შეიცვალოს საწყისიგანტოლება, თუ ეს x-ები ისევ ნულამდე შემცირდება?Მოდი?)

კი!!! Xs შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!Რა გინდა. მინიმუმ 5, მინიმუმ 0.05, მინიმუმ -220. ისინი მაინც შემცირდებიან. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ.) ჩაანაცვლეთ ნებისმიერი x მნიშვნელობები საწყისიგანტოლება და გამოთვლა. ყოველთვის მიიღება წმინდა ჭეშმარიტება: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 და ასე შემდეგ.

აი შენი პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა მათემატიკური სიმბოლოებით, არსი არ იცვლება. ეს არის სრულიად სწორი და სრული პასუხი.

სიურპრიზი მეორე.

ავიღოთ იგივე ელემენტარული წრფივი განტოლება და შევცვალოთ მასში მხოლოდ ერთი რიცხვი. აი რას გადავწყვეტთ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

იგივე იდენტური გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ რაღაც დამაინტრიგებელს:

Ამგვარად. ამოხსნა წრფივი განტოლება, მიიღო უცნაური ტოლობა. მათემატიკურად რომ ვთქვათ, გვაქვს არასწორი თანასწორობა.და მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. რავი. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ეს სისულელე საკმაოდ კარგი მიზეზია განტოლების სწორი გადაწყვეტისთვის.)

ისევ ზოგადი წესების საფუძველზე ვფიქრობთ. რას მოგვცემს x საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას სწორითანასწორობა? დიახ, არცერთი! ასეთი ქსები არ არსებობს. რასაც ჩაანაცვლებ, ყველაფერი შემცირდება, სისულელე დარჩება.)

აი შენი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

ეს ასევე სრულიად სწორი პასუხია. მათემატიკაში ასეთი პასუხები ხშირად გვხვდება.

Ამგვარად. ახლა, იმედი მაქვს, X-ების დაკარგვა ნებისმიერი (არა მხოლოდ წრფივი) განტოლების ამოხსნის პროცესში საერთოდ არ შეგაწუხებთ. საქმე ნაცნობია.)

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ წრფივი განტოლებების ყველა ხარვეზი, აზრი აქვს მათი ამოხსნას.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

რუსეთის ფედერაციის ზოგადი და პროფესიული განათლების სამინისტრო

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

გიმნაზია No12

წერა

თემაზე: განტოლებები და მათი ამოხსნის გზები

დასრულებულია: მოსწავლე 10 „ა“ კლასი

კრუტკო ევგენი

შემოწმებულია: მათემატიკის მასწავლებელი ისხაკოვა გულსუმ აკრამოვნა

ტიუმენი 2001 წ

Გეგმა................................................. ..................................................... .............................. ერთი

შესავალი ...................................................... ...................................................... ...................... 2

Მთავარი ნაწილი................................................ ..................................................... .............. 3

დასკვნა................................................ ..................................................... ................ 25

დანართი ................................................... ..................................................... .............. 26

მითითებების სია ..................................................... ...................................................... ... 29

Გეგმა.

შესავალი.

ისტორიის მინიშნება.

განტოლებები. ალგებრული განტოლებები.

ა) ძირითადი განმარტებები.

ბ) წრფივი განტოლება და მისი ამოხსნა.

გ) კვადრატული განტოლებები და მისი ამოხსნის მეთოდები.

დ) ორმხრივი განტოლებები, მათი ამოხსნის გზა.

ე) კუბური განტოლებები და მისი ამოხსნის მეთოდები.

ვ) ორკვადრატული განტოლება და მისი ამოხსნის მეთოდი.

ზ) მეოთხე ხარისხის განტოლებები და მისი ამოხსნის მეთოდები.

ზ) მაღალი ხარისხის განტოლებები და მეთოდები ამონახსნებიდან.

თ) რაციონალური ალგებრული განტოლება და მისი მეთოდი

ი) ირაციონალური განტოლებები და მისი ამოხსნის მეთოდები.

კ) ნიშნის ქვეშ უცნობის შემცველი განტოლებები.

აბსოლუტური მნიშვნელობა და როგორ გადავჭრათ იგი.

ტრანსცენდენტული განტოლებები.

ა) ექსპონენციალური განტოლებები და მათი ამოხსნა.

ბ) ლოგარითმული განტოლებები და მათი ამოხსნა.

შესავალი

ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლაში მიღებული მათემატიკური განათლება ზოგადი განათლებისა და თანამედროვე ადამიანის ზოგადი კულტურის აუცილებელი კომპონენტია. თითქმის ყველაფერი, რაც გარშემორტყმულია თანამედროვე ადამიანს, ამა თუ იმ გზით უკავშირდება მათემატიკას. და ფიზიკის, ინჟინერიისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების უახლესი მიღწევები ეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ვითარება იგივე დარჩება. აქედან გამომდინარე, მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნით, რომელთა ამოხსნა უნდა ვისწავლოთ.

წინამდებარე ნაშრომი წარმოადგენს ზემოაღნიშნულ თემაზე შესწავლილი მასალის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის მცდელობას. მასალა დავალაგე სირთულის ხარისხის მიხედვით, უმარტივესიდან დაწყებული. იგი მოიცავს როგორც ალგებრის სასკოლო კურსიდან ჩვენთვის ცნობილ განტოლებებს, ასევე დამატებით მასალას. ამავდროულად, შევეცადე მეჩვენებინა განტოლებების ის სახეობები, რომლებიც არ ისწავლება სასკოლო კურსზე, მაგრამ რომელთა ცოდნა შესაძლოა საჭირო გახდეს უმაღლეს სასწავლებელში შესვლისას. ჩემს ნამუშევარში, განტოლებების ამოხსნისას, მე არ შემოვიფარგლებოდი მხოლოდ რეალური ამონახსნით, არამედ მივუთითე რთული, რადგან მე მჯერა, რომ წინააღმდეგ შემთხვევაში განტოლება უბრალოდ არ არის ამოხსნილი. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ განტოლებაში არ არის რეალური ფესვები, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ მას არ აქვს ამონახსნები. სამწუხაროდ დროის უქონლობის გამო ვერ მოვახერხე მთელი მასალის წარმოდგენა, რაც მაქვს, მაგრამ იმ მასალითაც, რაც აქ არის წარმოდგენილი, შეიძლება ბევრი კითხვა გაჩნდეს. ვიმედოვნებ, რომ ჩემი ცოდნა საკმარისია კითხვებზე პასუხის გასაცემად. ასე რომ, ვაპირებ მასალის წარმოდგენას.

მათემატიკა... ავლენს წესრიგს

სიმეტრია და სიზუსტე,

და ეს არის სილამაზის ყველაზე მნიშვნელოვანი სახეობები.

არისტოტელე.

ისტორიის მინიშნება

იმ შორეულ დროში, როდესაც ბრძენმა ადამიანებმა პირველად დაიწყეს ფიქრი გაურკვეველი რაოდენობების შემცველ თანასწორობებზე, ალბათ ჯერ არ იყო მონეტები და საფულეები. მაგრამ, მეორეს მხრივ, იყო გროვა, ასევე ქოთნები, კალათები, რომლებიც შესანიშნავად ასრულებდნენ ქეშ-მაღაზიების როლს, რომლებიც შეიცავს უცნობი რაოდენობის ნივთებს. „ჩვენ ვეძებთ გროვას, რომელიც მის ორ მესამედთან ერთად, ნახევარი და მეშვიდე არის 37...“, ასწავლიდა ეგვიპტელი მწიგნობარი ახმესი ძვ.წ. II ათასწლეულში. მესოპოტამიის, ინდოეთის, ჩინეთის, საბერძნეთის უძველეს მათემატიკურ ამოცანებში უცნობი რაოდენობები გამოხატავდა ბაღში ფარშევანგის რაოდენობას, ნახირში ხარების რაოდენობას, ქონების გაყოფისას გათვალისწინებული ნივთების მთლიანობას. მწიგნობრები, თანამდებობის პირები და მღვდლები, რომლებიც დაწყებულნი იყვნენ საიდუმლო ცოდნაში, კარგად გაწვრთნილი დათვლის მეცნიერებაში, საკმაოდ წარმატებით გაართვეს თავი ასეთ ამოცანებს.

ჩვენამდე მოღწეული წყაროები მიუთითებენ, რომ ძველ მეცნიერებს გააჩნდათ რამდენიმე ზოგადი მეთოდი უცნობი რაოდენობით ამოცანების გადასაჭრელად. თუმცა, არც ერთი პაპირუსი, არც ერთი თიხის ტაბლეტი არ იძლევა ამ ტექნიკის აღწერას. ავტორები მხოლოდ ხანდახან აწვდიდნენ თავიანთ ციფრულ გამოთვლებს საშუალო კომენტარებით, როგორიცაა: "ნახე!", "გააკეთე!", "სწორად იპოვე". ამ თვალსაზრისით გამონაკლისს წარმოადგენს ბერძენი მათემატიკოსის დიოფანტე ალექსანდრიელის „არითმეტიკა“ (III ს.) - განტოლებების შედგენის ამოცანების კრებული მათი ამონახსნების სისტემატური წარმოდგენით.

თუმცა, IX საუკუნის ბაღდადელი მეცნიერის ნაშრომი გახდა პირველი სახელმძღვანელო პრობლემების გადასაჭრელად, რომელიც ფართოდ გახდა ცნობილი. მუჰამედ ბინ მუსა ალ-ხვარიზმი. სიტყვა "ალ-ჯაბრ" ამ ტრაქტატის არაბული სათაურიდან - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("აღდგენისა და კონტრასტის წიგნი") - დროთა განმავლობაში გადაიქცა სიტყვა "ალგებრაში", რომელიც ყველასთვის კარგად არის ცნობილი, და თავად ალ-ხორეზმის ნაშრომი იყო ამოსავალი წერტილი განტოლებების ამოხსნის მეცნიერების განვითარებაში.

განტოლებები. ალგებრული განტოლებები

ძირითადი განმარტებები

ალგებრაში განიხილება ტოლობის ორი ტიპი - იდენტობები და განტოლებები.

იდენტობაარის თანასწორობა, რომელიც მოქმედებს ასოების ყველა (დასაშვები) მნიშვნელობებისთვის). ნიშანთან ერთად პირადობის დაწერა

ნიშანი ასევე გამოიყენება.

განტოლება- ეს არის თანასწორობა, რომელიც კმაყოფილდება მხოლოდ მასში შემავალი ასოების ზოგიერთი მნიშვნელობით. განტოლებაში შემავალი ასოები, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, შეიძლება იყოს არათანაბარი: ზოგიერთს შეუძლია მიიღოს ყველა მათი დასაშვები მნიშვნელობა (მათ ე.წ. პარამეტრებიან კოეფიციენტებიგანტოლებები და ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის პირველი ასოებით:

, , ... – ან იგივე ასოები, მოწოდებული ინდექსებით: , , ... ან , , ...); სხვები, რომელთა მნიშვნელობებიც უნდა მოიძებნოს, ეწოდება უცნობი(მათ ჩვეულებრივ აღნიშნავენ ლათინური ანბანის ბოლო ასოებით: , , , ... - ან იგივე ასოებით, მოწოდებული ინდექსებით: , , ... ან , , ...).

ზოგადად, განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

(, , ..., ).

უცნობის რაოდენობის მიხედვით განტოლებას უწოდებენ განტოლებას ერთი, ორი და ა.შ უცნობიებით.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზნები:

გაკვეთილები:

• ცოდნის განზოგადება ყველა ტიპის განტოლების შესახებ, ხაზს უსვამს განტოლებების ამოხსნისას გამოყენებული ყველა მეთოდის მნიშვნელობას.
• მოსწავლეთა მუშაობის გააქტიურება კლასში სხვადასხვა ტექნიკის საშუალებით.
• განტოლებების ამოხსნის თეორიული და პრაქტიკული უნარების გამოცდა.
• მიუთითეთ, რომ ერთი განტოლება შეიძლება ამოხსნას რამდენიმე გზით

განვითარება:

• გაიზარდოს მოსწავლეთა ინტერესი საგნისადმი ისტ-ის გამოყენებით.
• მოსწავლეთა ისტორიული მასალის გაცნობა თემაზე.
• გონებრივი აქტივობის განვითარება განტოლების ტიპისა და მისი ამოხსნის გზების განსაზღვრაში.

საგანმანათლებლო:

• კლასში დისციპლინის გამომუშავება.
• ლამაზის აღქმის უნარის განვითარება საკუთარ თავში, სხვა ადამიანში და სამყაროში.

გაკვეთილის ტიპი:

• ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი.

გაკვეთილის ტიპი:

• კომბინირებული.

მატერიალურ-ტექნიკური აღჭურვილობა:

• კომპიუტერი
• ეკრანი
• პროექტორი
• დისკი თემაზე პრეზენტაცია

მეთოდები და ტექნიკა:

• პრეზენტაციის გამოყენება
• ფრონტალური საუბარი
• ზეპირი სამუშაო
• თამაშის მომენტები
• მუშაობა წყვილებში
• დაფაზე მუშაობა
• რვეულებში მუშაობა

Გაკვეთილის გეგმა:

1. საორგანიზაციო მომენტი (1 წუთი)
2. გაკვეთილის თემის გაშიფვრა (3 წთ)
3. გაკვეთილის თემისა და მიზნის პრეზენტაცია (1წთ)
4. თეორიული დათბობა (3 წუთი)
5. ისტორიული ექსკურსია (3 წუთი)
6. თამაში "მოშორება ჭარბი" (2 წუთი)
7. შემოქმედებითი სამუშაო (2 წუთი)
8. დავალება „იპოვე შეცდომა“ (2 წუთი)
9. ერთი განტოლების ამოხსნა რამდენიმე გზით (სლაიდზე) (3 წუთი)
10. ერთი განტოლების ამოხსნა რამდენიმე გზით (დაფაზე) (24 წუთი)
11. დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში დამატებითი განმარტებით (5 წუთი)
12. ინდივიდუალური საშინაო დავალება (1 წუთი)
13. რეფლექსიის გაკვეთილის შედეგი (1 წთ)

გაკვეთილის ეპიგრაფი:

”სწავლა შეიძლება იყოს მხოლოდ სახალისო, ცოდნის მოსანელებლად, თქვენ უნდა შეიწოვოთ იგი მადით.”
ა საფრანგეთი

გაკვეთილის შეჯამება

ორგანიზაციული ნაწილი

ვამოწმებ მოსწავლეთა მზადყოფნას გაკვეთილზე, ვნიშნავ გაკვეთილზე გამოტოვებულებს. ბიჭებო, მე-19 საუკუნის ფრანგმა მწერალმა ა.ფრანსმა ერთხელ აღნიშნა: „სწავლა შეიძლება მხოლოდ სახალისო იყოს, ცოდნის მოსანელებლად საჭიროა მისი მადას აღიქვას“. ამიტომ მივყვეთ მწერლის რჩევებს ჩვენს გაკვეთილზე და დიდი მადით დავთესოთ ცოდნა, რადგან ისინი გამოადგება ჩვენს ცხოვრებაში.

გაკვეთილის თემის გაშიფვრა

იმისათვის, რომ გადავიდეთ უფრო რთულ ამოცანაზე, მოდით გავჭიმოთ ჩვენი ტვინი მარტივი ამოცანებით. ჩვენი გაკვეთილის თემა დაშიფრულია, ზეპირი ამოცანების ამოხსნით და მათზე პასუხის მოძიებით, იმის ცოდნა, რომ თითოეულ პასუხს აქვს თავისი ასო, გავამხელთ გაკვეთილის თემას. პრეზენტაციის სლაიდი 3

შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ

თქვენ თვითონ დაასახელეთ დღეს გაკვეთილის თემა

"განტოლებების სახეები და მათი ამოხსნის გზები".პრეზენტაციის სლაიდი 4

მიზანი: გაიხსენეთ და განზოგადოთ ყველა სახის განტოლება და როგორ ამოხსნათ ისინი. ამოხსენით ერთი განტოლება ყველანაირად. პრეზენტაციის სლაიდი 5 წაიკითხეთ აინშტაინის განცხადება პრეზენტაცია სლაიდი 5

თეორიული დათბობა

კითხვები პრეზენტაციის სლაიდი 7

პასუხები

1. ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომელიც აღინიშნება რაღაც ასოებით.
2. ეს ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.
3. ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა.
4. ამ განმარტების შემდეგ წაიკითხეთ ლექსი განტოლების შესახებ პრეზენტაცია სლაიდი 12,13,14

პასუხები ბოლო 2 კითხვაზე პრეზენტაცია სლაიდი 9,10,11

ისტორიული გადახვევა

ისტორიული ჩანაწერი „ვინ და როდის გამოიგონა განტოლება“ პრეზენტაციის სლაიდი 15

წარმოიდგინეთ, რომ პირველყოფილმა დედამ, სახელად ... თუმცა, მას, ალბათ, სახელიც კი არ ჰქონდა, ხიდან 12 ვაშლი აკრიფა, რათა 4 შვილს მიეცა. მან ალბათ არ იცოდა დათვლა არამარტო 12-მდე, არამედ ოთხამდეც და რა თქმა უნდა არ იცოდა 12-ის 4-ზე გაყოფა. და დაყო ვაშლები, ალბათ ასე: ჯერ თითოეულ ბავშვს აჩუქა ერთი ვაშლი, მერე მეორე ვაშლი, მერე მარტო და მერე დავინახე, რომ ვაშლი აღარ იყო და ბავშვები ბედნიერები იყვნენ. თუ ამ მოქმედებებს ჩავწერთ თანამედროვე მათემატიკური ენაზე, მაშინ მივიღებთ x4 = 12, ანუ დედამ გადაჭრა განტოლების შედგენის პრობლემა. როგორც ჩანს, ზემოხსენებულ კითხვაზე პასუხის გაცემა შეუძლებელია. ამოცანები, რომლებიც განტოლებების ამოხსნამდე მიგვიყვანს, ადამიანები საღი აზრის საფუძველზე წყვეტენ მას შემდეგ, რაც ისინი გახდნენ ადამიანები. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 3-4 ათასი წლით ადრეც კი, ეგვიპტელებმა და ბაბილონელებმა შეძლეს ამოხსნან უმარტივესი განტოლებები, რომელთა ფორმა და ამოხსნის მეთოდები არ ჰგავდა თანამედროვეებს. ბერძნებმა მემკვიდრეობით მიიღეს ეგვიპტელების ცოდნა და უფრო შორს წავიდნენ. უდიდეს წარმატებას განტოლებათა დოქტრინის შემუშავებაში მიაღწია ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა (III საუკუნე), რომლის შესახებაც წერდნენ:

მან ბევრი პრობლემა გადაჭრა.
და იწინასწარმეტყველა სუნი და შხაპი.
მართლაც, მისი ცოდნა გასაოცარია.

განტოლებათა ამოხსნაში დიდი წვლილი შეიტანა შუააზიელმა მათემატიკოსმა მუჰამედ ალ ხორეზმმა (IX ს.). მისი ცნობილი წიგნი ალ-ხორეზმი ეძღვნება განტოლებების ამოხსნას. მას ჰქვია "Kitab al-jabr wal-muqabala", ანუ "წიგნი შევსებისა და კონტრასტის შესახებ". ეს წიგნი ევროპელებისთვის ცნობილი გახდა და მისი სათაურიდან სიტყვიდან "ალ-ჯაბრ" წარმოიშვა სიტყვა "ალგებრა" - მათემატიკის ერთ-ერთი მთავარი ნაწილის სახელი. მომავალში, ბევრი მათემატიკოსი შეეხო განტოლებების პრობლემებს. x2+in=0 სახით დაყვანილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი ჩამოაყალიბა მე-15 საუკუნეში მცხოვრებმა გერმანელმა მათემატიკოსმა შტიფელმა. ჰოლანდიელი მათემატიკოსის ჟირარის (XVI ს.), ასევე დეკარტისა და ნიუტონის ნაშრომების შემდეგ ამოხსნის მეთოდმა თანამედროვე სახე მიიღო. განტოლების ფესვების დამოკიდებულების გამოხატვის ფორმულები მის კოეფიციენტებზე შემოიღო ვიეტამ. ფრანსუა ვიე მე-16 საუკუნეში ცხოვრობდა. დიდი წვლილი შეიტანა მათემატიკისა და ასტრონომიის სხვადასხვა ამოცანების შესწავლაში; კერძოდ, მან შემოიტანა ასოების აღნიშვნა განტოლების კოეფიციენტებისთვის. ახლა კი გავეცნობით საინტერესო ეპიზოდს მისი ცხოვრებიდან. ვიეტმა დიდი პოპულარობა მოიპოვა მეფე ჰენრი III-ის დროს, ფრანკო-ესპანეთის ომის დროს. ესპანელმა ინკვიზიტორებმა გამოიგონეს ძალიან რთული საიდუმლო დამწერლობა, რომლის წყალობითაც ესპანელები მიმოწერას აწარმოებდნენ ანრი III-ის მტრებთან თვით საფრანგეთშიც კი.

ამაოდ ცდილობდნენ ფრანგები შიფრის გასაღების პოვნას, შემდეგ კი მეფე ვიეტას მიუბრუნდა. ისინი ამბობენ, რომ ვიეტმა იპოვა შიფრის გასაღები ორ კვირაში უწყვეტ მუშაობაში, რის შემდეგაც, ესპანეთისთვის მოულოდნელად, საფრანგეთმა დაიწყო ბრძოლა ერთი მეორის მიყოლებით. დარწმუნებულები იყვნენ, რომ შიფრის გაშიფვრა შეუძლებელი იყო, ესპანელებმა ვიეტა დაადანაშაულეს ეშმაკთან კავშირში და მას კოცონზე დაწვა მიუსაჯეს. საბედნიეროდ, ის არ იქნა ექსტრადირებული ინკვიზიციაში და ისტორიაში შევიდა, როგორც დიდი მათემატიკოსი.

თამაში "ამოიღეთ ზედმეტი"

თამაშის მიზანიორიენტაცია განტოლების სახით.

ჩვენ მოცემულია განტოლებების სამი სვეტი, თითოეულ მათგანში განტოლებები განისაზღვრება გარკვეული მახასიათებლით, მაგრამ ერთი მათგანი ზედმეტია, თქვენი ამოცანაა იპოვოთ და დაახასიათოთ იგი. პრეზენტაციის სლაიდი 16

შემოქმედებითი მუშაობა

ამ ამოცანის მიზანი: მათემატიკური მეტყველების ორიენტირებული ბავშვების მოსმენის გააზრება განტოლებების სახით.

ეკრანზე ხედავთ 9 განტოლებას. თითოეულ განტოლებას აქვს თავისი რიცხვი, მე დავასახელებ ამ განტოლების ტიპს და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ ტიპის განტოლება და დააყენოთ მხოლოდ ის რიცხვი, რომლის ქვეშაც ის დგას, შედეგად მიიღებთ 9-ნიშნა რიცხვს პრეზენტაციის სლაიდი 17.

1. შემცირებული კვადრატული განტოლება.
2. წილადი რაციონალური განტოლება
3. კუბური განტოლება
4. ლოგარითმული განტოლება
5. წრფივი განტოლება
6. არასრული კვადრატული განტოლება
7. ექსპონენციალური განტოლება
8. ირაციონალური განტოლება
9. ტრიგონომეტრიული განტოლება

დავალება "იპოვე შეცდომა"

ერთმა მოსწავლემ ამოხსნა განტოლებები, მაგრამ მთელმა კლასმა იცინოდა, მან შეცდომა დაუშვა თითოეულ განტოლებაში, თქვენი ამოცანაა იპოვოთ იგი და გამოასწოროთ. პრეზენტაციის სლაიდი 18

ერთი განტოლების ამოხსნა რამდენიმე გზით

ახლა კი ერთ განტოლებას ყველა შესაძლო გზით მოვაგვარებთ, გაკვეთილზე დროის დაზოგვის მიზნით, ეკრანზე გამოსახული ერთი განტოლება. ახლა თქვენ დაასახელებთ ამ განტოლების ტიპს და აგიხსნით, რომელი მეთოდია გამოყენებული ამ განტოლების ამოსახსნელად პრეზენტაციის სლაიდები 19-27

ერთი განტოლების ამოხსნა რამდენიმე გზით (დაფაზე)

ჩვენ გადავხედეთ მაგალითს, ახლა მოდით ამოხსნათ განტოლება დაფაზე ყველა შესაძლო გზით.

X-2 - ირაციონალური განტოლება

მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ.

X 2 +2x+4x-1-4=0

ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით დაფაზე 9 გზით.

დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში, რასაც მოჰყვება ახსნა დაფაზე

ახლა კი თქვენ იმუშავებთ წყვილებში, მე ვაძლევ განტოლებას მაგიდას, თქვენი ამოცანაა დაადგინოთ განტოლების ტიპი, ჩამოთვალოთ ამ განტოლების ამოხსნის ყველა გზა, ამოხსნათ 1-2 თქვენთვის ყველაზე რაციონალური გზებით. (2 წუთი)

წყვილებში მუშაობის ამოცანები

ამოხსენით განტოლება

წყვილებში დამოუკიდებელი მუშაობის შემდეგ ერთი წარმომადგენელი მიდის დაფაზე, წარმოადგენს თავის განტოლებას, ხსნის მას ერთი გზით.

ინდივიდუალური საშინაო დავალება(განსხვავებული)

ამოხსენით განტოლება

(განტოლების ტიპი განვსაზღვროთ, ამოხსნათ აუცილებლად ცალკე ფურცელზე)

რეფლექსიის გაკვეთილის შეჯამება.

ვაჯამებ გაკვეთილს, ვაქცევ ყურადღებას იმ ფაქტზე, რომ ერთი განტოლება შეიძლება ამოხსნას მრავალი გზით, ვაძლევ შეფასებებს, დავასკვენი ვინ იყო აქტიური და ვინ უნდა იყოს უფრო აქტიური. წავიკითხე კალინინის განცხადება პრეზენტაციის სლაიდი 28

ყურადღებით დააკვირდით მიზნებს, რომლებიც დავსახეთ დღევანდელი გაკვეთილისთვის:

• როგორ ფიქრობთ, რა შევძელით?
• რა არ გამოვიდა კარგად?
• რა მოგეწონათ და დაიმახსოვრეთ განსაკუთრებით?
• დღეს რაღაც ახალი გავიგე...
• გაკვეთილი დამეხმარა...
• გამიჭირდა...
• ვისიამოვნე გაკვეთილით...

ლიტერატურა.

1. დოროფეევი გ.ვ. ”დავალებების კრებული მათემატიკაში წერითი გამოცდის ჩასატარებლად საშუალო სკოლის კურსისთვის” - მ .: დროფა, 2006 წ.
2. გარნერ მარტინი. მათემატიკური თავსატეხები და გართობა.
3. ივლევი ბ.მ., საჰაკიანი ს.მ. დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისები მე-10 კლასის მე-11 კლასისთვის. მ.: განმანათლებლობა. 2002 წ.