ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები“.

დავალება 1 . ლატარიაში 100 ბილეთია გაცემული. ითამაშა ერთი მოგება 50 აშშ დოლარი. და ათი მოგება თითო $10. იპოვეთ X მნიშვნელობის განაწილების კანონი - შესაძლო მოგების ღირებულება.

გადაწყვეტილება. X-ის შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 = 0; x 2 = 10 და x 3 = 50. ვინაიდან 89 „ცარიელი“ ბილეთია, მაშინ გვ 1 = 0.89, გამარჯვების ალბათობაა 10 ც. (10 ბილეთი) – გვ 2 = 0.10 და 50 ც.უ. გამარჯვებისთვის. -გვ 3 = 0.01. ამრიგად:

	0,89	0,10	0,01

მარტივი კონტროლი: .

დავალება 2. ალბათობა იმისა, რომ მყიდველმა წინასწარ გაეცნო პროდუქტის რეკლამას, არის 0,6 (p = 0,6). რეკლამის შერჩევითი ხარისხის კონტროლს ახორციელებს გამოკითხვის მყიდველები პირველზე, ვინც წინასწარ შეისწავლა რეკლამა. გააკეთეთ გამოკითხული მყიდველების რაოდენობის განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. ამოცანის პირობის მიხედვით p = 0.6. მდებარეობა: q=1 -გვ = 0.4. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:და შექმენით განაწილების სერია:

პი		0,24

დავალება 3. კომპიუტერი შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან: სისტემის ერთეული, მონიტორი და კლავიატურა. ძაბვის ერთი მკვეთრი მატებით, თითოეული ელემენტის უკმარისობის ალბათობა არის 0.1. ბერნულის განაწილების საფუძველზე შეადგინეთ განაწილების კანონი ქსელში დენის მატების დროს წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გადაწყვეტილება. განიხილეთ ბერნულის განაწილება(ან ბინომი): ალბათობა იმისა, რომ inნ ტესტები, მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტადკ ერთხელ: , ან:

	ქ ნ					გვ ნ

AT დავუბრუნდეთ დავალებას.

X-ის შესაძლო მნიშვნელობები (ჩავარდნების რაოდენობა):

x 0 =0 - არცერთი ელემენტი არ ჩავარდა;

x 1 =1 - ერთი ელემენტის უკმარისობა;

x 2 =2 - ორი ელემენტის უკმარისობა;

x 3 =3 - ყველა ელემენტის უკმარისობა.

ვინაიდან, პირობით, p = 0.1, მაშინ q = 1 - p = 0.9. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

, ,

, .

Კონტროლი: .

ამიტომ, სასურველი განაწილების კანონი:

	0,729	0,243	0,027	0,001

დავალება 4. დამზადდა 5000 ცალი. ალბათობა იმისა, რომ ერთი ვაზნა დეფექტურია . რა არის ალბათობა იმისა, რომ მთელ პარტიაში იქნება ზუსტად 3 დეფექტური ვაზნა?

გადაწყვეტილება. გამოიყენება პუასონის განაწილება: ეს განაწილება გამოიყენება იმის დასადგენად, რომ ალბათობა ძალიან დიდია

ცდების რაოდენობა (მასობრივი ცდები), რომელთაგან თითოეულში A მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, მოვლენა A მოხდება k-ჯერ: , სადაც .

აქ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. ჩვენ ვპოულობთ , შემდეგ სასურველ ალბათობას: .

დავალება 5. პირველ დარტყმამდე სროლისას დარტყმის ალბათობით პ = 0.6 გასროლისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ გეომეტრიული განაწილება: ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომლებშიც A მოვლენას აქვს p დადგომის ალბათობა (და არ მომხდარა q = 1 - p). ცდები მთავრდება A მოვლენის დადგომისთანავე.

ასეთ პირობებში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენა მოხდეს k-ე ტესტზე, განისაზღვრება ფორმულით: . აქ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. ამიტომ, .

დავალება 6. მოცემული იყოს X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი.

გადაწყვეტილება. .

გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა.

დავალება 7. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია შემდეგი განაწილების კანონით:

გადაწყვეტილება. Აქ .

X-ის კვადრატის განაწილების კანონი 2 :

X 2

საჭირო ვარიაცია: .

დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის (გაფანტვის) ხარისხს მისი მათემატიკური მოლოდინისგან.

დავალება 8. დაე, შემთხვევითი ცვლადი იყოს მოცემული განაწილებით:

			10მ

იპოვეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

ამოხსნა: m, m 2 ,

მ 2 , მ.

შემთხვევითი X ცვლადის შესახებ შეიძლება ითქვას ერთიც - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6.4 მ დისპერსიით 13.04 მ. 2 , ან - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ გადახრით მ. მეორე ფორმულირება აშკარად უფრო ნათელია.

დავალება 9. შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოცემულია განაწილების ფუნქციით:
.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს ინტერვალში მოცემულ მნიშვნელობას .

გადაწყვეტილება. ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, უდრის ამ ინტერვალში ინტეგრალური ფუნქციის ზრდას, ე.ი. . ჩვენს შემთხვევაში და შესაბამისად

.

დავალება 10. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X განაწილების კანონით მოცემულია:

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია F(x ) და შექმენით მისი გრაფიკი.

გადაწყვეტილება. განაწილების ფუნქციიდან გამომდინარე

ამისთვის , მაშინ

ზე ;

ზე ;

ზე ;

ზე ;

შესაბამისი სქემა:

დავალება 11.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით: .

იპოვნეთ დარტყმის ალბათობა X ინტერვალამდე

გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ექსპონენციური განაწილების კანონის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა: .

დავალება 12. იპოვეთ X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები, რომლებიც მოცემულია განაწილების კანონით:

	–5
	X 2: x2 . , სადაც არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნია ცხრილის გამოყენებით. ჩვენს შემთხვევაში: . ცხრილის მიხედვით ვხვდებით:, შესაბამისად:

როგორც ცნობილია, შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობები შემთხვევის მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით (X, Y, Z), ხოლო მათი მნიშვნელობები - შესაბამისი მცირე ასოებით (x, y, z). შემთხვევითი ცვლადები იყოფა წყვეტილ (დისკრეტულ) და უწყვეტად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იღებს მხოლოდ სასრულ ან უსასრულო (დათვლადი) მნიშვნელობების სიმრავლეს გარკვეული არანულოვანი ალბათობით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს მათ შესაბამის ალბათობებთან. განაწილების კანონი შეიძლება დაზუსტდეს ერთ-ერთი შემდეგი გზით.

1 . განაწილების კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილით:

სადაც λ>0, k = 0, 1, 2, ... .

in)მეშვეობით განაწილების ფუნქცია F(x) , რომელიც განსაზღვრავს თითოეული x მნიშვნელობისთვის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი X იღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი. F(x) = P(X< x).

F(x) ფუნქციის თვისებები

3 . განაწილების კანონი შეიძლება დაინიშნოს გრაფიკულად – განაწილების მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი) (იხ. ამოცანა 3).

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად არ არის აუცილებელი განაწილების კანონის ცოდნა. ზოგიერთ შემთხვევაში, საკმარისია იცოდეთ ერთი ან მეტი რიცხვი, რომელიც ასახავს განაწილების კანონის ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს. ეს შეიძლება იყოს რიცხვი, რომელსაც აქვს შემთხვევითი ცვლადის „საშუალო მნიშვნელობის“ მნიშვნელობა, ან რიცხვი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის საშუალო ზომას მისი საშუალო მნიშვნელობიდან. ამ ტიპის რიცხვებს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები :

• მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის (საშუალო მნიშვნელობა). M(X)=Σ x i p i.
  ბინომური განაწილებისთვის M(X)=np, პუასონის განაწილებისთვის M(X)=λ
• დისპერსია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი D(X)=M2ან D(X) = M(X 2) - 2. განსხვავება X–M(X) ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის გადახრას მისი მათემატიკური მოლოდინიდან.
  ბინომური განაწილებისთვის D(X)=npq, პუასონის განაწილებისთვის D(X)=λ
• Სტანდარტული გადახრა (სტანდარტული გადახრა) σ(X)=√D(X).

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე "დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი"

დავალება 1.

გაიცა 1000 ლატარიის ბილეთი: მათგან 5 მოიგებს 500 რუბლს, 10 მოიგებს 100 რუბლს, 20 მოიგებს 50 რუბლს და 50 მოიგებს 10 რუბლს. დაადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი - მოგება ბილეთზე.

გადაწყვეტილება. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია X შემთხვევითი ცვლადის შემდეგი მნიშვნელობები: 0, 10, 50, 100 და 500.

მოგების გარეშე ბილეთების რაოდენობაა 1000 - (5+10+20+50) = 915, შემდეგ P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა სხვა ალბათობას: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. წარმოგიდგენთ მიღებულ კანონს ცხრილის სახით:

იპოვეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

დავალება 3.

მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. ერთ ექსპერიმენტში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა არის 0,1. შეადგინეთ განაწილების კანონი ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის, შექმენით განაწილების პოლიგონი. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) და დახაზეთ იგი. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გადაწყვეტილება. 1. დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს X=(ერთ ექსპერიმენტში წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობა) აქვს შემდეგი შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 =0 (მოწყობილობის არცერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 2 =1 (ერთი ელემენტი ვერ მოხერხდა), x 3 =2 ( ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა ) და x 4 \u003d 3 (სამი ელემენტი ვერ მოხერხდა).

ელემენტების გაუმართაობა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, თითოეული ელემენტის გაუმართაობის ალბათობა ერთმანეთის ტოლია, შესაბამისად, იგი გამოიყენება ბერნულის ფორმულა . იმის გათვალისწინებით, რომ პირობით, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობების ალბათობებს:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
შეამოწმეთ: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

ამრიგად, სასურველ ბინომიალური განაწილების კანონს X აქვს ფორმა:

აბსცისის ღერძზე გამოვსახავთ შესაძლო მნიშვნელობებს x i, ხოლო ორდინატთა ღერძზე შესაბამის ალბათობებს р i. ავაშენოთ წერტილები M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). ამ წერტილების ხაზის სეგმენტებთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიღებთ სასურველ განაწილების მრავალკუთხედს.

3. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) = P(X

x ≤ 0-ისთვის გვაქვს F(x) = P(X<0) = 0;
0-ისთვის< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ისთვის< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ისთვის< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ისთვის იქნება F(x) = 1, რადგან მოვლენა გარკვეულია.

F(x) ფუნქციის გრაფიკი

4. ბინომალური X განაწილებისთვის:
- მათემატიკური მოლოდინი М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- დისპერსია D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- სტანდარტული გადახრა σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი გამოიყენება X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ცხრილის ასაგებად - შესრულებული ექსპერიმენტების რაოდენობა და გამოთვლის სერიის ყველა მახასიათებელს: მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა. დასკვნა გადაწყვეტილებით დგება Word ფორმატში. მაგალითი #1. სამი მონეტა იყრება. გერბის ერთ რულონში ამოვარდნის ალბათობა არის 0,5. შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის X - გერბების რაოდენობა, რომლებიც დაეცა.
გადაწყვეტილება.
ალბათობა იმისა, რომ არც ერთი გერბი არ ამოვარდა: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ალბათობა იმისა, რომ სამი გერბი ამოვარდა: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125

X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

X	0	1	2	3
პ	0,125	0,375	0,375	0,125

შეამოწმეთ: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

მაგალითი #2. ერთი მსროლელის მიერ ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,8, მეორე მსროლელისთვის - 0,85. მსროლელებმა მიზანში ერთი გასროლა გაუშვეს. ცალკეული მსროლელებისთვის მიზანზე დარტყმის დამოუკიდებელ მოვლენად დაშვებით, იპოვეთ A მოვლენის ალბათობა - ზუსტად ერთი დარტყმა მიზანში.
გადაწყვეტილება.
განვიხილოთ მოვლენა A - ერთი დარტყმა მიზანში. ამ მოვლენის შესაძლო შემთხვევები შემდეგია:

1. პირველი მსროლელი დარტყმა, მეორე მსროლელი გაუშვა: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
2. პირველმა მსროლელმა გაუშვა, მეორემ მიზანს დაარტყა: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. პირველი და მეორე მსროლელები დამოუკიდებლად ხვდებიან მიზანს: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

მაშინ მოვლენის ალბათობა A - ზუსტად ერთი დარტყმის მიზანში, ტოლი იქნება: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ყველაზე გავრცელებული კანონები:

• ბინომალური განაწილების კანონი
• პუასონის განაწილების კანონი
• გეომეტრიული განაწილების კანონი
• ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მოცემული განაწილებისთვის მათი მნიშვნელობების ალბათობების, აგრეთვე რიცხვითი მახასიათებლების (მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია და ა.შ.) გამოთვლა ხორციელდება გარკვეული „ფორმულების“ მიხედვით. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ ამ ტიპის განაწილება და მათი ძირითადი თვისებები.

1. ბინომალური განაწილების კანონი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ბინომიურ ალბათობის განაწილებას, თუ ის იღებს მნიშვნელობებს $0,\ 1, \ 2, \ \dots , \ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. სინამდვილეში, შემთხვევითი ცვლადი $X$ არის $A$ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა $n$ დამოუკიდებელ ცდებში. ალბათობის განაწილების კანონი შემთხვევითი $X$ ცვლადისთვის:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \წერტილები & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\მარჯვნივ) & P_n\left(1\მარჯვნივ) & \dots & P_n\left(n\მარჯვნივ) \\
\hline
\ბოლო(მასივი)$

ასეთი შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი არის $M\left(X\right)=np$, დისპერსიაა $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

მაგალითი . ოჯახში ორი შვილია. ვივარაუდოთ, რომ ბიჭისა და გოგოს დაბადების ალბათობა $0.5$-ის ტოლია, იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი $\xi $ - ოჯახში ბიჭების რაოდენობა.

შემთხვევითი ცვლადი $\xi $ იყოს ოჯახში ბიჭების რაოდენობა. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს $\xi:\ 0, \ 1, \ 2$. ამ მნიშვნელობების ალბათობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, სადაც $n =2$ - დამოუკიდებელი ცდების რაოდენობა, $p=0.5$ - მოვლენის დადგომის ალბათობა $n$ ცდების სერიაში. ჩვენ ვიღებთ:

$P\left(\xi =0\მარჯვნივ)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\მარჯვნივ))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\მარჯვნივ))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

მაშინ $\xi $ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის კორესპონდენცია $0,\ 1,\ 2$ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობებს შორის, ე.ი.

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\ბოლო(მასივი)$

განაწილების კანონში ალბათობების ჯამი უნდა იყოს $1$-ის ტოლი, ანუ $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

მოლოდინი $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, ვარიაცია $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, სტანდარტული გადახრა $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\დაახლოებით $0.707.

2. პუასონის განაწილების კანონი.

თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ არაუარყოფითი მთელი რიცხვები $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=((( \ლამბდა )^კ )\ზედა (კ}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

კომენტარი. ამ განაწილების თავისებურება ის არის, რომ ექსპერიმენტულ მონაცემებზე დაყრდნობით ვპოულობთ შეფასებებს $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, თუ მიღებული შეფასებები ერთმანეთთან ახლოსაა, მაშინ ჩვენ აქვს საფუძველი იმის დასამტკიცებლად, რომ შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს.

მაგალითი . პუასონის განაწილების კანონის დაქვემდებარებული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები შეიძლება იყოს: მანქანების რაოდენობა, რომლებსაც ხვალ მოემსახურება ბენზინგასამართი სადგური; დეფექტური ნივთების რაოდენობა წარმოებულ პროდუქტში.

მაგალითი . ქარხანამ ბაზას $500 დოლარის პროდუქცია გაუგზავნა. ტრანზიტის დროს პროდუქტის დაზიანების ალბათობა არის $0.002$. იპოვეთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი დაზიანებული პროდუქტების რაოდენობის ტოლი; რაც უდრის $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

დაე, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს დაზიანებული ელემენტების რაოდენობა. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება პუასონის განაწილების კანონს პარამეტრით $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. მნიშვნელობების ალბათობაა $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\მარჯვნივ)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\მარცხნივ(X=1\მარჯვნივ)=((1^1)\ზედა (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\მარცხნივ(X=2\მარჯვნივ)=((1^2)\ზედა (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\მარცხნივ(X=3\მარჯვნივ)=((1^3)\ზედა (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\მარცხნივ(X=4\მარჯვნივ)=((1^4)\ზედა (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)=((1^5)\ზედა (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\მარცხნივ(X=6\მარჯვნივ)=((1^6)\ზედა (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\მარჯვნივ)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0.368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\ლამბდა )^k)\ზედა (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\ბოლო(მასივი)$

ასეთი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია ერთმანეთის ტოლია და პარამეტრის ტოლია $\lambda $, ანუ $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. $.

3. განაწილების გეომეტრიული კანონი.

თუ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ბუნებრივი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ალბათობით $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ მარჯვნივ)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ ასეთი შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. ფაქტობრივად, გეომეტრიული განაწილება, როგორც ჩანს, არის ბერნულის ცდები პირველ წარმატებამდე.

მაგალითი . შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული განაწილება, შეიძლება იყოს: გასროლების რაოდენობა მიზანზე პირველ დარტყმამდე; მოწყობილობის ტესტების რაოდენობა პირველ მარცხამდე; მონეტების გადაყრის რაოდენობა პირველი თავების ზემოთ და ა.შ.

გეომეტრიული განაწილების ქვეშ მყოფი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია შესაბამისად უდრის $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\). მარჯვნივ)/p^ 2$.

მაგალითი . თევზის გადაადგილების გზაზე ქვირითის ადგილისკენ არის $4$-იანი საკეტი. თითოეულ საკეტში თევზის გავლის ალბათობაა $p=3/5$. შექმენით $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია - თევზის მიერ გავლილი საკეტების რაოდენობა საკეტში პირველ გაჩერებამდე. იპოვეთ $M\left(X\right),\ D\left(X\right), \ \sigma \left(X\right)$.

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს თევზის მიერ გავლილი სლუიების რაოდენობა სასხლეტის პირველ გაჩერებამდე. ასეთი შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება ალბათობის განაწილების გეომეტრიულ კანონს. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს შემთხვევითი ცვლადი $X არის: 1, 2, 3, 4. ამ მნიშვნელობების ალბათობა გამოითვლება ფორმულით: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, სადაც: $ p=2/5$ - საკეტში თევზის დაჭერის ალბათობა, $q=1-p=3/5$ - საკეტში თევზის გავლის ალბათობა, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\მარჯვნივ))^0=((2)\ მეტი(5)=0.4;$

$P\left(X=2\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\მარჯვნივ))^2=(2)\ მეტი (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\მარჯვნივ)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\მარჯვნივ))^3+(\left(( (3)\ზედ (5))\მარჯვნივ))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\მარჯვნივ) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\ბოლო(მასივი)$

Მოსალოდნელი ღირებულება:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

დისპერსია:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ მარცხენა(1-2,176\მარჯვნივ))^2+0,24\cdot (\ მარცხენა (2-2,176\მარჯვნივ))^2+0,144\cdot (\ მარცხნივ(3-2,176\მარჯვნივ))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\ მარცხნივ(4-2.176\მარჯვნივ))^2\დაახლოებით 1.377.$

Სტანდარტული გადახრა:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\დაახლოებით 1173.$

4. ჰიპერგეომეტრიული განაწილების კანონი.

თუ არის $N$ ობიექტები, რომელთა შორის $m$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. შემთხვევით, ჩანაცვლების გარეშე, ამოღებულია $n$ ობიექტები, რომელთა შორის არის $k$ ობიექტები, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. ჰიპერგეომეტრიული განაწილება შესაძლებელს ხდის შეფასდეს ალბათობა იმისა, რომ ნიმუშის ზუსტად $k$ ობიექტებს აქვთ მოცემული თვისება. დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს იმ ობიექტების რაოდენობა ნიმუშში, რომლებსაც აქვთ მოცემული თვისება. შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა:

$P\left(X=k\მარჯვნივ)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

კომენტარი. Excel $f_x$ Function Wizard-ის HYPERGEOMET სტატისტიკური ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გარკვეული რაოდენობის ცდები წარმატებული იქნება.

$f_x\$-მდე სტატისტიკური$\$-მდე ჰიპერგეომეტი$\$-მდე კარგი. გამოჩნდება დიალოგური ფანჯარა, რომელიც უნდა შეავსოთ. გრაფაში წარმატებების_რაოდენობა_ნიმუშშიმიუთითეთ $k$-ის მნიშვნელობა. ნიმუში_ზომაუდრის $n$. გრაფაში პოპულაციაში_წარმატებების_რაოდენობამიუთითეთ $m$-ის ღირებულება. მოსახლეობის_ზომაუდრის $N$.

$X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია, რომელიც ექვემდებარება გეომეტრიული განაწილების კანონს არის $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\მარცხნივ) (1 -((მ)\ზედ (N))\მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-((n)\ზედა (N))\მარჯვნივ))\ზედ (N-1))$.

მაგალითი . ბანკის საკრედიტო განყოფილებაში დასაქმებულია 5 უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტი და 3 უმაღლესი იურიდიული განათლების მქონე სპეციალისტი. ბანკის ხელმძღვანელობამ გადაწყვიტა 3 სპეციალისტი გაეგზავნა კვალიფიკაციის ასამაღლებლად, რომლებიც შემთხვევით შეარჩიეს.

ა) შეადგინოს სადისტრიბუციო სერია უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობისა, რომლებიც შეიძლება გადავიდნენ კვალიფიკაციის ამაღლებაზე;

ბ) იპოვეთ ამ განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები.

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს უმაღლესი ფინანსური განათლების მქონე სპეციალისტების რაოდენობა შერჩეულ სამს შორის. მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება მიიღოს $X:0,\ 1,\ 2, \ 3$. ეს შემთხვევითი ცვლადი $X$ ნაწილდება ჰიპერგეომეტრიული განაწილების მიხედვით შემდეგი პარამეტრებით: $N=8$ - პოპულაციის ზომა, $m=5$ - წარმატებების რაოდენობა პოპულაციაში, $n=3$ - ნიმუშის ზომა, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - წარმატებების რაოდენობა ნიმუშში. შემდეგ $P\left(X=k\right)$ ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $-ზე მეტი. Ჩვენ გვაქვს:

$P\left(X=0\მარჯვნივ)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\დაახლოებით 0.018;$

$P\left(X=1\მარჯვნივ)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\დაახლოებით 0,268;$

$P\left(X=2\მარჯვნივ)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\დაახლოებით 0,536;$

$P\left(X=3\მარჯვნივ)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\დაახლოებით 0.179.$

შემდეგ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\ბოლო(მასივი)$

მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები ჰიპერგეომეტრიული განაწილების ზოგადი ფორმულების გამოყენებით.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\მარჯვნივ)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\მარჯვნივ))\ზედ (8-1))=((225)\ზედმეტად (448))\დაახლოებით 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\დაახლოებით 0.7085.$

განაწილების კანონი და მახასიათებლები

შემთხვევითი ღირებულებები

შემთხვევითი ცვლადები, მათი კლასიფიკაცია და აღწერის მეთოდები.

შემთხვევითი მნიშვნელობა არის სიდიდე, რომელსაც ექსპერიმენტის შედეგად შეუძლია მიიღოს ერთი ან მეორე მნიშვნელობა, მაგრამ რომელიც წინასწარ არ არის ცნობილი. მაშასადამე, შემთხვევითი ცვლადისთვის შეიძლება მხოლოდ მნიშვნელობების მითითება, რომელთაგან ერთ-ერთს ის აუცილებლად მიიღებს ექსპერიმენტის შედეგად. ამ მნიშვნელობებს მოიხსენიებენ, როგორც შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებს. ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადი რაოდენობრივად ახასიათებს ექსპერიმენტის შემთხვევით შედეგს, ის შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი მოვლენის რაოდენობრივ მახასიათებლად.

შემთხვევითი ცვლადები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, მაგალითად, X..Y..Z და მათი შესაძლო მნიშვნელობები შესაბამისი მცირე ასოებით.

არსებობს სამი ტიპის შემთხვევითი ცვლადი:

დისკრეტული; უწყვეტი; შერეული.

დისკრეტულიისეთი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომლის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა ქმნის თვლადი სიმრავლეს. თავის მხრივ, თვლადი სიმრავლე არის სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია. სიტყვა "დისკრეტული" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან discretus, რაც ნიშნავს "შეწყვეტილს, რომელიც შედგება ცალკეული ნაწილებისგან".

მაგალითი 1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის დეფექტური X ნაწილების რაოდენობა nfl-ის პარტიაში. მართლაც, ამ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები არის მთელი რიცხვების სერია 0-დან n-მდე.

მაგალითი 2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის გასროლების რაოდენობა სამიზნეზე პირველ დარტყმამდე. აქ, როგორც მაგალით 1-ში, შესაძლებელია შესაძლო მნიშვნელობების დანომრვა, თუმცა შემზღუდველ შემთხვევაში შესაძლო მნიშვნელობა არის უსასრულოდ დიდი რიცხვი.

უწყვეტიეწოდება შემთხვევითი ცვლადი, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მუდმივად ავსებს რიცხვითი ღერძის გარკვეულ ინტერვალს, რომელსაც ზოგჯერ უწოდებენ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალს. ამრიგად, არსებობის ნებისმიერ სასრულ ინტერვალზე, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოდ დიდია.

მაგალითი 3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის ელექტროენერგიის მოხმარება საწარმოში ერთი თვის განმავლობაში.

მაგალითი 4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი არის სიმაღლის გაზომვის შეცდომა სიმაღლემეტრის გამოყენებით. სიმაღლის მოქმედების პრინციპიდან ვიცოდეთ, რომ შეცდომა 0-დან 2 მ-მდეა, ამიტომ ამ შემთხვევითი ცვლადის არსებობის ინტერვალი არის 0-დან 2 მ-მდე.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონი.

შემთხვევითი ცვლადი ითვლება სრულად დაზუსტებულად, თუ მისი შესაძლო მნიშვნელობები მითითებულია რიცხვით ღერძზე და დადგენილია განაწილების კანონი.

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი ეწოდება მიმართება, რომელიც ადგენს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და შესაბამის ალბათობებს შორის.

შემთხვევითი ცვლადი ნათქვამია, რომ განაწილებულია მოცემული კანონის მიხედვით, ან ექვემდებარება მოცემული განაწილების კანონს. განაწილების კანონებად გამოიყენება რამდენიმე ალბათობა, განაწილების ფუნქცია, ალბათობის სიმკვრივე, დამახასიათებელი ფუნქცია.

განაწილების კანონი იძლევა შემთხვევითი ცვლადის სრულ სავარაუდო აღწერას. განაწილების კანონის მიხედვით, გამოცდილების წინ შეიძლება ვიმსჯელოთ, შემთხვევითი ცვლადის რომელი შესაძლო მნიშვნელობები გამოჩნდება უფრო ხშირად და რომელი უფრო იშვიათად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის განაწილების კანონი შეიძლება იყოს მოცემული ცხრილის სახით, ანალიტიკურად (ფორმულის სახით) და გრაფიკულად.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის დაზუსტების უმარტივესი ფორმაა ცხრილი (მატრიცა), რომელიც ზრდის მიმდევრობით ჩამოთვლის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას და მათ შესაბამის ალბათობას, ე.ი.

ასეთ ცხრილს ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია. ერთი

მოვლენები X 1 , X 2 ,..., X n , რომელიც შედგება იმაში, რომ ტესტის შედეგად შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს მნიშვნელობებს x 1 , x 2 ,... x n, შესაბამისად. , არის არათანმიმდევრული და ერთადერთი შესაძლო (რადგან ცხრილში მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა), ე.ი. შექმენით სრული ჯგუფი. მაშასადამე, მათი ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს. ამრიგად, ნებისმიერი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი

(ეს ერთეული რატომღაც განაწილებულია შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს შორის, აქედან გამომდინარეობს ტერმინი "განაწილება").

განაწილების სერია შეიძლება გამოსახული იყოს გრაფიკულად, თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ და მათი შესაბამისი ალბათობები ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. მიღებული წერტილების შეერთება ქმნის გაწყვეტილ ხაზს, რომელსაც უწოდებენ ალბათობის განაწილების მრავალკუთხედს ან მრავალკუთხედს (ნახ. 1).

მაგალითილატარია ითამაშა: 5000 დენიანი მანქანა. ერთეული, 4 ტელევიზორი 250 დენ. ერთეული, 5 VCR 200 დენ. ერთეულები ჯამში 1000 ბილეთი 7 ლარად იყიდება. ერთეულები შეადგინეთ ლატარიის მონაწილის მიერ მიღებული წმინდა მოგების განაწილების კანონი, რომელმაც იყიდა ერთი ბილეთი.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი X ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები - წმინდა მოგება ბილეთზე - არის 0-7 = -7 დენ. ერთეულები (თუ ბილეთი არ მოიგო), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 დენ. ერთეულები (თუ ბილეთმა მოიგო VCR, ტელევიზორი ან მანქანა, შესაბამისად). იმის გათვალისწინებით, რომ 1000 ბილეთიდან არამომგებელთა რაოდენობაა 990, ხოლო მითითებული მოგება არის შესაბამისად 5, 4 და 1 და ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით ვიღებთ.