(თუმცა ყველაზე ხშირად იგივე).

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  კლასიკურ მექანიკაში მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრის (ინერციის ცენტრის) პოზიცია განისაზღვრება შემდეგნაირად:

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)m_(i)(\vec (r))_ (i)) (\ ჯამი \ლიმიტები _(i)m_(i))))

  სადაც r → c (\displaystyle (\vec (r))_(c))- მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორი, r → i (\displaystyle (\vec(r))_(i))- რადიუსის ვექტორი მე- სისტემის პუნქტი, m i (\displaystyle m_(i))- წონა მე- წერტილი.

  უწყვეტი მასის განაწილების შემთხვევაში:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(1 \M-ზე მეტი)\int \limits _(V)\rho ( (\vec (r)))(\vec (r))dV,) M = ∫ V ρ (r →) d V , (\displaystyle M=\int \limits _(V)\rho ((\vec (r)))dV,)

  სადაც M (\displaystyle M)არის სისტემის მთლიანი მასა, V (\displaystyle V)- მოცულობა, ρ (\displaystyle \rho)- სიმჭიდროვე. ამგვარად, მასის ცენტრი ახასიათებს მასის განაწილებას სხეულზე ან ნაწილაკების სისტემაზე.

  შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ სისტემა შედგება არა მატერიალური წერტილებისგან, არამედ გაფართოებული სხეულებისგან მასებით M i (\displaystyle M_(i)), მაშინ ასეთი სისტემის მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორი R c (\displaystyle R_(c))ასოცირდება სხეულების მასის ცენტრების რადიუსის ვექტორებთან R c i (\displaystyle R_(ci))თანაფარდობა:

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i. (\displaystyle (\vec (R))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)M_(i)(\vec (R))_(ci))(\sum \limits _( ი) M_(i))))

  სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაფართოებული სხეულების შემთხვევაში მოქმედებს ფორმულა, რომელიც თავისი სტრუქტურით ემთხვევა მატერიალური წერტილებისთვის გამოყენებულ ფორმულას.

  ბრტყელი ერთგვაროვანი ფიგურების მასის ცენტრები

  ერთგვაროვანი ბრტყელი ფიგურის მასის ცენტრის კოორდინატები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით (პაპა-გულდინის თეორემების შედეგი):

  x s = V y 2 π S (\displaystyle x_(s)=(\frac (V_(y))(2\pi S)))და y s = V x 2 π S (\displaystyle y_(s)=(\frac (V_(x))(2\pi S))), სად V x, V y (\displaystyle V_(x),V_(y))- სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ფიგურის შესაბამისი ღერძის გარშემო ბრუნვით, S (\displaystyle S)არის ფიგურის ფართობი.

  ერთგვაროვანი ფიგურების პერიმეტრის მასის ცენტრები

  შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, უნდა გვესმოდეს, რომ SRT-ში მასის ცენტრი ხასიათდება არა მასის განაწილებით, არამედ ენერგიის განაწილებით. ლანდაუს და ლიფშიცის თეორიული ფიზიკის კურსში უპირატესობა ენიჭება ტერმინს „ინერციის ცენტრი“. დასავლურ ლიტერატურაში ელემენტარული ნაწილაკების შესახებ გამოიყენება ტერმინი „მასის ცენტრი“ (ინგლისური მასის ცენტრი): ორივე ტერმინი ექვივალენტურია.

  მასის ცენტრის სიჩქარე რელატივისტურ მექანიკაში შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულით:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i. (\displaystyle (\vec (v))_(c)=(\frac (c^(2))(\sum \limits _(i)E_(i)))\cdot \sum \limits _(i) (\vec(p))_(i).)მასობრივი წონა P = მ გდამოკიდებულია გრავიტაციული ველის პარამეტრზე გ), და, ზოგადად, ღეროს გარეთაც კი მდებარეობს.

  ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, სიმძიმის ცენტრი ყოველთვის ემთხვევა მასის ცენტრს. არაკოსმოსური პრობლემების დროს გრავიტაციული ველი ჩვეულებრივ შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივი სხეულის მოცულობის ფარგლებში, ამიტომ პრაქტიკაში ეს ორი ცენტრი თითქმის ემთხვევა ერთმანეთს.

  ამავე მიზეზით, ცნებები გრავიტაციის ცენტრიდა გრავიტაციის ცენტრიემთხვევა, როდესაც ეს ტერმინები გამოიყენება გეომეტრიაში, სტატიკაში და მსგავს სფეროებში, სადაც მის გამოყენებას ფიზიკასთან შედარებით შეიძლება ეწოდოს მეტაფორული და სადაც მათი ეკვივალენტობის მდგომარეობა ირიბად არის დაშვებული (რადგან არ არსებობს რეალური გრავიტაციული ველი, მაშინ მისი გათვალისწინება არაერთგვაროვნებას აზრი არ აქვს). ამ გამოყენებაში, ორი ტერმინი ტრადიციულად სინონიმია და ხშირად მეორე უპირატესობას ანიჭებენ მხოლოდ იმიტომ, რომ ის უფრო ძველია.

  გრავიტაციის ცენტრი(ან მასის ცენტრი) გარკვეულ სხეულს ეწოდება წერტილი, რომელსაც აქვს ის თვისება, რომ თუ სხეული შეჩერებულია ამ წერტილიდან, მაშინ ის შეინარჩუნებს თავის პოზიციას.

  ქვემოთ განვიხილავთ 2D და 3D ამოცანებს, რომლებიც დაკავშირებულია მასის სხვადასხვა ცენტრის ძიებასთან, ძირითადად გამოთვლითი გეომეტრიის თვალსაზრისით.

  ქვემოთ განხილულ გადაწყვეტილებებში ორი ძირითადია ფაქტი. პირველი ის არის, რომ მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი უდრის მათი კოორდინატების საშუალოს, აღებული მათი მასების პროპორციული კოეფიციენტებით. მეორე ფაქტი ისაა, რომ თუ ჩვენ ვიცით ორი არაგადაკვეთილი ფიგურის მასის ცენტრები, მაშინ მათი გაერთიანების მასის ცენტრი განლაგდება ამ ორი ცენტრის დამაკავშირებელ სეგმენტზე და დაყოფს მას იმავე თანაფარდობით, როგორც მასა. მეორე ფიგურა ეხება პირველის მასას.

  ორგანზომილებიანი შემთხვევა: მრავალკუთხედები

  სინამდვილეში, როდესაც ვსაუბრობთ ორგანზომილებიანი ფიგურის მასის ცენტრზე, შეიძლება იგულისხმებოდეს შემდეგი სამიდან ერთი: დავალებები:

  • წერტილითა სისტემის მასის ცენტრი - ე.ი. მთელი მასა კონცენტრირებულია მხოლოდ მრავალკუთხედის წვეროებზე.
  • ჩარჩოს მასის ცენტრი - ე.ი. მრავალკუთხედის მასა კონცენტრირებულია მის პერიმეტრზე.
  • მყარი ფიგურის მასის ცენტრი - ე.ი. მრავალკუთხედის მასა ნაწილდება მთელ მის ფართობზე.

  თითოეულ ამ პრობლემას აქვს დამოუკიდებელი გადაწყვეტა და ქვემოთ იქნება განხილული ცალკე.

  წერტილის მასის ცენტრი

  ეს არის სამი პრობლემისგან უმარტივესი და მისი ამოხსნა არის მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრის ცნობილი ფიზიკური ფორმულა:

  სად არის წერტილების მასები, არის მათი რადიუსის ვექტორები (მიუთითება მათი პოზიცია საწყისთან მიმართებაში) და არის მასის ცენტრის სასურველი რადიუსის ვექტორი.

  კერძოდ, თუ ყველა წერტილს აქვს ერთი და იგივე მასა, მაშინ მასის ცენტრის კოორდინატებია საშუალოწერტილის კოორდინატები. ამისთვის სამკუთხედიამ პუნქტს უწოდებენ ცენტროიდიდა ემთხვევა მედიანების გადაკვეთის წერტილს:

  

  ამისთვის მტკიცებულებაეს ფორმულები, საკმარისია გავიხსენოთ, რომ წონასწორობა მიიღწევა იმ წერტილში, სადაც ყველა ძალის მომენტების ჯამი ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში, ეს იქცევა პირობად, რომ ყველა წერტილის რადიუსის ვექტორების ჯამი წერტილის მიმართ, გამრავლებული შესაბამისი წერტილების მასებზე, იყოს ნულის ტოლი:

  

  და აქედან გამოსახატავად მივიღებთ საჭირო ფორმულას.

  ჩარჩოს სიმძიმის ცენტრი

  მაგრამ შემდეგ მრავალკუთხედის თითოეული გვერდი შეიძლება შეიცვალოს ერთი წერტილით - ამ სეგმენტის შუა ნაწილით (რადგან ერთგვაროვანი სეგმენტის მასის ცენტრი არის ამ სეგმენტის შუა), მასით, რომელიც უდრის ამ სეგმენტის სიგრძეს.

  ახლა ჩვენ მივიღეთ პრობლემა მატერიალური წერტილების სისტემის შესახებ და მასზე წინა აბზაცის ამოხსნის გამოყენებით, ვპოულობთ:

  

  სადაც არის მრავალკუთხედის მე-ე მხარის შუა წერტილი, არის მე-ე გვერდის სიგრძე, არის პერიმეტრი, ე.ი. გვერდების სიგრძის ჯამი.

  ამისთვის სამკუთხედიშეიძლება აჩვენოს შემდეგი განცხადება: ეს წერტილი არის ბისექტრის გადაკვეთის წერტილისამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება თავდაპირველი სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებით. (ამის საჩვენებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულა, შემდეგ კი შეამჩნიოთ, რომ ბისექტრები ყოფენ მიღებული სამკუთხედის გვერდებს იმავე თანაფარდობით, როგორც ამ გვერდების მასის ცენტრები).

  მყარი ფიგურის მასის ცენტრი

  მიგვაჩნია, რომ მასა ფიგურაზე თანაბრად ნაწილდება, ე.ი. სიმკვრივე ფიგურის თითოეულ წერტილში იგივე რიცხვის ტოლია.

  სამკუთხედის საქმე

  ამტკიცებენ, რომ სამკუთხედისთვის პასუხი მაინც იგივეა ცენტროიდი, ე.ი. წერტილი, რომელიც წარმოიქმნება წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკით:

  

  სამკუთხედის საქმე: მტკიცებულება

  ჩვენ აქ ვაძლევთ ელემენტარულ მტკიცებულებას, რომელიც არ იყენებს ინტეგრალების თეორიას.

  პირველი ასეთი, წმინდა გეომეტრიული მტკიცებულება არქიმედესმა მოგვცა, მაგრამ ეს იყო ძალიან რთული, გეომეტრიული კონსტრუქციების დიდი რაოდენობით. აქ მოყვანილი მტკიცებულება აღებულია აპოსტოლის, მნაცაკანიანის სტატიიდან „ცენტროიდების იოლი გზის პოვნა“.

  მტკიცებულება მთავრდება იმის ჩვენებამდე, რომ სამკუთხედის მასის ცენტრი დევს ერთ მედიანაზე; ამ პროცესის კიდევ ორჯერ გამეორებით, ჩვენ ამით ვაჩვენებთ, რომ მასის ცენტრი დევს მედიანების გადაკვეთის წერტილში, რომელიც არის ცენტრი.

  მოდით გავყოთ ეს სამკუთხედი ოთხად, დავაკავშიროთ გვერდების შუა წერტილები, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე:

  

  შედეგად მიღებული ოთხი სამკუთხედი მსგავსია სამკუთხედის კოეფიციენტით.

  სამკუთხედები No1 და No2 ერთად ქმნიან პარალელოგრამს, რომლის მასის ცენტრი დევს მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში (რადგან ეს არის სიმეტრიული ფიგურა ორივე დიაგონალთან მიმართებაში, რაც ნიშნავს, რომ მისი მასის ცენტრი უნდა იყოს თითოეულ ორ დიაგონალზე). წერტილი არის No1 და No2 სამკუთხედების საერთო გვერდის შუაში და ასევე დევს სამკუთხედის მედიანაზე:

  

  ახლა მოდით ვექტორი იყოს ვექტორი, რომელიც გამოყვანილია წვეროდან No1 სამკუთხედის მასის ცენტრამდე, ხოლო ვექტორი იყოს ვექტორი, რომელიც შედგენილია წერტილიდან (რომელიც, გავიხსენოთ, არის გვერდის შუა წერტილი, რომელზეც ის მდებარეობს) :

  

  ჩვენი მიზანია ვაჩვენოთ, რომ ვექტორები და არის კოლინარული.

  აღნიშნეთ ის წერტილები, რომლებიც წარმოადგენს No3 და No4 სამკუთხედების მასის ცენტრებს. მაშინ, ცხადია, ამ ორი სამკუთხედის აგრეგატის მასის ცენტრი იქნება წერტილი, რომელიც არის სეგმენტის შუა წერტილი. უფრო მეტიც, ვექტორი წერტილიდან წერტილამდე იგივეა, რაც ვექტორი.

  სამკუთხედის მასის სასურველი ცენტრი დევს წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუაში და (რადგან სამკუთხედი დავყავით ორ თანაბარ ფართობებად: No1-No2 და No3-No4):

  

  ამრიგად, ვექტორი წვეროდან ცენტრისკენ არის . მეორე მხრივ, მას შემდეგ სამკუთხედი No1 მსგავსია სამკუთხედის კოეფიციენტით, მაშინ იგივე ვექტორი უდრის. აქედან ვიღებთ განტოლებას:

  

  საიდანაც ვპოულობთ:

  ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ვექტორები და არიან კოლინარული, რაც ნიშნავს, რომ სასურველი ცენტრი დევს წვეროდან გამომავალ მედიანაზე.

  უფრო მეტიც, გზაში ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ცენტროიდი ყოფს თითოეულ მედიანას ზემოდან დათვლის მიხედვით.

  მრავალკუთხედის საქმე

  ახლა გადავიდეთ ზოგად საქმეზე - ე.ი. შემთხვევისთვის მრავალკუთხედი. მისთვის ასეთი მსჯელობა აღარ გამოიყენება, ამიტომ პრობლემას ვამცირებთ სამკუთხედზე: კერძოდ, მრავალკუთხედს ვყოფთ სამკუთხედებად (ანუ სამკუთხედად), ვიპოვით თითოეული სამკუთხედის მასის ცენტრს და შემდეგ ვპოულობთ ცენტრს. მიღებული სამკუთხედების მასის ცენტრების მასა.

  საბოლოო ფორმულა ასეთია:

  

  სადაც არის --ე სამკუთხედის ცენტრი მოცემული მრავალკუთხედის სამკუთხედში, არის სამკუთხედის --ე სამკუთხედის ფართობი, არის მთელი მრავალკუთხედის ფართობი.

  ამოზნექილი მრავალკუთხედის სამკუთხედი ტრივიალური ამოცანაა: ამისათვის, მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ სამკუთხედები, სადაც .

  მრავალკუთხედის შემთხვევა: ალტერნატიული გზა

  მეორეს მხრივ, ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენება არც თუ ისე მოსახერხებელია არაამოზნექილი მრავალკუთხედები, რადგან მათი სამკუთხედი თავისთავად იოლი საქმე არ არის. მაგრამ ასეთი მრავალკუთხედებისთვის შეგიძლიათ უფრო მარტივი მიდგომა მოიფიქროთ. კერძოდ, დავხატოთ ანალოგია, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ თვითნებური მრავალკუთხედის ფართობი: არჩეულია თვითნებური წერტილი და შემდეგ შეჯამებულია ამ წერტილით წარმოქმნილი სამკუთხედების ნიშნები და მრავალკუთხედის წერტილები: . მსგავსი ტექნიკით შეიძლება ვიპოვოთ მასის ცენტრი: მხოლოდ ახლა შევაჯამებთ სამკუთხედების მასის ცენტრებს მათი ფართობის პროპორციული კოეფიციენტებით, ე.ი. საბოლოო ფორმულა მასის ცენტრისთვის არის:

  

  სადაც არის თვითნებური წერტილი, არის მრავალკუთხედის წერტილები, არის სამკუთხედის ცენტრი, არის ამ სამკუთხედის ნიშნის ფართობი, არის მთელი მრავალკუთხედის ნიშნის არე (ე.ი.).

  3D ქეისი: პოლიჰედრა

  ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსად, 3D-ში შეგვიძლია ვისაუბროთ ერთდროულად ოთხი შესაძლო პრობლემის შესახებ:

  • წერტილთა სისტემის მასის ცენტრი - მრავალწახნაგოვანი წვეროები.
  • ჩარჩოს მასის ცენტრი არის პოლიედრონის კიდეები.
  • ზედაპირის მასის ცენტრი - ე.ი. მასა ნაწილდება პოლიედრონის ზედაპირის ფართობზე.
  • მყარი მრავალედნის მასის ცენტრი - ე.ი. მასა ნაწილდება მთელ პოლიედრონზე.

  წერტილის მასის ცენტრი

  როგორც 2D შემთხვევაში, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფიზიკური ფორმულა და მივიღოთ იგივე შედეგი:

  რომელიც თანაბარი მასების შემთხვევაში გადაიქცევა ყველა წერტილის კოორდინატთა საშუალო არითმეტიკულად.

  პოლიედრონული ჩარჩოს მასის ცენტრი

  ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსად, ჩვენ უბრალოდ ვცვლით პოლიედრონის თითოეულ კიდეს მატერიალური წერტილით, რომელიც მდებარეობს ამ კიდის შუაში და ამ კიდის სიგრძის ტოლი მასით. მატერიალური წერტილების ამოცანის მიღების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ მისი ამოხსნა, როგორც ამ წერტილების კოორდინატების შეწონილი ჯამი.

  პოლიედრონის ზედაპირის მასის ცენტრი

  პოლიედრონის ზედაპირის თითოეული სახე არის ორგანზომილებიანი ფიგურა, რომლის მასის ცენტრი ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ. მასის ამ ცენტრების პოვნისას და თითოეული სახის მასის ცენტრით ჩანაცვლებით, ვიღებთ პრობლემას მატერიალური წერტილების შესახებ, რომლის გადაჭრაც უკვე ადვილია.

  მყარი პოლიედრონის მასის ცენტრი

  ტეტრაედრის საქმე

  როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ჩვენ ჯერ ვხსნით უმარტივეს პრობლემას - პრობლემას ტეტრაედრისთვის.

  ნათქვამია, რომ ტეტრაედრის მასის ცენტრი ემთხვევა მისი მედიანასების გადაკვეთის წერტილს (ტეტრაედრის მედიანა არის სეგმენტი, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან მოპირდაპირე სახის მასის ცენტრამდე; ამრიგად, ტეტრაედრის მედიანა. გადის წვეროზე და სამკუთხა სახის შუალედების გადაკვეთის წერტილში).

  რატომ არის ასე? ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსი მსჯელობა აქ სწორია: თუ ტეტრაედრონს დავჭრით ორ ტეტრაედრად ტეტრაედრის წვეროზე გამავალი სიბრტყით და საპირისპირო სახის ზოგიერთი მედიანა, მაშინ ორივე ტეტრაედარს ექნება იგივე მოცულობა (რადგან სამკუთხა სახე მედიანურით გაიყოფა ორ თანაბარი ფართობის ორ სამკუთხედად და ორი ტეტრაედრის სიმაღლე არ იცვლება). რამდენჯერმე გავიმეოროთ ეს მსჯელობა, მივიღებთ, რომ მასის ცენტრი დევს ტეტრაედონის შუალედების გადაკვეთის წერტილში.

  ამ წერტილს - ტეტრაედონის შუალედების გადაკვეთის წერტილს - ჰქვია მისი ცენტროიდი. შეიძლება აჩვენოს, რომ მას რეალურად აქვს კოორდინატები, რომლებიც ტოლია ტეტრაედრის წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის:

  

  (ეს შეიძლება დავასკვნათ იქიდან, რომ ცენტროიდი შუალედებს ყოფს)

  ამრიგად, არ არსებობს ფუნდამენტური განსხვავება ტეტრაედრის და სამკუთხედის შემთხვევებს შორის: წვეროების საშუალო არითმეტიკული წერტილის ტოლი არის მასის ცენტრი პრობლემის ორ ფორმულირებაში ერთდროულად: ორივე, როდესაც მასები მხოლოდ წვეროებზეა. და როდესაც მასები ნაწილდება მთელ ფართობზე / მოცულობაზე. სინამდვილეში, ეს შედეგი განზოგადებულია თვითნებურ განზომილებამდე: თვითნებური მასის ცენტრი მარტივი(სიმპლექსი) არის მისი წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

  თვითნებური პოლიედრონის შემთხვევა

  ახლა მივმართოთ ზოგად შემთხვევას, თვითნებური პოლიედრონის შემთხვევას.

  ისევ, როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ამ პრობლემას ვამცირებთ უკვე გადაწყვეტილამდე: ვყოფთ პოლიედრონს ტეტრაედრებად (ანუ ვაწყობთ მას ტეტრაედრონს), ვიპოვით თითოეული მათგანის მასის ცენტრს და ვიღებთ საბოლოო პასუხს. პრობლემა ნაპოვნი ცენტრების შეწონილი ჯამის სახით wt.

  განმარტება

  ნაწილაკების სისტემის განხილვისას ხშირად მოსახერხებელია ისეთი წერტილის პოვნა, რომელიც ახასიათებს განსახილველი სისტემის პოზიციას და მოძრაობას მთლიანობაში. ასეთი წერტილია გრავიტაციის ცენტრი.

  თუ გვაქვს ერთი და იგივე მასის ორი ნაწილაკი, მაშინ ასეთი წერტილი მათ შორის შუაშია.

  მასის კოორდინატების ცენტრი

  დავუშვათ, რომ ორი მატერიალური წერტილი $m_1$ და $m_2$ მასებით განლაგებულია x ღერძზე და აქვს $x_1$ და $x_2$ კოორდინატები. მანძილი ($\დელტა x$) ამ ნაწილაკებს შორის არის:

  \[\დელტა x=x_2-x_1\მარცხნივ(1\მარჯვნივ).\]

  განმარტება

  წერტილი C (ნახ. 1), რომელიც ამ ნაწილაკებს შორის მანძილს ნაწილაკების მასების უკუპროპორციულ სეგმენტებად ყოფს, ე.წ. მასის ცენტრინაწილაკების ეს სისტემა.

  ნახ. 1-ის განმარტების შესაბამისად, გვაქვს:

  \[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\მარცხენა(2\მარჯვნივ).\]

  სადაც $x_c$ არის მასის ცენტრის კოორდინატი, მაშინ მივიღებთ:

  ფორმულიდან (4) ვიღებთ:

  გამოთქმა (5) ადვილად განზოგადდება მატერიალური წერტილების სიმრავლისთვის, რომლებიც განლაგებულია თვითნებურად. ამ შემთხვევაში, მასის ცენტრის აბსციზა უდრის:

  ანალოგიურად, მიიღება გამონათქვამები მასის ცენტრის ორდინატების ($y_c$) და მისი აპლიკაციების ($z_c$):

  \ \

  ფორმულები (6-8) ემთხვევა გამონათქვამებს, რომლებიც განსაზღვრავენ სხეულის სიმძიმის ცენტრს. იმ შემთხვევაში, თუ სხეულის ზომები მცირეა დედამიწის ცენტრამდე დაშორებასთან შედარებით, სიმძიმის ცენტრი ითვლება, რომ ემთხვევა სხეულის მასის ცენტრს. უმეტეს პრობლემებში, სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა სხეულის მასის ცენტრს.

  თუ სისტემის N მატერიალური წერტილების პოზიცია მოცემულია ვექტორული სახით, მაშინ რადიუსი - ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს მასის ცენტრის პოზიციას, გვხვდება როგორც:

  \[(\ overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\მარცხნივ(9\მარჯვნივ).\]

  მასობრივი მოძრაობის ცენტრი

  მასის სიჩქარის ცენტრის გამოხატულება ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) არის:

  \( \წერტილები +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\მარჯვნივ),\]

  სადაც $\overline(P)$ არის ნაწილაკების სისტემის მთლიანი იმპულსი; $M$ არის სისტემის მასა. გამოთქმა (10) მოქმედებს სიჩქარით მოძრაობისთვის, რომელიც მნიშვნელოვნად ნაკლებია სინათლის სიჩქარეზე.

  თუ ნაწილაკების სისტემა დახურულია, მაშინ მისი ნაწილების მომენტების ჯამი არ იცვლება. ამიტომ, მასის ცენტრის სიჩქარე მუდმივი მნიშვნელობაა. ისინი ამბობენ, რომ დახურული სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ინერციით, ანუ სწორი ხაზით და თანაბრად და ეს მოძრაობა დამოუკიდებელია სისტემის შემადგენელი ნაწილების მოძრაობისგან. დახურულ სისტემაში შინაგან ძალებს შეუძლიათ იმოქმედონ; მათი მოქმედების შედეგად სისტემის ნაწილებს შეიძლება ჰქონდეთ აჩქარება. მაგრამ ეს გავლენას არ ახდენს მასის ცენტრის მოძრაობაზე. შინაგანი ძალების მოქმედებით, მასის ცენტრის სიჩქარე არ იცვლება.

  პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტით

  მაგალითი 1

  ვარჯიში.ჩამოწერეთ სამი ბურთის სისტემის მასის ცენტრის კოორდინატები, რომლებიც მდებარეობს ტოლგვერდა სამკუთხედის წვეროებზე და ცენტრში, რომლის გვერდი უდრის $b\ (m)$ (ნახ. 2).

  

  გამოსავალი.პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ გამონათქვამებს, რომლებიც განსაზღვრავენ მასის ცენტრის კოორდინატებს:

  \ \

  ნახ. 2-დან ვხედავთ, რომ წერტილების აბსციები:

  \[\მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(გ) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2);; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2); \\ m_4=4m,\ \ x_4=b. ).\]

  მაშინ ცენტრალური მასის აბსციზა უდრის:

  ვიპოვოთ პუნქტების ორდინატები.

  \[ \დაწყება(მასივი)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2); \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6); \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(მასივი)\მარცხნივ(2.4\მარჯვნივ).\]

  $y_2$ ორდინატის საპოვნელად, გამოვთვალოთ სიმაღლე ტოლგვერდა სამკუთხედში:

  ჩვენ ვპოულობთ ორდინატს $y_3$, გვახსოვდეს, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედში შუამავლები იყოფა გადაკვეთის წერტილზე ზემოდან 2:1 თანაფარდობით, მივიღებთ:

  გამოთვალეთ მასის ცენტრის ორდინატი:

  უპასუხე.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m

  მაგალითი 2

  ვარჯიში.დაწერეთ მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი.

  გამოსავალი.ნაწილაკების სისტემის იმპულსის ცვლილების კანონი არის მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი. ფორმულიდან:

  \[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\მარჯვნივ)\]

  $M$ მუდმივი მასისთვის, გამოსახვის ორივე ნაწილის დიფერენცირებით (2.1), მივიღებთ:

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\მარცხნივ(2.2\მარჯვნივ).\]

  გამოთქმა (2.2) ნიშნავს, რომ სისტემის იმპულსის ცვლილების სიჩქარე უდრის სისტემის მასისა და მისი მასის ცენტრის აჩქარების ნამრავლს. იმიტომ რომ

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\მარჯვნივ),)\]

  გამოთქმის (2.4) მიხედვით მივიღებთ, რომ სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ისევე, როგორც მოძრაობს M მასის ერთი მატერიალური წერტილი, თუ მასზე მოქმედებს ძალა, რომელიც ტოლია ყველა გარე ძალების ჯამის. ნაწილაკები, რომლებიც შედიან განსახილველ სისტემაში. თუ $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ მაშინ მასის ცენტრი მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად.

  ინტეგრალის კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ცხოვრებაში. ინტეგრალები გამოიყენება მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში. ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლილი ძირითადი ამოცანები არის ამოცანები:

  1. სხეულის მოცულობის პოვნა

  2. სხეულის მასის ცენტრის პოვნა.

  მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად. აქ და ქვემოთ, ზოგიერთი f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის აღსანიშნავად, ინტეგრაციის ლიმიტებით a-დან b-მდე, გამოვიყენებთ შემდეგ აღნიშვნას. ∫ a b f(x).

  სხეულის მოცულობის პოვნა

  განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა. დავუშვათ, არის სხეული, რომლის მოცულობა უდრის V-ს. ასევე არსებობს სწორი ხაზი, რომ თუ ავიღებთ გარკვეულ სიბრტყეს ამ სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად, ცნობილი გახდება ამ სხეულის განივი კვეთის ფართობი S ამ სიბრტყით.

  თითოეული ასეთი სიბრტყე იქნება x-ღერძის პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, გადაიკვეთება მას x-ის რაღაც წერტილში. ანუ, სეგმენტიდან თითოეულ x წერტილს მიენიჭება ნომერი S (x) - სხეულის განივი ფართობი, სიბრტყე, რომელიც გადის ამ წერტილში.

  გამოდის, რომ გარკვეული ფუნქცია S(x) მიეცემა სეგმენტზე. თუ ეს ფუნქცია უწყვეტია ამ სეგმენტზე, მაშინ მოქმედი იქნება შემდეგი ფორმულა:

  V = ∫ a b S(x)dx.

  ამ განცხადების დადასტურება სცილდება სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს.

  სხეულის მასის ცენტრის გამოთვლა

  მასის ცენტრი ყველაზე ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში. მაგალითად, არის სხეული, რომელიც მოძრაობს ნებისმიერი სიჩქარით. მაგრამ არასასიამოვნოა დიდი სხეულის განხილვა და, შესაბამისად, ფიზიკაში ეს სხეული განიხილება, როგორც წერტილის მოძრაობა, იმ ვარაუდით, რომ ამ წერტილს აქვს იგივე მასა, რაც მთელ სხეულს.

  და ამ საკითხში მთავარია სხეულის მასის ცენტრის გამოთვლის ამოცანა. რადგან სხეული დიდია და რომელი წერტილი უნდა მივიღოთ მასის ცენტრად? იქნებ სხეულის შუაში? ან იქნებ უახლოესი წერტილი წინა ზღვართან? სწორედ აქ მოდის ინტეგრაცია.

  შემდეგი ორი წესი გამოიყენება მასის ცენტრის მოსაძებნად:

  1. მატერიალური წერტილების ზოგიერთი სისტემის მასის ცენტრის x' კოორდინატი A1, A2,A3, … An მასებით m1, m2, m3, … mn, შესაბამისად, მდებარეობს სწორ ხაზზე x1, x2 კოორდინატების მქონე წერტილებში, x3, … xn გვხვდება შემდეგი ფორმულით:

  x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

  2. მასის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლისას განსახილველი ფიგურის ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება შეიცვალოს მატერიალური წერტილით, ფიგურის ამ ცალკეული ნაწილის მასის ცენტრში მოთავსებისას და მასა თანაბარი იყოს. ფიგურის ამ ნაწილის მასამდე.

  მაგალითად, თუ p(x) სიმკვრივის მასა განაწილებულია ღეროზე - Ox ღერძის სეგმენტი, სადაც p(x) უწყვეტი ფუნქციაა, მაშინ x' მასის ცენტრის კოორდინატი ტოლი იქნება.

  ნებისმიერი სხეული შეიძლება ჩაითვალოს მატერიალური წერტილების ერთობლიობად, რომლებიც, მაგალითად, შეიძლება მივიღოთ მოლეკულებად. მოდით, სხეული შედგება n მატერიალური წერტილისგან m1, m2, ...mn მასებით.

  სხეულის მასის ცენტრი, რომელიც შედგება n მატერიალური წერტილისგან, ეწოდება წერტილი (გეომეტრიული გაგებით), რომლის რადიუსის ვექტორი განისაზღვრება ფორმულით.:

  აქ R1 არის წერტილის რადიუსის ვექტორი i რიცხვით (i = 1, 2, ... n).

  ეს განმარტება უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ სინამდვილეში ის იძლევა მასის ცენტრის პოზიციას, რომლის შესახებაც ჩვენ გვაქვს ინტუიციური იდეა. მაგალითად, ღეროს მასის ცენტრი მის შუაში იქნება. ზემოთ მოყვანილი ფორმულის მნიშვნელში შემავალი ყველა წერტილის მასების ჯამს სხეულის მასა ეწოდება. სხეულის წონადაურეკა მისი ყველა წერტილის მასების ჯამი: m = m1 + m2 + ... + mn .

  

  სიმეტრიულ ერთგვაროვან სხეულებში, CM ყოველთვის მდებარეობს სიმეტრიის ცენტრში ან დევს სიმეტრიის ღერძზე, თუ ფიგურას არ აქვს სიმეტრიის ცენტრი. მასის ცენტრი შეიძლება განთავსდეს როგორც სხეულის შიგნით (დისკი, კვადრატი, სამკუთხედი), ასევე მის გარეთ (რგოლი, ჩარჩო, კვადრატი).

  ადამიანისთვის CM-ის პოზიცია დამოკიდებულია მიღებულ პოზაზე. ბევრ სპორტში წარმატების მნიშვნელოვანი კომპონენტია წონასწორობის შენარჩუნების უნარი. ასე რომ, ტანვარჯიშში, აკრობატიკაში

  ელემენტების დიდი რაოდენობა მოიცავს სხვადასხვა ტიპის ბალანსს. წონასწორობის შენარჩუნების უნარი მნიშვნელოვანია ფიგურულ სრიალში, სრიალში, სადაც საყრდენს ძალიან მცირე ფართობი აქვს.

  მოსვენებულ მდგომარეობაში მყოფი სხეულის წონასწორობის პირობებია ძალების ჯამის ნულის ერთდროული ტოლობა და სხეულზე მოქმედი ძალების მომენტების ჯამი.

  მოდით გავარკვიოთ რა პოზიცია უნდა დაიკავოს ბრუნვის ღერძმა, რათა მასზე დამაგრებული სხეული დარჩეს წონასწორობაში გრავიტაციის მოქმედებით. ამისთვის სხეულს დავყოფთ ბევრ პატარა ნაწილად და დავხატავთ მათზე მოქმედ მიზიდულობის ძალებს.

  

  მომენტების წესის შესაბამისად, წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ ყველა ამ ძალების მომენტების ჯამი ღერძის გარშემო იყოს ნულის ტოლი.

  შეიძლება აჩვენოს, რომ თითოეული სხეულისთვის არის უნიკალური წერტილი, სადაც ამ წერტილში გამავალი ნებისმიერი ღერძის გარშემო მიზიდულობის მომენტების ჯამი ნულის ტოლია. ამ წერტილს სიმძიმის ცენტრს უწოდებენ (ჩვეულებრივ, მასის ცენტრს ემთხვევა).

  სხეულის სიმძიმის ცენტრი (CG)დაურეკა წერტილი, რომლის შესახებაც სხეულის ყველა ნაწილაკზე მოქმედი მიზიდულობის მომენტების ჯამი ნულის ტოლია.

  ამრიგად, სიმძიმის ძალები არ იწვევს სხეულის ბრუნვას სიმძიმის ცენტრის გარშემო. მაშასადამე, მიზიდულობის ყველა ძალა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ძალით, რომელიც გამოიყენება ამ წერტილში და უდრის მიზიდულობის ძალას.

  სპორტსმენის სხეულის მოძრაობების შესასწავლად ხშირად შემოდის ტერმინი სიმძიმის საერთო ცენტრი (CGG). სიმძიმის ცენტრის ძირითადი თვისებები:

  თუ სხეული ფიქსირდება ღერძზე, რომელიც გადის სიმძიმის ცენტრში, მაშინ სიმძიმე არ გამოიწვევს მის ბრუნვას;

  სიმძიმის ცენტრი არის სიმძიმის გამოყენების წერტილი;

  ერთგვაროვან ველში, სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მასის ცენტრს.

  წონასწორობა არის სხეულის პოზიცია, რომელშიც მას შეუძლია დაისვენოს თვითნებურად დიდი ხნის განმავლობაში. როდესაც სხეული გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან, იცვლება მასზე მოქმედი ძალები და ირღვევა ძალთა ბალანსი.

  არსებობს სხვადასხვა სახის წონასწორობა (ნახ. 9). ჩვეულებრივ უნდა განვასხვავოთ წონასწორობის სამი ტიპი: სტაბილური, არასტაბილური და გულგრილი.

  სტაბილური წონასწორობა (ნახ. 9, ა) ხასიათდება იმით, რომ სხეული უბრუნდება თავდაპირველ მდგომარეობას მისი გადახრისას. ამ შემთხვევაში წარმოიქმნება ძალები, ან ძალების მომენტები, რომლებიც მიდრეკილნი არიან სხეულის თავდაპირველ მდგომარეობაში დაბრუნებაში. ამის მაგალითია სხეულის პოზიცია ზედა საყრდენით (მაგალითად, ჯვარედინი ზოლზე ჩამოკიდებული), როდესაც, ნებისმიერი გადახრის შემთხვევაში, სხეული მიდრეკილია დაუბრუნდეს საწყის მდგომარეობას.

  ინდიფერენტული წონასწორობა (ნახ. 9, ბ) ხასიათდება იმით, რომ როდესაც სხეულის პოზიცია იცვლება, არ არსებობს ძალები ან ძალების მომენტები, რომლებიც მიდრეკილნი არიან დააბრუნონ სხეული თავდაპირველ მდგომარეობაში ან კიდევ უფრო ამოიღონ სხეული მისგან. ეს იშვიათი მოვლენაა ადამიანებში. ამის მაგალითია უწონობის მდგომარეობა კოსმოსურ ხომალდზე.

  არასტაბილური წონასწორობა (ნახ. 9, გ) შეინიშნება, როდესაც სხეულის მცირე გადახრებით წარმოიქმნება ძალები ან ძალების მომენტები, რომლებიც მიდრეკილნი არიან სხეულის კიდევ უფრო გადახრისკენ საწყის პოზიციიდან. ასეთი შემთხვევა შეიძლება დაფიქსირდეს, როდესაც ადამიანი, რომელიც დგას ძალიან მცირე ფართობის საყრდენზე (მისი ორი ფეხის ფართობზე ან თუნდაც ერთი ფეხის ფართობზე ბევრად ნაკლები), გვერდზე გადაიხრება.

  სურათი 9 Სხეულის ბალანსი: სტაბილური (ა), გულგრილი (ბ), არასტაბილური (გ)

  

  ბიომექანიკაში სხეულების წონასწორობის ჩამოთვლილ ტიპებთან ერთად განიხილება წონასწორობის კიდევ ერთი ტიპი - შეზღუდული-სტაბილური. ამ ტიპის წონასწორობა გამოირჩევა იმით, რომ სხეულს შეუძლია დაუბრუნდეს საწყის მდგომარეობას, თუ იგი გადაიხრება მისგან გარკვეულ ზღვარამდე, მაგალითად, განსაზღვრული საყრდენი ზონის საზღვრით. თუ გადახრა აღემატება ამ ზღვარს, წონასწორობა ხდება არასტაბილური.

  ადამიანის სხეულის ბალანსის უზრუნველსაყოფად მთავარი ამოცანაა უზრუნველყოს, რომ სხეულის GCM პროექცია იყოს მხარდაჭერის არეალში. აქტივობის სახეობიდან (სტატიკური პოზიციის შენარჩუნება, სიარული, სირბილი და ა.შ.) და სტაბილურობის მოთხოვნების მიხედვით იცვლება მაკორექტირებელი მოქმედებების სიხშირე და სიჩქარე, მაგრამ წონასწორობის შენარჩუნების პროცესები იგივეა.

  მასის განაწილება ადამიანის სხეულში

  სხეულის მასა და ცალკეული სეგმენტების მასები ძალიან მნიშვნელოვანია ბიომექანიკის სხვადასხვა ასპექტისთვის. ბევრ სპორტში აუცილებელია ვიცოდეთ მასის განაწილება სავარჯიშოების შესრულების სწორი ტექნიკის შემუშავებისთვის. ადამიანის სხეულის მოძრაობების გასაანალიზებლად გამოიყენება სეგმენტაციის მეთოდი: იგი პირობითად იყოფა გარკვეულ სეგმენტებად. თითოეული სეგმენტისთვის განისაზღვრება მისი მასა და მასის ცენტრის პოზიცია. მაგიდაზე. 1 განსაზღვრავს სხეულის ნაწილების მასებს შედარებით ერთეულებში.

  ცხრილი 1. სხეულის ნაწილების მასები შედარებით ერთეულებში

  ხშირად მასის ცენტრის ცნების ნაცვლად სხვა ცნება გამოიყენება - სიმძიმის ცენტრი. სიმძიმის ერთგვაროვან ველში, სიმძიმის ცენტრი ყოველთვის ემთხვევა მასის ცენტრს. რგოლის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია მითითებულია, როგორც მისი მანძილი პროქსიმალური სახსრის ღერძიდან და გამოიხატება ერთეულის სახით აღებული ბმულის სიგრძესთან შედარებით.

  მაგიდაზე. 2 გვიჩვენებს სხეულის სხვადასხვა ნაწილების სიმძიმის ცენტრების ანატომიური პოზიცია.

  ცხრილი 2. სხეულის ნაწილების სიმძიმის ცენტრები

  Სხეულის ნაწილი	სიმძიმის ცენტრის პოზიცია
  ბარძაყი	ლინკის სიგრძე 0.44
  შინი	ლინკის სიგრძე 0.42
  მხრის	ლინკის სიგრძე 0.47
  წინამხარი	ლინკის სიგრძე 0.42
  ტორსი
  უფროსი
  ფუნჯი
  ფეხი
  მხრის	ლინკის სიგრძე 0.47
  წინამხარი	ლინკის სიგრძე 0.42
  ტორსი	0.44 მანძილი მხრის სახსრების განივი ღერძიდან ბარძაყის ღერძამდე
  უფროსი	მდებარეობს სპენოიდური ძვლის თურქული უნაგირების რეგიონში (პროექცია წინა მხრიდან წარბებს შორის, გვერდიდან - 3.0 - 3.5 გარე სასმენი არხის ზემოთ)
  ფუნჯი	მესამე მეტაკარპალური ძვლის თავის არეში
  ფეხი	სწორ ხაზზე, რომელიც აკავშირებს კალკანის ტუბერკულოზის მეორე თითის ბოლოს პირველი წერტილიდან 0,44 დაშორებით.
  სიმძიმის ზოგადი ცენტრი სხეულის ვერტიკალურ მდგომარეობაში	განლაგებულია მენჯის არეში მთავარ პოზიციაზე, სასის წინ