მოდით, სწორი ხაზი გაიაროს M 1 (x 1; y 1) და M 2 (x 2; y 2) წერტილებში. სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 წერტილში, აქვს ფორმა y- y 1 \u003d კ (x - x 1), (10.6)

სადაც კ - ჯერ უცნობი კოეფიციენტი.

ვინაიდან სწორი ხაზი გადის M 2 წერტილში (x 2 y 2), მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს განტოლებას (10.6): y 2 -y 1 \u003d კ (x 2 -x 1).

აქედან ვპოულობთ ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებას კ განტოლებაში (10.6), ვიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის M 1 და M 2 წერტილებში:

ვარაუდობენ, რომ ამ განტოლებაში x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

თუ x 1 \u003d x 2, მაშინ სწორი ხაზი, რომელიც გადის M 1 (x 1, y I) და M 2 (x 2, y 2) წერტილებზე y-ღერძის პარალელურია. მისი განტოლება არის x = x 1 .

თუ y 2 \u003d y I, მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც y \u003d y 1, სწორი ხაზი M 1 M 2 არის x ღერძის პარალელურად.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში

სწორი ხაზი გადაკვეთოს Ox ღერძს M 1 წერტილში (a; 0), ხოლო Oy ღერძი - M 2 წერტილში (0; b). განტოლება მიიღებს ფორმას:
იმათ.
. ეს განტოლება ე.წ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, რადგან რიცხვები a და b მიუთითებს, თუ რომელ სეგმენტებს წყვეტს სწორი ხაზი კოორდინატთა ღერძებზე.

სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად

ვიპოვოთ სწორი წრფის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში Mo (x O; y o) მოცემულ არანულოვან ვექტორზე პერპენდიკულარული n = (A; B).

აიღეთ თვითნებური წერტილი M(x; y) სწორ ხაზზე და განიხილეთ ვექტორი M 0 M (x - x 0; y - y o) (იხ. სურ. 1). ვინაიდან n და M o M ვექტორები პერპენდიკულარულია, მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

განტოლება (10.8) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად .

ვექტორს n = (A; B) წრფის პერპენდიკულარული ეწოდება ნორმალური ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი .

განტოლება (10.8) შეიძლება გადაიწეროს როგორც Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

სადაც A და B არის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, C \u003d -Ax o - Vu o - თავისუფალი წევრი. განტოლება (10.9) არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება(იხ. სურ.2).

სურ.1 ნახ.2

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები

,

სად
არის იმ წერტილის კოორდინატები, რომლითაც გადის ხაზი და
- მიმართულების ვექტორი.

მეორე რიგის წრის მრუდები

წრე არის მოცემული წერტილიდან თანაბარი მანძილის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელსაც ცენტრი ეწოდება.

რადიუსის წრის კანონიკური განტოლება რ წერტილზე ორიენტირებული
:

კერძოდ, თუ ფსონის ცენტრი ემთხვევა საწყისს, მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:

ელიფსი

ელიფსი არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, თითოეული მათგანიდან ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი. და , რომლებსაც ფოკუსებს უწოდებენ, არის მუდმივი მნიშვნელობა
, უფრო მეტია ვიდრე მანძილი კერებს შორის
.

ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, რომლის კერები მდებარეობს ოქსის ღერძზე და რომლის საწყისი შუაშია კერებს შორის, აქვს ფორმა
გ დეა ძირითადი ნახევრადღერძის სიგრძე;ბ არის მცირე ნახევრადღერძის სიგრძე (ნახ. 2).

სწორი ხაზის თვისებები ევკლიდეს გეომეტრიაში.

არსებობს უსასრულოდ ბევრი ხაზი, რომელიც შეიძლება გაივლოს ნებისმიერ წერტილში.

ნებისმიერი ორი არათანაბარი წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი სწორი ხაზია.

სიბრტყეში ორი შეუსაბამო ხაზი ან იკვეთება ერთ წერტილში, ან არის

პარალელურად (მოჰყვება წინა).

სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზის შედარებითი პოზიციის სამი ვარიანტია:

• ხაზები იკვეთება;

• სწორი ხაზები პარალელურია;

• სწორი ხაზები იკვეთება.

პირდაპირ ხაზი- პირველი რიგის ალგებრული მრუდი: დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი

სიბრტყეზე მოცემულია პირველი ხარისხის განტოლებით (წრფივი განტოლება).

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.

განმარტება. სიბრტყეში ნებისმიერი ხაზი შეიძლება იყოს მოცემული პირველი რიგის განტოლებით

Ah + Wu + C = 0,

და მუდმივი A, Bერთდროულად ნულის ტოლი არ არის. ეს პირველი რიგის განტოლება ეწოდება გენერალი

სწორი ხაზის განტოლება.მუდმივების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე A, Bდა თანშესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ხაზი გადის საწყისზე

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოჰ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს ოჰ

სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, რაც დამოკიდებულია ნებისმიერ მოცემულობაზე

საწყისი პირობები.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით.

განმარტება. დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორი კომპონენტებით (A, B)

განტოლებით მოცემული წრფის პერპენდიკულარული

Ah + Wu + C = 0.

მაგალითი. იპოვეთ წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება A(1, 2)ვექტორზე პერპენდიკულარული (3, -1).

გადაწყვეტილება. მოდით შევადგინოთ A \u003d 3 და B \u003d -1 სწორი ხაზის განტოლება: 3x - y + C \u003d 0. ვიპოვოთ კოეფიციენტი C

მოცემული A წერტილის კოორდინატებს ვცვლით გამოსახულებაში მივიღებთ: 3 - 2 + C = 0, შესაბამისად

C = -1. სულ: სასურველი განტოლება: 3x - y - 1 \u003d 0.

ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

ორი ქულა იყოს მოცემული სივრცეში M 1 (x 1 , y 1 , z 1)და M2 (x 2, y 2, z 2),მაშინ სწორი ხაზის განტოლება,

გადის ამ წერტილებში:

თუ რომელიმე მნიშვნელი ნულის ტოლია, შესაბამისი მრიცხველი ნულის ტოლი უნდა იყოს. Ზე

სიბრტყეზე, ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:

თუ x 1 ≠ x 2და x = x 1, თუ x 1 = x 2 .

ფრაქცია = კდაურეკა ფერდობის ფაქტორი სწორი.

მაგალითი. იპოვეთ A(1, 2) და B(3, 4) წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

გადაწყვეტილება. ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და დახრილობით.

თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ah + Wu + C = 0მიიტანეთ ფორმაში:

და დანიშნეთ , მაშინ მიღებული განტოლება ეწოდება

სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით k.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილზე და მიმართულ ვექტორზე.

ნორმალური ვექტორის გავლით სწორი ხაზის განტოლების გათვალისწინებით წერტილის ანალოგიით, შეგიძლიათ შეიყვანოთ დავალება

სწორი ხაზი წერტილის გავლით და სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

განმარტება. ყოველი არანულოვანი ვექტორი (α 1 , α 2), რომლის კომპონენტები აკმაყოფილებს პირობას

Aα 1 + Bα 2 = 0დაურეკა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

Ah + Wu + C = 0.

მაგალითი. იპოვეთ სწორი ხაზის განტოლება მიმართულების ვექტორთან (1, -1) და A(1, 2) წერტილში გავლისას.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვეძებთ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას სახით: Axe + By + C = 0.განმარტების მიხედვით,

კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს:

1 * A + (-1) * B = 0, ე.ი. A = B.

მაშინ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + Ay + C = 0,ან x + y + C / A = 0.

ზე x=1, y=2ვიღებთ C/A = -3, ე.ი. სასურველი განტოლება:

x + y - 3 = 0

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში Ah + Wu + C = 0 C≠0, მაშინ -C-ზე გაყოფით მივიღებთ:

ან სად

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ კოეფიციენტი a არის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი.

სწორი ღერძით ოჰ,ა ბ- ღერძთან წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი OU.

მაგალითი. მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - y + 1 = 0.იპოვეთ ამ სწორი ხაზის განტოლება მონაკვეთებში.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

თუ განტოლების ორივე მხარე Ah + Wu + C = 0გაყოფა რიცხვით , რომელსაც ქვია

ნორმალიზების ფაქტორი, შემდეგ მივიღებთ

xcosφ + ysinφ - p = 0 -სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი ± უნდა შეირჩეს ისე, რომ μ * C< 0.

რ- პერპენდიკულარულის სიგრძე დაეცა საწყისიდან ხაზამდე,

ა φ - ამ პერპენდიკულარით წარმოქმნილი კუთხე ღერძის დადებითი მიმართულებით ოჰ.

მაგალითი. მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება 12x - 5y - 65 = 0. საჭიროა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების დასაწერად

ეს სწორი ხაზი.

ამ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში:

ამ ხაზის განტოლება დახრილობასთან: (გაყოფა 5-ზე)

სწორი ხაზის განტოლება:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა სწორი ხაზი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი განტოლებით სეგმენტებში, მაგალითად, სწორი ხაზებით,

ცულების პარალელურად ან საწყისზე გავლისას.

კუთხე ხაზებს შორის სიბრტყეზე.

განმარტება. თუ მოცემულია ორი ხაზი y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, შემდეგ ამ ხაზებს შორის მწვავე კუთხე

განისაზღვრება როგორც

ორი წრფე პარალელურია თუ k 1 = k 2. ორი ხაზი პერპენდიკულარულია

თუ k 1 \u003d -1 / k 2 .

თეორემა.

პირდაპირი Ah + Wu + C = 0და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები პროპორციულია

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. თუ ასევე С 1 \u003d λС, შემდეგ ხაზები ემთხვევა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები

გვხვდება ამ წრფეების განტოლებათა სისტემის ამონახსნის სახით.

მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

განმარტება. ხაზი, რომელიც გადის წერტილს M 1 (x 1, y 1)და ხაზის პერპენდიკულარული y = kx + b

წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

თეორემა. თუ ქულა მიენიჭება M(x 0, y 0),შემდეგ მანძილი ხაზამდე Ah + Wu + C = 0განისაზღვრება როგორც:

მტკიცებულება. დაუშვით წერტილი M 1 (x 1, y 1)- წერტილიდან ჩამოვარდა პერპენდიკულურის ფუძე მმოცემულისთვის

პირდაპირი. შემდეგ მანძილი წერტილებს შორის მდა M 1:

(1)

კოორდინატები x 1და 1შეიძლება მოიძებნოს, როგორც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 პერპენდიკულურად.

მოცემული ხაზი. თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

ეს სტატია აგრძელებს სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების თემას: განიხილეთ განტოლების ისეთი ტიპი, როგორიცაა სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. განვსაზღვროთ თეორემა და დავამტკიცოთ იგი; მოდით გავარკვიოთ, რა არის სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლება და როგორ განვახორციელოთ გადასვლები ზოგადი განტოლებიდან სხვა ტიპის სწორი ხაზის განტოლებაზე. ჩვენ გავაერთიანებთ მთელ თეორიას ილუსტრაციებით და პრაქტიკული პრობლემების გადაწყვეტით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სიბრტყეზე მოცემული იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y.

თეორემა 1

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C \u003d 0, სადაც A, B, C არის რამდენიმე რეალური რიცხვი (A და B ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი) განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე. თავის მხრივ, სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C = 0 მნიშვნელობების გარკვეული ნაკრებისთვის A, B, C.

მტკიცებულება

ეს თეორემა ორი წერტილისგან შედგება, თითოეულ მათგანს დავამტკიცებთ.

1. დავამტკიცოთ, რომ განტოლება A x + B y + C = 0 განსაზღვრავს წრფეს სიბრტყეზე.

იყოს რაღაც წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლის კოორდინატები შეესაბამება A x + B y + C = 0 განტოლებას. ამრიგად: A x 0 + B y 0 + C = 0. გამოვაკლოთ განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს A x + B y + C \u003d 0 განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომელიც ჰგავს A-ს. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ის უდრის A x + B y + C = 0-ს.

მიღებული განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x ვექტორების პერპენდიკულარულობისთვის. 0, y - y 0). ამრიგად, M (x, y) წერტილების სიმრავლე განსაზღვრავს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში n → = (A, B) ვექტორის მიმართულების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს ასე არ არის, მაგრამ მაშინ ვექტორები n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) არ იქნება პერპენდიკულარული და ტოლობა A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 არ იქნება მართალი.

ამრიგად, განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 განსაზღვრავს გარკვეულ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ექვივალენტური განტოლება A x + B y + C \u003d 0. განსაზღვრავს იგივე ხაზს. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის პირველი ნაწილი.

1. დავამტკიცოთ, რომ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მივიღოთ პირველი ხარისხის A x + B y + C = 0 განტოლებით.

სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დავსახოთ სწორი ხაზი a; წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლის მეშვეობითაც გადის ეს წრფე, ისევე როგორც ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (A , B) .

ასევე არსებობდეს M (x, y) წერტილი - წრფის მცურავი წერტილი. ამ შემთხვევაში ვექტორები n → = (A , B) და M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და მათი სკალარული ნამრავლი არის ნული:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

გადავწეროთ განტოლება A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , განვსაზღვროთ C: C = - A x 0 - B y 0 და ბოლოს მივიღოთ განტოლება A x + B y + C = 0 .

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის მეორე ნაწილი და დავამტკიცეთ მთელი თეორემა მთლიანობაში.

განმარტება 1

განტოლება, რომელიც ჰგავს A x + B y + C = 0 - ეს სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებამართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზეO x y.

დადასტურებული თეორემის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სწორკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე მოცემული სწორი ხაზი და მისი ზოგადი განტოლება განუყოფლად არის დაკავშირებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველი ხაზი შეესაბამება მის ზოგად განტოლებას; სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შეესაბამება მოცემულ სწორ ხაზს.

თეორემის დადასტურებიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ კოეფიციენტები A და B x და y ცვლადებისთვის არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, რომელიც მოცემულია A x + B y + სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით. C = 0.

განვიხილოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების კონკრეტული მაგალითი.

მოცემული იყოს განტოლება 2 x + 3 y - 2 = 0, რომელიც შეესაბამება სწორ ხაზს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n → = (2, 3). დახაზეთ მოცემული სწორი ხაზი ნახაზზე.

ასევე შეიძლება ვიკამათოთ: სწორი ხაზი, რომელსაც ნახატზე ვხედავთ, განისაზღვრება ზოგადი განტოლებით 2 x + 3 y - 2 = 0, ვინაიდან მოცემული სწორი ხაზის ყველა წერტილის კოორდინატები შეესაბამება ამ განტოლებას.

ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ განტოლება λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ზოგადი სწორი ხაზის განტოლების ორივე მხარის არანულოვანი რიცხვით λ-ზე გამრავლებით. შედეგად მიღებული განტოლება ორიგინალური ზოგადი განტოლების ექვივალენტურია, შესაბამისად, იგი აღწერს იმავე ხაზს სიბრტყეში.

განმარტება 2

სწორი ხაზის სრული ზოგადი განტოლება- A x + B y + C \u003d 0 წრფის ასეთი ზოგადი განტოლება, რომელშიც რიცხვები A, B, C არ არის ნულოვანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არის არასრული.

მოდით გავაანალიზოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ვარიაცია.

1. როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ზოგადი განტოლება ხდება B y + C \u003d 0. ასეთი არასრული ზოგადი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y, რომელიც პარალელურია O x ღერძის, ვინაიდან x-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის, ცვლადი y მიიღებს მნიშვნელობას. - C B. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A x + B y + C \u003d 0 წრფის ზოგადი განტოლება, როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, განსაზღვრავს წერტილების ადგილს (x, y), რომელთა კოორდინატები ტოლია იმავე რიცხვისა. - C B.
2. თუ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ზოგადი განტოლება ხდება y \u003d 0. ასეთი არასრული განტოლება განსაზღვრავს x-ღერძს O x.
3. როდესაც A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, ჩვენ ვიღებთ არასრულ ზოგად განტოლებას A x + C \u003d 0, რომელიც განსაზღვრავს y-ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს.
4. მოდით A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, მაშინ არასრული ზოგადი განტოლება მიიღებს x \u003d 0 ფორმას და ეს არის O y კოორდინატთა ხაზის განტოლება.
5. დაბოლოს, როდესაც A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, არასრული ზოგადი განტოლება იღებს ფორმას A x + B y \u003d 0. და ეს განტოლება აღწერს სწორ ხაზს, რომელიც გადის საწყისზე. მართლაც, რიცხვების წყვილი (0, 0) შეესაბამება ტოლობას A x + B y = 0, ვინაიდან A · 0 + B · 0 = 0.

მოდით გრაფიკულად გამოვხატოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ტიპი.

მაგალითი 1

ცნობილია, რომ მოცემული სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურია და გადის 2 7 , - 11 წერტილში. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურად მოცემულია A x + C \u003d 0 ფორმის განტოლებით, რომელშიც A ≠ 0. პირობა ასევე განსაზღვრავს იმ წერტილის კოორდინატებს, რომლითაც გადის ხაზი და ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება არასრული ზოგადი განტოლების პირობებს A x + C = 0, ე.ი. თანასწორობა სწორია:

A 2 7 + C = 0

მისგან C-ის დადგენა შესაძლებელია A-ს არა-ნულოვანი მნიშვნელობის მიცემით, მაგალითად, A = 7. ამ შემთხვევაში ვიღებთ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ჩვენ ვიცით ორივე კოეფიციენტი A და C, შევცვალოთ ისინი განტოლებაში A x + C = 0 და მივიღოთ წრფის საჭირო განტოლება: 7 x - 2 = 0.

პასუხი: 7 x - 2 = 0

მაგალითი 2

ნახატზე ნაჩვენებია სწორი ხაზი, აუცილებელია მისი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული ნახაზი საშუალებას გვაძლევს მარტივად ავიღოთ საწყისი მონაცემები პრობლემის გადასაჭრელად. ნახაზზე ვხედავთ, რომ მოცემული წრფე პარალელურია O x ღერძისა და გადის წერტილში (0, 3).

სწორი ხაზი, რომელიც აბსცისის პარალელურია, განისაზღვრება არასრული ზოგადი განტოლებით B y + С = 0. იპოვეთ B და C მნიშვნელობები. წერტილის კოორდინატები (0, 3), ვინაიდან მოცემული სწორი ხაზი გადის მასში, დააკმაყოფილებს B y + С = 0 სწორი ხაზის განტოლებას, მაშინ ტოლობა მოქმედებს: В · 3 + С = 0. მოდით დავაყენოთ B ნულის გარდა სხვა მნიშვნელობაზე. ვთქვათ B \u003d 1, ამ შემთხვევაში, B · 3 + C \u003d 0 ტოლობიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ C: C \u003d - 3. B და C ცნობილი მნიშვნელობების გამოყენებით ვიღებთ სწორი ხაზის საჭირო განტოლებას: y - 3 = 0.

პასუხი: y - 3 = 0.

სიბრტყის მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

მოცემულმა წრფემ გაიაროს M 0 (x 0, y 0) წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება წრფის ზოგად განტოლებას, ე.ი. ტოლობა მართალია: A x 0 + B y 0 + C = 0 . გამოვაკლოთ ამ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები სწორი ხაზის ზოგადი სრული განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. ვიღებთ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ეს განტოლება უდრის თავდაპირველ ზოგადს, გადის M 0 წერტილში (x 0, y 0) და აქვს ნორმალური ვექტორი n → \u003d (A, B) .

ჩვენ მიერ მიღებული შედეგი საშუალებას იძლევა დავწეროთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებისთვის და ამ სწორი ხაზის გარკვეული წერტილის კოორდინატებისთვის.

მაგალითი 3

მოცემულია წერტილი M 0 (- 3, 4), რომლითაც გადის წრფე და ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (1 , - 2) . აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ განტოლების შედგენისთვის საჭირო მონაცემები: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. შემდეგ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრა შეიძლებოდა. სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა A x + B y + C = 0. მოცემული ნორმალური ვექტორი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ A და B კოეფიციენტების მნიშვნელობები, შემდეგ:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ახლა ვიპოვოთ C-ის მნიშვნელობა ამოცანის პირობით მოცემული წერტილის M 0 (- 3, 4) გამოყენებით, რომლითაც გადის წრფე. ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება განტოლებას x - 2 · y + C = 0, ე.ი. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. აქედან გამომდინარე, C = 11. საჭირო სწორი ხაზის განტოლება იღებს ფორმას: x - 2 · y + 11 = 0 .

პასუხი: x - 2 y + 11 = 0.

მაგალითი 4

მოცემულია ხაზი 2 3 x - y - 1 2 = 0 და წერტილი M 0, რომელიც დევს ამ წრფეზე. ამ წერტილის მხოლოდ აბსციზაა ცნობილი და ის უდრის - 3-ს. აუცილებელია მოცემული პუნქტის ორდინატის განსაზღვრა.

გადაწყვეტილება

მოდით დავაყენოთ M 0 წერტილის კოორდინატების აღნიშვნა x 0 და y 0 . საწყისი მონაცემები მიუთითებს, რომ x 0 \u003d - 3. ვინაიდან წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება ამ წრფის ზოგად განტოლებას. მაშინ შემდეგი თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

განსაზღვრეთ y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

პასუხი: - 5 2

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა სწორი ხაზის განტოლებათა სხვა ტიპებზე და პირიქით

როგორც ვიცით, სიბრტყეში ერთი და იგივე სწორი ხაზის განტოლების რამდენიმე ტიპი არსებობს. განტოლების ტიპის არჩევანი დამოკიდებულია პრობლემის პირობებზე; შესაძლებელია აირჩიოს ის, რომელიც უფრო მოსახერხებელია მისი გადაწყვეტისთვის. სწორედ აქ გამოდგება ერთი სახის განტოლების სხვა სახის განტოლებად გადაქცევის უნარი.

ჯერ განვიხილოთ A x + B y + C = 0 ფორმის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა კანონიკურ განტოლებაზე x - x 1 a x = y - y 1 a y .

თუ A ≠ 0, მაშინ B y ტერმინს გადავიტანთ ზოგადი განტოლების მარჯვენა მხარეს. მარცხენა მხარეს ვიღებთ A-ს ფრჩხილებიდან. შედეგად მივიღებთ: A x + C A = - B y .

ეს ტოლობა შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად: x + C A - B = y A .

თუ B ≠ 0, ზოგადი განტოლების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ ტერმინს A x, დანარჩენებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ: A x \u003d - B y - C. ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ - B, შემდეგ: A x \u003d - B y + C B.

გადავიწეროთ ტოლობა პროპორციულად: x - B = y + C B A .

რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო მიღებული ფორმულების დამახსოვრება. საკმარისია ვიცოდეთ მოქმედებების ალგორითმი ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე გადასვლისას.

მაგალითი 5

მოცემულია 3 y - 4 = 0 წრფის ზოგადი განტოლება. ის უნდა გარდაიქმნას კანონიკურ განტოლებად.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას, როგორც 3 y - 4 = 0. შემდეგი, ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით: ტერმინი 0 x რჩება მარცხენა მხარეს; ხოლო მარჯვენა მხარეს ამოვიღებთ - 3 ფრჩხილიდან; ვიღებთ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

მიღებული ტოლობა ჩავწეროთ პროპორციულად: x - 3 = y - 4 3 0 . ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კანონიკური ფორმის განტოლება.

პასუხი: x - 3 = y - 4 3 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების პარამეტრულებად გადაქცევისთვის, ჯერ ხდება კანონიკურ ფორმაზე გადასვლა, შემდეგ კი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან პარამეტრულ განტოლებაზე გადასვლა.

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით 2 x - 5 y - 1 = 0. ჩაწერეთ ამ წრფის პარამეტრული განტოლებები.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ახლა ავიღოთ მიღებული კანონიკური განტოლების ორივე ნაწილი λ-ის ტოლი, მაშინ:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

პასუხი:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ზოგადი განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას სწორხაზოვან განტოლებად y = k x + b დახრილობით, მაგრამ მხოლოდ მაშინ, როდესაც B ≠ 0. მარცხენა მხარეს გადასასვლელად ვტოვებთ ტერმინს B y, დანარჩენი გადადის მარჯვნივ. ვიღებთ: B y = - A x - C . მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ B-ზე, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან: y = - A B x - C B .

მაგალითი 7

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება მოცემულია: 2 x + 7 y = 0 . თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ეს განტოლება დახრილობის განტოლებად.

გადაწყვეტილება

შევასრულოთ საჭირო მოქმედებები ალგორითმის მიხედვით:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

პასუხი: y = - 2 7 x .

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან საკმარისია უბრალოდ მივიღოთ განტოლება x a + y b \u003d 1 ფორმის სეგმენტებში. ასეთი გადასვლისთვის გადავიტანთ C რიცხვს ტოლობის მარჯვენა მხარეს, ვყოფთ მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილს - С-ზე და ბოლოს, x და y ცვლადების კოეფიციენტებს გადავცემთ მნიშვნელებს:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

მაგალითი 8

აუცილებელია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - 7 y + 1 2 = 0 გადავიტანოთ სწორი ხაზის განტოლებად სეგმენტებში.

გადაწყვეტილება

გადავიტანოთ 1 2 მარჯვენა მხარეს: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

გაყავით -1/2-ზე განტოლების ორივე მხარე: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

პასუხი: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

ზოგადად, საპირისპირო გადასვლა ასევე მარტივია: სხვა ტიპის განტოლებიდან ზოგადზე.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში და განტოლება ფერდობთან შეიძლება ადვილად გარდაიქმნას ზოგად განტოლების მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინის უბრალოდ შეგროვებით:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

კანონიკური განტოლება გარდაიქმნება ზოგადში შემდეგი სქემის მიხედვით:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

პარამეტრულიდან გადასასვლელად ჯერ ხდება კანონიკურზე გადასვლა, შემდეგ კი ზოგადზე:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

მაგალითი 9

მოცემულია x = - 1 + 2 · λ y = 4 სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები. აუცილებელია ამ ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ პარამეტრული განტოლებიდან კანონიკურზე:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

გადავიდეთ კანონიკურიდან ზოგადზე:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

პასუხი: y - 4 = 0

მაგალითი 10

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში x 3 + y 1 2 = 1 მოცემულია. აუცილებელია განტოლების ზოგად ფორმაზე გადასვლა.

გადაწყვეტილება:

მოდით, უბრალოდ გადავიწეროთ განტოლება საჭირო ფორმით:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

პასუხი: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შედგენა

ზემოთ ვთქვით, რომ ზოგადი განტოლება შეიძლება დაიწეროს ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებით და იმ წერტილის კოორდინატებით, რომლითაც გადის წრფე. ასეთი სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . იმავე ადგილას გავაანალიზეთ შესაბამისი მაგალითი.

ახლა მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებშიც, პირველ რიგში, აუცილებელია ნორმალური ვექტორის კოორდინატების დადგენა.

მაგალითი 11

მოცემულია წრფე პარალელურად 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . ასევე ცნობილია წერტილი M 0 (4 , 1), რომლითაც გადის მოცემული წრფე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები გვეუბნება, რომ წრფეები პარალელურია, შემდეგ, როგორც წრფის ნორმალური ვექტორი, რომლის განტოლებაც უნდა დაიწეროს, ვიღებთ n წრფის მიმართულ ვექტორს → = (2, - 3) : 2 x - 3 y. + 3 3 = 0. ახლა ჩვენ ვიცით ყველა საჭირო მონაცემი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შესაქმნელად:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

პასუხი: 2 x - 3 y - 5 = 0.

მაგალითი 12

მოცემული წრფე გადის x - 2 3 = y + 4 5 წრფის პერპენდიკულარულ საწყისზე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული წრფის ნორმალური ვექტორი იქნება x - 2 3 = y + 4 5 წრფის ვექტორი.

შემდეგ n → = (3 , 5) . სწორი ხაზი გადის საწყისზე, ე.ი. O წერტილის გავლით (0, 0). მოდით შევადგინოთ მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

უპასუხე: 3 x + 5 y = 0 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ეს სტატია ავლენს სიბრტყეზე მდებარე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების წარმოშობას. ჩვენ გამოვიყვანთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში. ვიზუალურად ვაჩვენებთ და ამოხსნით გაშუქებულ მასალასთან დაკავშირებულ რამდენიმე მაგალითს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების მიღებამდე აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ რამდენიმე ფაქტს. არის აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ სიბრტყეზე ორი არათანაბარი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია სწორი ხაზის დახატვა და მხოლოდ ერთი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიბრტყის ორი მოცემული წერტილი განისაზღვრება ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზით.

თუ სიბრტყე მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით Oxy, მაშინ მასში გამოსახული ნებისმიერი სწორი ხაზი შეესაბამება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებას. ასევე არის კავშირი სწორი წრფის მიმართულ ვექტორთან, ეს მონაცემები საკმარისია ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი წრფის განტოლების შესაქმნელად.

განვიხილოთ მსგავსი პრობლემის გადაჭრის მაგალითი. აუცილებელია შეადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება a, რომელიც გადის დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში განლაგებულ M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) შეუსაბამო წერტილებში.

სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებაში, რომელსაც აქვს ფორმა x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y მითითებულია სწორი ხაზით, რომელიც კვეთს მას წერტილში M კოორდინატებით. 1 (x 1, y 1) სახელმძღვანელო ვექტორით a → = (a x , a y) .

აუცილებელია შეადგინოთ a სწორი წრფის კანონიკური განტოლება, რომელიც გაივლის ორ წერტილს M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით.

სწორ ხაზს a აქვს მიმართული ვექტორი M 1 M 2 → კოორდინატებით (x 2 - x 1, y 2 - y 1), რადგან ის კვეთს M 1 და M 2 წერტილებს. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები კანონიკური განტოლების გადასატანად მიმართულების ვექტორის M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) კოორდინატებით და მათზე მდებარე M 1 წერტილების კოორდინატებით. (x 1, y 1) და M 2 (x 2 , y 2) . ვიღებთ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ფორმის განტოლებას.

განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

გამოთვლების შემდეგ ვწერთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს სიბრტყეში, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით. ვიღებთ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ან x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ ფორმის განტოლებას y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის 2 მოცემულ წერტილში M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 კოორდინატებით.

გადაწყვეტილება

x 1 , y 1 და x 2 , y 2 კოორდინატებით ორ წერტილზე გადაკვეთილი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება იღებს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ფორმას. პრობლემის პირობის მიხედვით, გვაქვს, რომ x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. აუცილებელია რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . აქედან მივიღებთ, რომ კანონიკური განტოლება მიიღებს x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ფორმას.

პასუხი: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

თუ საჭიროა პრობლემის გადაჭრა სხვა ტიპის განტოლებით, მაშინ დასაწყისისთვის შეგიძლიათ გადახვიდეთ კანონიკურზე, რადგან მისგან სხვასთან მისვლა უფრო ადვილია.

მაგალითი 2

შეადგინეთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის წერტილებს M 1 (1, 1) და M 2 (4, 2) კოორდინატებით O x y კოორდინატთა სისტემაში.

გადაწყვეტილება

ჯერ უნდა ჩაწეროთ მოცემული წრფის კანონიკური განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში. ვიღებთ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ფორმის განტოლებას.

ჩვენ მივიღებთ კანონიკურ განტოლებას სასურველ ფორმამდე, შემდეგ მივიღებთ:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

პასუხი: x - 3 y + 2 = 0.

ასეთი ამოცანების მაგალითები განიხილებოდა სკოლის სახელმძღვანელოებში ალგებრის გაკვეთილებზე. სკოლის დავალებები განსხვავდებოდა იმით, რომ ცნობილი იყო სწორი ხაზის განტოლება ფერდობის კოეფიციენტით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k x + b. თუ გჭირდებათ k დახრილობის მნიშვნელობა და b რიცხვი, რომელზედაც განტოლება y \u003d k x + b განსაზღვრავს ხაზს O x y სისტემაში, რომელიც გადის M 1 (x 1, y 1) და M წერტილებში. 2 (x 2, y 2) , სადაც x 1 ≠ x 2 . როდესაც x 1 = x 2 , მაშინ ფერდობი იღებს უსასრულობის მნიშვნელობას და სწორი ხაზი M 1 M 2 განისაზღვრება x - x 1 = 0 ფორმის ზოგადი არასრული განტოლებით. .

რადგან წერტილები M 1და M 2არიან სწორ ხაზზე, მაშინ მათი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას y 1 = k x 1 + b და y 2 = k x 2 + b. აუცილებელია y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b განტოლებათა სისტემის ამოხსნა k და b მიმართ.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k და b ასეთი მნიშვნელობებით, სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში, იღებს შემდეგ ფორმას y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

ამხელა რაოდენობის ფორმულების ერთდროულად დამახსოვრება არ იმუშავებს. ამისათვის საჭიროა გამეორებების რაოდენობის გაზრდა პრობლემების გადაჭრაში.

მაგალითი 3

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება ფერდობზე, რომელიც გადის წერტილებს M 2 (2, 1) და y = k x + b კოორდინატებით.

გადაწყვეტილება

პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას დახრილობით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k x + b. k და b კოეფიციენტებმა უნდა მიიღონ ისეთი მნიშვნელობა, რომ ეს განტოლება შეესაბამებოდეს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (- 7 , - 5) და M 2 (2 , 1) კოორდინატებით.

ქულები M 1და M 2მდებარეობს სწორ ხაზზე, მაშინ მათმა კოორდინატებმა უნდა შეცვალონ განტოლება y = k x + b სწორი ტოლობა. აქედან მივიღებთ, რომ - 5 = k · (- 7) + b და 1 = k · 2 + b. გავაერთიანოთ განტოლება სისტემაში - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b და ამოვხსნათ.

ჩანაცვლებისას მივიღებთ ამას

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ახლა მნიშვნელობები k = 2 3 და b = - 1 3 ჩანაცვლებულია განტოლებაში y = k x + b. მივიღებთ, რომ მოცემულ წერტილებში გავლის სასურველი განტოლება იქნება განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა y = 2 3 x - 1 3.

გადაჭრის ეს გზა წინასწარ განსაზღვრავს დიდი დროის ხარჯვას. არსებობს გზა, რომლითაც ამოცანა წყდება სიტყვასიტყვით ორ ეტაპად.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებას, რომელიც გადის M 2 (2, 1) და M 1 (- 7, - 5) , რომელსაც აქვს ფორმა x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ახლა გადავიდეთ დახრილობის განტოლებაზე. მივიღებთ, რომ: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

პასუხი: y = 2 3 x - 1 3 .

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z ორი მოცემული არათანხვედრი წერტილით კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), სწორი ხაზი M, რომელიც გადის მათ 1 M 2, აუცილებელია ამ ხაზის განტოლების მიღება.

გვაქვს x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ფორმის კანონიკური განტოლებები და x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ-ს შეუძლია O x y z კოორდინატთა სისტემაში წრფის დაყენება, რომელიც გადის წერტილებს, რომლებსაც აქვთ კოორდინატები (x 1, y 1, z 1) მიმართული ვექტორით a → = (a x, a y, a z) .

სწორი M 1 M 2 აქვს მიმართულების ვექტორი M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , სადაც წრფე გადის M 1 წერტილში (x 1 , y 1 , z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), შესაბამისად კანონიკური განტოლება შეიძლება იყოს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, თავის მხრივ, პარამეტრული x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც აჩვენებს 2 მოცემულ წერტილს სივრცეში და სწორი ხაზის განტოლებას.

მაგალითი 4

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y z, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში M 1 (2, - 3, 0) და M 2 (1, - 3, - 5) კოორდინატებით. ) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კანონიკური განტოლება. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სამგანზომილებიან სივრცეზე, ეს ნიშნავს, რომ როდესაც სწორი ხაზი გადის მოცემულ წერტილებს, სასურველი კანონიკური განტოლება მიიღებს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

პირობით, გვაქვს, რომ x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. აქედან გამომდინარეობს, რომ აუცილებელი განტოლებები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

პასუხი: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მოდით მივცეთ ორი ქულა M 1 (x 1, y 1)და M 2 (x 2, y 2). სწორი ხაზის განტოლებას ვწერთ (5) სახით, სადაც კჯერჯერობით უცნობი კოეფიციენტი:

მას შემდეგ რაც წერტილი M 2მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (5): . აქედან გამოვხატავთ და შევცვლით (5) განტოლებას, მივიღებთ სასურველ განტოლებას:

Თუ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს უფრო ადვილად დასამახსოვრებელი ფორმით:

(6)

მაგალითი.დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 1 (1.2) და M 2 (-2.3) წერტილებში.

გადაწყვეტილება. . პროპორციის თვისების გამოყენებით და საჭირო გარდაქმნების შესრულებით, მივიღებთ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას:

კუთხე ორ ხაზს შორის

განვიხილოთ ორი ხაზი ლ 1და ლ 2:

ლ 1: , , და

ლ 2: , ,

φ არის კუთხე მათ შორის (). სურათი 4 გვიჩვენებს: .

აქედან , ან

ფორმულის გამოყენებით (7) შეიძლება განისაზღვროს ხაზებს შორის ერთ-ერთი კუთხე. მეორე კუთხე არის.

მაგალითი. ორი სწორი ხაზი მოცემულია y=2x+3 და y=-3x+2 განტოლებებით. იპოვნეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.

გადაწყვეტილება. განტოლებიდან ჩანს, რომ k 1 \u003d 2 და k 2 \u003d-3. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფორმულაში (7), ჩვენ ვპოულობთ

. ასე რომ, კუთხე ამ ხაზებს შორის არის.

ორი წრფის პარალელურობისა და პერპენდიკულარულობის პირობები

თუ სწორი ლ 1და ლ 2პარალელურები არიან მაშინ φ=0 და tgφ=0. (7) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ , საიდანაც k 2 \u003d k 1. ამრიგად, ორი წრფის პარალელურობის პირობა მათი დახრილობის თანასწორობაა.

თუ სწორი ლ 1და ლ 2პერპენდიკულარული, მაშინ φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . ამრიგად, ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულარული პირობა არის ის, რომ მათი ფერდობები სიდიდით ურთიერთსაწინააღმდეგო იყოს და ნიშნით საპირისპირო.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

თეორემა. თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი Ax + Vy + C \u003d 0 წრფემდე განისაზღვრება, როგორც

მტკიცებულება. წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:

x 1 და y 1 კოორდინატები შეიძლება მოიძებნოს განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სახით:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 მოცემულ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულად.

თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი.დაადგინეთ კუთხე წრფეებს შორის: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

მაგალითი.აჩვენეთ, რომ წრფეები 3x - 5y + 7 = 0 და 10x + 6y - 3 = 0 პერპენდიკულურია.

ჩვენ ვპოულობთ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, შესაბამისად, ხაზები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი.მოცემულია A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ C წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.

ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

სასურველი სიმაღლის განტოლებაა: Ax + By + C = 0 ან y = kx + b.

k= . მაშინ y =. იმიტომ რომ სიმაღლე გადის C წერტილში, შემდეგ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას: საიდანაც b \u003d 17. სულ: .

პასუხი: 3x + 2y - 34 = 0.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე განისაზღვრება წერტილიდან ხაზამდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძით.

თუ ხაზი პროექციის სიბრტყის პარალელურია (სთ | | P 1), შემდეგ წერტილიდან მანძილის დასადგენად მაგრამპირდაპირ თაუცილებელია წერტილიდან პერპენდიკულარის ჩამოგდება მაგრამჰორიზონტალურამდე თ.

განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, როდესაც ხაზი იკავებს ზოგად პოზიციას. დაე, საჭირო გახდეს წერტილიდან მანძილის დადგენა მპირდაპირ აზოგადი პოზიცია.

განსაზღვრის ამოცანა მანძილი პარალელურ ხაზებს შორისმოგვარებულია წინას მსგავსად. წერტილი აღებულია ერთ წრფეზე და მისგან პერპენდიკულარულია გაყვანილი მეორე წრფეზე. პერპენდიკულარის სიგრძე უდრის პარალელურ წრფეებს შორის მანძილს.

მეორე რიგის მრუდიარის ხაზი, რომელიც განსაზღვრულია მეორე ხარისხის განტოლებით მიმდინარე დეკარტის კოორდინატებთან მიმართებაში. ზოგადად, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

სადაც A, B, C, D, E, F არის რეალური რიცხვები და მინიმუმ ერთი რიცხვიდან A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

წრე

წრის ცენტრი- ეს არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული C სიბრტყის წერტილიდან (a, b).

წრე მოცემულია შემდეგი განტოლებით:

სადაც x, y არის წრის თვითნებური წერტილის კოორდინატები, R არის წრის რადიუსი.

წრის განტოლების ნიშანი

1. არ არსებობს ტერმინი x, y

2. კოეფიციენტები x 2 და y 2 ტოლია

ელიფსი

ელიფსისიბრტყეში წერტილების ლოკუსი ეწოდება, რომელთაგან თითოეულის მანძილების ჯამს ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან ეწოდება ფოკუსი (მუდმივი მნიშვნელობა).

ელიფსის კანონიკური განტოლება:

X და y ეკუთვნის ელიფსს.

a არის ელიფსის მთავარი ნახევარღერძი

b არის ელიფსის მცირე ნახევარღერძი

ელიფსს აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი OX და OY. ელიფსის სიმეტრიის ღერძი არის მისი ღერძი, მათი გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის ცენტრი. ღერძი, რომელზედაც განლაგებულია კერები ე.წ ფოკუსური ღერძი. ელიფსის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილი არის ელიფსის წვერო.

შეკუმშვის (გაჭიმვის) თანაფარდობა: ε = c/a- ექსცენტრიულობა (ახასიათებს ელიფსის ფორმას), რაც უფრო მცირეა ის, მით ნაკლებია ელიფსი გაშლილი ფოკუსური ღერძის გასწვრივ.

თუ ელიფსის ცენტრები არ არის ცენტრში С(α, β)

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლასიბრტყეში წერტილების ლოკუსს უწოდებენ, მანძილების სხვაობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, რომელთაგან თითოეული ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა ნულის გარდა.

ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

ჰიპერბოლას აქვს სიმეტრიის 2 ღერძი:

ა - სიმეტრიის რეალური ნახევრადღერძი

ბ - სიმეტრიის წარმოსახვითი ნახევრადღერძი

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები:

პარაბოლა

პარაბოლაარის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან F, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული წრფე, რომელსაც ეწოდება მიმართულება.

პარაბოლის კანონიკური განტოლება:

Y 2 \u003d 2px, სადაც p არის მანძილი ფოკუსიდან მიმართულებამდე (პარაბოლის პარამეტრი)

თუ პარაბოლის წვერო არის C (α, β), მაშინ პარაბოლის განტოლება (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

თუ ფოკუსური ღერძი მიიღება y-ღერძად, მაშინ პარაბოლის განტოლება მიიღებს ფორმას: x 2 \u003d 2qy