AND-ის დამუშავების სხვადასხვა ამოცანების ეფექტურად გადასაჭრელად აუცილებელია მათი მათემატიკური ფორმულირება, რომელიც, პირველ რიგში, მოიცავს მათემატიკურ აღწერას, ანუ AND-ის, როგორც კვლევის ობიექტის მოდელს. დღემდე შემუშავებულია არაერთი ასეთი მოდელი, რომელთაგან ზოგიერთი განხილულია ამ თავში.

1.1. შემთხვევითი ველები

ამჟამად ყველაზე გავრცელებულია საინფორმაციო კომპლექსები, რომლებიც მოიცავს სივრცითი სენსორულ სისტემებს და ციფრულ კომპიუტერებს. ამიტომ, ჩვენ ძირითადად განვიხილავთ MI-ს დისკრეტული სივრცითი და დროითი ცვლადებით. ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ დეპუტატები მოცემულია მრავალგანზომილებიან მართკუთხა ბადეებზე ერთეული ნაბიჯით. ნახ. 1.1a და 1.1b გვიჩვენებს ორგანზომილებიან და სამგანზომილებიან ბადეებს. ზოგად შემთხვევაში, AND მოცემულია n-განზომილებიანი ბადის კვანძებში.

ფიზიკური ბუნებიდან გამომდინარე, AND-ის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს სკალარული (მაგალითად, მონოქრომატული სურათის სიკაშკაშე), ვექტორული (სიჩქარის ველი, ფერადი სურათები, გადაადგილების ველი) და უფრო რთული (მაგალითად, მატრიცა). თუ კვანძში (პიქსელში) აღინიშნება AND მნიშვნელობით, მაშინ AND არის ამ მნიშვნელობების მთლიანობა ქსელში: .

თუ მონაცემები არის AND-ების დროის თანმიმდევრობა, მაშინ ზოგჯერ მოსახერხებელია განიხილოს ეს თანმიმდევრობა, როგორც ერთი AND, გაზრდის ბადის განზომილებას ერთით. მაგალითად, ბრტყელი AND-ების თანმიმდევრობა (ნახ. 1.1, ა) შეიძლება ჩაითვალოს ერთ სამგანზომილებიან AND-ად (ნახ. 2.1, ბ).

თუ გსურთ კონკრეტულად მონიშნოთ დროებითი ცვლადი, მაშინ ჩვენ დავწერთ მას ზემოდან: . ეს AND მოცემულია ბადეების და I-ის პირდაპირ ნამრავლზე, სადაც I არის დროის ინდექსის მნიშვნელობების ნაკრები. რადიუსი , ე.ი. წაკითხვის ერთობლიობა და დროის ინდექსის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის i, ეწოდება მე-ე ჩარჩო და. თითოეული ჩარჩო დაყენებულია ბადეზე. მაგალითად, ნახ. 1.1b გვიჩვენებს სამ ორგანზომილებიან ჩარჩოს.

ამრიგად, MI შეიძლება ჩაითვალოს მრავალგანზომილებიან ბადეზე განსაზღვრულ ზოგიერთ ფუნქციად. AND-ის ელემენტების მნიშვნელობის წინასწარ ზუსტი პროგნოზირება შეუძლებელია (წინააღმდეგ შემთხვევაში დაკვირვების სისტემა არ იქნება საჭირო), ამიტომ ბუნებრივია ამ მნიშვნელობების შემთხვევითი ცვლადების (CV) განხილვა, ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის აპარატის გამოყენებით. ასე რომ, მივდივართ MI-ს მთავარ მოდელთან - მრავალგანზომილებიან ბადეზე მოცემულ SV-ების სისტემამდე. ასეთ სისტემებს ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ველი (RS) ან რამდენიმე ცვლადის შემთხვევითი ფუნქცია.

SP-ის აღსაწერად, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა VS სისტემა, შეგიძლიათ დააყენოთ მისი ელემენტების ერთობლივი ალბათობის განაწილების ფუნქცია (DF) ან ერთობლივი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე (PDD) . თუმცა, მე ჩვეულებრივ შედგება ელემენტების ძალიან დიდი რაოდენობით (ათასობით და მილიონობით), ამიტომ DF (ან PDF) ასეთი რაოდენობის ცვლადებით ხდება უსაზღვრო და საჭიროა SP-ის აღწერისთვის სხვა, ნაკლებად რთული მეთოდები.

შესავალი

მატერიალური სამყაროს ობიექტები რთული და მრავალფეროვანია. მათი ყველა თვისების ასახვა შექმნილ, შესწავლილ და გამოყენებულ სურათებში ძალიან რთულია და არა აუცილებელი. მნიშვნელოვანია, რომ ობიექტის გამოსახულება შეიცავდეს იმ მახასიათებლებს, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია მისი გამოყენებისთვის.მოდელირების მეთოდი არის ორიგინალური ობიექტის ჩანაცვლება შემცვლელი ობიექტით, რომელსაც აქვს გარკვეული მსგავსება ორიგინალთან, რათა მიიღოთ ახალი ინფორმაცია. ორიგინალური. მოდელი არის ორიგინალური ობიექტის შემცვლელი ობიექტი, შექმნილია ორიგინალის შესახებ ინფორმაციის მისაღებად.

მათემატიკური მოდელები ეხება სიმბოლურ მოდელებს და წარმოადგენს ობიექტების აღწერას მათემატიკური სიმბოლოების, ფორმულების, გამონათქვამების სახით. თუ საკმარისად ზუსტი მათემატიკური მოდელი ხელმისაწვდომია, მათემატიკური გამოთვლების საშუალებით შესაძლებელია ობიექტის ფუნქციონირების შედეგების პროგნოზირება სხვადასხვა პირობებში, მრავალფეროვანი შესაძლო ვარიანტიდან აირჩიოს ის, რომელიც იძლევა საუკეთესო შედეგებს.

ეს ნაშრომი წარმოადგენს მათემატიკური მოდელირების მეთოდების კლასიფიკაციის ტიპებს და აღწერს რამდენიმე მეთოდს:

ხაზოვანი პროგრამირება არის მათემატიკური მოდელირების ტექნიკა, რომელიც ემსახურება საუკეთესო ვარიანტის პოვნას შეზღუდული რესურსების გასანაწილებლად კონკურენტ სამუშაოებს შორის.

სიმულაციური მოდელირება. სიმულაციური მოდელირების მიზანია შესწავლილი სისტემის ქცევის რეპროდუცირება მის ელემენტებს შორის ყველაზე მნიშვნელოვანი ურთიერთობების ანალიზის შედეგების საფუძველზე, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესწავლილი საგნის სიმულატორის შემუშავება სხვადასხვა ექსპერიმენტების ჩასატარებლად.

მათემატიკური მოდელირების მეთოდების კლასიფიკაცია

გამოყენებითი მათემატიკური მოდელების მრავალფეროვნების გამო, მათი ზოგადი კლასიფიკაცია რთულია. ლიტერატურაში, როგორც წესი, მოცემულია კლასიფიკაციები, რომლებიც ეფუძნება სხვადასხვა მიდგომებსა და პრინციპებს.

იერარქიულ დონეზე მიკუთვნებითმათემატიკური მოდელები იყოფა მიკრო დონის, მაკრო დონის, მეტა დონის მოდელებად. მათემატიკური მოდელები პროცესის მიკრო დონეზე ასახავს ფიზიკურ პროცესებს, რომლებიც ხდება, მაგალითად, ლითონების ჭრისას. ისინი აღწერენ პროცესებს გარდამავალ (გავლის) დონეზე.

მათემატიკური მოდელები პროცესის მაკრო დონეზე აღწერს ტექნოლოგიურ პროცესებს.

მათემატიკური მოდელები პროცესის მეტა-დონეზე აღწერს ტექნოლოგიურ სისტემებს (სექციები, სახელოსნოები, საწარმო მთლიანად).

ნაჩვენები ობიექტის თვისებების ბუნებითმოდელები შეიძლება დაიყოს სტრუქტურულად და ფუნქციურად

მოდელი სტრუქტურულია, თუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მონაცემთა სტრუქტურით ან მონაცემთა სტრუქტურებით და მათ შორის ურთიერთობებით, თავის მხრივ, სტრუქტურული მოდელი შეიძლება იყოს იერარქიული ან ქსელური.

მოდელი არის იერარქიული (ხის მსგავსი), - თუ იგი წარმოდგენილია რაიმე იერარქიული სტრუქტურით (ხე); მაგალითად, საძიებო ხეში მარშრუტის პოვნის პრობლემის გადასაჭრელად, შეგიძლიათ შექმნათ ხის მოდელი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 1.

სურათი 1 - იერარქიული სტრუქტურის მოდელი.

მოდელი არის ქსელი, თუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი რაიმე ქსელის სტრუქტურით. მაგალითად, ახალი სახლის მშენებლობა მოიცავს სხვადასხვა ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ქსელის მოდელში, რომელიც ნაჩვენებია ნახაზ 2-ში.

სურათი 2 - ქსელის სტრუქტურის მოდელი.

მოდელი ფუნქციონალურია, თუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ფუნქციური ურთიერთობების სისტემა. მაგალითად, ნიუტონის კანონი და საქონლის წარმოების მოდელი ფუნქციონალურია.

სხვათა შორის, ობიექტის თვისებები წარმოდგენილიამოდელები იყოფა ანალიტიკურ, რიცხვობრივ, ალგორითმულ და სიმულაციურად.

ანალიტიკური მათემატიკური მოდელები არის გამომავალი პარამეტრების აშკარა მათემატიკური გამოხატულება, როგორც შეყვანის და შიდა პარამეტრების ფუნქციები და აქვთ უნიკალური გადაწყვეტილებები ნებისმიერი საწყისი პირობებისთვის. მაგალითად, ჭრის (მობრუნების) პროცესი მოქმედი ძალების თვალსაზრისით არის ანალიტიკური მოდელი. ასევე, კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს ერთი ან მეტი ამონახსნები, იქნება ანალიტიკური მოდელი. მოდელი იქნება რიცხვითი, თუ მას აქვს ამონახსნები კონკრეტულ საწყის პირობებში (დიფერენციალური, ინტეგრალური განტოლებები).

მოდელი არის ალგორითმული, თუ იგი აღწერილია რაიმე ალგორითმით ან ალგორითმების ნაკრებით, რომელიც განსაზღვრავს მის ფუნქციონირებას და განვითარებას. ამ ტიპის მოდელის დანერგვა (მართლაც, როგორც ჩანს, ნებისმიერი მოდელი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მისი შესწავლის ალგორითმით) სავსებით გამართლებულია, რადგან ყველა მოდელის შესწავლა ან დანერგვა ალგორითმულად არ შეიძლება. მაგალითად, რიცხვების უსასრულო კლებადი სერიის ჯამის გამოსათვლელი მოდელი შეიძლება იყოს ალგორითმი რიგის სასრული ჯამის გამოსათვლელად სიზუსტის გარკვეულ ხარისხამდე. ალგორითმი მისი სავარაუდო, თვითნებურად ზუსტი მნიშვნელობის გამოსათვლელად ცნობილი განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით შეიძლება იყოს ალგორითმული მოდელი X რიცხვის კვადრატული ფესვისთვის.

სიმულაციური მოდელი, თუ იგი გამიზნულია ობიექტის განვითარებისა და ქცევის შესაძლო გზების შესამოწმებლად ან შესწავლაზე, მოდელის ზოგიერთი ან ყველა პარამეტრის შეცვლით, მაგალითად, ეკონომიკური სისტემის მოდელი ორი ტიპის საქონლის წარმოებისთვის. . ასეთი მოდელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც სიმულაცია, რათა დადგინდეს და შეიცვალოს მთლიანი ღირებულება წარმოებული საქონლის მოცულობის გარკვეული მნიშვნელობების მიხედვით.

მიღების გზითმოდელები იყოფა თეორიულ და ემპირიულ.თეორიული მათემატიკური მოდელები იქმნება თეორიულ დონეზე ობიექტების (პროცესების) შესწავლის შედეგად. მაგალითად, არსებობს ფიზიკური კანონების განზოგადების საფუძველზე მიღებული ძალების ჭრის გამოთქმები. მაგრამ ისინი მიუღებელია პრაქტიკული გამოყენებისთვის, რადგან ისინი ძალიან შრომატევადი და არა საკმაოდ ადაპტირებულია რეალურ პროცესებზე. ემპირიული მათემატიკური მოდელები იქმნება ექსპერიმენტების (ობიექტის თვისებების გარეგანი გამოვლინებების შესწავლა შეყვანისა და გამომავალი პარამეტრების გაზომვით) და მათი შედეგების დამუშავების შედეგად მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდებით.

ობიექტის თვისებების წარმოდგენის ფორმის მიხედვითმოდელები იყოფა ლოგიკურ, სიმრავლე-თეორიულ და გრაფიკად. მოდელი ლოგიკურია, თუ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პრედიკატებით, ლოგიკური ფუნქციებით, მაგალითად, ორი ლოგიკური ფუნქციის ერთობლიობა შეიძლება იყოს ერთნიშნა შემკრების მათემატიკური მოდელი. მოდელი არის სიმრავლე-თეორიული, თუ მისი წარმოდგენა შესაძლებელია გარკვეული კომპლექტებისა და მათთან და მათ შორის კუთვნილების მიმართებით. გრაფიკის მოდელი არის ის, თუ ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფით ან გრაფიკებით და მათ შორის ურთიერთობებით.

სტაბილურობის ხარისხის მიხედვით. მოდელები შეიძლება დაიყოს სტაბილურად და არასტაბილურად. სტაბილური სისტემა არის ის, რომელიც, მისი საწყისი მდგომარეობიდან მოშორებით, მიდრეკილია მისკენ. მას შეუძლია გარკვეული დროით ირხევა სასტარტო წერტილის ირგვლივ, როგორც ჩვეულებრივი ქანქარა მოძრაობს, მაგრამ მასში არსებული არეულობა დროთა განმავლობაში ქრება და ქრება. ამპლიტუდა

გარე ფაქტორებთან მიმართებაშიმოდელები შეიძლება დაიყოს ღია და დახურულ. დახურული მოდელი არის მოდელი, რომელიც მოქმედებს გარე (ეგზოგენური) ცვლადებისაგან დამოუკიდებლად. დახურულ მოდელში, დროთა განმავლობაში ცვლადების მნიშვნელობების ცვლილებები განისაზღვრება თავად ცვლადების შიდა ურთიერთქმედებით. დახურულ მოდელს შეუძლია გამოავლინოს სისტემის ქცევა გარე ცვლადის შემოღების გარეშე. მაგალითი: საინფორმაციო სისტემები უკუკავშირით არის დახურული სისტემები. ისინი თვითრეგულირებადი სისტემებია და მათი მახასიათებლები გამომდინარეობს შიდა სტრუქტურისა და ურთიერთქმედებიდან, რომლებიც ასახავს გარე ინფორმაციის შეყვანას. გარე (ეგზოგენურ) ცვლადებთან დაკავშირებულ მოდელს ღია ეწოდება.

დროის ფაქტორთან მიმართებაშიმოდელები იყოფა დინამიურ და სტატიკურად. მოდელს სტატიკური ეწოდება, თუ მის აღწერაში ჩართულ პარამეტრებს შორის არ არის დროის პარამეტრი. მოდელს ეწოდება დინამიური მოდელი, თუ მის პარამეტრებს შორის არის დროის პარამეტრი, ანუ ის აჩვენებს სისტემას (სისტემაში მიმდინარე პროცესებს) დროულად. ერთდროულად.

ხაზოვანი პროგრამირება

მათემატიკური პროგრამირების ამოცანებს შორის ყველაზე მარტივი (და ყველაზე კარგად შესწავლილი) არის ე.წ. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები. მათთვის დამახასიათებელია:

ა) შესრულების მაჩვენებელი (ობიექტური ფუნქცია) W წრფივად დამოკიდებულია ამოხსნის ელემენტებზე x 1, x 2, ....., x p და

ბ) ამონახსნის ელემენტებზე დაწესებულ შეზღუდვებს აქვს წრფივი ტოლობების ან უტოლობების ფორმა x 1, x 2, ..., x p.

ასეთი ამოცანები საკმაოდ გავრცელებულია პრაქტიკაში, მაგალითად, პრობლემების გადაჭრისას, რომლებიც დაკავშირებულია რესურსების განაწილებასთან, წარმოების დაგეგმვასთან, ტრანსპორტის ორგანიზებასთან და ა.შ. შეძენილი ან განკარგული თანხების ოდენობა (მაგალითად, საქონლის ტვირთის მთლიანი ღირებულება ხაზობრივად დამოკიდებულია შეძენილი ერთეულების რაოდენობაზე; ტრანსპორტირების გადახდა ხდება ტრანსპორტირებული საქონლის წონის პროპორციულად და ა.შ.).

ნებისმიერი წრფივი პროგრამირების პრობლემა შეიძლება შემცირდეს სტანდარტულ ფორმამდე, ეგრეთ წოდებული "ძირითადი ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა" (BLI), რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: იპოვნეთ ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობები x 1 , x 2 , .. ., x n, რომელიც დააკმაყოფილებდა თანასწორობის პირობებს (ერთი).

შემთხვევა, როდესაც f უნდა გადატრიალდეს არა მაქსიმუმზე, არამედ. მინიმალური შეიძლება ადვილად შემცირდეს წინაზე, თუ უბრალოდ შეცვლით f-ს ნიშანს (მაქსიმალურად გაზარდეთ არა f, არამედ f" = - f). გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ ნებისმიერი უთანასწორობის პირობებიდან თანასწორობის პირობებზე ახლის დანერგვის ფასად. დამატებითი ცვლადები.

ობიექტური ფუნქციისა და შეზღუდვების ტიპებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოიყოს წრფივი პროგრამირების პრობლემების ან ხაზოვანი მოდელების რამდენიმე ტიპი: ზოგადი წრფივი პრობლემა, ტრანსპორტირების პრობლემა და დავალების პრობლემა.

სატრანსპორტო პრობლემა (მონგე-კანტოროვიჩის პრობლემა) არის სპეციალური ტიპის წრფივი პროგრამირების მათემატიკური პრობლემა აკუმულატორიდან მიმღებამდე ერთგვაროვანი ობიექტების ოპტიმალური განაწილების პოვნის შესახებ მოგზაურობის ხარჯების მინიმიზაციის გზით. გასაგებად, იგი განიხილება, როგორც საქონლის ტრანსპორტირების ოპტიმალური გეგმის პრობლემა გამგზავრების წერტილებიდან მოხმარების წერტილებამდე, მინიმალური ტრანსპორტირების ხარჯებით.

დავალების პრობლემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

არის გარკვეული რაოდენობის ნამუშევრები და გარკვეული რაოდენობის შემსრულებლები. ნებისმიერ კონტრაქტორს შეიძლება დაევალოს ნებისმიერი (მაგრამ მხოლოდ ერთი) სამუშაოს შესრულება, მაგრამ სხვადასხვა ხარჯებით. აუცილებელია სამუშაოს განაწილება ისე, რომ სამუშაო დასრულდეს მინიმალური დანახარჯებით. თუ სამუშაოების და შემსრულებლების რაოდენობა ერთნაირია, მაშინ პრობლემას ეწოდება ხაზოვანი დავალების პრობლემა.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს, კერძოდ, გრაფიკული მეთოდი და სიმპლექსის მეთოდი. გრაფიკული მეთოდი ეფუძნება ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას და გამოიყენება ორგანზომილებიან სივრცეში ამოცანების გადასაჭრელად. სამგანზომილებიანი სივრცის პრობლემები ძალიან იშვიათად წყდება, რადგან. მათი გადაწყვეტის კონსტრუქცია მოუხერხებელია და ვიზუალიზაციას მოკლებულია. განვიხილოთ მეთოდი ორგანზომილებიანი პრობლემის მაგალითზე.

იპოვეთ ამონახსნი X \u003d (x 1, x 2), რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობების სისტემას (3)

(3)

6x1 +7x2 ≤42

რომლის დროსაც ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა F = 2x 1 x 2 აღწევს მაქსიმუმს.

მოდით ავაშენოთ სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში x 1 Ox 2 პრობლემის შესაძლო გადაწყვეტის ფართობი.

თითოეული აშენებული ხაზი ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად თვითმფრინავად. ერთი ნახევრად სიბრტყის წერტილების კოორდინატები აკმაყოფილებს თავდაპირველ უტოლობას, ხოლო მეორე არა. სასურველი ნახევარსიბრტყის დასადგენად, თქვენ უნდა აიღოთ წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ერთ-ერთ ნახევარსიბრტყეს და შეამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა მისი კოორდინატები ამ უტოლობას. თუ მოცემული წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ უტოლობას, მაშინ სასურველი ნახევარსიბრტყე არის ის, რომელსაც ეს წერტილი ეკუთვნის. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კიდევ ერთი ნახევრად თვითმფრინავი.

ვიპოვოთ x 1 -x 2 ≥-3 უტოლობით განსაზღვრული ნახევარსიბრტყე. ამისათვის, სწორი ხაზის (I) x 1 -x 2 \u003d-3 აგების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ გარკვეულ წერტილს, რომელიც მიეკუთვნება მიღებულ ორ ნახევრად სიბრტყედან ერთ-ერთს, მაგალითად, წერტილი O (0,0). ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს x 1 -x 2 ≥-3 უტოლობას. ეს ნიშნავს, რომ ნახევარსიბრტყე, რომელსაც მიეკუთვნება წერტილი O(0,0) განისაზღვრება x 1 -x 2 ≥-3 უტოლობით.

ახლა ვიპოვოთ 6x1+7x 2 ≤42 უტოლობით განსაზღვრული ნახევარსიბრტყე.

ჩვენ ვაშენებთ ხაზს II 6x 1 +7x 2 =42. O(0,0) წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას 6x 1 +7x 2 ≤42, რაც ნიშნავს, რომ მეორე ნახევარსიბრტყე იქნება სასურველი.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ნახევრად სიბრტყეს უტოლობისთვის 2 x 1 -3 x 2 ≤6. O(0,0) წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს 2 x 1 -3 x 2 ≤6 უტოლობას. მაშასადამე, ნახევარსიბრტყე, რომელსაც მიეკუთვნება წერტილი O(0,0) განისაზღვრება 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (III წრფე) უტოლობით.

და ნახევარსიბრტყე უტოლობისთვის x 1 + x 2 ≥4. O(0,0) წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს x 1 + x 2 ≥4 უტოლობას (სტრიქონი IV). აქედან გამომდინარე, ხაზი x 1 + x 2 =4 განისაზღვრება პირველი ნახევარსიბრტყით.

უტოლობები x 1 ≥0 და x 2 ≥0 ნიშნავს, რომ ამოხსნის ფართობი განლაგდება ორდინატიდან მარჯვნივ და აბსცისის ზემოთ. ამრიგად, ABCD ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია სურათზე 3, იქნება შესაძლებელი გადაწყვეტილებების არეალი, რომელიც განისაზღვრება პრობლემის შეზღუდვით. ობიექტური ფუნქცია იღებს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას ABCD ფიგურის ერთ-ერთ წვეროზე. ამ წვერის დასადგენად, ჩვენ ვაშენებთ ვექტორს C (2; -1) და წრფეს 2x 1 -x 2 =p, სადაც p არის რაღაც მუდმივი ისეთი, რომ წრფეს 2x 1 -x 2 =p აქვს საერთო წერტილები ამოხსნის მრავალკუთხედთან. . დავდოთ, მაგალითად, p=1/2 და ავაგოთ სწორი ხაზი 2 x 1 -x 2 =1/2. გარდა ამისა, ჩვენ გადავაადგილებთ აგებულ სწორ წრფეს ვექტორის მიმართულებით, სანამ ის არ გაივლის მის ბოლო საერთო წერტილს ამონახსნის მრავალკუთხედთან. მითითებული წერტილის კოორდინატები განსაზღვრავს ამ ამოცანის ოპტიმალურ გეგმას.

ნახაზი 3 გვიჩვენებს, რომ 2x 1 -x 2 \u003d p წრფის ბოლო საერთო წერტილი ამონახსნების მრავალკუთხედთან არის წერტილი A. ეს წერტილი არის II და III წრფეების გადაკვეთა, ამიტომ მისი კოორდინატები გვხვდება სისტემის გამოსავალად. განტოლებები, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ ხაზებს:

(4)

6x1 +7x2 =42

ამ შემთხვევაში, ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5.25 - 1 * 1.5 \u003d 9.

წერტილი B იქნება პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტა X opt = (x 1 opt, x 2 opt) და მისი კოორდინატები იქნება x 1 opt = 5.25, x 2 opt = 1.5.

სურათი 3 - პრობლემის დასაშვები გადაწყვეტილებების არეალი

Simplex - მეთოდი

ეს მეთოდი არის ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის საცნობარო ამონახსნების მიზანმიმართული ჩამოთვლის მეთოდი. ის იძლევა სასრული რაოდენობის საფეხურებს ან ოპტიმალური გადაწყვეტის მოსაძებნად ან იმის დასადგენად, რომ ოპტიმალური გადაწყვეტა არ არსებობს.

1) მიუთითეთ მეთოდი ოპტიმალური საცნობარო გადაწყვეტის მოსაძებნად.

2) მიუთითეთ ერთი საცნობარო ამონახსნებიდან მეორეზე გადასვლის მეთოდი, რომელზედაც ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა უფრო ახლოს იქნება ოპტიმალურთან, ე.ი. მიუთითეთ საცნობარო გადაწყვეტის გაუმჯობესების გზა.

3) დააყენეთ კრიტერიუმები, რომლებიც საშუალებას მოგცემთ დროულად შეაჩეროთ საცნობარო ამონახსნების ჩამოთვლა ოპტიმალურ ამონახსნზე ან გააკეთოთ დასკვნა ოპტიმალური ამოხსნის არარსებობის შესახებ.

იმისათვის, რომ პრობლემა მოგვარდეს მარტივი მეთოდით, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1) პრობლემის კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა.

2) იპოვნეთ საწყისი საცნობარო ამოხსნა „ერთეულის საფუძვლით“ (თუ არ არის საცნობარო ამოხსნა, მაშინ პრობლემას არ აქვს გამოსავალი შეზღუდვების სისტემის შეუთავსებლობის გამო).

3) გამოთვალეთ ვექტორული გაფართოებების შეფასებები საცნობარო ამონახსნის საფუძვლების მიხედვით და შეავსეთ სიმპლექსის მეთოდის ცხრილი.

4) თუ ოპტიმალური ამოხსნის უნიკალურობის კრიტერიუმი დაკმაყოფილებულია, მაშინ პრობლემის გადაწყვეტა სრულდება. თუ ოპტიმალური ამონახსნების სიმრავლის არსებობის პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ მარტივი ჩამოთვლით, ყველა ოპტიმალური ამონახსნილია.

მათემატიკური მეთოდების გამოთვლითი ეფექტურობა ჩვეულებრივ შეფასებულია ორი პარამეტრის გამოყენებით:

1) ამოხსნის მისაღებად საჭირო გამეორებების რაოდენობა;

2) მანქანის დროის ღირებულება.

რიცხვითი ექსპერიმენტების შედეგად მიღებული იქნა შემდეგი შედეგები სიმპლექსის მეთოდისთვის:

1) გამეორებების რაოდენობა წრფივი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრისას სტანდარტული ფორმით შეზღუდვებითა და ცვლადებით არის და . გამეორებების საშუალო რაოდენობა. გამეორებების რაოდენობის ზედა ზღვარი არის .

2) მანქანის საჭირო დრო პროპორციულია .

შეზღუდვების რაოდენობა უფრო მეტად მოქმედებს გამოთვლით ეფექტურობაზე, ვიდრე ცვლადების რაოდენობაზე, ამიტომ, ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემების ფორმულირებისას, უნდა ვცდილობთ შევამციროთ შეზღუდვების რაოდენობა, თუნდაც ცვლადების რაოდენობის გაზრდით.

სიმულაციის მეთოდის ძირითადი ცნებები.

ტერმინი "სიმულაციური მოდელირება" ("სიმულაციური მოდელი") ჩვეულებრივ ნიშნავს დროთა განმავლობაში განვითარებული პროცესის ზოგიერთი მახასიათებლის მნიშვნელობების გამოთვლას ამ პროცესის მიმდინარეობის კომპიუტერზე მისი მათემატიკური მოდელის გამოყენებით რეპროდუცირებით და ეს ან შეუძლებელია. ან უკიდურესად რთულია საჭირო შედეგების მიღება სხვა გზებით. პროცესის ნაკადის რეპროდუქციას კომპიუტერზე მათემატიკური მოდელის გამოყენებით ჩვეულებრივ სიმულაციური ექსპერიმენტი ეწოდება.

სიმულაციური მოდელები მიეკუთვნება მოდელების კლასს, რომელიც წარმოადგენს აღწერილი პროცესის მახასიათებლებს შორის ურთიერთკავშირების სისტემას. ეს მახასიათებლები იყოფა შიდა ("ენდოგენური", "ფაზის ცვლადები") და გარე ("ეგზოგენური", "პარამეტრები"). დაახლოებით შიდა მახასიათებლები არის ის, ვისი მნიშვნელობებიც გამიზნულია ცნობილი მათემატიკური მოდელირების ინსტრუმენტების გამოყენებით; გარე - ისინი, რომლებზეც მნიშვნელოვნად არის დამოკიდებული შინაგანი მახასიათებლები, მაგრამ შებრუნებული ურთიერთობა (პრაქტიკულად მისაღები სიზუსტით) არ ხდება.

მოდელი, რომელსაც შეუძლია შიდა მახასიათებლების მნიშვნელობების პროგნოზირება, უნდა დაიხუროს ("დახურული მოდელი"), იმ გაგებით, რომ მისი ურთიერთობები საშუალებას იძლევა გამოითვალოს შიდა მახასიათებლები ცნობილ გარედან. მოდელის გარე მახასიათებლების განსაზღვრის პროცედურას ეწოდება მისი იდენტიფიკაცია, ან დაკალიბრება. აღწერილი კლასის მათემატიკური მოდელები (მათში შედის სიმულაციური მოდელები) განსაზღვრავს რუქას, რომელიც შესაძლებელს ხდის შიდა მნიშვნელობების მიღებას გარე მახასიათებლების ცნობილი მნიშვნელობებისგან. შემდგომში, ამ რუქას დაერქმევა მოდელთან დაკავშირებული რუკა.

განსახილველი კლასის მოდელები ეფუძნება გარე მახასიათებლების დამოუკიდებლობის პოსტულატს შინაგანისგან, ხოლო მოდელის ურთიერთობები არის მასთან დაკავშირებული რუკის ჩაწერის ფორმა. როგორც მე-4 სურათზეა ნაჩვენები, მკვლევარი სიმულაციის პროცესში ოთხ ძირითად ელემენტს ეხება:

რეალური სისტემა;

მოდელირებული ობიექტის ლოგიკურ-მათემატიკური მოდელი;

სიმულაციური (მანქანის) მოდელი;

კომპიუტერი, რომელზედაც ტარდება სიმულაცია არის მიმართული გამოთვლითი ექსპერიმენტი.

მკვლევარი სწავლობს რეალურ სისტემას, შეიმუშავებს რეალური სისტემის ლოგიკურ და მათემატიკურ მოდელს. კვლევის სიმულაციური ბუნება გულისხმობს ლოგიკური ან ლოგიკურ-მათემატიკური მოდელების არსებობას, რომლებიც აღწერს შესასწავლ პროცესს. ზემოთ, რეალური სისტემა განისაზღვრა, როგორც დროში მოქმედი ურთიერთქმედების ელემენტების ერთობლიობა. რთული სისტემის კომპოზიტური ბუნება აღწერს მისი მოდელის წარმოდგენას სამი კომპლექტის სახით: A, S, T, სადაც
A არის ელემენტების ერთობლიობა (გარე გარემოს ჩათვლით);
S არის ელემენტებს შორის დასაშვები კავშირების ნაკრები (მოდელის სტრუქტურა);
T არის დროის განხილული მომენტების ერთობლიობა.

სურათი 4 სიმულაციის პროცესი

სიმულაციური მოდელირების თავისებურება ის არის, რომ სიმულაციური მოდელი საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ იმიტირებული ობიექტები:

მათი ლოგიკური სტრუქტურის შენარჩუნებით;

ქცევითი თვისებების შენარჩუნებით (სისტემაში მომხდარი მოვლენების დროში მონაცვლეობის თანმიმდევრობა), ე.ი. ურთიერთქმედების დინამიკა.

სიმულაციური მოდელირებისას მოდელირებული სისტემის სტრუქტურა ადეკვატურად არის ნაჩვენები მოდელში და მისი ფუნქციონირების პროცესები თამაშდება (სიმულირებული) აგებულ მოდელზე. მაშასადამე, სიმულაციური მოდელის აგება მოიცავს იმიტირებული ობიექტის ან სისტემის სტრუქტურისა და ფუნქციონირების აღწერას.

არსებობს სიმულაციური მოდელები:

უწყვეტი;

დისკრეტული;

უწყვეტი-დისკრეტული.

უწყვეტი სიმულაციის მოდელებში ცვლადები მუდმივად იცვლება, სიმულირებული სისტემის მდგომარეობა იცვლება დროის უწყვეტი ფუნქციით და, როგორც წესი, ეს ცვლილება აღწერილია დიფერენციალური განტოლებების სისტემებით. შესაბამისად, მოდელის დროის წინსვლა დამოკიდებულია დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის რიცხვით მეთოდებზე. დისკრეტულ სიმულაციის მოდელებში, ცვლადები დისკრეტულად იცვლება სიმულაციის დროის გარკვეულ მომენტებში (მოვლენების დადგომა).

დისკრეტული მოდელების დინამიკა არის გადასვლის პროცესი შემდეგი მოვლენის მომენტიდან მომდევნო მომენტამდე. იმის გამო, რომ უწყვეტი და დისკრეტული პროცესები ხშირად შეუძლებელია რეალურ სისტემებში გამიჯვნა, შემუშავებულია უწყვეტი-დისკრეტული მოდელები, რომლებიც აერთიანებს ამ ორი პროცესისთვის დამახასიათებელ დროის წინსვლის მექანიზმებს.

სიმულაციური მოდელირების მეთოდი იძლევა მაღალი სირთულის პრობლემების გადაჭრის საშუალებას, უზრუნველყოფს რთული და მრავალფეროვანი პროცესების სიმულაციას, ელემენტების დიდი რაოდენობით. ცალკეული ფუნქციური დამოკიდებულებები ასეთ მოდელებში შეიძლება აღწერილი იყოს რთული მათემატიკური ურთიერთობებით. ამიტომ სიმულაციური მოდელირება ეფექტურად გამოიყენება რთული სტრუქტურის მქონე სისტემების შესწავლის პრობლემებში კონკრეტული პრობლემების გადაჭრის მიზნით. სიმულაციური მოდელი შეიცავს უწყვეტი და დისკრეტული მოქმედების ელემენტებს, ამიტომ იგი გამოიყენება დინამიური სისტემების შესასწავლად, როდესაც საჭიროა ბოსტნეულის ანალიზი, ფუნქციონირების დინამიკის შესწავლა, როდესაც სასურველია პროცესის მიმდინარეობის დაკვირვება სიმულაციაზე. მოდელი გარკვეული დროის განმავლობაში.

სიმულაციური მოდელირება არის ეფექტური ინსტრუმენტი სტოქასტური სისტემების შესასწავლად, როდესაც შესასწავლ სისტემაზე შეიძლება გავლენა იქონიოს რთული ხასიათის მრავალრიცხოვან შემთხვევით ფაქტორებზე. კვლევის ჩატარება შესაძლებელია გაურკვევლობის პირობებში, არასრული და არაზუსტი მონაცემებით. სიმულაციური მოდელირება მნიშვნელოვანი ფაქტორია გადაწყვეტილების მხარდაჭერის სისტემებში, რადგან საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ ალტერნატივების დიდი რაოდენობა (გადაწყვეტილებები), ითამაშოთ სხვადასხვა სცენარი ნებისმიერი შეყვანისთვის.

სიმულაციური მოდელირების მთავარი უპირატესობა ის არის, რომ მკვლევარს, ახალი სტრატეგიების შესამოწმებლად და გადაწყვეტილებების მისაღებად, შესაძლო სიტუაციების შესწავლისას, ყოველთვის შეუძლია მიიღოს პასუხი კითხვაზე „რა მოხდება, თუ?“. სიმულაციური მოდელი შესაძლებელს ხდის წინასწარ განვსაზღვროთ, როდის ხდება სისტემის შემუშავება ან განვითარების პროცესების შესწავლა (ანუ იმ შემთხვევებში, როდესაც რეალური სისტემა ჯერ არ არსებობს). სიმულაციური მოდელში შეიძლება იყოს მოწოდებული სხვადასხვა, მათ შორის, სიმულირებული პროცესების დეტალების მაღალი დონე. ამ შემთხვევაში მოდელი იქმნება ეტაპობრივად, ევოლუციურად.

ბიბლიოგრაფია

1. ბლინოვი, იუ.ფ. მათემატიკური მოდელირების მეთოდები [ტექსტი]: ელექტრონული სახელმძღვანელო / Yu.F. ბლინოვი, ვ.ვ. ივანცოვი, პ.ვ. სერბი. -Taganrog: TTI SFU, 2012. -42გვ.

2. ვენცელი, ე.ს. ოპერაციების კვლევა. ამოცანები, პრინციპები, მეთოდოლოგია. [ტექსტი]: სასწავლო გზამკვლევი / E.S. Wentzel - M. : KNORUS, 2010. - 192გვ.

3. გეტმანჩუკი, ა.ვ. ეკონომიკური და მათემატიკური მეთოდები და მოდელები [ტექსტი]: სახელმძღვანელო ბაკალავრებისთვის. / A.V. გეტმანჩუკი - მ.: საგამომცემლო და სავაჭრო კორპორაცია "დაშკოვი და კო", 2013. -188 გვ.

4. ზამიატინა ო.მ. სისტემების მოდელირება. [ტექსტი]: სასწავლო სახელმძღვანელო. / ო.მ. Zamyatina - Tomsk: TPU გამომცემლობა, 2009. - 204 გვ.

5. პავლოვსკი, იუ.ნ. სიმულაციური მოდელირება. [ტექსტი]: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.

ლოკალიზაციის ობიექტის კლასიფიკაციის დომინანტური მახასიათებლების დადგენა და სახის გამომეტყველების გამოსახულების ანალიზის მათემატიკური მოდელის შემუშავება.

Დავალებები

სახის ლოკალიზაციის მეთოდების ძიება და ანალიზი, კლასიფიკაციის დომინანტური მახასიათებლების განსაზღვრა, მათემატიკური მოდელის შემუშავება, რომელიც ოპტიმალურია სახის გამონათქვამების მოძრაობის ამოცნობის ამოცანისთვის.

საგანი

მოცემულ გამოსახულების კლასზე გამოჩენილი ობიექტების ასაგებად ოპტიმალური ფერის სივრცის განსაზღვრის გარდა, რომელიც განხორციელდა კვლევის წინა ეტაპზე, კლასიფიკაციის დომინანტური მახასიათებლების განსაზღვრა და სახის გამოსახულებების მათემატიკური მოდელის შემუშავება. ასევე მნიშვნელოვან როლს ასრულებს.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია სისტემაში ვიდეო კამერით სახის ამოცნობის ამოცანის მოდიფიცირების მახასიათებლების დაყენება, შემდეგ კი ტუჩების მოძრაობის ლოკალიზაციის განხორციელება.

რაც შეეხება პირველ ამოცანას, უნდა განვასხვავოთ მათი ორი ტიპი:
სახის ლოკალიზაცია;
სახის თვალყურის დევნება.
ვინაიდან ჩვენ წინაშე გვაქვს დავალება შევიმუშაოთ სახის გამონათქვამების ამოცნობის ალგორითმი, ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ ამ სისტემას გამოიყენებს ერთი მომხმარებელი, რომელიც თავს ძალიან აქტიურად არ ამოძრავებს. ამიტომ, ტუჩის მოძრაობის ამოცნობის ტექნოლოგიის დასანერგად, საფუძვლად უნდა ავიღოთ გამოვლენის პრობლემის გამარტივებული ვერსია, სადაც სურათზე ერთი და მხოლოდ ერთი სახეა.

და ეს ნიშნავს, რომ სახის ძებნა შეიძლება განხორციელდეს შედარებით იშვიათად (დაახლოებით 10 კადრი/წმ. ან კიდევ უფრო ნაკლები). ამასთან, საუბრის დროს მოსაუბრეს ტუჩების მოძრაობა საკმაოდ აქტიურია და, შესაბამისად, მათი კონტური უფრო დიდი ინტენსივობით უნდა შეფასდეს.

გამოსახულებაში სახის პოვნის ამოცანა შეიძლება გადაწყდეს არსებული საშუალებებით. დღეს გამოსახულებაზე სახის გამოვლენისა და ლოკალიზაციის რამდენიმე მეთოდი არსებობს, რომლებიც შეიძლება დაიყოს 2 კატეგორიად:
1. ემპირიული აღიარება;
2. სახის გამოსახულების მოდელირება. .

პირველი კატეგორია მოიცავს ზემოდან ქვემოდან ამოცნობის მეთოდებს, რომლებიც დაფუძნებულია სახის გამოსახულების უცვლელ მახასიათებლებზე, დაფუძნებული იმ ვარაუდზე, რომ არსებობს სურათში სახეების არსებობის გარკვეული ნიშნები, რომლებიც უცვლელია გადაღების პირობებთან მიმართებაში. ეს მეთოდები შეიძლება დაიყოს 2 ქვეკატეგორიად:
1.1. სახის გამოსახულებისთვის დამახასიათებელი ელემენტებისა და თვისებების (მახასიათებლების) გამოვლენა (კიდეები, სიკაშკაშე, ფერი, სახის ნაკვთების დამახასიათებელი ფორმა და ა.შ.), .;
1.2. აღმოჩენილი მახასიათებლების ანალიზი, გადაწყვეტილების მიღება სახეების რაოდენობასა და მდებარეობაზე (ემპირიული ალგორითმი, ფუნქციების შედარებითი პოზიციის სტატისტიკა, ვიზუალური გამოსახულების პროცესების მოდელირება, ხისტი და დეფორმირებადი შაბლონების გამოყენება და ა.შ.), .

ალგორითმის სწორი მუშაობისთვის აუცილებელია სახის თვისებების მონაცემთა ბაზის შექმნა შემდგომი ტესტირებით. ემპირიული მეთოდების უფრო ზუსტი განხორციელებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოდელები, რომლებიც საშუალებას იძლევა გავითვალისწინოთ სახის ტრანსფორმაციის შესაძლებლობები და, შესაბამისად, ჰქონდეს ამოცნობის ძირითადი მონაცემების გაფართოებული ნაკრები, ან მექანიზმი, რომელიც საშუალებას აძლევს ტრანსფორმაციის მოდელირებას ძირითად ელემენტებზე. . კლასიფიკატორის მონაცემთა ბაზის აგების სირთულეები, რომლებიც ორიენტირებულია მომხმარებელთა ფართო სპექტრზე ინდივიდუალური მახასიათებლებით, სახის მახასიათებლებით და ა.შ., ხელს უწყობს ამ მეთოდის ამოცნობის სიზუსტის შემცირებას.

მეორე კატეგორია მოიცავს მათემატიკური სტატისტიკისა და მანქანათმცოდნეობის მეთოდებს. ამ კატეგორიის მეთოდები ეფუძნება გამოსახულების ამოცნობის ინსტრუმენტებს, განიხილავს სახის ამოცნობის პრობლემას, როგორც ამოცნობის პრობლემის განსაკუთრებულ შემთხვევას. სურათს ენიჭება გარკვეული მახასიათებლის ვექტორი, რომელიც გამოიყენება სურათების ორ კლასად კლასიფიკაციისთვის: სახე/არასახე. თვისების ვექტორის მისაღებად ყველაზე გავრცელებული გზაა თავად გამოსახულების გამოყენება: თითოეული პიქსელი ხდება ვექტორის კომპონენტი, აქცევს n×m გამოსახულებას სივრცის ვექტორად R^(n×m), სადაც n და m არის დადებითი მთელი რიცხვები. . . ამ წარმოდგენის მინუსი არის მხატვრული სივრცის უკიდურესად მაღალი განზომილება. ამ მეთოდის უპირატესობაა ადამიანის მონაწილეობის კლასიფიკატორის აგების მთელი პროცედურისგან გამორიცხვა, ასევე კონკრეტული მომხმარებლისთვის თავად სისტემის მომზადების შესაძლებლობა. ამიტომ, გამოსახულების მოდელირების მეთოდების გამოყენება სახის ლოკალიზაციის მათემატიკური მოდელის შესაქმნელად ოპტიმალურია ჩვენი პრობლემის გადასაჭრელად.

რაც შეეხება სახის პროფილის სეგმენტირებას და ტუჩის წერტილების პოზიციის თვალყურის დევნებას ჩარჩოების თანმიმდევრობით, ამ პრობლემის გადასაჭრელად უნდა იქნას გამოყენებული მათემატიკური მოდელირების მეთოდებიც. სახის გამონათქვამების მოძრაობის დასადგენად რამდენიმე გზა არსებობს, მათგან ყველაზე ცნობილია მათემატიკური მოდელის გამოყენება აქტიური კონტურის მოდელებზე დაფუძნებული:

სახის გამონათქვამების არეალის ლოკალიზაცია აქტიური კონტურის მოდელების მათემატიკური მოდელის საფუძველზე

აქტიური კონტური (გველი) არის დეფორმირებადი მოდელი, რომლის შაბლონი მოცემულია პარამეტრული მრუდის სახით, რომელიც ინიციალიზებულია ხელით საკონტროლო წერტილების კომპლექტით, რომლებიც დევს შეყვანილ სურათზე ღია ან დახურულ მრუდზე.

აქტიური კონტურის სახის გამონათქვამების გამოსახულებაზე ადაპტირებისთვის საჭიროა განხორციელდეს შესასწავლი ობიექტის შესაბამისი ბინარიზაცია, ანუ მისი გადაქცევა ერთგვარ ციფრულ რასტრულ გამოსახულებად და შემდეგ შესაბამისი პარამეტრების შეფასება. აქტიური კონტური და მახასიათებლის ვექტორის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს.

აქტიური კონტურის მოდელი განისაზღვრება როგორც:
პუნქტების ნაკრები N;
ინტერესის ენერგიის შიდა სფეროები (შიდა ელასტიური ენერგიის ტერმინი);
ინტერესის ენერგიის გარე რეგიონები (გარე ზღვარზე დაფუძნებული ენერგიის ტერმინი).

ამოცნობის ხარისხის გასაუმჯობესებლად გამოიყოფა ორი ფერის კლასი - კანი და ტუჩები. ფერის კლასის წევრობის ფუნქციას აქვს მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე დიაპაზონში.

აქტიური კონტურის მოდელის (გველი) განტოლება წარმოდგენილია გამოხატული ფორმულით v(s) როგორც:

სადაც E არის გველის ენერგია (აქტიური კონტურის მოდელი). პირველი ორი ტერმინი აღწერს აქტიური კონტურის მოდელის (გველი) კანონზომიერების ენერგიას. ჩვენს პოლარული კოორდინატთა სისტემაში v(s) =, s არის 0-დან 1-მდე. მესამე წევრი არის ენერგია, რომელიც დაკავშირებულია გამოსახულების გარე ძალასთან, მეოთხე არის წნევის ძალა.

გარე ძალა განისაზღვრება ზემოთ აღწერილი მახასიათებლების საფუძველზე. მას შეუძლია საკონტროლო წერტილების გადატანა გარკვეული ინტენსივობის მნიშვნელობაზე. იგი გამოითვლება შემდეგნაირად:

გრადიენტური მულტიპლიკატორი (წარმოებული) გამოითვლება სერპენტინულ წერტილებზე შესაბამისი რადიალური ხაზის გასწვრივ. ძალა იზრდება, თუ გრადიენტი უარყოფითია და სხვაგვარად მცირდება. კოეფიციენტი გრადიენტამდე არის წონის ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია გამოსახულების ტოპოლოგიაზე. შეკუმშვის ძალა მხოლოდ მუდმივია, გამოყენებულია მინიმალური წონის კოეფიციენტის ½. გველის საუკეთესო ფორმა მიიღება ენერგიის ფუნქციონირების მინიმუმამდე შემცირებით გარკვეული რაოდენობის გამეორებების შემდეგ.

მოდით განვიხილოთ სურათის დამუშავების ძირითადი ოპერაციები უფრო დეტალურად. სიმარტივისთვის, დავუშვათ, რომ ჩვენ უკვე შევარჩიეთ სპიკერის პირის ღრუს არე. ამ შემთხვევაში, მიღებული გამოსახულების დამუშავების ძირითადი ოპერაციები, რომლებიც უნდა შევასრულოთ, ნაჩვენებია ნახ. 3.

დასკვნა

კვლევითი სამუშაოს მსვლელობისას გამოსახულების კლასიფიკაციის დომინანტური მახასიათებლების დასადგენად გამოიკვეთა ვიდეოკამერით სახის ამოცნობის ამოცანის შეცვლის თავისებურებები. სახის ლოკალიზაციისა და სახის გამონათქვამების შესწავლილი არეალის გამოვლენის ყველა მეთოდს შორის, ყველაზე შესაფერისი მობილური მოწყობილობებისთვის უნივერსალური ამოცნობის სისტემის შექმნის ამოცანებისთვის არის სახის გამოსახულების მოდელირების მეთოდები.
სახის გამონათქვამების მოძრაობის გამოსახულების მათემატიკური მოდელის შემუშავება ეფუძნება შესწავლილი ობიექტის ბინარიზაციის აქტიური კონტურის მოდელების სისტემას. ვინაიდან ეს მათემატიკური მოდელი საშუალებას იძლევა ფერთა სივრცის RGB-დან YCbCr ფერად მოდელზე შეცვლის შემდეგ, ინტერესის ობიექტი ეფექტურად გარდაქმნას, მისი შემდგომი ანალიზისთვის აქტიური კონტურის მოდელებზე დაფუძნებული და სახის გამონათქვამების მკაფიო საზღვრების იდენტიფიცირება გამოსახულების შესაბამისი გამეორების შემდეგ.

გამოყენებული წყაროების სია

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. გამოსახულებაში სახის გამოვლენა და ლოკალიზაცია. CGM Journal, 2003 წ
2. იქვე.
3. E. Hjelmas და B.K. დაბალი, სახის ამოცნობა: გამოკითხვა, ჟურნალი კომპიუტერული ხედვისა და გამოსახულების გაგების ჟურნალი, ტ.83, გვ. 236-274, 2001 წ.
4. G. Yang და T.S. Huang, Human face detection in რთული ფონზე, Pattern Recognition, ტ.27, No.1, გვ.53-63, 1994 წ.
5. K. Sobottka and I. Pitas, სახის ავტომატური სეგმენტაციის ახალი მეთოდი, სახის მახასიათებლების ამოღება და თვალყურის დევნება, სიგნალის დამუშავება: გამოსახულების კომუნიკაცია, ტ. 12, No 3, გვ. 263-281, ივნისი, 1998 წ
6. F. Smeraldi, O. Cormona და J. Big.un., Saccadic search with Gabor ფუნქციები, რომლებიც გამოიყენება თვალის ამოცნობისა და რეალურ დროში თავის თვალყურის დევნისთვის, Image Vision Comput. 18, გვ. 323-329, 200 წ
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. ადამიანის სახის ამოცნობის ემპირიული და მათემატიკური ალგორითმების ანალიზი. ქსელ-ჟურნალი. მოსკოვის ენერგეტიკის ინსტიტუტი (ტექნიკური უნივერსიტეტი). No1 (18), 2011 წ

Გაგრძელება იქნება

მათემატიკურიმოდელირება- რეალურთან შესაბამისობის დადგენის პროცესი სისტემა S M მოდელის mat და ამ მოდელის შესწავლა, რაც საშუალებას იძლევა მივიღოთ რეალური სისტემის მახასიათებლები. განაცხადი ხალიჩების მოდელირება საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ ობიექტები, რეალური ექსპერიმენტები, რომლებზეც რთული ან შეუძლებელია.

ანალიტიკური მოდელირება- ელემენტების ფუნქციის პროცესები იწერება მათემატიკური მიმართებების სახით (ალგებრა, ინტეგრალი, განსხვავდება, ლოგიკური და ა.შ.). მეთიუ. მოდელი შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს საჭირო რაოდენობას. ის უნდა გარდაიქმნას შეფარდების სისტემად სასურველ რაოდენობებთან მიმართებაში, რაც საშუალებას მისცემს სასურველი შედეგის მიღებას წმინდა ანალიზური მეთოდებით. ამაში ვგულისხმობთ ფორმის აშკარა ფორმულების მიღებას

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, ან ცნობილი ფორმის განტოლებების მიღება, რომელთა ამოხსნაც ცნობილია. ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია ხარისხიანიმოდელის შესწავლა, რომელშიც ცალსახად შეიძლება მოიძებნოს ხსნარის მხოლოდ ზოგიერთი თვისება.

რიცხვითი მოდ-ე იყენებს მათემატიკის გამოთვლის მეთოდებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მხოლოდ სავარაუდო ამონახსნები. პრობლემის გადაწყვეტა ნაკლებად სრულყოფილია, ვიდრე ანალ-მ რეჟიმში. ციფრული mod-I zakl-Xia-ს ფუნდამენტური მინუსი შერჩეული რიცხვითი მეთოდის ავტომატურ განხორციელებაში. მოდელირების ალგორითმი ასახავს რიცხვით მეთოდს უფრო მეტად, ვიდრე მოდელის მახასიათებლებს. ამიტომ რიცხვითი მეთოდის შეცვლისას საჭიროა სიმულაციის ალგორითმის გადამუშავება.

სიმულაციის რეჟიმი- შესწავლილი სისტემის ფუნქციის პროცესის კომპიუტერზე რეპროდუცირება (იმიტაცია) რეალური მოვლენების ლოგიკური და დროითი თანმიმდევრობის შესაბამისად. imit-mod-i-სთვის დამახასიათებელია მოვლენის დაკვრასისტემაში (მოდელის მიერ აღწერილი) წარმოქმნილი მათი ლოგიკური სტრუქტურადა დროის თანმიმდევრობა. ის საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ მონაცემები სისტემის მდგომარეობის ან მისი ცალკეული ელემენტების შესახებ დროის გარკვეულ მომენტებში. სიმულაციური მოდელირება ჰგავს რეალურ ობიექტზე პროცესების ექსპერიმენტულ შესწავლას, ე.ი. ადგილზე.

12. შემთხვევითი რიცხვების მიღება თვითნებური განაწილების კანონით შებრუნებული ფუნქციების მეთოდით. Md arr f-th არის ყველაზე ზოგადი და უნივერსალური გზა რიცხვების მისაღებად, რომლებიც ემორჩილებიან მოცემულ კანონს. სტანდარტული მოდელირების მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ კუმულაციური განაწილების ფუნქცია
ნებისმიერი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი თანაბრად ნაწილდება ინტერვალში (0;1), ე.ი. ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადისთვის X განაწილების სიმკვრივით ვ(x) შემთხვევითი ცვლადი თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე (0;1).

შემდეგ შემთხვევითი ცვლადი X თვითნებური განაწილების სიმკვრივით ვ(x) შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ალგორითმის მიხედვით: 1. აუცილებელია შემთხვევითი ცვლადის გენერირება r (შემთხვევითი ცვლადის R მნიშვნელობა) თანაბრად განაწილებული ინტერვალში (0;1). 2. გენერირებული შემთხვევითი რიცხვი გავაიგივოთ ცნობილ განაწილების ფუნქციასთან F( X ) და მიიღეთ განტოლება
. 3. X=F -1 (r) განტოლების ამოხსნით ვპოულობთ სასურველ X მნიშვნელობას

გრაფიკული გადაწყვეტა

.

მე-11 კითხვის გარდა.

განვიხილოთ მაგალითი, რომელიც ახასიათებს განსხვავებას მოდელირების განხილულ ტიპებს შორის.

არსებობს სისტემა, რომელიც შედგება სამი ბლოკისგან.

სისტემა ნორმალურად ფუნქციონირებს, თუ 1 და 2 ბლოკებიდან ერთი მაინც არის კარგ მდგომარეობაში, ასევე ბლოკი 3 კარგ მდგომარეობაშია. f1(t), f2(t), f3(t) ბლოკების მუშაობის დროის განაწილების ფუნქციები. ცნობილია. საჭიროა იპოვონ სისტემის უპრობლემოდ მუშაობის ალბათობა t მომენტში.

ექვივალენტური ლოგიკური წრე

ნიშნავს, რომ სისტემის უკმარისობა ხდება წრედის გატეხვისას. ეს ხდება შემდეგ შემთხვევებში:

1 და 2 ბლოკები ვერ მოხერხდა, ბლოკი 3 ემსახურება;

ბლოკი 3 ვერ მოხერხდა, 1 და 2 ბლოკებიდან ერთი მაინც მუშაობს.

სისტემის უპრობლემოდ მუშაობის ალბათობა P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

ეს ფორმულა არის სისტემის მათემატიკური მოდელის საფუძველი.

ანალიტიკური მოდელირება.ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ პირობით, რომ ყველა ინტეგრალი გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით. დავუშვათ, რომ

მერე
=
=
.

ამის გათვალისწინებით, მოდელი (1) იღებს ფორმას

ეს არის მკაფიო ანალიტიკური გამოხატულება სასურველი ალბათობისთვის; იგი მოქმედებს მხოლოდ დაშვებული ვარაუდებით.

რიცხვითი სიმულაცია. ამის საჭიროება შეიძლება წარმოიშვას, მაგალითად, როდესაც დადგინდება, რომ ინტეგრალები არ არის განსაზღვრული (ანუ არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით). ამის საჭიროება შეიძლება წარმოიშვას, მაგალითად, როდესაც დადგინდება, რომ განაწილებები f1(t), f2(t), f3(t) ემორჩილება გაუსის კანონს (ნორმალური):
.ფორმულის მიხედვით გამოთვლებისთვის P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = თითოეული მნიშვნელობისთვის t-დან ისინი უნდა განისაზღვროს რიცხობრივად, მაგალითად, ტრაპეციის, სიმფსონის, გაუსის ან სხვა მეთოდებით. t-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის, გამოთვლები კვლავ ტარდება.

მართკუთხედის მეთოდი, ტრაპეციის მეთოდი, პარაბოლის მეთოდი. მართკუთხედის მეთოდით ჩნდება შეცდომა - გამოთვლების უზუსტობა. მაგრამ ის შეიძლება დაიყოს 2 ან მეტ ინტერვალად. ჩნდება ბევრი ინტეგრალი, მაგრამ აქ უკვე ხდება დამრგვალების შეცდომა.

გაუსის მეთოდი

მონტე კარლოს მეთოდი

სიმულაციური მოდელირება.იმიტაცია არის სისტემაში მომხდარი მოვლენების რეპროდუქცია, ე.ი. თითოეული ელემენტის სწორი მოქმედება ან წარუმატებლობა. თუ სისტემის მუშაობის დრო არის t, ხოლო ti არის ელემენტის უშედეგო მუშაობის დრო i რიცხვით, მაშინ: მოვლენა ti>t ნიშნავს, რომ ელემენტი სწორად მუშაობდა დროის განმავლობაში (0; t];

ღონისძიება ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

გაითვალისწინეთ, რომ ti არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია კანონის fi(t) მიხედვით, რომელიც ცნობილია პირობით.

შემთხვევითი მოვლენის სიმულაცია "k-ე ელემენტის სწორი მოქმედება დროის განმავლობაში (0; t]" არის:

1) ფი(თ) კანონის მიხედვით განაწილებული ti შემთხვევითი რიცხვის მიღებისას;

2) ti>t ლოგიკური გამოთქმის ჭეშმარიტების შემოწმებისას. თუ ეს მართალია, მაშინ i-ე ელემენტი მუშაობს, თუ ის false, ვერ მოხერხდა.

სიმულაციის ალგორითმი შემდეგია:

1. დავსვათ n=0, k=0. აქ n არის შემთხვევითი პროცესის რეალიზაციის (გამეორებების) რაოდენობის მრიცხველი; k არის "წარმატების" რაოდენობის მრიცხველი.

2. მიიღეთ სამი შემთხვევითი რიცხვი t1,t2,t3, შესაბამისად განაწილებული f1(t),f2(t),f3(t) კანონების მიხედვით.

3. შეამოწმეთ ლოგიკური გამონათქვამის ჭეშმარიტება L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

თუ L=true, მაშინ ჩადეთ k=k+1 და გადადით მე-4 საფეხურზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში გადადით მე-4 საფეხურზე.

4. ჩასვით n=n+1.

5.თუ ნ<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნავთ: N-ის მნიშვნელობა წინასწარ არის დაყენებული სასურველი მნიშვნელობის P(t) სტატისტიკური შეფასების სანდოობის შესახებ მოცემული სიზუსტის უზრუნველსაყოფად.

იალტის საგანმანათლებლო კომპლექსი "სკოლა-ლიცეუმი No9"

დირექტორის მოადგილე წყლის რესურსების მართვის საკითხებშირომანოვა ა.ნ.

"მოდელირება მათემატიკის გაკვეთილებზე დაწყებით სკოლაში"

სახელოსნო

მათემატიკა სკოლაში უნდა ისწავლებოდეს

ასევე დადგეს მიზნად, რათა ცოდნა,

ვინც აქ მოხვდებოდა

საკმარისია ნორმალურისთვის

საჭიროებები ცხოვრებაში.

მ.ლობაჩევსკი

ანგარიშის მონახაზი

ახალი გაიდლაინები მათემატიკურ განათლებაში.

მოდელირების მეთოდური საფუძვლები. მათემატიკური მოდელი.

მოდელირების მეთოდის გამოყენება მათემატიკის გაკვეთილებზე დაწყებით სკოლაში.

მოსწავლეთა მათემატიკური მოდელირების ტექნიკის გაცნობა.

მოდელირების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას.

მოდელირება ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას.

მოდელირების გამოყენება ნუმერაციის შესწავლისას, რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების მეთოდების, აგრეთვე სიგრძის ერთეულებზე მუშაობისას.

ახალი გაიდლაინები მათემატიკურ განათლებაში. (5 წუთი)

ცნობილია, რომ მოდელები მათემატიკის ენაა, მოდელირება კი მათი მეტყველება. მათემატიკის დაუფლების წარმატება განისაზღვრება, პირველ რიგში, იმით, თუ რამდენად კარგად ისწავლა ბავშვმა თავის ენაზე „ლაპარაკი“. ამას განსაზღვრავს არა მხოლოდ სტუდენტის აკადემიური წარმატება სამეცნიერო და შემეცნებითი ამოცანების გადაჭრაში, არამედ უფრო მეტად ინდივიდის ცხოვრებისეული წარმატებებით - წყალობით.განაცხადის უნარი მათემატიკური მეთოდები პრაქტიკული, რეალურ ცხოვრებაში ამოცანების გადასაჭრელად, რომლებიც ამას მოითხოვს. დამეთანხმებით, ესეც კარგი შედეგია მათემატიკის სკოლაში სწავლების.

ვასწავლით თუ არა ჩვენს მოსწავლეებს მათემატიკურ მეტყველებას? ან იქნებ ეს დაწყებითი სკოლისთვის რთულ ამოცანად მივიჩნიოთ? თუ უბრალოდ ვიმედოვნებთ, რომ მაგალითებისა და პრობლემების ყოველდღიური გადაჭრის პროცესში თავად ბავშვები თანდათან ისწავლიან მის გამოყენებას?

კიევის სკოლების მონიტორინგის მონაცემებით, ისევე როგორც უკრაინული მონიტორინგის მონაცემებით, მოსწავლეთა უმრავლესობამ (60% და 53%, შესაბამისად) არ იცის როგორ იმუშაოს მზა გრაფიკულ მოდელებთან, შეასრულოს შემოქმედებითი დავალებები და გამოიყენონ თავიანთი ცოდნა ახალ სიტუაციებში პრობლემების გადასაჭრელად.

მათემატიკური განათლების ამ მდგომარეობამ გამოიწვია სკოლის მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სწავლების სახელმწიფო მოთხოვნების მნიშვნელოვანი გადახედვის აუცილებლობა. "სახელმწიფო სტანდარტის ..." ახალი რედაქცია, რომელიც ძალაში შევიდა წელს. პიროვნებაზე ორიენტირებული და კომპეტენციებზე დაფუძნებული მიდგომის თვალსაზრისით, ის რეალურად ახდენს მასწავლებლის აქტივობის რეორიენტირებას.კომპეტენცია - ცოდნისა და გამოცდილების არსებობა, რომელიც აუცილებელია მოცემულ საგნობრივ სფეროში ეფექტური საქმიანობისთვის . მოდით შევადაროთ . ჯერ კიდევმიმდინარე სახელმწიფო სტანდარტში ნათქვამია: „დაწყებით სკოლაში მათემატიკის შესწავლა მოსწავლეებს აძლევს მათემატიკის და სხვა საგნების შემდგომი შესწავლისთვის აუცილებელ ცოდნას, უნარებსა და შესაძლებლობებს... მათემატიკის შესწავლა ხელს უწყობს უმცროსი მოსწავლეების შემეცნებითი შესაძლებლობების - მეხსიერების განვითარებას. ლოგიკური და შემოქმედებითი აზროვნება, წარმოსახვა, მათემატიკური მეტყველება.სახელმწიფო სტანდარტის ახალ გამოცემაში მიზანი საგანმანათლებლო დარგში „მათემატიკა“ უკვე განისაზღვრა, როგორც „სწრაფად ცვალებად სამყაროში მოსწავლეთა თვითრეალიზაციისთვის აუცილებელი საგნობრივი მათემატიკური და ძირითადი კომპეტენციების ჩამოყალიბება“. საგნობრივი მათემატიკური კომპეტენცია განიხილება, როგორც "პიროვნული განათლება, რომელიც ახასიათებს მოსწავლის (მოსწავლეს) უნარს შექმნას გარემომცველი სამყაროს პროცესების მათემატიკური მოდელები, გამოიყენოს მათემატიკური აქტივობის გამოცდილება საგანმანათლებლო, შემეცნებითი და პრაქტიკულად ორიენტირებული პრობლემების გადაჭრისას."

ამიტომ მათემატიკური მეტყველების ათვისება - მათემატიკური მოდელების აგების უნარი - ხდება მათემატიკის სწავლების მთავარი მიზანი, რაც რეალიზდება მოსწავლეთა „მათემატიკური ტერმინოლოგიის, ნიშნისა და გრაფიკული ინფორმაციის გამოყენების უნარის“ ჩამოყალიბებით.

მოსწავლეთა მოდელირების (და არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე) სწავლების პოზიტიური გამოცდილება განმავითარებელი განათლების სისტემით დაგროვილი დ.ბ. ელკონინი - ვ.ვ. დავიდოვი, რომელიც მიზნად ისახავს სტუდენტებისთვის სრულფასოვანი სასწავლო აქტივობის განვითარებას, რომელთაგან ერთ-ერთია მოდელირება.

მოსწავლეთა მოდელირების უნარის ჩამოყალიბება განვითარების განათლების ერთ-ერთი მიზანია, ხოლო მოდელები, რომლებსაც ბავშვები ქმნიან და იყენებენ, უპირველეს ყოვლისა, სასწავლო უნარების ჩამოყალიბების ერთ-ერთი საშუალებაა (და არა მხოლოდ ვიზუალიზაციის საშუალება).

ჩვენი დღევანდელი სემინარის ამოცანაა გავიგოთ მოდელირების საკითხები, ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეიძლება გამოიყენონ მოდელები, რათა ასწავლონ ახალგაზრდა სტუდენტებს განტოლებებისა და ამოცანების ამოხსნა, მათემატიკური თვისებები, რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების მეთოდები.

2. მოდელირების მეთოდური საფუძვლები. (8 წთ)

მოდელირება რეალობის შემეცნების ერთ-ერთი საშუალებაა. მოდელი გამოიყენება ნებისმიერი ობიექტის (ფენომენის, პროცესების) შესასწავლად, სხვადასხვა პრობლემის გადასაჭრელად და ახალი ინფორმაციის მისაღებად. მაშასადამე, მოდელი არის გარკვეული ობიექტი (სისტემა), რომლის გამოყენება ემსახურება სხვა ობიექტის (ორიგინალის) შესახებ ცოდნის მიღებას.

სიმულაციის გამოყენება განიხილება ორ ასპექტში:

პირველ რიგში, მოდელირება ემსახურება როგორც შინაარსს, რომელიც ბავშვებმა უნდა ისწავლონ პედაგოგიური პროცესის შედეგად;

მეორეც, მოდელირება არის საგანმანათლებლო მოქმედება და საშუალება, რომლის გარეშეც შეუძლებელია სრულფასოვანი სწავლა.

მოდელების ხილვადობა ეფუძნება შემდეგ მნიშვნელოვან კანონზომიერებას: მოდელის შექმნა ეფუძნება გონებრივი მოდელის წინასწარ შექმნას - მოდელირებული ობიექტების ვიზუალური გამოსახულებები, ანუ სუბიექტი ქმნის ამ ობიექტის გონებრივ გამოსახულებას და შემდეგ (ბავშვებთან ერთად) აშენებს მატერიალურ ან ფიგურულ მოდელს (ვიზუალს). გონებრივი მოდელები იქმნება უფროსების მიერ და შეიძლება ვიზუალურ მოდელებად გარდაიქმნას გარკვეული პრაქტიკული მოქმედებების დახმარებით (რომელშიც ბავშვებს შეუძლიათ მონაწილეობა მიიღონ), ბავშვებს ასევე შეუძლიათ უკვე შექმნილ ვიზუალურ მოდელებთან მუშაობა.

ბავშვებთან მუშაობისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ობიექტების ჩანაცვლება: სიმბოლოები და ნიშნები, პლანშეტური მოდელები (გეგმები, რუქები, ნახატები, დიაგრამები, გრაფიკები), სამგანზომილებიანი მოდელები, განლაგება.

მოდელირების მეთოდის გამოყენება დაგეხმარებათ გადაჭრას ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანები:

ბავშვების პროდუქტიული შემოქმედების განვითარება;

ფიგურალური აზროვნების უმაღლესი ფორმების განვითარება;

ადრე მიღებული ცოდნის გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში;

ბავშვების მიერ ადრე შეძენილი მათემატიკური ცოდნის კონსოლიდაცია;

საქმიანი თანამშრომლობის პირობების შექმნა;

ბავშვთა მათემატიკური ლექსიკის გააქტიურება;

ხელის მშვენიერი საავტომობილო უნარების განვითარება;

მუშაობის პროცესში ახალი იდეებისა და უნარების მოპოვება;

ბავშვების მიერ მუშაობის პრინციპებისა და ორიგინალების სტრუქტურის ღრმა გაგება მოდელების დახმარებით.

მოდელი გვაძლევს არა მხოლოდ შესაძლებლობას შევქმნათ მოდელირებული ობიექტის ვიზუალური გამოსახულება, ის საშუალებას გვაძლევს შევქმნათ მოდელში ასახული მისი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებების გამოსახულება. ყველა სხვა არაარსებითი თვისება უგულვებელყოფილია მოდელის შემუშავებისას. ამრიგად, ჩვენ ვქმნით მოდელირებული ობიექტის განზოგადებულ ვიზუალურ სურათს.

მოდელირების მეცნიერულ საფუძველს წარმოადგენს ანალოგიის თეორია, რომელშიც მთავარი ცნებაა - ანალოგიის ცნება - ობიექტების მსგავსება მათი თვისებრივი და რაოდენობრივი მახასიათებლების მიხედვით. ყველა ამ ტიპს აერთიანებს განზოგადებული ანალოგიის კონცეფცია - აბსტრაქცია. ანალოგია გამოხატავს განსაკუთრებულ სახის შესაბამისობას შედარებულ ობიექტებს შორის, მოდელსა და ორიგინალს შორის.

მოდელირება მრავალფუნქციურია, ანუ ის გამოიყენება სხვადასხვა გზით სხვადასხვა მიზნებისთვის კვლევისა თუ ტრანსფორმაციის სხვადასხვა დონეზე (ეტაპებზე). ამ მხრივ, მოდელების გამოყენების მრავალსაუკუნოვანმა პრაქტიკამ წარმოშვა მოდელების ფორმებისა და ტიპების სიმრავლე.

განვიხილოთ L.M. Fridman-ის მიერ შემოთავაზებული კლასიფიკაცია. სიცხადის ხარისხის თვალსაზრისით, ის ყველა მოდელს ყოფს ორ კლასად:

ნაბიჯი 1. 1-2

· მასალა (რეალური, რეალური);

· იდეალური.

მასალამდე მოდელები მოიცავს მათ, რომლებიც აგებულია ნებისმიერი მატერიალური ობიექტისგან.

ნაბიჯი 2

მასალის მოდელები, თავის მხრივ, შეიძლება დაიყოსსტატიკური (გასწორებულია) დადინამიური (მოქმედი).

ნაბიჯი 3

შემდეგი ტიპის დინამიური მოდელებიაანალოგური და სიმულაციური , რომლებიც ამა თუ იმ ფენომენის რეპროდუცირებას ახდენენ სხვა, გარკვეულწილად უფრო მოსახერხებელის დახმარებით. მაგალითად, ასეთი მოდელი - ხელოვნური თირკმელი - ფუნქციონირებს ისევე, როგორც ბუნებრივი (ცოცხალი) თირკმელი, გამოაქვს ორგანიზმიდან ტოქსინები და სხვა მეტაბოლური პროდუქტები, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ის სრულიად განსხვავებულად არის მოწყობილი, ვიდრე ცოცხალი თირკმელი.

იდეალური მოდელები ჩვეულებრივ იყოფა სამ ტიპად:

ნაბიჯი 4

· ფიგურალური (ხატი);

· ხატოვანი (ნიშან-სიმბოლური);

· გონებრივი (გონებრივი).

მოდელების კლასიფიკაცია შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა კრიტერიუმების მიხედვით:

1) მოდელების ბუნებით (ანუ მოდელირების ხელსაწყოებით);

2) სიმულირებული ობიექტების ბუნებით;

3) მოდელირების გამოყენების სფეროების მიხედვით (მოდელირება ინჟინერიაში, ფიზიკურ მეცნიერებებში, ქიმიაში, ცოცხალი პროცესების მოდელირება, ფსიქიკის მოდელირება და ა.შ.)

4) მოდელირების დონეებით („სიღრმე“).

ყველაზე ცნობილი არისკლასიფიკაცია მოდელების ბუნებით .

ნაბიჯი 5

მისი მიხედვით, შემდეგიმოდელირების სახეები :

ნაბიჯი 6

1. ობიექტის მოდელირება , რომელშიც მოდელი ასახავს ობიექტის გეომეტრიულ, ფიზიკურ, დინამიურ ან ფუნქციურ მახასიათებლებს. მაგალითად, ხიდის, კაშხლის, თვითმფრინავის ფრთის მოდელი და ა.შ.

ნაბიჯი 7

2. ანალოგური სიმულაცია , რომელშიც მოდელი და ორიგინალი აღწერილია ერთი მათემატიკური მიმართებით. ამის მაგალითია ელექტრული მოდელები, რომლებიც გამოიყენება მექანიკური, ჰიდროდინამიკური და აკუსტიკური ფენომენების შესასწავლად.

ნაბიჯი 8

3. ხატოვანი მოდელირება , რომლებშიც მოდელები წარმოადგენს ნებისმიერი სახის ნიშნის წარმონაქმნებს: დიაგრამები, გრაფიკები, ნახატები, ფორმულები, გრაფიკები, სიტყვები და წინადადებები.

ნაბიჯი 9

4. მჭიდროდ დაკავშირებული ხატთანგონებრივი მოდელირება , რომელშიც მოდელები გონებრივად ვიზუალურ ხასიათს იძენენ.

ნაბიჯი 10

5. სიმულირებული ექსპერიმენტი - მოდელირების სპეციალური ტიპი, სადაც გამოიყენება არა თავად ობიექტი, არამედ მისი მოდელი.

მოდელირების მთავარი მიზანია გამოავლინოს და დააფიქსიროს ყველაზე გავრცელებული ურთიერთობები საგანში მის შესასწავლად.

მოდელირების მეთოდი რთული, ინტეგრაციული ფორმირებაა. დიდაქტიკური მეთოდების კლასიფიკაციის მიხედვით ნ.გ. კაზანსკი და თ.ს. ნაზაროვას, მოდელირების მეთოდს აქვს სამკომპონენტიანი სტრუქტურა

ნაბიჯი 11(იხ. დიაგრამა). ამრიგად, მოდელირების მეთოდის სტრუქტურაშიგარე მხარე ეს არის მასწავლებელსა და მოსწავლეს შორის ურთიერთქმედების კონკრეტული ფორმა.შიდა მხარე - ეს არის ზოგადსაგანმანათლებლო ტექნიკის ერთობლიობა (ანალიზი, სინთეზი, განზოგადება და ა.შ.) და სასწავლო მუშაობის მეთოდები.ტექნოლოგიური მხარე - ეს არის ამ მეთოდის სპეციფიკური ტექნიკის ნაკრები (წინასწარი ანალიზი, მოდელის აგება, მასთან მუშაობა, ინფორმაციის გადატანა მოდელიდან სასურველ ობიექტზე - ორიგინალზე).

მოდელირების მეთოდი

გარე მხარე

შიდა მხარე

ტექნოლოგიური მხარე

ფორმები:

ექსპოზიცია

საუბარი

დამოუკიდებელი მუშაობა

ფსიქოლოგიური არსი:

საგანმანათლებლო მუშაობის დოგმატური გზა;

საგანმანათლებლო მუშაობის ევრისტიკული მეთოდი

საგანმანათლებლო მუშაობის კვლევის მეთოდი

ლოგიკური ერთეული:

ანალიტიკური;

სინთეტიკური;

ინდუქციური;

დედუქციური;

ანალიტიკურ-სინთეზური

მოდელის აგების ტექნიკა;

მოდელის ტრანსფორმაციის ტექნიკა;

მოდელის სპეციფიკაციის ტექნიკა

მათემატიკური მოდელი. მათემატიკური მოდელირება.

მათემატიკური მოდელი არის გარე სამყაროს ზოგიერთი კლასის ფენომენის სავარაუდო აღწერა მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენებით. მაგალითად, A, B, C ელემენტებს შორის ურთიერთობა გამოიხატება ფორმულით A + B = C - მათემატიკური მოდელი.

მათემატიკური მოდელირების პროცესი, ე.ი. მათემატიკური მოდელების გამოყენებით ფენომენების შესწავლა შეიძლება დაიყოს ოთხ ეტაპად.

ნაბიჯი 12

პირველი ეტაპი - ობიექტის არსებითი მახასიათებლების იზოლირება.

13.

მეორე ფაზა - მოდელის შენობა.

14 .

მესამე ეტაპი - მოდელის კვლევა.

15 .

მეოთხე ეტაპი -მოდელებზე მიღებული ინფორმაციის საკვლევ ობიექტზე გადატანა.

მოდელირების თავისებურება ის არის, რომ ხილვადობა არ არის ბუნებრივი ობიექტების მარტივი დემონსტრირება, არამედ ასტიმულირებს ბავშვების დამოუკიდებელ პრაქტიკულ საქმიანობას.. მოსწავლეთა მოდელთან მუშაობის უნარი, მისი ტრანსფორმაცია შესასწავლი ცნებების ზოგადი თვისებების შესასწავლად არის სწავლების ერთ-ერთი მთავარი ამოცანა ყველა საგნობრივ სფეროში.

მოდელირებისთვის გამოიყენება სხვადასხვა მოდელები.მათემატიკური ობიექტები: რიცხვითი ფორმულები, რიცხვითი ცხრილები, ლიტერატურული ფორმულები, ფუნქციები, ალგებრული განტოლებები, სერიები, გეომეტრიული ფიგურები, სხვადასხვა დიაგრამები, ეილერ-ვენის დიაგრამები, გრაფიკები.

3. მოდელირების მეთოდის გამოყენება მათემატიკის გაკვეთილებზე დაწყებით სკოლაში. (1,5 წთ)

უმცროსი სტუდენტების მოთხოვნილება, დაეუფლონ მოდელირების მეთოდს, როგორც შემეცნების მეთოდს სასწავლო პროცესში, შეიძლება გამართლდეს სხვადასხვა პოზიციიდან.

ნაბიჯი 16

Პირველ რიგში , ეს ხელს უწყობს დიალექტიკურ-მატერიალისტური მსოფლმხედველობის ჩამოყალიბებას.

17.

მეორეც როგორც ექსპერიმენტებმა აჩვენა, მოდელისა და მოდელირების ცნებების დანერგვა განათლების შინაარსში მნიშვნელოვნად ცვლის მოსწავლეთა დამოკიდებულებას საგნისადმი, ხდის მათ სასწავლო აქტივობებს უფრო შინაარსიან და პროდუქტიულს.

18.

მესამედ , მოდელირების მეთოდით მიზანმიმართული და სისტემატური სწავლება უმცროს მოსწავლეებს აახლოებს სამეცნიერო ცოდნის მეთოდებთან, უზრუნველყოფს მათ ინტელექტუალურ განვითარებას. იმისათვის, რომ მოსწავლეები „შეიარაღონ“ მოდელირებით, როგორც შემეცნების ხერხით, საკმარისი არ არის მასწავლებელმა აჩვენოს მათ სხვადასხვა სამეცნიერო მოდელები და აჩვენოს ცალკეული ფენომენების მოდელირების პროცესი. აუცილებელია, რომ სკოლის მოსწავლეებმა თავად ააშენონ მოდელები, თავად შეისწავლონ ნებისმიერი ობიექტი, ფენომენი მოდელირების დახმარებით. როდესაც სტუდენტები, პრაქტიკული მათემატიკური (ნაკვეთის) ამოცანის ამოხსნისას, გაიგებენ, რომ ეს არის რაიმე რეალური სიტუაციის სიმბოლური მოდელი, შეადგენენ მისი სხვადასხვა მოდელების თანმიმდევრობას, შემდეგ სწავლობენ (ამოხსნიან) ამ მოდელებს და, ბოლოს, გადააქვთ მიღებული ამოხსნა. ორიგინალური პრობლემის ენა, შემდეგ სკოლის მოსწავლეების უმეტესობა ეუფლება მოდელირების მეთოდს.

მოსწავლეთა მათემატიკური მოდელირების ტექნიკის გაცნობა. (10 წუთი)

ცნობილმა ფსიქოლოგმა პ. გალპერინმა და მისმა კოლეგებმა შეიმუშავეს გონებრივი მოქმედებების თანდათანობითი ფორმირების თეორია. ამ თეორიის თანახმად, სწავლის პროცესი განიხილება, როგორც ბავშვის მიერ გონებრივი მოქმედებების სისტემის დაუფლება, რომელიც ხდება ინტერნალიზაციის პროცესში (გარდამავალი შიგნით) და შეესაბამება გარე პრაქტიკულ საქმიანობას.

ბავშვი ასრულებს პრაქტიკულ მოქმედებებს საგნებთან (ჯერ რეალურთან, შემდეგ კი წარმოსახვით) - ობიექტურ მოქმედებებთან. მათგან, ეყრდნობა ჯერ ასლის ნახატს, შემდეგ კი ობიექტურ მოდელებს, ის გადადის გრაფიკულ მოდელებზე. მათემატიკური ნიშნების, ასოების დანერგვის შემდეგ, რაოდენობების აღსანიშნავად მოსწავლე იყენებს ფორმულებს მოქმედებების აღსაწერად, ე.ი. სიმბოლურ-ასო მოდელები, შემდეგ კი სიტყვიერი მოდელები (განმარტებები, წესები).

მაგალითად, ბავშვებს ეძლევათ კონკრეტული პრაქტიკული დავალება, რომელიც მოითხოვს მათ იპოვონ ერთი და იგივე მოცულობის (განსხვავებული ფორმის) ორი ჭურჭელი.ფოტო ნაბიჯი 19

ამის შემდეგ ბავშვები (და არა მასწავლებელი) ასრულებენ პრაქტიკულ მოქმედებებს: ჩაასხით წყალი ერთ ქილაში, დაასხით მეორეში. თუ პირველიდან მთელი წყალი მეორე ქილაში შევიდა, მაშინ ამ ქილების მოცულობა ტოლია. მიზანშეწონილია შესთავაზოთ ბავშვებს ისეთი ორი ზოლის აყვანა, რომლითაც შეგიძლიათ გითხრათ მოცულობების, ფორმებს შორის ურთიერთობის შესახებ - ისინი ერთნაირია ან განსხვავებული. თუ ქილების მოცულობა ერთნაირია, ბავშვებმა უნდა აწიონ ერთი და იგივე სიგრძის ორი ზოლი, ხოლო თუ ისინი განსხვავებულია, მაშინ ისინი განსხვავებულია სიგრძით.Სურათი

ნაბიჯი 20

ბავშვების გრაფიკული მოდელის გამოყენებამდე რომ მივიყვანოთ, ისევ საჭიროა კონკრეტული პრაქტიკული დავალების დაყენება: ნახატის დახმარებით აჩვენეთ, რომ ერთი ქილის მოცულობა მეორეზე დიდია. გამოცდილება აჩვენებს, რომ ბავშვები იწყებენ ქილების ფორმის დახატვას, ე.ი. გააკეთეთ ასლის ნახატი, ან დახაზეთ ზოლები, რომლითაც მათ აჩვენეს ქილების მოცულობის თანაფარდობა.

ნახატების განხილვის შემდეგ ვასკვნით: ქილების დახატვა წარუმატებელი გზაა (არაზუსტი ნახატები, ქილების მოცულობის თანაფარდობა არ არის ნაჩვენები, სამუშაოს დიდი დრო სჭირდება). მაგრამ ბავშვებში ზოლები ასევე განსხვავებულია სიგანით და სიგრძით, ამას ასევე დიდი დრო სჭირდება.

შედეგად მივდივართ დასკვნამდე, რომ უფრო მოსახერხებელია ზოლის სიგანის საერთოდ არ დახატვა, არამედ მხოლოდ ზოლის სიგრძის (ანუ სეგმენტების) დახატვა. თუ სიდიდეები (სიგრძე, ფართობი, მასა, მოცულობა და ა.შ.) ერთნაირია, მაშინ მათ აქვთ ერთი და იგივე სიგრძის სეგმენტები, ხოლო თუ ისინი არ არიან ერთნაირი, მაშინ მათი სიგრძე განსხვავებული უნდა იყოს.ფოტო ნოუთბუქში. ნაბიჯი 21.

ამრიგად, რაოდენობების წარმოდგენა შემოღებულია სეგმენტების გამოყენებით. ბავშვები სწავლობენ რაოდენობების სქემატურად განსაზღვრას და შემდეგ გრაფიკული (ხაზოვანი) მოდელების აგებას.

ასევე მიზანშეწონილია 1 კლასში „მთელი“ და „ნაწილები“ ​​ცნებების დანერგვა და მოსწავლეებში ამ ცნებებს შორის ურთიერთობის დამყარების უნარ-ჩვევების გამომუშავება. როგორ დავწეროთ მათემატიკის ენაზე, რომ მაგალითად, ვაშლი შედგება ცალკეული ნაწილებისგან? თუ ვაშლი მთლიანია, წრით აღვნიშნავთ, ხოლო ვაშლის გროვას სამკუთხედებით აღვნიშნავთ და მივიღებთ ასეთ გრაფიკულ მოდელს.

ნაბიჯი 22სლაიდი 7

+ + + =

გაამარტივეთ და გქონდეთ ძირითადი მოდელი:

ნაბიჯი 23. + =

მთლიანობა და ნაწილები შედარებითი ცნებებია. ამ მიმართების ძირითადი თვისებები (ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე): მთელი არ შეიძლება იყოს ნაწილზე ნაკლები და ნაწილი არ შეიძლება იყოს მთელზე მეტი; მთელი უდრის ნაწილების ჯამს, ნაწილი კი უდრის სხვაობას მთელსა და მეორე ნაწილს შორის

ნაბიჯი 24 = -

ყველამ კარგად იცის სხივები, რომლებიც ტრადიციულად გამოიყენება რიცხვის შემადგენლობის წარმოსაჩენად.ნაბიჯი 25სლაიდი 8

ასე რომ, ნაწილებსა და მთლიანს შორის ურთიერთობა შეიძლება აჩვენოს ნიშან-გრაფიკული აღნიშვნის გამოყენებით:

თანნაბიჯი 26

A |____________|_____________|

B A B

დიაგრამა, რომელიც აღწერს მიმატების მოქმედებას, ამავე დროს აღწერს საპირისპირო მოქმედებას - გამოკლებას:

ნაბიჯი 27სლაიდი 9

ნაწილისა და მთლიანის ცნება შესაძლებელს ხდის დანერგოს რაოდენობათა დამატების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებები.სლაიდი 10, 11 (2 ნაბიჯი), 12

ნაბიჯი 28, 29, 30

როგორც შეკრება და გამოკლება, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიმულაცია გამრავლებისა და გაყოფის შესასწავლად.

ტრადიციულად, გამრავლება განიხილება, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება. დაე, A-ს მნიშვნელობა დაემატოს B-ჯერ:სლაიდი 13.

ნაბიჯი 31.A+A+A+A+A = AxB

ფორმულა A x B ასე იკითხება: "აიღე A B დროისთვის" ან "A დრო A".

ნაბიჯი 32სადაც A არის ის ნაწილი (გაზომვა), რომელიც ma აღინიშნა სამკუთხედით.

B - თანაბარი ნაწილების რაოდენობა (გაზომვების რაოდენობა), შეგვიძლია კვადრატით აღვნიშნოთ.

მთლიანის აღსანიშნავად ვიყენებთ იგივე ხატს - წრეს.

მთელი ხასიათდება A და B რიცხვების გამრავლების არითმეტიკული მოქმედების შედეგად.

X \u003d A x B \u003d C სქემა, რომელიც აღწერს ამ მოქმედებას:

|____|_А___|_____________|

გასაგებია, რომ როცა გაყოფას განვიხილავთ, როგორც შინაარსობრივად ან ტოლ ნაწილებად დაყოფისკენ მიმართულ ობიექტურ მოქმედებას, შესაძლებელი იქნება გამრავლებასა და გაყოფას შორის კავშირის დამყარება. ახლა, გამრავლების ფორმულის გარდანაბიჯი 33Ah B \u003d C, ჩვენ ვიღებთ ორ შებრუნებულ განყოფილებასნაბიჯი 34.C: A = B დანაბიჯი 35. C: B \u003d A (გეომეტრიული ფორმებით). ეს ნიშნავს, რომ გამრავლების წრე არის გაყოფის წრე.

მოდელირების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას. (10 წუთი)

განტოლებების ამოხსნის მეთოდის სწორი არჩევისთვის აუცილებელია მთელისა და ნაწილის ურთიერთობის პოვნა.ამ კონცეფციის ჩამოყალიბებისას ბავშვები იძენენ უნარს, გამოთქვან მთლიანი ნაწილებით და ნაწილები მთელის მეშვეობით. ნაწილისა და მთლიანის ცნებაზე დაფუძნებული სიდიდეების დამატებასა და გამოკლებას შორის კავშირის დამყარება შესაძლებელს ხდის შევადაროთ მთლიანი ჯამს და შემცირებულს, ნაწილები ტერმინებთან ან ქვეტრაჰენდთან და განსხვავებასთან და დავინახოთ, რომ სხვადასხვა მოქმედებები: ა. +B=C, C-A=B, ან C-B=A - ახასიათებს სიდიდეებს შორის ერთნაირი ურთიერთობა.

განტოლებების ამოხსნისას უცნობის პოვნა ეხმარება არა მხოლოდ წესებს, არამედ ნაწილებსა და მთლიანს შორის ურთიერთობას, რომელიც წარმოდგენილია გრაფიკული მოდელის სახით.სლაიდი 14 ნაბიჯი 36.

განტოლებების ამოხსნის სწავლის მუშაობის ალგორითმი ასეთია:

ჩვენ ვხატავთ განტოლების სქემას. X +5 = 12ნაბიჯი 37.

მთლიანობას და ნაწილებს ჯერ ვპოულობთ დიაგრამაზე, შემდეგ განტოლებაში (ხაზგასმული)

ჩვენ ვასახელებთ უცნობ კომპონენტს. ჩვენ ვხვდებით, რა არის ეს: მთელი თუ ნაწილი.

ჩვენ ვაანალიზებთ, თუ როგორ ვიპოვით უცნობ მნიშვნელობას.

Ჩვენ ვიპოვეთX. ნაბიჯი 38, 39

აგებული სქემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამოკლების განტოლების ამოხსნისას. 12 - x \u003d 5, რადგან წრე, რომელიც აღწერს მიმატების მოქმედებას, ამავე დროს არის გამოკლების წრე. ფოტოების მაგალითები ნოუთბუქიდან

სლაიდები 15,16 (+1 ნაბიჯი ), 17, 18.

ნაბიჯი, 40, 41, 41-a, 42.43

ამოცანაა ამ განტოლებების დიაგრამებად გავრცელება და გამოხატვის გაკეთება

სლაიდი 19 ნაბიჯი 44, 45. 44-a, 45-b

სიმულაცია ანალოგიურად გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას უცნობი ფაქტორის, გამყოფისა და დივიდენდის საპოვნელად.

სლაიდი 20 ( 8 ნაბიჯი ) ნაბიჯი 46.

გამრავლებასა და გაყოფას შორის კავშირის დაფიქსირებისას მიზანშეწონილია შემოვიტანოთ ფართობის ცნება, მართკუთხედის ფართობის და უცნობი გვერდის პოვნის ფორმულა.სლაიდი 21 (1 ნაბიჯი)

განტოლების მაგალითი. სლაიდი 22 ( 4 ნაბიჯი)

განტოლების ამოხსნის აგორითმისლაიდი 23 .

ვინაიდან გამრავლების წრე არის გაყოფის წრე, ორი გაყოფის განტოლება შეიძლება გაკეთდეს ერთი განტოლებიდან. ფართობი არის მთელი, ხოლო გვერდების სიგრძე და სიგანე ნაწილები.

გარდა ამისა, მოდელირება იძლევა განტოლებებზე შემოქმედებითი მუშაობის დივერსიფიკაციის შესაძლებლობას. ასე რომ, მასწავლებელს შეუძლია შესთავაზოს შემდეგი ტიპის დავალებები:

სლაიდი 24

დაწერეთ და ამოხსენით განტოლება დიაგრამის გამოყენებით.ნაბიჯი 48

სლაიდი 25 ( გადაწყვიტეთ სტუმრებთან ერთად )

(მოყვანილია რამდენიმე განტოლება და დიაგრამა) რომელ განტოლებას ერგება ეს დიაგრამა? იპოვე და გადაწყვიტე.ნაბიჯი 49

სლაიდი 26, 27. 28, 29.

ამოხსენით განტოლებები დათვლის დროს. ნაბიჯი 50, 51, 52.53

სლაიდი 30 (10 ნაბიჯი), 31

ამოცანის პირობების შედგენა განტოლების სქემის მიხედვით.

ახალი პრეზენტაცია. (ვორქშოპი 2)

მოდელირება ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას (18 წთ)

სლაიდი 1

არ შეიძლება არ დაეთანხმო მოსაზრებას, რომ თანამედროვე განათლება არის სტუდენტის უნარი შეხედოს რეალურ, ცხოვრებისეულ ვითარებას ფიზიკოსის, ქიმიკოსის, ისტორიკოსის, გეოგრაფის პოზიციიდან და არა იმისთვის, რომ გახდეს ამ დარგის მკვლევარი. მაგრამ იმისთვის, რომ შემდგომში იპოვონ გამოსავალი კონკრეტულ ცხოვრებისეულ სიტუაციებში.

უმცროსი მოსწავლე შეიძლება გახდეს ნამდვილი მკვლევარი სიტყვის ამოცანების გადაჭრით, როდესაც მათემატიკას ასწავლის ახალგაზრდა მოსწავლეებს.

ერთი ერთ-ერთი ასეთი მიდგომაა სტუდენტებში გარკვეული ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარის ჩამოყალიბება (მაგალითად, პრობლემების გადაჭრა დიფერენციალური შედარებისთვის და ა.შ., როდესაც მუშავდება გარკვეული ტიპის პრობლემა).სხვა ეფუძნება ტექსტური ამოცანების სემანტიკური და მათემატიკური ანალიზის გამოყენებას, როდესაც პრობლემა ანალიზდება მონაცემებიდან მიზნამდე (სინთეზური მეთოდი) და მიზნიდან მონაცემამდე (ანალიტიკური).მესამე მიდგომა საგანმანათლებლო პრობლემების გადაჭრის მეთოდზე დაყრდნობით. სამოდელო მოქმედების ფორმირება გულისხმობს ტექსტური ამოცანების გადაჭრის უნარის თვისობრივად განსხვავებულ ფორმირებას.

არითმეტიკული და ალგებრული ამოცანები ლიტერატურაში ასევე უწოდებენ სიუჟეტურ ამოცანებს, რადგან. მათ ყოველთვის აქვთ რაიმე მოვლენის, ფენომენის, მოქმედების, პროცესის სიტყვიერი აღწერა. ნებისმიერი სიუჟეტური ამოცანის ტექსტი შეიძლება ხელახლა შეიქმნას სხვაგვარად (ობიექტურად, გრაფიკულად, ცხრილების, ფორმულების გამოყენებით და ა.შ.) და ეს არის გადასვლა ვერბალური მოდელირებიდან მოდელირების სხვა ფორმებზე. ამიტომ, პრობლემებზე მუშაობისას დიდ ყურადღებას ვაქცევთ სქემატური და სიმბოლური მოდელების აგებას, აგრეთვე სეგმენტებთან მუშაობის უნარს, მათი დახმარებით ტექსტური ამოცანის გრაფიკულად მოდელირებას, კითხვის დასმას, ამოხსნის ალგორითმის განსაზღვრას და ძიებას. პასუხი. უმცროს სტუდენტს, მოგეხსენებათ, არ აქვს აბსტრაქტული აზროვნების საკმარისი დონე. და ჩვენი ამოცანაა, რომ თანდათან ვასწავლოთ მას კონკრეტული ობიექტების სიმბოლური მოდელის სახით წარმოდგენა, დავეხმაროთ მას ისწავლოს ტექსტის ამოცანის მათემატიკურ ენაზე თარგმნა. მიგვაჩნია, რომ ეს არის ტექსტური პრობლემის გრაფიკული მოდელირება და რაც მთავარია, იძლევა რეალურ შესაძლებლობას ვიზუალურად დავინახოთ და განვსაზღვროთ მისი ამოხსნის ალგორითმი, განახორციელოთ შესრულებული ამოცანის დამოუკიდებელი ასახვა.

მაგრამ ყველა ჩანაწერი არ იქნება დავალების მოდელი. მოდელის ასაგებად, მისი შემდგომი ტრანსფორმაციისთვის, აუცილებელია ამოცანის შერჩევასამიზნე, მოცემული მნიშვნელობები, ყველა თანაფარდობა, რათა ამ მოდელის საფუძველზე შესაძლებელი იყოს ანალიზის გაგრძელება, რაც საშუალებას მოგცემთ წინ წახვიდეთ გამოსავალში და მოძებნოთ ოპტიმალური გადაწყვეტილებები. ნებისმიერი პრობლემის არითმეტიკული გზით გადაწყვეტა დაკავშირებულია არითმეტიკული მოქმედების არჩევასთან, რის შედეგადაც შესაძლებელია დასმულ კითხვაზე პასუხის გაცემა. მათემატიკური მოდელის ძიების გასაადვილებლად აუცილებელია დამხმარე მოდელის გამოყენება.სლაიდი 2 (კომპონენტების გაცნობა 1 კლასში).

პრობლემის მდგომარეობაში სიტუაციის ხელახლა შესაქმნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სქემატური ნახაზი, რომელიც უზრუნველყოფს პრობლემის ტექსტიდან გადასვლას რიცხვებზე გარკვეული არითმეტიკული მოქმედების კორელაციაზე, რაც ხელს უწყობს შეგნებული და ძლიერი ასიმილაციის ჩამოყალიბებას. პრობლემაზე მუშაობის ზოგადი მეთოდის შესახებ. ეს მოდელი საშუალებას აძლევს მოსწავლეს ჩამოაყალიბოს უნარი ახსნას, თუ როგორ მიიღო პასუხი პრობლემის კითხვაზე. მაგრამ სქემატური მოდელი ეფექტურია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის გასაგებია ყველა მოსწავლისთვის და განვითარებულია ვერბალური მოდელის დიაგრამის ენაზე თარგმნის უნარები. შეკრებისა და გამოკლების მარტივი ამოცანების ამოხსნის სწავლისას შემოდის ცნებები: მთელი, ნაწილი და მათი თანაფარდობა.სლაიდი 3. (2 ნაბიჯი)

ნაწილის საპოვნელად საჭიროა მთელის სხვა ნაწილი გამოკლოთ.

მთლიანის საპოვნელად საჭიროა ნაწილების დამატება.

მარტივი გამრავლებისა და გაყოფის ამოცანების ამოხსნის სწავლისას შემოთავაზებულია სქემა და შესაბამისი წესები:

მთლიანის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ზომა ზომების რაოდენობაზე.

გაზომვის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ მთელი რიცხვი გაზომვების რაოდენობაზე.

ზომების რაოდენობის დასადგენად, თქვენ უნდა გაყოთ მთელი რიცხვი ზომაზე.

სლაიდი 4. (3 ნაბიჯი)

სწავლის ეს მიდგომა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ მარტივი ამოცანების ძველი კლასიფიკაციისგან. მნიშვნელოვანია მონაცემებისა და მოძიებულის ისე გამოსახვა, რომ რაოდენობებს შორის დამოკიდებულება საკმარისად მკაფიო იყოს. განიხილება პრობლემა და მათი ურთიერთობა.

მაგალითად, მე მივცემ რამდენიმე ტექსტურ პრობლემას და მათ გადაწყვეტას გრაფიკული მოდელების გამოყენებით.

დავალება 1სლაიდი 5. (5 ნაბიჯი)

აკვარიუმში არის 4 დიდი და 5 პატარა თევზი. რამდენი თევზია აკვარიუმში?

სავარჯიშოები სურათებიდან ამოცანებისა და გამონათქვამების შედგენისთვის (შებრუნებული ამოცანები)სლაიდი 6. ( 8 ნაბიჯი)სლაიდი 7.

დავალება 2სლაიდი 8

ლენას 5 მსხალი აქვს. მიშას კი ლენაზე 4-ით მეტი ჰყავს. რამდენი მსხალი აქვს მიშას?

დავალების მაგალითი სურათიდან ამოცანების შედგენისა და ამოხსნის ჩაწერისთვის.სლაიდი 9.

დავალება 3სლაიდი 10. (5 ნაბიჯი)

ლენას 10 მსხალი აქვს. ეს ატამზე 3-ით მეტია. რამდენი ატამი აქვს ლენას?

დავალება 4.სლაიდი 11 (4 ნაბიჯი).

საშამ იყიდა 5 რვეული 8 გრივნად და ალბომი ნახატისთვის 33 გრივნად. რა თანხა გადაიხადა საშამ შესყიდვაში?

ერთი ნოუთბუქის ფასია 8 UAH - ეს არის ერთი სეგმენტი (გაზომვა). ცალკეული სეგმენტების რაოდენობა (5) მიუთითებს ნოუთბუქების რაოდენობაზე. სეგმენტის მეორე ნაწილი ასახავს ალბომების ფასს (UAH 33) და რაოდენობას (1).

დავალება 5.სლაიდი 12 (7 ნაბიჯი).შეთქმულების ორი გზა. ორი გამოსავალი

ქარხანას ესაჭიროება 90 თანამშრომელი: 50 შემხვევი, 10 ზეინკალი, დანარჩენი მტვირთავი. რამდენი მოძრავია საჭირო?

სლაიდი 13 (3 ნაბიჯი)შებრუნებული ამოცანის შედგენა. STOP

ამოცანებზე მუშაობის გზები.

გაცნობის ეტაპზე ვიყენებ შემდეგ მეთოდებს:

მოდელის თითოეული კომპონენტის ახსნა.

ინსტრუქციები მოდელის შესაქმნელად.

წამყვანი კითხვების მოდელირება და სქემის ეტაპობრივი განხორციელება.

სქემატური ნახაზის გააზრების ეტაპზე ვიყენებ შემდეგ ტექნიკას:

დავალების ტექსტის ფორმულირება შემოთავაზებული ნაკვეთისა და სეგმენტური სქემის მიხედვით.

სქემისა და რიცხვითი გამოხატვის კორელაცია.

სქემის შევსება - ბლანკები ამოცანების მონაცემებით.

სქემის შევსებისას შეცდომების პოვნა.

ამოცანისთვის სქემის შერჩევა.

სქემისთვის დავალების შერჩევა.

პრობლემის პირობების დამატება.

სქემის ცვლილება.

დავალების პირობების შეცვლა.

ამოცანის ტექსტის შეცვლა.

სქემატური ნახაზის აგების და გააზრების სწავლის შედეგია მოსწავლეების მიერ ამოცანების დამოუკიდებელი მოდელირება.

ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას ვმუშაობთ მოდელირების მოქმედების ფორმირებაზე და პირიქით, რაც უფრო კარგად აითვისებს ბავშვი მოდელირების მოქმედებას, მით უფრო ადვილია მისთვის ამოცანების გადაჭრა.

მოსწავლეებს უნდა გააცნონ ტექსტური ამოცანების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი: არითმეტიკული, ალგებრული, გეომეტრიული, ლოგიკური და პრაქტიკული; სხვადასხვა სახის მათემატიკური მოდელებით, რომლებიც ემყარება თითოეულ მეთოდს; ასევე არჩეული მეთოდის ფარგლებში სხვადასხვა გადაწყვეტილებებით. ტექსტური ამოცანების ამოხსნა იძლევა მდიდარ მასალას მოსწავლეთა განვითარებისა და განათლებისთვის. ტექსტური ამოცანების პირობების მოკლე შენიშვნები არის მათემატიკის საწყის კურსში გამოყენებული მოდელების მაგალითები. მათემატიკური მოდელირების მეთოდი საშუალებას გაძლევთ ასწავლოთ სკოლის მოსწავლეებს:

ა) ანალიზი (პრობლემის აღქმისა და გადაწყვეტის განხორციელების გზის არჩევის ეტაპზე);

ბ) პრობლემის ობიექტებს შორის ურთიერთობის დამყარება, ყველაზე შესაფერისი გადაწყვეტის სქემის აგება;

გ) მიღებული ამოხსნის ორიგინალური ამოცანის ინტერპრეტაცია;

დ) დავალებების შედგენა მზა მოდელების მიხედვით და სხვ.

საპრეზენტაციო სამუშაო ამოცანების შესახებსლაიდები15-22 .

კომბინატორიკა 1 კლასის მოდელებზე

მე-2 კლასი

დაალაგეთ რიცხვები 4, 6, 8 სხვადასხვა გზით:

3-4 კლასებში

ხე (36 ვახშამი)

ფოტო ნოუთბუქიდან

სიმულაციის გამოყენება ნუმერაციის შესასწავლად, რიცხვების დამატება-გამოკლებისა და სიგრძის ერთეულებზე მუშაობისთვის (5 წთ)

რიცხვების საანგარიშო და საზომ ერთეულებად გადაქცევის შესაძლებლობა ყველაზე ხშირად იწვევს გარკვეულ სირთულეებს. და აქ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ მოდელირების მეთოდი დასახმარებლად. „ათი“ კონცენტრულის შესწავლისას ბავშვები სწავლობენ ერთეულების სქემატურ გამოსახვას წერტილების გამოყენებით.სლაიდი 25. ისწავლეთ მოდელებზე დამატება და გამოკლება.სლაიდი 26. (7 ნაბიჯი)სლაიდი 27.

„ასი“ ბავშვების შესწავლა პატარა სამკუთხედების დახმარებით წარმოადგენენ ათეულებს. ისინი სწავლობენ რიცხვების მთვლელ ერთეულებად გადაქცევას (ათწილადი და ერთეულები) და ამის პარალელურად ბავშვები ეცნობიან სანტიმეტრს და დეციმეტრს. ეს საშუალებას გაძლევთ დახაზოთ ანალოგია სიგრძის ერთეულების გადაქცევაში. ისინი ასევე სწავლობენ ციფრულ დიაგრამებზე ორნიშნა რიცხვების დამატებას.სლაიდი 28

„ათასი“ ბავშვის შესწავლით გაიგებს, რომ ჩვენ პირობითად გამოვსახავთ 10 სამკუთხედს (ათეულს) ერთ დიდ სამკუთხედად (ასი). პარალელურად ბავშვები სწავლობენ სიგრძის ახალ ერთეულს - მეტრს. რიცხვების დათვლის ერთეულებად გადაქცევით, ჩვენ ვაკეთებთ მსგავს სამუშაოს სიგრძის ერთეულებით.სლაიდი 29, მაგალითი 342 ნომრისთვისსლაიდი 30 (5 ნაბიჯი)

მაგალითი 320 ნომრისთვისსლაიდი 31 (6 ნაბიჯი)

მაგალითი 302 ნომრისთვისსლაიდი 32 (8 ნაბიჯი)

ალგორითმები.სლაიდები 33 და 34(7 ნაბიჯი)

მათემატიკის გაკვეთილებზე მოდელირების მეთოდის გამოყენების რეკომენდაციები (3 წთ)

უნდა გვესმოდეს, რომ სწავლებაში მოდელირება არ არის სასურველი, მაგრამ აუცილებელი, რადგან ის ქმნის პირობებს სტუდენტების შემეცნების მეთოდებისა და სასწავლო აქტივობის მეთოდების სრული და ძლიერი ათვისებისთვის.

გაკვეთილზე მოდელირების ძირითადი მიზნებია:

მოდელის აგება, როგორც საქმის კეთების ახალი ხერხის აგების გზა.

მოდელის აგების სწავლა მისი აგების პრინციპების, მეთოდების ანალიზის საფუძველზე.

გახსოვდეთ, რომ მოდელირებასთან დაკავშირებული პირველი გაკვეთილები, ფაქტობრივად, არის სასწავლო და პრაქტიკული ამოცანის დასახვის გაკვეთილები. პრობლემა, რომელიც ჩნდება ბავშვებში, მდგომარეობს იმაში, რომ მათ არ აქვთ საკმარისი გზები ზოგადი დამოკიდებულების გამოსავლენად. ყოველ ჯერზე, როდესაც ჩნდება ახალი პრაქტიკული სიტუაცია, ბავშვები განსაზღვრავენ ახალ ურთიერთობებს - და კვლავ ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა გადმოგცეთ იგი გრაფიკულად.

ისეთი „აბსტრაქტული ამოცანები“, როგორიცაა ფორმულის მიხედვით დიაგრამის დახატვა, რამდენიმე ფორმულის შემადგენელი სიდიდეების ურთიერთობის დამყარება და ა.შ. შეთავაზება, როდესაც ურთიერთობა გამოკვლეულია, ცნობილია და ნაჩვენებია ნიშნები, დიაგრამები არაერთხელ. მოდელის მიღმა თითოეულ ბავშვს უნდა ჰქონდეს მოქმედებები რეალურ ობიექტებთან, რომელთა შესრულებაც მას ახლა შეუძლია თავის წარმოსახვაში (გონებრივი მოქმედებები).

ბავშვისთვის მოდელის ადგილი განისაზღვრება დავალების მიხედვით

მოქმედებას შეიძლება ახლდეს მოდელი. მაგალითად, თუ მეთოდის კონსტრუქცია უფრო ადვილი შესასრულებელია მოდელზე, როგორც ტექსტის პრობლემაზე მუშაობის ეტაპი (რაოდენობებს შორის ურთიერთობა სქემატურად არის ნაჩვენები წაკითხვისას).

მოდელი აგებულია მოქმედებების დასრულების შემდეგ. შესრულებული მოქმედების რეალიზებისთვის საჭიროა ცალკეული მიმართების დიაგრამის აგება. სქემის აგება მოტივირებულია ისეთი კითხვებით, როგორიცაა: „როგორ გააკეთე ეს?“, „როგორ ასწავლიდი სხვებს ასეთი დავალებების შესრულებას?

და კიდევ რამდენიმე რჩევა.

თქვენ უნდა დაიწყოთ სპეციალური ლიტერატურის შესწავლით. მაგალითად, ეს არის დაწყებით კლასებში მათემატიკის სწავლების მეთოდოლოგია და სახელმძღვანელოები E. Alexandrova, L. Peterson.

მშობელთა შეხვედრებზე აუცილებლად გაეცანით მშობლებს შვილების სწავლების მეთოდს. თქვენი რჩევები და ინსტრუქციები შეიძლება სასარგებლო იყოს.

გამოიყენეთ ყველა შესაძლებლობა, რომ გახდეთ მათემატიკური მოდელირების მასტერკლასების მონაწილე.

სად დაგპატიჟო?