რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა ...................................... ......................
		კომპლექსური რიცხვების სიბრტყე ..................................................... ................................................................ ......................
		რთული კონიუგატური რიცხვები ..................................................... ..................................................... ...............
	მოქმედებები რთული რიცხვებით ალგებრულ ფორმაში ..................................... .....................
		კომპლექსური რიცხვების შეკრება ...................................... ................................................................ ...................
		კომპლექსური რიცხვების გამოკლება ..................................................... ................................................... ..........
		კომპლექსური რიცხვების გამრავლება ..................................................... ................................................... .........
		კომპლექსური რიცხვების დაყოფა ..................................................... ..................................................... .....................
	რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა ...................................... ...................................
	მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებთან ტრიგონომეტრიული ფორმით ..................................... .............
		რთული რიცხვების გამრავლება ტრიგონომეტრიულ ფორმაში ...................................... ...................................
		რთული რიცხვების დაყოფა ტრიგონომეტრიულ ფორმაში ...................................... ......................
		კომპლექსური რიცხვის აწევა დადებით მთელ რიცხვამდე
		დადებითი მთელი რიცხვის ძირის ამოღება რთული რიცხვიდან
		კომპლექსური რიცხვის რაციონალურ ხარისხზე აყვანა ...................................... ......................
		კომპლექსური სერია ................................................ ...................................................... ................................................
		კომპლექსური რიცხვების სერია ..................................................... ..................................................... ...............
		სიმძლავრის სერია კომპლექსურ სიბრტყეში .............................................. ......................................................
		ორმხრივი სიმძლავრის სერია კომპლექსურ სიბრტყეში ...................................... ......................
		რთული ცვლადის ფუნქციები .............................................. ................................................................ ...................
		ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები ..................................................... ...................................................... ..........
		ეილერის ფორმულები ..................................................... .................................................. ...............................
		რთული რიცხვის გამოსახვის ექსპონენციალური ფორმა ..................................... ...... .
		კავშირი ტრიგონომეტრიულ და ჰიპერბოლურ ფუნქციებს შორის ......................................
		ლოგარითმული ფუნქცია ..................................................... ...................................................... .....................
		ზოგადი ექსპონენციალური და ზოგადი სიმძლავრის ფუნქციები ...................................... ................................................
	რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია................................ ......................
		კოში-რიმანის პირობები ..................................................... .......................................................... ......... ...............
		წარმოებულის გამოთვლის ფორმულები .............................................. ...................................................
		დიფერენციაციის მოქმედების თვისებები .............................................. ................................................
		ანალიტიკური ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების თვისებები ..................................... ........

	რთული ცვლადის ფუნქციის აღდგენა მისი რეალური ან წარმოსახვითი
		მეთოდი ნომერი 1. მრუდი ხაზოვანი ინტეგრალის გამოყენება .............................................. ......... .........
		მეთოდი ნომერი 2. კოში-რიმანის პირობების პირდაპირი გამოყენება .....................................
		მეთოდი ნომერი 3. სასურველი ფუნქციის წარმოებულის მეშვეობით ...................................... ...................................
	რთული ცვლადის ფუნქციების ინტეგრაცია................................................ .................................
	კოშის ინტეგრალური ფორმულა ..................................................... ..................................................... ..
	ფუნქციების გაფართოება ტეილორისა და ლორანის სერიებში .......................................... ....................................
	რთული ცვლადის ფუნქციის ნულები და სინგულარული წერტილები ................................ ......... ......
		რთული ცვლადის ფუნქციის ნულები .......................................... ................................................
		რთული ცვლადის ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილები .......................................... ......

14.3 წერტილი უსასრულობაში, როგორც რთული ცვლადის ფუნქციის სინგულარული წერტილი

	ამოღებები ..................................................... ..................................................... ................................................
		გამოქვითვა საბოლოო პუნქტში ..................................................... ...................................................... .............
		ფუნქციის ნარჩენი უსასრულობის წერტილში ................................... ................................................
	ინტეგრალების გამოთვლა ნარჩენების გამოყენებით ...................................... ......................................................
	კითხვები თვითშემოწმებისთვის ..................................................... ...................................................... ......................
	ლიტერატურა...................................................... ..................................................... ................................
	საგნის ინდექსი ..................................................... ..................................................... .............

წინასიტყვაობა

საკმაოდ რთულია დროისა და ძალისხმევის სწორად განაწილება გამოცდის ან მოდულის სერტიფიცირების თეორიული და პრაქტიკული ნაწილების მოსამზადებლად, მით უმეტეს, რომ სესიის განმავლობაში ყოველთვის არ არის საკმარისი დრო. და როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ყველას არ შეუძლია გაუმკლავდეს ამას. შედეგად, გამოცდის მსვლელობისას ზოგიერთ სტუდენტს სწორად წყვეტს ამოცანები, მაგრამ უჭირს უმარტივეს თეორიულ კითხვებზე პასუხის გაცემა, ზოგს კი შეუძლია თეორემას ჩამოყალიბება, მაგრამ ვერ იყენებს.

რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიის (TFV) კურსის გამოცდისთვის მომზადების ეს მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები წარმოადგენს ამ წინააღმდეგობის გადაჭრის და კურსის თეორიული და პრაქტიკული მასალის ერთდროული გამეორების მცდელობას. ხელმძღვანელობენ პრინციპით „თეორია პრაქტიკის გარეშე მკვდარია, პრაქტიკა თეორიის გარეშე ბრმაა“, ისინი შეიცავს როგორც კურსის თეორიულ პოზიციებს განმარტებებისა და ფორმულირებების დონეზე, ასევე მაგალითებს, რომლებიც ასახავს თითოეული მოცემული თეორიული პოზიციის გამოყენებას და, შესაბამისად, ხელს უწყობს მის დამახსოვრებასა და გაგებას.

შემოთავაზებული მეთოდოლოგიური რეკომენდაციების მიზანია დაეხმაროს სტუდენტს საბაზო საფეხურზე გამოცდისთვის მომზადებაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შედგენილია გაფართოებული სამუშაო სახელმძღვანელო, რომელიც შეიცავს ძირითად პუნქტებს, რომლებიც გამოიყენება TFKT კურსის კლასებში და აუცილებელია საშინაო დავალების შესრულებისა და საკონტროლო აქტივობებისთვის მომზადებისას. სტუდენტების დამოუკიდებელი მუშაობის გარდა, ეს ელექტრონული საგანმანათლებლო პუბლიკაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას კლასების ინტერაქტიული ფორმით ელექტრონული დაფის გამოყენებით ან დისტანციური სწავლების სისტემაში განთავსებისას.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს ნაშრომი არ ცვლის სახელმძღვანელოებს ან სალექციო ჩანაწერებს. მასალის სიღრმისეული შესწავლისთვის რეკომენდებულია მოსკოვის სახელმწიფო ტექნიკურ უნივერსიტეტში გამოქვეყნებული პუბლიკაციის შესაბამისი სექციები. ნ.ე. ბაუმანის ძირითადი სახელმძღვანელო.

სახელმძღვანელოს ბოლოს მოცემულია რეკომენდირებული ლიტერატურის სია და საგნის ინდექსი, რომელიც მოიცავს ტექსტში მონიშნულს. თამამი დახრილივადები. ინდექსი შედგება ჰიპერბმულებისგან სექციებთან, სადაც ეს ტერმინები მკაცრად არის განსაზღვრული ან აღწერილი და სადაც მოცემულია მაგალითები მათი გამოყენების საილუსტრაციოდ.

სახელმძღვანელო განკუთვნილია სსტუ-ს ყველა ფაკულტეტის მე-2 კურსის სტუდენტებისთვის. ნ.ე. ბაუმანი.

1. რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა

z \u003d x + iy ფორმის ჩაწერა, სადაც x, y არის რეალური რიცხვები, i არის წარმოსახვითი ერთეული (ანუ i 2 = − 1)

ეწოდება z რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა. ამ შემთხვევაში x ეწოდება რთული რიცხვის ნამდვილ ნაწილს და აღინიშნება Re z-ით (x = Re z), y ეწოდება რთული რიცხვის წარმოსახვით ნაწილს და აღინიშნება Im z-ით (y = Im z).

მაგალითი. კომპლექსურ რიცხვს z = 4− 3i აქვს რეალური ნაწილი Rez = 4 , ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი Imz = − 3 .

2. რთული რიცხვების სიბრტყე

AT განიხილება რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიებიკომპლექსური რიცხვების თვითმფრინავი, რომელიც აღინიშნება ან, ან გამოიყენება კომპლექსური რიცხვების აღმნიშვნელი ასოები z, w და ​​ა.შ.

რთული სიბრტყის ჰორიზონტალური ღერძი ე.წ რეალური ღერძი, მასზე განლაგებულია რეალური რიცხვები z \u003d x + 0i \u003d x.

რთული სიბრტყის ვერტიკალურ ღერძს წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება, მას აქვს

3. რთული კონიუგატური რიცხვები

რიცხვები z = x + iy და z = x − iy იწოდება რთული კონიუგატი. კომპლექსურ სიბრტყეზე ისინი შეესაბამება წერტილებს, რომლებიც სიმეტრიულია რეალური ღერძის მიმართ.

4. მოქმედებები რთული რიცხვებით ალგებრული ფორმით

4.1 რთული რიცხვების შეკრება

ორი რთული რიცხვის ჯამი

z 1= x 1+ iy 1

და z 2 = x 2 + iy 2 ეწოდება კომპლექსურ რიცხვს

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

ოპერაცია

დამატებები

კომპლექსური რიცხვები მსგავსია ალგებრული ორომალიების დამატების მოქმედებისა.

მაგალითი. ორი რთული რიცხვის ჯამი z 1 = 3+ 7i და z 2

= −1 +2 ი

რთული რიცხვი იქნება

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i .

ცხადია,

ჯამი კომპლექსში

კონიუგირებული

არის

მოქმედებს

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 რეზ.

4.2 კომპლექსური რიცხვების გამოკლება

ორი რთული რიცხვის სხვაობა z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

დაურეკა

ყოვლისმომცველი

რიცხვი z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

მაგალითი. განსხვავება ორ კომპლექსურ რიცხვს შორის

z 1 =3 −4 i

და z2

= −1 +2 ი

იქნება ყოვლისმომცველი

რიცხვი z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

განსხვავება

რთული კონიუგატი

არის

z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 კომპლექსური რიცხვების გამრავლება

ორი რთული რიცხვის ნამრავლი

z 1= x 1+ iy 1

და z 2= x 2+ iy 2

კომპლექსს უწოდებენ

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

ამრიგად, რთული რიცხვების გამრავლების ოპერაცია მსგავსია ალგებრული ბინომალიების გამრავლების მოქმედებისა, იმის გათვალისწინებით, რომ i 2 = − 1.

რთული რიცხვები არის რეალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება . ნებისმიერი რთული რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმალური ჯამის სახით, სადაც და არის რეალური რიცხვები, არის წარმოსახვითი ერთეული.

რთული რიცხვის წერას , , კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა ეწოდება.

რთული რიცხვების თვისებები. რთული რიცხვის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე, რომლებიც მოცემულია ალგებრული ფორმით:

განვიხილოთ წესები, რომლითაც არითმეტიკული მოქმედებები სრულდება კომპლექსურ რიცხვებზე.

თუ მოცემულია ორი რთული რიცხვი α = a + bi და β = c + di, მაშინ

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (თერთმეტი)

ეს გამომდინარეობს ნამდვილ რიცხვთა ორი მოწესრიგებული წყვილის შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებების განმარტებიდან (იხ. ფორმულები (1) და (3)). ჩვენ მივიღეთ კომპლექსური რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების წესები: ორი რთული რიცხვის დასამატებლად ცალ-ცალკე უნდა დაამატოთ მათი რეალური ნაწილები და, შესაბამისად, წარმოსახვითი ნაწილები; იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ მეორე ერთ კომპლექსურ რიცხვს, აუცილებელია გამოვაკლოთ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები, შესაბამისად.

რიცხვს - α \u003d - a - bi ეწოდება α \u003d a + bi რიცხვის საპირისპირო. ამ ორი რიცხვის ჯამი არის ნული: - α + α = (- ა - ბი) + (ა + ბი) = (-ა + ა) + (-ბ + ბ) i = 0.

რთული რიცხვების გამრავლების წესის მისაღებად ვიყენებთ ფორმულას (6), ანუ იმ ფაქტს, რომ i2 = -1. ამ თანაფარდობის გათვალისწინებით ვხვდებით (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, ე.ი.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

ეს ფორმულა შეესაბამება ფორმულას (2), რომელიც განსაზღვრავს რეალური რიცხვების მოწესრიგებული წყვილების გამრავლებას.

გაითვალისწინეთ, რომ ორი რთული კონიუგატური რიცხვის ჯამი და ნამრავლი არის რეალური რიცხვები. მართლაც, თუ α = a + bi, = a – bi, მაშინ α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, ე.ი.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

ორი რთული რიცხვის ალგებრული ფორმით გაყოფისას უნდა ველოდოთ, რომ კოეფიციენტი ასევე გამოიხატება იმავე ტიპის რიცხვით, ანუ α/β = u + vi, სადაც u, v R. გამოვიტანოთ კომპლექსური გაყოფის წესი. ნომრები. მოცემული იყოს რიცხვები α = a + bi, β = c + di და β ≠ 0, ანუ c2 + d2 ≠ 0. ბოლო უტოლობა ნიშნავს, რომ c და d ერთდროულად არ ქრება (შემთხვევა, როდესაც c = 0, d = 0). ფორმულის (12) და ტოლობის მეორე (13) გამოყენებით, ჩვენ ვხვდებით:

ამრიგად, ორი რთული რიცხვის კოეფიციენტი მოცემულია შემდეგით:

შესაბამისი ფორმულა (4).

β = c + di რიცხვისთვის მიღებული ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ორმხრივი β-1 = 1/β. ფორმულაში (14) დაშვებით a = 1, b = 0, ჩვენ ვიღებთ

ეს ფორმულა განსაზღვრავს მოცემული არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის ორმხრივობას; ეს რიცხვიც რთულია.

მაგალითად: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით.

55. რთული რიცხვის არგუმენტი. რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა (გამომავალი).

Arg.comm.number. – რეალური X ღერძის დადებით მიმართულებას შორის მოცემული რიცხვის გამომსახველ ვექტორს შორის.

ტრინის ფორმულა. ნომრები: ,

გვერდი 2 3-დან

რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა.
რთული რიცხვების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.

ჩვენ უკვე შევხვდით რთული რიცხვის ალგებრულ ფორმას - ეს არის რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა. რატომ ვსაუბრობთ ფორმაზე? ფაქტია, რომ არსებობს რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფორმებიც, რაზეც მომდევნო აბზაცში იქნება საუბარი.

რთული რიცხვებით მოქმედებები არ არის განსაკუთრებით რთული და ცოტათი განსხვავდება ჩვეულებრივი ალგებრისგან.

რთული რიცხვების შეკრება

მაგალითი 1

დაამატეთ ორი რთული რიცხვი,

ორი რთული რიცხვის დასამატებლად, დაამატეთ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:

მარტივია, არა? მოქმედება იმდენად აშკარაა, რომ დამატებითი კომენტარები არ სჭირდება.

ასე მარტივი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინების ჯამი: შეაჯამეთ ნამდვილი ნაწილები და შეაჯამეთ წარმოსახვითი ნაწილები.

რთული რიცხვებისთვის, პირველი კლასის წესი მართალია: - ვადების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება.

რთული რიცხვების გამოკლება

მაგალითი 2

იპოვეთ კომპლექსური რიცხვების განსხვავებები და თუ ,

მოქმედება მსგავსია დამატებით, ერთადერთი მახასიათებელია ის, რომ სუბტრაჰენდი უნდა იყოს აღებული ფრჩხილებში და შემდეგ, სტანდარტულად, გახსენით ეს ფრჩხილები ნიშნის ცვლილებით:

შედეგი არ უნდა აგვერიოს, შედეგად რიცხვს აქვს ორი და არა სამი ნაწილი. მხოლოდ რეალური ნაწილი არის კომპონენტი: . სიცხადისთვის პასუხი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: .

გამოვთვალოთ მეორე განსხვავება:

აქ რეალური ნაწილიც კომპონენტია:

ყოველგვარი გაუგებრობის თავიდან ასაცილებლად მოკლე მაგალითს მოვიყვან „ცუდი“ წარმოსახვითი ნაწილით: . აქ ფრჩხილების გარეშე არ შეგიძლია.

რთული რიცხვების გამრავლება

დადგა მომენტი, რომ გაგაცნოთ ცნობილი თანასწორობა:

მაგალითი 3

იპოვნეთ რთული რიცხვების ნამრავლი,

ცხადია, ნაწარმოები ასე უნდა დაიწეროს:

რას ითხოვენ? ის თავად გვთავაზობს ფრჩხილების გახსნას მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით. ასე უნდა მოიქცეს! ყველა ალგებრული ოპერაცია თქვენთვის ნაცნობია, მთავარია გახსოვდეთ ეს და ფრთხილად იყავი.

გავიმეოროთ, ომგ, მრავალწევრების გამრავლების სკოლის წესი: მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

დაწვრილებით დავწერ:

იმედია ეს ყველასთვის გასაგები იყო

ყურადღება და ისევ ყურადღება, ყველაზე ხშირად შეცდომა იშლება ნიშნებში.

ჯამის მსგავსად, კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი შეუცვლელია, ანუ ტოლობა ჭეშმარიტია: .

საგანმანათლებლო ლიტერატურაში და ინტერნეტში ადვილია იპოვოთ რთული რიცხვების ნამრავლის გამოსათვლელი სპეციალური ფორმულა. თუ გინდა გამოიყენე, მაგრამ მეჩვენება, რომ მრავალწევრების გამრავლების მიდგომა უფრო უნივერსალური და ნათელია. ფორმულას არ მოგცემ, მგონია, რომ ამ შემთხვევაში ნახერხით თავის ჩაჭედვაა.

რთული რიცხვების დაყოფა

მაგალითი 4

მოცემული რთული რიცხვები, . იპოვეთ პირადი.

მოდით გავაკეთოთ კოეფიციენტი:

რიცხვების დაყოფა ხორციელდება მნიშვნელისა და მრიცხველის გამრავლებით მნიშვნელის კონიუგატულ გამოხატულებაზე.

ვიხსენებთ წვერიან ფორმულას და ვუყურებთ ჩვენს მნიშვნელს: . მნიშვნელს უკვე აქვს , ამიტომ კონიუგატური გამოხატულება ამ შემთხვევაში არის , ანუ

წესის მიხედვით, მნიშვნელი უნდა გავამრავლოთ და ისე, რომ არაფერი შეიცვალოს, გავამრავლოთ მრიცხველი იმავე რიცხვზე:

დაწვრილებით დავწერ:

მე ავიღე "კარგი" მაგალითი, თუ აიღებთ ორ რიცხვს "ბულდოზერიდან", მაშინ გაყოფის შედეგად თითქმის ყოველთვის მიიღებთ წილადებს, რაღაც მსგავსს.

ზოგიერთ შემთხვევაში, გაყოფამდე მიზანშეწონილია წილადის გამარტივება, მაგალითად, განვიხილოთ რიცხვების კოეფიციენტი:. გაყოფამდე მოვიშორებთ არასაჭირო მინუსებს: მრიცხველში და მნიშვნელში ვიღებთ მინუსებს ფრჩხილებიდან და ვამცირებთ ამ მინუსებს: . ვისაც ამოხსნა უყვარს, სწორ პასუხს გავცემ:

იშვიათად, მაგრამ არის ასეთი დავალება:

მაგალითი 5

თქვენ გეძლევათ რთული რიცხვი. ჩაწერეთ მოცემული რიცხვი ალგებრული ფორმით (ანუ სახით).

მიღება იგივეა - მნიშვნელს და მრიცხველს ვამრავლებთ მნიშვნელთან კონიუგატირებულ გამოსახულებაში. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ფორმულას. მნიშვნელს უკვე აქვს , ამიტომ მნიშვნელი და მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ კონიუგატულ გამოსახულებაზე, ანუ:

პრაქტიკაში, მათ შეუძლიათ მარტივად შემოგთავაზონ ლამაზი მაგალითი, სადაც თქვენ უნდა შეასრულოთ მრავალი ოპერაცია რთული რიცხვებით. არანაირი პანიკა: ფრთხილად იყავი, დაიცავით ალგებრის წესები, მოქმედებების ჩვეულებრივი ალგებრული თანმიმდევრობა და დაიმახსოვრეთ რომ .

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფორმა

ამ განყოფილებაში ჩვენ უფრო მეტ ყურადღებას გავამახვილებთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიულ ფორმაზე. პრაქტიკულ ამოცანებში ექსპონენციალური ფორმა გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. გირჩევთ გადმოწეროთ და თუ შესაძლებელია დაბეჭდოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები, მეთოდოლოგიური მასალა შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. მაგიდების გარეშე შორს ვერ წახვალ.

ნებისმიერი რთული რიცხვი (ნულის გარდა) შეიძლება დაიწეროს ტრიგონომეტრიული ფორმით:
, სად არის კომპლექსური რიცხვების მოდული, ა - რთული რიცხვის არგუმენტი. არ გაიქცე, ეს უფრო ადვილია ვიდრე შენ გგონია.

დახაზეთ რიცხვი კომპლექსურ სიბრტყეზე. განმარტებების განსაზღვრულობისა და სიმარტივისთვის მას პირველ კოორდინატულ კვარტალში მოვათავსებთ, ე.ი. ჩვენ ვფიქრობთ, რომ:

რთული რიცხვის მოდულიარის მანძილი კოორდინატების საწყისიდან რთული სიბრტყის შესაბამის წერტილამდე. მარტივად რომ ვთქვათ, მოდული არის სიგრძერადიუსის ვექტორი, რომელიც ნახაზზე წითლად არის მონიშნული.

რთული რიცხვის მოდული ჩვეულებრივ აღინიშნება: ან

პითაგორას თეორემის გამოყენებით მარტივია რთული რიცხვის მოდულის პოვნის ფორმულა: . ეს ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერისთვისმნიშვნელობა "ა" და "იყოს".

შენიშვნა: რთული რიცხვის მოდული არის ცნების განზოგადება რეალური რიცხვის მოდული, როგორც მანძილი წერტილიდან საწყისამდე.

რთული რიცხვის არგუმენტიდაურეკა კუთხეშორის დადებითი ღერძირეალური ღერძი და რადიუსის ვექტორი ამოღებული საწყისიდან შესაბამის წერტილამდე. არგუმენტი არ არის განსაზღვრული მხოლობითი რიცხვისთვის: .

განხილული პრინციპი ფაქტობრივად მსგავსია პოლარული კოორდინატები, სადაც პოლარული რადიუსი და პოლარული კუთხე ცალსახად განსაზღვრავს წერტილს.

რთული რიცხვის არგუმენტი ჩვეულებრივ აღინიშნება: ან

გეომეტრიული მოსაზრებებიდან მიღებულია შემდეგი ფორმულა არგუმენტის მოსაძებნად:
. ყურადღება!ეს ფორმულა მუშაობს მხოლოდ მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში! თუ კომპლექსური რიცხვი არ მდებარეობს პირველ ან მე-4 კოორდინატთა კვადრატში, მაშინ ფორმულა ოდნავ განსხვავებული იქნება. ჩვენ ასევე განვიხილავთ ამ შემთხვევებს.

მაგრამ ჯერ განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითები, როდესაც რთული რიცხვები განლაგებულია კოორდინატთა ღერძებზე.

მაგალითი 7

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

ფაქტობრივად, დავალება ზეპირია. სიცხადისთვის, მე გადავწერ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიულ ფორმას:

მოდით მჭიდროდ გვახსოვდეს, მოდული - სიგრძე(რომელიც ყოველთვის არაუარყოფითია), არგუმენტი არის კუთხე.

1) გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. იპოვეთ მისი მოდული და არგუმენტი. აშკარაა რომ. ფორმალური გაანგარიშება ფორმულის მიხედვით: .
აშკარაა, რომ (რიცხვი პირდაპირ დევს რეალურ დადებით ნახევარღერძზე). ასე რომ, რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით არის: .

დღისავით სუფთა, შებრუნებული შემოწმების მოქმედება:

2) გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული სახით. იპოვეთ მისი მოდული და არგუმენტი. აშკარაა რომ. ფორმალური გაანგარიშება ფორმულის მიხედვით: .
ცხადია (ან 90 გრადუსი). ნახატზე კუთხე წითლად არის მონიშნული. ასე რომ, რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით არის: .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით, ადვილია რიცხვის ალგებრული ფორმის დაბრუნება (ამავე დროს შემოწმებით):

3) გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული სახით. იპოვეთ მისი მოდული და არგუმენტი. აშკარაა რომ. ფორმალური გაანგარიშება ფორმულის მიხედვით: .
ცხადია (ან 180 გრადუსი). ნახატზე კუთხე მითითებულია ლურჯად. ასე რომ, რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით არის: .

გამოცდა:

4) და მეოთხე საინტერესო შემთხვევა. გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. იპოვეთ მისი მოდული და არგუმენტი. აშკარაა რომ. ფორმალური გაანგარიშება ფორმულის მიხედვით: .

არგუმენტი შეიძლება დაიწეროს ორი გზით: პირველი გზა: (270 გრადუსი) და შესაბამისად: . გამოცდა:

თუმცა, შემდეგი წესი უფრო სტანდარტულია: თუ კუთხე 180 გრადუსზე მეტია, შემდეგ იწერება მინუს ნიშნით და კუთხის საპირისპირო ორიენტირებით („გადახვევა“): (მინუს 90 გრადუსი), ნახატზე კუთხე მონიშნულია მწვანედ. ამის დანახვა ადვილია და ერთი და იგივე კუთხეა.

ამრიგად, ჩანაწერი ხდება:

ყურადღება!არავითარ შემთხვევაში არ უნდა გამოიყენოთ კოსინუსის თანაბარობა, სინუსის უცნაურობა და განახორციელოთ ჩანაწერის შემდგომი „გამარტივება“:

სხვათა შორის, სასარგებლოა გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გარეგნობა და თვისებები, საცნობარო მასალები მოცემულია გვერდის ბოლო აბზაცებში. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. და რთული რიცხვების სწავლა ბევრად უფრო ადვილია!

უმარტივესი მაგალითების დიზაინში ასე უნდა დაიწეროს: „აშკარაა, რომ მოდული არის ... აშკარაა, რომ არგუმენტია ...“. ეს მართლაც აშკარაა და ადვილად წყდება სიტყვიერად.

გადავიდეთ უფრო გავრცელებულ შემთხვევებზე. როგორც უკვე აღვნიშნე, მოდულის პრობლემა არ არის, ყოველთვის უნდა გამოიყენოთ ფორმულა. მაგრამ არგუმენტის პოვნის ფორმულები განსხვავებული იქნება, ეს დამოკიდებულია იმაზე, რომელ კოორდინატულ მეოთხედში დევს რიცხვი. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია სამი ვარიანტი (სასარგებლოა მათი გადაწერა ნოუთბუქში):

1) თუ (1 და მე-4 კოორდინატთა მეოთხედი, ან მარჯვენა ნახევარსიბრტყე), მაშინ არგუმენტი უნდა მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით.

2) თუ (მე-2 კოორდინატთა კვარტალი), მაშინ არგუმენტი უნდა მოიძებნოს ფორმულით .

3) თუ (მე-3 კოორდინატთა კვარტალი), მაშინ არგუმენტი უნდა მოიძებნოს ფორმულით .

მაგალითი 8

გამოთქვით რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით: , , , .

როგორც კი იქნება მზა ფორმულები, მაშინ ნახატი საჭირო არ არის. მაგრამ არის ერთი მომენტი: როცა გთხოვენ წარმოადგინო რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით, მაშინ ხატვა მაინც ჯობია. ფაქტია, რომ მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ გამოსავალს ნახატის გარეშე, ნახატის არარსებობა მინუსისა და წარუმატებლობის სერიოზული მიზეზია.

ეჰ, ასი წელია, ხელით არაფერი დამიხატა, მოითმინე:

როგორც ყოველთვის, ბინძური აღმოჩნდა =)

ციფრებს წარმოგიდგენთ და კომპლექსური სახით პირველი და მესამე ნომრები იქნება დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. იპოვეთ მისი მოდული და არგუმენტი.