რეალური ნომრები II
§ 46 ნამდვილ რიცხვთა შეკრება
ჯერჯერობით მხოლოდ რაციონალური რიცხვების დამატება შეგვიძლია ერთმანეთს. Როგორც ვიცით,
მაგრამ რას ნიშნავს ორი რიცხვის ჯამი, რომელთაგან ერთი მაინც ირაციონალურია, ჩვენ ჯერ კიდევ არ ვიცით. ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ, რა იგულისხმება ჯამში α + β ორი თვითნებური რეალური რიცხვი α და β .
მაგალითად, განიხილეთ რიცხვები 1/3 და √2. წარმოვადგინოთ ისინი უსასრულო ათობითი წილადების სახით
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
პირველ რიგში, ჩვენ ვამატებთ ამ რიცხვების შესაბამის ათწილადებს ნაკლოვანებით. ეს მიახლოებები, როგორც აღინიშნა წინა ნაწილის ბოლოს, არის რაციონალურინომრები. და ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი რიცხვები:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
შემდეგ ჩვენ ვამატებთ ამ რიცხვების შესაბამის ათობითი მიახლოებებს ჭარბით:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
შეიძლება დადასტურდეს*, რომ არსებობს, უფრო მეტიც, უნიკალური რეალური რიცხვი γ , რომელიც მეტია 1/3 და √2 რიცხვების ათობითი მიახლოებების ყველა ჯამზე ნაკლოვანებით, მაგრამ ნაკლებია ამ რიცხვების ათწილადის მიახლოების ყველა ჯამზე ჭარბი რაოდენობით:
* ამ ფაქტის მკაცრი მტკიცებულება სცილდება ჩვენი პროგრამის ფარგლებს და ამიტომ აქ არ არის მოცემული.
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
განმარტებით, ეს რიცხვი γ და მიღებულია როგორც 1/3 და √2 რიცხვების ჯამი:
γ = 1 / 3 + √2
აშკარაა რომ γ = 1,7475....
ნებისმიერი სხვა დადებითი რეალური რიცხვის ჯამი, რომელთაგან ერთი მაინც ირაციონალურია, შეიძლება განისაზღვროს ანალოგიურად. საკითხის არსი არ შეიცვლება თუნდაც ერთ-ერთი ტერმინი და შესაძლოა ორივე უარყოფითი იყოს.
Ისე, თუ ნომრები α და β რაციონალურია, მაშინ მათი ჯამი იპოვება რაციონალური რიცხვების შეკრების წესით(იხ. § 36).
თუ ერთი მათგანი მაინც ირაციონალურია, მაშინ ჯამი α + β იწოდება რეალური რიცხვი, რომელიც მეტია ამ რიცხვების შესაბამისი ათწილადის მიახლოების ყველა ჯამზე ნაკლოვანებით, მაგრამ ნაკლებია ამ რიცხვების შესაბამისი ათობითი მიახლოების ყველა ჯამზე ჭარბი..
ამგვარად განსაზღვრული დამატების მოქმედება ემორჩილება შემდეგ ორ კანონს:
1) შემცვლელი კანონი:
α + β = β + α
2) ასოციაციის კანონი:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
ჩვენ ამას არ დავამტკიცებთ. სტუდენტებს შეუძლიათ ამის გაკეთება დამოუკიდებლად. ჩვენ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ მტკიცებულებაში მოგვიწევს ჩვენთვის უკვე ცნობილი ფაქტის გამოყენება: რაციონალური რიცხვების დამატება ექვემდებარება კომუტატიურ და ასოციაციურ კანონებს (იხ. § 36).
Სავარჯიშოები
327. წარმოადგინეთ ეს თანხები ათობითი წილადების სახით, დაკავების შემდეგ მინიმუმ სამი სწორი ციფრის მითითებით:
ა) √2 + √3 ; დ) √2 + (- √3 ) გ) 3/4 + (-√5 );
ბ) √2 + 5/8; ე) (- 1/3) + √5 სთ) 1/3 + √2 + √3.
გ) (-√2) + √3; ვ) 11/9 + (- √5);
328. იპოვეთ პირველი რამდენიმე ათობითი მიახლოება (ჭარბი და გარეშე) რეალური რიცხვებისთვის:
ა) 1/2 + √7 ბ) √3 + √7 გ) √3 + (-√7)
329. რეალური რიცხვების ჯამის განსაზღვრებიდან გამომდინარე დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის α
α + (- α ) = 0.
330. ორი უსასრულო არაპერიოდული წილადის ჯამი ყოველთვის არაპერიოდული წილადია? ახსენი პასუხი მაგალითებით.
განმარტება
რეალური რიცხვების სიმრავლე რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეთა გაერთიანებაა. წერილი რარის განსახილველი ნაკრების აღნიშვნა. Ბევრი რწარმოდგენილია ფორმის ინტერვალით (- ∞ ; + ∞).
კომენტარი
აღსანიშნავია, რომ ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს ყოველთვის შეუძლია მიიღოს უსასრულო ათობითი პერიოდული წილადის ფორმა, უსასრულო ათობითი არაპერიოდული წილადის ნებისმიერი ირაციონალური რიცხვი, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, აქედან გამომდინარეობს, რომ სიმრავლე, რომელიც მოიცავს სასრულ და უსასრულო პერიოდულ და არას - პერიოდული ათობითი წილადები მიეკუთვნება სიმრავლეს რ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
რეალური რიცხვების გეომეტრიული მოდელი
კოორდინატთა ხაზი პირდაპირ არის ნაკრების გეომეტრიული მოდელი რ. მაშასადამე, კოორდინატთა ხაზის თითოეული წერტილი ყოველთვის შეიძლება ასოცირებული იყოს რაიმე რეალურ რიცხვთან.
რეალური რიცხვების შედარება
რეალური რიცხვების შედარება შესაძლებელია როგორც გეომეტრიული მოდელის გამოყენებით, ასევე მათი შედარება ანალიტიკურად. მოდით შევხედოთ ორივე შედარებას. ორი რიცხვი შემთხვევით მოთავსებულია კოორდინატთა ხაზზე. იმის დადგენა, რომელია უფრო მეტი, საკმაოდ მარტივია. უფრო დიდი რიცხვი ყოველთვის მეორის მარჯვნივ არის.
ანალიტიკურად განსაზღვრეთ რომელი რიცხვი არის ნებისმიერ რიცხვზე მეტი ან ნაკლები, ასევე შესაძლებელია, ამისთვის საკმარისია ამ რიცხვების სხვაობის პოვნა და შემდეგ ნულთან შედარება. თუ მიღებულ განსხვავებას ექნება დადებითი ნიშანი, მაშინ პირველი რიცხვი (სხვაობით შემცირებული) მეორე რიცხვზე მეტი იქნება (გამოკლებული სხვაობით); თუ განსხვავებას აქვს უარყოფითი ნიშანი, მაშინ პირველი რიცხვი (სხვაობით შემცირებული) ნაკლები იქნება მეორეზე (გამოკლებული სხვაობით).
ქვემოთ განვიხილავთ შედარების ორივე მეთოდის მაგალითებს:
მაგალითი 1
შეადარეთ რიცხვები f r a c 185 და 4.
გამოსავალი
ამ რიცხვების შესადარებლად, ჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას ამ ციფრებს შორის.
f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 ამ ოპერაციის შესრულების შემდეგ, ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ მაგალითში მნიშვნელი არის 5. ამის შემდეგ, იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესის საფუძველზე, ვაკლებთ მეორე წილადის მრიცხველს პირველი წილადის მრიცხველს და ვტოვებთ მნიშვნელი იგივე. გაითვალისწინეთ, რომ მოცემულ რიცხვებს შორის სხვაობა უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ პირველი რიცხვი (შემცირებული) ნაკლებია მეორეზე (გამოკლებული), ანუ f r a c 185< 4 .
მაგალითი 2
შეადარეთ რიცხვები f r a c 185 და 4 კოორდინატთა წრფის გამოყენებით.
გამოსავალი
ამ რიცხვების შესადარებლად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ რიცხვების წერტილების ადგილი კოორდინატთა ხაზზე. იმათ. შედარებული რეალური რიცხვები შეესაბამება გარკვეულ კოორდინატებს კოორდინატთა წრფეზე, კერძოდ, რიცხვებს f r a c 185 და 4. ჯერ გადავიყვანოთ არასწორი წილადი frac185 შერეულ რიცხვად ე.ი. ვირჩევთ მთელ ნაწილს, შესაბამისად, ვიღებთ 3 f r a c 35 .
შემდეგ კოორდინატთა ხაზზე მონიშნეთ ის წერტილები, რომელთა კოორდინატები ტოლი იქნება 3 f r a c 35 და 4-ის. f r a c 185 შეიცავს 3 მთელ რიცხვს, რაც ნიშნავს, რომ ეს რიცხვი მდებარეობს 4-ის მარცხნივ. როგორც უკვე იცით, უფრო მცირე რიცხვი დევს მარცხნივ, აქედან გამომდინარე, დასკვნა თავისთავად გვაფიქრებინებს, რომ f r a c 185< 4 .
შეიძლება დავასკვნათ, რომ რეალური რიცხვების შედარების გარეგნობის მიუხედავად, ყველა არითმეტიკული ოპერაცია, კერძოდ, შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა, შეიძლება განხორციელდეს. თუმცა რეალური რიცხვებით მოქმედებების შესრულებამდე უნდა გავითვალისწინოთ ამ რიცხვების საწყისი ნიშნები, ე.ი. დაადგინეთ თითოეული რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი.
რეალური რიცხვების შეკრება
ერთი და იგივე ნიშნით ორი რეალური რიცხვის დასამატებლად ჯერ უნდა დაამატოთ მათი მოდულები და შემდეგ ჯამის წინ დააყენოთ მათი საერთო ნიშანი. Მაგალითად:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
სხვადასხვა ნიშნით ორი რეალური რიცხვის დასამატებლად ჯერ ყურადღება უნდა მიაქციოთ რიცხვის ნიშანს, თუ რომელიმე რიცხვის ნიშანი უარყოფითია, მაშინ ეს რიცხვი უნდა გამოკლდეს მეორეს, დადებითის შემთხვევაში - დაუმატოთ მეორეს. შემდეგი, თქვენ უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ ეს რიცხვები და დააყენოთ უფრო დიდი მოდულის ნიშანი. Მაგალითად
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
რეალური რიცხვების გამოკლება
რეალური რიცხვების გამოკლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შეკრების სახით: a - b \u003d a + (- b), ანუ იმისათვის, რომ რიცხვი b გამოვაკლოთ a რიცხვს, საკმარისია დაამატოთ რიცხვი საპირისპირო. აკლდება შემცირებულს.
მაგალითად: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2 .
რეალური რიცხვების გამრავლება
ორი რეალური რიცხვის გასამრავლებლად (გაყოფისთვის) საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება (გაყოფა). და შემდეგ დადეთ ნიშანი შედეგის წინ ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მოცემული ნიშნების წესის მიხედვით.
რეალური რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას მიზანშეწონილია გახსოვდეთ ანდაზა: „მეგობრის მეგობარი ჩემი მეგობარია, ჩემი მტრის მტერი ჩემი მეგობარია, ჩემი მტრის მეგობარი ჩემი მტერია, ჩემი მეგობრის მტერი ჩემია. მტერი."
Მაგალითად:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
ნამდვილ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების თვისებები (ალგებრის ძირითადი კანონები)
ალგებრაში არსებობს ე.წ. ალგებრის ძირითადი კანონები. ისინი თითქმის ყოველთვის მიიღება როგორც ჭეშმარიტი (ამ კანონების სიცრუის შემთხვევები არ განიხილება) და ჩამოყალიბებულია როგორც შემდეგი თვისებები-იდენტობები:
- a + b = b + a ;
- (a + b) + c = a + (b + c) ;
- a + 0 = a ;
- a + (- a) = 0 ;
- a b = b a;
- (a b) c = a (b c) ;
- a (b + c) = a b + a c;
- a 1 = a;
- a 0 = 0;
- a 1 a = 1 , (a ≠ 0) .
თვისებები 1 და 5 გამოთქვან შეკრების და გამრავლების შემცვლელი კანონი (კომუტატიურობა);
თვისებები 2 და 6 გამოხატოს ასოციაციური კანონი (ასოციაციურობა);
საკუთრება 7 - გამრავლების კანონი (განაწილება) შეკრების მიმართ;
თვისებები 3 და 8 მიუთითეთ ნეიტრალური ელემენტის არსებობა შეკრებისა და გამრავლებისთვის, შესაბამისად;
თვისებები 4 და 10 - გამანეიტრალებელი ელემენტის არსებობისთვის, შესაბამისად.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
თუ რიცხვი α არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შეუქცევადი წილადის სახით $$\frac(p)(q)$$, მაშინ მას ირაციონალური ეწოდება.
ირაციონალური რიცხვი იწერება როგორც უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი.
ირაციონალური რიცხვების არსებობის ფაქტი მაგალითით იქნება ნაჩვენები.
მაგალითი 1.4.1.დაამტკიცეთ, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 2.
გამოსავალი.დავუშვათ, არსებობს შეუქცევადი წილადი $$\frac(p)(q)$$ ისეთი, რომ $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
ან $$p^(2)=2q^(2)$$. აქედან გამომდინარეობს, რომ $$p^(2)$$ არის 2-ის ჯერადი და, შესაბამისად, p არის 2-ის ჯერადი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ p არ იყოფა 2-ზე, ე.ი. $$p=2k-1$$, შემდეგ $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ არც 2-ზე იყოფა. ამიტომ, $ $ p=2k$$$$\Rightarrow$$$$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$$$4k^(2)=2q^(2)$$$$ \ Rightarrow$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
ვინაიდან $$q^(2)$$ არის 2-ის ჯერადი, მაშინ q ასევე არის 2-ის ჯერადი, ე.ი. $$q=2m$$.
ასე რომ, p და q რიცხვებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი - რიცხვი 2, რაც ნიშნავს, რომ წილადი $$\frac(p)(q)$$ მცირდება.
ეს წინააღმდეგობა ნიშნავს, რომ დაშვებული ვარაუდი მცდარია, რითაც დასტურდება განცხადება.
რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება.
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციები აქსიომატიურად არის შემოტანილი: ნებისმიერ ორ რეალურ რიცხვს a და b ენიჭება რიცხვი $$a+b$$ და ნამრავლი $$a\cdot b$$.
გარდა ამისა, ამ კომპლექტში შემოტანილია ურთიერთობები "ზე მეტი", "ნაკლები" და თანასწორობა:
$$a>b$$ თუ და მხოლოდ თუ a - b დადებითი რიცხვია;
$$a
ჩამოვთვალოთ რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები.
1. თუ $$a>b$$ და $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. თუ $$a>b$$ და $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. თუ $$a>b$$ და $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. თუ a, b, c, d ისეთი დადებითი რიცხვებია, რომ $$a>b$$ და $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
შედეგი. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$a^(2)>b^(2)$$.
6. თუ $$a>b$$ და $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. თუ $$a>0$$, $$b>0$$ და $$a>b$$ $$\Rightarrow$$$$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
რეალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
ავიღოთ სწორი ხაზი ლ, იხილეთ ნახ. 1.4.1 და დააფიქსირეთ მასზე წერტილი O - საწყისი.
წერტილი O ყოფს ხაზს ორ ნაწილად - სხივებად. მარჯვნივ მიმართულ სხივს დადებითი სხივი ეწოდება, ხოლო მარცხნივ მიმართულ სხივს უარყოფითი სხივი. სწორ ხაზზე აღვნიშნავთ სიგრძის ერთეულად აღებულ სეგმენტს, ე.ი. შეიტანეთ მასშტაბი.
ბრინჯი. 1.4.1. რეალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
შერჩეული საწყისის, დადებითი მიმართულების და მასშტაბის სწორ ხაზს რიცხვითი წრფე ეწოდება.
რიცხვითი წრფის თითოეული წერტილი შეიძლება ასოცირდებოდეს რეალურ რიცხვთან შემდეგი წესის მიხედვით:
- წერტილი O მიენიჭება ნულს;
– თითოეულ N წერტილს დადებით სხივზე ენიჭება დადებითი რიცხვი a, სადაც a არის ON სეგმენტის სიგრძე;
– ყოველ M წერტილს უარყოფით სხივზე ენიჭება უარყოფითი რიცხვი b, სადაც $$b=-\left | OM \right |$$ (OM სეგმენტის სიგრძე, აღებული მინუს ნიშნით).
ამრიგად, ერთი-ერთზე შესაბამისობა მყარდება რეალური რიცხვითი წრფის ყველა წერტილის სიმრავლესა და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს შორის, ე.ი. :
1) რიცხვითი ხაზის თითოეულ წერტილს ენიჭება ერთი და მხოლოდ ერთი რეალური რიცხვი;
2) სხვადასხვა ქულებს ენიჭება სხვადასხვა ნომრები;
3) არ არსებობს ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც არ შეესაბამება რიცხვითი წრფის რომელიმე წერტილს.
მაგალითი 1.4.2.რიცხვთა ხაზზე მონიშნეთ რიცხვების შესაბამისი წერტილები:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
გამოსავალი. 1) $$\frac(12)(7)$$ წილადი რიცხვის აღსანიშნავად, თქვენ უნდა ააგოთ წერტილი $$\frac(12)(7)$$-ის შესაბამისი.
ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ 1 სიგრძის სეგმენტი 7 თანაბარ ნაწილად. ამ პრობლემას ამ გზით ვაგვარებთ.
ვხატავთ თვითნებურ სხივს t.O-დან და ამ სხივზე ვტოვებთ 7 ტოლ სეგმენტს. მიიღეთ
სეგმენტი OA და A წერტილიდან ვხაზავთ სწორ ხაზს 1-ის კვეთამდე.
ბრინჯი. 1.4.2. ერთი სეგმენტის დაყოფა 7 თანაბარ ნაწილად.
A1 სწორი ხაზის პარალელურად გაყვანილი სწორი ხაზები ჩამოყრილი სეგმენტების ბოლოებით ყოფს ერთეული სიგრძის სეგმენტს 7 თანაბარ ნაწილად (ნახ. 1.4.2). ეს შესაძლებელს ხდის წერტილის აგებას, რომელიც წარმოადგენს რიცხვს $$1\frac(5)(7)$$ (ნახ.1.4.3).
ბრინჯი. 1.4.3. წერტილი რიცხვის ღერძზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს $$1\frac(5)(7)$$.
2) ნომერი $$\sqrt(2)$$ შეიძლება მიიღოთ ასე. ჩვენ ვაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედს ერთეული ფეხებით. მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძეა $$\sqrt(2)$$; ეს სეგმენტი გამოყოფილია O-ს რიცხვით წრფეზე (ნახ. 1.4.4).
3) PO-დან დისტანციური წერტილის ასაგებად $$\sqrt(3)$$ (მარჯვნივ) მანძილზე, აუცილებელია მართკუთხა სამკუთხედის აგება 1 და $$\sqrt(2) სიგრძის ფეხებით. $$. მაშინ მის ჰიპოტენუზას აქვს სიგრძე $$\sqrt(2)$$, რაც საშუალებას გაძლევთ მიუთითოთ სასურველი წერტილი რეალურ ღერძზე.
რეალური რიცხვებისთვის განსაზღვრულია მოდულის (ან აბსოლუტური მნიშვნელობის) ცნება.
ბრინჯი. 1.4.4. წერტილი რიცხვის ღერძზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს $$\sqrt(2)$$.
რეალური რიცხვის a მოდული ეწოდება:
არის თავად ნომერი, თუ ადადებითი რიცხვია;
- ნულოვანი თუ ა- ნული;
– -ა, თუ ა- უარყოფითი რიცხვი.
რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა ააღინიშნება $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |$$.
მოდულის (ან აბსოლუტური მნიშვნელობის) განმარტება შეიძლება დაიწეროს როგორც
| $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |=\მარცხნივ\(\ დასაწყისი(მატრიცა)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
გეომეტრიულად, რიცხვის მოდული a ნიშნავს მანძილს რიცხვით წრფეზე საწყისი O-დან რიცხვის შესაბამის წერტილამდე. ა.
ჩვენ აღვნიშნავთ მოდულის ზოგიერთ თვისებას.
1. ნებისმიერი ნომრისთვის ათანასწორობა $$\ მარცხენა | a \მარჯვნივ |=\მარცხნივ | -a \right |$$.
2. ნებისმიერი რიცხვისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია
$$\ მარცხენა | ab \მარჯვნივ |=\მარცხნივ | a \მარჯვნივ |\cdot \მარცხნივ | b \right |$$; $$\ მარცხენა | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \მარჯვნივ |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\ მარცხენა | a \right |^(2)=a^(2)$$.
3. ნებისმიერი ნომრისთვის აუტოლობა $$\მარცხენა | a \right |\geq 0$$.
4. ნებისმიერი ნომრისთვის აუტოლობა $$-\მარცხენა | a\right |\leq a\leq \მარცხნივ | a \მარჯვნივ |$$.
5. ნებისმიერი რიცხვისთვის ადა ბუთანასწორობა
$$\ მარცხენა | a+b \მარჯვნივ |\leq \მარცხნივ | a \მარჯვნივ |+\მარცხნივ | b \მარჯვნივ |$$
განვიხილოთ შემდეგი რიცხვითი კომპლექტები.
თუ $$a
2) ინტერვალი (a; b) არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე α
, თითოეული მათგანისთვის მართალია: $$a<\alpha
ანალოგიურად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნახევარი ინტერვალი.
ზოგიერთ შემთხვევაში, საუბარია "ხარვეზებზე", რაც ნიშნავს ან სხივს, ან სეგმენტს, ან ინტერვალს, ან ნახევარ ინტერვალს.
Ბევრი რყველა რეალური რიცხვი აღინიშნება შემდეგნაირად: $$(-\infty; \infty)$$.
ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, ჩვენ შემოგთავაზებთ ხარისხის ცნებას ბუნებრივი მაჩვენებლით ნ, კერძოდ
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ და $$a^(1)=a$$.
დაე აარის ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვი, მაშინ განსაზღვრებით $$a^(0)=1$$.
ნულის ნულოვანი სიმძლავრე არ არის განსაზღვრული.
დაე ა- ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვი, მარის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. შემდეგ რიცხვი $$a^(m)$$ განისაზღვრება წესით:
$$a^(m)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)a, m=1;\\\ქვედაჭერა(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(მატრიცა)\მარჯვნივ.$$
სადაც ვარეწოდება ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.
სანამ განვსაზღვრავთ ხარისხის ცნებას რაციონალური მაჩვენებლით, შემოგთავაზებთ არითმეტიკული ფესვის ცნებას.
არითმეტიკული ფესვის ხარისხი ნ (n ∈ N, n > 2) არაუარყოფითი რიცხვი ამოუწოდა არაუარყოფით რიცხვს ბისეთივე როგორც b n = a. ნომერი ბაღინიშნება როგორც $$b\sqrt[n](a)$$.
არითმეტიკული ფესვების თვისებები ( a > 0, ბ > 0, ნ, მ, კ- მთელი რიცხვები.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\მარცხნივ | a \მარჯვნივ |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\მარცხენა | a \მარჯვნივ |$$ |
დაე ა< 0
, ა ნარის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი. თუ ნარის ლუწი რიცხვი, შემდეგ ტოლობა b n = aარ შეესაბამება რაიმე რეალურ ღირებულებას ბ. ეს ნიშნავს, რომ რეალური რიცხვების ველში შეუძლებელია ლუწი ხარისხის ფესვის დადგენა უარყოფითი რიცხვიდან. თუ ნარის კენტი რიცხვი, მაშინ არის მხოლოდ ერთი რეალური რიცხვი ბისეთივე როგორც b n = a. ეს რიცხვი აღინიშნება √n a და ეწოდება უარყოფითი რიცხვის კენტი ფესვი.
მთელი რიცხვის ხარისხზე აწევის განმარტებისა და არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრის გამოყენებით, ჩვენ ვაძლევთ ხარისხის განსაზღვრებას რაციონალური მაჩვენებლით.
დაე აარის დადებითი რიცხვი და $$r=\frac(p)(q)$$ არის რაციონალური რიცხვი და ქ- ნატურალური რიცხვი.
დადებითი რიცხვი
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
ეწოდება a-ს ხარისხს r მაჩვენებლით და აღინიშნება როგორც
$$b=a^(r)$$, ან $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, აქ $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
განვიხილოთ რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ძირითადი თვისებები.
დაე ადა ბარის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, r 1 და r 2 არის ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი. მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. თუ $$a>1$$ და $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. თუ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>0 \ მარჯვენა ისარი 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. თუ $$a>1$$ და $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. თუ $0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\მარჯვენა ისარი a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
დადებითი რიცხვის ხარისხის კონცეფცია განზოგადებულია ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლისთვის α
.
დადებითი რიცხვის a ხარისხის განსაზღვრა რეალური მაჩვენებლებით α
.
1. თუ $$\alpha > 0$$ და
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \მარჯვენა ისარი a^(\alpha)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)a, m=1\\\ქვედაჭერი(a\cdot a\ cdot a\cdot a...a), m\geq 2\end(მატრიცა)\მარჯვნივ.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, სადაც გვდა ქ- ნატურალური რიცხვები $$\მარჯვენა ისარი a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α ირაციონალური რიცხვია, მაშინ
ა) თუ a > 1, მაშინ ა α- რიცხვი r i-ზე მეტი და ნაკლები ა რ კ, სად რ ი α
მინუსით რკ- რიცხვის ნებისმიერი რაციონალური მიახლოება α
ჭარბად;
ბ) თუ 0< ა< 1, то ა α- რიცხვზე მეტი ა რ კდა ნაკლები ვიდრე ა რ ი;
გ) თუ ა= 1, შემდეგ α = 1.
2. თუ $$\alpha=0$$, მაშინ α = 1.
3. თუ $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
ნომერი ა αეწოდება ხარისხი, რიცხვი a არის ხარისხის საფუძველი, რიცხვი α
- ექსპონენტი.
დადებითი რიცხვის ხარისხს რეალური მაჩვენებლით აქვს იგივე თვისებები, რაც რაციონალური მაჩვენებლის ხარისხს.
მაგალითი 1.4.3.გამოთვალეთ $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
გამოსავალი.მოდით გამოვიყენოთ root თვისება:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
უპასუხე. 6.
მაგალითი 1.4.4.გამოთვალეთ $6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. ირაციონალური რიცხვის ცნება. უსასრულო ათობითი არაპერიოდული წილადები. რეალური რიცხვების სიმრავლე.
2. არითმეტიკული მოქმედებები რეალურ რიცხვებზე. შეკრებისა და გამრავლების კანონები.
3. რეალური დადებითი რიცხვების გაფართოება ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის თვისებები.
4. მიახლოებითი რიცხვები.ნამდვილი რიცხვების დამრგვალების წესები და მიახლოებითი რიცხვებით მოქმედებები. გამოთვლები მიკროკალკულატორის დახმარებით.
5. ძირითადი დასკვნები
რეალური რიცხვები
ათობითი წილადების გამოჩენის ერთ-ერთი წყაროა ნატურალური რიცხვების გაყოფა, მეორე კი სიდიდეების გაზომვა. მოდით გავარკვიოთ, მაგალითად, როგორ შეიძლება მივიღოთ ათობითი წილადები სეგმენტის სიგრძის გაზომვისას.
დაე X- სეგმენტი, რომლის სიგრძე უნდა გაიზომოს, ე- ერთი ჭრილი. ჭრის სიგრძე Xაღნიშნავენ ასოებით Xდა სეგმენტის სიგრძე ე- წერილი ე. დაუშვით სეგმენტი Xმოიცავს ნტოლი სეგმენტები ე₁ და გაჭრა X₁, რომელიც უფრო მოკლეა ვიდრე სეგმენტი ე(სურ. 130), ე.ი. ნ ∙ე < X < (ნ + 1) ∙ე. ნომრები ნდა ნ+ 1 არის სეგმენტის სიგრძის სავარაუდო მნიშვნელობები Xერთეულის სიგრძეზე ედეფიციტით და 1-მდე ჭარბით.
მეტი სიზუსტით პასუხის მისაღებად აიღეთ სეგმენტი ე₁ არის e სეგმენტის მეათედი და ჩავსვამთ მას სეგმენტში X₁. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი შემთხვევა.
1) სეგმენტი e1 ჯდება სეგმენტში X₁ ზუსტად ნერთხელ. შემდეგ სიგრძე ნსეგმენტი Xგამოხატული როგორც საბოლოო ათწილადი: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙ე.Მაგალითად, X= 3.4∙E.
2) გაჭრა X₁ გამოდის, რომ შედგება ნტოლი სეგმენტები ე₁ და სეგმენტი X₂, რომელიც უფრო მოკლეა ვიდრე სეგმენტი ე₁. მერე ნ,ნ₁∙ე < X < ნ,ნ₁ნ₁′∙ ე, სად ნ,ნ₁ და ნ,ნ₁ნ₁′ - სეგმენტის სიგრძის სავარაუდო მნიშვნელობები Xდეფიციტით და ჭარბი სიზუსტით 0,1.
ნათელია, რომ მეორე შემთხვევაში სეგმენტის სიგრძის გაზომვის პროცესი Xშეგიძლიათ გააგრძელოთ ახალი ერთეულის სეგმენტის აღებით ე₂ - სეგმენტის მეასედი ე.
პრაქტიკაში, სეგმენტის სიგრძის გაზომვის პროცესი გარკვეულ ეტაპზე დასრულდება. შემდეგ კი სეგმენტის სიგრძის გაზომვის შედეგი იქნება ბუნებრივი რიცხვი ან საბოლოო ათობითი წილადი. თუ წარმოვიდგენთ სეგმენტის სიგრძის გაზომვის პროცესს იდეალურად (როგორც მათემატიკაში), მაშინ შესაძლებელია ორი შედეგი:
1) k-ე საფეხურზე გაზომვის პროცესი დასრულდება. შემდეგ სეგმენტების სიგრძე გამოისახება, როგორც ფორმის საბოლოო ათობითი წილადი ნ,ნ₁… ნკ.
2) სეგმენტის სიგრძის გაზომვის აღწერილი პროცესი Xგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით. მაშინ ამის შესახებ მოხსენება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიმბოლოთი ნ,ნ₁… ნკ..., რომელსაც უსასრულო ათწილადი ეწოდება.
როგორ დავრწმუნდეთ მეორე შედეგის შესაძლებლობაში? ამისათვის საკმარისია გავზომოთ ასეთი სეგმენტის სიგრძე, რისთვისაც ცნობილია, რომ მისი სიგრძე გამოიხატება, მაგალითად, რაციონალური რიცხვით 5. თუ აღმოჩნდა, რომ ასეთი სეგმენტის სიგრძის გაზომვის შედეგად მიიღება საბოლოო ათობითი წილადი, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საბოლოო ათობითი წილადი, რაც შეუძლებელია: 5 \u003d 5.666 . ...
ასე რომ, სეგმენტების სიგრძის გაზომვისას შეიძლება მივიღოთ უსასრულო ათობითი წილადები. მაგრამ ეს წილადები ყოველთვის პერიოდულია? ამ კითხვაზე პასუხი უარყოფითია: არის სეგმენტები, რომელთა სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს უსასრულო პერიოდული წილადით (ანუ დადებითი რაციონალური რიცხვით) სიგრძის არჩეული ერთეულით. ეს იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი აღმოჩენა მათემატიკაში, საიდანაც მოჰყვა, რომ რაციონალური რიცხვები არ არის საკმარისი სეგმენტების სიგრძის გასაზომად.
თეორემა. თუ სიგრძის ერთეული არის კვადრატის გვერდის სიგრძე, მაშინ ამ კვადრატის დიაგონალის სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს დადებითი რაციონალური რიცხვით.
მტკიცებულება. კვადრატის გვერდის სიგრძე გამოვხატოთ რიცხვით 1. დავუშვათ იმის საპირისპირო, რაც დასამტკიცებელია, ანუ ABCB კვადრატის AC დიაგონალის სიგრძე გამოიხატება შეუქცევადი წილადით. მაშინ, პითაგორას თეორემის მიხედვით, თანასწორობა დარჩება
1²+ 1² = . აქედან გამომდინარეობს, რომ m² = 2n². ასე რომ, m² არის ლუწი რიცხვი, მაშინ რიცხვი m არის ლუწი (კენტი რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს ლუწი). ასე რომ, m = 2p. რიცხვის m ჩანაცვლებით 2p-ით განტოლებაში m² = 2n², მივიღებთ, რომ 4p² = 2n², ე.ი. 2p² = n². აქედან გამომდინარეობს, რომ n² ლუწია, შესაბამისად n არის ლუწი რიცხვი. ამრიგად, m და n რიცხვები ლუწია, რაც ნიშნავს, რომ წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით, რაც ეწინააღმდეგება ვარაუდს, რომ ის შეუქცევადია. დადგენილი წინააღმდეგობა ამტკიცებს, რომ თუ სიგრძის ერთეული არის კვადრატის გვერდის სიგრძე, მაშინ ამ კვადრატის დიაგონალის სიგრძე რაციონალური რიცხვით ვერ გამოისახება.
დადასტურებული თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ არის სეგმენტები, რომელთა სიგრძე არ შეიძლება გამოისახოს დადებითი რიცხვით (სიგრძის არჩეული ერთეულით), ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ შეიძლება ჩაიწეროს უსასრულო პერიოდულ წილადად. ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტების სიგრძის გაზომვით მიღებული უსასრულო ათობითი წილადები შეიძლება იყოს არაპერიოდული.
ითვლება, რომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები არის ახალი რიცხვების ჩანაწერი - პოზიტიური ირაციონალურინომრები. ვინაიდან რიცხვისა და მისი აღნიშვნის ცნებები ხშირად იდენტიფიცირებულია, ისინი ამბობენ, რომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები დადებითი ირაციონალური რიცხვებია.
დადებითი ირაციონალური რიცხვის კონცეფციამდე მივედით სეგმენტების სიგრძის გაზომვის პროცესით. მაგრამ ირაციონალური რიცხვების მიღება ასევე შესაძლებელია ზოგიერთი რაციონალური რიცხვიდან ფესვების ამოღებით. ასე რომ, √2, √7, √24 არის ირაციონალური რიცხვები. ირაციონალურია ასევე lg 5, sin 31, რიცხვები π = 3.14..., ე= 2.7828... და სხვა.
დადებითი ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება სიმბოლოთი J+.
რიცხვთა ორი სიმრავლის გაერთიანებას: დადებითი რაციონალური და დადებითი ირაციონალური ეწოდება დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლეს და აღინიშნება R+ სიმბოლოთი. ამრიგად, Q+ ∪ J + = R+. ეილერის წრეების დახმარებით ეს კომპლექტები გამოსახულია 131 სურათზე.
ნებისმიერი დადებითი რეალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო ათობითი წილადით - პერიოდული (თუ რაციონალურია) ან არაპერიოდული (თუ ირაციონალურია).
დადებით რეალურ რიცხვებზე მოქმედებები მცირდება დადებით რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებებამდე.
დადებითი რეალური რიცხვების შეკრებას და გამრავლებას აქვს კომუტატიურობის და ასოციაციურობის თვისებები, ხოლო გამრავლება არის გამანაწილებელი შეკრებისა და გამოკლების მიმართ.
დადებითი რეალური რიცხვების გამოყენებით შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი სკალარული სიდიდის გაზომვის შედეგი: სიგრძე, ფართობი, მასა და ა.შ. მაგრამ პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა რიცხვით გამოხატვა არა სიდიდის გაზომვის შედეგი, არამედ მისი ცვლილება. უფრო მეტიც, მისი ცვლილება შეიძლება მოხდეს სხვადასხვა გზით - შეიძლება გაიზარდოს, შემცირდეს ან დარჩეს უცვლელი. მაშასადამე, სიდიდის ცვლილების გამოსახატავად, გარდა დადებითი რეალური რიცხვებისა, საჭიროა სხვა რიცხვები და ამისთვის საჭიროა R + სიმრავლის გაფართოება 0 (ნულოვანი) და უარყოფითი რიცხვების მიმატებით.
დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლის გაერთიანება უარყოფითი რეალური რიცხვების სიმრავლესთან და ნულთან არის ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე.
რეალური რიცხვების შედარება და მათზე მოქმედებები ხორციელდება ჩვენთვის სასკოლო მათემატიკის კურსიდან ცნობილი წესებით.
Სავარჯიშოები
1. აღწერეთ სეგმენტის სიგრძის გაზომვის პროცესი, თუ მასზე ანგარიში წარმოდგენილია წილადის სახით:
ა) 3,46; ბ) 3, (7); გ) 3.2(6).
2. ერთი სეგმენტის მეშვიდე ნაწილი ჯდება a სეგმენტში 13-ჯერ. ამ სეგმენტის სიგრძე წარმოდგენილი იქნება სასრული თუ უსასრულო წილადით? პერიოდული თუ არაპერიოდული?
3. მოცემულია ნაკრები: (7; 8; √8; 35.91; -12.5; -√37; 0; 0.123; 4136).
შეიძლება თუ არა ის დაიყოს ორ კლასად: რაციონალური და ირაციონალური?
4. ცნობილია, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წერტილით კოორდინატთა წრფეზე. ამოწურავს თუ არა რაციონალური კოორდინატების მქონე წერტილები მთელ კოორდინატულ ხაზს? რაც შეეხება წერტილებს რეალური კოორდინატებით?
99. ძირითადი დასკვნები § 19
ამ აბზაცის მასალის შესწავლისას ჩვენ დავაზუსტეთ მათემატიკის სასკოლო კურსიდან ცნობილი მრავალი ცნება, რაც მათ ვუკავშირებთ სეგმენტის სიგრძის გაზომვას. ეს არის ცნებები, როგორიცაა:
წილადი (სწორი და არასწორი);
ტოლი წილადები;
შეუქცევადი წილადი;
დადებითი რაციონალური რიცხვი;
დადებითი რაციონალური რიცხვების ტოლობა;
შერეული ფრაქცია;
უსასრულო პერიოდული ათობითი;
უსასრულო არაპერიოდული ათობითი;
ირაციონალური რიცხვი;
ნამდვილი რიცხვი.
ჩვენ გავარკვიეთ, რომ წილადების ტოლობის მიმართება არის ეკვივალენტური მიმართება და ვისარგებლეთ ამით და განვსაზღვრეთ დადებითი რაციონალური რიცხვის ცნება. ჩვენ ასევე გავარკვიეთ, თუ როგორ უკავშირდება დადებითი რაციონალური რიცხვების შეკრება და გამრავლება სეგმენტების სიგრძის გაზომვას და მივიღეთ ფორმულები მათი ჯამისა და ნამრავლის საპოვნელად.
მიმართების „ნაკლები ვიდრე“ განსაზღვრებამ Q+ სიმრავლეზე შესაძლებელი გახადა მისი ძირითადი თვისებების დასახელება: ის მოწესრიგებულია, მკვრივი, არ შეიცავს უმცირეს და უდიდეს რიცხვს.
ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ დადებითი რაციონალური რიცხვების Q+ სიმრავლე აკმაყოფილებს ყველა იმ პირობას, რომელიც საშუალებას იძლევა ჩაითვალოს ნატურალური რიცხვების N სიმრავლის გაფართოებად.
ათობითი წილადების შემოღებით ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადით.
უსასრულო არაპერიოდული წილადები ითვლება ირაციონალური რიცხვების ჩანაწერებად.
თუ გავაერთიანებთ დადებითი რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეს, მაშინ მივიღებთ დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლეს: Q+ ∪ J + = R+.
თუ დადებით რეალურ რიცხვებს დავუმატებთ უარყოფით რეალურ რიცხვებს და ნულს, მაშინ მივიღებთ ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლეს.
უმცროსი საშუალო სკოლის გამეორება
ინტეგრალური
წარმოებული
სხეულების მოცულობები
რევოლუციის სოლიდები
კოორდინატების მეთოდი სივრცეში
მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. კავშირი ვექტორულ კოორდინატებსა და წერტილოვან კოორდინატებს შორის. უმარტივესი პრობლემები კოორდინატებში. ვექტორების სკალარული ნამრავლი.
ცილინდრის კონცეფცია. ცილინდრის ზედაპირის ფართობი. კონუსის კონცეფცია.
კონუსის ზედაპირის ფართობი. სფერო და ბურთი. სფეროს ფართობი. სფეროსა და სიბრტყის ურთიერთგანლაგება.
მოცულობის კონცეფცია. მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა. სწორი პრიზმის მოცულობა, ცილინდრი. პირამიდის და კონუსის მოცულობა. ბურთის მოცულობა.
ნაწილი III. მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი
წარმოებული. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული. დიფერენციაციის წესები. ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.
წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლადგაზრდის და შემცირების ფუნქცია. ფუნქციის უკიდურესობა. წარმოებულის გამოყენება გრაფიკების გამოსახატავად. ფუნქციის უდიდესი, უმცირესი მნიშვნელობები.
პრიმიტიული. პრიმიტივების პოვნის წესები. მრუდი ტრაპეციის ფართობი და ინტეგრალი. ინტეგრალების გამოთვლა. ფართობების გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით.
სასწავლო ამოცანები გამოცდებისთვის
ნაწილი I. ალგებრა
რიცხვი არის აბსტრაქცია, რომელიც გამოიყენება ობიექტების რაოდენობრივად შესაფასებლად. რიცხვები წარმოიშვა პრიმიტიულ საზოგადოებაში ადამიანების საგნების დათვლის საჭიროებასთან დაკავშირებით. დროთა განმავლობაში, მეცნიერების განვითარებასთან ერთად, რიცხვი გახდა ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნება.
პრობლემების გადასაჭრელად და სხვადასხვა თეორემების დასამტკიცებლად, ძალზე მნიშვნელოვანია იმის გაგება, თუ რა ტიპის რიცხვებია. რიცხვების ძირითად ტიპებს მიეკუთვნება: ნატურალური რიცხვები, მთელი რიცხვები, რაციონალური რიცხვები, რეალური რიცხვები.
ნატურალური რიცხვები - ϶ᴛᴏ რიცხვები, რომლებიც მიღებულია ობიექტების ბუნებრივი დათვლით, უფრო სწორად მათი ნუმერაციით ("პირველი", "მეორე", "მესამე" ...). ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო N-ით (შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ, ინგლისური სიტყვის ბუნებრივი საფუძველზე). შეგვიძლია ვთქვათ, რომ N =(1,2,3,...)
ნატურალური რიცხვების შევსებით ნულოვანი და უარყოფითი რიცხვებით (ᴛ.ᴇ. ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები) ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გაფართოვდება მთელი რიცხვების სიმრავლემდე.
მთელი რიცხვები - ϶ᴛᴏ რიცხვები სიმრავლიდან (0, 1, -1, 2, -2, ....). ეს ნაკრები შედგება სამი ნაწილისაგან - ნატურალური რიცხვები, უარყოფითი მთელი რიცხვები (ნატურალური რიცხვების საპირისპირო) და რიცხვი 0 (ნული). მთელი რიცხვები აღინიშნება ლათინური ასოთი Z. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ Z=(1,2,3,....). რაციონალური რიცხვები არის ϶ᴛᴏ რიცხვები, რომლებიც წარმოდგენილია წილადის სახით, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი.
არის რაციონალური რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება ჩაიწეროს სასრულ ათწილადის სახით, მაგალითად. თუ, მაგალითად, ცდილობთ რიცხვის დაწერას ათობითი წილადის სახით კუთხის გაყოფის ცნობილი ალგორითმის გამოყენებით, მიიღებთ უსასრულო ათობითი წილადს. უსასრულო ათწილადი ეწოდება პერიოდული,გამეორება ნომერი 3 - მისი პერიოდი.პერიოდული წილადი მოკლედ იწერება შემდეგნაირად: 0, (3); ნათქვამია: "ნული მთელი რიცხვები და სამი პერიოდის განმავლობაში."
ზოგადად, პერიოდული წილადი არის ϶ᴛᴏ უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული ათწილადიდან დაწყებული, მეორდება ერთი და იგივე ციფრი ან რამდენიმე ციფრი - წილადის პერიოდი.
მაგალითად, ათობითი წილადი პერიოდულია 56-იანი პერიოდით; იკითხება "23 მთელი რიცხვი, 14 მეასედი და 56 პერიოდში."
ასე რომ, ყველა რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით.
საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: ყოველი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი არის რაციონალური რიცხვი, რადგან ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც არის მთელი რიცხვი, არის ნატურალური რიცხვი.
რეალური (რეალური) რიცხვები - ϶ᴛᴏ რიცხვები, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ გამოიყენება უწყვეტი სიდიდეების გასაზომად. რეალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო R-ით. ნამდვილ რიცხვებში შედის რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები - ϶ᴛᴏ რიცხვები, რომლებიც მიიღება რაციონალური რიცხვებით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების შედეგად (მაგალითად, ფესვის ამოღება, ლოგარითმების გამოთვლა), მაგრამ არ არის რაციონალური. ირაციონალური რიცხვების მაგალითებია ϶ᴛᴏ.
ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვების ხაზში:
ზემოთ ჩამოთვლილ რიცხვთა სიმრავლეებისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი განცხადება: ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედის მთელ რიცხვებში, მთელი რიცხვების სიმრავლე შედის რაციონალურ რიცხვებში, ხოლო რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედის რეალური რიცხვების ნაკრები. ეს განცხადება შეიძლება ილუსტრირებული იყოს ეილერის წრეების გამოყენებით.
სავარჯიშოები თვითგამორკვევისთვის
