ამ სერვისით შეგიძლიათ იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობაერთი ცვლადი f(x) Word-ში ამოხსნის დიზაინით. თუ მოცემულია f(x,y) ფუნქცია, მაშასადამე, აუცილებელია ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის პოვნა. ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

y=

სეგმენტზე [ ;]

ჩართეთ თეორია

ფუნქციის შესვლის წესები:

ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა

განტოლება f "0 (x *) \u003d 0 არის აუცილებელი პირობა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის, ანუ x * წერტილში ფუნქციის პირველი წარმოებული უნდა გაქრეს. ის ირჩევს სტაციონარულ წერტილებს x c, რომლებზეც ფუნქცია. არ იზრდება და არ მცირდება.

საკმარისი პირობა ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის

მოდით f 0 (x) ორჯერ დიფერენცირებადი იყოს x-ის მიმართ, რომელიც მიეკუთვნება D სიმრავლეს. თუ x * წერტილში პირობა დაკმაყოფილებულია:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

მაშინ წერტილი x * არის ფუნქციის ლოკალური (გლობალური) მინიმუმის წერტილი.

თუ x * წერტილში პირობა დაკმაყოფილებულია:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

ეს წერტილი x * არის ადგილობრივი (გლობალური) მაქსიმუმი.

მაგალითი #1. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები: სეგმენტზე.
გადაწყვეტილება.

კრიტიკული წერტილი არის ერთი x 1 = 2 (f'(x)=0). ეს წერტილი მიეკუთვნება სეგმენტს. (პუნქტი x=0 არ არის კრიტიკული, რადგან 0∉).
ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და კრიტიკულ წერტილში.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
პასუხი: f min = 5 / 2 x=2-ისთვის; f max =9 x=1-ზე

მაგალითი #2. უმაღლესი რიგის წარმოებულების გამოყენებით იპოვეთ y=x-2sin(x) ფუნქციის უკიდურესი.
გადაწყვეტილება.
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y’=1-2cos(x) . ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. ვპოულობთ y''=2sin(x), გამოვთვალოთ , ამიტომ x= π / 3 +2πk, k∈Z არის ფუნქციის მინიმალური წერტილები; , ამიტომ x=- π / 3 +2πk, k∈Z არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილები.

მაგალითი #3. გამოიკვლიეთ ექსტრემალური ფუნქცია x=0 წერტილის სიახლოვეს.
გადაწყვეტილება. აქ აუცილებელია ფუნქციის ექსტრემის პოვნა. თუ უკიდურესი x=0, მაშინ გაარკვიეთ მისი ტიპი (მინიმუმი ან მაქსიმალური). თუ აღმოჩენილ წერტილებს შორის არ არის x = 0, მაშინ გამოთვალეთ f(x=0) ფუნქციის მნიშვნელობა.
უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც მოცემული წერტილის თითოეულ მხარეს წარმოებული არ ცვლის თავის ნიშანს, შესაძლო სიტუაციები არ ამოიწურება დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვისაც კი: შეიძლება მოხდეს, რომ თვითნებურად მცირე სამეზობლოსთვის x 0 წერტილის ერთ მხარეს ან ორივე მხარეს წარმოებული ცვლის ნიშანს. ამ მომენტებში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა მეთოდები ექსტრემის ფუნქციების შესასწავლად.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე საინტერესოა წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად. რასთან არის დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, ხარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის განსაზღვრა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში უნდა გადაჭრას ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ მოიძებნება X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან დომენის ნაწილი. X ინტერვალი თავისთავად შეიძლება იყოს ხაზის სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი .

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) აშკარად მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა - განმარტებები, ილუსტრაციები.

მოდით მოკლედ ვისაუბროთ მთავარ განმარტებებზე.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა y=f(x) X ინტერვალზე ასეთ მნიშვნელობას უწოდებენ , რომელიც ნებისმიერისთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია აბსცისთან განხილულ ინტერვალში.

სტაციონარული წერტილებიარის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებზეც ქრება ფუნქციის წარმოებული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის მაქსიმალურ (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთ ფუნქციას უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე შეუძლია მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევებში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს - და ბევრი რამ გახდება ნათელი.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარული წერტილების სეგმენტის შიგნით [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევა. შეცვალეთ სეგმენტი . ამ მაგალითში, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო უდიდესი - აბსცისის მქონე წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

მე-3 სურათზე [-3; 2] სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების აბსციები.

ღია დიაპაზონში

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სტაციონარულ წერტილებში ღია ინტერვალის ფარგლებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში ნაჩვენები მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y ) სტაციონარული წერტილით აბსცისით x=1 , ხოლო უმცირესი მნიშვნელობა (min y ) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. როგორც x=2 მიდრეკილია მარჯვნივ, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (სწორი ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. . ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათზე 8.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი.

ჩვენ ვწერთ ალგორითმს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე.

1. ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს და ვამოწმებთ შეიცავს თუ არა ის მთელ სეგმენტს.
2. ჩვენ ვპოულობთ ყველა წერტილს, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს და რომლებიც შეიცავს სეგმენტს (ჩვეულებრივ, ასეთი წერტილები გვხვდება ფუნქციებში არგუმენტით მოდულის ნიშნის ქვეშ და სიმძლავრის ფუნქციებში წილად-რაციონალური მაჩვენებლით). თუ ასეთი პუნქტები არ არის, გადადით შემდეგ პუნქტზე.
3. ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველა სტაციონალურ წერტილს, რომელიც მოხვდება სეგმენტში. ამისთვის ვატოლებთ მას ნულს, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვირჩევთ შესაბამის ფესვებს. თუ არ არის სტაციონარული წერტილები ან არცერთი მათგანი არ მოხვდება სეგმენტში, გადადით შემდეგ ეტაპზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს შერჩეულ სტაციონალურ წერტილებზე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), იმ წერტილებში, სადაც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ასევე x=a და x=b ზე.
5. ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებიდან ვირჩევთ უდიდეს და უმცირესს - ისინი იქნება ფუნქციის სასურველი მაქსიმალური და უმცირესი მნიშვნელობები, შესაბამისად.

მოდით გავაანალიზოთ ალგორითმი სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის მაგალითის ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• ინტერვალზე [-4;-1].

გადაწყვეტილება.

ფუნქციის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ . ორივე სეგმენტი განეკუთვნება განმარტების სფეროს.

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

სტაციონარული წერტილები განისაზღვრება განტოლებიდან. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1 ზე და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

პრაქტიკაში საკმაოდ გავრცელებულია წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის გამოსათვლელად. ჩვენ ვასრულებთ ამ მოქმედებას, როდესაც გავარკვევთ, თუ როგორ უნდა შევამციროთ ხარჯები, გავზარდოთ მოგება, გამოვთვალოთ წარმოებაზე ოპტიმალური დატვირთვა და ა.შ., ანუ იმ შემთხვევებში, როდესაც აუცილებელია პარამეტრის ოპტიმალური მნიშვნელობის დადგენა. ასეთი პრობლემების სწორად გადასაჭრელად, თქვენ კარგად უნდა გესმოდეთ, რა არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ჩვეულებრივ, ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ მნიშვნელობებს რაღაც x ინტერვალში, რაც თავის მხრივ შეიძლება შეესაბამებოდეს ფუნქციის მთელ ფარგლებს ან მის ნაწილს. ეს შეიძლება იყოს სეგმენტი [a; b ] , და ღია ინტერვალი (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , უსასრულო ინტერვალი (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) ან უსასრულო ინტერვალი - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

ამ სტატიაში ჩვენ აღვწერთ, თუ როგორ გამოითვლება აშკარად მოცემული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ერთი ცვლადით y=f(x) y = f (x).

ძირითადი განმარტებები

ჩვენ ვიწყებთ, როგორც ყოველთვის, ძირითადი განმარტებების ფორმულირებით.

განმარტება 1

y = f (x) ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ზოგიერთ x ინტერვალზე არის მნიშვნელობა m a x y = f (x 0) x ∈ X , რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x x ∈ X , x ≠ x 0, ქმნის უტოლობას f (x ) ≤ f (x 0) .

განმარტება 2

y = f (x) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ზოგიერთ x ინტერვალზე არის მნიშვნელობა m i n x ∈ X y = f (x 0) , რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x ∈ X , x ≠ x 0, ქმნის უტოლობას f(X f (x) ≥ f(x0) .

ეს განმარტებები საკმაოდ აშკარაა. ამის თქმა კიდევ უფრო მარტივი შეიძლება იყოს: ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არის მისი უდიდესი მნიშვნელობა ცნობილ ინტერვალში აბსციზა x 0-ზე და ყველაზე პატარა არის ყველაზე პატარა მიღებული მნიშვნელობა იმავე ინტერვალში x 0-ზე.

განმარტება 3

სტაციონარული წერტილები არის ფუნქციის არგუმენტის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებშიც მისი წარმოებული ხდება 0.

რატომ უნდა ვიცოდეთ რა არის სტაციონარული წერტილები? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად უნდა გავიხსენოთ ფერმას თეორემა. აქედან გამომდინარეობს, რომ სტაციონარული წერტილი არის წერტილი, სადაც განლაგებულია დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესი (ანუ მისი ადგილობრივი მინიმალური ან მაქსიმუმი). შესაბამისად, ფუნქცია მიიღებს უმცირეს ან უდიდეს მნიშვნელობას გარკვეულ ინტერვალზე ზუსტად ერთ სტაციონარულ წერტილში.

სხვა ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობა იმ წერტილებში, სადაც თავად ფუნქცია განსაზღვრულია და მისი პირველი წარმოებული არ არსებობს.

პირველი კითხვა, რომელიც ჩნდება ამ თემის შესწავლისას, არის: ყველა შემთხვევაში შეგვიძლია თუ არა მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობის განსაზღვრა? არა, ჩვენ არ შეგვიძლია ამის გაკეთება, როდესაც მოცემული ინტერვალის საზღვრები დაემთხვევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებს, ან თუ საქმე გვაქვს უსასრულო ინტერვალთან. ასევე ხდება, რომ ფუნქცია მოცემულ ინტერვალში ან უსასრულობაში მიიღებს უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდ მნიშვნელობებს. ამ შემთხვევებში შეუძლებელია ყველაზე დიდი და/ან უმცირესი მნიშვნელობის დადგენა.

ეს მომენტები უფრო გასაგები გახდება გრაფიკებზე გამოსახულების შემდეგ:

პირველი ფიგურა გვიჩვენებს ფუნქციას, რომელიც იღებს უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს (m a x y და m i n y) ინტერვალზე მდებარე სტაციონარულ წერტილებში [-6; 6].

მოდით დეტალურად განვიხილოთ მეორე გრაფიკში მითითებული შემთხვევა. შევცვალოთ სეგმენტის მნიშვნელობა [1; 6] და მივიღებთ, რომ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა იმ წერტილში, სადაც აბსციზა მდებარეობს ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე, ხოლო უმცირესი - სტაციონარულ წერტილში.

მესამე ფიგურაში წერტილების აბსციები წარმოადგენს სეგმენტის სასაზღვრო წერტილებს [-3; 2]. ისინი შეესაბამება მოცემული ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობას.

ახლა გადავხედოთ მეოთხე სურათს. მასში ფუნქცია იღებს m a x y (ყველაზე დიდი მნიშვნელობა) და m i n y (უმცირესი მნიშვნელობა) სტაციონარული წერტილების ღია ინტერვალში (- 6 ; 6) .

თუ ავიღებთ ინტერვალს [1; 6), მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მასზე არსებული ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში. ჩვენ არ ვიცით მაქსიმალური მნიშვნელობა. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უდიდესი მნიშვნელობა x-ზე, რომელიც უდრის 6-ს, თუ x = 6 ეკუთვნოდა ინტერვალს. სწორედ ეს შემთხვევაა ნაჩვენები სურათზე 5.

მე-6 დიაგრამაზე ეს ფუნქცია იძენს უმცირეს მნიშვნელობას ინტერვალის მარჯვენა საზღვრებში (- 3 ; 2 ] , და ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვიტანოთ გარკვეული დასკვნები უდიდეს მნიშვნელობაზე.

მე-7 სურათზე ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციას ექნება m a x y სტაციონარულ წერტილში, რომელსაც აქვს აბსცისა 1-ის ტოლი. ფუნქცია აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას ინტერვალის საზღვარზე მარჯვენა მხარეს. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად მიუახლოვდება y = 3-ს.

თუ ავიღებთ x ∈ 2 ინტერვალს; + ∞ , მაშინ დავინახავთ, რომ მოცემული ფუნქცია არ მიიღებს მას არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. თუ x მიდრეკილია 2-მდე, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობები მიისწრაფვის მინუს უსასრულობამდე, რადგან სწორი ხაზი x = 2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი. თუ აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად მიუახლოვდება y = 3. ეს არის შემთხვევა, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 8.

ამ აბზაცში მივცემთ მოქმედებების თანმიმდევრობას, რომელიც უნდა შესრულდეს გარკვეული ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად.

1. ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის დომენი. მოდით შევამოწმოთ, შედის თუ არა მასში პირობითში მითითებული სეგმენტი.
2. ახლა გამოვთვალოთ ამ სეგმენტში შემავალი წერტილები, რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს. ყველაზე ხშირად, ისინი გვხვდება ფუნქციებში, რომელთა არგუმენტი იწერება მოდულის ნიშნის ქვეშ, ან სიმძლავრის ფუნქციებში, რომელთა მაჩვენებელი არის წილადი რაციონალური რიცხვი.
3. შემდეგი, ჩვენ გავარკვიეთ, რომელი სტაციონარული წერტილები ხვდება მოცემულ სეგმენტში. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ გაათანაბროთ იგი 0-მდე და ამოხსნათ მიღებული განტოლება, შემდეგ კი აირჩიოთ შესაბამისი ფესვები. თუ ჩვენ არ მივიღებთ ერთ სტაციონალურ წერტილს ან ისინი არ მოხვდება მოცემულ სეგმენტში, მაშინ გადავდივართ შემდეგ ეტაპზე.
4. მოდით განვსაზღვროთ რა მნიშვნელობებს მიიღებს ფუნქცია მოცემულ სტაციონალურ წერტილებში (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ან იმ წერტილებში, სადაც პირველი წარმოებული არ არსებობს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში), ან გამოვთვალოთ მნიშვნელობები x = a და x-ისთვის. = ბ .
5. 5. გვაქვს ფუნქციის მნიშვნელობების სერია, საიდანაც ახლა უნდა ავირჩიოთ ყველაზე დიდი და პატარა. ეს იქნება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, რომელიც უნდა ვიპოვოთ.

ვნახოთ, როგორ გამოვიყენოთ ეს ალგორითმი სწორად პრობლემების გადაჭრისას.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:მოცემულია ფუნქცია y = x 3 + 4 x 2. განსაზღვრეთ მისი უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტებზე [1; 4 ] და [ - 4 ; - ერთი ] .

გადაწყვეტილება:

დავიწყოთ ამ ფუნქციის დომენის მოძიებით. ამ შემთხვევაში, ეს იქნება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა 0-ისა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . მდგომარეობაში მითითებული ორივე სეგმენტი იქნება განსაზღვრების არეალის შიგნით.

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის წარმოებულს წილადის დიფერენცირების წესის მიხედვით:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

გავიგეთ, რომ ფუნქციის წარმოებული იარსებებს სეგმენტების ყველა წერტილში [1; 4 ] და [ - 4 ; - ერთი ] .

ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ფუნქციის სტაციონარული წერტილები. მოდით გავაკეთოთ ეს განტოლებით x 3 - 8 x 3 = 0. მას აქვს მხოლოდ ერთი რეალური ფესვი, რომელიც არის 2. ეს იქნება ფუნქციის სტაციონარული წერტილი და მოხვდება პირველ სეგმენტში [1; 4 ] .

გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები პირველი სეგმენტის ბოლოებში და მოცემულ წერტილში, ე.ი. x = 1-ისთვის, x = 2 და x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

მივიღეთ, რომ m a x y x ∈ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა [1; 4 ] = y (2) = 3 მიიღწევა x = 1-ზე და ყველაზე პატარა m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2-ზე.

მეორე სეგმენტი არ შეიცავს სტაციონარულ წერტილებს, ამიტომ ფუნქციის მნიშვნელობები უნდა გამოვთვალოთ მხოლოდ მოცემული სეგმენტის ბოლოებზე:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

აქედან გამომდინარე, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

პასუხი:სეგმენტისთვის [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, სეგმენტისთვის [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

იხილეთ სურათი:

სანამ ამ მეთოდს ისწავლით, გირჩევთ გადახედოთ როგორ სწორად გამოვთვალოთ ცალმხრივი ლიმიტი და ლიმიტი უსასრულობაში, ასევე ისწავლოთ მათი პოვნის ძირითადი მეთოდები. ღია ან უსასრულო ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და/ან უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ ნაბიჯებს თანმიმდევრობით.

1. ჯერ უნდა შეამოწმოთ, იქნება თუ არა მოცემული ინტერვალი მოცემული ფუნქციის დომენის ქვესიმრავლე.
2. მოდით განვსაზღვროთ ყველა ის წერტილი, რომელიც შეიცავს საჭირო ინტერვალს და რომლებშიც პირველი წარმოებული არ არსებობს. ჩვეულებრივ, ისინი წარმოიქმნება ფუნქციებში, სადაც არგუმენტი ჩასმულია მოდულის ნიშანში და სიმძლავრის ფუნქციებში წილადი რაციონალური მაჩვენებლით. თუ ეს პუნქტები აკლია, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ ეტაპზე.
3. ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომელი სტაციონარული წერტილები მოხვდება მოცემულ ინტერვალში. პირველ რიგში, წარმოებულს ვატოლებთ 0-ს, ვხსნით განტოლებას და ვპოულობთ შესაფერის ფესვებს. თუ ჩვენ არ გვაქვს ერთი სტაციონარული წერტილი ან ისინი არ მოხვდება მითითებულ ინტერვალში, მაშინვე ვაგრძელებთ შემდგომ მოქმედებებს. ისინი განისაზღვრება ინტერვალის ტიპის მიხედვით.

• თუ ინტერვალი ჰგავს [a; ბ) , მაშინ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x = a წერტილში და ცალმხრივი ზღვარი lim x → b - 0 f (x) .
• თუ ინტერვალს აქვს ფორმა (a ; b ] , მაშინ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x = b წერტილში და ცალმხრივი ზღვარი lim x → a + 0 f (x) .
• თუ ინტერვალს აქვს ფორმა (a ; b), მაშინ უნდა გამოვთვალოთ ცალმხრივი ზღვრები lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• თუ ინტერვალი ჰგავს [a; + ∞) , მაშინ საჭიროა გამოვთვალოთ მნიშვნელობა x = a წერტილში და ზღვარი პლუს უსასრულობის lim x → + ∞ f (x) .
• თუ ინტერვალი ჰგავს (- ∞ ; b ] , ჩვენ ვიანგარიშებთ მნიშვნელობას x = b წერტილში და ზღვარს მინუს უსასრულობაზე lim x → - ∞ f (x) .
• თუ - ∞ ; b , მაშინ განვიხილავთ ცალმხრივ ზღვარს lim x → b - 0 f (x) და ზღვარს მინუს უსასრულობაზე lim x → - ∞ f (x)
• თუ - ∞ ; + ∞ , მაშინ განვიხილავთ ზღვრებს მინუს და პლუს უსასრულობის lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. დასასრულს, თქვენ უნდა გამოიტანოთ დასკვნა ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობებისა და ლიმიტების საფუძველზე. აქ ბევრი ვარიანტია. ასე რომ, თუ ცალმხრივი ზღვარი უდრის მინუს უსასრულობას ან პლუს უსასრულობას, მაშინვე ნათელია, რომ არაფერი შეიძლება ითქვას ფუნქციის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობაზე. ქვემოთ განვიხილავთ ერთ ტიპურ მაგალითს. დეტალური აღწერა დაგეხმარებათ გაიგოთ რა არის. საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ 4 - 8 ფიგურებს მასალის პირველ ნაწილში.

მაგალითი 2

მდგომარეობა: მოცემულია ფუნქცია y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . გამოთვალეთ მისი უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალებში - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; +∞).

გადაწყვეტილება

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის დომენს. წილადის მნიშვნელი არის კვადრატული ტრინომი, რომელიც არ უნდა წავიდეს 0-მდე:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის ფარგლები, რომელსაც განეკუთვნება პირობითში მითითებული ყველა ინტერვალი.

ახლა განვასხვავოთ ფუნქცია და მივიღოთ:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

შესაბამისად, ფუნქციის წარმოებულები არსებობს მისი განმარტების მთელ დომენზე.

მოდით გადავიდეთ სტაციონარული წერტილების პოვნაზე. ფუნქციის წარმოებული ხდება 0 x = - 1 2-ზე. ეს არის სტაციონარული წერტილი, რომელიც არის ინტერვალებში (- 3 ; 1 ] და (- 3 ; 2) .

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x = - 4 ინტერვალისთვის (- ∞ ; - 4 ] , ასევე ლიმიტი მინუს უსასრულობაზე:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

ვინაიდან 3 e 1 6 - 4 > - 1 , მაშინ m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. ეს არ გვაძლევს საშუალებას ცალსახად განვსაზღვროთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა. შეგვიძლია მხოლოდ დავასკვნათ, რომ არის ლიმიტი - 1-ის ქვემოთ, რადგან სწორედ ამ მნიშვნელობას უახლოვდება ფუნქცია ასიმპტომურად მინუს უსასრულობაზე.

მეორე ინტერვალის თავისებურება ის არის, რომ მას არ აქვს ერთი სტაციონარული წერტილი და არც ერთი მკაცრი საზღვარი. ამიტომ, ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ფუნქციის არც უდიდესი და არც უმცირესი მნიშვნელობა. მინუს უსასრულობაზე ლიმიტის განსაზღვრით და არგუმენტის მიდრეკილებით - 3-ის მარცხენა მხარეს, ჩვენ ვიღებთ მხოლოდ მნიშვნელობების დიაპაზონს:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები განთავსდება ინტერვალში - 1; +∞

მესამე ინტერვალში ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობის საპოვნელად ვადგენთ მის მნიშვნელობას სტაციონარულ წერტილში x = - 1 2 თუ x = 1 . ჩვენ ასევე უნდა ვიცოდეთ ცალმხრივი ლიმიტი იმ შემთხვევისთვის, როდესაც არგუმენტი მიდრეკილია - 3 მარჯვენა მხარეს:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

აღმოჩნდა, რომ ფუნქცია მიიღებს უდიდეს მნიშვნელობას სტაციონარულ წერტილში m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. რაც შეეხება უმცირეს მნიშვნელობას, მას ვერ განვსაზღვრავთ. ვიცი, არის ქვედა ზღვარის არსებობა -4-მდე.

ინტერვალისთვის (- 3 ; 2) ავიღოთ წინა გამოთვლის შედეგები და კიდევ ერთხელ გამოვთვალოთ, თუ რის ტოლია ცალმხრივი ზღვარი, როდესაც მარცხენა მხრიდან 2-ზე მიდრეკილია:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

მაშასადამე, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, და უმცირესი მნიშვნელობის დადგენა შეუძლებელია და ფუნქციის მნიშვნელობები ქვემოდან შემოსაზღვრულია რიცხვით - 4 .

იმის საფუძველზე, რაც გავაკეთეთ ორ წინა გამოთვლებში, შეგვიძლია ვამტკიცებთ, რომ ინტერვალზე [1; 2) ფუნქცია მიიღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას x = 1-ზე და შეუძლებელია უმცირესის პოვნა.

ინტერვალზე (2; + ∞) ფუნქცია არ მიაღწევს არც უდიდეს და არც უმცირეს მნიშვნელობას, ე.ი. ის მიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალიდან - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

როდესაც გამოვთვალეთ რისი ტოლი იქნება ფუნქციის მნიშვნელობა x = 4-ზე, აღმოვაჩენთ, რომ m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 და მოცემული ფუნქცია პლუს უსასრულობაზე ასიმპტომურად მიუახლოვდება y = - 1 წრფეს.

შევადაროთ რა მივიღეთ თითოეულ გამოთვლაში მოცემული ფუნქციის გრაფიკს. ნახატზე ასიმპტოტები ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზებით.

სულ ეს არის ის, რაც გვინდოდა ვისაუბროთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის პოვნაზე. ჩვენ მიერ მოწოდებული მოქმედებების თანმიმდევრობა დაგეხმარებათ გააკეთოთ საჭირო გამოთვლები რაც შეიძლება სწრაფად და მარტივად. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ხშირად სასარგებლოა ჯერ იმის გარკვევა, თუ რა ინტერვალებით შემცირდება ფუნქცია და რა ინტერვალებით გაიზრდება, რის შემდეგაც შესაძლებელია შემდგომი დასკვნების გაკეთება. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ უფრო ზუსტად განსაზღვროთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა და დაასაბუთოთ შედეგები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ხშირად ფიზიკასა და მათემატიკაში საჭიროა ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის პოვნა. როგორ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ ახლა გეტყვით.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა: ინსტრუქცია

1. მოცემულ ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაიცვას ეს ალგორითმი:
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
3. იპოვეთ მოცემულ სეგმენტზე ის წერტილები, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულისა, ისევე როგორც ყველა კრიტიკული წერტილი. შემდეგ გაარკვიეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში, ანუ ამოხსენით განტოლება, სადაც x უდრის ნულს. გაარკვიეთ, რომელი მნიშვნელობებია ყველაზე პატარა.
4. გაარკვიეთ რა მნიშვნელობა აქვს ფუნქციას ბოლო წერტილებში. განსაზღვრეთ ამ წერტილებში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა.
5. შეადარეთ მიღებული მონაცემები ყველაზე მცირე მნიშვნელობით. მიღებული რიცხვებიდან უფრო მცირე იქნება ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა.

გაითვალისწინეთ, რომ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქციას სეგმენტზე არ აქვს ყველაზე პატარა წერტილები, ეს ნიშნავს, რომ ის იზრდება ან მცირდება ამ სეგმენტზე. ამიტომ, უმცირესი მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს ფუნქციის სასრულ სეგმენტებზე.

ყველა სხვა შემთხვევაში ფუნქციის მნიშვნელობა გამოითვლება მოცემული ალგორითმის მიხედვით. ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე დაგჭირდებათ მარტივი წრფივი განტოლების ამოხსნა ერთი ფესვით. ამოხსენით განტოლება ნახაზის გამოყენებით შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ნახევრად ღია სეგმენტზე? ფუნქციის ნახევრად ღია ან ღია პერიოდში, ყველაზე მცირე მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს შემდეგნაირად. ფუნქციის მნიშვნელობის ბოლო წერტილებში გამოთვალეთ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვარი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოხსენით განტოლება, რომელშიც ტენდენციური წერტილები მოცემულია a+0 და b+0 მნიშვნელობებით, სადაც a და b არის კრიტიკული წერტილების სახელები.

ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. მთავარია ყველა გამოთვლა სწორად, ზუსტად და უშეცდომოდ გავაკეთოთ.

დაუშვით ფუნქცია y=ვ(X)უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ]. როგორც ცნობილია, ასეთი ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ამ სეგმენტზე. ფუნქციას შეუძლია მიიღოს ეს მნიშვნელობები სეგმენტის შიდა წერტილში [ ა, ბ], ან სეგმენტის საზღვარზე.

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად [ ა, ბ] აუცილებელი:

1) იპოვნეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები ინტერვალში ( ა, ბ);

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნი კრიტიკულ წერტილებში;

3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში, ანუ ამისთვის x=ადა x = ბ;

4) ფუნქციის ყველა გამოთვლილი მნიშვნელობიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი.იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

სეგმენტზე.

კრიტიკული წერტილების პოვნა:

ეს წერტილები დევს სეგმენტის შიგნით; წ(1) = ‒ 3; წ(2) = ‒ 4; წ(0) = ‒ 8; წ(3) = 1;

წერტილში x= 3 და წერტილში x= 0.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის ფუნქციის გამოკვლევა.

ფუნქცია წ = ვ (x) დაურეკა ამოზნექილიშორის (ა, ბ) , თუ მისი გრაფიკი დევს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში დახატული ტანგენტის ქვეშ და ე.წ ამოზნექილი ქვემოთ (ჩაზნექილი)თუ მისი გრაფიკი ტანგენსზე მაღლა დგას.

გადასვლის წერტილს, რომლის მეშვეობითაც ამოზნექილი ჩაზნექილი იცვლება ან პირიქით, ე.წ. დახრის წერტილი.

ამოზნექილობისა და დახრის წერტილის შესწავლის ალგორითმი:

1. იპოვეთ მეორე სახის კრიტიკული წერტილები, ანუ ის წერტილები, რომლებშიც მეორე წარმოებული ტოლია ან არ არსებობს.

2. დააყენეთ კრიტიკული წერტილები რიცხვით წრფეზე, დაყავით იგი ინტერვალებად. იპოვეთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე; თუ , მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ, თუ, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით.

3. თუ მეორე სახის კრიტიკულ წერტილში გავლისას ის იცვლის ნიშანს და ამ დროს მეორე წარმოებული ნულის ტოლია, მაშინ ეს წერტილი არის დახრის წერტილის აბსცისა. იპოვეთ მისი ორდინატი.

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. ფუნქციის გამოკვლევა ასიმპტოტებად.

განმარტება.ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი ეწოდება სწორი, რომელსაც აქვს ის თვისება, რომ დიაგრამის ნებისმიერი წერტილიდან ამ წრფემდე მანძილი ნულისკენ მიისწრაფვის გრაფის წერტილის საწყისიდან შეუზღუდავი ამოღებით.

არსებობს სამი სახის ასიმპტოტები: ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და დახრილი.

განმარტება.დაურეკა პირდაპირ ვერტიკალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)თუ ამ მომენტში ფუნქციის ცალმხრივი ზღვარი მაინც უდრის უსასრულობას, ეს არის

სად არის ფუნქციის უწყვეტობის წერტილი, ანუ ის არ განეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს.

მაგალითი.

დ( წ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - წყვეტის წერტილი.

განმარტება.პირდაპირ y=ადაურეკა ჰორიზონტალური ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)ზე, თუ

მაგალითი.

x
წ

განმარტება.პირდაპირ y=კx +ბ (კ≠ 0) ეწოდება ირიბი ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი y = f(x)სად

ფუნქციების შესწავლისა და შედგენის ზოგადი სქემა.

ფუნქციების კვლევის ალგორითმიy = f(x) :

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი დ (წ).

2. იპოვნეთ (თუ შესაძლებელია) გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან (ერთად x= 0 და ზე წ = 0).

3. გამოიკვლიეთ ლუწი და კენტი ფუნქციები ( წ (‒ x) = წ (x) ‒ პარიტეტი; წ(‒ x) = ‒ წ (x) ‒ კენტი).

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

5. იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები.

6. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

7. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის (ჩაზნექის) და გადახრის წერტილების ინტერვალები.

8. ჩატარებული კვლევის საფუძველზე ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი.გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

1) დ (წ) =

x= 4 - წყვეტის წერტილი.

2) როდის x = 0,

(0; – 5) – გადაკვეთის წერტილი ოი.

ზე წ = 0,

3) წ(‒ x)= ზოგადი ფუნქცია (არც ლუწი და არც კენტი).

4) ჩვენ ვიკვლევთ ასიმპტოტებს.

ა) ვერტიკალური

ბ) ჰორიზონტალური

გ) იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტები სად

‒ირიბი ასიმპტოტის განტოლება

5) ამ განტოლებაში არ არის საჭირო ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნა.

6)

ეს კრიტიკული წერტილები ანაწილებენ ფუნქციის მთელ დომენს ინტერვალზე (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) და (10; +∞). მოსახერხებელია მიღებული შედეგების წარმოდგენა შემდეგი ცხრილის სახით.