კვადრატული განტოლება არის a*x^2 +b*x+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც a,b,c არის რამდენიმე თვითნებური რეალური (რეალური) რიცხვი, ხოლო x არის ცვლადი. და რიცხვი a=0.

a,b,c რიცხვებს კოეფიციენტები ეწოდება. რიცხვს a - ეწოდება წამყვანი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის კოეფიციენტი x-ზე, ხოლო c რიცხვს ეწოდება თავისუფალი წევრი.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

კვადრატული განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის დადგენას, რომ კვადრატულ განტოლებას ფესვები არ აქვს. კვადრატული განტოლების ფესვი a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 არის x ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა, ისეთი, რომ კვადრატული ტრინომი a * x ^ 2 + b * x + c ქრება. ზოგჯერ x-ის ასეთ მნიშვნელობას კვადრატული ტრინომის ფესვი ეწოდება.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს. განვიხილოთ ერთი მათგანი - ყველაზე მრავალმხრივი. მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა არის a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), სადაც D =b^2-4*a*c.

ეს ფორმულა მიიღება a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 განტოლების გადაჭრით ზოგადი ფორმით, ბინომის კვადრატის ხაზგასმით.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულაში გამოსახულებას D (b^2-4*a*c) ეწოდება a*x^2 +b*x+c=0 კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი. ეს სახელი მომდინარეობს ლათინური ენიდან, ითარგმნება როგორც "განმასხვავებელი". დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას ექნება ორი ან ერთი ფესვი, ან საერთოდ არ აქვს ფესვები.

თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია,მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. (x=(-b±√D)/(2*a))

თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია,მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. (x=(-b/(2*a))

თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია,მაშინ კვადრატულ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ზოგადი ალგორითმი

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაყალიბებთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ზოგად ალგორითმს a*x^2 +b*x+c=0 ფორმულის გამოყენებით:

1. იპოვეთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა D =b^2-4*a*c ფორმულის გამოყენებით.

2. დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, გამოთვალეთ ფესვები ფორმულების გამოყენებით:

დ<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

ეს ალგორითმი უნივერსალურია და შესაფერისია ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად. სრული და არასრული, ციტირებული და არა ციტირებული.

ბიბლიოგრაფიული აღწერა:გასანოვი A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები // ახალგაზრდა მეცნიერი. - 2016. - No 6.1. - S. 17-20..04.2019).



ჩვენი პროექტი ეძღვნება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზებს. პროექტის მიზანი: ვისწავლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ისეთი გზებით, რომლებიც არ არის გათვალისწინებული სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ამოცანა: იპოვნეთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა შესაძლო გზა და ისწავლეთ როგორ გამოიყენოთ ისინი თავად და გააცანით თანაკლასელებს ეს მეთოდები.

რა არის "კვადრატული განტოლებები"?

Კვადრატული განტოლება- ფორმის განტოლება ნაჯახი2 + bx + c = 0, სად ა, ბ, გ- რამდენიმე რიცხვი ( a ≠ 0), x- უცნობი.

a, b, c რიცხვებს უწოდებენ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებს.

• a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი;
• b ეწოდება მეორე კოეფიციენტს;
• გ - თავისუფალი წევრი.

და ვინ იყო პირველი, ვინც "გამოიგონა" კვადრატული განტოლებები?

წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგიერთი ალგებრული ტექნიკა ცნობილი იყო ჯერ კიდევ 4000 წლის წინ ძველ ბაბილონში. ნაპოვნი ძველი ბაბილონური თიხის ფირფიტები, დათარიღებული სადღაც ძვ. იგივე ტაბლეტები შეიცავს მეთოდებს გარკვეული ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის.

ძველ დროში არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო სამხედრო ხასიათის მიწის ნაკვეთებისა და მიწის სამუშაოების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით, აგრეთვე ასტრონომიისა და ასტრონომიის განვითარებით. თავად მათემატიკა.

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც ნათქვამია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე აღმოჩენილი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ ამონახსნებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ნაპოვნი. ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

ბაბილონელი მათემატიკოსები დაახლოებით IV საუკუნიდან ძვ. გამოიყენა კვადრატული კომპლემენტის მეთოდი დადებითი ფესვებით განტოლებების ამოსახსნელად. დაახლოებით 300 წ. ევკლიდემ მოიფიქრა უფრო ზოგადი გეომეტრიული ამოხსნის მეთოდი. პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც უარყოფითი ფესვების მქონე განტოლების ამონახსნები ალგებრული ფორმულის სახით იპოვა, იყო ინდოელი მეცნიერი. ბრაჰმაგუპტა(ინდოეთი, ჩვენი წელთაღრიცხვით VII საუკუნე).

ბრაჰმაგუპტამ გამოაქვეყნა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ერთ კანონიკურ ფორმამდე:

ax2 + bx = c, a>0

ამ განტოლებაში, კოეფიციენტები შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად ემთხვევა ჩვენსას.

ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე სწავლული ადამიანი გადააჭარბებს დიდებას საჯარო შეხვედრებზე, ალგებრული პრობლემების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. ამოცანები ხშირად იყო ჩაცმული პოეტური ფორმით.

ალგებრულ ტრაქტატში ალ-ხვარიზმიმოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებების კლასიფიკაცია. ავტორი ჩამოთვლის განტოლების 6 ტიპს და მათ შემდეგნაირად გამოხატავს:

1) "კვადრატები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 = bx.

2) „კვადრატები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 = c.

4) "კვადრატები და რიცხვები უდრის ფესვებს", ანუ ax2 + c = bx.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვის ტოლია“, ანუ ax2 + bx = c.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ანუ bx + c == ax2.

ალ-ხვარეზმისთვის, რომელიც გაურბოდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლება. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ასახავს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას მეთოდების გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილება, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენს გადაწყვეტილებას. რომ აღარაფერი ვთქვათ წმინდა რიტორიკულ ხასიათზე, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულს. გამოსავალი, ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებს არ აქვს მნიშვნელობა. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხვარეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების გამოყენებით, შემდეგ კი მათ გეომეტრიულ მტკიცებულებებს.

ევროპაში ალ-ხვარეზმის მოდელზე კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმები პირველად აღწერილი იქნა 1202 წელს დაწერილ „აბაკუს წიგნში“. იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდ ფიბონაჩი. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა პრობლემის გადაჭრის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას.

ამ წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. ამ წიგნიდან ბევრი დავალება გადავიდა მე-14-17 საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც შემცირებულია ერთ კანონიკურ ფორმამდე x2 + bx = c ნიშნებისა და კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციით b, c, ჩამოყალიბდა ევროპაში 1544 წელს. მ.შტიფელი.

ვიეტას აქვს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის ზოგადი წარმოშობა, მაგრამ ვიეტამ აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელიპირველთა შორის მე-16 საუკუნეში. გაითვალისწინეთ, გარდა დადებითი და უარყოფითი ფესვებისა. მხოლოდ XVII საუკუნეში. მუშაობის წყალობით ჟირარდი, დეკარტი, ნიუტონიდა სხვა მეცნიერებს, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გზა თანამედროვე ფორმას იღებს.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე გზა.

სასკოლო სასწავლო გეგმიდან კვადრატული განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული გზები:

1. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზაცია.
2. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი.
3. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ფორმულით.
4. კვადრატული განტოლების გრაფიკული ამოხსნა.
5. განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ შემცირებული და არააღდგენილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

შეგახსენებთ, რომ მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად საკმარისია ვიპოვოთ ორი ისეთი რიცხვი, რომელთა ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით.

მაგალითი.x 2 -5x+6=0

თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის 6 და ჯამი არის 5. ეს რიცხვები იქნება 3 და 2.

პასუხი: x 1 =2, x 2 =3.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს მეთოდი განტოლებისთვის, რომელთა პირველი კოეფიციენტი არ არის ერთის ტოლი.

მაგალითი.3x 2 +2x-5=0

ვიღებთ პირველ კოეფიციენტს და ვამრავლებთ თავისუფალ წევრზე: x 2 +2x-15=0

ამ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები, რომელთა ნამრავლი არის - 15, ხოლო ჯამი არის - 2. ეს რიცხვებია 5 და 3. საწყისი განტოლების ფესვების საპოვნელად მიღებულ ფესვებს ვყოფთ პირველ კოეფიციენტზე.

პასუხი: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. განტოლებების ამოხსნა „გადაცემის“ მეთოდით.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0, სადაც a≠0.

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გამრავლებით, მივიღებთ განტოლებას a 2 x 2 + abx + ac = 0.

მოდით ax = y, საიდანაც x = y/a; მაშინ მივდივართ განტოლებამდე y 2 + by + ac = 0, რომელიც უდრის მოცემულს. მის ფესვებს ვპოულობთ 1-ზე და 2-ზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

საბოლოოდ მივიღებთ x 1 = y 1 /a და x 2 = y 2 /a.

ამ მეთოდით a კოეფიციენტი მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს მასზე „გადატანილია“, ამიტომ მას „გადაცემის“ მეთოდს უწოდებენ. ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით განტოლების ფესვების პოვნა და, რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი ზუსტი კვადრატია.

მაგალითი.2x 2 - 11x + 15 = 0.

კოეფიციენტი 2 „გადავიტანოთ“ თავისუფალ წევრზე და ჩანაცვლებით მივიღებთ განტოლებას y 2 - 11y + 30 = 0.

ვიეტას შებრუნებული თეორემის მიხედვით

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

პასუხი: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების თვისებები.

მიეცით კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. თუ a + b + c \u003d 0 (ანუ განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული), მაშინ x 1 \u003d 1.

2. თუ a - b + c \u003d 0, ან b \u003d a + c, მაშინ x 1 \u003d - 1.

მაგალითი.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ვინაიდან a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), შემდეგ x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

პასუხი: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

მაგალითი.132x 2 + 247x + 115 = 0

იმიტომ რომ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), შემდეგ x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

პასუხი: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

არსებობს კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების სხვა თვისებები. მაგრამ მათი გამოყენება უფრო რთულია.

8. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით.

ნახ 1. ნომოგრამა

ეს არის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძველი და ამჟამად მივიწყებული მეთოდი, განთავსებულია კრებულის 83-ე გვ.: Bradis V.M. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.

ცხრილი XXII. ნომოგრამა განტოლების ამოხსნისთვის z2 + pz + q = 0. ეს ნომოგრამა საშუალებას იძლევა, კვადრატული განტოლების ამოხსნის გარეშე, განტოლების ფესვები მისი კოეფიციენტებით განისაზღვროს.

ნომოგრამის მრუდი სკალა აგებულია ფორმულების მიხედვით (ნახ. 1):

ვარაუდით OS = p, ED = q, OE = a(ყველა სმ-ში), ნახ. 1-დან სამკუთხედების მსგავსება SANდა CDFჩვენ ვიღებთ პროპორციას

საიდანაც, ჩანაცვლებისა და გამარტივების შემდეგ, განტოლება მოჰყვება z 2 + pz + q = 0,და წერილი ზნიშნავს მრუდი მასშტაბის ნებისმიერი წერტილის ეტიკეტს.

ბრინჯი. 2 კვადრატული განტოლების ამოხსნა ნომოგრამის გამოყენებით

მაგალითები.

1) განტოლებისთვის ზ 2 - 9z + 8 = 0ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 8.0 და z 2 = 1.0

პასუხი: 8.0; 1.0.

2) ამოხსენით განტოლება ნომოგრამის გამოყენებით

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ამ განტოლების კოეფიციენტები გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ განტოლებას z 2 - 4.5z + 1 = 0.

ნომოგრამა იძლევა ფესვებს z 1 = 4 და z 2 = 0,5.

პასუხი: 4; 0.5.

9. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გეომეტრიული მეთოდი.

მაგალითი.X 2 + 10x = 39.

ორიგინალში ეს პრობლემა ასეა ჩამოყალიბებული: „კვადრატი და ათი ძირი უდრის 39-ს“.

განვიხილოთ კვადრატი x გვერდით, მის გვერდებზე აგებულია მართკუთხედები ისე, რომ თითოეული მათგანის მეორე მხარე იყოს 2,5, შესაბამისად, თითის ფართობი არის 2,5x. შედეგად მიღებული ფიგურა ავსებს ახალ კვადრატს ABCD, რომელიც ავსებს ოთხ თანაბარ კვადრატს კუთხეებში, თითოეული მათგანის გვერდი არის 2,5, ხოლო ფართობი არის 6,25.

ბრინჯი. x 2 + 10x = 39 განტოლების ამოხსნის 3 გრაფიკული გზა

ABCD კვადრატის S ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფართობების ჯამად: თავდაპირველი კვადრატი x 2, ოთხი მართკუთხედი (4∙2.5x = 10x) და ოთხი მიმაგრებული კვადრატი (6.25∙4 = 25), ე.ი. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x 39 რიცხვით ჩანაცვლებით, მივიღებთ, რომ S \u003d 39 + 25 \u003d 64, რაც გულისხმობს, რომ კვადრატის გვერდი ABCD, ე.ი. სეგმენტი AB \u003d 8. ორიგინალური კვადრატის x სასურველი მხარისთვის ვიღებთ

10. განტოლებათა ამოხსნა ბეზუტის თეორემის გამოყენებით.

ბეზუტის თეორემა. P(x) მრავალწევრის x-ზე გაყოფის შემდეგ დარჩენილი ნაწილი უდრის P(α)-ს (ანუ P(x)-ის მნიშვნელობა x = α-ზე).

თუ რიცხვი α არის P(x) მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი იყოფა x -α-ზე ნაშთების გარეშე.

მაგალითი.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) გაყავით (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ან x-3=0, x=3; პასუხი: x1 =2, x2 =3.

დასკვნა:კვადრატული განტოლებების სწრაფად და რაციონალურად ამოხსნის უნარი უბრალოდ აუცილებელია უფრო რთული განტოლებების გადასაჭრელად, მაგალითად, წილადი რაციონალური განტოლებები, უმაღლესი ძალების განტოლებები, ბიკვადრატული განტოლებები და საშუალო სკოლაში ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ყველა მეთოდის შესწავლის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია ვურჩიოთ თანაკლასელებს, გარდა სტანდარტული მეთოდებისა, ამოხსნან გადაცემის მეთოდით (6) და ამოხსნან განტოლებები კოეფიციენტების (7) თვისებით, რადგან ისინი უფრო ხელმისაწვდომია გასაგებად. .

ლიტერატურა:

1. ბრედის ვ.მ. ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები. - მ., განათლება, 1990 წ.
2. ალგებრა მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S.A. თელიაკოვსკი მე-15 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: განმანათლებლობა, 2015 წ
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის. / რედ. ვ.ნ. Უმცროსი. - მ.: განმანათლებლობა, 1964 წ.

1. იპოვეთ დისკრიმინანტი დფორმულის მიხედვით D= -4 ac.

2. თუ დ<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. თუ D=0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი:

4. თუ D>0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

ახლა დავიწყოთ ჩვენი განტოლების ამოხსნა 3 -10x+3=0,

სადაც =3, b=-10 და c=3.

დისკრიმინანტის პოვნა:

D= -4*3*3=64

ვინაიდან D>0, მაშინ ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. ჩვენ ვპოულობთ მათ:

; .

ამრიგად, მრავალწევრის ფესვები f(x)=3 -10+3 იქნება რიცხვები 3 და.

ჰორნერის სქემა

ჰორნერის სქემა(ან ჰორნერის წესი, ჰორნერის მეთოდი) - ალგორითმი მრავალწევრის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, რომელიც იწერება მრავალწევრების (მონომილების) ჯამის სახით ცვლადის მოცემული მნიშვნელობისთვის. . ის, თავის მხრივ, გვეხმარება იმის გარკვევაში, რიცხვი არის თუ არა მოცემული მრავალწევრის ფესვი.

ჯერ განვიხილოთ, როგორ იყოფა მრავალწევრი f(x) ბინომად g(x).

ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: f(x):g(x)=n(x),სადაც f(x)-დივიდენდი, g(x)-გამყოფი ა n(x)-კერძო.

მაგრამ იმ შემთხვევაში, როდესაც f(x)არ იყოფა g(x)არსებობს გამოხატვის ზოგადი აღნიშვნა

აქ არის ხარისხი r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

განვიხილოთ მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფა. დაე იყოს

,

ვიღებთ

სადაც r არის რიცხვი, რადგან r-ის ხარისხი უნდა იყოს (x-c) ხარისხზე ნაკლები.

გავამრავლოთ s(x)ჩართეთ და მიიღეთ

ამგვარად, ბინომალზე გაყოფისას მიღებული ფორმულებიდან შესაძლებელია განისაზღვროს კოეფიციენტების კოეფიციენტები. კოეფიციენტების განსაზღვრის ამ მეთოდს ჰორნერის სქემა ეწოდება.

				...
	+			...
გ				...	რ

ახლა მოდით გადავხედოთ ჰორნერის სქემის გამოყენების რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი. შეასრულეთ მრავალწევრი გაყოფა f(x)=ზე x+3.

გადაწყვეტილება.დასაწყისში აუცილებელია დაწერა x+3)როგორც ( x-(-3)), რადგან თავად სქემაში მიიღებს მონაწილეობას ზუსტად -3, ზედა სტრიქონში ჩავწერთ კოეფიციენტებს, ბოლოში - მოქმედებების შედეგს.

f(x)=(x-2)(1)+16.

ფესვების მოძიება ჰორნერის სქემის მიხედვით. ფესვების ტიპები

ჰორნერის სქემის მიხედვით, შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალწევრის მთელი რიცხვი ფესვები f(x). მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.

მაგალითი. იპოვეთ მრავალწევრის ყველა მთელი ძირი f(x)= , ჰორნერის სქემის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.ამ მრავალწევრის კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია. კოეფიციენტი უმაღლეს ხარისხამდე (ჩვენს შემთხვევაში ადრე) უდრის ერთს. მაშასადამე, ჩვენ ვეძებთ მრავალწევრის მთელ ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის (გვაქვს 15), ეს არის რიცხვები:

დავიწყოთ ნომრით 1.

ცხრილი #1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

მიღებული ცხრილიდან ჩანს, რომ =1-ისთვის მრავალწევრის პოლინომია f(x)= , მივიღეთ ნაშთი r=192 და არა 0, რაც ნიშნავს რომ ერთეული არ არის ფესვი. ამიტომ, ჩვენ ვაგრძელებთ შემოწმებას =-1. ამისათვის ჩვენ არ შევქმნით ახალ ცხრილს, არამედ გავაგრძელებთ ძველ ცხრილს და გადავხაზავთ მონაცემებს, რომლებიც აღარ არის საჭირო.

ცხრილი ნომერი 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

როგორც ცხრილიდან ვხედავთ, ბოლო უჯრა აღმოჩნდა ნული, რაც იმას ნიშნავს, რომ r=0. აქედან გამომდინარე? რიცხვი -1 არის ამ მრავალწევრის ფესვი. ჩვენი მრავალწევრიანი მრავალწევრის გაყოფა f(x)= on ()=x+1 მივიღეთ მრავალწევრი

f(x)=(x+1)(),

კოეფიციენტები, რისთვისაც ავიღეთ მე-2 ცხრილის მესამე სტრიქონიდან.

ჩვენ ასევე შეგვიძლია გავაკეთოთ ეკვივალენტური აღნიშვნა

(x+1)(). მონიშნეთ იგი (1)

ახლა აუცილებელია მთელი რიცხვის ფესვების ძიების გაგრძელება, მაგრამ მხოლოდ ახლა უკვე ვეძებთ მრავალწევრის ფესვებს. ჩვენ ვეძებთ ამ ფესვებს მრავალწევრის თავისუფალ წევრებს შორის, რიცხვი 45.

კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ ნომერი -1.

ცხრილი #3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

ამრიგად, რიცხვი -1 არის მრავალწევრის ფესვი, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც

ტოლობის (2) გათვალისწინებით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა (1) შემდეგი სახით

ახლა ჩვენ ვეძებთ ფესვებს მრავალწევრისთვის, ისევ თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის. კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ ნომერი -1.

ცხრილი No4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

ცხრილის მიხედვით ვხედავთ, რომ რიცხვი -1 არის მრავალწევრის ფესვი.

მოცემული (3*), ჩვენ შეგვიძლია გადავწეროთ ტოლობა (2*) როგორც:

ახლა ჩვენ ვეძებთ ძირს. ჩვენ კვლავ ვუყურებთ თავისუფალი ტერმინის გამყოფებს. დავიწყოთ შემოწმება ნომრით -1.

ცხრილი ნომერი 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

მივიღეთ ნაშთი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი -1 არ არის მრავალწევრის ფესვი. მოდით შევამოწმოთ შემდეგი ნომერი 1.

ცხრილი No6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

და ჩვენ ვხედავთ, რომ ისევ არ ჯდება, დარჩენილია r(x) = 24. ვიღებთ ახალ რიცხვს.

მოდით შევამოწმოთ ნომერი 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

ცხრილი ნომერი 7

r(x)= 0, ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 3 არის მრავალწევრის ფესვი, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს მრავალწევრი:

=(x-3)( )

მიღებული გამონათქვამიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა (5) შემდეგნაირად:

(x-3)( ) (6)

მოდით შევამოწმოთ ახლა მრავალწევრებისთვის

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

ცხრილი No8

ცხრილიდან გამომდინარე, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 3 არის მრავალწევრის ფესვი . ახლა დავწეროთ შემდეგი:

ჩვენ ვწერთ ტოლობას (5*), მიღებული გამონათქვამის გათვალისწინებით, შემდეგნაირად:

(x-3)()= = .

იპოვეთ ბინომის ფესვი თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

ავიღოთ ნომერი 5

ცხრილი No9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, მაშასადამე, 5 არის ბინომის ფესვი.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

ამ მაგალითის გამოსავალი იქნება ცხრილი ნომერი 8.

როგორც ცხრილიდან ჩანს, რიცხვები -1; 3; 5 არის მრავალწევრის ფესვები.

ახლა პირდაპირ გადავიდეთ ფესვების ტიპები.

1 არის მესამე ხარისხის ფესვი, ვინაიდან ფრჩხილი (x + 1) მესამე ხარისხშია;

3- მეორე ხარისხის ფესვი, ფრჩხილი (x-3) მეორე ხარისხში;

5 არის პირველი ხარისხის ფესვი ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარტივი.

კვადრატული განტოლებები ხშირად ჩნდება მათემატიკისა და ფიზიკის რიგ ამოცანებში, ამიტომ თითოეულ მოსწავლეს უნდა შეეძლოს მათი ამოხსნა. ამ სტატიაში დეტალურად განიხილება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები და ასევე მოცემულია მათი გამოყენების მაგალითები.

რომელ განტოლებას ეწოდება კვადრატული

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუპასუხებთ ამ პუნქტის კითხვას, რათა უკეთ გავიგოთ, რა იქნება განხილული სტატიაში. ამრიგად, კვადრატულ განტოლებას აქვს შემდეგი ზოგადი ფორმა: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, სადაც a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი, რომლებსაც კოეფიციენტები უწოდებენ. აქ a≠0 სავალდებულო პირობაა, წინააღმდეგ შემთხვევაში მითითებული განტოლება გადაგვარდება წრფივში. დარჩენილ კოეფიციენტებს (b, c) შეუძლია მიიღოს აბსოლუტურად ნებისმიერი მნიშვნელობა, მათ შორის ნული. ასე რომ, გამონათქვამები, როგორიცაა a*x 2 =0, სადაც b=0 და c=0 ან c+a*x 2 =0, სადაც b=0, ან b*x+a*x 2 =0, სადაც c=0 - ეს არის ასევე კვადრატული განტოლებები, რომლებსაც უწოდებენ არასრულს, რადგან მათში ან წრფივი კოეფიციენტი b უდრის ნულს, ან თავისუფალი წევრი c არის ნული, ან ორივე ქრება.

განტოლება, რომელშიც \u003d 1 ეწოდება შემცირებულს, ანუ მას აქვს ფორმა: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნა არის x-ის ისეთი მნიშვნელობების პოვნა, რომლებიც აკმაყოფილებენ მის ტოლობას. ამ მნიშვნელობებს ფესვები ეწოდება. ვინაიდან განხილული განტოლება არის მეორე ხარისხის გამოხატულება, ეს ნიშნავს, რომ მისი ფესვების მაქსიმალური რაოდენობა არ შეიძლება აღემატებოდეს ორს.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები არსებობს

ზოგადად, არსებობს 4 გადაწყვეტის მეთოდი. მათი სახელები ჩამოთვლილია ქვემოთ:

1. ფაქტორიზაცია.
2. კვადრატის შევსება.
3. ცნობილი ფორმულის გამოყენება (დისკრიმინანტის მეშვეობით).
4. გამოსავალი გეომეტრიულია.

როგორც ზემოაღნიშნული სიიდან ირკვევა, პირველი სამი მეთოდი ალგებრულია, ამიტომ ისინი უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ბოლო, რაც გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის შედგენას.

არსებობს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ის შეიძლება მოხვდეს მე-5 სიაში ზემოთ, თუმცა ეს არ კეთდება, რადგან ვიეტას თეორემა მე-3 მეთოდის მარტივი შედეგია.

მეთოდი ნომერი 1. ფაქტორიზაცია

კვადრატული განტოლებების მათემატიკაში ამ მეთოდს აქვს ლამაზი სახელი: ფაქტორიზაცია. ამ მეთოდის არსი შემდეგია: აუცილებელია კვადრატული განტოლების წარმოდგენა ორი წევრის ნამრავლად (გამოხატვა), რომელიც უნდა იყოს ნულის ტოლი. ასეთი წარმოდგენის შემდეგ შეიძლება გამოვიყენოთ პროდუქტის თვისება, რომელიც იქნება ნულის ტოლი მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი ერთი ან რამდენიმე (ყველა) წევრი ნულის ტოლია.

ახლა განიხილეთ კონკრეტული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც უნდა შესრულდეს განტოლების ფესვების მოსაძებნად:

1. გადაიტანეთ ყველა წევრი გამოხატვის ერთ ნაწილში (მაგალითად, მარცხნივ) ისე, რომ მხოლოდ 0 დარჩეს მის მეორე ნაწილში (მარჯვნივ).
2. გამოთქვით ტერმინების ჯამი განტოლების ერთ ნაწილში, როგორც ორი წრფივი განტოლების ნამრავლი.
3. თითოეული წრფივი გამონათქვამი გაატოლეთ ნულთან და ამოხსენით ისინი.

როგორც ხედავთ, ფაქტორიზაციის ალგორითმი საკმაოდ მარტივია, თუმცა მე-2 პუნქტის განხორციელებისას მოსწავლეთა უმეტესობას უჭირს, ამიტომ უფრო დეტალურად განვმარტავთ.

იმის გამოსაცნობად, თუ რომელი 2 წრფივი გამონათქვამი ერთმანეთზე გამრავლებისას მისცემს სასურველ კვადრატულ განტოლებას, უნდა გახსოვდეთ ორი მარტივი წესი:

• ორი წრფივი გამონათქვამის წრფივი კოეფიციენტები, ერთმანეთზე გამრავლებისას უნდა მივცეთ კვადრატული განტოლების პირველი კოეფიციენტი, ანუ რიცხვი a.
• წრფივი გამოსახულებების თავისუფალ წევრებს მათი გამრავლებისას უნდა მივცეთ სასურველი განტოლების რიცხვი c.

ფაქტორების ყველა რიცხვის შერჩევის შემდეგ ისინი უნდა გამრავლდეს და თუ მიიღებენ სასურველ განტოლებას, გადადით მე-3 საფეხურზე ზემოთ მოცემულ ალგორითმში, წინააღმდეგ შემთხვევაში ფაქტორები უნდა შეიცვალოს, მაგრამ ეს უნდა გაკეთდეს ისე, რომ ზემოაღნიშნული წესები ყოველთვის სრულდება.

ფაქტორიზაციის გადაწყვეტის მაგალითი

ჩვენ ნათლად გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შეადგინოთ ალგორითმი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად და ვიპოვოთ უცნობი ფესვები. მიეცით თვითნებური გამოხატულება, მაგალითად, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. გადავიდეთ მის ამოხსნაზე, დავაკვირდეთ 1-დან 3-მდე წერტილების თანმიმდევრობას, რომლებიც მოცემულია სტატიის წინა პუნქტში.

წერტილი 1. გადავიტანოთ ყველა წევრი მარცხენა მხარეს და ავაშენოთ კლასიკური მიმდევრობით კვადრატული განტოლებისთვის. გვაქვს შემდეგი ტოლობა: 2*x+(-8)+x 2 =0.

წერტილი 2. ვყოფთ მას წრფივი განტოლებების ნამრავლად. ვინაიდან a=1, და c=-8, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ, მაგალითად, ასეთ პროდუქტს (x-2)*(x+4). იგი აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პუნქტში დადგენილ მოსალოდნელი ფაქტორების პოვნის წესებს. თუ ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ: -8+2*x+x 2, ანუ მივიღებთ ზუსტად იგივე გამოსახულებას, რაც განტოლების მარცხენა მხარეს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორად გამოვიცნოთ მულტიპლიკატორები და შეგვიძლია გადავიდეთ ალგორითმის მე-3 საფეხურზე.

პუნქტი 3. თითოეულ ფაქტორს ვატოლებთ ნულს, მივიღებთ: x=-4 და x=2.

თუ არსებობს რაიმე ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია გადამოწმება აღმოჩენილი ფესვების თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. ამ შემთხვევაში გვაქვს: 2*2+2 2 -8=0 და 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. სწორად ნაპოვნი ფესვები.

ამრიგად, ფაქტორილიზაციის მეთოდით აღმოვაჩინეთ, რომ მოცემულ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს: 2 და -4.

მეთოდი #2. შეავსეთ სრული მოედანი

კვადრატული განტოლებების ალგებრაში, მულტიპლიკატორის მეთოდი ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას, რადგან კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების წილადი მნიშვნელობების შემთხვევაში, სირთულეები წარმოიქმნება ალგორითმის მე-2 პუნქტის განხორციელებაში.

სრული კვადრატის მეთოდი, თავის მხრივ, უნივერსალურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი ტიპის კვადრატულ განტოლებაზე. მისი არსი არის შემდეგი ოპერაციების შესრულება:

1. a და b კოეფიციენტების შემცველი განტოლების წევრები უნდა გადავიდეს ტოლობის ერთ ნაწილზე, ხოლო თავისუფალი წევრი c მეორეზე.
2. შემდგომში ტოლობის ნაწილები (მარჯვნივ და მარცხნივ) უნდა გაიყოს a კოეფიციენტზე, ანუ განტოლება წარმოდგენილი იყოს შემცირებული სახით (a=1).
3. a და b კოეფიციენტებით წევრთა ჯამი წარმოდგენილია წრფივი განტოლების კვადრატის სახით. ვინაიდან \u003d 1, მაშინ წრფივი კოეფიციენტი იქნება 1-ის ტოლი, რაც შეეხება წრფივი განტოლების თავისუფალ წევრს, მაშინ ის უნდა იყოს შემცირებული კვადრატული განტოლების წრფივი კოეფიციენტის ნახევარის ტოლი. წრფივი გამოხატვის კვადრატის შედგენის შემდეგ საჭიროა შესაბამისი რიცხვის დამატება ტოლობის მარჯვენა მხარეს, სადაც მდებარეობს თავისუფალი წევრი, რომელიც მიიღება კვადრატის გახსნით.
4. აიღეთ კვადრატული ფესვი "+" და "-" ნიშნებით და ამოხსენით უკვე მიღებული წრფივი განტოლება.

აღწერილი ალგორითმი ერთი შეხედვით საკმაოდ რთულად შეიძლება აღიქმებოდეს, თუმცა პრაქტიკაში მისი განხორციელება უფრო ადვილია ვიდრე ფაქტორიზაციის მეთოდი.

ამოხსნის მაგალითი სრული კვადრატის კომპლიმენტის გამოყენებით

ჩვენ ვაძლევთ კვადრატული განტოლების მაგალითს მისი ამოხსნის სწავლებისთვის წინა აბზაცში აღწერილი მეთოდით. მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება -10 - 6*x+5*x 2 = 0. ვიწყებთ ამოხსნას ზემოთ აღწერილი ალგორითმის მიხედვით.

წერტილი 1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ვიყენებთ გადაცემის მეთოდს, მივიღებთ: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.

წერტილი 2. ამ განტოლების შემცირებული ფორმა მიიღება მისი თითოეული წევრის 5 რიცხვზე გაყოფით (თუ ტოლობები ორივე ნაწილი იყოფა ან გამრავლდა ერთ რიცხვზე, მაშინ ტოლობა შენარჩუნდება). გარდაქმნების შედეგად ვიღებთ: x 2 - 6/5 * x = 2.

პუნქტი 3. კოეფიციენტის ნახევარი - 6/5 უდრის -6/10 = -3/5, ამ რიცხვს ვიყენებთ სრული კვადრატის შესაქმნელად, მივიღებთ: (-3/5 + x) 2 . ჩვენ გავაფართოვებთ მას და მიღებული თავისუფალი წევრი უნდა გამოვაკლოთ ტოლობის მარცხენა მხარეს, რათა დავაკმაყოფილოთ კვადრატული განტოლების საწყისი ფორმა, რაც უდრის მის დამატებას მარჯვენა მხარეს. შედეგად ვიღებთ: (-3/5+x) 2 = 59/25.

წერტილი 4. კვადრატულ ფესვს ვიანგარიშებთ დადებითი და უარყოფითი ნიშნებით და ვპოულობთ ფესვებს: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. ნაპოვნი ორ ფესვს აქვს შემდეგი მნიშვნელობები: x 1 = (√59+3)/5 და x 1 = (3-√59)/5.

ვინაიდან შესრულებული გამოთვლები დაკავშირებულია ფესვებთან, დიდია შეცდომის დაშვების ალბათობა. ამიტომ რეკომენდებულია ფესვების x 2 და x 1 სისწორის შემოწმება. ვიღებთ x 1-ს: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. ახლა ჩაანაცვლეთ x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

ამრიგად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ განტოლების ნაპოვნი ფესვები ჭეშმარიტია.

მეთოდი ნომერი 3. ცნობილი ფორმულის გამოყენება

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ეს მეთოდი, ალბათ, ყველაზე მარტივია, რადგან ის მოიცავს კოეფიციენტების ცნობილ ფორმულაში ჩანაცვლებას. მის გამოსაყენებლად არ გჭირდებათ ფიქრი ამოხსნის ალგორითმების შედგენაზე, საკმარისია მხოლოდ ერთი ფორმულის დამახსოვრება. ეს ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ამ ფორმულაში ძირეულ გამოსახულებას (b 2 -4*a*c) ეწოდება დისკრიმინანტი (D). მისი ღირებულება დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა ფესვები მიიღება. შესაძლებელია 3 შემთხვევა:

• D>0, მაშინ ძირეული ორი განტოლება აქვს რეალური და განსხვავებული.
• D=0, შემდეგ მიიღება ერთი ფესვი, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს გამოხატულებიდან x = -b / (a ​​* 2).
• დ<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

ამოხსნის მაგალითი დისკრიმინანტის გაანგარიშებით

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების მაგალითი ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით პრაქტიკაში. იპოვეთ ფესვები -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. ჯერ გამოთვალეთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა, მივიღებთ: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.

მას შემდეგ რაც მიიღო დ<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

მეთოდი ნომერი 4. ფუნქციის გრაფიკის გამოყენება

მას ასევე უწოდებენ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს. უნდა ითქვას, რომ იგი გამოიყენება, როგორც წესი, განსახილველი განტოლების არა რაოდენობრივი, არამედ თვისებრივი ანალიზისთვის.

მეთოდის არსი არის კვადრატული ფუნქციის გამოსახვა y = f(x), რომელიც არის პარაბოლა. შემდეგ, აუცილებელია განვსაზღვროთ, რომელ წერტილებში იკვეთება პარაბოლას აბსცისა (X) ღერძი, ისინი იქნება შესაბამისი განტოლების ფესვები.

იმის გასაგებად, გადაკვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს, საკმარისია ვიცოდეთ მისი მინიმალური (მაქსიმუმის) პოზიცია და მისი ტოტების მიმართულება (მათ შეუძლიათ გაიზარდონ ან შემცირდნენ). ამ მრუდის ორი თვისებაა დასამახსოვრებელი:

• თუ a>0 - ტოტის პარაბოლები მიმართულია ზემოთ, პირიქით, თუ a<0, то они идут вниз.
• პარაბოლის მინიმალური (მაქსიმუმის) კოორდინატი ყოველთვის არის x = -b/(2*a).

მაგალითად, საჭიროა განვსაზღვროთ, აქვს თუ არა განტოლებას -4*x+5*x 2 +10 = 0 ფესვები, შესაბამისი პარაბოლა მიმართული იქნება ზემოთ, ვინაიდან a=5>0. მის კიდურს აქვს კოორდინატები: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2. ვინაიდან მრუდის მინიმუმი დგას x-ღერძის ზემოთ (y=9.2), ის არ კვეთს ამ უკანასკნელს x-ის არცერთ მნიშვნელობებზე. ანუ მოცემულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

ვიეტას თეორემა

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს თეორემა არის No3 მეთოდის შედეგი, რომელიც დაფუძნებულია დისკრიმინანტით ფორმულის გამოყენებაზე. ვიეტას თეორემის არსი ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ განტოლების კოეფიციენტები და მისი ფესვები თანასწორობაში. ვიღებთ შესაბამის თანასწორობებს.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა ფესვების გამოსათვლელად დისკრიმინანტის საშუალებით. მოდით დავამატოთ ორი ფესვი, მივიღებთ: x 1 + x 2 \u003d -b / a. ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფესვებს ერთმანეთზე: x 1 * x 2, გამარტივებების სერიის შემდეგ ვიღებთ რიცხვს c/a.

ამრიგად, ვიეტას თეორემით კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიღებული ორი ტოლობა. თუ განტოლების სამივე კოეფიციენტი ცნობილია, მაშინ ფესვების პოვნა შესაძლებელია ამ ორი განტოლების შესაბამისი სისტემის ამოხსნით.

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითი

აუცილებელია კვადრატული განტოლების შედგენა, თუ ცნობილია, რომ მას აქვს ფორმა x 2 + c \u003d -b * x და მისი ფესვები არის 3 და -4.

ვინაიდან განხილულ განტოლებაში a \u003d 1, მაშინ Vieta ფორმულები ასე გამოიყურება: x 2 + x 1 \u003d -b და x 2 * x 1 \u003d c. ფესვების ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ვიღებთ: b = 1 და c = -12. შედეგად, აღდგენილი კვადრატული განტოლება ასე გამოიყურება: x 2 -12 = -1*x. თქვენ შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ მასში ფესვების მნიშვნელობა და დარწმუნდეთ, რომ თანასწორობა დაცულია.

ვიეტას თეორემის საპირისპირო გამოყენება, ანუ ფესვების გამოთვლა განტოლების ცნობილი ფორმის მიხედვით, საშუალებას გაძლევთ სწრაფად (ინტუიტიურად) იპოვოთ ამონახსნები მცირე მთელი რიცხვებისთვის a, b და c.

კვადრატული განტოლებები შესწავლილია მე-8 კლასში, ასე რომ, აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აუცილებელია.

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a , b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე აღვნიშნავთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

1. არ აქვს ფესვები;
2. მათ აქვთ ზუსტად ერთი ფესვი;
3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac .

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

1. თუ დ< 0, корней нет;
2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრი ფიქრობს. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს პირველი განტოლებისთვის და ვპოულობთ დისკრიმინანტს:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. ბოლო განტოლება რჩება:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი ნულის ტოლია - ფესვი ერთი იქნება.

გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტები დაწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი - მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელურ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ „ხელს ავსებ“, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ამოწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. უმეტესობა ამის კეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ გამოსავალზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეძლებთ დათვლას, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება მაშინ, როდესაც უარყოფითი კოეფიციენტები ჩანაცვლებულია ფორმულაში. აქ, კიდევ ერთხელ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, დახატეთ თითოეული ნაბიჯი - და მოიცილეთ შეცდომები ძალიან მალე.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება გარკვეულწილად განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

ადვილი მისახვედრია, რომ ერთ-ერთი ტერმინი აკლია ამ განტოლებებს. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: მათ არც კი სჭირდებათ დისკრიმინანტის გამოთვლა. მოდით შემოვიტანოთ ახალი კონცეფცია:

განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b \u003d c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ცულის 2 \u003d 0 ფორმას. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთიანი. ფესვი: x \u003d 0.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევები. მოდით b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ არასრულ კვადრატულ განტოლებას ფორმის ax 2 + c \u003d 0. მოდით ოდნავ გარდავქმნათ იგი:

ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც (−c / a ) ≥ 0. დასკვნა:

1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება აკმაყოფილებს უტოლობას (−c / a ) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c / a ) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ x 2-ის მნიშვნელობა და ვნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებებს, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორიზირება:

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილიდან

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ამ განტოლებას:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.