ზოგადად, ეს საკითხი განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს, მაგრამ აქ ყველაფერი მარტივია: გრადუსების კუთხით, სინუსიც და კოსინუსიც დადებითია (იხ. სურათი), შემდეგ ვიღებთ პლუს ნიშანს.
ახლა შეეცადეთ, ზემოთქმულიდან გამომდინარე, იპოვოთ კუთხეების სინუსი და კოსინუსი: და
შეგიძლიათ მოატყუოთ: კერძოდ, კუთხით გრადუსებში. ვინაიდან თუ მართკუთხა სამკუთხედის ერთი კუთხე უდრის გრადუსებს, მაშინ მეორე უდრის გრადუსებს. ახლა ნაცნობი ფორმულები ძალაში შედის:
მერე მას შემდეგ, მერე და. მას შემდეგ და. გრადუსით, ეს კიდევ უფრო მარტივია: ასე რომ, თუ მართკუთხა სამკუთხედის ერთი კუთხე გრადუსის ტოლია, მაშინ მეორეც გრადუსის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ასეთი სამკუთხედი არის ტოლფერდა.
ასე რომ, მისი ფეხები თანაბარია. ასე რომ, მისი სინუსი და კოსინუსი ტოლია.
ახლა იპოვნეთ საკუთარი თავი ახალი განსაზღვრების მიხედვით (x და y!) კუთხეების სინუსი და კოსინუსი გრადუსებში და გრადუსებში. აქ სამკუთხედები არ არის დასახატული! ისინი ძალიან ბრტყელნი არიან!
უნდა გქონოდა:
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ტანგენსი და კოტანგენსი ფორმულების გამოყენებით:
გაითვალისწინეთ, რომ ნულზე ვერ გაყოფთ!
ახლა ყველა მიღებული რიცხვი შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში:
აქ მოცემულია კუთხეების სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები მე მეოთხედი. მოხერხებულობისთვის, კუთხეები მოცემულია როგორც გრადუსებში, ასევე რადიანებში (მაგრამ ახლა თქვენ იცით მათ შორის ურთიერთობა!). ყურადღება მიაქციეთ ცხრილში 2 ტირეს: კერძოდ, ნულის კოტანგენსს და გრადუსების ტანგენტს. ეს არ არის შემთხვევითი!
Კერძოდ:
ახლა მოდით განვაზოგადოთ სინუსისა და კოსინუსის ცნება სრულიად თვითნებური კუთხით. აქ განვიხილავ ორ შემთხვევას:
- კუთხე მერყეობს გრადუსამდე
- გრადუსზე მეტი კუთხე
საერთოდ, სულს ცოტა დავატრიალე, "საკმაოდ ყველა" კუთხეზე ვლაპარაკობ. ისინი ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი! მაგრამ ამ შემთხვევას სხვა სტატიაში განვიხილავთ. ჯერ პირველ შემთხვევაზე გავამახვილოთ ყურადღება.
თუ კუთხე დევს 1 მეოთხედში, მაშინ ყველაფერი ნათელია, ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს შემთხვევა და დავხატეთ ცხრილებიც კი.
მოდით, ჩვენი კუთხე იყოს გრადუსზე მეტი და არა მეტი. ეს ნიშნავს, რომ ის მდებარეობს მე-2 ან მე-3 ან მე-4 კვარტალში.
როგორ ვართ? დიახ, ზუსტად იგივე!
განვიხილოთ ამის მაგივრად...
... ამგვარად:
ანუ განიხილეთ კუთხე, რომელიც მდებარეობს მეორე მეოთხედში. რა შეგვიძლია ვთქვათ მასზე?
წერტილს, რომელიც არის სხივისა და წრის გადაკვეთის წერტილი, ჯერ კიდევ აქვს 2 კოორდინატი (არაფერი ზებუნებრივი, არა?). ეს არის კოორდინატები და
უფრო მეტიც, პირველი კოორდინატი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი! Ეს ნიშნავს, რომ მეორე მეოთხედის კუთხეებში კოსინუსი უარყოფითია, სინუსი კი დადებითია!
საოცარია, არა? მანამდე უარყოფითი კოსინუსი არასოდეს შეგვხვედრია.
დიახ, და პრინციპში ეს არ შეიძლებოდა, როცა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სამკუთხედის გვერდების შეფარდებად განვიხილეთ. სხვათა შორის, დაფიქრდით რომელ კუთხეებს აქვთ ტოლი კოსინუსი? და რომელს აქვს სინუსი?
ანალოგიურად, შეგიძლიათ განიხილოთ კუთხეები ყველა სხვა კვარტალში. უბრალოდ შეგახსენებთ, რომ კუთხე ითვლება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ! (როგორც ბოლო სურათზეა ნაჩვენები!).
რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დათვალოთ სხვა მიმართულებით, მაგრამ ასეთი კუთხით მიდგომა გარკვეულწილად განსხვავებული იქნება.
ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ოთხივე მეოთხედისთვის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის (როგორც სინუსი გაყოფილი კოსინუსზე) და კოტანგენტის (როგორც კოსინუსი გაყოფილი სინუსზე) ნიშნების განთავსება.
მაგრამ კიდევ ერთხელ ვიმეორებ, აზრი არ აქვს ამ ნახატის დამახსოვრებას. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ:
მოდით, თქვენთან ერთად ვივარჯიშოთ. ძალიან მარტივი თავსატეხები:
გაარკვიეთ რა ნიშანი აქვთ შემდეგ რაოდენობას:
შევამოწმოთ?
- გრადუსი - ეს არის კუთხე, უფრო დიდი და პატარა, რაც ნიშნავს, რომ ის დევს 3 მეოთხედში. დახაზეთ ნებისმიერი კუთხე 3 მეოთხედში და ნახეთ როგორი y აქვს მას. უარყოფითი გამოვა. მერე.
გრადუსი - კუთხე 2 მეოთხედი. სინუსი დადებითია და კოსინუსი უარყოფითი. პლუს გაყოფილი მინუსზე არის მინუსი. ნიშნავს.
გრადუსი - კუთხე, დიდი და ნაკლები. ასე რომ, ის წევს 4 მეოთხედში. მეოთხე მეოთხედის ნებისმიერი კუთხე „X“ დადებითი იქნება, რაც ნიშნავს - ჩვენ ვმუშაობთ რადიანებთან ანალოგიურად: ეს არის მეორე მეოთხედის კუთხე (ვინც და. მეორე მეოთხედის სინუსი დადებითია.
.
, ეს მეოთხე მეოთხედის კუთხეა. იქ კოსინუსი დადებითია.
- ისევ მეოთხე მეოთხედის კუთხე. კოსინუსი დადებითია, სინუსი კი უარყოფითი. მაშინ ტანგენსი იქნება ნულზე ნაკლები:
ალბათ გაგიჭირდებათ რადიანებში მეოთხედების დადგენა. ამ შემთხვევაში, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ ხარისხზე წასვლა. პასუხი, რა თქმა უნდა, ზუსტად იგივე იქნება.
ახლა მინდა ძალიან მოკლედ შევჩერდე კიდევ ერთ საკითხზე. კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა.
როგორც ვთქვი, მისგან შეგვიძლია გამოვხატოთ სინუსი კოსინუსის მეშვეობით ან პირიქით:
ნიშნის არჩევანზე გავლენას მოახდენს მხოლოდ მეოთხედი, რომელშიც მდებარეობს ჩვენი კუთხის ალფა. ბოლო ორი ფორმულისთვის, გამოცდაზე ბევრი დავალებაა, მაგალითად, ესენია:
დავალება
იპოვეთ თუ და.
სინამდვილეში, ეს არის მეოთხედი დავალება! ნახეთ, როგორ წყდება:
გადაწყვეტილება
მას შემდეგ, ჩვენ ჩავნაცვლებთ მნიშვნელობას აქ, მაშინ. ახლა საქმე პატარაზეა: გაუმკლავდეთ ნიშანს. რა გვჭირდება ამისთვის? იცოდე რომელ კვარტალშია ჩვენი კუთხე. პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით: . ეს რომელი კვარტალია? მეოთხე. რა არის კოსინუსის ნიშანი მეოთხე კვადრატში? მეოთხე კვადრატში კოსინუსი დადებითია. შემდეგ ჩვენთვის რჩება პლიუსის ნიშანი მანამდე ავირჩიოთ. , მაშინ.
ასეთ ამოცანებზე ახლა არ შევჩერდები, მათი დეტალური ანალიზი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში "". უბრალოდ, მინდოდა მოგახსენოთ, თუ რა ნიშანს იღებს ესა თუ ის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეოთხედის მიხედვით.
გრადუსზე მეტი კუთხეები
ბოლო, რაც მსურს აღვნიშნო ამ სტატიაში არის ის, თუ როგორ გავუმკლავდეთ გრადუსზე დიდ კუთხეებს?
რა არის და რითი შეიძლება მიირთვათ, რომ არ დაიხრჩოთ? ავიღოთ, ვთქვათ, კუთხე გრადუსებში (რადიანებში) და წავიდეთ მისგან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ...
სურათზე მე დავხატე სპირალი, მაგრამ თქვენ გესმით, რომ სინამდვილეში ჩვენ არ გვაქვს სპირალი: ჩვენ მხოლოდ წრე გვაქვს.
მაშ, სად მივიღებთ, თუ ვიწყებთ გარკვეული კუთხიდან და გავივლით მთელ წრეს (გრადუსები ან რადიანები)?
Სად მივდივართ? და ჩვენ მივალთ იმავე კუთხეში!
იგივე, რა თქმა უნდა, ეხება ნებისმიერ სხვა კუთხეს:
თვითნებური კუთხის აღებით და მთელი წრის გავლისას ჩვენ დავუბრუნდებით იმავე კუთხეს.
რას მოგვცემს? აი რა: თუ, მაშინ
საიდანაც საბოლოოდ მივიღებთ:
ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის. Ეს ნიშნავს, რომ სინუსი და კოსინუსი პერიოდული ფუნქციებია წერტილით.
ამრიგად, ახლა უკვე თვითნებური კუთხის ნიშნის პოვნაში პრობლემა არ არის: ჩვენ უბრალოდ უნდა გადავაგდოთ ყველა „მთელი წრე“, რომელიც ჩვენს კუთხეში ჯდება და გავარკვიოთ, რომელ კვარტალში დევს დარჩენილი კუთხე.
მაგალითად, ნიშნის მოსაძებნად:
ჩვენ ვამოწმებთ:
- გრადუსებში ჯდება ჯერ გრადუსებში (გრადულებში):
გრადუსი დარჩა. ეს არის მე-4 მეოთხედის კუთხე. არსებობს უარყოფითი სინუსი, ასე რომ - . გრადუსი. ეს არის მე-3 მეოთხედის კუთხე. იქ კოსინუსი არის უარყოფითი. მერე
- . . მას შემდეგ - პირველი მეოთხედის კუთხე. იქ კოსინუსი დადებითია. შემდეგ cos
- . . ვინაიდან, მაშინ ჩვენი კუთხე მდგომარეობს მეორე მეოთხედში, სადაც სინუსი დადებითია.
იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ ტანგენტსა და კოტანგენტს. თუმცა, სინამდვილეში, მათთან უფრო ადვილია: ისინი ასევე პერიოდული ფუნქციებია, მხოლოდ მათი პერიოდი 2-ჯერ ნაკლებია:
ასე რომ, თქვენ გესმით, რა არის ტრიგონომეტრიული წრე და რისთვის არის ის.
მაგრამ ჩვენ ჯერ კიდევ ბევრი კითხვა გვაქვს:
- რა არის უარყოფითი კუთხეები?
- როგორ გამოვთვალოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ამ კუთხეებში
- როგორ გამოვიყენოთ 1-ლი კვარტლის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობები სხვა კვარტლებში ფუნქციების მნიშვნელობების მოსაძებნად (ნამდვილად გჭირდებათ ცხრილის გაფუჭება?!)
- როგორ გამოვიყენოთ წრე ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის გასამარტივებლად?
შუა დონე
ამ სტატიაში ჩვენ გავაგრძელებთ ტრიგონომეტრიული წრის შესწავლას და განვიხილავთ შემდეგ პუნქტებს:
- რა არის უარყოფითი კუთხეები?
- როგორ გამოვთვალოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ამ კუთხეებში?
- როგორ გამოვიყენოთ პირველი კვარტლის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობები სხვა კვარტლების ფუნქციების მნიშვნელობების მოსაძებნად?
- რა არის ტანგენტების ღერძი და კოტანგენტების ღერძი?
ჩვენ არ დაგვჭირდება დამატებითი ცოდნა, გარდა ერთეულების წრესთან მუშაობის ძირითადი უნარ-ჩვევებისა (წინა სტატია). მოდით გადავიდეთ პირველ კითხვაზე: რა არის უარყოფითი კუთხეები?
უარყოფითი კუთხეები
უარყოფითი კუთხეები ტრიგონომეტრიაშიდეპონირებულია ტრიგონომეტრიულ წრეზე თავიდან ქვემოთ, საათის ისრის მოძრაობის მიმართულებით:
გავიხსენოთ, როგორ დავსახეთ მანამდე კუთხეები ტრიგონომეტრიულ წრეზე: წავედით ღერძის დადებითი მიმართულებიდან. საათის საწინააღმდეგოდ:
შემდეგ ჩვენს ფიგურაში აგებულია ტოლი კუთხე. ანალოგიურად, ჩვენ ავაშენეთ ყველა კუთხე.
თუმცა ღერძის დადებითი მიმართულებიდან წასვლას არაფერი გვიკრძალავს საათის ისრის მიმართულებით.
ჩვენ ასევე მივიღებთ სხვადასხვა კუთხეებს, მაგრამ ისინი უკვე უარყოფითი იქნება:
შემდეგი სურათი გვიჩვენებს ორ კუთხეს, რომლებიც ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით:
ზოგადად, წესი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
- მივდივართ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - ვიღებთ დადებით კუთხეებს
- მივდივართ საათის ისრის მიმართულებით - ვიღებთ უარყოფით კუთხეებს
სქემატურად, წესი ნაჩვენებია ამ ფიგურაში: 
თქვენ შეგიძლიათ დამისვათ საკმაოდ გონივრული შეკითხვა: კარგად, ჩვენ გვჭირდება კუთხეები, რათა გავზომოთ მათი სიდიდეები სინუსზე, კოსინუსზე, ტანგენტსა და კოტანგენტსზე.
მაშ, არის თუ არა განსხვავება როცა გვაქვს დადებითი კუთხე და როცა გვაქვს უარყოფითი? გიპასუხებ: წესით არის.
თუმცა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლა უარყოფითი კუთხიდან ფუნქციის გაანგარიშებამდე კუთხეში.დადებითი .
შეხედეთ შემდეგ სურათს:
მე დავხატე ორი კუთხე, ისინი ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ აქვთ საპირისპირო ნიშანი. აღნიშნეთ თითოეული კუთხისთვის მისი სინუსი და კოსინუსი ღერძებზე.
რას ვხედავთ მე და შენ? და აი რა:
- სინუსები კუთხეებშია და ნიშნით საპირისპიროა! მაშინ თუ
- კუთხეების კოსინუსები და ემთხვევა! მაშინ თუ
- Მას შემდეგ:
- Მას შემდეგ:
ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია თავი დავაღწიოთ ნეგატიურ ნიშანს ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის შიგნით: ან უბრალოდ მისი განადგურებით, როგორც კოსინუსის შემთხვევაში, ან ფუნქციის წინ განთავსებით, როგორც სინუსში, ტანგენტსა და კოტანგენტსში.
სხვათა შორის, დაიმახსოვრეთ რა ჰქვია ფუნქციას, რომელშიც ნებისმიერი დასაშვებისთვის მართალია: ?
ასეთ ფუნქციას კენტი ეწოდება.
და თუ რაიმე დასაშვებად შესრულებულია: ? ამ შემთხვევაში ფუნქციას ეწოდება ლუწი.
ამრიგად, ჩვენ უბრალოდ ვაჩვენეთ, რომ:
| სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი კენტი ფუნქციებია, ხოლო კოსინუსი ლუწი. |
ამრიგად, როგორც გესმით, არ არის განსხვავება, ვეძებთ სინუსს დადებითი კუთხით თუ უარყოფითი: მინუსთან ურთიერთობა ძალიან მარტივია. ასე რომ, ჩვენ არ გვჭირდება ცალკე ცხრილები უარყოფითი კუთხეებისთვის.
მეორე მხრივ, უნდა ვაღიაროთ, რომ ძალიან მოსახერხებელი იქნებოდა პირველი მეოთხედის კუთხეების მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცოდნის შესაძლებლობა დარჩენილი კვარტალებისთვის მსგავსი ფუნქციების გამოთვლა. შესაძლებელია ამის გაკეთება? Რა თქმა უნდა შეგიძლიათ! თქვენ გაქვთ მინიმუმ 2 გზა: პირველი არის სამკუთხედის აშენება და პითაგორას თეორემის გამოყენება (ასე ვიპოვნეთ მე და თქვენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები პირველი მეოთხედის ძირითადი კუთხისთვის) და მეორე - პირველი კვარტლის კუთხეების ფუნქციების მნიშვნელობების დამახსოვრება და რამდენიმე მარტივი წესი, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ყველა სხვა კვარტლისთვის.მეორე გზა დაზოგავს დიდ აურზაურს სამკუთხედებთან და პითაგორასთან, ამიტომ მე მას უფრო პერსპექტიულად მიმაჩნია:
ასე რომ, ამ მეთოდს (ან წესს) ეწოდება - შემცირების ფორმულები.
ჩამოსხმის ფორმულები
უხეშად რომ ვთქვათ, ეს ფორმულები დაგეხმარებათ არ დაიმახსოვროთ ასეთი ცხრილი (სხვათა შორის, ის შეიცავს 98 რიცხვს!):
თუ გახსოვთ ეს (მხოლოდ 20 ნომერი):
ანუ სრულიად არასაჭირო 78 ნომრით თავს ვერ შეაწუხებ! მოდით, მაგალითად, ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ. გასაგებია, რომ პატარა მაგიდაზე ასეთი რამ არ არის. Რას ვაკეთებთ? და აი რა:
პირველ რიგში, ჩვენ გვჭირდება შემდეგი ცოდნა:
- სინუსს და კოსინუსს აქვს პერიოდი (გრადუსები), ე.ი.
ტანგენტს (კოტანგენტს) აქვს პერიოდი (გრადუსები)
ნებისმიერი მთელი რიცხვი
- სინუსი და ტანგენსი კენტი ფუნქციებია, ხოლო კოსინუსი ლუწი:
პირველი განცხადება თქვენთან ერთად უკვე დავამტკიცეთ, მეორის მართებულობა კი სულ ახლახანს დადგინდა.
კასტინგის ფაქტობრივი წესი ასე გამოიყურება:
- თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობას გამოვთვლით უარყოფითი კუთხიდან, მას დადებითად ვაქცევთ ფორმულების ჯგუფის გამოყენებით (2). Მაგალითად:
- სინუსსა და კოსინუსს ვუხსნით მის პერიოდებს: (გრადულებში), ხოლო ტანგენსისთვის - (გრადუსები). Მაგალითად:
- თუ დარჩენილი „კუთხე“ გრადუსზე ნაკლებია, მაშინ პრობლემა მოგვარებულია: „პატარა მაგიდაზე“ ვეძებთ.
- წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვეძებთ რომელ მეოთხედში დევს ჩვენი კუთხე: ეს იქნება მე-2, მე-3 თუ მე-4 მეოთხედი. ჩვენ ვათვალიერებთ სასურველი ფუნქციის ნიშანს კვარტალში. დაიმახსოვრე ეს ნიშანი!
- წარმოადგინეთ კუთხე ერთ-ერთი შემდეგი ფორმით:
(თუ მეორე კვარტალში)
(თუ მეორე კვარტალში)
(თუ მესამე კვარტალში)
(თუ მესამე კვარტალში)
(თუ მეოთხე კვარტალში)ისე რომ დარჩენილი კუთხე იყოს ნულზე მეტი და გრადუსზე ნაკლები. Მაგალითად:
პრინციპში, არ აქვს მნიშვნელობა, ორი ალტერნატიული ფორმებიდან რომელში წარმოადგენთ კუთხეს თითოეული კვარტლისთვის. ეს არ იმოქმედებს საბოლოო შედეგზე.
- ახლა ვნახოთ, რა მივიღეთ: თუ თქვენ აირჩიე ჩაწერა სრულებით ან გრადუსით პლუს რაღაცის გამოკლებით, მაშინ ფუნქციის ნიშანი არ შეიცვლება: თქვენ უბრალოდ ამოიღებთ ან და ჩაწერეთ დარჩენილი კუთხის სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი. თუ თქვენ აირჩიე ჩაწერა მეშვეობით ან გრადუსით, მაშინ შეცვალეთ სინუსი კოსინუსზე, კოსინუსი სინუსზე, ტანგენსი კოტანგენსზე, კოტანგენსი ტანგენსზე.
- მიღებული გამონათქვამის წინ ვსვამთ მე-4 პუნქტის ნიშანს.
მოდით ვაჩვენოთ ყოველივე ზემოთქმული მაგალითებით:
- გამოთვალეთ
- გამოთვალეთ
- იპოვე-დი-ეს მნიშვნელობები შენ-რა-სამე-ნია:
დავიწყოთ თანმიმდევრობით:
- ჩვენ ვმოქმედებთ ჩვენი ალგორითმის მიხედვით. აირჩიეთ წრეების მთელი რიცხვი:
ზოგადად ვასკვნით, რომ მთელი კუთხეში 5-ჯერ არის მოთავსებული, მაგრამ რამდენი დარჩა? მარცხენა. მერე
კარგი, ჩვენ გადავაგდეთ ზედმეტი. ახლა მოდით საქმე ნიშანს. დევს 4 კვარტალში. მეოთხე მეოთხედის სინუსს აქვს მინუს ნიშანი და არ უნდა დამავიწყდეს პასუხის ჩასმა. გარდა ამისა, წარმოგიდგენთ შემცირების წესების მე-5 პუნქტის ორი ფორმულიდან ერთ-ერთის მიხედვით. მე ავირჩევ:
ახლა ჩვენ ვუყურებთ რა მოხდა: გვაქვს საქმე გრადუსით, შემდეგ ვაგდებთ მას და ვცვლით სინუსს კოსინუსზე. და დადეთ მინუს ნიშანი მის წინ!
გრადუსი არის კუთხე პირველ მეოთხედში. ჩვენ ვიცით (შენ დამპირდი, რომ პატარა მაგიდას ვისწავლი!!) მისი მნიშვნელობა:
შემდეგ მივიღებთ საბოლოო პასუხს:
პასუხი:
- ყველაფერი იგივეა, მაგრამ გრადუსების ნაცვლად - რადიანები. Ყველაფერი კარგადაა. მთავარია გახსოვდეთ ის
მაგრამ რადიანებს გრადუსით ვერ ჩაანაცვლებ. შენი გემოვნების საქმეა. არაფერს შევცვლი. თავიდან დავიწყებ მთელი წრეების გაუქმებით:
ჩვენ უარვყოფთ - ეს ორი მთელი წრეა. რჩება გამოთვლა. ეს კუთხე მესამე მეოთხედშია. მესამე მეოთხედის კოსინუსი უარყოფითია. არ დაგავიწყდეთ თქვენს პასუხში მინუსის ნიშანი. შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც. კიდევ ერთხელ გავიხსენებთ წესს: გვაქვს „მთელი“ რიცხვის შემთხვევა (ან), მაშინ ფუნქცია არ იცვლება:
მერე.
პასუხი:. - . თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე, მაგრამ ორი ფუნქციით. ცოტა უფრო მოკლედ ვიქნები: და გრადუსები არის მეორე მეოთხედის კუთხეები. მეორე მეოთხედის კოსინუსს აქვს მინუს ნიშანი, სინუსს კი პლუსის ნიშანი. შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: მაგრამ როგორ, მაშინ
ორივე შემთხვევა „მთლიანობის ნახევარია“. შემდეგ სინუსი ხდება კოსინუსი, ხოლო კოსინუსი ხდება სინუსი. უფრო მეტიც, კოსინუსის წინ არის მინუს ნიშანი:
პასუხი:.
ახლა დამოუკიდებლად ივარჯიშეთ შემდეგი მაგალითებით:
და აქ არის გადაწყვეტილებები:
ჯერ მინუსს მოვიშოროთ სინუსის წინ გადაადგილებით (რადგან სინუსი კენტი ფუნქციაა !!!). შემდეგ განიხილეთ კუთხეები:ჩვენ უარვყოფთ წრეების მთელ რიცხვს - ანუ სამ წრეს ().
რჩება გამოთვლა: .
იგივეს ვაკეთებთ მეორე კუთხით:წაშალეთ წრეების მთელი რიცხვი - 3 წრე () შემდეგ:
ახლა ვფიქრობთ: რომელ კვარტალში დევს დარჩენილი კუთხე? ყველაფერს „არ აღწევს“. მაშინ რა არის მეოთხედი? მეოთხე. რა არის მეოთხე მეოთხედის კოსინუსის ნიშანი? პოზიტიური. ახლა წარმოვიდგინოთ. ვინაიდან ჩვენ ვაკლებთ მთელ რიცხვს, ჩვენ არ ვცვლით კოსინუსის ნიშანს:
ჩვენ ვცვლით ყველა მიღებულ მონაცემს ფორმულაში:
პასუხი:.
სტანდარტი: ჩვენ ვხსნით მინუსს კოსინუსიდან, იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ.
რჩება გრადუსების კოსინუსის დათვლა. ამოვიღოთ მთელი წრეები: . მერემერე.
პასუხი:.- ჩვენ ვიმოქმედებთ ისე, როგორც წინა მაგალითში.
რადგან გახსოვთ, რომ ტანგენტის პერიოდი არის (ან) განსხვავებით კოსინუსისგან ან სინუსისგან, რომელშიც ის 2-ჯერ დიდია, მაშინ ჩვენ ამოვიღებთ მთელ რიცხვს.
გრადუსი არის კუთხე მეორე მეოთხედში. მეორე მეოთხედის ტანგენსი უარყოფითია, მაშინ არ დავივიწყოთ ბოლოს "მინუსი"! შეიძლება დაიწეროს როგორც. ტანგენტის ცვლილებები კოტანგენსზე. საბოლოოდ მივიღებთ:
მერე.
პასუხი:.
ისე, ძალიან ცოტა დარჩა!
ტანგენტების ღერძი და კოტანგენტების ღერძი
ბოლო, რაზეც მსურს შეჩერება აქ არის ორ დამატებით ღერძზე. როგორც უკვე განვიხილეთ, გვაქვს ორი ღერძი:
- ღერძი - კოსინუსური ღერძი
- ღერძი - სინუსური ღერძი
ფაქტობრივად, ჩვენ ამოგვეწურა საკოორდინატო ღერძები, არა? მაგრამ რაც შეეხება ტანგენტებსა და კოტანგენტებს?
მართლა, მათთვის არ არსებობს გრაფიკული ინტერპრეტაცია?
სინამდვილეში, ეს ასეა, შეგიძლიათ იხილოთ ამ სურათზე:
კერძოდ, ამ სურათებიდან შეგვიძლია ვთქვათ შემდეგი:
- ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვს იგივე ნიშნები მეოთხედებში
- ისინი დადებითია პირველ და მე-3 კვარტალში
- მე-2 და მე-4 კვარტალებში უარყოფითია
- ტანგენტი არ არის განსაზღვრული კუთხეებში
- კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული კუთხეებში
კიდევ რისთვის არის ეს სურათები? თქვენ გაიგებთ მოწინავე დონეზე, სადაც მე გეტყვით, თუ როგორ შეგიძლიათ გაამარტივოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ტრიგონომეტრიული წრის დახმარებით!
გაფართოებული დონე
ამ სტატიაში მე აღვწერ როგორ ერთეული წრე (ტრიგონომეტრიული წრე)შეიძლება სასარგებლო იყოს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში.
მე შემიძლია გამოვყო ორი შემთხვევა, როდესაც ის შეიძლება იყოს სასარგებლო:
- პასუხში ჩვენ არ ვიღებთ "ლამაზ" კუთხეს, მაგრამ მაინც უნდა შევარჩიოთ ფესვები.
- პასუხი არის ფესვების ძალიან ბევრი სერია
თქვენ არ გჭირდებათ რაიმე კონკრეტული ცოდნა, გარდა თემის ცოდნისა:
ვეცადე დამეწერა თემა „ტრიგონომეტრიული განტოლებები“ წრეზე მიყენების გარეშე. ბევრი არ შემაქებს ასეთი მიდგომისთვის.
მაგრამ მე მირჩევნია ფორმულა, რისი გაკეთება შეგიძლია. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, ფორმულები საკმარისი არ არის. ამ სტატიის დაწერის მოტივაცია მომცა შემდეგმა მაგალითმა:
ამოხსენით განტოლება:
Კარგი მაშინ. თავად განტოლების ამოხსნა მარტივია.
საპირისპირო ჩანაცვლება:
აქედან გამომდინარე, ჩვენი თავდაპირველი განტოლება უდრის ოთხ უმარტივეს განტოლებას! ნამდვილად გვჭირდება თუ არა ჩამოვწეროთ ფესვების 4 სერია:
პრინციპში, ეს შეიძლებოდა შეჩერებულიყო. მაგრამ არა მხოლოდ ამ სტატიის მკითხველებისთვის, რომელიც ამტკიცებს, რომ არის ერთგვარი "სირთულე"!
ჯერ განვიხილოთ ფესვების პირველი სერია. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ერთეულ წრეს, ახლა მოდით მივმართოთ ამ ფესვებს წრეზე (ცალკე და ამისთვის):
ყურადღება მიაქციეთ: რა კუთხე აღმოჩნდა კუთხეებს შორის და? ეს არის კუთხე. ახლა იგივე გავაკეთოთ სერიისთვის: .
განტოლების ფესვებს შორის კვლავ მიიღება c კუთხე. ახლა გავაერთიანოთ ეს ორი სურათი:
რას ვხედავთ? და შემდეგ, ჩვენს ფესვებს შორის ყველა კუთხე თანაბარია. Რას ნიშნავს?
თუ კუთხიდან დავიწყებთ და ავიღებთ კუთხეებს, რომლებიც ტოლია (ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის), მაშინ ზედა წრის ოთხი წერტილიდან ერთ-ერთს ყოველთვის დავაღწევთ! ასე რომ, ფესვების 2 სერია:
შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:
სამწუხაროდ, ფესვების სერიასთვის:
ეს არგუმენტები აღარ არის მართებული. გააკეთე ნახატი და გაიგე, რატომ არის ასე. თუმცა, ისინი შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგნაირად:
მაშინ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვები:
რაც საკმაოდ მოკლე და ლაკონური პასუხია. და რას ნიშნავს ლაკონურობა და ლაკონურობა? თქვენი მათემატიკური წიგნიერების დონის შესახებ.
ეს იყო პირველი მაგალითი, რომელშიც ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებამ გამოიღო სასარგებლო შედეგები.
მეორე მაგალითი არის განტოლებები, რომლებსაც აქვთ „მახინჯი ფესვები“.
Მაგალითად:
- ამოხსენით განტოლება.
- იპოვეთ მისი ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება უფსკრული.
პირველი ნაწილი არ არის რთული.
რადგან თემას უკვე იცნობთ, თავს უფლებას მივცემ, მოკლედ ვიყო ჩემს გამოთვლებში.
მაშინ ან
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ჩვენი განტოლების ფესვები. არაფერი რთული.
უფრო რთულია ამოცანის მეორე ნაწილის ამოხსნა, არ ვიცი ზუსტად რა არის რკალის კოსინუსი მინუს ერთი მეოთხედი (ეს არ არის ცხრილის მნიშვნელობა).
თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ ფესვების ნაპოვნი სერია ერთეულ წრეზე:
რას ვხედავთ? პირველ რიგში, ფიგურამ ცხადყო, თუ რა საზღვრებში დევს არკოზინი:
ეს ვიზუალური ინტერპრეტაცია დაგვეხმარება ვიპოვოთ ფესვები, რომლებიც ეკუთვნის სეგმენტს: .
ჯერ თავად რიცხვი ხვდება მასში, შემდეგ (იხ. ნახ.).
ასევე ეკუთვნის სეგმენტს.
ამრიგად, ერთეულის წრე გვეხმარება იმის დადგენაში, თუ რა საზღვრებში ხვდება "მახინჯი" კუთხეები.
კიდევ ერთი შეკითხვა მაინც უნდა დაგრჩეს: მაგრამ რაც შეეხება ტანგენტებსა და კოტანგენტებს?
სინამდვილეში, მათ ასევე აქვთ საკუთარი ცულები, თუმცა მათ აქვთ ოდნავ სპეციფიკური სახე:
წინააღმდეგ შემთხვევაში, მათი დამუშავების გზა იგივე იქნება, რაც სინუსსა და კოსინუსზე.
მაგალითი
მოცემულია განტოლება.
- ამოხსენით ეს განტოლება.
- მიუთითეთ ამ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს.
გადაწყვეტილება:
ვხატავთ ერთეულ წრეს და ვნიშნავთ მასზე ჩვენს ამონახსნებს:
ფიგურიდან შეიძლება გავიგოთ, რომ:
ან კიდევ უფრო მეტი: მას შემდეგ
შემდეგ ვპოულობთ სეგმენტის კუთვნილ ფესვებს.
, (როგორც)
მე გტოვებთ, რომ დარწმუნდეთ, რომ ჩვენს განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს.
შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა
ტრიგონომეტრიის მთავარი ინსტრუმენტია ტრიგონომეტრიული წრე,ის საშუალებას გაძლევთ გაზომოთ კუთხეები, იპოვოთ მათი სინუსები, კოსინუსები და ა.შ.
კუთხეების გაზომვის ორი გზა არსებობს.
- გრადუსების მეშვეობით
- რადიანების მეშვეობით
და პირიქით: რადიანებიდან გრადუსამდე:
კუთხის სინუსისა და კოსინუსის საპოვნელად დაგჭირდებათ:
- დახაზეთ ერთეული წრე, რომლის ცენტრი ემთხვევა კუთხის წვეროს.
- იპოვეთ ამ კუთხის გადაკვეთის წერტილი წრესთან.
- მისი "x" კოორდინატი არის სასურველი კუთხის კოსინუსი.
- მისი „თამაშის“ კოორდინატი არის სასურველი კუთხის სინუსი.
ჩამოსხმის ფორმულები
ეს არის ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რთული გამონათქვამები.
ეს ფორმულები დაგეხმარებათ არ დაიმახსოვროთ ასეთი ცხრილი:
შეჯამება
თქვენ ისწავლეთ როგორ გააკეთოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიის სტიმული.
თქვენ ისწავლეთ პრობლემების გადაჭრა ბევრად უფრო მარტივად და სწრაფად და, რაც მთავარია, შეცდომების გარეშე.
თქვენ მიხვდით, რომ არ გჭირდებათ მაგიდის დატკეპნა და ზოგადად ცოტა რამ არის დასაკეცი!
ახლა მინდა გავიგო თქვენგან!
მოახერხეთ ამ რთული თემის მოგვარება?
Რა მოგეწონა? რა არ მოგეწონა?
იქნებ შეცდომა იპოვე?
დაწერეთ კომენტარებში!
და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდაზე!
ტრიგონომეტრიულ წრეზე, გარდა კუთხეების გრადუსით, ვაკვირდებით.
მეტი რადიანების შესახებ:
რადიანი განისაზღვრება, როგორც რკალის კუთხური მნიშვნელობა, რომლის სიგრძე უდრის მის რადიუსს. შესაბამისად, ვინაიდან გარშემოწერილობა არის 
, მაშინ აშკარაა, რომ რადიანი ჯდება წრეში, ე.ი
1 რადი ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.
ყველამ იცის, რომ რადიანია
ასე, მაგალითად, ა. ასე ჩვენ ისწავლეთ როგორ გადაიყვანოთ რადიანები კუთხეებად.
ახლა პირიქით გადავიყვანოთ გრადუსები რადიანებად.
ვთქვათ, უნდა გადავიყვანოთ რადიანებად. დაგვეხმარება. ჩვენ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:
ვინაიდან რადიანი, მაშინ შეავსეთ ცხრილი:
ჩვენ ვვარჯიშობთ, რათა ვიპოვოთ სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები წრეში
მოდით დავაზუსტოთ შემდეგი.
კარგია, თუ ჩვენ გვთხოვენ გამოთვლას, ვთქვათ, - ჩვეულებრივ, აქ არ არის დაბნეულობა - ყველა იწყებს პირველ რიგში წრეზე ყურებას.
და თუ მათ სთხოვენ გამოთვლას, მაგალითად, ... ბევრი, მოულოდნელად, იწყებს გაუგებრობას, სად ეძებოს ეს ნული... ხშირად ისინი ეძებენ მას საწყისში. რატომ?
1) ერთხელ და სამუდამოდ შევთანხმდეთ!რა მოდის შემდეგ ან არის არგუმენტი=კუთხე და ჩვენი კუთხეებია წრეზე, ნუ ეძებთ მათ x ღერძზე!(უბრალოდ ცალკეული წერტილები ეცემა როგორც წრეზე, ასევე ღერძზე ...) და თავად სინუსებისა და კოსინუსების მნიშვნელობები - ჩვენ ვეძებთ ღერძებზე!
2) და მეტი!თუ საწყის წერტილს გადავუხვიეთ საათის საწინააღმდეგოდ(ტრიგონომეტრიული წრის გვერდის ავლით მთავარი მიმართულება), შემდეგ გვერდს ვუსვამთ კუთხეების დადებით მნიშვნელობებს, კუთხეები იზრდება ამ მიმართულებით გადაადგილებისას.
თუ საწყის წერტილს გადავუხვიეთ საათის ისრის მიმართულებით, შემდეგ ჩვენ განზე ვდებთ კუთხეების უარყოფით მნიშვნელობებს.
მაგალითი 1
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
წრეზე ვპოულობთ. წერტილს ვაპროექტებთ სინუს ღერძზე (ანუ ვხატავთ პერპენდიკულარს წერტილიდან სინუს ღერძამდე (oy)).
მივდივართ 0-ზე. აქედან გამომდინარე, .
მაგალითი 2
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
ვპოულობთ წრეზე (გავდივართ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და სხვა). ჩვენ ვაპროექტებთ წერტილს სინუს ღერძზე (და ის უკვედევს სინუსურ ღერძზე).
ჩვენ ვვარდებით -1-ში სინუსური ღერძის გასწვრივ.
გაითვალისწინეთ, რომ "დამალული" წერტილის უკან არის ისეთი წერტილები, როგორიცაა (ჩვენ შეგვიძლია მივიდეთ წერტილში, რომელიც მონიშნულია საათის ისრის მიმართულებით, რაც ნიშნავს მინუს ნიშნის გამოჩენას) და უსასრულოდ ბევრი სხვა.
შეიძლება შემდეგი ანალოგიის გაკეთება:
წარმოიდგინეთ ტრიგონომეტრიული წრე, როგორც სტადიონის სარბენი ბილიკი.
ბოლოს და ბოლოს, შეგიძლიათ დასრულდეთ „დროშის“ წერტილში, მე ვიწყებ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, სირბილს, ვთქვათ, 300 მ. ან სირბილს, ვთქვათ, 100 მ საათის ისრის მიმართულებით (ვთვლით, რომ ტრასის სიგრძე 400 მ-ია).
და თქვენ ასევე შეგიძლიათ მოხვდეთ „დროშის“ წერტილში („დაწყების“ შემდეგ) რბენით, ვთქვათ, 700 მ, 1100 მ, 1500 მ და ა.შ. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. თქვენ შეგიძლიათ მიაღწიოთ დროშის წერტილს 500 მ ან 900 მ სირბილით და ა.შ. საათის ისრის მიმართულებით დასაწყისიდან.
გონებრივად გააფართოვეთ სტადიონის სარბენი ბილიკი რიცხვით. წარმოიდგინეთ, სად იქნება ამ ხაზზე, მაგალითად, მნიშვნელობები 300, 700, 1100, 1500 და ა.შ. ჩვენ დავინახავთ წერტილებს რიცხვთა წრფეზე, ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე. დავბრუნდეთ უკან. წერტილები "ერთად ერწყმის" ერთს.
ასეა ტრიგონომეტრიულ წრეშიც. ყოველი წერტილის მიღმა უსასრულოდ ბევრი სხვაა.
ვთქვათ კუთხეები , , და ა.შ. ნაჩვენებია როგორც ერთი წერტილი. და მათში სინუსის, კოსინუსის მნიშვნელობები, რა თქმა უნდა, იგივეა. (შეგიმჩნევიათ, რომ დავამატეთ/გამოვაკლეთ თუ? ეს არის სინუსის და კოსინუსური ფუნქციის პერიოდი.)
მაგალითი 3
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
მოდით გადავიყვანოთ ხარისხებად სიმარტივისთვის.
(მოგვიანებით, როცა ტრიგონომეტრიულ წრეს შეეგუებით, რადიანების გრადუსებად გადაქცევა აღარ დაგჭირდებათ):
საათის ისრის მიმართულებით ვივლით წერტილიდან მოდით ვიაროთ ნახევარ წრეში () და სხვა
ჩვენ გვესმის, რომ სინუსის მნიშვნელობა ემთხვევა სინუსის მნიშვნელობას და უდრის
გაითვალისწინეთ, რომ თუ ავიღებთ, მაგალითად, ან და ა.შ., მაშინ მივიღებთ იგივე სინუს მნიშვნელობას.
მაგალითი 4
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
თუმცა, ჩვენ არ გადავიყვანთ რადიანებს გრადუსებად, როგორც წინა მაგალითში.
ანუ, საათის ისრის საწინააღმდეგოდ უნდა ვიაროთ ნახევარ წრის და მეორე მეოთხედი ნახევარწრის მიმართულებით და მივიღოთ მიღებული წერტილი კოსინუს ღერძზე (ჰორიზონტალური ღერძი).
მაგალითი 5
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
როგორ დავხატოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე?
თუ ჩავაბარებთ ან, სულ მცირე, მაინც მივაღწევთ იმ წერტილს, რომელიც „დასაწყისად“ დავნიშნეთ. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გადახვიდეთ წრის წერტილზე
მაგალითი 6
იპოვნეთ ღირებულება.
გადაწყვეტილება:
ჩვენ მივიღებთ წერტილს (მიგვიყვანს მაინც ნულამდე). წრის წერტილს ვაპროექტებთ კოსინუს ღერძზე (იხ. ტრიგონომეტრიული წრე), შევდივართ. ე.ი.
ტრიგონომეტრიული წრე - თქვენს ხელშია
თქვენ უკვე მიხვდით, რომ მთავარია გახსოვდეთ პირველი კვარტლის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები. დანარჩენ კვარტალებში ყველაფერი მსგავსია, თქვენ უბრალოდ უნდა დაიცვათ ნიშნები. და იმედი მაქვს, რომ არ დაგავიწყდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების "ჯაჭვის კიბე". 
როგორ მოვძებნოთ ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობებიძირითადი კუთხეები.
ამის შემდეგ, გაეცნოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის ძირითად მნიშვნელობებს, შეგიძლიათ გაიაროთ
ცარიელი წრის შაბლონზე. მატარებელი!
მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათს და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მართკუთხედის სახით, რომელშიც ერთი მხარე აღნიშნავს სალათის ფოთოლს, მეორე მხარე აღნიშნავს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი აღნიშნავს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.
როგორ იქცევა სალათის ფოთოლი და წყალი მათემატიკურად ბორშად? როგორ შეიძლება ორი სეგმენტის ჯამი გადაიქცეს ტრიგონომეტრიად? ამის გასაგებად, ჩვენ გვჭირდება წრფივი კუთხის ფუნქციები.
მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობა.
წრფივი კუთხოვანი ფუნქციები არის მიმატების კანონები.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.
შესაძლებელია თუ არა ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების გარეშე? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მაინც ახერხებენ მათ გარეშე. მათემატიკოსთა ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც თავად შეუძლიათ და არასოდეს გვეუბნებიან იმ ამოცანების შესახებ, რომელთა გადაჭრაც მათ არ შეუძლიათ. იხ. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა პრობლემები არ ვიცით და ვერც გადავჭრით. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ ვიცით მხოლოდ მიმატების შედეგი და არ ვიცით ორივე ტერმინი? ამ შემთხვევაში, მიმატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. გარდა ამისა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხური ფუნქციები გვიჩვენებს, თუ რა უნდა იყოს მეორე წევრი, რათა მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ ძალიან კარგად ვაკეთებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევებში ჯამის ტერმინებად გაფართოება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.
დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზედაც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (კიდევ ერთი მათი ხრიკი) მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე ზომის ერთეული. სალათის ფურცლისთვის, წყლისა და ბორშისთვის ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან გაზომვის ერთეული.
ნახაზი გვიჩვენებს მათემატიკის განსხვავების ორ დონეს. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ. ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები საზომი ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. U. ამას აკეთებენ ფიზიკოსები. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების ფარგლებს შორის. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების ერთი და იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავუმატებთ ქვესკრიპტებს სხვადასხვა ობიექტების საზომი ერთეულებისთვის, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რა მათემატიკური სიდიდე აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს მოქმედებებთან დაკავშირებით. წერილი ვწყალს ასოთი მოვნიშნავ სსალათს ასოთი მოვნიშნავ ბ- ბორში. აი, როგორი იქნება ბორშჩის წრფივი კუთხის ფუნქციები.
წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს თუ ავიღებთ, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ, ცოტათი დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი გამოვა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ არ გვესმის რა, გაუგებარია რატომ და ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, რადგან სამი დონის განსხვავების გამო, მათემატიკოსები მუშაობენ მხოლოდ ერთზე. უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.
და კურდღლები, იხვები და პატარა ცხოველები შეიძლება დაითვალოს ნაჭრებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს არის პრობლემის საბავშვო ვერსია. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რას იღებთ, როდესაც კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.
პირველი ვარიანტი. ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ ნაღდ ფულს. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულის თვალსაზრისით.
მეორე ვარიანტი. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ბანკნოტების რაოდენობას, რაც გვაქვს. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.
როგორც ხედავთ, იგივე დამატების კანონი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ განსხვავებული შედეგები. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.
მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება ხაზოვანი კუთხის ფუნქციების კუთხის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის.
კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში უდრის ნულ წყალს. ნულოვანი ბორში ასევე შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).
პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ . ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და აკლია მეორე წევრი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, გააუქმეთ თქვენი ლოგიკა და სულელურად შეავსეთ მათემატიკოსების მიერ გამოგონილი განმარტებები: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე". უდრის ნულს", "ნულ წერტილს მიღმა" და სხვა სისულელეებს. საკმარისია ერთხელ დაიმახსოვროთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა, ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. . ეს ჰგავს კითხვას, რა ფერს მივაკუთვნოთ უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალ ფუნჯს აფრიალებენ და ყველას ეუბნებიან, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.
კუთხე არის ნულზე მეტი, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. სალათის ფოთოლი ბევრი გვაქვს, წყალი კი ცოტა. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშს.
კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათის ფოთოლი. ეს შესანიშნავი ბორშია (მაპატიონ მზარეულებმა, ეს უბრალოდ მათემატიკაა).
კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. მიიღეთ თხევადი ბორში.
მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათის ფოთოლზე მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათის ფოთლებს აღნიშნავდა. ბორშს ვერ ვამზადებთ. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში დაიჭირეთ და დალიეთ წყალი სანამ ის ხელმისაწვდომია)))
Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ შემიძლია სხვა ისტორიების მოყოლა, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.
ორ მეგობარს საერთო საქმეში წილი ჰქონდათ. ერთი მათგანის მკვლელობის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.
მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.
ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხოვანი ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში, დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.
შაბათი, 2019 წლის 26 ოქტომბერი
ოთხშაბათი, 7 აგვისტო, 2019 წ
საუბრის დასრულებისას ჩვენ უნდა განვიხილოთ უსასრულო ნაკრები. იმის გათვალისწინებით, რომ "უსასრულობის" კონცეფცია მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის მომაჯადოებელი საშინელება მათემატიკოსებს ართმევს საღ აზრს. აი მაგალითი:
ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:
მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა ჩამოდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი დაკავებული არ არის და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთ სტუმარს დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ წერია“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.
რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, „უსასრულო სასტუმროს“ აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილ სამყაროებში. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ასე რომ, მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.
მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნება შესანიშნავია დათვლაში, მაგრამ ამისთვის ის იყენებს სხვა მათემატიკურ ინსტრუმენტებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.
ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ამ კომპლექტს, რადგან უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:
მოქმედებები დავწერე ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეთა თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე ერთეული დაემატება.
ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:
ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს იმაზე, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთი უსასრულო სიმრავლე დაემატება მეორე უსასრულო სიმრავლეს, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.
ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.
შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, იფიქრეთ იმაზე, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).
pozg.ru
კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ
მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაში:
ჩვენ ვკითხულობთ: „...ბაბილონის მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილი იყო განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას“.
Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:
თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ გააჩნია ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.
შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.
შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ
როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.
შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ასოების მეშვეობით განვსაზღვროთ ამ ნაკრების ელემენტები ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიტანოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხის სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა bwგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ამ სექსუალური მახასიათებლებიდან ერთ-ერთს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.
გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი bw. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები ხდება სწორად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.
რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.
როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ერთხელ გააკეთეს შამანებმა. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.
და ბოლოს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები.
ორშაბათი, 7 იანვარი, 2019 წ
ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:
ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.
ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.
მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.
თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ მართებული იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.
როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:
იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.
ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.
ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:
მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.
ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან მოძრაობის ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის მაინც გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ). კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.
მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები არის მშვილდით და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.
ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული კომპლექტი? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო ზუსტად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.
ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება მოხდა ოთხი სხვადასხვა საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (აკნეში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე.. აი, როგორ გამოიყურება.
ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში მონიშნულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ სტადიაზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ გაზომვის ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ „ინტუიტიურად“ მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას „აშკარად“, რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ „მეცნიერულ“ არსენალში.
საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანება. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.
ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვითი წრის განმარტებას, გავარკვევთ მის ძირითად თვისებას და დავაწყობთ რიცხვებს 1,2,3 და ა.შ. წრეზე სხვა რიცხვების მონიშვნის შესახებ (მაგალითად, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) ესმის.
რიცხვის წრე ვუწოდოთ ერთეული რადიუსის წრე, რომლის წერტილები შეესაბამება მოწყობილია შემდეგი წესების მიხედვით:
1) საწყისი არის წრის უკიდურეს მარჯვენა წერტილში;
2) საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით - დადებითი მიმართულება; საათის ისრის მიმართულებით - უარყოფითი;
3) თუ წრეზე \(t\) მანძილს დავსახავთ დადებითი მიმართულებით, მაშინ მივიღებთ \(t\) მნიშვნელობის წერტილამდე;
4) თუ წრეზე \(t\) მანძილს დავსახავთ უარყოფითი მიმართულებით, მაშინ მივიღებთ \(–t\ მნიშვნელობის მქონე წერტილს).
რატომ ჰქვია წრეს რიცხვი?
იმიტომ რომ მასზე ნომრებია. ამაში წრე რიცხვითი ღერძის მსგავსია - წრეზე, ისევე როგორც ღერძზე, თითოეული რიცხვისთვის არის გარკვეული წერტილი.
რატომ ვიცი რა არის რიცხვითი წრე?
რიცხვითი წრის დახმარებით დგინდება სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობა. ამიტომ, იმისთვის, რომ ვიცოდეთ ტრიგონომეტრია და ჩააბაროთ გამოცდა 60+ ქულით, აუცილებელია გავიგოთ რა არის რიცხვითი წრე და როგორ მოვათავსოთ მასზე წერტილები.
რას ნიშნავს სიტყვები "... ერთეული რადიუსის ..." განმარტებაში?
ეს ნიშნავს, რომ ამ წრის რადიუსი არის \(1\). და თუ ჩვენ ავაშენებთ საწყისზე ორიენტირებულ ასეთ წრეს, მაშინ ის გადაიკვეთება ღერძებთან \(1\) და \(-1\) წერტილებში.
არ არის აუცილებელი მისი პატარა დახატვა, შეგიძლიათ შეცვალოთ განყოფილებების "ზომა" ღერძების გასწვრივ, მაშინ სურათი უფრო დიდი იქნება (იხ. ქვემოთ).
რატომ არის რადიუსი ზუსტად ერთი? ეს უფრო მოსახერხებელია, რადგან ამ შემთხვევაში, წრეწირის გამოთვლისას ფორმულით \(l=2πR\), ვიღებთ:
რიცხვითი წრის სიგრძეა \(2π\) ან დაახლოებით \(6,28\).
და რას ნიშნავს „... რომლის წერტილები შეესაბამება რეალურ რიცხვებს“?
როგორც ზემოთ აღინიშნა, ნებისმიერი რეალური რიცხვის რიცხვის წრეზე აუცილებლად იქნება მისი „ადგილი“ - წერტილი, რომელიც შეესაბამება ამ რიცხვს.
რატომ განვსაზღვროთ წარმოშობა და მიმართულება რიცხვთა წრეზე?
რიცხვითი წრის მთავარი მიზანია ცალსახად განსაზღვროს მისი წერტილი თითოეული რიცხვისთვის. მაგრამ როგორ შეგიძლიათ განსაზღვროთ სად უნდა დაასრულოთ ბოლო, თუ არ იცით საიდან დათვალოთ და სად გადახვიდეთ?
აქ მნიშვნელოვანია, რომ არ ავურიოთ საწყისი კოორდინატთა წრფეზე და რიცხვთა წრეზე - ეს ორი განსხვავებული საცნობარო სისტემაა! ასევე, არ აურიოთ \(1\) \(x\) ღერძზე და \(0\) წრეზე - ეს არის წერტილები სხვადასხვა ობიექტზე.
რა წერტილები შეესაბამება რიცხვებს \(1\), \(2\) და ა.შ?
გახსოვდეთ, ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ რიცხვითი წრის რადიუსი არის \(1\)? ეს იქნება ჩვენი ცალკეული სეგმენტი (ციფრული ღერძის ანალოგიით), რომელსაც წრეზე დავსვამთ.
1 რიცხვის შესაბამისი რიცხვის წრეზე წერტილის აღსანიშნავად, თქვენ უნდა გაიაროთ 0-დან რადიუსის ტოლი მანძილი დადებითი მიმართულებით.
წრეზე წერტილის აღსანიშნავად, რომელიც შეესაბამება რიცხვს \(2\), თქვენ უნდა გაიაროთ მანძილი, რომელიც ტოლია ორი რადიუსის საწყისიდან, ისე, რომ \(3\) არის მანძილი სამი რადიუსის ტოლი და ა.შ.
ამ სურათს რომ უყურებ, შეიძლება გაგიჩნდეს 2 შეკითხვა:
1. რა მოხდება, როდესაც წრე „დასრულდება“ (ანუ სრულ შემობრუნებას გავაკეთებთ)?
პასუხი: გადავიდეთ მეორე ტურში! მეორე რომ დასრულდება, მესამეზე გადავალთ და ასე შემდეგ. აქედან გამომდინარე, რიცხვების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება გამოვიყენოთ წრეზე.
2. სად იქნება უარყოფითი რიცხვები?
პასუხი: სწორედ იქ! მათი მოწყობაც შესაძლებელია, ნულიდან დათვალეთ რადიუსების საჭირო რაოდენობა, მაგრამ ახლა უარყოფითი მიმართულებით.
სამწუხაროდ, ძნელია რიცხვების წრეზე მთელი რიცხვების დანიშვნა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ რიცხვითი წრის სიგრძე არ იქნება მთელი რიცხვი: \ (2π \). და ყველაზე მოსახერხებელ ადგილებში (ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებში) ასევე იქნება არა მთელი რიცხვები, არამედ წილადები.
