ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ ორი ან ნებისმიერი სხვა რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი და უმცირესი საერთო ჯერადი.

კალკულატორი GCD და NOC-ის საპოვნელად

იპოვეთ GCD და NOC

GCD და NOC ნაპოვნია: 5806

როგორ გამოვიყენოთ კალკულატორი

• შეიყვანეთ ნომრები შეყვანის ველში
• არასწორი სიმბოლოების შეყვანის შემთხვევაში, შეყვანის ველი მონიშნული იქნება წითლად
• დააჭირეთ ღილაკს "იპოვეთ GCD და NOC"

როგორ შეიყვანოთ ნომრები

• რიცხვები შეიყვანება ერთმანეთისგან გამოყოფილი ინტერვალით, წერტილებით ან მძიმეებით
• შეყვანილი ნომრების სიგრძე შეზღუდული არ არისასე რომ, გრძელი რიცხვების gcd და lcm-ის პოვნა რთული არ იქნება

რა არის NOD და NOK?

უდიდესი საერთო გამყოფირამდენიმე რიცხვი არის უდიდესი ბუნებრივი მთელი რიცხვი, რომლითაც ყველა საწყისი რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე. ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შემოკლებულია როგორც GCD.
უმცირესი საერთო ჯერადირამდენიმე რიცხვი არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ თავდაპირველ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. უმცირესი საერთო ჯერადი შემოკლებულია როგორც NOC.

როგორ შევამოწმოთ, იყო თუ არა რიცხვი სხვა რიცხვზე ნაშთის გარეშე?

იმის გასარკვევად, იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი თვისება. შემდეგ მათი შერწყმით შეიძლება შემოწმდეს ზოგიერთი მათგანის გაყოფა და მათი კომბინაციები.

რიცხვების გაყოფის ზოგიერთი ნიშანი

1. რიცხვის 2-ზე გაყოფის ნიშანი
იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი ორზე (ლუწია თუ არა), საკმარისია გადავხედოთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრს: თუ ის უდრის 0-ს, 2-ს, 4-ს, 6-ს ან 8-ს, მაშინ რიცხვი ლუწია. რაც ნიშნავს, რომ ის იყოფა 2-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 2-ზე.
გამოსავალი:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ორზე.

2. რიცხვის 3-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 3-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. ამრიგად, იმის დასადგენად, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ციფრების ჯამი და შეამოწმოთ იყო თუ არა ის 3-ზე. მაშინაც კი, თუ ციფრების ჯამი ძალიან დიდი აღმოჩნდა, შეგიძლიათ იგივე პროცესი გაიმეოროთ. ისევ.
მაგალითი:დაადგინეთ არის თუ არა რიცხვი 34938 3-ზე.
გამოსავალი:ჩვენ ვითვლით ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 3-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა სამზე.

3. რიცხვის 5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 5-ზე, როდესაც მისი ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი.
მაგალითი:დაადგინეთ იყო თუ არა რიცხვი 34938 5-ზე.
გამოსავალი:შეხედეთ ბოლო ციფრს: 8 ნიშნავს, რომ რიცხვი არ იყოფა ხუთზე.

4. რიცხვის 9-ზე გაყოფის ნიშანი
ეს ნიშანი ძალიან ჰგავს სამზე გაყოფის ნიშანს: რიცხვი იყოფა 9-ზე, როცა მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.
მაგალითი:დაადგინეთ, იყო თუ არა რიცხვი 34938 9-ზე.
გამოსავალი:ვიანგარიშებთ ციფრების ჯამს: 3+4+9+3+8 = 27. 27 იყოფა 9-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი იყოფა ცხრაზე.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD და LCM

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის GCD

ორი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა ამ რიცხვების ყველა შესაძლო გამყოფის პოვნა და მათგან ყველაზე დიდის არჩევა.

განვიხილოთ ეს მეთოდი GCD(28, 36) პოვნის მაგალითის გამოყენებით:

1. ვანაწილებთ ორივე რიცხვს: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. ჩვენ ვპოულობთ საერთო ფაქტორებს, ანუ მათ, რაც ორივე რიცხვს აქვს: 1, 2 და 2.
3. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფაქტორების ნამრავლს: 1 2 2 \u003d 4 - ეს არის 28 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

როგორ მოვძებნოთ ორი რიცხვის LCM

არსებობს ორი ყველაზე გავრცელებული გზა ორი რიცხვის უმცირესი ჯერადის მოსაძებნად. პირველი გზა არის ის, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ორი რიცხვის პირველი ჯერადები და შემდეგ აირჩიოთ მათ შორის ისეთი რიცხვი, რომელიც იქნება საერთო ორივე რიცხვისთვის და ამავე დროს ყველაზე პატარა. და მეორე არის ამ რიცხვების GCD-ის პოვნა. მოდით უბრალოდ განვიხილოთ.

LCM-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორიგინალური რიცხვების ნამრავლი და შემდეგ გაყოთ იგი ადრე ნაპოვნი GCD-ზე. ვიპოვოთ LCM იგივე 28 და 36 რიცხვებისთვის:

1. იპოვეთ 28 და 36 რიცხვების ნამრავლი: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) უკვე ცნობილია, რომ არის 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

იპოვეთ GCD და LCM მრავალი რიცხვისთვის

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი შეიძლება მოიძებნოს რამდენიმე რიცხვისთვის და არა მხოლოდ ორისთვის. ამისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის საძიებელი რიცხვები იყოფა მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ მოიძებნება ამ რიცხვების საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. ასევე, რამდენიმე რიცხვის GCD-ის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიმართება: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

ანალოგიური მიმართება ასევე ვრცელდება რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადზე: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

მაგალითი:იპოვეთ GCD და LCM 12, 32 და 36 ნომრებისთვის.

1. ჯერ გავამრავლოთ რიცხვები: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. ვიპოვოთ საერთო ფაქტორები: 1, 2 და 2.
3. მათი პროდუქტი მისცემს gcd: 1 2 2 = 4
4. ახლა ვიპოვოთ LCM: ამისათვის ჩვენ ჯერ ვიპოვით LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. სამივე რიცხვის LCM-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288.

ერთ-ერთი ამოცანა, რომელიც პრობლემას უქმნის თანამედროვე სკოლის მოსწავლეებს, რომლებიც მიჩვეულნი არიან გაჯეტებში ჩაშენებული კალკულატორების ადგილზე და უადგილო გამოყენებას, არის ორი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფის (GCD) პოვნა.

შეუძლებელია რაიმე მათემატიკური ამოცანის ამოხსნა, თუ არ არის ცნობილი, რეალურად რა იკითხება. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ რას ნიშნავს ესა თუ ის გამოთქმა.გამოიყენება მათემატიკაში.

Უნდა იცოდე:

1. თუ გარკვეული რაოდენობის გამოყენება შესაძლებელია სხვადასხვა საგნების დასათვლელად, მაგალითად, ცხრა სვეტი, თექვსმეტი სახლი, მაშინ ეს ბუნებრივია. მათგან ყველაზე პატარა იქნება ერთი.
2. როდესაც ნატურალური რიცხვი იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვზე, უფრო მცირე რიცხვი უფრო დიდის გამყოფია.
3. თუ ორი ან მეტი განსხვავებული რიცხვი იყოფა გარკვეულ რიცხვზე ნაშთის გარეშე, მაშინ ამბობენ, რომ ეს უკანასკნელი იქნება მათი საერთო გამყოფი (OD).
4. OD-ებიდან ყველაზე დიდს უწოდებენ უდიდეს საერთო გამყოფს (GCD).
5. ასეთ შემთხვევაში, როდესაც რიცხვს აქვს მხოლოდ ორი ბუნებრივი გამყოფი (თვითონ და ერთი), მას უბრალო ეწოდება. მათ შორის ყველაზე პატარა არის დიუსი, გარდა ამისა, ის ერთადერთი ლუწი რიცხვია მათ სერიაში.
6. თუ ორ რიცხვს აქვს ერთის მაქსიმალური საერთო გამყოფი, მაშინ ისინი იქნება თანაპრომიტი.
7. ორზე მეტი გამყოფის მქონე რიცხვს კომპოზიციური რიცხვი ეწოდება.
8. პროცესს, როდესაც აღმოჩენილია ყველა ძირითადი ფაქტორი, რომლებიც გამრავლებისას ერთმანეთში მიიღებენ საწყის მნიშვნელობას პროდუქტში მათემატიკაში, ეწოდება დაშლა პირველ ფაქტორებად. უფრო მეტიც, გაფართოების იგივე ფაქტორები შეიძლება მოხდეს არაერთხელ.

მათემატიკაში მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:

1. გამყოფები D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. GCD (8;18) = 2.

GCD-ის პოვნის სხვადასხვა გზა

ყველაზე მარტივი პასუხის გასაცემად როგორ მოვძებნოთ NODროდესაც პატარა რიცხვი არის უფრო დიდის გამყოფი. ეს იქნება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი ამ შემთხვევაში.

მაგალითად, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

მაგრამ მათემატიკაში ასეთი შემთხვევები ძალზე იშვიათია, ამიტომ, GCD-ის მოსაძებნად, უფრო რთული ტექნიკა გამოიყენება, თუმცა სამუშაოს დაწყებამდე მაინც რეკომენდებულია ამ ვარიანტის შემოწმება.

პირველ ფაქტორებად დაშლის მეთოდი

თუ თქვენ გჭირდებათ ორი ან მეტი განსხვავებული ნომრის GCD-ის პოვნა, საკმარისია თითოეული მათგანის დაშლა მარტივ ფაქტორებად და შემდეგ განხორციელდეს მათი გამრავლების პროცესი, რომლებიც თითოეულ რიცხვშია.

მაგალითი 1

განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ GCD 36 და 90:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

ახლა ვნახოთ, როგორ მოვძებნოთ იგივე სამი ნომრის შემთხვევაშიაიღეთ მაგალითად 54; 162; 42.

ჩვენ უკვე ვიცით 36-ის დაშლა, დანარჩენს მივხედოთ:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

ამრიგად, GCD (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

უნდა აღინიშნოს, რომ დაშლისას ერთეულის ჩაწერა აბსოლუტურად არჩევითია.

განიხილეთ გზა რამდენად ადვილია ფაქტორიზაცია, ამისთვის მარცხნივ დავწერთ საჭირო რიცხვს, მარჯვნივ კი მარტივ გამყოფებს.

სვეტები შეიძლება გამოიყოს ან გაყოფის ნიშნით ან მარტივი ვერტიკალური ზოლით.

1. 36/2 ჩვენ გავაგრძელებთ გაყოფის პროცესს;
2. 18/2 შემდგომი;
3. 9/3 და ისევ;
4. 3/3 ახლა საკმაოდ ელემენტარულია;
5. 1 - შედეგი მზად არის.

სასურველი 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.

ევკლიდური გზა

ეს ვარიანტი კაცობრიობისთვის ცნობილია ძველი ბერძნული ცივილიზაციის დროიდან, ის გაცილებით მარტივია და მიეწერება დიდ მათემატიკოს ევკლიდეს, თუმცა ადრეც ძალიან მსგავსი ალგორითმები გამოიყენებოდა. ეს მეთოდი გამოიყენება შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით, ნაშთით უფრო დიდ რიცხვს ვყოფთ პატარაზე. შემდეგ ჩვენს გამყოფს ვყოფთ ნაშთზე და ვაგრძელებთ ასე მოქმედებას წრეში, სანამ გაყოფა არ დასრულდება. ბოლო მნიშვნელობა იქნება სასურველი უდიდესი საერთო გამყოფი.

მოვიყვანოთ ამ ალგორითმის გამოყენების მაგალითი:

შევეცადოთ გავარკვიოთ რომელი GCD 816 და 252:

1. 816 / 252 = 3 და დარჩენილი არის 60. ახლა ჩვენ ვყოფთ 252-ს 60-ზე;
2. 252 / 60 = 4 დარჩენილი ამჯერად იქნება 12. გავაგრძელოთ ჩვენი წრიული პროცესი, გავყოთ სამოცი თორმეტზე;
3. 60 / 12 = 5. ვინაიდან ამჯერად ჩვენ არ მივიღეთ ნაშთი, შედეგი მზად გვაქვს, თორმეტი იქნება მნიშვნელობა, რომელსაც ვეძებთ.

ასე რომ, ჩვენი პროცესის დასასრულს მივიღეთ NOD (816;252) = 12.

ქმედებები, თუ საჭიროა GCD-ის განსაზღვრა, თუ მითითებულია ორზე მეტი მნიშვნელობა

ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რა უნდა გავაკეთოთ იმ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს ორი განსხვავებული ნომერი, ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვიქცეთ, თუ არსებობს. 3 ან მეტი.

მიუხედავად ერთი შეხედვით სირთულისა, ეს ამოცანა არანაირ პრობლემას არ შეგვიქმნის. ახლა ჩვენ ვირჩევთ ნებისმიერ ორ რიცხვს და ვადგენთ მნიშვნელობას, რომელსაც ვეძებთ მათთვის. შემდეგი ნაბიჯი არის GCD-ის პოვნა მიღებული შედეგისა და მოცემული მნიშვნელობების მესამედისთვის. შემდეგ ისევ ვმოქმედებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილი პრინციპით მეოთხე მეხუთისთვის და ასე შემდეგ.

დასკვნა

ასე რომ, ჩვენს წინაშე დასახული ამოცანის ერთი შეხედვით დიდი სირთულით, სინამდვილეში ყველაფერი მარტივია, მთავარია, შეცდომის გარეშე შეგვეძლოს გაყოფის პროცესიდა მიჰყევით ზემოთ აღწერილი ორი ალგორითმიდან რომელიმეს.

მიუხედავად იმისა, რომ ორივე მეთოდი საკმაოდ მისაღებია, ყოვლისმომცველ სკოლაში პირველი მეთოდი ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება.. ეს გამოწვეულია იმით, რომ პირველ ფაქტორებად დაშლა საჭირო იქნება შემდეგი საგანმანათლებლო თემის შესწავლისას - უდიდესი საერთო ჯერადი (LCM) განსაზღვრა. მაგრამ მაინც, კიდევ ერთხელ უნდა აღინიშნოს, რომ ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენება არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება ჩაითვალოს შეცდომად.

ვიდეო

ვიდეოს დახმარებით შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი.

არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.

მოვაგვაროთ პრობლემა. ჩვენ გვაქვს ორი სახის ქუქი-ფაილები. ზოგი შოკოლადიანია, ზოგიც უბრალო. არის 48 შოკოლადის ნაჭერი, ხოლო მარტივი 36. ამ ნამცხვრებიდან აუცილებელია საჩუქრების მაქსიმალური რაოდენობა და ყველა მათგანი უნდა იქნას გამოყენებული.

ჯერ ჩამოვწეროთ ამ ორი რიცხვიდან თითოეულის ყველა გამყოფი, რადგან ორივე ეს რიცხვი უნდა იყოფა საჩუქრების რაოდენობაზე.

ვიღებთ

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

გამყოფებს შორის ვიპოვოთ საერთო, რაც აქვს როგორც პირველს, ასევე მეორე რიცხვს.

საერთო გამყოფები იქნება: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 12. ამ რიცხვს 36-ისა და 48-ის უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

შედეგიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 12 საჩუქრის დამზადება შესაძლებელია ყველა ქუქიიდან. ერთი ასეთი საჩუქარი შეიცავს 4 შოკოლადის ნამცხვარს და 3 ჩვეულებრივ ფუნთუშას.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნა

• უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომლითაც ორი რიცხვი a და b იყოფა ნაშთების გარეშე, ამ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება.

ზოგჯერ აბრევიატურა GCD გამოიყენება ჩანაწერის შემოკლებისთვის.

რიცხვების ზოგიერთ წყვილს აქვს ერთი ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი. ასეთ ნომრებს ეძახიან თანაპრიმა რიცხვები.მაგალითად, რიცხვები 24 და 35. აქვს GCD =1.

როგორ მოვძებნოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი

იმისთვის, რომ ვიპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი, არ არის საჭირო ამ რიცხვების ყველა გამყოფის ამოწერა.

სხვაგვარად შეგიძლია. პირველ რიგში, დააკავშირეთ ორივე რიცხვი პირველ ფაქტორებად.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

ახლა, იმ ფაქტორებიდან, რომლებიც შედის პირველი რიცხვის გაფართოებაში, ჩვენ ვშლით ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც არ შედის მეორე ნომრის გაფართოებაში. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ორი დუქცია.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

რჩება ფაქტორები 2, 2 და 3. მათი ნამრავლია 12. ეს რიცხვი იქნება 48 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

ეს წესი შეიძლება გავრცელდეს სამი, ოთხი და ა.შ. ნომრები.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფის პოვნის ზოგადი სქემა

• 1. რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად.
• 2. ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის გაფართოებაში შემავალი ფაქტორებიდან გადახაზეთ ისინი, რომლებიც არ შედის სხვა რიცხვების გაფართოებაში.
• 3. გამოთვალეთ დარჩენილი ფაქტორების ნამრავლი.

მაგრამ ბევრი ნატურალური რიცხვი თანაბრად იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვებზე.

Მაგალითად:

რიცხვი 12 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე;

რიცხვი 36 იყოფა 1-ზე, 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 6-ზე, 12-ზე, 18-ზე, 36-ზე.

რიცხვებს, რომლებზეც რიცხვი იყოფა (12-ისთვის ეს არის 1, 2, 3, 4, 6 და 12) ეწოდება რიცხვების გამყოფები. ნატურალური რიცხვის გამყოფი აარის ნატურალური რიცხვი, რომელიც ყოფს მოცემულ რიცხვს აუკვალოდ. ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აქვს ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური. გაითვალისწინეთ, რომ 12 და 36 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები. ეს არის რიცხვები: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ამ რიცხვების უდიდესი გამყოფი არის 12.

ორი მოცემული რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბარის რიცხვი, რომლითაც ორივე მოცემული რიცხვი იყოფა ნაშთების გარეშე ადა ბ. მრავალრიცხოვანი რიცხვების საერთო გამყოფი (GCD)არის რიცხვი, რომელიც ემსახურება თითოეული მათგანის გამყოფს.

მოკლედ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბიწერება ასე:

მაგალითი: gcd (12; 36) = 12.

ამოხსნის ჩანაწერში რიცხვების გამყოფები აღინიშნება დიდი ასო "D"-ით.

მაგალითი:

gcd (7; 9) = 1

7 და 9 რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. ასეთ რიცხვებს უწოდებენ კოპრაიმიჩი სლემი.

კოპრიმი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი - რიცხვი 1. მათი gcd არის 1.

უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD), თვისებები.

• მთავარი თვისება: უდიდესი საერთო გამყოფი მდა ნიყოფა ამ რიცხვების ნებისმიერ საერთო გამყოფზე. მაგალითი: 12 და 18 რიცხვებისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 6; ის იყოფა ამ რიცხვების ყველა საერთო გამყოფზე: 1, 2, 3, 6.
• დასკვნა 1: საერთო გამყოფთა ნაკრები მდა ნემთხვევა გამყოფების სიმრავლეს gcd( მ, ნ).
• დასკვნა 2: საერთო ჯერადების ნაკრები მდა ნემთხვევა მრავალი LCM-ის სიმრავლეს ( მ, ნ).

ეს ნიშნავს, კერძოდ, რომ წილადის შეუქცევად ფორმამდე დასაყვანად აუცილებელია მისი მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ მათ gcd-ზე.

• რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი მდა ნშეიძლება განისაზღვროს, როგორც მათი ყველა წრფივი კომბინაციის სიმრავლის უმცირესი დადებითი ელემენტი:

და შესაბამისად წარმოადგენენ რიცხვთა წრფივ კომბინაციას მდა ნ:

ეს თანაფარდობა ე.წ ბეზუტის თანაფარდობადა კოეფიციენტები uდა ვ — ბეზუტის კოეფიციენტები. ბეზუტის კოეფიციენტები ეფექტურად გამოითვლება გაფართოებული ევკლიდის ალგორითმით. ეს განცხადება განზოგადებულია ნატურალური რიცხვების სიმრავლეებზე - მისი მნიშვნელობა ისაა, რომ სიმრავლის მიერ გენერირებული ჯგუფის ქვეჯგუფი არის ციკლური და წარმოიქმნება ერთი ელემენტით: gcd ( ა 1 , ა 2 , … , a n).

უდიდესი საერთო გამყოფის (gcd) გამოთვლა.

ორი რიცხვის gcd-ის გამოთვლის ეფექტური გზებია ევკლიდეს ალგორითმიდა ორობითიალგორითმი. გარდა ამისა, GCD მნიშვნელობა ( მ,ნ) ადვილად გამოითვლება, თუ ცნობილია რიცხვების კანონიკური გაფართოება მდა ნძირითადი ფაქტორებისთვის:

სადაც არის განსხვავებული მარტივი და და არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ისინი შეიძლება იყოს ნული, თუ შესაბამისი მარტივი არ არის გაფართოებაში). შემდეგ gcd ( მ,ნ) და LCM ( მ,ნ) გამოიხატება ფორმულებით:

თუ ორზე მეტი რიცხვია: , მათი GCD გვხვდება შემდეგი ალგორითმის მიხედვით:

- ეს არის სასურველი GCD.

ასევე, რათა იპოვოთ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი, შეგიძლიათ დაშალოთ თითოეული მოცემული რიცხვი მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ ცალკე ჩამოწერეთ მხოლოდ ის ფაქტორები, რომლებიც შედის ყველა მოცემულ რიცხვში. შემდეგ ვამრავლებთ ერთმანეთში ჩაწერილ რიცხვებს - გამრავლების შედეგი არის უდიდესი საერთო გამყოფი .

მოდით გავაანალიზოთ უდიდესი საერთო გამყოფის გამოთვლა ეტაპობრივად:

1. დაშალე რიცხვების გამყოფები მარტივ ფაქტორებად:

გამოთვლები მოხერხებულად იწერება ვერტიკალური ზოლის გამოყენებით. ხაზის მარცხნივ ჯერ ჩაწერეთ დივიდენდი, მარჯვნივ - გამყოფი. შემდგომ მარცხენა სვეტში ჩვენ ვწერთ კერძოს მნიშვნელობებს. მოდი მაშინვე ავხსნათ მაგალითით. მოდით გავამრავლოთ 28 და 64 რიცხვები მარტივ ფაქტორებად.

2. ორივე რიცხვში ხაზს ვუსვამთ ერთსა და იმავე მარტივ ფაქტორებს:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. ვპოულობთ იდენტური მარტივი ფაქტორების ნამრავლს და ვწერთ პასუხს:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

პასუხი: GCD (28; 64) = 4

თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ GCD-ის მდებარეობა ორი გზით: სვეტში (როგორც ეს გაკეთდა ზემოთ) ან "ხაზში".

GCD ჩაწერის პირველი გზა:

იპოვეთ GCD 48 და 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

GCD ჩაწერის მეორე გზა:

ახლა მოდით დავწეროთ GCD საძიებო გადაწყვეტა ხაზში. იპოვეთ GCD 10 და 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ორი ან მეტი რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი, თქვენ უნდა გესმოდეთ რა არის ბუნებრივი, მარტივი და რთული რიცხვები.

ნატურალური რიცხვია ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოიყენება მთელი რიცხვების დასათვლელად.

თუ ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს მხოლოდ თავისთავზე და ერთზე, მაშინ მას ეწოდება მარტივი.

ყველა ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიყოს საკუთარ თავზე და ერთზე, მაგრამ ერთადერთი ლუწი მარტივი რიცხვი არის 2, ყველა დანარჩენი შეიძლება გაიყოს ორზე. ამიტომ, მხოლოდ კენტი რიცხვები შეიძლება იყოს მარტივი.

მარტივი რიცხვები ბევრია, მათი სრული სია არ არსებობს. GCD-ის საპოვნელად მოსახერხებელია ასეთი ნომრებით სპეციალური ცხრილების გამოყენება.

ნატურალური რიცხვების უმეტესობა შეიძლება დაიყოს არა მხოლოდ ერთზე, საკუთარ თავზე, არამედ სხვა რიცხვებზეც. მაგალითად, რიცხვი 15 შეიძლება დაიყოს 3-ზე და 5-ზე. ყველა მათგანს ეწოდება 15 რიცხვის გამყოფი.

ამრიგად, ნებისმიერი A-ს გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც იგი შეიძლება გაიყოს ნაშთების გარეშე. თუ რიცხვს აქვს ორზე მეტი ბუნებრივი გამყოფი, მას კომპოზიციური ეწოდება.

რიცხვ 30-ს აქვს ისეთი გამყოფები, როგორიცაა 1, 3, 5, 6, 15, 30.

ხედავთ, რომ 15-ს და 30-ს აქვთ იგივე გამყოფები 1, 3, 5, 15. ამ ორი რიცხვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 15.

ამრიგად, A და B რიცხვების საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც შეგიძლიათ მათი სრული გაყოფა. მაქსიმუმ შეიძლება ჩაითვალოს მაქსიმალური ჯამური რიცხვი, რომლითაც ისინი შეიძლება დაიყოს.

პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი შემოკლებული წარწერა:

GCD (A; B).

მაგალითად, GCD (15; 30) = 30.

ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფის ჩასაწერად გამოიყენება აღნიშვნა:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

ამ მაგალითში ნატურალურ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო გამყოფი. მათ ეძახიან coprime, შესაბამისად, ერთეული მათი უდიდესი საერთო გამყოფია.

როგორ მოვძებნოთ რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი

რამდენიმე ნომრის GCD-ს საპოვნელად გჭირდებათ:

იპოვეთ თითოეული ნატურალური რიცხვის ყველა გამყოფი ცალ-ცალკე, ანუ დაშალეთ ისინი ფაქტორებად (მარტივი რიცხვები);

აირჩიეთ ყველა იგივე ფაქტორი მოცემული რიცხვებისთვის;

გაამრავლეთ ისინი ერთად.

მაგალითად, 30 და 56 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის გამოსათვლელად, თქვენ დაწერთ შემდეგს:

იმისათვის, რომ არ აგერიოთ, მოსახერხებელია მულტიპლიკატორების დაწერა ვერტიკალური სვეტების გამოყენებით. ხაზის მარცხენა მხარეს, თქვენ უნდა მოათავსოთ დივიდენდი, ხოლო მარჯვნივ - გამყოფი. დივიდენდის ქვეშ უნდა მიუთითოთ მიღებული კოეფიციენტი.

ასე რომ, მარჯვენა სვეტში იქნება გადაწყვეტისთვის საჭირო ყველა ფაქტორი.

მოხერხებულობისთვის შეიძლება ხაზგასმული იყოს იდენტური გამყოფები (ნაპოვნი ფაქტორები). ისინი ხელახლა უნდა დაიწეროს და გამრავლდეს და ჩაიწეროს უდიდესი საერთო გამყოფი.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

მართლაც ასე მარტივია რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა. მცირე პრაქტიკით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება თითქმის ავტომატურად.