ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადობრივ განტოლებებს და განტოლებებს, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპის ამოცანის გადაჭრა ხდება, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიყვანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადობრივ განტოლებებს და განტოლებებს, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპის ამოცანის გადაჭრა ხდება, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიყვანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განიხილეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გადაწყვეტილება.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გადაწყვეტილება.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გადაწყვეტილება.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე რომ

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გადაწყვეტილება.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

უფრო რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები

განტოლებები

ცოდვა x = a,
cos x = a,
ტგ x = a,
ctg x = a

არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. ამ განყოფილებაში, კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ უფრო რთულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს. მათი ამოხსნა, როგორც წესი, მცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე.

მაგალითი 1 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა 2 X= cos Xცოდვა 2 x.

ამ განტოლების ყველა პირობის მარცხენა მხარეს გადატანით და მიღებული გამონათქვამის ფაქტორებად დაშლით, მივიღებთ:

ცოდვა 2 X(1 - cos X) = 0.

ორი გამონათქვამის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, ხოლო მეორე იღებს ნებისმიერ ციფრულ მნიშვნელობას, სანამ ის განსაზღვრულია.

Თუ ცოდვა 2 X = 0 , შემდეგ 2 X=n π ; X = π / 2n.

თუ 1 - cos X = 0 , შემდეგ cos X = 1; X = 2 კπ .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფესვების ორი ჯგუფი: X = π / 2n; X = 2 კπ . ფესვების მეორე ჯგუფი აშკარად შეიცავს პირველს, რადგან n = 4k-ისთვის გამოხატულია X = π / 2nხდება
X = 2 კπ .

ამიტომ, პასუხი შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულით: X = π / 2n, სად ნ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება ვერ ამოიხსნება ცოდვით 2-ით შემცირებით x. მართლაც, შემცირების შემდეგ მივიღებთ 1 - cos x = 0, საიდანაც X= 2 კ π . ამრიგად, ჩვენ დავკარგავდით ზოგიერთ ფესვს, მაგალითად π / 2 , π , 3π / 2 .

მაგალითი 2.განტოლების ამოხსნა

წილადი არის ნულოვანი მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული.
Ისე ცოდვა 2 X = 0 , საიდანაც 2 X=n π ; X = π / 2n.

ამ ღირებულებებიდან X უნდა განადგურდეს, როგორც უცხო, ის მნიშვნელობები, რისთვისაც ცოდვაX ქრება (ნულოვანი მნიშვნელის მქონე წილადები უაზროა: ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული). ეს მნიშვნელობები არის რიცხვები, რომლებიც მრავლობითია π . ფორმულაში
X = π / 2nისინი მიიღება თუნდაც ნ. ამრიგად, ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები

X = π / 2 (2k + 1),

სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

მაგალითი 3 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა 2 X+ 7 ცალი x - 5 = 0.

ექსპრესი ცოდვა 2 X მეშვეობით cosx : ცოდვა 2 X = 1 - co 2x . მაშინ ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც

2 (1 - cos 2 x) + 7 კოდ x - 5 = 0 , ან

2 cos 2 x- 7 ლარი x + 3 = 0.

აღმნიშვნელი cosx მეშვეობით ზე, მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე

2y 2 - 7y + 3 = 0,

რომლის ფესვებია რიცხვები 1/2 და 3. აქედან გამომდინარე, ან cos x= 1/2 ან cos X= 3. თუმცა ეს უკანასკნელი შეუძლებელია, ვინაიდან ნებისმიერი კუთხის კოსინუსის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება 1-ს.

ამის აღიარება რჩება cos x = 1 / 2 , სად

x = ± 60° + 360° n.

მაგალითი 4 . განტოლების ამოხსნა

2 ცოდვა X+ 3 cos x = 6.

რადგან ცოდვა xდა cos xარ აღემატებოდეს 1-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, შემდეგ გამოსახულებას
2 ცოდვა X+ 3 cos x არ შეუძლია მიიღოს იმაზე მეტი ღირებულებები, ვიდრე 5 . ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 5 . განტოლების ამოხსნა

ცოდვა X+ cos x = 1

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში მიღებით მივიღებთ:

ცოდვა 2 X+ 2 ცოდვა x cos x+ cos2 x = 1,

მაგრამ ცოდვა 2 X + cos 2 x = 1 . Ისე 2 ცოდვა x cos x = 0 . Თუ ცოდვა x = 0 , მაშინ X = ნπ ; თუ
cos x , მაშინ X = π / 2 + კπ . გადაწყვეტილებების ეს ორი ჯგუფი შეიძლება დაიწეროს ერთ ფორმულაში:

X = π / 2n

ვინაიდან ამ განტოლების ორივე ნაწილი გავასწორეთ, არ არის გამორიცხული, რომ ჩვენს მიერ მოპოვებულ ფესვებს შორის იყოს გარე ფესვები. სწორედ ამიტომ, ამ მაგალითში, ყველა წინასგან განსხვავებით, აუცილებელია შემოწმება. ყველა ღირებულება

X = π / 2nშეიძლება დაიყოს 4 ჯგუფად

	1) X = 2 კπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2 კπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2 კπ .	(n=4k+3)

ზე X = 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 + 1 = 1. ამიტომ, X = 2 კπარის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π / 2 + 2 კπ. ცოდვა x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2 კπასევე არის ამ განტოლების ფესვები.

ზე X = π + 2 კπცოდვა x+ cos x= 0 - 1 = - 1. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობები X = π + 2 კπარ არის ამ განტოლების ფესვები. ანალოგიურად, ნაჩვენებია, რომ X = 3π / 2 + 2 კπ. არ არის ფესვები.

ამრიგად, ამ განტოლებას აქვს შემდეგი ფესვები: X = 2 კπდა X = π / 2 + 2მპ., სადაც კდა მ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.