სკოლაში ბევრი ვერ ხსნის ინტეგრალებს ან უჭირს მათთან მიმართებაში. ეს სტატია დაგეხმარებათ ამის გარკვევაში, რადგან მასში ყველაფერს იპოვით. ინტეგრალების ცხრილები.

ინტეგრალურიარის ერთ-ერთი მთავარი გამოთვლა და კონცეფცია კალკულუსში. მისი გამოჩენა გაჩნდა ორი მიზნით:
პირველი სამიზნე- აღადგინეთ ფუნქცია მისი წარმოებულის გამოყენებით.
მეორე გოლი- ფართობის გამოთვლა, რომელიც მდებარეობს გრაფიკიდან დაშორებით f (x) ფუნქციამდე სწორ ხაზზე, სადაც a მეტია ან ტოლია x-ზე მეტი ან ტოლია b-ზე და აბსცისის ღერძი.

ეს მიზნები მიგვიყვანს განსაზღვრულ და განუსაზღვრელ ინტეგრალებამდე. ამ ინტეგრალებს შორის კავშირი მდგომარეობს თვისებების ძიებაში და გამოთვლაში. მაგრამ ყველაფერი მიედინება და ყველაფერი იცვლება დროთა განმავლობაში, იპოვეს ახალი გადაწყვეტილებები, გამოვლინდა დამატებები, რითაც განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალები შემოიტანეს ინტეგრაციის სხვა ფორმებში.

Რა განუსაზღვრელი ინტეგრალი თქვენ ჰკითხავთ. ეს არის x ცვლადის ანტიდერივატიული ფუნქცია F(x) a x-ზე დიდი b-ზე დიდი ინტერვალში. ეწოდება ნებისმიერ ფუნქციას F(x), ნებისმიერი x აღნიშვნის მოცემულ ინტერვალში წარმოებული უდრის F(x). ნათელია, რომ F(x) არის f(x)-ის ანტიწარმოებული a x-ზე მეტი b-ზე დიდი ინტერვალით. აქედან გამომდინარე F1(x) = F(x) + C. C - არის ნებისმიერი მუდმივი და ანტიწარმოებული f(x) მოცემულ ინტერვალში. ეს განცხადება შექცევადია, f(x) - 2 ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულები განსხვავდებიან მხოლოდ მუდმივში. ინტეგრალური გამოთვლის თეორემადან გამომდინარე, გამოდის, რომ ყოველი უწყვეტი ინტერვალში a.

განსაზღვრული ინტეგრალი გაგებულია, როგორც ლიმიტი ინტეგრალურ ჯამებში, ან მოცემული ფუნქციის f(x) სიტუაციაში, რომელიც განსაზღვრულია რომელიმე წრფეზე (a, b), რომელსაც აქვს ანტიწარმოებული F, რაც ნიშნავს მისი გამონათქვამების განსხვავებას ამ ხაზის ბოლოებში. F(b) - F(a).

სიცხადისთვის, ამ თემის შესწავლისთვის, გთავაზობთ ვიდეოს ყურებას. იგი დეტალურად განმარტავს და გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ინტეგრალები.

ინტეგრალების თითოეული ცხრილი თავისთავად ძალიან სასარგებლოა, რადგან ის ეხმარება გარკვეული სახის ინტეგრალის ამოხსნაში.

ყველა შესაძლო ტიპის საკანცელარიო ნივთი და სხვა. შეგიძლიათ შეიძინოთ ონლაინ მაღაზიის v-kant.ru საშუალებით. ან უბრალოდ მიჰყევით ბმულს Stationery Samara (http://v-kant.ru) ხარისხი და ფასები სასიამოვნოდ გაგაოცებთ.

ანტიდერივატიული ფუნქცია და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფაქტი 1. ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის საპირისპირო, კერძოდ, ფუნქციის აღდგენა ამ ფუნქციის ცნობილი წარმოებულიდან. ფუნქცია აღდგენილია ამ გზით ფ(x) ეწოდება პრიმიტიულიფუნქციისთვის ვ(x).

განმარტება 1. ფუნქცია ფ(x ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, თუ ყველა მნიშვნელობისთვის xამ ინტერვალიდან თანასწორობა ფ "(x)=ვ(x), ანუ ეს ფუნქცია ვ(x) არის ანტიდერივატიული ფუნქციის წარმოებული ფ(x). .

მაგალითად, ფუნქცია ფ(x) = ცოდვა x არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) = cos x მთელ რიცხვთა წრფეზე, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (ცოდვა x)" = (კოს x) .

განმარტება 2. ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) არის მისი ყველა ანტიდერივატივის კოლექცია. ეს იყენებს აღნიშვნას

∫

ვ(x)dx

,

სად არის ნიშანი ∫ ეწოდება ინტეგრალური ნიშანი, ფუნქცია ვ(x) არის ინტეგრანტი და ვ(x)dx არის ინტეგრანტი.

ამრიგად, თუ ფ(x) არის გარკვეული ანტიდერივატი ვ(x), მაშინ

∫

ვ(x)dx = ფ(x) +C

სადაც C - თვითნებური მუდმივი (მუდმივი).

ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის, როგორც განუსაზღვრელი ინტეგრალის მნიშვნელობის გასაგებად, შესაბამისია შემდეგი ანალოგი. იყოს კარი (ტრადიციული ხის კარი). მისი ფუნქციაა „იყოს კარი“. რისგან არის დამზადებული კარი? ხიდან. ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრანტის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე "to be კარი", ანუ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალი, არის ფუნქცია "to be ხე + C", სადაც C არის მუდმივი, რომელიც ამ კონტექსტში შეიძლება აღინიშნოს, მაგალითად, ხის სახეობა. ისევე როგორც კარი მზადდება ხისგან ზოგიერთი ხელსაწყოებით, ფუნქციის წარმოებული არის "დამზადებული" ანტიდერივატიული ფუნქციისგან. ფორმულა, რომელიც წარმოებულის შესწავლით ვისწავლეთ .

შემდეგ ჩვეულებრივი საგნების ფუნქციების ცხრილი და მათი შესაბამისი პრიმიტივები („იყო კარი“ - „ხე იყოს“, „კოვზი იყოს“ - „მეტალი იყოს“ და ა.შ.) ცხრილის მსგავსია. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რომლებიც ქვემოთ იქნება მოცემული. განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი ჩამოთვლის საერთო ფუნქციებს, სადაც მითითებულია ანტიწარმოებულები, საიდანაც ეს ფუნქციები "დამზადებულია". განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ამოცანების ფარგლებში მოცემულია ისეთი ინტეგრანდები, რომელთა ინტეგრირება შესაძლებელია უშუალოდ განსაკუთრებული ძალისხმევის გარეშე, ანუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილის მიხედვით. უფრო რთულ ამოცანებში ინტეგრადი ჯერ უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ ტაბულური ინტეგრალები იყოს გამოყენებული.

ფაქტი 2. ფუნქციის, როგორც ანტიწარმოებულის აღდგენისას, უნდა გავითვალისწინოთ თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) Cდა იმისათვის, რომ არ დაწეროთ ანტიწარმოებულების სია სხვადასხვა მუდმივებით 1-დან უსასრულობამდე, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ანტიწარმოებულების ნაკრები თვითნებური მუდმივით. C, ასე: 5 x³+C. ასე რომ, თვითნებური მუდმივი (მუდმივი) შედის ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში, რადგან ანტიწარმოებული შეიძლება იყოს ფუნქცია, მაგალითად, 5. x³+4 ან 5 x³+3 და 4 ან 3-ის ან რომელიმე სხვა მუდმივის დიფერენცირებისას ქრება.

ჩვენ ვაყენებთ ინტეგრაციის პრობლემას: მოცემული ფუნქციისთვის ვ(x) იპოვნეთ ასეთი ფუნქცია ფ(x), რომლის წარმოებულიუდრის ვ(x).

მაგალითი 1იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებულთა სიმრავლე

გადაწყვეტილება. ამ ფუნქციისთვის ანტიდერივატი არის ფუნქცია

ფუნქცია ფ(x) ფუნქციისთვის ანტიდერივატი ეწოდება ვ(x) თუ წარმოებული ფ(x) უდრის ვ(x), ან, რაც იგივეა, დიფერენციალი ფ(x) უდრის ვ(x) dx, ე.ი.

(2)

მაშასადამე, ფუნქცია ფუნქციის ანტიდერივატიულია. თუმცა, ეს არ არის ერთადერთი ანტიდერივატი . ისინი ასევე ფუნქციებია

სადაც თანარის თვითნებური მუდმივი. ეს შეიძლება დადასტურდეს დიფერენციაციის გზით.

ამრიგად, თუ ფუნქციისთვის არის ერთი ანტიწარმოებული, მაშინ მისთვის არის ანტიწარმოებულების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც განსხვავდება მუდმივი ჯამით. ფუნქციის ყველა ანტიდერივატი იწერება ზემოთ მოყვანილი ფორმით. ეს გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

თეორემა (ფაქტის ფორმალური განცხადება 2).Თუ ფ(x) არის ფუნქციის ანტიდერივატი ვ(x) გარკვეული ინტერვალით X, შემდეგ ნებისმიერი სხვა ანტიდერივატი ვ(x) იმავე ინტერვალზე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ფ(x) + C, სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

შემდეგ მაგალითში ჩვენ უკვე მივმართავთ ინტეგრალების ცხრილს, რომელიც მოცემულია მე-3 პუნქტში, განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების შემდეგ. ჩვენ ამას ვაკეთებთ სანამ გავეცნობით მთელ ცხრილს, რათა ზემოაღნიშნულის არსი ნათელი იყოს. და ცხრილისა და თვისებების შემდეგ, ჩვენ მათ მთლიანობაში გამოვიყენებთ ინტეგრირებისას.

მაგალითი 2იპოვნეთ ანტიდერივატების ნაკრები:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ ანტიდერივატიული ფუნქციების ერთობლიობას, საიდანაც ეს ფუნქციები "შექმნილია". ინტეგრალების ცხრილიდან ფორმულების ხსენებისას, ჯერ-ჯერობით, უბრალოდ მიიღეთ, რომ არსებობს ასეთი ფორმულები და განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილს სრულად შევისწავლით ცოტა შემდგომ.

1) ფორმულის (7) გამოყენება ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 3, ვიღებთ

2) ფორმულის (10) გამოყენებით ინტეგრალების ცხრილიდან ნ= 1/3, გვაქვს

3) მას შემდეგ, რაც

შემდეგ ფორმულის მიხედვით (7) at ნ= -1/4 პოვნა

ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ ისინი თავად ფუნქციას არ წერენ ვდა მისი პროდუქტი დიფერენციალურად dx. ეს კეთდება პირველ რიგში იმისთვის, რომ მიუთითოთ რომელი ცვლადის მოძიება ხდება ანტიწარმოებულში. Მაგალითად,

, ;

აქ ორივე შემთხვევაში ინტეგრანი უდრის , მაგრამ მისი განუსაზღვრელი ინტეგრალები განხილულ შემთხვევებში განსხვავებული აღმოჩნდება. პირველ შემთხვევაში ეს ფუნქცია განიხილება, როგორც ცვლადის ფუნქცია x, ხოლო მეორეში - როგორც ფუნქცია ზ .

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის პროცესს ამ ფუნქციის ინტეგრირება ეწოდება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დაე, საჭირო გახდეს მრუდის პოვნა y=F(x)და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი მის თითოეულ წერტილში არის მოცემული ფუნქცია f(x)ამ პუნქტის აბსციზა.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, ტანგენსის დახრილობის ტანგენსი მრუდის მოცემულ წერტილში y=F(x)წარმოებულის მნიშვნელობის ტოლია F" (x). ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია F(x), რისთვისაც F"(x)=f(x). ამოცანაში საჭირო ფუნქცია F(x)მომდინარეობს f(x). პრობლემის პირობას აკმაყოფილებს არა ერთი მრუდი, არამედ მრუდის ოჯახი. y=F(x)- ამ მრუდის ერთ-ერთი და ნებისმიერი სხვა მრუდის მიღება შესაძლებელია მისგან ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანით ოი.

დავარქვათ ანტიწარმოებული ფუნქციის გრაფიკი f(x)ინტეგრალური მრუდი. Თუ F"(x)=f(x), შემდეგ ფუნქციის გრაფიკი y=F(x)არის განუყოფელი მრუდი.

ფაქტი 3. განუსაზღვრელი ინტეგრალი გეომეტრიულად წარმოდგენილია ყველა ინტეგრალური მრუდის ოჯახით როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე. თითოეული მრუდის მანძილი საწყისიდან განისაზღვრება ინტეგრაციის თვითნებური მუდმივით (მუდმივი). C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ფაქტი 4. თეორემა 1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ინტეგრადის ტოლია, ხოლო მისი დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია.

ფაქტი 5. თეორემა 2. ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი ვ(x) ფუნქციის ტოლია ვ(x) მუდმივ ვადამდე , ე.ი.

(3)

1 და 2 თეორემები აჩვენებს, რომ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია ურთიერთშებრუნებული ოპერაციებია.

ფაქტი 6. თეორემა 3. ინტეგრალის მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნიდან. , ე.ი.

ჩვენ ჩამოვთვლით ელემენტარული ფუნქციების ინტეგრალებს, რომლებსაც ზოგჯერ ტაბულურს უწოდებენ:

ნებისმიერი ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს მარჯვენა მხარის წარმოებულის აღებით (შედეგად მიიღება ინტეგრანი).

ინტეგრაციის მეთოდები

მოდით განვიხილოთ ინტეგრაციის რამდენიმე ძირითადი მეთოდი. Ესენი მოიცავს:

1. დაშლის მეთოდი(პირდაპირი ინტეგრაცია).

ეს მეთოდი ეფუძნება ცხრილის ინტეგრალების პირდაპირ გამოყენებას, ასევე განუსაზღვრელი ინტეგრალის მე-4 და მე-5 თვისებების გამოყენებას (ანუ მუდმივი ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან და/ან ინტეგრადის წარმოდგენა ფუნქციების ჯამად - ინტეგრანტის გაფართოება ტერმინებად).

მაგალითი 1მაგალითად, (dx/x 4)-ის საპოვნელად შეგიძლიათ პირდაპირ გამოიყენოთ ცხრილის ინტეგრალი x n dx-ისთვის. მართლაც, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2საპოვნელად ვიყენებთ იგივე ინტეგრალს:

მაგალითი 3რომ იპოვოთ თქვენ უნდა აიღოთ

მაგალითი 4საპოვნელად, ჩვენ წარმოვადგენთ ინტეგრანდს ფორმაში და გამოიყენეთ ცხრილის ინტეგრალი ექსპონენციალური ფუნქციისთვის:

განვიხილოთ მუდმივი ფაქტორის ბრეკეტინგის გამოყენება.

მაგალითი 5მოდი ვიპოვოთ, მაგალითად . ამის გათვალისწინებით მივიღებთ

მაგალითი 6მოდი ვიპოვოთ. Იმდენად, რამდენადაც , ვიყენებთ ცხრილის ინტეგრალს მიიღეთ

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები და ცხრილის ინტეგრალები შემდეგ ორ მაგალითში:

მაგალითი 7

(ჩვენ ვიყენებთ და );

მაგალითი 8

(ჩვენ ვიყენებთ და ).

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებიც იყენებენ ჯამის ინტეგრალს.

მაგალითი 9მაგალითად, ვიპოვოთ
. მრიცხველში გაფართოების მეთოდის გამოსაყენებლად ვიყენებთ ჯამის კუბის ფორმულას , შემდეგ კი მიღებულ მრავალწევრს ვყოფთ ტერმინებზე მნიშვნელზე.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

უნდა აღინიშნოს, რომ ამოხსნის ბოლოს იწერება ერთი საერთო მუდმივი C (და არა ცალკეული ყოველი წევრის ინტეგრირებისას). სამომავლოდ ასევე შემოთავაზებულია მუდმივების გამოტოვება ცალკეული ტერმინების ინტეგრაციიდან ამოხსნის პროცესში, სანამ გამონათქვამი შეიცავს მინიმუმ ერთ განუსაზღვრელ ინტეგრალს (ერთ მუდმივას დავწერთ ამოხსნის ბოლოს).

მაგალითი 10მოდი ვიპოვოთ . ამ პრობლემის გადასაჭრელად, მრიცხველის ფაქტორიზირებას ვაკეთებთ (ამის შემდეგ შეგვიძლია შევამციროთ მნიშვნელი).

მაგალითი 11.მოდი ვიპოვოთ. აქ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტრიგონომეტრიული იდენტობები.

ზოგჯერ გამონათქვამის ტერმინებად დასაშლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ უფრო რთული ტექნიკა.

მაგალითი 12.მოდი ვიპოვოთ . ინტეგრანდში ვირჩევთ წილადის მთელ ნაწილს . მერე

მაგალითი 13მოდი ვიპოვოთ

2. ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი (ჩანაცვლების მეთოდი)

მეთოდი ეფუძნება შემდეგ ფორმულას: f(x)dx=f((t))`(t)dt, სადაც x =(t) არის ფუნქცია, რომელიც დიფერენცირებულია განხილულ ინტერვალზე.

მტკიცებულება. ვიპოვოთ წარმოებულები t ცვლადის მიმართ ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიდან.

გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარეს არის რთული ფუნქცია, რომლის შუალედური არგუმენტია x = (t). მაშასადამე, t-ის მიმართ მისი დიფერენცირებისთვის ჯერ განვასხვავებთ ინტეგრალს x-ის მიმართ, შემდეგ კი ვიღებთ შუალედური არგუმენტის წარმოებულს t-ის მიმართ.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

მარჯვენა მხარის წარმოებული:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

ვინაიდან ეს წარმოებულები ტოლია, ლაგრანგის თეორემის დასკვნის მიხედვით, დადასტურებული ფორმულის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები განსხვავდება გარკვეული მუდმივით. ვინაიდან განუსაზღვრელი ინტეგრალები თავად განსაზღვრულია განუსაზღვრელი მუდმივი ვადით, ეს მუდმივი შეიძლება გამოტოვდეს საბოლოო აღნიშვნაში. დადასტურებული.

ცვლადის წარმატებული ცვლილება საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ ორიგინალური ინტეგრალი და უმარტივეს შემთხვევებში შევიყვანოთ იგი ცხრილამდე. ამ მეთოდის გამოყენებისას განასხვავებენ წრფივი და არაწრფივი ჩანაცვლების მეთოდებს.

ა) ხაზოვანი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1
. Lett= 1 – 2x, მაშინ

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

უნდა აღინიშნოს, რომ ახალი ცვლადი არ უნდა იყოს მკაფიოდ ჩამოწერილი. ასეთ შემთხვევებში საუბარია ფუნქციის ტრანსფორმაციაზე დიფერენციალური ნიშნით, ან მუდმივებისა და ცვლადების შეყვანაზე დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ე.ი. შესახებ იმპლიციტური ცვლადის ჩანაცვლება.

მაგალითი 2მაგალითად, ვიპოვოთ cos(3x + 2)dx. დიფერენციალური თვისებებით dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), შემდეგcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

ორივე განხილულ მაგალითში ინტეგრალების საპოვნელად გამოყენებული იქნა წრფივი ჩანაცვლება t=kx+b(k0).

ზოგადად, შემდეგი თეორემა მოქმედებს.

წრფივი ჩანაცვლების თეორემა. მოდით F(x) იყოს ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის. მაშინf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, სადაც k და b არის გარკვეული მუდმივები,k0.

მტკიცებულება.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C ინტეგრალის განმარტებით. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. განუყოფელი ნიშნისთვის ვიღებთ მუდმივ ფაქტორს k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები k-ზე და მივიღოთ დასამტკიცებელი მტკიცება მუდმივი წევრის აღნიშვნამდე.

ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ თუ გამონათქვამი (kx+b) ჩანაცვლებულია f(x)dx= F(x) + C ინტეგრალის განმარტებაში, მაშინ ეს გამოიწვევს დამატებითი ფაქტორის 1/k გამოჩენას წინ. ანტიდერივატივის.

დადასტურებული თეორემის გამოყენებით ვხსნით შემდეგ მაგალითებს.

მაგალითი 3

მოდი ვიპოვოთ . აქ kx+b= 3 –x, ანუ k= -1,b= 3. მაშინ

მაგალითი 4

მოდი ვიპოვოთ. აქ kx+b= 4x+ 3, ანუ k= 4,b= 3. მაშინ

მაგალითი 5

მოდი ვიპოვოთ . აქ kx+b= -2x+ 7, ანუ k= -2,b= 7. მაშინ

.

მაგალითი 6მოდი ვიპოვოთ
. აქ kx+b= 2x+ 0, ანუ k= 2,b= 0.

.

მიღებული შედეგი შევადაროთ მაგალით 8-ს, რომელიც ამოხსნილია დაშლის მეთოდით. იგივე პრობლემის გადაჭრა სხვა მეთოდით, მივიღეთ პასუხი
. შევადაროთ შედეგები: ამრიგად, ეს გამონათქვამები განსხვავდება ერთმანეთისგან მუდმივი ვადით , ე.ი. მიღებული პასუხები არ ეწინააღმდეგება ერთმანეთს.

მაგალითი 7მოდი ვიპოვოთ
. მნიშვნელში ვირჩევთ სრულ კვადრატს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ცვლადის ცვლილება არ ამცირებს ინტეგრალს პირდაპირ ცხრილამდე, მაგრამ მას შეუძლია ამონახსნის გამარტივება იმით, რომ შესაძლებელი გახდება დაშლის მეთოდის გამოყენება შემდეგ ეტაპზე.

მაგალითი 8მაგალითად, ვიპოვოთ . ჩაანაცვლეთ t=x+ 2, შემდეგ dt=d(x+ 2) =dx. მერე

,

სადაც C \u003d C 1 - 6 (t გამოსახულების ნაცვლად (x + 2) ჩანაცვლებისას, პირველი ორი წევრის ნაცვლად, ვიღებთ ½x 2 -2x - 6).

მაგალითი 9მოდი ვიპოვოთ
. მოდით t= 2x+ 1, შემდეგ dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

t-ის ნაცვლად ვცვლით გამონათქვამს (2x + 1), ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავსებს.

გაითვალისწინეთ, რომ გარდაქმნების პროცესში ჩვენ გადავედით სხვა მუდმივ ტერმინზე, რადგან გარდაქმნების პროცესში მუდმივი ტერმინების ჯგუფი შეიძლება გამოტოვდეს.

ბ) არაწრფივი ჩანაცვლების მეთოდიმოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 1
. მოდით t= -x 2 . გარდა ამისა, შეიძლება x გამოვხატოთ t-ით, შემდეგ იპოვონ dx-ის გამოხატულება და განახორციელონ ცვლადის ცვლილება სასურველ ინტეგრალში. მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია სხვაგვარად გაკეთება. იპოვეთ dt=d(-x 2) = -2xdx. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება xdx არის საჭირო ინტეგრალის ინტეგრატის ფაქტორი. გამოვხატავთ მას მიღებული ტოლობიდან xdx= - ½dt. მერე

ინტეგრაციის ოთხი ძირითადი მეთოდი ჩამოთვლილია ქვემოთ.

1) ჯამის ან სხვაობის ინტეგრაციის წესი.
.
აქ და ქვემოთ, u, v, w არის ინტეგრაციის x ცვლადის ფუნქციები.

2) მუდმივის ამოღება ინტეგრალური ნიშნიდან.
მოდით c იყოს x-ისგან დამოუკიდებელი მუდმივი. მაშინ მისი ამოღება შესაძლებელია ინტეგრალური ნიშნიდან.

3) ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.
განვიხილოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.
თუ შესაძლებელია ასეთი ფუნქციის φ არჩევა (x) x-დან, ასე რომ
,
შემდეგ t = φ(x) ცვლადის შეცვლის შემდეგ გვაქვს
.

4) ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა.
,
სადაც u და v არის ინტეგრაციის ცვლადის ფუნქციები.

განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის საბოლოო მიზანია გარდაქმნების გზით მოცემული ინტეგრალის მიყვანა უმარტივეს ინტეგრალებამდე, რომლებსაც ტაბულური ინტეგრალები ეწოდება. ცხრილის ინტეგრალები გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.
იხილეთ ინტეგრალების ცხრილი >>>

მაგალითი

გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

გადაწყვეტილება

გაითვალისწინეთ, რომ ინტეგრანტი არის სამი წევრის ჯამი და განსხვავება:
, და .
ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს 1 .

გარდა ამისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ახალი ინტეგრალების ინტეგრატები მრავლდება მუდმივებზე 5, 4, და 2 , შესაბამისად. ჩვენ ვიყენებთ მეთოდს 2 .

ინტეგრალების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას
.
პარამეტრი n = 2 , ვპოულობთ პირველ ინტეგრალს.

გადავიწეროთ მეორე ინტეგრალი ფორმაში
.
ჩვენ ამას ვამჩნევთ. მერე

გამოვიყენოთ მესამე მეთოდი. ვაკეთებთ t = φ ცვლადის ცვლილებას (x) = ჟურნალი x.
.
ინტეგრალების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას

ვინაიდან ინტეგრაციის ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი ასოთი, მაშინ

მესამე ინტეგრალი გადავწეროთ ფორმაში
.
ჩვენ ვიყენებთ ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულას.
დაე .
მერე
;
;

;
;
.

საბოლოოდ გვაქვს
.
შეაგროვეთ ტერმინები x-ით 3 .
.

უპასუხე

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, პრობლემების კრებული უმაღლეს მათემატიკაში, ლან, 2003 წ.

ძირითადი ინტეგრალები, რომლებიც ყველა სტუდენტმა უნდა იცოდეს

ჩამოთვლილი ინტეგრალები არის საფუძველი, საფუძველი. ეს ფორმულები, რა თქმა უნდა, უნდა გვახსოვდეს. უფრო რთული ინტეგრალების გამოთვლისას, მათი მუდმივად გამოყენება მოგიწევთ.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ფორმულებს (5), (7), (9), (12), (13), (17) და (19). ინტეგრირებისას არ დაგავიწყდეთ პასუხის C თვითნებური მუდმივის დამატება!

მუდმივის ინტეგრალი

∫ A d x = A x + C (1)

დენის ფუნქციის ინტეგრაცია

სინამდვილეში, შეიძლება შემოიფარგლოთ ფორმულებით (5) და (7), მაგრამ ამ ჯგუფის დანარჩენი ინტეგრალები იმდენად გავრცელებულია, რომ ღირს მათზე მცირე ყურადღების მიქცევა.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ჟურნალი | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ექსპონენციალური და ჰიპერბოლური ფუნქციების ინტეგრალები

რა თქმა უნდა, ფორმულა (8) (შესაძლოა დასამახსოვრებლად ყველაზე მოსახერხებელი) შეიძლება ჩაითვალოს (9) ფორმულის განსაკუთრებულ შემთხვევად. ჰიპერბოლური სინუსის და ჰიპერბოლური კოსინუსების ინტეგრალების ფორმულები (10) და (11) ადვილად მიღებულია ფორმულიდან (8), მაგრამ უმჯობესია უბრალოდ დაიმახსოვროთ ეს მიმართებები.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი ინტეგრალები

შეცდომა, რომელსაც მოსწავლეები ხშირად უშვებენ: ისინი ერთმანეთში ურევენ (12) და (13) ფორმულების ნიშნებს. გავიხსენოთ, რომ სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის, რატომღაც ბევრს მიაჩნია, რომ sinx ფუნქციის ინტეგრალი უდრის cosx-ს. Ეს არ არის სიმართლე! სინუსის ინტეგრალი არის "მინუს კოსინუსი", მაგრამ cosx-ის ინტეგრალი არის "უბრალოდ სინუსი":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

ინტეგრალები შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებამდე შემცირებით

ფორმულა (16), რომელიც მივყავართ რკალის ტანგენსამდე, ბუნებრივად არის (17) ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა a=1-ისთვის. ანალოგიურად, (18) არის (19) განსაკუთრებული შემთხვევა.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

უფრო რთული ინტეგრალები

ამ ფორმულების დამახსოვრებაც სასურველია. ისინი ასევე საკმაოდ ხშირად გამოიყენება და მათი გამომუშავება საკმაოდ დამღლელია.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 რკალი x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

ინტეგრაციის ზოგადი წესები

1) ორი ფუნქციის ჯამის ინტეგრალი უდრის შესაბამისი ინტეგრალების ჯამს: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) ორი ფუნქციის სხვაობის ინტეგრალი უდრის შესაბამისი ინტეგრალების სხვაობას: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

ადვილი მისახვედრია, რომ თვისება (26) უბრალოდ თვისებების (25) და (27) კომბინაციაა.

4) რთული ფუნქციის ინტეგრალი, თუ შიდა ფუნქცია წრფივია: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

აქ F(x) არის f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ მაშინ, როდესაც შიდა ფუნქცია არის Ax + B.

მნიშვნელოვანია: არ არსებობს უნივერსალური ფორმულა ორი ფუნქციის ნამრავლის ინტეგრალისთვის, ასევე წილადის ინტეგრალისთვის:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (ოცდაათი)

ეს არ ნიშნავს, რა თქმა უნდა, რომ ფრაქციის ან პროდუქტის ინტეგრირება შეუძლებელია. უბრალოდ, ყოველ ჯერზე, როცა (30) მსგავს ინტეგრალს ხედავ, უნდა გამოიგონო მასთან „ბრძოლის“ გზა. ზოგ შემთხვევაში ნაწილებით ინტეგრაცია გამოგადგებათ, სადღაც მოგიწევთ ცვლადის შეცვლა და ხანდახან ალგებრის ან ტრიგონომეტრიის „სასკოლო“ ფორმულებიც კი დაგეხმარებათ.

მარტივი მაგალითი განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოსათვლელად

მაგალითი 1. იპოვეთ ინტეგრალი: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

ვიყენებთ ფორმულებს (25) და (26) (ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის ინტეგრალი შესაბამისი ინტეგრალების ჯამის ან სხვაობის ტოლია. ვიღებთ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

შეგახსენებთ, რომ მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან (ფორმულა (27)). გამოთქმა გარდაიქმნება ფორმაში

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

ახლა მოდით გამოვიყენოთ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი. დაგვჭირდება გამოვიყენოთ ფორმულები (3), (12), (8) და (1). მოდით გავაერთიანოთ სიმძლავრის ფუნქცია, სინუსი, ექსპონენტი და მუდმივი 1. არ დაგავიწყდეთ დასასრულს დაამატოთ თვითნებური მუდმივი C:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

ელემენტარული გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ საბოლოო პასუხს:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

გამოცადეთ საკუთარი თავი დიფერენცირებით: აიღეთ მიღებული ფუნქციის წარმოებული და დარწმუნდით, რომ იგი ორიგინალური ინტეგრადის ტოლია.

ინტეგრალების შემაჯამებელი ცხრილი

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ჟურნალი | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 რკალი x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

ჩამოტვირთეთ ინტეგრალების ცხრილი (ნაწილი II) ამ ბმულიდან

თუ უნივერსიტეტში სწავლობთ, თუ უმაღლეს მათემატიკაში რაიმე სირთულე გაქვთ (მათემატიკური ანალიზი, წრფივი ალგებრა, ალბათობის თეორია, სტატისტიკა), თუ გჭირდებათ კვალიფიციური მასწავლებლის მომსახურება, გადადით უმაღლეს მათემატიკაში დამრიგებლის გვერდზე. ერთად მოვაგვაროთ თქვენი პრობლემები!

შესაძლოა თქვენც დაგაინტერესოთ