ფუნქცია არის კანონი, რომლის მიხედვითაც X რიცხვი მოცემული X სიმრავლიდან ასოცირდება მხოლოდ ერთ რიცხვთან y, ისინი წერენ, ხოლო x-ს უწოდებენ ფუნქციის არგუმენტს, y-ს - ფუნქციის მნიშვნელობას.
ფუნქციების განსაზღვრის სხვადასხვა გზა არსებობს.

1. ანალიტიკური მეთოდი.
ანალიტიკური მეთოდი ფუნქციის განსაზღვრის ყველაზე გავრცელებული გზაა.
ის მდგომარეობს იმაში, რომ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, რომელიც ადგენს რა ოპერაციები უნდა შესრულდეს x-ზე y-ის საპოვნელად. Მაგალითად .
განვიხილოთ პირველი მაგალითი - . აქ მნიშვნელობა x = 1 შეესაბამება , მნიშვნელობა x = 3 შეესაბამება და ა.შ.
ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს X სიმრავლის სხვადასხვა ნაწილზე სხვადასხვა ფუნქციით.
Მაგალითად:

დაყენების ანალიტიკური ხერხის ყველა ადრე მოყვანილ მაგალითში ფუნქცია დაყენებული იყო ცალსახად. ანუ, ცვლადი y იყო მარჯვნივ, ხოლო x ცვლადის ფორმულა მარჯვნივ. თუმცა, დაყენების ანალიტიკური გზით, ფუნქცია შეიძლება დაყენდეს იმპლიციტურად.
Მაგალითად . აქ, თუ x-ს მივცემთ მნიშვნელობას, მაშინ y-ის მნიშვნელობის საპოვნელად (ფუნქციის მნიშვნელობა) უნდა ამოხსნათ განტოლება. მაგალითად, პირველი მოცემული ფუნქციისთვის x = 3-ზე, ჩვენ ამოვხსნით განტოლებას:
. ანუ x = 3 ფუნქციის მნიშვნელობა არის -4/3.
დაყენების ანალიტიკური მეთოდით ფუნქციის პარამეტრულად დაყენება შესაძლებელია - ეს მაშინ, როდესაც x და y გამოიხატება გარკვეული t პარამეტრით. Მაგალითად,

აქ t = 2, x = 2, y = 4. ანუ x = 2 ფუნქციის მნიშვნელობა არის 4.
2. გრაფიკული გზა.
გრაფიკული მეთოდით შემოდის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და ამ კოორდინატთა სისტემაში ნაჩვენებია წერტილების ნაკრები (x, y). სადაც . მაგალითი:
3. ვერბალური გზა.
ფუნქცია მითითებულია სიტყვიერი ფორმულირების გამოყენებით. კლასიკური მაგალითია დირიხლეს ფუნქცია.
„ფუნქცია არის 1, თუ x არის რაციონალური რიცხვი; ფუნქცია არის 0, თუ x არის ირაციონალური რიცხვი.
4. ტაბულური მეთოდი.
ცხრილის მეთოდი ყველაზე მოსახერხებელია, როდესაც X სიმრავლე სასრულია. ამ მეთოდით დგება ცხრილი, რომელშიც X სიმრავლის თითოეულ ელემენტს ენიჭება Y ნომერი.
მაგალითი.

მოცემულია ფუნქციების დაზუსტების ძირითადი გზები: ექსპლიციტური ანალიტიკური; ინტერვალი; პარამეტრული; იმპლიციტური; ფუნქციის განსაზღვრა სერიის გამოყენებით; ცხრილი; გრაფიკული. ამ მეთოდების გამოყენების მაგალითები

არსებობს y = f ფუნქციის განსაზღვრის შემდეგი გზები (x):

1. აშკარა ანალიტიკური მეთოდი y = f ფორმის ფორმულის გამოყენებით (x).
2. ინტერვალი.
3. პარამეტრული: x = x (t) , y = y(t).
4. იმპლიციტური, როგორც F განტოლების ამონახსნი (x, y) = 0.
5. ცნობილი ფუნქციებისგან შემდგარი სერიის სახით.
6. ცხრილი.
7. გრაფიკული.

ფუნქციის განსაზღვრის აშკარა გზა

ზე აშკარა გზა, ფუნქციის მნიშვნელობა განისაზღვრება ფორმულით, რომელიც არის განტოლება y = f (x). ამ განტოლების მარცხენა მხარეს არის დამოკიდებული ცვლადი y, ხოლო მარჯვენა მხარეს არის გამოხატულება, რომელიც შედგება დამოუკიდებელი ცვლადი x, მუდმივი, ცნობილი ფუნქციები და შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციები. ცნობილი ფუნქციები არის ელემენტარული ფუნქციები და სპეციალური ფუნქციები, რომელთა მნიშვნელობების გამოთვლა შესაძლებელია კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით.

აქ მოცემულია ფუნქციის ცალსახად განსაზღვრის რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი x და დამოკიდებული ცვლადი y:
;
;
.

ფუნქციის განსაზღვრის ინტერვალის გზა

ზე ფუნქციის დაყენების ინტერვალის მეთოდი, განსაზღვრების დომენი იყოფა რამდენიმე ინტერვალად და ფუნქცია მითითებულია ცალ-ცალკე თითოეული ინტერვალისთვის.

აქ მოცემულია ფუნქციის განსაზღვრის ინტერვალის გზების რამდენიმე მაგალითი:

ფუნქციის განსაზღვრის პარამეტრული გზა

ზე პარამეტრული მეთოდი, შემოდის ახალი ცვლადი, რომელსაც ეწოდება პარამეტრი. შემდეგი, x და y მნიშვნელობები დაყენებულია, როგორც პარამეტრის ფუნქციები, დაყენების აშკარა გზით:
(1)

აქ მოცემულია ფუნქციის განსაზღვრის პარამეტრული ხერხის მაგალითები t პარამეტრის გამოყენებით:

პარამეტრული მეთოდის უპირატესობა ის არის, რომ ერთი და იგივე ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს უსასრულო რაოდენობის გზით. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ასე:

და შესაძლებელია ასე:

არჩევანის ასეთი თავისუფლება, ზოგიერთ შემთხვევაში, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ეს მეთოდი განტოლებების ამოსახსნელად (იხ. „დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც არ შეიცავს ერთ-ერთ ცვლადს“). განაცხადის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ განტოლებაში ჩავანაცვლებთ ორ ფუნქციას და x და y ცვლადების ნაცვლად. შემდეგ ჩვენ დავაყენეთ ერთი მათგანი ჩვენი შეხედულებისამებრ, რათა მეორე განისაზღვროს მიღებული განტოლებიდან.

ასევე, ეს მეთოდი გამოიყენება გამოთვლების გასამარტივებლად. მაგალითად, ელიფსის წერტილების კოორდინატთა დამოკიდებულება a და b ნახევრადღერძებით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
.
პარამეტრული ფორმით, ამ დამოკიდებულებას შეიძლება მივცეთ უფრო მარტივი ფორმა:
.

განტოლებები (1) არ არის ფუნქციის პარამეტრულად განსაზღვრის ერთადერთი გზა. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ არა ერთი, არამედ რამდენიმე პარამეტრი მათი დამატებითი განტოლებით დაკავშირებით. მაგალითად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ორი პარამეტრი და . შემდეგ ფუნქციის განმარტება ასე გამოიყურება:

აქ მოდის დამატებითი განტოლება, რომელიც ეხება პარამეტრებს. თუ პარამეტრების რაოდენობა არის n, მაშინ უნდა იყოს n - 1 დამატებითი განტოლებები.

მრავალი პარამეტრის გამოყენების მაგალითი მოცემულია ჯაკობის დიფერენციალური განტოლების გვერდზე. იქ გამოსავალი იძებნება შემდეგი ფორმით:
(2) .
შედეგი არის განტოლებათა სისტემა. მის გადასაჭრელად შემოყვანილია მეოთხე პარამეტრი t. სისტემის ამოხსნის შემდეგ მიიღება სამი განტოლება, რომლებიც უკავშირდება ოთხ პარამეტრს და .

ფუნქციის განსაზღვრის იმპლიციტური გზა

ზე იმპლიციტური გზა, განტოლების ამოხსნიდან დგინდება ფუნქციის მნიშვნელობა .

მაგალითად, ელიფსის განტოლება არის:
(3) .
ეს მარტივი განტოლებაა. თუ განვიხილავთ ელიფსის მხოლოდ ზედა ნაწილს, მაშინ შეგვიძლია გამოვხატოთ y ცვლადი x-ის ფუნქციის სახით აშკარად:
(4) .
მაგრამ მაშინაც კი, თუ შესაძლებელია (3) შემცირება ფუნქციის (4) მითითების აშკარა გზამდე, ბოლო ფორმულა ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გამოსაყენებლად. მაგალითად, წარმოებულის საპოვნელად, მოსახერხებელია განტოლების (3) დიფერენცირება და არა (4):
;
.

ფუნქციის დაყენება ახლოს

ფუნქციის განსაზღვრის ძალიან მნიშვნელოვანი გზაა რიგის წარმოდგენაცნობილი ფუნქციებისგან შემდგარი. ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ ფუნქცია მათემატიკური მეთოდებით და გამოთვალოთ მისი მნიშვნელობები გამოყენებული ამოცანებისთვის.

ყველაზე გავრცელებული წარმოდგენა არის ფუნქციის განსაზღვრა სიმძლავრის სერიის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, გამოიყენება ენერგიის რამდენიმე ფუნქცია:
.
ასევე გამოიყენება სერია უარყოფითი მაჩვენებლებით:
.
მაგალითად, სინუს ფუნქციას აქვს შემდეგი გაფართოება:
(5) .
ასეთი გაფართოებები ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში ფუნქციების მნიშვნელობების გამოსათვლელად, რადგან ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ გამოთვლები არითმეტიკულ ოპერაციებამდე.

ილუსტრაციის სახით, მოდით გამოვთვალოთ 30° სინუსის მნიშვნელობა გაფართოების (5) გამოყენებით.
გადაიყვანეთ გრადუსები რადიანებად:
.
შემცვლელი (5):



.

მათემატიკაში, სიმძლავრის სერიებთან ერთად, ფართოდ გამოიყენება გაფართოებები ტრიგონომეტრიულ სერიებად ფუნქციებში და , ისევე როგორც სხვა სპეციალურ ფუნქციებში. სერიების დახმარებით შესაძლებელია ინტეგრალების, განტოლებების (დიფერენციალური, ინტეგრალური, ნაწილობრივ წარმოებულებში) სავარაუდო გამოთვლები და მათი ამონახსნების გამოკვლევა.

ფუნქციის განსაზღვრის ცხრილური გზა

ზე ფუნქციის დაყენების ცხრილური გზაგვაქვს ცხრილი, რომელიც შეიცავს x დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებს და y დამოკიდებული ცვლადის შესაბამის მნიშვნელობებს. დამოუკიდებელ და დამოკიდებულ ცვლადებს შეიძლება ჰქონდეთ განსხვავებული აღნიშვნები, მაგრამ აქ ვიყენებთ x და y. x-ის მოცემული მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მნიშვნელობის დასადგენად, ვიყენებთ ცხრილს, რათა ვიპოვოთ x-ის მნიშვნელობა, რომელიც ყველაზე ახლოს არის ჩვენს მნიშვნელობასთან. ამის შემდეგ ვადგენთ დამოკიდებული ცვლადის y შესაბამის მნიშვნელობას.

ფუნქციის მნიშვნელობის უფრო ზუსტი განსაზღვრისთვის მიგვაჩნია, რომ x-ის ორ მიმდებარე მნიშვნელობას შორის ფუნქცია წრფივია, ანუ აქვს შემდეგი ფორმა:
.
აქ მოცემულია ცხრილიდან ნაპოვნი ფუნქციის მნიშვნელობები, არგუმენტების შესაბამისი მნიშვნელობებით.
განვიხილოთ მაგალითი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ზე. ცხრილიდან ვხვდებით:
.
მერე

.
Ზუსტი ღირებულება:
.
ამ მაგალითიდან ჩანს, რომ წრფივი მიახლოების გამოყენებამ გამოიწვია ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრის სიზუსტის გაზრდა.

გამოყენებით მეცნიერებაში გამოიყენება ცხრილის მეთოდი. კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარებამდე მას ფართოდ იყენებდნენ საინჟინრო და სხვა გამოთვლებში. ახლა ტაბულური მეთოდი გამოიყენება სტატისტიკასა და ექსპერიმენტულ მეცნიერებებში ექსპერიმენტული მონაცემების შეგროვებისა და ანალიზისთვის.

ფუნქციის განსაზღვრის გრაფიკული გზა

ზე გრაფიკული გზაფუნქციის მნიშვნელობა განისაზღვრება გრაფიკიდან, აბსცისის ღერძის გასწვრივ, რომლის დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებია გამოსახული, ხოლო ორდინატთა ღერძის გასწვრივ - დამოკიდებული ცვლადი.

გრაფიკული მეთოდი იძლევა ფუნქციის ქცევის ვიზუალურ წარმოდგენას. ფუნქციის შესწავლის შედეგები ხშირად ილუსტრირებულია მისი გრაფიკით. გრაფიკიდან შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ გრაფიკული მეთოდი გამოყენებით და საინჟინრო მეცნიერებებში.

ფუნქცია არის კორესპონდენცია ორი სიმრავლის ელემენტებს შორის, დადგენილი ასეთი წესით, რომ ერთი სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება სხვა სიმრავლის ზოგიერთ ელემენტთან.

ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლის აბსცისი (x) და ორდინატები (y) დაკავშირებულია მითითებული ფუნქციით:

წერტილი მდებარეობს (ან მდებარეობს) ფუნქციის გრაფიკზე, თუ და მხოლოდ მაშინ.

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება ადეკვატურად იყოს აღწერილი მისი გრაფიკით.

ცხრილის გზა. საკმაოდ გავრცელებულია, ის შედგება ცალკეული არგუმენტების მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის დაყენებაში. ფუნქციის განსაზღვრის ეს მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ფუნქციის დომენი არის დისკრეტული სასრული ნაკრები.

ფუნქციის განსაზღვრის ტაბულური მეთოდით, შესაძლებელია დაახლოებით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები, რომლებიც არ არის ცხრილში, არგუმენტის შუალედური მნიშვნელობების შესაბამისი. ამისათვის გამოიყენეთ ინტერპოლაციის მეთოდი.

ფუნქციის მითითების ცხრილური ხერხის უპირატესობა ისაა, რომ შესაძლებელს ხდის გარკვეული კონკრეტული მნიშვნელობების ერთდროულად განსაზღვრას, დამატებითი გაზომვებისა და გამოთვლების გარეშე. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ცხრილი არ განსაზღვრავს ფუნქციას მთლიანად, არამედ მხოლოდ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და არ იძლევა ფუნქციის ცვლილების ბუნების ვიზუალურ წარმოდგენას, რაც დამოკიდებულია არგუმენტის ცვლილებაზე.

გრაფიკული გზა. y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყოველთვის არ იძლევა არგუმენტის რიცხვითი მნიშვნელობების ზუსტად განსაზღვრას. თუმცა მას სხვა მეთოდებთან შედარებით დიდი უპირატესობა აქვს – ხილვადობა. ინჟინერიასა და ფიზიკაში ხშირად გამოიყენება ფუნქციის დაყენების გრაფიკული მეთოდი და ამისთვის ერთადერთი ხელმისაწვდომი გზაა გრაფიკი.

იმისათვის, რომ ფუნქციის გრაფიკული მინიჭება მათემატიკური თვალსაზრისით საკმაოდ სწორი იყოს, საჭიროა მიუთითოთ გრაფიკის ზუსტი გეომეტრიული აგებულება, რომელიც, ყველაზე ხშირად, მოცემულია განტოლებით. ეს იწვევს ფუნქციის განსაზღვრის შემდეგ გზას.

ანალიტიკური გზა. ყველაზე ხშირად კანონი, რომელიც ადგენს კავშირს არგუმენტსა და ფუნქციას შორის, მითითებულია ფორმულების საშუალებით. ფუნქციის განსაზღვრის ამ ხერხს ანალიტიკური ეწოდება.

ეს მეთოდი შესაძლებელს ხდის x არგუმენტის თითოეულ ციფრულ მნიშვნელობას ზუსტად ან გარკვეული სიზუსტით იპოვნოს y ფუნქციის შესაბამისი რიცხვითი მნიშვნელობა.

თუ x-სა და y-ს შორის კავშირი მოცემულია ფორმულით, რომელიც გადაწყვეტილია y-ის მიმართ, ე.ი. აქვს ფორმა y = f(x), მაშინ ვამბობთ, რომ x-ის ფუნქცია მოცემულია ცალსახად.

თუ x და y მნიშვნელობები დაკავშირებულია F(x,y) = 0 ფორმის რაიმე განტოლებით, ე.ი. ფორმულა დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = f(x) ირიბად არის განსაზღვრული.

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა ფორმულებით მისი ამოცანების არეალის სხვადასხვა ნაწილში.

ანალიტიკური მეთოდი ფუნქციების განსაზღვრის ყველაზე გავრცელებული გზაა. კომპაქტურობა, ლაკონურობა, არგუმენტის თვითნებური მნიშვნელობისთვის ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლის უნარი განსაზღვრების სფეროდან, მათემატიკური ანალიზის აპარატის მოცემულ ფუნქციაზე გამოყენების შესაძლებლობა არის განსაზღვრის ანალიტიკური მეთოდის მთავარი უპირატესობა. ფუნქცია. ნაკლოვანებები მოიცავს ხილვადობის ნაკლებობას, რაც კომპენსირდება გრაფიკის აგების შესაძლებლობით და ზოგჯერ ძალიან რთული გამოთვლების შესრულების საჭიროებით.

სიტყვიერი გზა. ეს მეთოდი მდგომარეობს იმაში, რომ ფუნქციური დამოკიდებულება გამოხატულია სიტყვებით.

მაგალითი 1: ფუნქცია E(x) არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ზოგადად, E(x) = [x] აღნიშნავს უდიდეს მთელ რიცხვს, რომელიც არ აღემატება x-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ x = r + q, სადაც r არის მთელი რიცხვი (შეიძლება იყოს უარყოფითი) და q ეკუთვნის = r ინტერვალს. ფუნქცია E(x) = [x] მუდმივია = r ინტერვალზე.

მაგალითი 2: ფუნქცია y = (x) - რიცხვის წილადი ნაწილი. უფრო ზუსტად, y =(x) = x - [x], სადაც [x] არის x რიცხვის მთელი რიცხვი. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x-ისთვის. თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ წარმოვადგენთ მას როგორც x = r + q (r = [x]), სადაც r არის მთელი რიცხვი და q დევს ინტერვალში.
ჩვენ ვხედავთ, რომ x არგუმენტზე n-ის დამატება არ ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას.
ყველაზე პატარა არანულოვანი რიცხვი n-ში არის , შესაბამისად პერიოდი არის sin 2x .

გამოძახებულია არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის ფუნქციაც 0-ის ტოლია ნული (ფესვი) ფუნქციები.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ნული.

მაგალითად, ფუნქცია y=x(x+1)(x-3)აქვს სამი ნული: x=0, x=-1, x=3.

გეომეტრიულად, ფუნქციის ნული არის ფუნქციის გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის აბსციზა. X .

7-ზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი ნულებით: x = a, x = b და x = c .

თუ ფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება გარკვეულ სწორ ხაზს განუსაზღვრელი ვადით, რადგან ის საწყისს შორდება, მაშინ ეს სწორი ხაზი ე.წ. ასიმპტოტი.

ინვერსიული ფუნქცია

დაე, ფუნქცია y=ƒ(x) იყოს მოცემული D განსაზღვრის დომენით და მნიშვნელობების სიმრავლით E. თუ თითოეული მნიშვნელობა yєE შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას xєD, მაშინ ფუნქცია x=φ(y) განისაზღვრება E განსაზღვრების დომენი და D მნიშვნელობების სიმრავლე (იხ. სურ. 102).

ასეთ ფუნქციას φ(y) ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის შებრუნებული და იწერება შემდეგი სახით: x=j(y)=f -1 (y) ფუნქციების შესახებ y=ƒ(x) და. x=φ(y) ამბობენ, რომ ისინი ურთიერთშებრუნებულია. y=ƒ(x) ფუნქციის შებრუნებული x=φ(y) ფუნქციის საპოვნელად საკმარისია ƒ(x)=y განტოლების ამოხსნა x-ის მიმართ (თუ შესაძლებელია).

1. y \u003d 2x ფუნქციისთვის, ინვერსიული ფუნქცია არის ფუნქცია x \u003d y / 2;

2. y \u003d x2 xє ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციაა x \u003d √y; გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d x 2 ფუნქციისთვის, მოცემული სეგმენტზე [-1; 1], არ არსებობს შებრუნებული, რადგან y-ის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება x-ის ორ მნიშვნელობას (მაგალითად, თუ y=1/4, მაშინ x1=1/2, x2=-1/2).

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ y=ƒ(x) ფუნქციას აქვს შებრუნებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ფუნქცია ƒ(x) განსაზღვრავს ერთერთ შესაბამისობას D და E სიმრავლებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი მკაცრად მონოტონურ ფუნქციას აქვს შებრუნებული. უფრო მეტიც, თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება), მაშინ ინვერსიული ფუნქციაც იზრდება (მცირდება).

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია y \u003d ƒ (x) და მისი შებრუნებული x \u003d φ (y) გამოსახულია იგივე მრუდით, ანუ მათი გრაფიკები ემთხვევა. თუ შევთანხმდებით, რომ, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი ცვლადი (ანუ არგუმენტი) აღინიშნება x-ით, ხოლო დამოკიდებული ცვლადი y-ით, მაშინ y \u003d ƒ (x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია დაიწერება როგორც y \u003d. φ (x).

ეს ნიშნავს, რომ y=ƒ(x) მრუდის წერტილი M 1 (x o; y o) ხდება y=φ(x) მრუდის M 2 (y o; x o) წერტილი. მაგრამ წერტილები M 1 და M 2 სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ y \u003d x (იხ. სურ. 103). მაშასადამე, y=ƒ(x) და y=φ(x) ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია პირველი და მესამე კოორდინატთა კუთხის ბისექტრის მიმართ.

კომპლექსური ფუნქცია

ფუნქცია y=ƒ(u) განისაზღვროს D სიმრავლეზე, ფუნქცია u= φ(х) D 1 სიმრავლეზე, ხოლო  x D 1-სთვის შესაბამისი მნიშვნელობა u=φ(x) є D. შემდეგ D 1 სიმრავლეზე განისაზღვრება ფუნქცია u=ƒ(φ(x)), რომელსაც ეწოდება x-ის რთული ფუნქცია (ან მოცემული ფუნქციების სუპერპოზიცია, ან ფუნქციის ფუნქცია).

ცვლადს u=φ(x) ეწოდება რთული ფუნქციის შუალედური არგუმენტი.

მაგალითად, ფუნქცია y=sin2x არის ორი ფუნქციის y=sinu და u=2x სუპერპოზიცია. კომპლექსურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი შუალედური არგუმენტი.

4. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები და მათი გრაფიკები.

შემდეგ ფუნქციებს ეწოდება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

1) ექსპონენციალური ფუნქცია y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. ნახ. 104 გვიჩვენებს ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა ექსპონენციურ ფუძეს.

2) სიმძლავრის ფუნქცია y=x α , αєR. სხვადასხვა მაჩვენებლების შესაბამისი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები მოცემულია ფიგურებში

3) ლოგარითმული ფუნქცია y=log a x, a>0,a≠1; სხვადასხვა ფუძის შესაბამისი ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია ნახ. 106.

4) ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ ნახ. 107.

5) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. ნახ. 108 გვიჩვენებს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებს.

ერთი ფორმულით მოცემულ ფუნქციას, რომელიც შედგება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებისა და მუდმივებისგან, სასრული რაოდენობის არითმეტიკული მოქმედებების გამოყენებით (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) და ფუნქციიდან ფუნქციის აღების ოპერაციები, ეწოდება ელემენტარული ფუნქცია.

ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

არა ელემენტარული ფუნქციების მაგალითებია ფუნქციები

5. მიმდევრობისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებები. თვისებების შეზღუდვა.

ფუნქციის ლიმიტი (ფუნქციის ლიმიტი) მოცემულ წერტილში, ფუნქციის განსაზღვრის დომენის შეზღუდვა, არის ისეთი მნიშვნელობა, რომლისკენაც განიხილება ფუნქციის მნიშვნელობა, როდესაც მისი არგუმენტი მიდრეკილია მოცემულ წერტილამდე.

მათემატიკაში თანმიმდევრობის ლიმიტიმეტრული სივრცის ელემენტები ან ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტები არის იგივე სივრცის ელემენტი, რომელსაც აქვს მოცემული მიმდევრობის ელემენტების „მიზიდვის“ თვისება. ტოპოლოგიური სივრცის ელემენტების მიმდევრობის ზღვარი არის ისეთი წერტილი, რომლის თითოეული სამეზობლო შეიცავს მიმდევრობის ყველა ელემენტს, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან. მეტრულ სივრცეში სამეზობლოები განისაზღვრება მანძილის ფუნქციის მიხედვით, ამიტომ ლიმიტის ცნება ჩამოყალიბებულია მანძილების ენაზე. ისტორიულად, პირველი იყო რიცხვითი მიმდევრობის ლიმიტის კონცეფცია, რომელიც წარმოიქმნება მათემატიკური ანალიზში, სადაც ის ემსახურება მიახლოებების სისტემის საფუძველს და ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების მშენებლობაში.

Დანიშნულება:

(წაიკითხე: x-n-ე მიმდევრობის ზღვარი, როგორც en მიდრეკილია უსასრულობისკენ არის a)

მიმდევრობის თვისებას, რომ ჰქონდეს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენცია: თუ მიმდევრობას აქვს ზღვარი, მაშინ მოცემული მიმდევრობა არის ნათქვამი იყრის თავს; წინააღმდეგ შემთხვევაში (თუ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს) მიმდევრობას ამბობენ განსხვავდება. ჰაუსდორფის სივრცეში და, კერძოდ, მეტრულ სივრცეში, კონვერგენტული მიმდევრობის ყოველი ქვემიმდევრობა იყრის თავს და მისი ზღვარი იგივეა, რაც თავდაპირველი მიმდევრობის ლიმიტი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჰაუსდორფის სივრცეში ელემენტების თანმიმდევრობას არ შეიძლება ჰქონდეს ორი განსხვავებული ზღვარი. თუმცა შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს, მაგრამ არის ქვემიმდევრობა (მოცემული მიმდევრობის), რომელსაც აქვს ზღვარი. თუ წერტილების რომელიმე მიმდევრობას სივრცეში აქვს კონვერგენტული ქვემიმდევრობა, მაშინ მოცემულ სივრცეს ამბობენ, რომ აქვს თანმიმდევრული კომპაქტურობის თვისება (ან, უბრალოდ, კომპაქტურობა, თუ კომპაქტურობა განისაზღვრება მხოლოდ მიმდევრობით).

მიმდევრობის ზღვრის ცნება პირდაპირ კავშირშია ზღვრული წერტილის (სიმრავლის) ცნებასთან: თუ სიმრავლეს აქვს სასაზღვრო წერტილი, მაშინ არის მოცემული სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა, რომლებიც იყრიან მოცემულ წერტილს.

განმარტება

მიეცით ტოპოლოგიური სივრცე და თანმიმდევრობა მაშინ, თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სადაც არის ღია სიმრავლე, რომელიც შეიცავს , მაშინ მას უწოდებენ მიმდევრობის ლიმიტს. თუ სივრცე მეტრულია, მაშინ ლიმიტი შეიძლება განისაზღვროს მეტრიკის გამოყენებით: თუ არსებობს ისეთი ელემენტი, რომელიც

სად არის მეტრიკა, მაშინ ეწოდება ლიმიტი.

· თუ სივრცე აღჭურვილია ანტიდისკრეტული ტოპოლოგიით, მაშინ ნებისმიერი მიმდევრობის ზღვარი არის სივრცის ნებისმიერი ელემენტი.

6. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ცალმხრივი ლიმიტები.

ერთი ცვლადის ფუნქცია. ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში კოშის მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xმიისწრაფვის ა(ან წერტილში ა) თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის  არის დადებითი რიცხვი  ისეთი, რომ ყველა x ≠ a, ისეთი, რომ | x – ა | < , выполняется неравенство
| ვ(x) – ა | <  .

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრა წერტილში ჰეინეს მიხედვით.ნომერი ბფუნქციის ზღვარი ეწოდება ზე = ვ(x) ზე Xმიისწრაფვის ა(ან წერტილში ა) თუ რაიმე თანმიმდევრობისთვის ( xო ) თანხვედრა ა(მიისწრაფვის ა, რომელსაც აქვს ლიმიტის ნომერი ა) და ნებისმიერი ღირებულებისთვის n x n≠ ა, შემდგომი ( წ n= ვ(xო)) თანხვედრა ბ.

ეს განმარტებები ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია ზე = ვ(x) განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მიდამოში ა, გარდა, ალბათ, მთავარი ა.

ფუნქციის ლიმიტის განმარტებები წერტილში კოშისა და ჰაინის მიხედვით ექვივალენტურია: თუ რიცხვი ბერთ-ერთ მათგანში ლიმიტია, მეორეშიც იგივეა.

მითითებული ლიმიტი მითითებულია შემდეგნაირად:

გეომეტრიულად, ფუნქციის ლიმიტის არსებობა წერტილში კოშის მიხედვით ნიშნავს, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის  > 0, ასეთი მართკუთხედი შეიძლება მიეთითოს კოორდინატულ სიბრტყეზე ფუძით 2 > 0, სიმაღლე 2 და ცენტრი. წერტილში ( ა; ბ) რომ ამ ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილი ინტერვალზე ( ა– ; ა+ ), წერტილის შესაძლო გამონაკლისის გარდა მ(ა; ვ(ა)), დაწექი ამ მართკუთხედში

ცალმხრივი ლიმიტიმათემატიკურ ანალიზში, რიცხვითი ფუნქციის ზღვარი, რაც გულისხმობს ზღვრულ წერტილს ერთი მხრიდან „მიახლოებას“. ასეთ ლიმიტებს შესაბამისად უწოდებენ მარცხენა ლიმიტი(ან მარცხენა ლიმიტი) და მარჯვენა ლიმიტი (ლიმიტი მარჯვნივ). მოდით, რიცხვითი ფუნქცია იყოს მოცემული რომელიმე რიცხვით სიმრავლეზე და რიცხვი იყოს განსაზღვრების დომენის ზღვრული წერტილი. არსებობს სხვადასხვა განსაზღვრება ფუნქციის ცალმხრივი საზღვრებისთვის წერტილში, მაგრამ ისინი ყველა ექვივალენტურია.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით. თუმცა, ფუნქციების განსაზღვრის შემდეგი სამი გზა ყველაზე გავრცელებულია: ანალიტიკური, ცხრილი და გრაფიკული.

ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური ხერხი. დაყენების ანალიტიკური მეთოდით, ფუნქცია განისაზღვრება ანალიტიკური გამოხატვის გამოყენებით, ანუ ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მიუთითებს რა ოპერაციები უნდა შესრულდეს არგუმენტის მნიშვნელობაზე ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობის მისაღებად.

მე-2 და მე-3 ნაწილებში ჩვენ უკვე შევხვდით ფორმულების დახმარებით განსაზღვრულ ფუნქციებს, ანუ ანალიტიკურად. ამავდროულად, მე-2 პუნქტში ფუნქციისთვის გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე დადგინდა განმარტების დომენი ) და ფუნქციისთვის პირობაში მიეთითებოდა მინიჭების დომენი. მე-3 ნაწილში, ფუნქციისთვის, განსაზღვრების დომენი ასევე განისაზღვრა პირობით. თუმცა, ძალიან ხშირად ფუნქცია მითითებულია მხოლოდ ანალიტიკური გამოხატვის (ფორმულის) დახმარებით, ყოველგვარი დამატებითი პირობების გარეშე. ასეთ შემთხვევებში, ფუნქციის დომენში, ჩვენ ვგულისხმობთ არგუმენტის ყველა იმ მნიშვნელობის ერთობლიობას, რომლისთვისაც ეს გამოთქმა აზრი აქვს და მივყავართ ფუნქციის რეალურ მნიშვნელობებამდე.

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი. ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ ფორმულით, მისი ფარგლები არ არის მითითებული და არ არსებობს დამატებითი პირობები. მაშასადამე, ამ ფუნქციის დომენის ქვეშ, ჩვენ უნდა გვესმოდეს არგუმენტის ყველა იმ მნიშვნელობის მთლიანობა, რომლის გამოხატვას აქვს რეალური მნიშვნელობები. ამისთვის უნდა არსებობდეს. ამ უტოლობის ამოხსნით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ამ ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი [-1.1].

მაგალითი 2. იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები.

გამოსავალი. განმარტების დომენი, ცხადია, შედგება ორი უსასრულო ინტერვალისაგან, ვინაიდან გამონათქვამი არ არის და აქვს აზრი, როდესაც a განისაზღვრება ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის.

მკითხველი ახლა ადვილად დაინახავს, ​​რომ ფუნქციისთვის განსაზღვრების დომენი იქნება მთელი რიცხვითი ღერძი, ხოლო ფუნქციისთვის უსასრულო ინტერვალი.

უნდა აღინიშნოს, რომ შეუძლებელია ფუნქციისა და ფორმულის იდენტიფიცირება, რომლითაც ეს ფუნქცია მითითებულია. ერთი და იგივე ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა ფუნქციების დასადგენად. მართლაც, მე-2 სექციაში განვიხილეთ ფუნქცია განმარტების დომენით, მე-3 ნაწილში გრაფიკი აშენდა განსაზღვრების დომენის მქონე ფუნქციისთვის. და ბოლოს, ჩვენ ახლახან განვიხილეთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია მხოლოდ ფორმულით, ყოველგვარი დამატებითი პირობების გარეშე. ამ ფუნქციის ფარგლები არის მთელი რიცხვითი ღერძი. ეს სამი ფუნქცია განსხვავებულია, რადგან მათ აქვთ სხვადასხვა სფერო. მაგრამ ისინი დაყენებულია იმავე ფორმულის გამოყენებით.

საპირისპირო შემთხვევაც შესაძლებელია, როდესაც ერთი ფუნქცია მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილში მოცემულია სხვადასხვა ფორმულებით. მაგალითად, განიხილეთ ფუნქცია y, რომელიც განსაზღვრულია ყველა არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის შემდეგნაირად: for at i.e.

ეს ფუნქცია განისაზღვრება ორი ანალიტიკური გამონათქვამით, რომლებიც მოქმედებენ მისი განმარტების დომენის სხვადასხვა ნაწილზე. ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. თვრამეტი.

ფუნქციის განსაზღვრის ცხრილური გზა. როდესაც ფუნქცია მითითებულია ცხრილში, იქმნება ცხრილი, რომელშიც მითითებულია რამდენიმე არგუმენტის მნიშვნელობა და შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები. ფართოდ ცნობილია ლოგარითმული ცხრილები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილები და მრავალი სხვა. ხშირად საჭიროა უშუალოდ გამოცდილებიდან მიღებული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილების გამოყენება. შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს გამოცდილებით მიღებულ სპილენძის წინაღობას (სმ - სანტიმეტრებში) სხვადასხვა ტემპერატურაზე t (გრადუსებში):

ფუნქციის განსაზღვრის გრაფიკული გზა. როდესაც მოცემულია გრაფიკული დავალება, მოცემულია ფუნქციის გრაფიკი და მისი მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება არგუმენტის გარკვეულ მნიშვნელობებს, პირდაპირ გვხვდება ამ გრაფიკიდან. ხშირ შემთხვევაში, ასეთი გრაფიკები შედგენილია თვითჩამწერი მოწყობილობების გამოყენებით.