ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

გაზომეთ ყველა საჭირო მანძილი მეტრებში.მრავალი სამგანზომილებიანი ფიგურის მოცულობა მარტივია გამოითვალოს შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით. ამასთან, ფორმულებში ჩანაცვლებული ყველა მნიშვნელობა უნდა გაიზომოს მეტრებში. ამრიგად, მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებამდე, დარწმუნდით, რომ ისინი ყველა გაზომილია მეტრებში, ან რომ თქვენ გადააქციეთ სხვა საზომი ერთეულები მეტრებად.

• 1 მმ = 0,001 მ
• 1 სმ = 0,01 მ
• 1 კმ = 1000 მ

მართკუთხა ფორმის მოცულობის გამოსათვლელად (მართკუთხა ყუთი, კუბი) გამოიყენეთ ფორმულა: მოცულობა = L × W × H(სიგრძე გამრავლებული სიგანეზე სიმაღლეზე). ეს ფორმულა შეიძლება ჩაითვალოს ფიგურის ერთ-ერთი სახის ზედაპირის ფართობის და ამ სახის პერპენდიკულარული კიდის ნამრავლად.

• მაგალითად, გამოვთვალოთ ოთახის მოცულობა, რომლის სიგრძეა 4 მ, სიგანე 3 მ და სიმაღლე 2,5 მ. ამისათვის უბრალოდ გავამრავლოთ სიგრძე სიგანეზე სიმაღლეზე:
  • 4×3×2.5
  • = 12 × 2.5
  • = 30. ამ ოთახის მოცულობა არის 30 მ 3.
• კუბი არის სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელშიც ყველა მხარე თანაბარია. ამრიგად, კუბის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც: მოცულობა \u003d L 3 (ან W 3, ან H 3).

ცილინდრის სახით ფიგურების მოცულობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა: პი× R 2 × H. ცილინდრის მოცულობის გაანგარიშება მცირდება მრგვალი ფუძის ფართობის გამრავლებაზე ცილინდრის სიმაღლეზე (ან სიგრძეზე). იპოვეთ წრიული ფუძის ფართობი რიცხვის pi (3.14) გამრავლებით წრის რადიუსის კვადრატზე (R) (რადიუსი არის მანძილი წრის ცენტრიდან ამ წრეზე მდებარე ნებისმიერ წერტილამდე). შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი ცილინდრის სიმაღლეზე (H) და იპოვით ცილინდრის მოცულობას. ყველა მნიშვნელობა იზომება მეტრებში.

• მაგალითად, გამოვთვალოთ ჭაბურღილის მოცულობა 1,5 მ დიამეტრის და 10 მ სიღრმის, დიამეტრი გავყოთ 2-ზე რადიუსის მისაღებად: 1,5/2=0,75 მ.
  • (3.14) × 0.75 2 × 10
  • = (3.14) × 0.5625 × 10
  • = 17.66. ჭაბურღილის მოცულობა არის 17,66 მ3.

სფეროს მოცულობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა: 4/3 x პი× R3. ანუ, თქვენ მხოლოდ უნდა იცოდეთ ბურთის რადიუსი (R).

• მაგალითად, გამოვთვალოთ 10 მ დიამეტრის ბუშტის მოცულობა, დიამეტრი გავყოთ 2-ზე რადიუსის მისაღებად: 10/2=5 მ.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3.14) x 125
  • = 4.189 × 125
  • = 523.6. ბუშტის მოცულობა არის 523.6 მ 3.

კონუსის სახით ფიგურების მოცულობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა: 1/3 x პი× R 2 × H. კონუსის მოცულობა არის ცილინდრის მოცულობის 1/3, რომელსაც აქვს იგივე სიმაღლე და რადიუსი.

• მაგალითად, გამოვთვალოთ ნაყინის კონუსის მოცულობა 3 სმ რადიუსით და 15 სმ სიმაღლით, მეტრზე გადაყვანით მივიღებთ: შესაბამისად: 0,03 მ და 0,15 მ.
  • 1/3 x (3.14) x 0.03 2 x 0.15
  • = 1/3 x (3.14) x 0.0009 x 0.15
  • = 1/3 × 0.0004239
  • = 0.000141. ნაყინის კონუსის მოცულობა არის 0.000141 მ 3.

გამოიყენეთ რამდენიმე ფორმულა არარეგულარული ფორმების მოცულობის გამოსათვლელად.ამისათვის შეეცადეთ დაარღვიოთ ფიგურა სწორი ფორმის რამდენიმე ფორმაში. შემდეგ იპოვეთ თითოეული ასეთი ფიგურის მოცულობა და შეაჯამეთ შედეგები.

• მაგალითად, გამოვთვალოთ პატარა მარცვლეულის მოცულობა. სათავსს აქვს ცილინდრული კორპუსი 12 მ სიმაღლისა და რადიუსის 1,5 მ. სათავსს ასევე აქვს კონუსური სახურავი 1 მ სიმაღლით. სახურავის მოცულობის და კორპუსის მოცულობის ცალკე გამოთვლით შეგვიძლია ვიპოვოთ მთლიანი მოცულობა. მარცვალი:
  • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
  • (3.14) x 1.5 2 x 12 + 1/3 x (3.14) x 1.5 2 x 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3.14) × 27 + 1/3 x (3.14) × 2.25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87.178. მარცვლეულის მოცულობა არის 87.178 მ3.

ნებისმიერი გეომეტრიული სხეული შეიძლება დახასიათდეს ზედაპირის ფართობით (S) და მოცულობით (V). ფართობი და მოცულობა არ არის იგივე. ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს შედარებით პატარა V და დიდი S, მაგალითად, ასე მუშაობს ადამიანის ტვინი. მარტივი გეომეტრიული ფორმებისთვის ამ მაჩვენებლების გამოთვლა ბევრად უფრო ადვილია.

პარალელეპიპედი: განმარტება, ტიპები და თვისებები

პარალელეპიპედი არის ოთხკუთხა პრიზმა, რომლის ფუძეზე პარალელოგრამია. რატომ შეიძლება დაგჭირდეთ ფორმულა ფიგურის მოცულობის საპოვნელად? მსგავსი ფორმა აქვს წიგნებს, შესაფუთ ყუთებს და ბევრ სხვა ნივთს ყოველდღიური ცხოვრებიდან. საცხოვრებელ და საოფისე შენობებში ოთახები, როგორც წესი, მართკუთხა პარალელეპიპედებია. ვენტილაციის, კონდიცირების დასაყენებლად და ოთახში გათბობის ელემენტების რაოდენობის დასადგენად აუცილებელია ოთახის მოცულობის გამოთვლა.

ფიგურას აქვს 6 სახე - პარალელოგრამები და 12 კიდეები, ორ თვითნებურად შერჩეულ სახეს ეწოდება ფუძე. პარალელეპიპედი შეიძლება იყოს რამდენიმე ტიპის. განსხვავებები გამოწვეულია მეზობელ კიდეებს შორის კუთხით. სხვადასხვა მრავალკუთხედის V-ების პოვნის ფორმულები ოდნავ განსხვავებულია.

თუ გეომეტრიული ფიგურის 6 სახე მართკუთხედია, მაშინ მას მართკუთხასაც უწოდებენ. კუბი არის პარალელეპიპედის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც ექვსივე სახე თანაბარი კვადრატია. ამ შემთხვევაში, V-ის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ერთი მხარის სიგრძე და აწიოთ იგი მესამე ხარისხზე.

პრობლემების გადასაჭრელად დაგჭირდებათ ცოდნა არა მხოლოდ მზა ფორმულების, არამედ ფიგურის თვისებების შესახებ. მართკუთხა პრიზმის ძირითადი თვისებების ჩამონათვალი მცირეა და ძალიან ადვილად გასაგები:

1. ფიგურის საპირისპირო სახეები თანაბარი და პარალელურია. ეს ნიშნავს, რომ მოპირდაპირე მდებარე ნეკნები სიგრძით და დახრილობის კუთხით ერთნაირია.
2. მართი პარალელეპიპედის ყველა გვერდითი სახე მართკუთხედია.
3. გეომეტრიული ფიგურის ოთხი ძირითადი დიაგონალი იკვეთება ერთ წერტილში და ყოფს მას შუაზე.
4. პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის ფიგურის ზომების კვადრატების ჯამს (გამოდის პითაგორას თეორემიდან).

პითაგორას თეორემანათქვამია, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის იმავე სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული სამკუთხედის ფართობს.

ბოლო ქონების დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ იხილოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე. პრობლემის გადაჭრის კურსი მარტივია და არ საჭიროებს დეტალურ განმარტებებს.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის ფორმულა

ყველა ტიპის გეომეტრიული ფორმის პოვნის ფორმულა იგივეა: V=S*h, სადაც V არის სასურველი მოცულობა, S არის პარალელეპიპედის ფუძის ფართობი, h არის საპირისპირო წვეროდან დაშვებული სიმაღლე და პერპენდიკულარული. ბაზამდე. მართკუთხედში h ემთხვევა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, ამიტომ მართკუთხა პრიზმის მოცულობის საპოვნელად საჭიროა სამი გაზომვის გამრავლება.

მოცულობა ჩვეულებრივ გამოხატულია სმ3-ში. სამივე a, b და c მნიშვნელობის ცოდნა, ფიგურის მოცულობის პოვნა სულაც არ არის რთული. USE-ში პრობლემის ყველაზე გავრცელებული ტიპია პარალელეპიპედის მოცულობის ან დიაგონალის ძიება. შეუძლებელია USE-ის მრავალი ტიპიური ამოცანის ამოხსნა მართკუთხედის მოცულობის ფორმულის გარეშე. დავალების მაგალითი და მისი გადაწყვეტის დიზაინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შენიშვნა 1. მართკუთხა პრიზმის ზედაპირის ფართობის პოვნა შესაძლებელია ფიგურის სამი სახის ფართობების ჯამის 2-ზე გამრავლებით: ფუძის (ab) და ორი მიმდებარე გვერდითი (bc + ac).

შენიშვნა 2. გვერდითი სახეების ზედაპირის ფართობი მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ბაზის პერიმეტრის პარალელეპიპედის სიმაღლეზე გამრავლებით.

პარალელეპიპედების პირველი თვისებიდან გამომდინარე, AB = A1B1 და სახე B1D1 = BD. პითაგორას თეორემის შედეგების მიხედვით, მართკუთხა სამკუთხედში ყველა კუთხის ჯამი უდრის 180 °-ს, ხოლო 30 ° კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზას. ამ ცოდნის გამოყენებით სამკუთხედისთვის, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ AB და AD გვერდების სიგრძე. შემდეგ ვამრავლებთ მიღებულ მნიშვნელობებს და ვიანგარიშებთ პარალელეპიპედის მოცულობას.

დახრილი ყუთის მოცულობის პოვნის ფორმულა

დახრილი პარალელეპიპედის მოცულობის საპოვნელად აუცილებელია ფიგურის ფუძის ფართობის გამრავლება საპირისპირო კუთხიდან ამ ბაზაზე დაშვებულ სიმაღლეზე.

ამრიგად, სასურველი V შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც h - ფურცლების რაოდენობა ფუძის S ფართობით, ამიტომ გემბანის მოცულობა შედგება ყველა კარტის V-ებისგან.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

ერთჯერადი გამოცდის ამოცანები უნდა შესრულდეს განსაზღვრულ ვადაში. ტიპიური ამოცანები, როგორც წესი, არ შეიცავს დიდი რაოდენობით გამოთვლებს და რთულ წილადებს. ხშირად სტუდენტს სთავაზობენ როგორ იპოვონ არარეგულარული გეომეტრიული ფიგურის მოცულობა. ასეთ შემთხვევებში უნდა გახსოვდეთ მარტივი წესი, რომ მთლიანი მოცულობა უდრის შემადგენელი ნაწილების V-ების ჯამს.

როგორც ზემოთ მოყვანილი სურათის მაგალითიდან ხედავთ, მსგავსი პრობლემების გადაჭრაში რთული არაფერია. უფრო რთული მონაკვეთებიდან ამოცანები მოითხოვს პითაგორას თეორემისა და მისი შედეგების ცოდნას, ასევე ფიგურის დიაგონალის სიგრძის ფორმულას. სატესტო ამოცანების წარმატებით გადასაჭრელად, საკმარისია წინასწარ გაეცნოთ ტიპიური ამოცანების ნიმუშებს.

ზოგადი მიმოხილვა. სტერეომეტრიის ფორმულები!

გამარჯობა ძვირფასო მეგობრებო! ამ სტატიაში გადავწყვიტე ზოგადი მიმოხილვა გამეკეთებინა სტერეომეტრიის პრობლემებზე, რაც იქნება გამოყენება მათემატიკაშიე) უნდა ითქვას, რომ ამ ჯგუფის ამოცანები საკმაოდ მრავალფეროვანია, მაგრამ არა რთული. ეს არის ამოცანები გეომეტრიული სიდიდეების მოსაძებნად: სიგრძე, კუთხე, ფართობი, მოცულობა.

განიხილება: კუბი, მართკუთხა პარალელეპიპედი, პრიზმა, პირამიდა, რთული პოლიედონი, ცილინდრი, კონუსი, ბურთი. სამწუხაროა, რომ ზოგიერთი კურსდამთავრებული თავად გამოცდაზეც კი არ იღებს ასეთ დავალებებს, თუმცა 50%-ზე მეტი ელემენტარულად, თითქმის სიტყვიერად წყდება.

დანარჩენი მოითხოვს მცირე ძალისხმევას, ცოდნას და სპეციალურ ტექნიკას. მომავალ სტატიებში განვიხილავთ ამ ამოცანებს, არ გამოტოვოთ, გამოიწერეთ ბლოგის განახლება.

გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის ფორმულებიპარალელეპიპედი, პირამიდა, პრიზმა, ცილინდრი, კონუსი და სფერო. არ არსებობს რთული ამოცანები, ისინი ყველა წყდება 2-3 ეტაპად, მნიშვნელოვანია „ვნახოთ“ რა ფორმულის გამოყენებაა საჭირო.

ყველა საჭირო ფორმულა წარმოდგენილია ქვემოთ:

ბურთი ან სფერო. სფერული ან სფერული ზედაპირი (ზოგჯერ უბრალოდ სფერო) არის წერტილების ადგილი სივრცეში, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული ერთი წერტილიდან - ბურთის ცენტრიდან.

ბურთის მოცულობაუდრის პირამიდის მოცულობას, რომლის ფუძეს აქვს იგივე ფართობი, როგორც ბურთის ზედაპირი, ხოლო სიმაღლე არის ბურთის რადიუსი.

სფეროს მოცულობა ერთნახევარჯერ ნაკლებია მის გარშემო შემოხაზული ცილინდრის მოცულობაზე.

მრგვალი კონუსის მიღება შესაძლებელია მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის მობრუნებით, ამიტომ მრგვალ კონუსს ასევე უწოდებენ რევოლუციის კონუსს. აგრეთვე იხილეთ წრიული კონუსის ზედაპირის ფართობი

მრგვალი კონუსის მოცულობაუდრის S ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამედს და H სიმაღლეს:

(H - კუბის კიდის სიმაღლე)

პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედს აქვს ექვსი სახე და ყველა მათგანი პარალელოგრამია. პარალელეპიპედს, რომლის ოთხი გვერდითი მხარე მართკუთხედია, მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდება. მარჯვენა უჯრას, რომელშიც ექვსივე სახე მართკუთხედია, მართკუთხა ყუთი ეწოდება.

კუბოიდის მოცულობაუდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს:

(S არის პირამიდის ფუძის ფართობი, h არის პირამიდის სიმაღლე)

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენი - გვერდითი სახეები - სამკუთხედები საერთო წვერით, რომელსაც ეწოდება პირამიდის მწვერვალი.

პირამიდის ფუძის პარალელური მონაკვეთი პირამიდას ორ ნაწილად ყოფს. პირამიდის ნაწილი მის ფუძესა და ამ მონაკვეთს შორის არის დამსხვრეული პირამიდა.

შეკვეცილი პირამიდის მოცულობაუდრის სიმაღლის ნამრავლის მესამედს სთ (OS)ზედა ფუძის ფართობების ჯამით S1 (abcde), დამსხვრეული პირამიდის ქვედა ფუძე S2 (ABCD)და მათ შორის საშუალო პროპორციული.

1.

ვ=

n - რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა - წესიერი პირამიდის ფუძეები
a - რეგულარული მრავალკუთხედის მხარე - რეგულარული პირამიდის ფუძეები
h - რეგულარული პირამიდის სიმაღლე

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - რეგულარული სამკუთხედი, ხოლო დანარჩენი - გვერდითი სახეები - ტოლი სამკუთხედები საერთო წვერით. სიმაღლე ზემოდან ეშვება ფუძის ცენტრში.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობაუდრის ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის ნამრავლის მესამედს, რომელიც არის ფუძე S (ABC)სიმაღლემდე სთ (OS)

a - რეგულარული სამკუთხედის გვერდი - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძეები
h - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე

ტეტრაედრის მოცულობის ფორმულის წარმოშობა

ტეტრაედრის მოცულობა გამოითვლება პირამიდის მოცულობის კლასიკური ფორმულით. აუცილებელია ტეტრაედრის სიმაღლე და რეგულარული (ტოლგვერდა) სამკუთხედის ფართობის ჩანაცვლება მასში.

ტეტრაედრის მოცულობა- უდრის წილადს, რომლის მრიცხველში ორი ფესვის კვადრატული ფესვი არის თორმეტი, გამრავლებული ტეტრაედონის კიდის სიგრძის კუბზე.

(h არის რომბის მხარის სიგრძე)

გარშემოწერილობა გვარის დაახლოებით სამი მთლიანი და ერთი მეშვიდე სიგრძის წრის დიამეტრი. წრის გარშემოწერილობის ზუსტი თანაფარდობა მის დიამეტრთან აღინიშნება ბერძნული ასოებით π

შედეგად, წრის პერიმეტრი ან წრის გარშემოწერილობა გამოითვლება ფორმულით

π rn

(r არის რკალის რადიუსი, n არის რკალის ცენტრალური კუთხე გრადუსებში.)