ორი თვითმფრინავი მიეცეს

პირველ სიბრტყეს აქვს ნორმალური ვექტორი (A 1; B 1; C 1), მეორე სიბრტყეს (A 2; B 2; C 2).

თუ სიბრტყეები პარალელურია, მაშინ ვექტორები და არიან კოლინარული, ე.ი. = l ზოგიერთი l რიცხვისთვის. Ისე

─ სიბრტყის პარალელურობის მდგომარეობა.

თვითმფრინავების დამთხვევის მდგომარეობა:

,

ვინაიდან ამ შემთხვევაში მეორე განტოლების გამრავლებით l=-ზე მივიღებთ პირველ განტოლებას.

თუ პარალელურობის პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ სიბრტყეები იკვეთება. კერძოდ, თუ სიბრტყეები პერპენდიკულარულია, მაშინ ვექტორებიც პერპენდიკულარულია. ამიტომ მათი სკალარული ნამრავლი 0-ის ტოლია, ე.ი. = 0, ან

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

ეს არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ თვითმფრინავები იყოს პერპენდიკულარული.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

არის კუთხე მათ ნორმალურ ვექტორებს შორის და ა.შ

cosj = =
.

სწორი ხაზი სივრცეში.

სწორი ხაზის ვექტორულ-პარამეტრული განტოლება.

განმარტება. მიმართულების ვექტორი სწორინებისმიერ ვექტორს, რომელიც დევს წრფეზე ან მის პარალელურად, ეწოდება.

შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის M 0 წერტილში (x 0; y 0; z 0) და აქვს მიმართულების ვექტორი = (a 1; a 2; a 3).

M 0 წერტილიდან გამოვყოთ ვექტორი . მოდით M(x; y; z) იყოს მოცემული წრფის თვითნებური წერტილი და ─ მისი რადიუსი-ვექტორი М 0 წერტილის. მაშინ , , Ამიტომაც . ეს განტოლება ე.წ სწორი ხაზის ვექტორულ-პარამეტრული განტოლება.

სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები.

სწორი ხაზის ვექტორულ-პარამეტრულ განტოლებაში გადავა კოორდინატთა მიმართებებზე (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. აქედან ვიღებთ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები

x \u003d x 0 + a 1 ტ,

y = y 0 + a 2 t, (4)

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები.

(4) განტოლებიდან გამოვხატავთ t:

t =, t = , t = ,

სადაც მივიღებთ წრფის კანონიკური განტოლებები

= = (5)

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

მიეცით ორი წერტილი M 1 (x 1; y 1; z 1) და M 2 (x 2; y 2; z 2). როგორც სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი, შეგიძლიათ აიღოთ ვექტორი = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1). ვინაიდან წრფე გადის M 1 წერტილში (x 1; y 1; z 1), მაშინ მისი კანონიკური განტოლებები (5) შესაბამისად დაიწერება ფორმით.

(6)

კუთხე ორ ხაზს შორის.

განვიხილოთ ორი სწორი ხაზი მიმართულების ვექტორებით = (a 1; a 2; a 3) და .

ხაზებს შორის კუთხე ტოლია მათ მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის, ასე რომ

cosj = =
(7)

ხაზების პერპენდიკულარობის პირობა:

a 1 in 1 + a 2 in 2 + a 3 in 3 = 0.

პარალელური წრფეების მდგომარეობა:

ლ,

. (8)

ხაზების ურთიერთგანლაგება სივრცეში.

მიეცით ორი ხაზი
და
.

ცხადია, წრფეები ერთსა და იმავე სიბრტყეშია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები , და თანაპლენარული, ე.ი.

= 0 (9)

თუ (9) პირველი ორი მწკრივი პროპორციულია, მაშინ წრფეები პარალელურია. თუ სამივე ხაზი პროპორციულია, მაშინ წრფეები ემთხვევა. თუ პირობა (9) დაკმაყოფილებულია და პირველი ორი მწკრივი არ არის პროპორციული, მაშინ ხაზები იკვეთება.

თუ
¹ 0, მაშინ ხაზები დახრილია.

პრობლემები სწორ ხაზზე და სიბრტყეზე სივრცეში.

სწორი ხაზი არის ორი სიბრტყის გადაკვეთა.

ორი თვითმფრინავი მიეცეს

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

თუ თვითმფრინავები პარალელური არ არის, მაშინ მდგომარეობა ირღვევა

.

მოდით, მაგალითად, ¹.

ვიპოვოთ სწორი ხაზის განტოლება, რომლის გასწვრივ კვეთენ სიბრტყეები.

სასურველი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორად შეგვიძლია ავიღოთ ვექტორი

= × = =
.

სასურველი ხაზის კუთვნილი წერტილის საპოვნელად, ვაფიქსირებთ გარკვეულ მნიშვნელობას

z = z 0 და სისტემის ამოხსნა

,

ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელობებს x \u003d x 0, y \u003d y 0. ასე რომ, სასურველი წერტილი არის M (x 0; y 0; z 0).

საჭირო განტოლება

.

სწორი ხაზისა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება.

მიეცით სწორი ხაზი x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

და თვითმფრინავი

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

წრფისა და სიბრტყის საერთო წერტილების საპოვნელად აუცილებელია მათი განტოლების სისტემის ამოხსნა

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

თუ A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა

t = t 0 = -
.

ამ შემთხვევაში, წრფე და სიბრტყე იკვეთება ერთ წერტილში M 1 (x 1; y 1; z 1), სადაც

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

თუ A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, მაშინ წრფესა და სიბრტყეს არ აქვთ საერთო წერტილები , ე.ი. პარალელურები არიან.

თუ A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, მაშინ ხაზი ეკუთვნის სიბრტყეს.

კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის.

თვითმფრინავების ურთიერთგანლაგება სივრცეში

სივრცეში ორი თვითმფრინავის ურთიერთგანლაგებით შესაძლებელია ორი ურთიერთგამომრიცხავი შემთხვევიდან ერთი.

1. ორ თვითმფრინავს აქვს საერთო წერტილი. შემდეგ, ორი სიბრტყის გადაკვეთის აქსიომით, მათ აქვთ საერთო ხაზი. აქსიომა R5 ამბობს: თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ ამ სიბრტყეების კვეთა მათი საერთო ხაზია. ამ აქსიომიდან გამომდინარეობს, რომ სიბრტყეებისთვის ასეთ სიბრტყეებს გადაკვეთა ეწოდება.

ორ თვითმფრინავს საერთო წერტილი არ აქვს.

3. ორი თვითმფრინავი ერთმანეთს ემთხვევა

3. ვექტორები სიბრტყეზე და სივრცეში

ვექტორი არის მიმართული ხაზის სეგმენტი. მისი სიგრძე ითვლება სეგმენტის სიგრძედ. თუ მოცემულია ორი წერტილი M1 (x1, y1, z1) და M2 (x2, y2, z2), მაშინ ვექტორი

თუ მოცემულია ორი ვექტორი და მაშინ

1. ვექტორების სიგრძეები

2. ვექტორთა ჯამი:

3. ორი ვექტორის a და b ჯამი არის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალი, რომელიც მოდის მათი გამოყენების საერთო წერტილიდან (პარალელოგრამის წესი); ან პირველი ვექტორის დასაწყისს ბოლო ბოლოსთან დამაკავშირებელი ვექტორი - სამკუთხედის წესის მიხედვით. სამი ვექტორის ჯამი a, b, c არის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის დიაგონალი (პარალელეპიპედის წესი).

განიხილეთ:

• 1. კოორდინატების საწყისი არის A წერტილში;
• 2. კუბის მხარე ერთი სეგმენტია.
• 3. ჩვენ მივმართავთ OX ღერძს AB კიდის გასწვრივ, OY AD კიდის გასწვრივ და OZ ღერძი AA1 კიდის გასწვრივ.

კუბის ქვედა სიბრტყისთვის

დეფ. სივრცეში ორ სიბრტყეზე ამბობენ, რომ პარალელურია, თუ ისინი არ იკვეთებიან, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი იკვეთებიან.

თეორემა 1: თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფე, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი წრფის, მაშინ ეს სიბრტყეები პარალელურია.

მტკიცებულება:

მიეცით სიბრტყეები, a1 და a2 - წრფეები A წერტილში გადამკვეთ სიბრტყეში, b1 და b2 - წრფეები, შესაბამისად, მათ პარალელურად.

თვითმფრინავები. დავუშვათ, რომ სიბრტყეები და არ არიან პარალელური, ე.ი. იკვეთება რაღაც ხაზის გასწვრივ. თეორემის მიხედვით, წრფეები a1 და a2, რომლებიც პარალელურად არიან b1 და b2 წრფეებთან, პარალელურია სიბრტყის პარალელურად და, შესაბამისად, ისინი არ არიან.

ამ სიბრტყეში მყოფი c წრფის გადაკვეთა. ამრიგად, ორი სწორი ხაზი (a1 და a2) გადის სიბრტყის A წერტილში, c წრფის პარალელურად. მაგრამ ეს შეუძლებელია პარალელური აქსიომის მიხედვით. ჩვენ მივედით CTD-ის წინააღმდეგობაში.

პერპენდიკულარული სიბრტყეები: ორ გადამკვეთ სიბრტყეს პერპენდიკულარული ეწოდება, თუ მესამე სიბრტყე, ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წრფეზე პერპენდიკულარული, კვეთს მათ პერპენდიკულარული ხაზების გასწვრივ.

თეორემა 2: თუ სიბრტყე გადის სხვა სიბრტყის პერპენდიკულარულ წრფეზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

მტკიცებულება:

მოდით იყოს სიბრტყე, β იყოს მასზე პერპენდიკულარული წრფე, იყოს β წრფეზე გამავალი სიბრტყე, c იყოს ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და იკვეთება. დავამტკიცოთ, რომ სიბრტყეები და პერპენდიკულარულია. მოდით დავხატოთ სიბრტყეში წრფის გადაკვეთის წერტილის სიბრტყეში a წრფე,

სწორი ხაზის პერპენდიკულარული. მოდით დავხატოთ a ხაზებიდან და სიბრტყეში. ის პერპენდიკულარულია c წრფეზე, რადგან წრფე c პერპენდიკულარულია a და b წრფეებზე. ვინაიდან a და b წრფეები პერპენდიკულარულია, სიბრტყეები და პერპენდიკულარულია. ჰ.ტ.დ.

42. სიბრტყის და მისი თვისებების ნორმალური განტოლება

ნორმალური (ნორმალიზებული) სიბრტყის განტოლება

ვექტორული ფორმით:

სადაც არის ერთეული ვექტორი, არის P.-ის მანძილი საწყისიდან. განტოლება (2) შეიძლება მივიღოთ (1) განტოლებიდან ნორმალიზებულ ფაქტორზე გამრავლებით

(ნიშნები და საპირისპირო).

43. სწორი ხაზის განტოლებები სივრცეში: ზოგადი განტოლებები, კანონიკური და პარამეტრული განტოლებები.

კანონიკური განტოლებები:

ჩვენ გამოვყავით სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში და პარალელურად არის მოცემული მიმართულების ვექტორთან. გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი დევს ამ წრფეზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები და არიან კოლინარული. ეს ნიშნავს, რომ ამ ვექტორების კოორდინატები პროპორციულია:

ამ განტოლებებს კანონიკური ეწოდება. გაითვალისწინეთ, რომ მიმართულების ვექტორის კოორდინატებიდან ერთი ან ორი შეიძლება იყოს ნული. მაგრამ ჩვენ მას პროპორციულად აღვიქვამთ: ჩვენ გვესმის, როგორც თანასწორობა.

ზოგადი განტოლებები:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

სადაც A1-C1 კოეფიციენტები არ არის A2-C2-ის პროპორციული, რაც უდრის სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზად დაყენებას.

პარამეტრული:

წერტილოვანი ვექტორებიდან სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, კოლინარული, მიმართულ ვექტორამდე, ჩვენ მივიღებთ ჩვენი სწორი ხაზის სხვადასხვა წერტილებს გადადებული ვექტორების ბოლოს. თანასწორობიდან გამომდინარეობს:

ცვლადს პარამეტრი ეწოდება. ვინაიდან ხაზის ნებისმიერი წერტილისთვის არის შესაბამისი პარამეტრის მნიშვნელობა და რადგან ხაზის სხვადასხვა წერტილი შეესაბამება პარამეტრის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, არსებობს ერთი-ერთზე შესაბამისობა პარამეტრის მნიშვნელობებსა და ხაზის წერტილებს შორის. . როდესაც პარამეტრი გადის ყველა რეალურ რიცხვში დან მდე, შესაბამისი წერტილი გადის მთელ ხაზში.

44. წრფივი სივრცის ცნება. აქსიომები. ხაზოვანი სივრცეების მაგალითები

წრფივი სივრცის მაგალითია ყველა გეომეტრიული ვექტორის სიმრავლე.

ხაზოვანი, ან ვექტორისივრცემინდვრის ზემოთ პ- ეს არის არა ცარიელი ნაკრები ლ, რომელზედაც დანერგილია ოპერაციები

დამატებით, ანუ კომპლექტის ელემენტების თითოეული წყვილი ასოცირდება იმავე ნაკრების ელემენტთან, რომელიც აღინიშნება

გამრავლება სკალარზე (ანუ ველის ელემენტი პ), ანუ, ნებისმიერი ელემენტი და ნებისმიერი ელემენტი დაემთხვევა ელემენტს from, აღინიშნება.

ამ შემთხვევაში, ოპერაციისთვის დაწესებულია შემდეგი პირობები:

ნებისმიერისთვის ( დამატების ურთიერთშენაცვლება);

ნებისმიერისთვის ( დამატების ასოციაციურობა);

არის ისეთი ელემენტი, რომ ნებისმიერი ( ნეიტრალური ელემენტის არსებობა დამატებასთან მიმართებაში), კერძოდ ლარ არის ცარიელი;

ნებისმიერისთვის არის ისეთი ელემენტი, რომელიც (საპირისპირო ელემენტის არსებობა).

(სკალარით გამრავლების ასოციაციურობა);

(გამრავლება ნეიტრალურ (გამრავლებით) ველის ელემენტზეპინახავს ვექტორს).

(ვექტორზე გამრავლების განაწილება სკალარების დამატებით);

(სკალარით გამრავლების განაწილება ვექტორის შეკრების მიმართ).

ელემენტების დაყენება ლდაურეკა ვექტორებიდა ველის ელემენტები პ-სკალარები. თვისებები 1-4 ემთხვევა აბელიანთა ჯგუფის აქსიომებს.

უმარტივესი თვისებები

ვექტორული სივრცე მიმატებით არის აბელიური ჯგუფი.

ნეიტრალური ელემენტი ერთადერთია, რომელიც ჯგუფური თვისებების შედეგია.

ვინმესთვის .

ნებისმიერი საპირისპირო ელემენტისთვის არის ერთადერთი, რომელიც გამომდინარეობს ჯგუფის თვისებებიდან.

ვინმესთვის .

ნებისმიერისთვის და

ვინმესთვის .

წრფივი სივრცის ელემენტებს ვექტორები ეწოდება. სივრცეს რეალური ეწოდება, თუ მასში ვექტორების რიცხვზე გამრავლების მოქმედება განისაზღვრება მხოლოდ რეალური რიცხვებისთვის, ხოლო რთული, თუ ეს ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ რთული რიცხვებისთვის.

45. წრფივი სივრცის საფუძველი და განზომილება, მათ შორის კავშირი.

ხედის საბოლოო ჯამი

ეწოდება ელემენტების წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტებით.

წრფივ კომბინაციას ეწოდება არატრივიალური, თუ მისი კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი.

ელემენტებს უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია, რომელიც უდრის θ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ამ ელემენტებს უწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ.

L-დან ვექტორების უსასრულო ქვესიმრავლეს ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ მისი ზოგიერთი სასრული ქვესიმრავლე წრფივად არის დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი, თუ მისი რომელიმე სასრული ქვესიმრავლე წრფივად დამოუკიდებელია.

სივრცის მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესიმრავლის ელემენტების რაოდენობა (კარდინალობა) არ არის დამოკიდებული ამ ქვესიმრავლის არჩევანზე და ეწოდება სივრცის რანგი, ან განზომილება, ხოლო თავად ამ ქვესიმრავლეს ეწოდება საფუძველი (ჰამელის საფუძველი. ან ხაზოვანი საფუძველი). ბაზის ელემენტებს ასევე უწოდებენ საბაზისო ვექტორებს. ძირითადი თვისებები:

n-განზომილებიანი სივრცის ნებისმიერი n წრფივი დამოუკიდებელი ელემენტი ქმნის ამ სივრცის საფუძველს.

ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს (ცალკეულად) როგორც ძირითადი ელემენტების სასრული წრფივი კომბინაცია:

46. ​​ვექტორული კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. წრფივი მოქმედებები ვექტორებით კოორდინატულ ფორმაში

პუნქტი 4. ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებით inკოორდინაციაფორმაჩანაწერები.

მოდით იყოს საბაზისო სივრცე და იყოს მისი ორი თვითნებური ვექტორი. მოდით და იყოს ამ ვექტორების წარმოდგენა კოორდინატების სახით. მოდით, იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი. ამ აღნიშვნებში მოქმედებს შემდეგი თეორემა.

თეორემა. (ხაზოვანი ოპერაციების შესახებ ვექტორებით კოორდინატულ ფორმაში.)

დაე Ln იყოს თვითნებური n-განზომილებიანი სივრცე, B = (e1,….,en) იყოს მასში ფიქსირებული საფუძველი. მაშინ ნებისმიერ x ვექტორს, რომელიც ეკუთვნის Ln-ს, აქვს ერთი-ერთზე შესაბამისობა მისი კოორდინატების სვეტთან ამ საფუძველზე.

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა ამოხსნათ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

ორი სიბრტყისთვის შესაძლებელია ორმხრივი მოწყობის შემდეგი ვარიანტები: ისინი პარალელურია ან იკვეთება სწორ ხაზზე.

სტერეომეტრიიდან ცნობილია, რომ ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ ერთი სიბრტყის ორი გადამკვეთი ხაზი, შესაბამისად, პარალელურია მეორე სიბრტყის ორი გადამკვეთი წრფისა. ამ მდგომარეობას ე.წ პარალელური სიბრტყეების ნიშანი.

თუ ორი სიბრტყე პარალელურია, მაშინ ისინი კვეთენ მესამე სიბრტყეს პარალელური ხაზების გასწვრივ. ამის საფუძველზე პარალელური სიბრტყეები რდა ქმათი კვალი არის პარალელური სწორი ხაზები (სურ. 50).

როცა ორი თვითმფრინავი რდა ქღერძის პარალელურად X, მათი ჰორიზონტალური და შუბლის კვალი სიბრტყეების თვითნებური ურთიერთგანლაგებით იქნება x ღერძის პარალელურად, ანუ ურთიერთპარალელური. შესაბამისად, ასეთ პირობებში კვალის პარალელურობა არის საკმარისი ნიშანი, რომელიც ახასიათებს თვით სიბრტყეების პარალელურობას. ასეთი სიბრტყეების პარალელურობისთვის, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ მათი პროფილის კვალი ასევე პარალელურია. პ w და ქვ. თვითმფრინავები რდა ქ 51-ე ფიგურაში არის პარალელური, ხოლო 52-ში ისინი არ არიან პარალელური, მიუხედავად იმისა, რომ პ v || ქ v და პსთ წ || ქსთ .

იმ შემთხვევაში, როდესაც სიბრტყეები პარალელურია, ერთი სიბრტყის ჰორიზონტები პარალელურია მეორის ჰორიზონტალებთან. ამ შემთხვევაში, ერთი სიბრტყის წინა მხარეები უნდა იყოს მეორის ფრონტის პარალელურად, რადგან ამ სიბრტყეებს აქვთ ამავე სახელწოდების პარალელური კვალი.

ერთმანეთთან გადაკვეთის ორი სიბრტყის ასაგებად აუცილებელია ვიპოვოთ ხაზი, რომლის გასწვრივაც ორი სიბრტყე იკვეთება. ამ ხაზის ასაგებად საკმარისია იპოვნოთ მის კუთვნილი ორი წერტილი.

ზოგჯერ, როდესაც თვითმფრინავი მოცემულია კვალით, ადვილია ამ წერტილების პოვნა დიაგრამის გამოყენებით და დამატებითი კონსტრუქციების გარეშე. აქ ცნობილია განსაზღვრული სწორი ხაზის მიმართულება და მისი აგება ნაკვეთზე ერთი წერტილის გამოყენებას ეფუძნება.

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის:

აღწერილობითი გეომეტრია. ლექცია შენიშვნები ლექცია. პროგნოზების შესახებ

ლექციების შესახებ ინფორმაცია პროგნოზების შესახებ ნახაზის წაკითხვის პროგნოზების კონცეფცია .. ცენტრალური პროექცია .. ცენტრალური პროექციის იდეა შეიძლება მიიღოთ იმ სურათის შესწავლით, რომელსაც ადამიანის თვალი იძლევა..

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძებნა ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო აღმოჩნდა, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ტვიტი

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

პროგნოზების კონცეფცია
აღწერილობითი გეომეტრია არის მეცნიერება, რომელიც წარმოადგენს ნახატის თეორიულ საფუძველს. ამ მეცნიერებაში შეისწავლება სხვადასხვა სხეულებისა და მათი ელემენტების თვითმფრინავზე გამოსახვის მეთოდები.

პარალელური პროექცია
პარალელური პროექცია არის პროექციის ტიპი, რომელიც იყენებს პარალელური პროეცირების სხივებს. პარალელური პროგნოზების აგებისას, თქვენ უნდა დააყენოთ

წერტილის პროგნოზები ორ საპროექციო სიბრტყეზე
განვიხილოთ წერტილების პროგნოზები ორ სიბრტყეზე, რისთვისაც ვიღებთ ორ პერპენდიკულარულ სიბრტყეს (ნახ. 4), რომლებსაც ჰორიზონტალურ შუბლს და სიბრტყეებს დავარქმევთ. ბრტყელი მონაცემების გადაკვეთის ხაზი

პროექციის ღერძი აკლია
იმის ასახსნელად, თუ როგორ მივიღოთ წერტილის მოდელის პროგნოზები პერპენდიკულარულ საპროექციო სიბრტყეებზე (ნახ. 4), საჭიროა აიღოთ სქელი ქაღალდის ნაჭერი წაგრძელებული მართკუთხედის სახით. მას შორის უნდა იყოს მოხრილი

წერტილის პროგნოზები სამ საპროექციო სიბრტყეზე
განვიხილოთ პროგნოზების პროფილის სიბრტყე. ორ პერპენდიკულარულ სიბრტყეზე პროგნოზები ჩვეულებრივ განსაზღვრავს ფიგურის პოზიციას და შესაძლებელს ხდის გაირკვეს მისი რეალური ზომები და ფორმა. მაგრამ არის შემთხვევები, როცა

წერტილის კოორდინატები
წერტილის პოზიცია სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს სამი ნომრის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება მისი კოორდინატები. თითოეული კოორდინატი შეესაბამება წერტილის მანძილს გარკვეული პრი სიბრტყიდან

სწორი ხაზის პროექცია
ხაზის დასადგენად საჭიროა ორი წერტილი. წერტილი განისაზღვრება ორი პროექციით ჰორიზონტალურ და შუბლის სიბრტყეზე, ანუ სწორი ხაზი განისაზღვრება მისი ორი წერტილის პროექციის გამოყენებით ჰორიზონტალურზე.

სწორი კვალი
სწორი ხაზის კვალი არის მისი გადაკვეთის წერტილი რომელიმე სიბრტყესთან ან ზედაპირთან (სურ. 20). წრფის ჰორიზონტალური კვალი არის წერტილი H

ხაზის სხვადასხვა პოზიციები
წრფეს უწოდებენ წრფეს ზოგად მდგომარეობაში, თუ ის არც პარალელურია და არც პერპენდიკულარული რომელიმე პროექციის სიბრტყის. წრფის პროგნოზები ზოგად პოზიციაზე ასევე არც პარალელურია და არც პერპენდიკულარული.

ორი სწორი ხაზის ურთიერთგანლაგება
სივრცეში ხაზების განლაგების სამი შემთხვევაა შესაძლებელი: 1) ხაზები იკვეთება, ანუ აქვთ საერთო წერტილი; 2) ხაზები პარალელურია, ანუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილი, მაგრამ დევს იმავე სიბრტყეში

პერპენდიკულარული ხაზები
განვიხილოთ თეორემა: თუ მართი კუთხის ერთი მხარე პარალელურია პროექციის სიბრტყის პარალელურად (ან დევს მასში), მაშინ სწორი კუთხე დაპროექტებულია ამ სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე. ჩვენ წარმოგიდგენთ მტკიცებულებას

თვითმფრინავის პოზიციის განსაზღვრა
თვითნებურად განლაგებული საპროექციო სიბრტყისთვის, მისი წერტილები ავსებს სამივე საპროექციო სიბრტყეს. აქედან გამომდინარე, აზრი არ აქვს ვისაუბროთ მთელი თვითმფრინავის პროექციაზე, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ მხოლოდ პროგნოზები

თვითმფრინავის კვალი
P სიბრტყის კვალი არის მისი გადაკვეთის ხაზი მოცემულ სიბრტყესთან ან ზედაპირთან (სურ. 36). P სიბრტყის ჰორიზონტალურ სიბრტყესთან გადაკვეთის წრფე ეწოდება

თვითმფრინავის კონტურები და ფრონტები
ხაზებს შორის, რომლებიც დევს გარკვეულ სიბრტყეში, შეიძლება განვასხვავოთ ხაზების ორი კლასი, რომლებიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში. ეს არის სწორი ხაზები, რომლებსაც ჰორიზონტალურად უწოდებენ.

თვითმფრინავის კვალის აგება
განვიხილოთ P სიბრტყის კვალის აგება, რომელიც მოცემულია I და II გადამკვეთი წრფეების წყვილით (სურ. 45). თუ ხაზი არის P სიბრტყეში, მაშინ მისი კვალი დევს ამავე სახელწოდების კვალზე

თვითმფრინავის სხვადასხვა პოზიციები
სიბრტყე ზოგად პოზიციაზე არის სიბრტყე, რომელიც არც პარალელურია და არც პერპენდიკულარული რომელიმე პროექციის სიბრტყის. ასეთი სიბრტყის კვალი ასევე არც პარალელურია და არც პერპენდიკულარული.

სიბრტყის პარალელურად სწორი ხაზი
შეიძლება არსებობდეს სწორი ხაზის რამდენიმე პოზიცია გარკვეული სიბრტყის მიმართ. 1. ხაზი დევს ზოგიერთ სიბრტყეში. 2. წრფე რაღაც სიბრტყის პარალელურია. 3. პირდაპირი გადაცემა

სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს სიბრტყეს
წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად აუცილებელია ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზების აგება. განვიხილოთ ხაზი I და სიბრტყე P (სურ. 54).

პრიზმა და პირამიდა
განვიხილოთ სწორი პრიზმა, რომელიც დგას ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე (სურ. 56). მისი გვერდითი მარცვლები

ცილინდრი და კონუსი
ცილინდრი არის ფიგურა, რომლის ზედაპირი მიიღება m სწორი ხაზის ბრუნვით i-ღერძის გარშემო, რომელიც მდებარეობს ამ სწორი ხაზის იმავე სიბრტყეში. იმ შემთხვევაში, როდესაც ხაზი მ

ბურთი, ტორუსი და ბეჭედი
როდესაც I ბრუნვის ზოგიერთი ღერძი არის წრის დიამეტრი, მაშინ მიიღება სფერული ზედაპირი (სურ. 66).

ხაზები, რომლებიც გამოიყენება ნახატში
ნახატში გამოყენებულია სხვადასხვა სისქის სამი ძირითადი ტიპის ხაზები (მყარი, წყვეტილი და წვეტიანი) (სურ. 76).

ხედების ადგილმდებარეობა (პროექციები)
ნახატში გამოყენებულია ექვსი ტიპი, რომლებიც ნაჩვენებია სურათზე 85. ნახატზე ნაჩვენებია ასო "L"-ის პროგნოზები.

ხედების მოწყობის ზემოაღნიშნული წესებიდან გადახრა
ზოგიერთ შემთხვევაში, ნებადართულია გადახრები პროგნოზების მშენებლობის წესებიდან. ამ შემთხვევებს შორის შეიძლება გამოიყოს: ნაწილობრივი ხედები და სხვა ხედებთან პროექციის კავშირის გარეშე განლაგებული ხედები.

პროგნოზების რაოდენობა, რომლებიც განსაზღვრავენ ამ სხეულს
სხეულების პოზიცია სივრცეში, ფორმასა და ზომაში, როგორც წესი, განისაზღვრება სათანადოდ შერჩეული წერტილების მცირე რაოდენობით. თუ სხეულის პროექციის გამოსახვისას ყურადღება მიაქციეთ

წერტილის ბრუნვა პროექციების სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო
ნახაზი 91 გვიჩვენებს I ბრუნის ღერძს, რომელიც ჰორიზონტალურ სიბრტყეს პერპენდიკულარულია და A წერტილი თვითნებურად მდებარეობს სივრცეში. I ღერძის გარშემო ბრუნვისას ეს წერტილი აღწერს

სეგმენტის ბუნებრივი სიგრძის განსაზღვრა ბრუნვით
ნებისმიერი პროექციის სიბრტყის პარალელური სეგმენტი დაპროექტებულია მასზე დამახინჯების გარეშე. თუ თქვენ ატრიალებთ სეგმენტს ისე, რომ იგი პარალელურად გახდეს ერთ-ერთი პროექციის სიბრტყის, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ

მონაკვეთის ფიგურის პროგნოზების აგება შეიძლება განხორციელდეს ორი გზით
1. შეგიძლიათ იპოვოთ პოლიედრონის კიდეების შეხვედრის წერტილები ჭრის სიბრტყესთან და შემდეგ დააკავშიროთ ნაპოვნი წერტილების პროგნოზები. ამის შედეგად მიიღება სასურველი მრავალკუთხედის პროგნოზები. Ამ შემთხვევაში,

პირამიდა
ნახაზი 98 გვიჩვენებს პირამიდის ზედაპირის გადაკვეთას შუბლის პროექციის სიბრტყეს P. ნახაზი 98b გვიჩვენებს KS ნეკნის შეხვედრის წერტილის შუბლის პროექციას სიბრტყესთან.

ირიბი მონაკვეთები
დახრილი სექციები გაგებულია, როგორც ამოცანების მთელი რიგი სხეულის მონაკვეთების ბუნებრივი ტიპების ასაგებად დაპროექტებული სიბრტყით. ირიბი მონაკვეთის შესასრულებლად აუცილებელია დაშლა

ჰიპერბოლა, როგორც კონუსის ზედაპირის მონაკვეთი შუბლის სიბრტყით
დაგვჭირდება ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე მდგომი კონუსის ზედაპირის მონაკვეთის აგება P სიბრტყით, რომელიც პარალელურია V სიბრტყის პარალელურად. ნახაზი 103 გვიჩვენებს შუბლის ნაწილს.

ცილინდრის ზედაპირის მონაკვეთი
სწორი წრიული ცილინდრის ზედაპირის სიბრტყით მონაკვეთის შემდეგი შემთხვევებია: 1) წრე, თუ სეკანტური სიბრტყე P ცილინდრის ღერძის პერპენდიკულარულია და ის ფუძეების პარალელურია.

კონუსის ზედაპირის მონაკვეთი
ზოგადად, წრიული კონუსური ზედაპირი მოიცავს ორ სრულიად იდენტურ ღრუს, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო (ნახ. 107c). ერთი ღრუს გენერატორები არის ამის გაგრძელება

ბურთის ზედაპირის მონაკვეთი
ბურთის ზედაპირის ნებისმიერი მონაკვეთი სიბრტყით არის წრე, რომელიც დაპროექტებულია დამახინჯების გარეშე მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საჭრელი სიბრტყე პარალელურია პროექციის სიბრტყის პარალელურად. ზოგადად, ჩვენ

ირიბი მონაკვეთები
დაე, საჭირო გახდეს მონაკვეთის ბუნებრივი ხედის აგება სხეულის ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყით. ნახაზი 110a განიხილავს სხეულს, რომელიც შემოიფარგლება სამი ცილინდრული ზედაპირით (1, 3 და 6), ზედაპირი

პირამიდა
რომელიმე გეომეტრიული სხეულის ზედაპირზე სწორი ხაზის კვალის საპოვნელად, თქვენ უნდა დახაზოთ სწორი დამხმარე სიბრტყე, შემდეგ იპოვოთ სხეულის ზედაპირის მონაკვეთი ამ სიბრტყით. სასურველი იქნება

ცილინდრული სპირალი
სპირალის ფორმირება. განვიხილოთ ნახაზი 113a, სადაც M წერტილი ერთნაირად მოძრაობს გარკვეული წრის გასწვრივ, რომელიც არის წრიული ცილინდრის მონაკვეთი სიბრტყით P. აი ეს სიბრტყე

რევოლუციის ორი ორგანო
დამხმარე თვითმფრინავების დახატვის მეთოდი გამოიყენება რევოლუციის ორი სხეულის ზედაპირის გადაკვეთის ხაზის აგებისას. ამ მეთოდის არსი შემდეგია. განახორციელეთ დამხმარე თვითმფრინავი

სექციები
არსებობს გარკვეული განმარტებები და წესები, რომლებიც ვრცელდება სექციებზე. მონაკვეთი არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც მიღებულია მოცემული სხეულის ზოგიერთთან გადაკვეთის შედეგად

ჭრის
განმარტებები და წესები, რომლებიც ვრცელდება ჭრებზე. ჭრილი არის ობიექტის ისეთი პირობითი გამოსახულება, როდესაც მისი ნაწილი მდებარეობს დამკვირვებლის თვალსა და ჭრის სიბრტყეს შორის.

ნაწილობრივი გაჭრა ან გახეთქვა
ჭრილს ეწოდება სრული, თუ გამოსახული ობიექტი მთლიანად არის ამოჭრილი, დარჩენილ ჭრილებს ეწოდება ნაწილობრივი, ან ჭრილობები. სურათზე 120, მარცხენა ხედზე და გეგმაზე, მზადდება სრული მონაკვეთები. თმის ვარცხნილობა