გამარჯობა კნუტები! ბოლო დროს დეტალურად გავაანალიზეთ რა არის ფესვები (თუ არ გახსოვთ, გირჩევთ წაიკითხოთ). ამ გაკვეთილის მთავარი დასკვნა: არსებობს ფესვების მხოლოდ ერთი უნივერსალური განმარტება, რომელიც უნდა იცოდეთ. დანარჩენი სისულელეა და დროის კარგვაა.

დღეს ჩვენ უფრო შორს მივდივართ. ვისწავლით ფესვების გამრავლებას, შევისწავლით გამრავლებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ პრობლემას (თუ ეს ამოცანები არ მოგვარდება, მაშინ ისინი შეიძლება საბედისწერო გახდეს გამოცდაზე) და სათანადოდ ვივარჯიშებთ. ასე რომ, შეაგროვეთ პოპკორნი, თავი კომფორტულად იგრძნოთ - და ჩვენ დავიწყებთ. :)

ჯერ არ მოუწევიათ, არა?

გაკვეთილი საკმაოდ დიდი აღმოჩნდა, ამიტომ ორ ნაწილად დავყავი:

1. პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ გამრავლების წესებს. ქუდი თითქოს მიანიშნებს: ეს არის მაშინ, როდესაც ორი ფესვია, მათ შორის არის ნიშანი "გამრავლება" - და ჩვენ გვინდა რაღაც გავაკეთოთ.
2. შემდეგ გავაანალიზებთ საპირისპირო ვითარებას: არის ერთი დიდი ფესვი და ჩვენ მოუთმენელი ვიყავით, რომ უფრო მარტივად წარმოგვედგინა იგი, როგორც ორი ფესვის პროდუქტი. რა შიშით არის საჭირო ეს ცალკე საკითხია. ჩვენ მხოლოდ ალგორითმს გავაანალიზებთ.

მათთვის, ვინც ვერ ითმენს პირდაპირ ნაწილ 2-ში გადასვლას, მოგესალმებით. დავიწყოთ დანარჩენი თანმიმდევრობით.

გამრავლების ძირითადი წესი

დავიწყოთ უმარტივესი - კლასიკური კვადრატული ფესვებით. ისინი, რომლებიც აღინიშნება $\sqrt(a)$-ით და $\sqrt(b)$-ით. მათთვის, ზოგადად, ყველაფერი ნათელია:

გამრავლების წესი. ერთი კვადრატული ფესვის მეორეზე გასამრავლებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ მათი რადიკალური გამონათქვამები და დაწეროთ შედეგი საერთო რადიკალის ქვეშ:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

არანაირი დამატებითი შეზღუდვა არ არის დაწესებული მარჯვნივ ან მარცხნივ რიცხვებზე: თუ არსებობს მულტიპლიკატორის ფესვები, მაშინ პროდუქტიც არსებობს.

მაგალითები. განვიხილოთ ოთხი მაგალითი ერთდროულად რიცხვებით:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, ამ წესის მთავარი მნიშვნელობა ირაციონალური გამონათქვამების გამარტივებაა. და თუ პირველ მაგალითში ახალი წესების გარეშე ამოვიღებდით ფესვებს 25-დან და 4-დან, მაშინ tin იწყება: $\sqrt(32)$ და $\sqrt(2)$ თავისთავად არ ითვლიან, მაგრამ მათი ნამრავლი აღმოჩნდება ზუსტი კვადრატი, ამიტომ მისი ფესვი რაციონალური რიცხვის ტოლია.

ცალკე მინდა აღვნიშნო ბოლო სტრიქონი. იქ ორივე რადიკალური გამონათქვამი წილადია. პროდუქტის წყალობით, მრავალი ფაქტორი ქრება და მთელი გამოხატულება იქცევა ადექვატურ რიცხვად.

რა თქმა უნდა, ყველაფერი ყოველთვის ასე ლამაზი არ იქნება. ზოგჯერ ფესვების ქვეშ სრული სისულელე იქნება - გაუგებარია რა უნდა გააკეთოს და როგორ გარდაიქმნას გამრავლების შემდეგ. ცოტა მოგვიანებით, როცა დაიწყებთ ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების შესწავლას, იქნება ყველანაირი ცვლადი და ზოგადად ფუნქცია. და ძალიან ხშირად, პრობლემების შემდგენელები მხოლოდ იმედოვნებენ იმ ფაქტს, რომ თქვენ იპოვით კონტრაქტის პირობებს ან ფაქტორებს, რის შემდეგაც ამოცანა მნიშვნელოვნად გამარტივდება.

გარდა ამისა, არ არის აუცილებელი ზუსტად ორი ფესვის გამრავლება. შეგიძლიათ გაამრავლოთ სამი ერთდროულად, ოთხი - დიახ, თუნდაც ათი! ეს წესს არ შეცვლის. Შეხედე:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ მცირე შენიშვნა მეორე მაგალითზე. როგორც ხედავთ, მესამე მულტიპლიკატორში ფესვის ქვეშ არის ათობითი წილადი - გამოთვლების პროცესში მას ვცვლით ჩვეულებრივით, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად მცირდება. ასე რომ: უაღრესად გირჩევთ, თავი დააღწიოთ ათობითი წილადებს ნებისმიერ ირაციონალურ გამონათქვამებში (ანუ შეიცავს მინიმუმ ერთ რადიკალურ ხატს). ეს დაზოგავს დიდ დროსა და ნერვებს მომავალში.

მაგრამ ეს იყო ლირიკული გადახვევა. ახლა განვიხილოთ უფრო ზოგადი შემთხვევა - როდესაც ფესვის მაჩვენებელი შეიცავს თვითნებურ რიცხვს $n$ და არა მხოლოდ "კლასიკურ" ორს.

თვითნებური ინდიკატორის შემთხვევა

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კვადრატული ფესვები. და რა ვუყოთ კუბებს? ან საერთოდ $n$ თვითნებური ხარისხის ფესვებით? დიახ, ყველაფერი იგივეა. წესი იგივე რჩება:

$n$ ხარისხის ორი ფესვის გასამრავლებლად საკმარისია მათი რადიკალური გამონათქვამების გამრავლება, რის შემდეგაც შედეგი იწერება ერთი რადიკალის ქვეშ.

ზოგადად, არაფერია რთული. თუ გამოთვლების მოცულობა შეიძლება იყოს მეტი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითები. პროდუქტების გამოთვლა:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3 ))))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ისევ ყურადღება მეორე გამოთქმაზე. ვამრავლებთ კუბურ ფესვებს, ვაშორებთ ათწილადის წილადს და შედეგად ვიღებთ მნიშვნელში 625 და 25 რიცხვების ნამრავლს, ეს საკმაოდ დიდი რიცხვია - პირადად მე მაშინვე არ გამოვთვლი რის ტოლია. რომ.

ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ შევარჩიეთ ზუსტი კუბი მრიცხველში და მნიშვნელში, შემდეგ კი გამოვიყენეთ $n$th ხარისხის ფესვის ერთ-ერთი ძირითადი თვისება (ან, თუ გნებავთ, განმარტება):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\მარცხენა| a\ უფლება|. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასეთმა „თაღლითებმა“ შეიძლება დაზოგოთ ბევრი დრო გამოცდაზე ან გამოცდაზე, ამიტომ გახსოვდეთ:

ნუ იჩქარებთ რადიკალურ გამოსახულებაში რიცხვების გამრავლებას. პირველი, შეამოწმეთ: რა მოხდება, თუ რაიმე გამონათქვამის ზუსტი ხარისხი იქ „დაშიფრულია“?

ამ შენიშვნის მთელი ცხადია, უნდა ვაღიარო, რომ მოუმზადებელი სტუდენტების უმეტესობა ცარიელ წერტილში ვერ ხედავს ზუსტ ხარისხს. სამაგიეროდ ამრავლებენ ყველაფერს წინ და მერე აინტერესებთ: რატომ მიიღეს ასეთი სასტიკი ნომრები? :)

თუმცა, ეს ყველაფერი ბავშვის თამაშია იმასთან შედარებით, რასაც ახლა შევისწავლით.

ფესვების გამრავლება სხვადასხვა მაჩვენებლით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ფესვები იმავე მაჩვენებლებით. რა მოხდება, თუ ქულები განსხვავებულია? თქვით, როგორ გავამრავლოთ ჩვეულებრივი $\sqrt(2)$ რაღაც სისულელეზე, როგორიცაა $\sqrt(23)$? შესაძლებელია კი ამის გაკეთება?

დიახ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ. ყველაფერი კეთდება ამ ფორმულის მიხედვით:

ფესვის გამრავლების წესი. $\sqrt[n](a)$-ზე $\sqrt[p](b)$-ზე გასამრავლებლად, უბრალოდ გააკეთეთ შემდეგი ტრანსფორმაცია:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

თუმცა, ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რადიკალური გამონათქვამები არანეგატიურია. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით დავუბრუნდებით.

ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ახლა გავარკვიოთ, საიდან გაჩნდა არანეგატიურობის მოთხოვნა და რა მოხდება, თუ მას დავარღვევთ. :)

ფესვების გამრავლება ადვილია.

რატომ უნდა იყოს რადიკალური გამონათქვამები არაუარყოფითი?

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ სკოლის მასწავლებლებივით გახდეთ და ჭკვიანური იერით მოიყვანოთ სახელმძღვანელო:

არანეგატიურობის მოთხოვნა დაკავშირებულია ლუწი და კენტი ხარისხის ფესვების განსხვავებულ განმარტებებთან (შესაბამისად, მათი განსაზღვრის დომენებიც განსხვავებულია).

ისე, უფრო ნათელი გახდა? მე პირადად მე-8 კლასში რომ წავიკითხე ეს სისულელე, მე თვითონ მივხვდი ასე: „არანეგატიურობის მოთხოვნა *#&^@(*#@^#)~%-თან ასოცირდება“ - მოკლედ, მე. იმ დროს სისულელე ვერ გავიგე :)

ამიტომ ახლა ყველაფერს ნორმალურად აგიხსნით.

ჯერ გავარკვიოთ, საიდან მოდის ზემოთ მოცემული გამრავლების ფორმულა. ამისათვის შეგახსენებთ root-ის ერთ მნიშვნელოვან თვისებას:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავზარდოთ ძირეული გამოხატულება ნებისმიერ ბუნებრივ სიმძლავრემდე $k$ - ამ შემთხვევაში, ფესვის ინდექსი უნდა გამრავლდეს იმავე სიმძლავრეზე. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია ადვილად დავამციროთ ნებისმიერი ფესვი საერთო ინდიკატორამდე, რის შემდეგაც ვამრავლებთ. აქედან მოდის გამრავლების ფორმულა:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((ბ)^(n)))\]

მაგრამ არის ერთი პრობლემა, რომელიც მკვეთრად ზღუდავს ყველა ამ ფორმულის გამოყენებას. გაითვალისწინეთ ეს რიცხვი:

ახლახან მოცემული ფორმულის მიხედვით, შეგვიძლია დავამატოთ ნებისმიერი ხარისხი. მოდით ვცადოთ $k=2$-ის დამატება:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

მინუსი სწორედ იმიტომ მოვაცილეთ, რომ კვადრატი წვავს მინუსს (როგორც ნებისმიერი სხვა ლუწი ხარისხი). ახლა კი შევასრულოთ საპირისპირო ტრანსფორმაცია: „შევამციროთ“ ორი მაჩვენებლით და ხარისხით. ყოველივე ამის შემდეგ, ნებისმიერი თანასწორობა შეიძლება წაიკითხოს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ა); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ შემდეგ რაღაც გიჟური ხდება:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ეს არ შეიძლება იყოს იმიტომ, რომ $\sqrt(-5) \lt 0$ და $\sqrt(5) \gt 0$. ეს ნიშნავს, რომ ლუწი ძალებისა და უარყოფითი რიცხვებისთვის ჩვენი ფორმულა აღარ მუშაობს. რის შემდეგაც გვაქვს ორი ვარიანტი:

1. კედელთან ბრძოლა იმის მტკიცებით, რომ მათემატიკა სულელური მეცნიერებაა, სადაც „რაღაც წესებია, მაგრამ ეს არაზუსტია“;
2. დანერგეთ დამატებითი შეზღუდვები, რომლითაც ფორმულა გახდება 100% მოქმედი.

პირველ ვარიანტში, ჩვენ მუდმივად მოგვიწევს "არასამუშაო" შემთხვევების დაჭერა - ეს რთული, გრძელი და ზოგადად ფუ არის. ამიტომ მათემატიკოსებმა მეორე ვარიანტს ამჯობინეს. :)

მაგრამ არ ინერვიულო! პრაქტიკაში, ეს შეზღუდვა არანაირად არ მოქმედებს გამოთვლებზე, რადგან ყველა აღწერილი პრობლემა ეხება მხოლოდ უცნაური ხარისხის ფესვებს და მათგან მინუსების ამოღება შესაძლებელია.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ სხვა წესს, რომელიც ზოგადად ვრცელდება ფესვებთან დაკავშირებული ყველა მოქმედებაზე:

ფესვების გამრავლებამდე დარწმუნდით, რომ რადიკალური გამონათქვამები არაუარყოფითი იყოს.

მაგალითი. რიცხვში $\sqrt(-5)$ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი ძირის ნიშნის ქვეშ - მაშინ ყველაფერი კარგად იქნება:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(გასწორება)\]

Იგრძენი განსხვავება? თუ ფესვის ქვეშ დატოვებთ მინუსს, მაშინ როდესაც რადიკალური გამოხატულება კვადრატში იქნება, ის გაქრება და დაიწყება სისულელე. და თუ პირველად ამოიღებთ მინუსს, მაშინ შეგიძლიათ კვადრატის აწევა/მოხსნა მანამ, სანამ სახეზე ცისფერი არ გახდებით - რიცხვი დარჩება უარყოფითი. :)

ამრიგად, ფესვების გამრავლების ყველაზე სწორი და საიმედო გზა შემდეგია:

1. ამოიღეთ ყველა მინუსი რადიკალების ქვეშ. მინუსები მხოლოდ კენტი სიმრავლის ფესვებშია - ისინი შეიძლება განთავსდეს ფესვის წინ და, საჭიროების შემთხვევაში, შემცირდეს (მაგალითად, თუ ამ მინუსებიდან ორია).
2. შეასრულეთ გამრავლება დღევანდელ გაკვეთილზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. თუ ფესვების ინდექსები ერთნაირია, უბრალოდ გაამრავლეთ ძირეული გამონათქვამები. და თუ ისინი განსხვავდებიან, ვიყენებთ ბოროტ ფორმულას \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. ჩვენ გვიხარია შედეგი და კარგი შეფასებები. :)

კარგად? ვივარჯიშოთ?

მაგალითი 1. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის უმარტივესი ვარიანტი: ფესვების მაჩვენებლები იგივე და უცნაურია, პრობლემა მხოლოდ მეორე მულტიპლიკატორის მინუსშია. ჩვენ ვიტანთ ამ მინუს ნაფიგს, რის შემდეგაც ყველაფერი მარტივად განიხილება.

მაგალითი 2. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \მარჯვნივ))^(3))\cdot ((\ left(((2)^(2)) \მარჯვნივ))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( გასწორება)\]

აქ ბევრი დაბნეული იქნებოდა იმით, რომ გამომავალი აღმოჩნდა ირაციონალური რიცხვი. დიახ, ეს ხდება: ჩვენ ბოლომდე ვერ მოვიშორეთ ფესვი, მაგრამ მაინც მნიშვნელოვნად გავამარტივეთ გამოხატულება.

მაგალითი 3. გამოთქმის გამარტივება:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ა)^(4)) \მარჯვნივ))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(გასწორება)\]

ეს არის ის, რაზეც მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო. აქ არის ორი წერტილი:

1. ფესვის ქვეშ არის არა კონკრეტული რიცხვი ან ხარისხი, არამედ ცვლადი $a$. ერთი შეხედვით, ეს ცოტა უჩვეულოა, მაგრამ სინამდვილეში, მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისას, ყველაზე ხშირად მოგიწევთ ცვლადებთან გამკლავება.
2. საბოლოოდ, ჩვენ მოვახერხეთ ძირეული მაჩვენებლისა და ხარისხის „შემცირება“ რადიკალურ გამოხატულებაში. ეს ხდება საკმაოდ ხშირად. და ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელი იყო გამოთვლების მნიშვნელოვნად გამარტივება, თუ არ იყენებთ მთავარ ფორმულას.

მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \მარჯვნივ))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \ბოლო (გასწორება)\]

ფაქტობრივად, ყველა ტრანსფორმაცია განხორციელდა მხოლოდ მეორე რადიკალით. და თუ დეტალურად არ დახატავთ ყველა შუალედურ საფეხურს, მაშინ საბოლოოდ გამოთვლების რაოდენობა მნიშვნელოვნად შემცირდება.

სინამდვილეში, ჩვენ უკვე შევხვდით მსგავს ამოცანას ზემოთ $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ მაგალითის ამოხსნისას. ახლა უფრო მარტივად შეიძლება დაწერო:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \მარჯვნივ))^(2))) = \\ & =\sqrt(((\left(75 \მარჯვნივ))^(2))) =\sqrt(75). \ბოლო (გასწორება)\]

კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ ფესვების გამრავლება. ახლა განიხილეთ საპირისპირო ოპერაცია: რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც ფესვის ქვეშ არის სამუშაო?

ისევ თეფშს დავხედე... და წავიდეთ!

დავიწყოთ მარტივით:

Ერთი წუთი მაცადე. ეს, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია დავწეროთ ასე:

Გავიგე? აქ არის შემდეგი თქვენთვის:

მიღებული რიცხვების ფესვები ზუსტად არ არის ამოღებული? არ ინერვიულოთ, აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

მაგრამ რა მოხდება, თუ არ არის ორი მამრავლი, არამედ მეტი? Იგივე! ფესვის გამრავლების ფორმულა მუშაობს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებთან:

ახლა სრულიად დამოუკიდებელი:

პასუხები:კარგად გააკეთე! დამეთანხმებით, ყველაფერი ძალიან მარტივია, მთავარია იცოდეთ გამრავლების ცხრილი!

ფესვების გაყოფა

ჩვენ გავარკვიეთ ფესვების გამრავლება, ახლა მოდით გადავიდეთ გაყოფის თვისებაზე.

შეგახსენებთ, რომ ფორმულა ზოგადად ასე გამოიყურება:

და ეს იმას ნიშნავს კოეფიციენტის ფესვი უდრის ფესვების კოეფიციენტს.

კარგად, მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

ეს ყველაფერი მეცნიერებაა. და აი მაგალითი:

ყველაფერი არ არის ისეთი გლუვი, როგორც პირველ მაგალითში, მაგრამ როგორც ხედავთ, არაფერია რთული.

რა მოხდება, თუ გამოთქმა ასე გამოიყურება:

თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა საპირისპიროდ:

და აი მაგალითი:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ეს გამოთქმა:

ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ აქ უნდა გახსოვდეთ წილადების თარგმნა (თუ არ გახსოვთ, გადახედეთ თემას და დაბრუნდით!). Გაიხსენა? ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ!

დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ გაართვით თავი ყველაფერს, ყველაფერს, ახლა ვცადოთ ფესვები ავაშენოთ ხარისხში.

ექსპონენტაცია

რა მოხდება, თუ კვადრატული ფესვი კვადრატულია? მარტივია, გახსოვდეთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა - ეს არის რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი ტოლია.

მაშ, თუ კვადრატში გამოვყოფთ რიცხვს, რომლის კვადრატული ფესვი ტოლია, რას მივიღებთ?

Რა თქმა უნდა, !

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

ყველაფერი მარტივია, არა? და თუ ფესვი სხვა ხარისხშია? Ყველაფერი კარგადაა!

დაიცავით იგივე ლოგიკა და დაიმახსოვრე თვისებები და შესაძლო მოქმედებები ძალებით.

წაიკითხეთ თეორია თემაზე "" და ყველაფერი ძალიან ნათელი გახდება თქვენთვის.

მაგალითად, აქ არის გამონათქვამი:

ამ მაგალითში ხარისხი ლუწია, მაგრამ რა მოხდება, თუ ის კენტია? კიდევ ერთხელ, გამოიყენეთ დენის თვისებები და შეაფასეთ ყველაფერი:

ამით, როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია, მაგრამ როგორ ამოიღოთ ფესვი რიცხვიდან ხარისხით? აი, მაგალითად, ეს:

საკმაოდ მარტივია, არა? რა მოხდება, თუ ხარისხი ორზე მეტია? ჩვენ მივყვებით იმავე ლოგიკას ხარისხების თვისებების გამოყენებით:

ისე, ყველაფერი გასაგებია? შემდეგ ამოიღეთ საკუთარი მაგალითები:

და აი პასუხები:

შესავალი ფესვის ნიშნის ქვეშ

რისი გაკეთება უბრალოდ არ ვისწავლეთ ფესვებთან! რჩება მხოლოდ ძირეული ნიშნის ქვეშ ნომრის შეყვანის ვარჯიში!

ეს საკმაოდ მარტივია!

ვთქვათ, გვაქვს ნომერი

რა ვუყოთ მას? რა თქმა უნდა, დამალეთ სამმაგი ფესვის ქვეშ და გახსოვდეთ, რომ სამეული არის კვადრატული ფესვი!

რატომ გვჭირდება ის? დიახ, მხოლოდ იმისათვის, რომ გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები მაგალითების ამოხსნისას:

როგორ მოგწონთ ფესვების ეს თვისება? ცხოვრებას ბევრად აადვილებს? ჩემთვის ეს ასეა! მხოლოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ დადებითი რიცხვების შეყვანა შეგვიძლია მხოლოდ კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ.

სცადეთ ეს მაგალითი თქვენთვის:
მოახერხე? ვნახოთ რა უნდა მიიღოთ:

კარგად გააკეთე! თქვენ მოახერხეთ რიცხვის შეყვანა ძირეული ნიშნის ქვეშ! გადავიდეთ თანაბრად მნიშვნელოვანზე - განიხილეთ როგორ შევადაროთ კვადრატული ფესვის შემცველი რიცხვები!

ძირეული შედარება

რატომ უნდა ვისწავლოთ კვადრატული ფესვის შემცველი რიცხვების შედარება?

Ძალიან მარტივი. ხშირად გამოცდაზე შემხვედრი დიდი და გრძელი გამონათქვამებით ვიღებთ ირაციონალურ პასუხს (გახსოვთ რა არის? ამაზე დღეს უკვე ვისაუბრეთ!)

მიღებული პასუხები უნდა მოვათავსოთ კოორდინატთა ხაზზე, მაგალითად, განვსაზღვროთ რომელი ინტერვალია შესაფერისი განტოლების ამოსახსნელად. და სწორედ აქ ჩნდება პრობლემა: გამოცდაზე არ არის კალკულატორი და მის გარეშე როგორ წარმოვიდგინოთ რომელი რიცხვია უფრო დიდი და რომელი უფრო მცირე? Ის არის!

მაგალითად, დაადგინეთ რომელია უფრო დიდი: ან?

პირდაპირ არ იტყვი. აბა, გამოვიყენოთ ძირეული ნიშნის ქვეშ რიცხვის დამატების გაანალიზებული თვისება?

შემდეგ გადადით:

ისე, ცხადია, რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი!

იმათ. თუ ნიშნავს.

აქედან ჩვენ მტკიცედ ვასკვნით, რომ და ვერავინ დაგვარწმუნებს სხვაგვარად!

ფესვების ამოღება დიდი რაოდენობით

მანამდე ფესვის ნიშნის ქვეშ შევიყვანეთ ფაქტორი, მაგრამ როგორ ამოვიღოთ? თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ ის და ამოიღოთ ის, რაც ამოღებულია!

შესაძლებელი იყო სხვა გზით წასვლა და სხვა ფაქტორებად დაშლა:

ცუდი არ არის, არა? ნებისმიერი ეს მიდგომა სწორია, გადაწყვიტეთ როგორ გრძნობთ თავს კომფორტულად.

ფაქტორინგი ძალიან სასარგებლოა ისეთი არასტანდარტული ამოცანების გადაჭრისას, როგორიცაა ეს:

ჩვენ არ გვეშინია, ჩვენ ვმოქმედებთ! თითოეულ ფაქტორს ფესვის ქვეშ ვყოფთ ცალკეულ ფაქტორებად:

ახლა კი თავად სცადე (კალკულატორის გარეშე! გამოცდაზე არ იქნება):

ეს დასასრულია? ნახევარ გზაზე არ ვჩერდებით!

სულ ეს არის, ეს ყველაფერი არც ისე საშინელია, არა?

მოხდა? კარგად გააკეთე, მართალი ხარ!

ახლა სცადეთ ეს მაგალითი:

და ამის მაგალითია ხისტი თხილის გასატეხი, ასე რომ თქვენ არ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაერკვნენ, თუ როგორ მიუახლოვდეთ მას. მაგრამ ჩვენ, რა თქმა უნდა, კბილებში ვართ.

მოდით, დავიწყოთ ფაქტორინგი, არა? მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ რიცხვის გაყოფა შეგიძლიათ (გაიხსენეთ გაყოფის ნიშნები):

ახლა კი, თავად სცადე (ისევ, კალკულატორის გარეშე!):

კარგად, მუშაობდა? კარგად გააკეთე, მართალი ხარ!

შეჯამება

1. არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი (არითმეტიკული კვადრატული ფესვი) არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი ტოლია.
   .
2. თუ რაღაცის კვადრატულ ფესვს ავიღებთ, ყოველთვის ვიღებთ ერთ არაუარყოფით შედეგს.
3. ფესვების არითმეტიკული თვისებები:
4. კვადრატული ფესვების შედარებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი.

როგორ მოგწონთ კვადრატული ფესვი? Ყველაფერი გასაგებია?

შევეცადეთ უწყლოდ აგეხსნათ ყველაფერი, რაც გამოცდაზე უნდა იცოდეთ კვადრატული ფესვის შესახებ.

Შენი ჯერია. მოგვწერეთ რთულია თუ არა ეს თემა თქვენთვის.

ისწავლე რამე ახალი თუ ყველაფერი ისედაც გასაგები იყო.

დაწერეთ კომენტარებში და გისურვებთ წარმატებებს გამოცდებზე!

ამ სტატიის მასალა უნდა ჩაითვალოს ირაციონალური გამონათქვამების თემის ტრანსფორმაციის ნაწილად. აქ, მაგალითების გამოყენებით, გავაანალიზებთ ყველა იმ დახვეწილობას და ნიუანსს (რომლებიც ბევრია), რომლებიც წარმოიქმნება ფესვების თვისებების საფუძველზე გარდაქმნების განხორციელებისას.

გვერდის ნავიგაცია.

გავიხსენოთ ფესვების თვისებები

ვინაიდან ჩვენ ვაპირებთ ფესვების თვისებების გამოყენებით გამონათქვამების ტრანსფორმაციას, არ ავნებს ძირითადის დამახსოვრება, ან კიდევ უკეთესი, ჩავწეროთ ქაღალდზე და მოვათავსოთ თქვენს წინ.

ჯერ შესწავლილია კვადრატული ფესვები და მათი შემდეგი თვისებები (a, b, a 1, a 2, ..., a k არის რეალური რიცხვები):

მოგვიანებით კი ფესვის იდეა გაფართოვდა, შემოტანილია n-ე ხარისხის ფესვის განმარტება და განიხილება ასეთი თვისებები (a, b, a 1, a 2, ..., a k არის რეალური რიცხვები, m, n, n 1, n 2, ... , n k - ნატურალური რიცხვები):

გამონათქვამების გადაქცევა რიცხვებით ძირის ნიშნების ქვეშ

ჩვეულებისამებრ, ჯერ სწავლობენ რიცხვით გამოსახულებებთან მუშაობას, შემდეგ კი გადადიან ცვლადებით გამოსახულებებზე. ჩვენც ასე მოვიქცევით და ჯერ შევეხებით ფესვების ნიშნების ქვეშ მხოლოდ რიცხვითი გამონათქვამების შემცველი ირაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაციას და უკვე შემდგომ აბზაცში ძირების ნიშნების ქვეშ ცვლადებს შემოვიყვანთ.

როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ ეს გამონათქვამების გარდაქმნისთვის? ძალიან მარტივია: მაგალითად, შეგვიძლია ირაციონალური გამოთქმა შევცვალოთ გამონათქვამით ან პირიქით. ანუ, თუ გარდაქმნილი გამოხატულება შეიცავს გამონათქვამს, რომელიც გარეგნულად ემთხვევა ფესვების რომელიმე ჩამოთვლილი თვისების მარცხენა (მარჯვნივ) ნაწილის გამოხატულებას, მაშინ ის შეიძლება შეიცვალოს მარჯვენა (მარცხნივ) ნაწილის შესაბამისი გამოსახულებით. . ეს არის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ფესვების თვისებების გამოყენებით.

ავიღოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი.

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა . რიცხვები 3, 5 და 7 დადებითია, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ ფესვების თვისებები. აქ შეგიძლიათ სხვაგვარად იმოქმედოთ. მაგალითად, თვისებებზე დაფუძნებული ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც , ხოლო თვისებებზე დაფუძნებული ფესვი k=3-ით, როგორც , ამ მიდგომით, ამონახსნები ასე გამოიყურება:

სხვაგვარად იყო შესაძლებელი, ჩანაცვლება და შემდეგ ით, ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურებოდა:

შესაძლებელია სხვა გადაწყვეტილებები, მაგალითად:

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. მოდით გარდაქმნას გამოხატულება. ფესვების თვისებების ჩამონათვალს რომ ვუყურებთ, მისგან ვირჩევთ იმ თვისებებს, რომლებიც გვჭირდება მაგალითის გადასაჭრელად, ცხადია, რომ ორი მათგანი და აქ სასარგებლოა, რომლებიც მოქმედებს ნებისმიერი ა. Ჩვენ გვაქვს:

ალტერნატიულად, პირველ რიგში შეიძლება გამონათქვამები გარდაქმნას ძირეული ნიშნების გამოყენებით

და შემდეგ გამოიყენეთ ფესვების თვისებები

ამ მომენტამდე ჩვენ ვაკონვერტირებთ გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს მხოლოდ კვადრატულ ფესვებს. დროა ვიმუშაოთ ფესვებთან, რომლებსაც სხვა მაჩვენებლები აქვთ.

მაგალითი.

ირაციონალური გამოხატვის გარდაქმნა .

გადაწყვეტილება.

ქონებით მოცემული პროდუქტის პირველი ფაქტორი შეიძლება შეიცვალოს რიცხვით −2:

Გაინძერი. თვისებიდან გამომდინარე, მეორე ფაქტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც და 81-ის სამმაგი სიმძლავრის ჩანაცვლება არ არის ცუდი, რადგან რიცხვი 3 დარჩენილ ფაქტორებში ჩნდება ფესვების ნიშნების ქვეშ:

მიზანშეწონილია შეცვალოს ფრაქციის ფესვი ფორმის ფესვების თანაფარდობით, რომელიც შეიძლება შემდგომ გარდაიქმნას: . Ჩვენ გვაქვს

მიღებული გამონათქვამი ორებით ოპერაციების შესრულების შემდეგ მიიღებს ფორმას და რჩება ფესვების პროდუქტის გარდაქმნა.

ფესვების პროდუქტების გარდაქმნის მიზნით, ისინი ჩვეულებრივ მცირდება ერთ ინდიკატორამდე, რისთვისაც მიზანშეწონილია ყველა ფესვის ინდიკატორის აღება. ჩვენს შემთხვევაში, LCM(12, 6, 12)=12 და მხოლოდ ფესვი უნდა შემცირდეს ამ ინდიკატორამდე, რადგან დანარჩენ ორ ფესვს უკვე აქვს ასეთი მაჩვენებელი. ამ ამოცანის გამკლავება საშუალებას იძლევა თანასწორობა, რომელიც გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ. Ისე . ამ შედეგის გათვალისწინებით, ჩვენ გვაქვს

ახლა ფესვების პროდუქტი შეიძლება შეიცვალოს პროდუქტის ფესვით და დარჩენილი, უკვე აშკარა ტრანსფორმაციები შეიძლება შესრულდეს:

მოდით გავაკეთოთ გადაწყვეტის მოკლე ვერსია:

პასუხი:

.

ცალ-ცალკე ხაზს ვუსვამთ, რომ ფესვების თვისებების გამოსაყენებლად აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფესვების ნიშნების ქვეშ არსებულ რიცხვებზე (a≥0 და ა.შ.) დაწესებული შეზღუდვები. მათი უგულებელყოფამ შეიძლება გამოიწვიოს არასწორი შედეგები. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ თვისება ვრცელდება არაუარყოფით a . მასზე დაყრდნობით, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ წავიდეთ, მაგალითად, დან-მდე, რადგან 8 არის დადებითი რიცხვი. მაგრამ თუ ავიღებთ უარყოფითი რიცხვის მნიშვნელოვან ფესვს, მაგალითად, და, ზემოაღნიშნული თვისებიდან გამომდინარე, შევცვლით მას -ით, მაშინ რეალურად შევცვლით −2-ს 2-ით. მართლაც, ა. ანუ უარყოფითი a-სთვის ტოლობა შეიძლება იყოს მცდარი, ისევე როგორც ფესვების სხვა თვისებები შეიძლება იყოს მცდარი მათთვის მითითებული პირობების გათვალისწინების გარეშე.

მაგრამ ის, რაც წინა აბზაცში ითქვა, საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ფესვების ნიშნების ქვეშ უარყოფითი რიცხვების მქონე გამონათქვამები არ შეიძლება გარდაიქმნას ფესვების თვისებების გამოყენებით. ისინი უბრალოდ წინასწარ უნდა იყვნენ „მომზადებული“ რიცხვებით მოქმედებების წესების გამოყენებით ან უარყოფითი რიცხვიდან კენტი ხარისხის ფესვის განმარტების გამოყენებით, რომელიც შეესაბამება ტოლობას, სადაც −a არის უარყოფითი რიცხვი (ხოლო a დადებითი). . მაგალითად, მისი დაუყოვნებლივ ჩანაცვლება შეუძლებელია, რადგან −2 და −3 უარყოფითი რიცხვებია, მაგრამ ის საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ფესვიდან ზე და შემდეგ გამოვიყენოთ ფესვის თვისება ნამრავლიდან: . და ერთ-ერთ წინა მაგალითში აუცილებელი იყო ძირიდან მეთვრამეტე ხარისხის ფესვზე გადასვლა არა ასე, არამედ ასე. .

ასე რომ, ფესვების თვისებების გამოყენებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, საჭიროა

• აირჩიეთ შესაბამისი ქონება სიიდან,
• დარწმუნდით, რომ ფესვის ქვეშ მყოფი რიცხვები აკმაყოფილებს არჩეული თვისების პირობებს (წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები),
• და განახორციელოს დაგეგმილი ტრანსფორმაცია.

გამონათქვამების კონვერტაცია ცვლადებით ძირის ნიშნების ქვეშ

ირაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ რიცხვებს, არამედ ცვლადებს ფესვის ნიშნის ქვეშ, ამ სტატიის პირველ პუნქტში ჩამოთვლილი ფესვების თვისებები ფრთხილად უნდა იქნას გამოყენებული. ეს უმეტესწილად განპირობებულია იმ პირობებით, რომლებიც უნდა აკმაყოფილებდეს ფორმულებში ჩართული რიცხვებით. მაგალითად, ფორმულის საფუძველზე, გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს გამოსახულებით მხოლოდ იმ x მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებს x≥0 და x+1≥0 პირობებს, ვინაიდან მითითებული ფორმულა დაყენებულია a≥0 და b≥ 0 .

რა საშიშროებაა ამ პირობების იგნორირება? ამ კითხვაზე პასუხი ნათლად ჩანს შემდეგი მაგალითით. ვთქვათ, უნდა გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, როდესაც x=−2 . თუ x ცვლადის ნაცვლად დაუყოვნებლივ ჩავანაცვლებთ რიცხვს −2, მაშინ მივიღებთ საჭირო მნიშვნელობას . ახლა კი წარმოვიდგინოთ, რომ გარკვეული მოსაზრებებიდან გამომდინარე, ჩვენ გადავიყვანეთ მოცემული გამოხატულება ფორმაში და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავწყვიტეთ გამოვთვალოთ მნიშვნელობა. x-ის ნაცვლად ვცვლით რიცხვს −2 და მივდივართ გამოსახულებამდე , რასაც აზრი არ აქვს.

ვნახოთ, რა ემართება x ცვლადის მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონს (ODV), როდესაც გადავდივართ გამოხატულებიდან გამოსახულებაზე. ჩვენ შემთხვევით არ ვახსენეთ ODZ, რადგან ეს არის სერიოზული ინსტრუმენტი შესრულებული გარდაქმნების დასაშვებობის გასაკონტროლებლად და ODZ-ის შეცვლა გამოხატვის ტრანსფორმაციის შემდეგ მაინც უნდა იყოს გაფრთხილებული. ამ გამონათქვამებისთვის ODZ-ის პოვნა რთული არ არის. გამოსახულებისთვის ODZ განისაზღვრება x (x+1)≥0 უტოლობიდან, მისი ამონახსნი იძლევა რიცხვით სიმრავლეს (−∞, −1]∪∪∪)