ეს სტატია შეიცავს ძირითად ინფორმაციას ამის შესახებ რეალური რიცხვები. ჯერ მოცემულია რეალური რიცხვების განმარტება და მოყვანილია მაგალითები. რეალური რიცხვების პოზიცია კოორდინატთა ხაზზე ნაჩვენებია შემდეგში. და ბოლოს, გაანალიზებულია, თუ როგორ არის მოცემული რეალური რიცხვები რიცხვითი გამონათქვამების სახით.
გვერდის ნავიგაცია.
რეალური რიცხვების განმარტება და მაგალითები
რეალური რიცხვები, როგორც გამოსახულებები
რეალური რიცხვების განმარტებიდან ირკვევა, რომ რეალური რიცხვებია:
- ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი;
- ნებისმიერი მთელი რიცხვი;
- ნებისმიერი ჩვეულებრივი წილადი (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი);
- ნებისმიერი შერეული რიცხვი;
- ნებისმიერი ათობითი წილადი (დადებითი, უარყოფითი, სასრული, უსასრულო პერიოდული, უსასრულო არაპერიოდული).
მაგრამ ძალიან ხშირად რეალური რიცხვები ჩანს სახით და ა.შ. უფრო მეტიც, რეალური რიცხვების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი ასევე რეალური რიცხვებია (იხ მოქმედებები რეალური რიცხვებით). მაგალითად, ეს არის რეალური რიცხვები.
და თუ უფრო შორს წახვალ, მაშინ რეალური რიცხვებიდან არითმეტიკული ნიშნების, ფესვის ნიშნების, გრადუსების, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით და ა.შ. თქვენ შეგიძლიათ შეადგინოთ ყველა სახის რიცხვითი გამონათქვამი, რომელთა მნიშვნელობები ასევე იქნება რეალური რიცხვები. მაგალითად, გამოხატვის მნიშვნელობები 
და 
რეალური რიცხვებია.
ამ სტატიის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ რიცხვის ცნების გაფართოების შემდეგი ნაბიჯი არის რეალური რიცხვებიდან გადასვლა რთული რიცხვები.
ბიბლიოგრაფია.
- ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
- მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).
საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ
Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.
უმცროსი საშუალო სკოლის გამეორება
ინტეგრალური
წარმოებული
სხეულების მოცულობები
რევოლუციის სოლიდები
კოორდინატების მეთოდი სივრცეში
მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. კავშირი ვექტორულ კოორდინატებსა და წერტილოვან კოორდინატებს შორის. უმარტივესი პრობლემები კოორდინატებში. ვექტორების სკალარული ნამრავლი.
ცილინდრის კონცეფცია. ცილინდრის ზედაპირის ფართობი. კონუსის კონცეფცია.
კონუსის ზედაპირის ფართობი. სფერო და ბურთი. სფეროს ფართობი. სფეროსა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება.
მოცულობის კონცეფცია. მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა. სწორი პრიზმის მოცულობა, ცილინდრი. პირამიდის და კონუსის მოცულობა. ბურთის მოცულობა.
ნაწილი III. მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი
წარმოებული. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული. დიფერენციაციის წესები. ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლადგაზრდის და შემცირების ფუნქცია. ფუნქციის უკიდურესობა. წარმოებულის გამოყენება გრაფიკების გამოსახატავად. ფუნქციის უდიდესი, უმცირესი მნიშვნელობები.
პრიმიტიული. პრიმიტივების პოვნის წესები. მრუდი ტრაპეციის ფართობი და ინტეგრალი. ინტეგრალების გამოთვლა. ფართობების გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით.
სასწავლო ამოცანები გამოცდებისთვის
ნაწილი I. ალგებრა
რიცხვი არის აბსტრაქცია, რომელიც გამოიყენება ობიექტების რაოდენობრივად შესაფასებლად. რიცხვები წარმოიშვა პრიმიტიულ საზოგადოებაში ადამიანების საგნების დათვლის საჭიროებასთან დაკავშირებით. დროთა განმავლობაში, მეცნიერების განვითარებასთან ერთად, რიცხვი გახდა ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნება.
ამოცანების გადასაჭრელად და სხვადასხვა თეორემების დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რა ტიპის რიცხვებია. რიცხვების ძირითად ტიპებს მიეკუთვნება: ნატურალური რიცხვები, მთელი რიცხვები, რაციონალური რიცხვები, რეალური რიცხვები.
ნატურალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც მიღებულია ობიექტების ბუნებრივი დათვლით, უფრო სწორად, მათი ნუმერაციით ("პირველი", "მეორე", "მესამე" ...). ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო N-ით (შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ, ინგლისური სიტყვის ბუნებრივი საფუძველზე). შეგვიძლია ვთქვათ, რომ N =(1,2,3,...)
ნატურალური რიცხვების შევსებით ნულოვანი და უარყოფითი რიცხვებით (ანუ ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები), ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გაფართოვდება მთელი რიცხვების სიმრავლემდე.
მთელი რიცხვები არის რიცხვები სიმრავლიდან (0, 1, -1, 2, -2, ....). ეს ნაკრები შედგება სამი ნაწილისაგან - ნატურალური რიცხვები, უარყოფითი მთელი რიცხვები (ნატურალური რიცხვების საპირისპირო) და რიცხვი 0 (ნული). მთელი რიცხვები აღინიშნება ლათინური ასოთი Z. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ Z=(1,2,3,....). რაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება გამოისახოს წილადად, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი.
არის რაციონალური რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება ჩაიწეროს სასრულ ათწილადის სახით, მაგალითად. თუ, მაგალითად, ცდილობთ რიცხვის დაწერას ათწილადის სახით ცნობილი გაყოფის კუთხის ალგორითმის გამოყენებით, მიიღებთ უსასრულო ათობითი წილადს. უსასრულო ათწილადი ეწოდება პერიოდული,გამეორება ნომერი 3 - მისი პერიოდი.პერიოდული წილადი მოკლედ იწერება შემდეგნაირად: 0, (3); ნათქვამია: "ნული მთელი რიცხვები და სამი პერიოდის განმავლობაში."
ზოგადად, პერიოდული წილადი არის უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული ათწილადიდან დაწყებული, მეორდება ერთი და იგივე ციფრი ან რამდენიმე ციფრი - წილადის პერიოდი.
მაგალითად, ათწილადი პერიოდულია 56-იანი პერიოდით; იკითხება "23 მთელი რიცხვი, 14 მეასედი და 56 პერიოდში."
ასე რომ, ყველა რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით.
საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: ყოველი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი არის რაციონალური რიცხვი, რადგან ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც არის მთელი რიცხვი, არის ნატურალური რიცხვი.
რეალური (რეალური) რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება უწყვეტი სიდიდეების გასაზომად. რეალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო R-ით. ნამდვილ რიცხვებში შედის რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც მიიღება რაციონალურ რიცხვებზე სხვადასხვა მოქმედების შესრულებით (მაგალითად, ფესვის ამოღება, ლოგარითმების გამოთვლა), მაგრამ არ არის რაციონალური ამავე დროს. ირაციონალური რიცხვების მაგალითებია.
ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვების ხაზში:
ზემოთ ჩამოთვლილ რიცხვთა სიმრავლეებისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი განცხადება: ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედის მთელ რიცხვებში, მთელი რიცხვების სიმრავლე შედის რაციონალურ რიცხვებში, ხოლო რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედის რეალური რიცხვების ნაკრები. ეს განცხადება შეიძლება ილუსტრირებული იყოს ეილერის წრეების გამოყენებით.
სავარჯიშოები თვითგამორკვევისთვის
თუ რიცხვი α არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შეუქცევადი წილადის სახით $$\frac(p)(q)$$, მაშინ მას ირაციონალური ეწოდება.
ირაციონალური რიცხვი იწერება როგორც უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი.
ირაციონალური რიცხვების არსებობის ფაქტი მაგალითით იქნება ნაჩვენები.
მაგალითი 1.4.1.დაამტკიცეთ, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 2.
გამოსავალი.დავუშვათ, არსებობს შეუქცევადი წილადი $$\frac(p)(q)$$ ისეთი, რომ $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
ან $$p^(2)=2q^(2)$$. აქედან გამომდინარეობს, რომ $$p^(2)$$ არის 2-ის ჯერადი და, შესაბამისად, p არის 2-ის ჯერადი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ p არ იყოფა 2-ზე, ე.ი. $$p=2k-1$$, შემდეგ $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ არც 2-ზე იყოფა. ამიტომ, $ $ p=2k$$$$\Rightarrow$$$$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$$$4k^(2)=2q^(2)$$$$ \ Rightarrow$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
ვინაიდან $$q^(2)$$ არის 2-ის ჯერადი, მაშინ q ასევე არის 2-ის ჯერადი, ე.ი. $$q=2m$$.
ასე რომ, p და q რიცხვებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი - რიცხვი 2, რაც ნიშნავს, რომ წილადი $$\frac(p)(q)$$ მცირდება.
ეს წინააღმდეგობა ნიშნავს, რომ დაშვებული ვარაუდი მცდარია, რითაც დასტურდება განცხადება.
რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება.
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები აქსიომატიურად არის შემოტანილი: ნებისმიერ ორ რეალურ რიცხვს a და b ენიჭება რიცხვი $$a+b$$ და ნამრავლი $$a\cdot b$$.
გარდა ამისა, ამ კომპლექტში შემოტანილია ურთიერთობები "ზე მეტი", "ნაკლები" და თანასწორობა:
$$a>b$$ თუ და მხოლოდ თუ a - b დადებითი რიცხვია;
$$a
ჩამოვთვალოთ რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები.
1. თუ $$a>b$$ და $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. თუ $$a>b$$ და $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. თუ $$a>b$$ და $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. თუ a, b, c, d ისეთი დადებითი რიცხვებია, რომ $$a>b$$ და $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
შედეგი. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$a^(2)>b^(2)$$.
6. თუ $$a>b$$ და $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. თუ $$a>0$$, $$b>0$$ და $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
რეალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
ავიღოთ სწორი ხაზი ლ, იხილეთ ნახ. 1.4.1 და დააფიქსირეთ მასზე წერტილი O - საწყისი.
წერტილი O ყოფს ხაზს ორ ნაწილად - სხივებად. მარჯვნივ მიმართულ სხივს დადებითი სხივი ეწოდება, ხოლო მარცხნივ მიმართულ სხივს უარყოფითი სხივი. სწორ ხაზზე აღვნიშნავთ სიგრძის ერთეულად აღებულ სეგმენტს, ე.ი. შეიტანეთ მასშტაბი.
ბრინჯი. 1.4.1. რეალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
შერჩეული საწყისის, დადებითი მიმართულების და მასშტაბის სწორ ხაზს რიცხვითი წრფე ეწოდება.
რიცხვითი წრფის თითოეული წერტილი შეიძლება ასოცირდებოდეს რეალურ რიცხვთან შემდეგი წესის მიხედვით:
- წერტილი O მიენიჭება ნულს;
– თითოეულ N წერტილს დადებით სხივზე ენიჭება დადებითი რიცხვი a, სადაც a არის ON სეგმენტის სიგრძე;
– ყოველ M წერტილს უარყოფით სხივზე ენიჭება უარყოფითი რიცხვი b, სადაც $$b=-\left | OM \right |$$ (OM სეგმენტის სიგრძე, აღებული მინუს ნიშნით).
ამგვარად, ერთი-ერთთან შესაბამისობა მყარდება რეალური რიცხვითი წრფის ყველა წერტილის სიმრავლესა და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს შორის, ე.ი. :
1) რიცხვითი ხაზის თითოეულ წერტილს ენიჭება ერთი და მხოლოდ ერთი რეალური რიცხვი;
2) სხვადასხვა ქულებს ენიჭება სხვადასხვა ნომრები;
3) არ არსებობს ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც არ შეესაბამება რიცხვითი წრფის რომელიმე წერტილს.
მაგალითი 1.4.2.რიცხვთა ხაზზე მონიშნეთ რიცხვების შესაბამისი წერტილები:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
გამოსავალი. 1) $$\frac(12)(7)$$ წილადი რიცხვის აღსანიშნავად, თქვენ უნდა ააგოთ წერტილი $$\frac(12)(7)$$-ის შესაბამისი.
ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ 1 სიგრძის სეგმენტი 7 თანაბარ ნაწილად. ამ პრობლემას ამ გზით ვაგვარებთ.
ვხატავთ თვითნებურ სხივს t.O-დან და ამ სხივზე ვტოვებთ 7 ტოლ სეგმენტს. მიიღეთ
სეგმენტი OA და A წერტილიდან ვხაზავთ სწორ ხაზს 1-ის კვეთამდე.
ბრინჯი. 1.4.2. ერთი სეგმენტის დაყოფა 7 თანაბარ ნაწილად.
A1 სწორი ხაზის პარალელურად გაყვანილი სწორი ხაზები ჩამოყრილი სეგმენტების ბოლოებით ყოფს ერთეული სიგრძის სეგმენტს 7 თანაბარ ნაწილად (ნახ. 1.4.2). ეს შესაძლებელს ხდის წერტილის აგებას, რომელიც წარმოადგენს რიცხვს $$1\frac(5)(7)$$ (ნახ.1.4.3).
ბრინჯი. 1.4.3. წერტილი რიცხვის ღერძზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს $$1\frac(5)(7)$$.
2) ნომერი $$\sqrt(2)$$ შეიძლება მიიღოთ ასე. ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედს ერთეული ფეხებით. მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძეა $$\sqrt(2)$$; ეს სეგმენტი გამოყოფილია O-ს რიცხვით წრფეზე (ნახ. 1.4.4).
3) PO-დან დისტანციური წერტილის ასაგებად $$\sqrt(3)$$ (მარჯვნივ) დაშორებით, აუცილებელია მართკუთხა სამკუთხედის აგება 1 და $$\sqrt(2) სიგრძით. )$$. მაშინ მის ჰიპოტენუზას აქვს სიგრძე $$\sqrt(2)$$, რაც საშუალებას გაძლევთ მიუთითოთ სასურველი წერტილი რეალურ ღერძზე.
რეალური რიცხვებისთვის განსაზღვრულია მოდულის (ან აბსოლუტური მნიშვნელობის) ცნება.
ბრინჯი. 1.4.4. წერტილი რიცხვის ღერძზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს $$\sqrt(2)$$.
რეალური რიცხვის a მოდული ეწოდება:
არის თავად ნომერი, თუ ადადებითი რიცხვია;
- ნულოვანი თუ ა- ნული;
– -ა, თუ ა- უარყოფითი რიცხვი.
რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ააღინიშნება $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |$$.
მოდულის (ან აბსოლუტური მნიშვნელობის) განმარტება შეიძლება დაიწეროს როგორც
| $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |=\მარცხნივ\(\ დასაწყისი(მატრიცა)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული a ნიშნავს მანძილს რიცხვით წრფეზე საწყისი O-დან რიცხვის შესაბამის წერტილამდე. ა.
ჩვენ აღვნიშნავთ მოდულის ზოგიერთ თვისებას.
1. ნებისმიერი ნომრისთვის ათანასწორობა $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |=\მარცხნივ | -a \right |$$.
2. ნებისმიერი რიცხვისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია
$$\ მარცხენა | ab \მარჯვნივ |=\მარცხნივ | a \მარჯვნივ |\cdot \მარცხნივ | b \right |$$; $$\ მარცხენა | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \მარჯვნივ |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\ მარცხენა | a \right |^(2)=a^(2)$$.
3. ნებისმიერი ნომრისთვის აუტოლობა $$\მარცხენა | a \right |\geq 0$$.
4. ნებისმიერი ნომრისთვის აუტოლობა $$-\მარცხენა | a\right |\leq a\leq \მარცხნივ | a \მარჯვნივ |$$.
5. ნებისმიერი რიცხვისთვის ადა ბუთანასწორობა
$$\ მარცხენა | a+b \მარჯვნივ |\leq \მარცხნივ | a \მარჯვნივ |+\მარცხნივ | b \მარჯვნივ |$$
განვიხილოთ შემდეგი რიცხვითი კომპლექტები.
თუ $$a
2) ინტერვალი (a; b) არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე α
, თითოეული მათგანისთვის მართალია: $$a<\alpha
ანალოგიურად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნახევარი ინტერვალი.
ზოგიერთ შემთხვევაში, საუბარია "ხარვეზებზე", რაც ნიშნავს ან სხივს, ან სეგმენტს, ან ინტერვალს, ან ნახევარ ინტერვალს.
Ბევრი რყველა რეალური რიცხვი აღინიშნება შემდეგნაირად: $$(-\infty; \infty)$$.
ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, ჩვენ შემოგთავაზებთ ხარისხის ცნებას ბუნებრივი მაჩვენებლით ნ, კერძოდ
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ და $$a^(1)=a$$.
დაე აარის ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვი, მაშინ განსაზღვრებით $$a^(0)=1$$.
ნულის ნულოვანი სიმძლავრე არ არის განსაზღვრული.
დაე ა- ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვი, მარის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. შემდეგ რიცხვი $$a^(m)$$ განისაზღვრება წესით:
$$a^(m)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)a, m=1;\\\ქვედაჭერა(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(მატრიცა)\მარჯვნივ.$$
სადაც ვარეწოდება ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.
სანამ განვსაზღვრავთ ხარისხის ცნებას რაციონალური მაჩვენებლით, შემოგთავაზებთ არითმეტიკული ფესვის ცნებას.
არითმეტიკული ფესვის ხარისხი ნ (n ∈ N, n > 2) არაუარყოფითი რიცხვი ამოუწოდა არაუარყოფით რიცხვს ბისეთივე როგორც b n = a. ნომერი ბაღინიშნება როგორც $$b\sqrt[n](a)$$.
არითმეტიკული ფესვების თვისებები ( a > 0, ბ > 0, ნ, მ, კ- მთელი რიცხვები.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\მარცხნივ | a \მარჯვნივ |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\მარცხენა | a \მარჯვნივ |$$ |
დაე ა< 0
, ა ნარის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი. თუ ნარის ლუწი რიცხვი, შემდეგ ტოლობა b n = aარ შეესაბამება რაიმე რეალურ ღირებულებას ბ. ეს ნიშნავს, რომ რეალური რიცხვების ველში შეუძლებელია ლუწი ხარისხის ფესვის დადგენა უარყოფითი რიცხვიდან. თუ ნარის კენტი რიცხვი, მაშინ არის მხოლოდ ერთი რეალური რიცხვი ბისეთივე როგორც b n = a. ეს რიცხვი აღინიშნება √n a და ეწოდება უარყოფითი რიცხვის კენტი ფესვი.
მთელი რიცხვის ხარისხზე აწევის განმარტებისა და არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრის გამოყენებით, ჩვენ ვაძლევთ ხარისხის განსაზღვრებას რაციონალური მაჩვენებლით.
დაე აარის დადებითი რიცხვი და $$r=\frac(p)(q)$$ არის რაციონალური რიცხვი და ქ- ნატურალური რიცხვი.
დადებითი რიცხვი
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
ეწოდება a-ს ხარისხს r მაჩვენებლით და აღინიშნება როგორც
$$b=a^(r)$$, ან $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, აქ $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
განვიხილოთ რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ძირითადი თვისებები.
დაე ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, r 1 და r 2 არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი. მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. თუ $$a>1$$ და $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. თუ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>0 \ მარჯვენა ისარი 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. თუ $$a>1$$ და $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. თუ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\მარჯვენა ისარი a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
დადებითი რიცხვის ხარისხის კონცეფცია განზოგადებულია ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლისთვის α
.
დადებითი რიცხვის a ხარისხის განსაზღვრა რეალური მაჩვენებლებით α
.
1. თუ $$\alpha > 0$$ და
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \მარჯვენა ისარი a^(\alpha)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)a, m=1\\\ქვედაჭერი(a\cdot a\ cdot a\cdot a...a), m\geq 2\end(მატრიცა)\მარჯვნივ.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, სადაც გვდა ქ- ნატურალური რიცხვები $$\მარჯვენა ისარი a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α ირაციონალური რიცხვია, მაშინ
ა) თუ a > 1, მაშინ ა α- რიცხვი r i-ზე მეტი და ნაკლები ა რ კ, სად რ ი α
მინუსით რკ- რიცხვის ნებისმიერი რაციონალური მიახლოება α
ჭარბად;
ბ) თუ 0< ა< 1, то ა α- რიცხვზე მეტი ა რ კდა ნაკლები ვიდრე ა რ ი;
გ) თუ ა= 1, შემდეგ α = 1.
2. თუ $$\alpha=0$$, მაშინ α = 1.
3. თუ $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
ნომერი ა αეწოდება ხარისხი, რიცხვი a არის ხარისხის საფუძველი, რიცხვი α
- ექსპონენტი.
დადებითი რიცხვის ხარისხს რეალური მაჩვენებლით აქვს იგივე თვისებები, რაც რაციონალური მაჩვენებლის ხარისხს.
მაგალითი 1.4.3.გამოთვალეთ $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
გამოსავალი.მოდით გამოვიყენოთ root თვისება:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
უპასუხე. 6.
მაგალითი 1.4.4.გამოთვალეთ $6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
მაგრამ ეს წილადები ყოველთვის პერიოდულია? ამ კითხვაზე პასუხი უარყოფითია: არის სეგმენტები, რომელთა სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს უსასრულო პერიოდული წილადით (ანუ დადებითი რაციონალური რიცხვით) სიგრძის არჩეული ერთეულით. ეს იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი აღმოჩენა მათემატიკაში, საიდანაც მოჰყვა, რომ რაციონალური რიცხვები არ არის საკმარისი სეგმენტების სიგრძის გასაზომად.
თუ სიგრძის ერთეული არის კვადრატის გვერდის სიგრძე, მაშინ ამ კვადრატის დიაგონალის სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს დადებითი რაციონალური რიცხვით.
ამ დებულებიდან გამომდინარეობს, რომ არის სეგმენტები, რომელთა სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს დადებითი რიცხვით (სიგრძის არჩეული ერთეულით), ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩაიწეროს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადი. ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტების სიგრძის გაზომვით მიღებული უსასრულო ათობითი წილადები შეიძლება იყოს არაპერიოდული.
ითვლება, რომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები არის ახალი რიცხვების ჩანაწერი - დადებითი ირაციონალური რიცხვები.ვინაიდან რიცხვისა და მისი აღნიშვნის ცნებები ხშირად იდენტიფიცირებულია, ისინი ამბობენ, რომ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები დადებითი ირაციონალური რიცხვებია.
დადებითი ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება სიმბოლოთი J+.
რიცხვთა ორი სიმრავლის გაერთიანებას: დადებითი რაციონალური და დადებითი ირაციონალური ეწოდება დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლეს და აღინიშნება R+ სიმბოლოთი.
ნებისმიერი დადებითი რეალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო ათობითი წილადით - პერიოდული (თუ რაციონალურია) ან არაპერიოდული (თუ ირაციონალურია).
დადებით რეალურ რიცხვებზე მოქმედებები მცირდება დადებით რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებებამდე. ამასთან დაკავშირებით, თითოეული დადებითი რეალური რიცხვისთვის, მისი სავარაუდო მნიშვნელობები შემოღებულია დეფიციტისა და სიჭარბის თვალსაზრისით.
მიეცით ორი დადებითი რეალური რიცხვი ადა ბ, ანდა ბნ- მათი დაახლოების მიხედვით დეფიციტის თვალსაზრისით, a¢nდა ბ¢nარის მათი მიახლოებები ჭარბი.
რეალური რიცხვების ჯამი ადა ბ ა+ ბ ნაკმაყოფილებს უთანასწორობას ან+ ბნ ≤ ა + ბ< a¢n + ბ¢n.
რეალური რიცხვების ნამრავლი ადა ბასეთ ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ ა× ბ, რომელიც ნებისმიერი ბუნებრივი ნაკმაყოფილებს უთანასწორობას ან× ბნ ≤
ა ბ
დადებითი რეალური რიცხვების სხვაობა ადა ბასეთ ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ თან, რა ა= ბ + გ.
დადებითი რეალური რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბასეთ ნამდვილ რიცხვს უწოდებენ თან, რა ა= b × s.
დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლის გაერთიანება უარყოფითი რეალური რიცხვების სიმრავლესთან და ნულთან არის ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე.
რეალური რიცხვების შედარება და მათზე მოქმედებები ხორციელდება სასკოლო მათემატიკის კურსიდან ცნობილი წესებით.
პრობლემა 60.იპოვეთ ჯამის პირველი სამი ათობითი ადგილი 0,333… + 1,57079…
გამოსავალი.ავიღოთ ტერმინების ათწილადი მიახლოებები ოთხი ათწილადით:
0,3333 < 0,3333… < 0,3334
1,5707 < 1,57079… < 1,5708.
დამატება: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.
აქედან გამომდინარე, 0.333… + 1.57079…= 1.904…
ამოცანა 61.იპოვეთ პროდუქტის პირველი ორი ათობითი ადგილი a x b, თუ ა= 1.703604… და ბ = 2,04537…
გამოსავალი.ჩვენ ვიღებთ ამ რიცხვების ათწილადის მიახლოებას სამი ათწილადით:
1,703 < ა <1,704 и 2,045 < ბ < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:
1.703 × 2.045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ აბ < 3,486.
Ამგვარად, a x b= 3,48…
სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
1. ირაციონალური რიცხვის π = 3,1415 ... ათწილადი მიახლოებები ჩაწერეთ დეფიციტისა და სიჭარბის მიხედვით, სიზუსტით:
ა) 0,1; ბ) 0,01; გ) 0,001.
2. იპოვეთ ჯამის პირველი სამი ათობითი ადგილი ა+ ბ, თუ:
ა) ა = 2,34871…, ბ= 5.63724…; ბ) ა = , ბ= π; in) ა = ; ბ= ; გ) ა = ; ბ = .
