ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ყოვლისმომცველ მიმოხილვას. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც ამყარებენ ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რომელიმე ამ ტრიგონომეტრიული ფუნქციიდან ცნობილი მეორის მეშვეობით.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ჩამოვთვლით მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობებს, რომლებსაც ამ სტატიაში გავაანალიზებთ. ჩვენ მათ ვწერთ ცხრილში, ქვემოთ კი ვაძლევთ ამ ფორმულების წარმოშობას და ვაძლევთ საჭირო განმარტებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

კავშირი ერთი კუთხის სინუსსა და კოსინუსს შორის

ზოგჯერ ისინი საუბრობენ არა ზემოთ ცხრილში ჩამოთვლილ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობებზე, არამედ ერთ სინგლზე ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობაკეთილი . ამ ფაქტის ახსნა საკმაოდ მარტივია: ტოლობები მიიღება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობიდან, მისი ორივე ნაწილის და, შესაბამისად, და ტოლობების გაყოფის შემდეგ. და დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. ამაზე უფრო დეტალურად განვიხილავთ შემდეგ აბზაცებში.

ეს არის ის თანასწორობა, რომელიც განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს, რომელსაც მიენიჭა მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის სახელი.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დამტკიცებამდე მის ფორმულირებას ვაძლევთ: ერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი იდენტურად უდრის ერთს. ახლა დავამტკიცოთ.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა ძალიან ხშირად გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ტრანსფორმაცია. ის საშუალებას აძლევს ერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი შეიცვალოს ერთით. არანაკლებ ხშირად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით: ერთეული იცვლება ნებისმიერი კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამით.

ტანგენსი და კოტანგენსი სინუსის და კოსინუსის მეშვეობით

იდენტობები, რომლებიც აკავშირებს ტანგენტსა და კოტანგენტს ფორმის ერთი კუთხის სინუსთან და კოსინუსთან და დაუყოვნებლივ დაიცავით სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებიდან. მართლაც, განმარტებით, სინუსი არის y-ის ორდინატი, კოსინუსი არის x-ის აბსცისა, ტანგენსი არის ორდინატისა და აბსცისის შეფარდება, ანუ, და კოტანგენსი არის აბსცისის შეფარდება ორდინატთან, ანუ .

იდენტობათა ამ აშკარაობის გამო და ხშირად ტანგენტისა და კოტანგენსის განმარტებები მოცემულია არა აბსცისა და ორდინატის თანაფარდობით, არამედ სინუსისა და კოსინუსის თანაფარდობით. ასე რომ, კუთხის ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება ამ კუთხის კოსინუსთან, ხოლო კოტანგენსი არის კოსინუსის შეფარდება სინუსთან.

ამ განყოფილების დასასრულებლად უნდა აღინიშნოს, რომ ვინაობა და გამართავს ყველა იმ კუთხეს, რომლისთვისაც მათში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აზრი აქვს. ასე რომ, ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერ სხვაზე, გარდა (თორემ მნიშვნელი იქნება ნული, და ჩვენ არ განვსაზღვრეთ გაყოფა ნულზე) და ფორმულა - ყველასთვის, განსხვავებული, სადაც z არის ნებისმიერი.

კავშირი ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის

კიდევ უფრო აშკარა ტრიგონომეტრიული იდენტურობა, ვიდრე ორი წინა, არის იდენტობა, რომელიც აკავშირებს ფორმის ერთი კუთხის ტანგენტსა და კოტანგენტს. . ცხადია, რომ ის ადგილი აქვს ნებისმიერ სხვა კუთხისთვის, თორემ ტანგენსი ან კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული.

ფორმულის დადასტურება ძალიან მარტივი. განმარტებით და საიდან . მტკიცებულება შეიძლებოდა განხორციელებულიყო ოდნავ განსხვავებული გზით. მას შემდეგ, რაც და , მაშინ .

მაშასადამე, ერთი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლითაც ისინი აზრიანია, არის.

ლექცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

სინუსი, თვითნებური კუთხის კოსინუსი

იმის გასაგებად, თუ რა არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მივმართოთ წრეს ერთეული რადიუსით. ეს წრე ორიენტირებულია საწყისზე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მოცემული ფუნქციების დასადგენად გამოვიყენებთ რადიუსის ვექტორს ან, რომელიც იწყება წრის ცენტრში და წერტილი რარის წერტილი წრეზე. ეს რადიუსის ვექტორი ღერძთან ქმნის ალფა კუთხეს ოჰ. ვინაიდან წრეს აქვს ერთის ტოლი რადიუსი, მაშინ ან = R = 1.

თუ წერტილიდან რჩამოაგდეს პერპენდიკულარი ღერძზე ოჰ, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს ჰიპოტენუზით ერთის ტოლი.

თუ რადიუსის ვექტორი მოძრაობს საათის ისრის მიმართულებით, მაშინ ეს მიმართულება ეწოდება უარყოფითი, მაგრამ თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - დადებითი.

კუთხის სინუსი ან, არის წერტილის ორდინატი რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას სინუსის მნიშვნელობის მისაღებად საჭიროა კოორდინატის დადგენა ზეზედაპირზე.

როგორ იქნა მიღებული ეს ღირებულება? ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ, რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ sin(α) = y 0 .

ერთეულ წრეში ორდინატთა მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც იმას ნიშნავს

სინუსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მეორე მეოთხედში, ხოლო მესამე და მეოთხეში უარყოფითი.

კუთხის კოსინუსირადიუსის ვექტორით წარმოქმნილი მოცემული წრე ან, არის წერტილის აბსცისა რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას კოსინუსის მნიშვნელობის მისაღებად საჭიროა კოორდინატის დადგენა Xზედაპირზე.

მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ cos(α) = x 0 .

ერთეულ წრეში აბსცისის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს რომ

კოსინუსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მეოთხე კვადრატში, ხოლო უარყოფითი მეორე და მესამე.

ტანგენსითვითნებური კუთხეგამოითვლება სინუსისა და კოსინუსის შეფარდება.

თუ გავითვალისწინებთ მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ ეს არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან. თუ ვსაუბრობთ ერთეულ წრეზე, მაშინ ეს არის ორდინატის თანაფარდობა აბსცისასთან.

ამ მიმართებებით თუ ვიმსჯელებთ, შეიძლება გვესმოდეს, რომ ტანგენსი არ შეიძლება არსებობდეს, თუ აბსცისის მნიშვნელობა ნულია, ანუ 90 გრადუსიანი კუთხით. ტანგენტს შეუძლია მიიღოს ყველა სხვა მნიშვნელობა.

ტანგენსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მესამე მეოთხედში, ხოლო უარყოფითია მეორე და მეოთხეში.

ეს სტატია შეგროვდა სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილები. პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილს, ანუ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს. 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πრადიანი). ამის შემდეგ ჩვენ მივცემთ სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილს, ასევე V.M. Bradis-ის ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს და ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ცხრილები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ... გრადუსი კუთხეებისთვის

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:პროკ. 9 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა / იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განმანათლებლობა, 1990.- 272 გვ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.
• Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
• ბრედის V.M.ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები: ზოგადი განათლებისთვის. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - მე-2 გამოცემა. - M.: Bustard, 1999.- 96გვ.: ავად. ISBN 5-7107-2667-2

|BD| - A წერტილზე ორიენტირებული წრის რკალის სიგრძე.
α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე.

ტანგენტი ( tgα) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .
კოტანგენსი ( ctgα) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .

ტანგენტი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენსი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
;
;
.

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tg x

კოტანგენსი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენსი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნა:
;
;
.

კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x

ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y= tg xდა y= ctg xპერიოდულია π პერიოდით.

პარიტეტი

ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უცნაურია.

განსაზღვრებისა და ღირებულებების დომენები, აღმავალი, დაღმავალი

ფუნქციები ტანგენსი და კოტანგენსი უწყვეტია მათი განმარტების დომენზე (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენსის და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში ( ნ- მთელი რიცხვი).

	y= tg x	y= ctg x
ფარგლები და უწყვეტობა
ღირებულებების დიაპაზონი	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
აღმავალი		-
Დაღმავალი	-
უკიდურესობები	-	-
ნულები, y= 0
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 0	-

ფორმულები

გამონათქვამები სინუსების და კოსინუსების მიხედვით

; ;
; ;
;

ჯამისა და სხვაობის ტანგენტისა და კოტანგენსის ფორმულები

დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად

ტანგენტების პროდუქტი

ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა

ეს ცხრილი გვიჩვენებს ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობებს არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით

;
;

წარმოებულები

; .

.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების გამოყვანა > > > ; კოტანგენტისათვის >>>

ინტეგრალები

გაფართოებები სერიებში

იმისათვის, რომ მიიღოთ ტანგენსის გაფართოება x-ის სიმძლავრეებში, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთში, . ეს იწვევს შემდეგ ფორმულებს.

ზე.

ზე.
სადაც B n- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
;
;
სად .
ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით:

ინვერსიული ფუნქციები

ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციები არის არქტანგენსი და რკოტანგენსი, შესაბამისად.

არქტანგენტი, არქტგ

, სად ნ- მთლიანი.

თაღოვანი თაღოვანი, რკალი

, სად ნ- მთლიანი.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო მკვლევართა და ინჟინრებისთვის, 2012 წ.

Იხილეთ ასევე:

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.