წრე არის დახურული მრუდი, რომლის ყველა წერტილი ცენტრიდან ერთსა და იმავე მანძილზეა. ეს მაჩვენებელი ბრტყელია. მაშასადამე, პრობლემის გადაწყვეტა, რომლის კითხვაც არის თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ წრის გარშემოწერილობა, საკმაოდ მარტივია. ყველა შესაძლო მეთოდს განვიხილავთ დღევანდელ სტატიაში.

ფიგურების აღწერილობები

საკმაოდ მარტივი აღწერილობითი განმარტების გარდა, არსებობს წრის კიდევ სამი მათემატიკური მახასიათებელი, რომლებიც თავისთავად შეიცავს პასუხს კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ წრის გარშემოწერილობა:

• შედგება A და B წერტილებისგან და ყველა დანარჩენისგან, საიდანაც AB ჩანს სწორი კუთხით. ამ ფიგურის დიამეტრი უდრის განხილული სეგმენტის სიგრძეს.
• მოიცავს მხოლოდ X წერტილებს, რომ თანაფარდობა AX/BX იყოს მუდმივი და არა ტოლი ერთი. თუ ეს პირობა არ არის დაცული, მაშინ ეს არ არის წრე.
• იგი შედგება წერტილებისგან, რომელთაგან თითოეულისთვის მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა: დანარჩენ ორამდე კვადრატული მანძილების ჯამი არის მოცემული მნიშვნელობა, რომელიც ყოველთვის მეტია მათ შორის სეგმენტის სიგრძის ნახევარზე.

ტერმინოლოგია

სკოლაში ყველას არ ჰყავდა კარგი მათემატიკის მასწავლებელი. ამიტომ, პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ წრის გარშემოწერილობა, კიდევ უფრო ართულებს იმ ფაქტს, რომ ყველამ არ იცის ძირითადი გეომეტრიული ცნებები. რადიუსი - სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფიგურის ცენტრს მრუდის წერტილთან. ტრიგონომეტრიაში განსაკუთრებული შემთხვევაა ერთეული წრე. აკორდი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მრუდის ორ წერტილს. მაგალითად, უკვე განხილული AB მიეკუთვნება ამ განმარტებას. დიამეტრი არის აკორდი, რომელიც გადის ცენტრში. რიცხვი π უდრის ერთეული ნახევარწრის სიგრძეს.

ძირითადი ფორმულები

გეომეტრიული ფორმულები პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებებიდან, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ წრის ძირითადი მახასიათებლები:

1. სიგრძე უდრის π რიცხვისა და დიამეტრის ნამრავლს. ფორმულა ჩვეულებრივ იწერება შემდეგნაირად: C = π*D.
2. რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი. ის ასევე შეიძლება გამოითვალოს წრეწირის გაყოფის კოეფიციენტის π რიცხვის ორჯერ გაანგარიშებით. ფორმულა ასე გამოიყურება: R = C/(2* π) = D/2.
3. დიამეტრი უდრის წრეწირს გაყოფილი π ან ორჯერ რადიუსზე. ფორმულა საკმაოდ მარტივია და ასე გამოიყურება: D = C/π = 2*R.
4. წრის ფართობი უდრის π რიცხვისა და რადიუსის კვადრატის ნამრავლს. ანალოგიურად, დიამეტრი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ფორმულაში. ამ შემთხვევაში ფართობი ტოლი იქნება π რიცხვისა და დიამეტრის კვადრატის ნამრავლის ოთხზე გაყოფის. ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

როგორ მოვძებნოთ წრის გარშემოწერილობა დიამეტრიდან

ახსნის სიმარტივისთვის ასოებით აღვნიშნავთ გამოსათვლელად საჭირო ფიგურის მახასიათებლებს. ვთქვათ C იყოს სასურველი სიგრძე, D იყოს მისი დიამეტრი და პი იყოს დაახლოებით 3.14. თუ ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი ცნობილი რაოდენობა, მაშინ პრობლემა შეიძლება ჩაითვალოს მოგვარებულად. რატომ არის ეს აუცილებელი ცხოვრებაში? დავუშვათ, რომ გადავწყვიტეთ მრგვალი აუზის შემოღება ღობეით. როგორ გამოვთვალოთ სვეტების საჭირო რაოდენობა? და აქ წრის გარშემოწერილობის გამოთვლის შესაძლებლობა მოდის სამაშველოში. ფორმულა ასეთია: C = π D. ჩვენს მაგალითში დიამეტრი განისაზღვრება აუზის რადიუსზე და ღობემდე საჭირო მანძილის მიხედვით. მაგალითად, დავუშვათ, რომ ჩვენი სახლის ხელოვნური აუზის სიგანე 20 მეტრია და ჩვენ ვაპირებთ მისგან ათი მეტრის დაშორებით ბოძების განთავსებას. მიღებული წრის დიამეტრი 20 + 10 * 2 = 40 მ. სიგრძე 3,14 * 40 = 125,6 მეტრი. ჩვენ დაგვჭირდება 25 სვეტი, თუ მათ შორის უფსკრული არის დაახლოებით 5 მ.

სიგრძე რადიუსში

როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ მახასიათებლებზე ასოების წრეების მინიჭებით. სინამდვილეში, ისინი უნივერსალურია, ამიტომ სხვადასხვა ქვეყნის მათემატიკოსებს არ სჭირდებათ ერთმანეთის ენის ცოდნა. დავუშვათ C არის წრის გარშემოწერილობა, r არის მისი რადიუსი და π არის დაახლოებით 3.14. ფორმულა ამ შემთხვევაში ასე გამოიყურება: C = 2*π*r. ცხადია, ეს აბსოლუტურად სწორი თანასწორობაა. როგორც უკვე გავარკვიეთ, წრის დიამეტრი უდრის მისი რადიუსის ორჯერ, ამიტომ ეს ფორმულა ასე გამოიყურება. ცხოვრებაში ეს მეთოდი ასევე ხშირად გამოგადგებათ. მაგალითად, ტორტს ვცხობთ სპეციალურ მოცურების ფორმაში. რომ არ დაბინძურდეს, გვჭირდება დეკორატიული სახვევი. მაგრამ როგორ დავჭრათ სასურველი ზომის წრე. სწორედ აქ მოდის მათემატიკა სამაშველოში. ვინც იცის როგორ გაარკვიოს წრის გარშემოწერილობა, მაშინვე იტყვის, რომ რიცხვი π უნდა გაამრავლოთ ფორმის რადიუსზე ორჯერ. თუ მისი რადიუსი 25 სმ-ია, მაშინ სიგრძე იქნება 157 სანტიმეტრი.

დავალების მაგალითები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ მიღებული ცოდნის რამდენიმე პრაქტიკული შემთხვევა, თუ როგორ უნდა გავარკვიოთ წრის გარშემოწერილობა. მაგრამ ხშირად ჩვენ გვაინტერესებს არა ისინი, არამედ რეალური მათემატიკური ამოცანები, რომლებიც შეიცავს სახელმძღვანელოს. ბოლოს და ბოლოს, მასწავლებელი მათ ქულებს აძლევს! ამიტომ, განვიხილოთ გაზრდილი სირთულის პრობლემა. დავუშვათ გარშემოწერილობა 26 სმ როგორ ვიპოვოთ ასეთი ფიგურის რადიუსი?

გამოსავლის მაგალითი

დასაწყისისთვის, მოდით დავწეროთ ის, რაც გვეძლევა: C \u003d 26 სმ, π \u003d 3.14. ასევე გახსოვდეთ ფორმულა: C = 2* π*R. მისგან შეგიძლიათ ამოიღოთ წრის რადიუსი. ამრიგად, R= C/2/π. ახლა მოდით გადავიდეთ პირდაპირ გაანგარიშებაზე. პირველი, გაყავით სიგრძე ორზე. ვიღებთ 13. ახლა ჩვენ უნდა გავყოთ π რიცხვის მნიშვნელობაზე: 13 / 3.14 \u003d 4.14 სმ. მნიშვნელოვანია არ დაგავიწყდეთ პასუხის სწორად ჩაწერა, ანუ საზომი ერთეულებით, წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელი პრაქტიკული ასეთი პრობლემების მნიშვნელობა დაკარგულია. გარდა ამისა, ასეთი უყურადღებობისთვის შეგიძლიათ მიიღოთ ერთი ქულით ნაკლები ქულა. და რაც არ უნდა შემაშფოთებელი იყოს, თქვენ უნდა შეეგუოთ ამ მდგომარეობას.

მხეცი ისეთი საშინელი არ არის, როგორც დახატულია

ასე რომ, ჩვენ ერთი შეხედვით გავარკვიეთ ასეთი რთული ამოცანა. როგორც აღმოჩნდა, თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების მნიშვნელობა და გახსოვდეთ რამდენიმე მარტივი ფორმულა. მათემატიკა არც ისე საშინელია, უბრალოდ ცოტა ძალისხმევა გჭირდებათ. ასე რომ გეომეტრია გელოდებათ!

ჯერ გავიგოთ განსხვავება წრესა და წრეს შორის. ამ განსხვავების სანახავად საკმარისია განვიხილოთ, თუ რა არის ორივე ფიგურა. ეს არის უსასრულო რაოდენობა სიბრტყეში, რომელიც მდებარეობს ერთი ცენტრალური წერტილიდან თანაბარ მანძილზე. მაგრამ, თუ წრეც შიდა სივრცისგან შედგება, მაშინ ის წრეს არ ეკუთვნის. გამოდის, რომ წრე არის როგორც წრე, რომელიც ზღუდავს მას (o-წრე (g)ness), ასევე უთვალავი რაოდენობა, რომლებიც წრეშია.

წრეზე მდებარე ნებისმიერი L წერტილისთვის მოქმედებს ტოლობა OL=R. (OL სეგმენტის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს).

ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს აკორდი.

აკორდი, რომელიც პირდაპირ გადის წრის ცენტრში დიამეტრიეს წრე (D) . დიამეტრი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: D=2R

გარშემოწერილობაგამოითვლება ფორმულით: C=2\pi R

წრის ფართობი: S=\pi R^(2)

წრის რკალიუწოდა მის იმ ნაწილს, რომელიც მდებარეობს მის ორ წერტილს შორის. ეს ორი წერტილი განსაზღვრავს წრის ორ რკალს. აკორდი CD აყალიბებს ორ რკალს: CMD და CLD. ერთი და იგივე აკორდები ერთსა და იმავე რკალს ექვემდებარება.

ცენტრალური კუთხეარის კუთხე ორ რადიუსს შორის.

რკალის სიგრძეშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

1. ხარისხების გამოყენება: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. რადიანის საზომის გამოყენებით: CD = \alpha R

დიამეტრი, რომელიც აკორდის პერპენდიკულარულია, ორად ყოფს აკორდს და რკალებს, რომლებიც მას მოიცავს.

თუ წრის AB და CD აკორდები იკვეთება N წერტილში, მაშინ N წერტილით გამოყოფილი აკორდების სეგმენტების ნამრავლები ერთმანეთის ტოლია.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

წრის ტანგენტი

წრის ტანგენტიჩვეულებრივად უნდა ვუწოდოთ სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი წრესთან.

თუ წრფეს ორი საერთო წერტილი აქვს, მას უწოდებენ სეკანტი.

თუ რადიუსს დახაზავთ შეხების წერტილში, ის პერპენდიკულარული იქნება წრის ტანგენტის მიმართ.

მოდით დავხატოთ ორი ტანგენსი ამ წერტილიდან ჩვენს წრეზე. გამოდის, რომ ტანგენტების სეგმენტები ერთმანეთის ტოლი იქნება და წრის ცენტრი განლაგდება კუთხის ბისექტორზე წვეროსთან ამ წერტილში.

AC=CB

ახლა ჩვენ ვხატავთ ტანგენტს და სეკანტს წრეზე ჩვენი წერტილიდან. მივიღებთ, რომ ტანგენტის სეგმენტის სიგრძის კვადრატი ტოლი იქნება მთელი სეგმენტის ნამრავლის გარე ნაწილით.

AC^(2) = CD \cdot BC

შეგვიძლია დავასკვნათ: პირველი სექანტის მთლიანი სეგმენტის ნამრავლი მისი გარე ნაწილით ტოლია მეორე სექანტის მთელი სეგმენტის ნამრავლის გარე ნაწილით.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

კუთხეები წრეში

ცენტრალური კუთხისა და რკალის ზომები, რომელზეც ის ეყრდნობა, ტოლია.

\ კუთხე COD = \ჭიქა CD = \alpha ^(\circ)

ჩაწერილი კუთხეარის კუთხე, რომლის წვერო არის წრეზე და რომლის გვერდები შეიცავს აკორდებს.

მისი გამოთვლა შეგიძლიათ რკალის ზომის ცოდნით, რადგან ის უდრის ამ რკალის ნახევარს.

\ კუთხე AOB = 2 \კუთხე ADB

დიამეტრის საფუძველზე, ჩაწერილი კუთხე, სწორი.

\კუთხე CBD = \კუთხე CED = \კუთხე CAD = 90^ (\circ)

ჩაწერილი კუთხეები, რომლებიც ეყრდნობა იმავე რკალს, იდენტურია.

იმავე აკორდზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხეები იდენტურია ან მათი ჯამი უდრის 180^ (\circ) .

\კუთხე ADB + \კუთხე AKB = 180^ (\circ)

\ კუთხე ADB = \კუთხე AEB = \კუთხე AFB

იმავე წრეზე არის იდენტური კუთხითა და მოცემული ფუძის მქონე სამკუთხედების წვეროები.

კუთხე, რომელსაც აქვს წრის შიგნით წვერო და მდებარეობს ორ აკორდს შორის, იდენტურია წრის რკალების კუთხური მნიშვნელობების ჯამის ნახევარისა, რომლებიც მოცემულია მოცემულ და ვერტიკალურ კუთხეებში.

\ კუთხე DMC = \კუთხე ADM + \კუთხე DAM = \frac(1)(2) \მარცხნივ (\თასი DmC + \თასი AlB \მარჯვნივ)

კუთხე, რომელსაც აქვს წვერო წრის გარეთ და მდებარეობს ორ სეკანტს შორის, იდენტურია კუთხის შიგნით მყოფი წრის რკალების კუთხური სიდიდეების განსხვავების ნახევარზე.

\ კუთხე M = \კუთხე CBD - \კუთხე ACB = \frac(1)(2) \მარცხნივ (\თასი DmC - \თასი AlB \მარჯვნივ)

ჩაწერილი წრე

ჩაწერილი წრეარის მრავალკუთხედის გვერდებზე ტანგენტიანი წრე.

იმ ადგილას, სადაც მრავალკუთხედის კუთხეების ბისექტრები იკვეთება, მდებარეობს მისი ცენტრი.

წრე არ შეიძლება ჩაიწეროს ყველა მრავალკუთხედში.

ჩაწერილი წრის მქონე მრავალკუთხედის ფართობი გვხვდება ფორმულით:

S=pr,

p არის მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრი,

r არის შემოხაზული წრის რადიუსი.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩაწერილი წრის რადიუსი არის:

r = \frac(S)(p)

მოპირდაპირე გვერდების სიგრძეების ჯამები იდენტური იქნება, თუ წრე ამოზნექილი ოთხკუთხედშია ჩაწერილი. და პირიქით: წრე იწერება ამოზნექილ ოთხკუთხედში, თუ მასში მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ჯამები იდენტურია.

AB+DC=AD+BC

ნებისმიერ სამკუთხედში შესაძლებელია წრის ჩაწერა. მხოლოდ ერთი სინგლი. იმ ადგილას, სადაც ფიგურის შიდა კუთხეების ბისექტრები იკვეთება, ამ ჩაწერილი წრის ცენტრი იქნება.

ჩაწერილი წრის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით:

r = \frac(S)(p) ,

სადაც p = \frac(a + b + c) (2)

შემოხაზული წრე

თუ წრე გადის მრავალკუთხედის ყველა წვეროზე, მაშინ ასეთი წრე ეწოდება შემოიფარგლება მრავალკუთხედის გარშემო.

შემოხაზული წრის ცენტრი იქნება ამ ფიგურის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების გადაკვეთის ადგილზე.

რადიუსის პოვნა შესაძლებელია მისი გამოთვლით, როგორც წრის რადიუსი, რომელიც შემოიფარგლება სამკუთხედის გარშემო, რომელიც განსაზღვრულია მრავალკუთხედის ნებისმიერი 3 წვერით.

არსებობს შემდეგი პირობა: წრე შეიძლება შემოიფარგლოს ოთხკუთხედის გარშემო მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი საპირისპირო კუთხეების ჯამი უდრის 180^( \circ) .

\ კუთხე A + \ კუთხე C = \ კუთხე B + \ კუთხე D = 180^ (\ circ)

ნებისმიერი სამკუთხედის მახლობლად შესაძლებელია წრის აღწერა და ერთი და ერთადერთი. ასეთი წრის ცენტრი განლაგდება სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების გადაკვეთის წერტილში.

შემოხაზული წრის რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c არის სამკუთხედის გვერდების სიგრძე,

S არის სამკუთხედის ფართობი.

პტოლემეოსის თეორემა

და ბოლოს, განიხილეთ პტოლემეოსის თეორემა.

პტოლემეოსის თეორემა ამბობს, რომ დიაგონალების ნამრავლი იდენტურია ჩაწერილი ოთხკუთხედის საპირისპირო გვერდების ნამრავლების ჯამისა.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

ხშირად ჟღერს, როგორც სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრით. წრის გარშემოწერილობა არის ბრტყელი დახურული მრუდი. მრუდის ყველა წერტილი ერთნაირი მანძილია წრის ცენტრიდან. წრეში მისი სიგრძე და პერიმეტრი იგივეა. ნებისმიერი წრის სიგრძისა და მისი დიამეტრის თანაფარდობა მუდმივია და აღინიშნება π \u003d 3.1415 რიცხვით.

წრის პერიმეტრის განსაზღვრა

r რადიუსის წრის პერიმეტრი უდრის r რადიუსის ნამრავლის ორჯერ და π(~3.1415) რიცხვს.

წრის პერიმეტრის ფორმულა

\(r\) რადიუსის წრის პერიმეტრი:

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P \) - პერიმეტრი ( წრეწირი).

\(r\) არის რადიუსი.

\(d \) - დიამეტრი.

წრეს დაერქმევა ისეთი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება ყველა ისეთი წერტილისგან, რომლებიც ერთსა და იმავე მანძილზე არიან მოცემული წერტილიდან.

წრის ცენტრიჩვენ ვუწოდებთ იმ პუნქტს, რომელიც მითითებულია განმარტება 1-ის ფარგლებში.

წრის რადიუსიჩვენ ვუწოდებთ მანძილს ამ წრის ცენტრიდან მის რომელიმე წერტილამდე.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში \(xOy \) ასევე შეგვიძლია შევიტანოთ ნებისმიერი წრის განტოლება. აღნიშნეთ წრის ცენტრი წერტილით \(X \) , რომელსაც ექნება კოორდინატები \((x_0,y_0) \) . ამ წრის რადიუსი იყოს \(τ \) . ავიღოთ თვითნებური წერტილი \(Y \) , რომლის კოორდინატები აღინიშნება \((x,y) \)-ით (ნახ. 2).

ჩვენ მიერ მითითებულ კოორდინატთა სისტემაში ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის მიხედვით მივიღებთ:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

მეორე მხრივ, \(|XY| \) არის მანძილი წრის ნებისმიერი წერტილიდან ჩვენს არჩეულ ცენტრამდე. ანუ, განმარტებით 3, ვიღებთ, რომ \(|XY|=τ \) , შესაბამისად

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

ამრიგად, მივიღებთ, რომ განტოლება (1) არის წრის განტოლება დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

წრეწირი (წრის გარშემოწერილობა)

ჩვენ გამოვიყვანთ თვითნებური წრის სიგრძეს \(C \) მისი რადიუსის ტოლი \(τ\)-ის გამოყენებით.

განვიხილავთ ორ თვითნებურ წრეს. მოდით აღვნიშნოთ მათი სიგრძეები როგორც \(C \) და \(C" \) , რომელთა რადიუსია \(τ \) და \(τ" \) . ჩვენ ამ წრეებში ჩავწერთ რეგულარულ \(n\) - კუთხებს, რომელთა პერიმეტრი უდრის \(ρ \) და \(ρ" \) , რომელთა გვერდის სიგრძე უდრის \(α \) და \(α" \) , შესაბამისად. როგორც ვიცით, წრეში ჩაწერილი რეგულარული \(n\)-გონის გვერდი ტოლია

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

მაშინ ჩვენ ამას მივიღებთ

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" )\)

ჩვენ ვიღებთ იმ თანაფარდობას \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \)იქნება ჭეშმარიტი ჩაწერილი რეგულარული მრავალკუთხედების გვერდების რაოდენობის მიუხედავად. ე.ი

\(\lim_(n\ to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

მეორე მხრივ, თუ უსასრულოდ გავზრდით ჩაწერილი რეგულარული მრავალკუთხედების გვერდების რაოდენობას (ანუ \(n→∞ \) ), მივიღებთ ტოლობას:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

ბოლო ორი ტოლობიდან მივიღებთ ამას

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

ჩვენ ვხედავთ, რომ წრის გარშემოწერილობის შეფარდება მის გაორმაგებულ რადიუსთან ყოველთვის იგივე რიცხვია, მიუხედავად წრის არჩევისა და მისი პარამეტრებისა, ე.ი.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

ამ მუდმივას ეწოდება რიცხვი "pi" და აღინიშნება \ (π \) . დაახლოებით, ეს რიცხვი ტოლი იქნება \ (3,14 \) (ამ რიცხვს ზუსტი მნიშვნელობა არ აქვს, რადგან ის ირაციონალური რიცხვია). ამგვარად

\(\frac(C)(2τ)=π\)

საბოლოოდ, მივიღებთ, რომ წრეწირი (წრის პერიმეტრი) განისაზღვრება ფორმულით

\(C=2pt\)

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!

ავიღოთ წრე. კომპასის ფეხი ნემსით დააყენეთ "O" წერტილამდე და ამ წერტილის გარშემო ფანქრით მოვატრიალებთ კომპასის ფეხს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ დახურულ ხაზს. ამ დახურულ ხაზს ე.წ წრე.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ წრეს. მოდით გავარკვიოთ რას ჰქვია წრის ცენტრი, რადიუსი და დიამეტრი.

• ()O ეწოდება წრის ცენტრს.
• ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ცენტრს და წრის ნებისმიერ წერტილს, ეწოდება წრის რადიუსი. წრის რადიუსი აღინიშნება ასო "რ"-ით. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ეს არის სეგმენტი " OA».
• ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს და გადის მის ცენტრში, ეწოდება წრის დიამეტრი.

  წრის დიამეტრი მითითებულია ასო "D". ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ეს არის სეგმენტი " BC».

  ნახაზი ასევე აჩვენებს, რომ დიამეტრი უდრის ორ რადიუსს. ამრიგად, გამოთქმა "D \u003d 2R" მართალია.

რიცხვი π და წრეწირი

სანამ გაერკვევით, როგორ გამოითვლება გარშემოწერილობა, უნდა გაარკვიოთ, რა არის რიცხვი π (წაიკითხეთ როგორც „Pi“), რომელიც ასე ხშირად არის ნახსენები გაკვეთილებში.

ძველ დროში ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსები გულდასმით სწავლობდნენ წრეს და მივიდნენ დასკვნამდე, რომ გარშემოწერილობა და მისი დიამეტრი ურთიერთდაკავშირებულია.

გახსოვდეს!

წრის წრეწირის შეფარდება მის დიამეტრთან ერთნაირია ყველა წრეში და აღინიშნება ბერძნული ასო π ("Pi").
π ≈ 3.14…

რიცხვი "Pi" ეხება რიცხვებს, რომელთა ზუსტი მნიშვნელობა არ შეიძლება ჩაიწეროს არც ჩვეულებრივი წილადებით და არც ათობითი წილადებით. ჩვენი გამოთვლებისთვის საკმარისია გამოვიყენოთ π-ის მნიშვნელობა,
დამრგვალებულია მეასედ ადგილზე π ≈ 3.14…

ახლა, როდესაც ვიცით რა არის π რიცხვი, შეგვიძლია დავწეროთ წრის გარშემოწერილობის ფორმულა.

გახსოვდეს!

გარშემოწერილობაარის π რიცხვისა და წრის დიამეტრის ნამრავლი. გარშემოწერილობა აღინიშნება ასო „C“-ით (იკითხება „ცე“).
C= π D
C = 2πR, ვინაიდან D = 2R

როგორ მოვძებნოთ წრის გარშემოწერილობა

მიღებული ცოდნის გასამყარებლად პრობლემას ვხსნით წრეზე.

ვილენკინი მე-6 კლასი. ოთახი 831

Ამოცანა:

იპოვეთ წრის სიგრძე, რომლის რადიუსი 24 სმ-ია.მომრგვალეთ π რიცხვი მეასედმდე.

ჩვენ ვიყენებთ წრის გარშემოწერილობის ფორმულას:

C = 2π R ≈ 2 3.14 24 ≈ 150.72 სმ

გავაანალიზოთ შებრუნებული ამოცანა, როდესაც ვიცით წრის გარშემოწერილობა და გვთხოვენ ვიპოვოთ მისი დიამეტრი.

ვილენკინი მე-6 კლასი. ოთახი 835

Ამოცანა:

განსაზღვრეთ წრის დიამეტრი, თუ მისი სიგრძეა 56,52 დმ. (π ≈ 3.14).

ჩვენ გამოვხატავთ დიამეტრს წრის გარშემოწერილობის ფორმულიდან.

C= π D
D \u003d C / π
D = 56,52 / 3,14 = 18დმ

აკორდი და წრიული რკალი

ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩვენ აღვნიშნავთ ორ წერტილს წრეზე "A" და "B". ეს წერტილები წრეს ორ ნაწილად ყოფს, რომელთაგან თითოეულს ე.წ რკალი. ეს არის ლურჯი რკალი "AB" და შავი რკალი "AB". პუნქტებს „ა“ და „ბ“ ეწოდება რკალი მთავრდება.

წრე გვხვდება ყოველდღიურ ცხოვრებაში არანაკლებ მართკუთხედისა. და მრავალი ადამიანისთვის რთულია, თუ როგორ გამოვთვალოთ წრის გარშემოწერილობა. და ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ მას არ აქვს კუთხეები. მათთან ერთად ყველაფერი ბევრად უფრო ადვილი იქნებოდა.

რა არის წრე და სად ჩნდება?

ეს ბრტყელი ფიგურა არის პუნქტების რაოდენობა, რომლებიც განლაგებულია იმავე მანძილზე მეორედან, რომელიც არის ცენტრი. ამ მანძილს რადიუსი ეწოდება.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ხშირად არ არის საჭირო წრეწირის გამოთვლა, გარდა იმ ადამიანებისა, რომლებიც ინჟინრები და დიზაინერები არიან. ისინი ქმნიან მექანიზმებს, რომლებიც იყენებენ, მაგალითად, მექანიზმებს, ფანჯრებს და ბორბლებს. არქიტექტორები ქმნიან სახლებს, რომლებსაც აქვთ მრგვალი ან თაღოვანი ფანჯრები.

თითოეული ეს და სხვა შემთხვევა თავის სიზუსტეს მოითხოვს. უფრო მეტიც, აბსოლუტურად შეუძლებელია წრის გარშემოწერილობის აბსოლუტური სიზუსტით გამოთვლა. ეს განპირობებულია ფორმულაში ძირითადი რიცხვის უსასრულობით. „პი“ ჯერ კიდევ ზუსტდება. და ყველაზე ხშირად გამოიყენება მომრგვალებული მნიშვნელობა. სიზუსტის ხარისხი შეირჩევა ისე, რომ ყველაზე სწორი პასუხის გაცემა.

რაოდენობათა და ფორმულების აღნიშვნა

ახლა ადვილია პასუხის გაცემა კითხვაზე, თუ როგორ გამოვთვალოთ წრის გარშემოწერილობა რადიუსიდან, ამას დასჭირდება შემდეგი ფორმულა:

ვინაიდან რადიუსი და დიამეტრი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, გამოთვლების სხვა ფორმულა არსებობს. ვინაიდან რადიუსი ორჯერ მცირეა, გამოხატულება ოდნავ შეიცვლება. და ფორმულა, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ წრის გარშემოწერილობა, დიამეტრის ცოდნით, იქნება შემდეგი:

l \u003d π * d.

რა მოხდება, თუ საჭიროა წრის პერიმეტრის გამოთვლა?

უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ წრე მოიცავს წრის შიგნით არსებულ ყველა წერტილს. ამრიგად, მისი პერიმეტრი ემთხვევა მის სიგრძეს. ხოლო წრეწირის გამოთვლის შემდეგ წრის პერიმეტრთან ტოლობის ნიშანი დადეთ.

სხვათა შორის, მათ აქვთ იგივე აღნიშვნები. ეს ეხება რადიუსს და დიამეტრს, ხოლო ლათინური ასო P არის პერიმეტრი.

დავალების მაგალითები

ამოცანა პირველი

მდგომარეობა.იპოვეთ წრის გარშემოწერილობა, რომლის რადიუსი 5 სმ-ია.

გადაწყვეტილება.აქ მარტივია იმის გაგება, თუ როგორ გამოვთვალოთ წრის გარშემოწერილობა. თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ პირველი ფორმულა. ვინაიდან რადიუსი ცნობილია, ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის მნიშვნელობების შეერთება და დათვლა. 2 გამრავლებული 5 სმ რადიუსზე იძლევა 10. რჩება მისი გამრავლება π მნიშვნელობით. 3.14 * 10 = 31.4 (სმ).

პასუხი:ლ = 31,4 სმ.

დავალება მეორე

მდგომარეობა.არის ბორბალი, რომლის გარშემოწერილობა ცნობილია და უდრის 1256 მმ. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი რადიუსი.

გადაწყვეტილება.ამ ამოცანაში თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ფორმულა. მაგრამ მხოლოდ ცნობილი სიგრძე უნდა გაიყოს 2-ისა და π-ის ნამრავლზე. გამოდის, რომ პროდუქტი მისცემს შედეგს: 6.28. გაყოფის შემდეგ რიცხვი რჩება: 200. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.

პასუხი: r = 200 მმ.

დავალება მესამე

მდგომარეობა.გამოთვალეთ დიამეტრი, თუ გარშემოწერილობა ცნობილია, რომელიც არის 56,52 სმ.

გადაწყვეტილება.წინა პრობლემის მსგავსად, თქვენ უნდა გაყოთ ცნობილი სიგრძე π-ის მნიშვნელობით, დამრგვალებული მეასედამდე. ასეთი მოქმედების შედეგად მიიღება რიცხვი 18. შედეგი მიიღება.

პასუხი: d = 18 სმ.

დავალება მეოთხე

მდგომარეობა.საათის ისრები 3 და 5 სმ სიგრძისაა.აუცილებელია გამოვთვალოთ წრეების სიგრძე, რომელიც აღწერს მათ ბოლოებს.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან ისრები ემთხვევა წრეების რადიუსებს, საჭიროა პირველი ფორმულა. საჭიროა ორჯერ გამოყენება.

პირველი სიგრძისთვის პროდუქტი შედგება ფაქტორებისგან: 2; 3.14 და 3. შედეგი იქნება რიცხვი 18.84 სმ.

მეორე პასუხისთვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ 2, π და 5. ნამრავლი მისცემს რიცხვს: 31,4 სმ.

პასუხი:ლ 1 = 18,84 სმ, ლ 2 = 31,4 სმ.

დავალება მეხუთე

მდგომარეობა.ციყვი ეშვება 2 მ დიამეტრის ბორბალში, რამდენ მანძილს გადის ის ბორბლის ერთი სრული შემობრუნებისას?

გადაწყვეტილება.ეს მანძილი წრის გარშემოწერილობის ტოლია. ამიტომ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ შესაბამისი ფორმულა. კერძოდ, გავამრავლოთ π-ის მნიშვნელობა და 2 მ. გამოთვლები იძლევა შედეგს: 6,28 მ.

პასუხი:ციყვი გადის 6,28 მ.