განვიხილოთ მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდი y \u003d f (x) და ორი სწორი ხაზი: x \u003d a და x \u003d b (ნახ. 85). აიღეთ x-ის თვითნებური მნიშვნელობა (მხოლოდ არა a და არა b). მოდით მივცეთ მას ნამატი h = dx და განვიხილოთ ზოლი, რომელიც შემოიფარგლება სწორი ხაზებით AB და CD, Ox ღერძით და BD რკალით, რომელიც განსახილველ მრუდს ეკუთვნის. ამ ზოლს ელემენტარული ზოლი დაერქმევა. ელემენტარული ზოლის ფართობი განსხვავდება ACQB მართკუთხედის ფართობისგან მრუდი სამკუთხედით BQD, ხოლო ამ უკანასკნელის ფართობი ნაკლებია BQDM მართკუთხედის ფართობზე BQ = =h= გვერდებით. dx) QD=Ay და ფართობი ტოლია hAy = Ay dx. როგორც h გვერდი მცირდება, ასევე მცირდება გვერდი Du და h-სთან ერთად ნულისკენ მიისწრაფვის. ამრიგად, BQDM-ის ფართობი არის მეორე რიგის უსასრულოდ მცირე. ელემენტარული ზოლის ფართობი არის ფართობის ზრდა, ხოლო ACQB მართკუთხედის ფართობი, AB-AC==/(x) dx> არის ფართობის დიფერენციალი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვპოულობთ თავად არეალს მისი დიფერენციალის ინტეგრირებით. განსახილველი ფიგურის ფარგლებში დამოუკიდებელი ცვლადი l: იცვლება a-დან b-მდე, ამიტომ საჭირო ფართობი 5 იქნება 5= \f (x) dx-ის ტოლი. (I) მაგალითი 1. გამოთვალეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფართობი y - 1 -x *, სწორი ხაზები X \u003d - Fj-, x \u003d 1 და ღერძი O * (სურ. 86). ნახ. 87. ნახ. 86. 1 აქ f(x) = 1 - l?, ინტეგრაციის ზღვრები a = - და t = 1, შესაბამისად 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* მაგალითი 2. გამოთვალეთ სინუსოიდით შემოსაზღვრული ფართობი. y = sinXy, Ox ღერძი და სწორი ხაზი (სურ. 87). ფორმულის (I) გამოყენებით ვიღებთ L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf მაგალითი 3. გამოთვალეთ ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია სინუსოიდის რკალით ^y \ u003d sin jc შემოსაზღვრულია ორ მიმდებარე გადაკვეთის წერტილს შორის Ox ღერძით (მაგალითად, საწყისსა და აბსცისის i წერტილს შორის). გაითვალისწინეთ, რომ გეომეტრიული მოსაზრებებიდან ირკვევა, რომ ეს ტერიტორია ორჯერ იქნება წინა მაგალითის ფართობზე. თუმცა, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o მართლაც, ჩვენი ვარაუდი სამართლიანი აღმოჩნდა. მაგალითი 4. გამოთვალეთ სინუსოიდით და ^ ღერძი Ox-ით შემოსაზღვრული ფართობი ერთ წერტილზე (სურ. 88). წინასწარი ras-ფიგურების შეფასებები ვარაუდობს, რომ ფართობი აღმოჩნდება ოთხჯერ უფრო დიდი ვიდრე pr-ში 2. თუმცა, გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. ეს შედეგი დაზუსტებას მოითხოვს. საკითხის არსის გასარკვევად, ჩვენ ასევე გამოვთვალეთ იგივე სინუსოიდით y \u003d sin l შემოსაზღვრული ფართობი: და Ox ღერძი მერყეობს l-დან 2n-მდე. ფორმულის (I) გამოყენებით ვიღებთ ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს სფერო უარყოფითი აღმოჩნდა. მაგალით 3-ში გამოთვლილ ფართობთან შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ მათი აბსოლუტური მნიშვნელობები იგივეა, მაგრამ ნიშნები განსხვავებულია. თუ გამოვიყენებთ V თვისებას (იხ. თავი XI, § 4), მაშინ შემთხვევით მივიღებთ. ყოველთვის x ღერძის ქვემოთ მდებარე ფართობი, იმ პირობით, რომ დამოუკიდებელი ცვლადი იცვლება მარცხნიდან მარჯვნივ, მიიღება უარყოფითი ინტეგრალის გამოყენებით. ამ კურსში ჩვენ ყოველთვის განვიხილავთ ხელმოუწერელ უბნებს. ამიტომ, ახლახან გაანალიზებულ მაგალითში პასუხი იქნება შემდეგი: სასურველი ფართობი არის 2 + |-2| = 4. მაგალითი 5. გამოვთვალოთ BAB-ის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 89. ეს ფართობი შემოიფარგლება Ox ღერძით, პარაბოლით y = - xr და სწორი ხაზით y - = -x + \. მრუდი ტრაპეციის ფართობი OAB-ის საჭირო ფართობი შედგება ორი ნაწილისგან: OAM და MAB. ვინაიდან A წერტილი არის პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი, ჩვენ ვიპოვით მის კოორდინატებს 3 2 Y \u003d mx განტოლებების სისტემის ამოხსნით. (მხოლოდ A წერტილის აბსცისა უნდა ვიპოვოთ). სისტემის ამოხსნისას ვპოულობთ l; =~. ამიტომ ფართობი უნდა გამოითვალოს ნაწილებად, პირველი pl. OAM და შემდეგ pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (მრუდი ტრაპეციის ფუძე) n თანაბარ ნაწილად; ეს დანაყოფი შესაძლებელია x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 წერტილების დახმარებით . მოდით გავავლოთ ხაზები ამ წერტილებში y-ღერძის პარალელურად. შემდეგ მოცემული მრუდი ტრაპეცია დაიყოფა n ნაწილად, n ვიწრო სვეტად. მთელი ტრაპეციის ფართობი უდრის სვეტების ფართობების ჯამს.

ცალკე განვიხილოთ k-ე სვეტი, ე.ი. მრგვალი ტრაპეცია, რომლის ფუძე არის სეგმენტი. შევცვალოთ ის მართკუთხედით იგივე ფუძით და სიმაღლით f(x k)-ის ტოლი (იხ. სურათი). მართკუთხედის ფართობი არის \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), სადაც \(\Delta x_k \) არის სეგმენტის სიგრძე; ბუნებრივია, რომ შედგენილი პროდუქტი განიხილებოდეს, როგორც k-ე სვეტის ფართობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

თუ ახლა იგივეს გავაკეთებთ ყველა სხვა სვეტთან, მაშინ მივიღებთ შემდეგ შედეგს: მოცემული მრუდი ტრაპეციის S ფართობი დაახლოებით ტოლია n მართკუთხედისგან შემდგარი საფეხურიანი ფიგურის ფართობის S n (იხ. სურათი):
\(S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + \წერტილები + f(x_k)\დელტა x_k + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) \)
აქ, აღნიშვნის ერთგვაროვნების მიზნით, მიგვაჩნია, რომ a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\დელტა x_0 \) - სეგმენტის სიგრძე , \(\დელტა x_1 \) - სეგმენტის სიგრძე და ა.შ. ხოლო, როგორც ზემოთ შევთანხმდით, \(\დელტა x_0 = \წერტილები = \დელტა x_(n-1) \)

ასე რომ, \(S \დაახლოებით S_n \), და ეს სავარაუდო ტოლობა რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო დიდია n.
განმარტებით, ითვლება, რომ მრუდი ტრაპეციის სასურველი ფართობი უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ S = \lim_(n \ to \infty) S_n $$

დავალება 2(პუნქტის გადატანის შესახებ)
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით. სიჩქარის დროზე დამოკიდებულება გამოიხატება ფორმულით v = v(t). იპოვეთ წერტილის გადაადგილება დროის ინტერვალზე [a; ბ].
გადაწყვეტილება.მოძრაობა ერთგვაროვანი რომ ყოფილიყო, მაშინ პრობლემა ძალიან მარტივად გადაიჭრებოდა: s = vt, ე.ი. s = v(b-a). არათანაბარი მოძრაობისთვის უნდა გამოვიყენოთ იგივე იდეები, რომლებსაც ეყრდნობოდა წინა პრობლემის გადაწყვეტა.
1) გაყავით დროის ინტერვალი [a; b] n თანაბარ ნაწილად.
2) განვიხილოთ დროის ინტერვალი და ჩავთვალოთ, რომ ამ დროის ინტერვალის განმავლობაში სიჩქარე იყო მუდმივი, მაგალითად t k დროს. ასე რომ, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ v = v(t k).
3) იპოვნეთ წერტილის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა დროის ინტერვალზე, ეს მიახლოებითი მნიშვნელობა აღინიშნა s k-ით
\(s_k = v(t_k) \დელტა t_k \)
4) იპოვეთ s-ის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა:
\(s \დაახლოებით S_n \) სადაც
\(S_n = s_0 + \წერტილები + s_(n-1) = v(t_0)\დელტა t_0 + \წერტილები + v(t_(n-1)) \დელტა t_(n-1) \)
5) საჭირო გადაადგილება უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ s = \lim_(n \ to \infty) S_n $$

შევაჯამოთ. სხვადასხვა ამოცანების ამონახსნები დაყვანილ იქნა იმავე მათემატიკურ მოდელზე. მრავალი პრობლემა მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა სფეროდან ერთსა და იმავე მოდელამდე მიგვიყვანს გადაჭრის პროცესში. ასე რომ, ეს მათემატიკური მოდელი სპეციალურად უნდა იყოს შესწავლილი.

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება

მოდით მივცეთ მოდელის მათემატიკური აღწერა, რომელიც აშენდა სამ განხილულ ამოცანებში ფუნქციისთვის y = f(x), რომელიც არის უწყვეტი (მაგრამ არა აუცილებლად არაუარყოფითი, როგორც ეს იყო გათვალისწინებული განხილულ ამოცანებში) სეგმენტზე [ ა; ბ]:
1) სეგმენტის გაყოფა [a; b] n თანაბარ ნაწილად;
2) ჯამი $$ S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + f(x_1)\დელტა x_1 + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) $$
3) გამოთვალეთ $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ეს ზღვარი არსებობს უწყვეტი (ან ნაწილებად უწყვეტი) ფუნქციის შემთხვევაში. მას ეძახიან y = f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი [a; ბ]და აღინიშნება ასე:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
რიცხვებს a და b ეწოდება ინტეგრაციის ზღვრები (ქვედა და ზედა, შესაბამისად).

დავუბრუნდეთ ზემოთ განხილულ ამოცანებს. პრობლემა 1-ში მოცემული ფართობის განმარტება ახლა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
აქ S არის მრგვალი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. Ეს არის ის, რაც განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

2-ე ამოცანაში მოცემული t = a-დან t=b-მდე დროის ინტერვალით v = v(t) სწორი ხაზით მოძრავი წერტილის s გადაადგილების განმარტება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ნიუტონი - ლაიბნიცის ფორმულა

დასაწყისისთვის, მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა კავშირია განსაზღვრულ ინტეგრალსა და ანტიწარმოებულს შორის?

პასუხი შეგიძლიათ იხილოთ ამოცანა 2-ში. ერთის მხრივ, წერტილის გადაადგილება s, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით v = v(t) სიჩქარით დროის ინტერვალით t ​​= a-დან t = b-მდე და გამოითვლება ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

მეორე მხრივ, მოძრავი წერტილის კოორდინატი არის სიჩქარის ანტიდერივატი - ავღნიშნოთ ის s(t); აქედან გამომდინარე, გადაადგილება s გამოიხატება ფორმულით s = s(b) - s(a). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
სადაც s(t) არის v(t) ანტიწარმოებული.

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა შემდეგი თეორემა.
თეორემა. თუ ფუნქცია y = f(x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; b], შემდეგ ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
სადაც F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული.

ამ ფორმულას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაინგლისელი ფიზიკოსის ისააკ ნიუტონის (1643-1727) და გერმანელი ფილოსოფოსის გოტფრიდ ლაიბნიცის (1646-1716) პატივსაცემად, რომლებმაც იგი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიიღეს.

პრაქტიკაში, ნაცვლად იმისა, რომ დაწერონ F(b) - F(a), იყენებენ აღნიშვნას \(\left. F(x)\right|_a^b \) (მას ზოგჯერ უწოდებენ ორმაგი ჩანაცვლება) და, შესაბამისად, გადაწერეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ამ ფორმით:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \მარცხნივ. F(x)\მარჯვნივ|_a^b \)

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლით, ჯერ იპოვნეთ ანტიწარმოებული და შემდეგ განახორციელეთ ორმაგი ჩანაცვლება.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის საფუძველზე შეიძლება მივიღოთ განსაზღვრული ინტეგრალის ორი თვისება.

საკუთრება 1.ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

სიბრტყე ფიგურების ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით

ინტეგრალის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ არა მხოლოდ მრუდი ტრაპეციის, არამედ უფრო რთული ტიპის სიბრტყე ფიგურების ფართობი, როგორიცაა ნახატზე ნაჩვენები. P ფიგურა შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x = a, x = b და უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკები y = f(x), y = g(x) და სეგმენტზე [a; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) მოქმედებს. ასეთი ფიგურის S ფართობის გამოსათვლელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ასე რომ, ფიგურის S ფართობი შემოსაზღვრული სწორი ხაზებით x = a, x = b და y = f(x), y = g(x) ფუნქციების გრაფიკები, უწყვეტი სეგმენტზე და ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის სეგმენტი [ა; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) დაკმაყოფილებულია, გამოითვლება ფორმულით
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ზოგიერთი ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალების (ანტიწარმოებულების) ცხრილი

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \nq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

საკვანძო სიტყვები:განუყოფელი, მრუდი ტრაპეცია, შროშანებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობი

აღჭურვილობა: დაფა, კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი-ლექცია

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო:გონებრივი მუშაობის კულტურის ჩამოყალიბება, თითოეული მოსწავლისთვის წარმატების სიტუაციის შექმნა, სწავლის პოზიტიური მოტივაციის ჩამოყალიბება; განუვითარდებათ საუბრისა და სხვების მოსმენის უნარი.
• განვითარებადი:სტუდენტის აზროვნების დამოუკიდებლობის ჩამოყალიბება ცოდნის გამოყენებაში სხვადასხვა სიტუაციებში, ანალიზისა და დასკვნების გამოტანის უნარი, ლოგიკის განვითარება, კითხვების სწორად დასმისა და მათზე პასუხების პოვნის უნარის განვითარება. გამოთვლითი, გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბების გაუმჯობესება, შემოთავაზებული ამოცანების შესრულებისას მოსწავლეთა აზროვნების განვითარება, ალგორითმული კულტურის შემუშავება.
• საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბონ ცნებები მრუდი ტრაპეციის შესახებ, ინტეგრალის შესახებ, დაეუფლონ ბრტყელი ფიგურების ფართობების გამოთვლის უნარს.

სწავლების მეთოდი:განმარტებითი და საილუსტრაციო.

გაკვეთილების დროს

წინა გაკვეთილებზე ვისწავლეთ როგორ გამოვთვალოთ ფიგურების ფართობი, რომელთა საზღვრები გატეხილი ხაზებია. მათემატიკაში არის მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მრუდებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობი. ასეთ ფიგურებს უწოდებენ მრუდი ტრაპეციას და მათი ფართობი გამოითვლება ანტიდერივატიების გამოყენებით.

მრუდი ტრაპეცია ( სლაიდი 1)

მრუდი ტრაპეცია არის ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება ფუნქციის გრაფიკით, ( ვ.მ.), სწორი x = aდა x = bდა აბსციზა

სხვადასხვა სახის მრუდი ტრაპეცია ( სლაიდი 2)

განვიხილავთ სხვადასხვა ტიპის მრუდი ტრაპეციას და ვამჩნევთ: ერთ-ერთი წრფე გადაგვარებულია წერტილად, შემზღუდველი ფუნქციის როლს ასრულებს ხაზი.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი (სლაიდი 3)

დააფიქსირეთ ინტერვალის მარცხენა ბოლო ა,და უფლება Xჩვენ შევცვლით, ანუ ვამოძრავებთ მრუდი ტრაპეციის მარჯვენა კედელს და ვიღებთ ცვალებად ფიგურას. ფუნქციის გრაფიკით შემოსაზღვრული ცვლადი მრუდი ტრაპეციის ფართობი არის ანტიდერივატი ფფუნქციისთვის ვ

ხოლო სეგმენტზე [ ა; ბ] ფუნქციით წარმოქმნილი მრუდი ტრაპეციის ფართობი ვ,უდრის ამ ფუნქციის ანტიდერივატივის ზრდას:

სავარჯიშო 1:

იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობი: f(x) = x 2და პირდაპირი y=0, x=1, x=2.

გადაწყვეტილება: ( სლაიდი 3 ალგორითმის მიხედვით)

დახაზეთ ფუნქციისა და ხაზების გრაფიკი

იპოვეთ ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი f(x) = x 2 :

სლაიდის თვითშემოწმება

ინტეგრალური

განვიხილოთ ფუნქციით მოცემული მრუდი ტრაპეცია ვსეგმენტზე [ ა; ბ]. მოდით დავყოთ ეს სეგმენტი რამდენიმე ნაწილად. მთელი ტრაპეციის ფართობი დაიყოფა მცირე მრუდი ტრაპეციის არეების ჯამად. ( სლაიდი 5). თითოეული ასეთი ტრაპეცია დაახლოებით შეიძლება ჩაითვალოს მართკუთხედად. ამ მართკუთხედების ფართობების ჯამი იძლევა სავარაუდო წარმოდგენას მრუდი ტრაპეციის მთელ ფართობზე. რაც უფრო პატარაა ჩვენ ვარღვევთ სეგმენტს [ ა; ბ], მით უფრო ზუსტად ვიანგარიშებთ ფართობს.

ჩვენ ვწერთ ამ მოსაზრებებს ფორმულების სახით.

გაყავით სეგმენტი [ ა; ბ] n ნაწილებად წერტილებით x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.სიგრძე კ-ე აღნიშნავენ მიერ xk = xk - xk-1. მოდით შევაჯამოთ

გეომეტრიულად, ეს ჯამი არის ფიგურაში დაჩრდილული ფიგურის ფართობი ( შ.მ.)

ფორმის ჯამს ეწოდება ფუნქციის ინტეგრალური ჯამები ვ. (სჩ.მ.)

ინტეგრალური ჯამები იძლევა ფართობის მიახლოებით მნიშვნელობას. ზუსტი მნიშვნელობა მიიღება ლიმიტზე გადასვლით. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ დავაზუსტებთ სეგმენტის დაყოფას [ ა; ბ] ისე, რომ ყველა მცირე სეგმენტის სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის. შემდეგ შედგენილი ფიგურის ფართობი მიუახლოვდება მრუდი ტრაპეციის არეალს. შეიძლება ითქვას, რომ მრუდი ტრაპეციის ფართობი უდრის ინტეგრალური ჯამების ზღვარს, სკ.ტ. (სჩ.მ.)ან ინტეგრალური, ე.ი.

განმარტება:

ფუნქციის ინტეგრალი f(x)დან აადრე ბინტეგრალური ჯამების ზღვარი ეწოდება

= (სჩ.მ.)

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

გახსოვდეთ, რომ ინტეგრალური ჯამების ზღვარი უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს, ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

სკ.ტ. = (სჩ.მ.)

თავის მხრივ, მრუდი ტრაპეციის ფართობი გამოითვლება ფორმულით

S to.t. (სჩ.მ.)

ამ ფორმულების შედარებისას მივიღებთ:

= (სჩ.მ.)

ამ თანასწორობას ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ეწოდება.

გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ფორმულა იწერება შემდეგნაირად:

= = (სჩ.მ.)

ამოცანები: (სჩ.მ.)

1. გამოთვალეთ ინტეგრალი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით: ( შეამოწმეთ სლაიდი 5)

2. შეადგინეთ ინტეგრალები ნახაზის მიხედვით ( შეამოწმეთ მე-6 სლაიდზე)

3. იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( სლაიდი 7)

თვითმფრინავის ფიგურების ფართობის პოვნა ( სლაიდი 8)

როგორ მოვძებნოთ ფიგურების ფართობი, რომლებიც არ არის მრუდი ტრაპეცია?

მიეცით ორი ფუნქცია, რომელთა გრაფიკებს ხედავთ სლაიდზე . (სჩ.მ.)იპოვეთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი . (სჩ.მ.). არის თუ არა მოცემული ფიგურა მრუდი ტრაპეცია? და როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ფართობი ტერიტორიის დანამატის თვისების გამოყენებით? განვიხილოთ ორი მრუდი ტრაპეცია და გამოვაკლოთ მეორის ფართობი ერთის ფართობს ( ვ.მ.)

მოდით შევქმნათ ალგორითმი სლაიდზე ანიმაციიდან ფართობის საპოვნელად:

1. ნაკვეთის ფუნქციები
2. გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების პროექტირება x-ღერძზე
3. დაჩრდილეთ გრაფიკების გადაკვეთით მიღებული ფიგურა
4. იპოვეთ მრუდი ტრაპეცია, რომელთა კვეთა ან კავშირი არის მოცემული ფიგურა.
5. გამოთვალეთ თითოეულის ფართობი
6. იპოვეთ განსხვავება ან არეების ჯამი

ზეპირი დავალება: როგორ მივიღოთ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი (უთხარით ანიმაციის გამოყენებით, სლაიდი 8 და 9)

Საშინაო დავალება:შეიმუშავეთ აბსტრაქტი, No353 (a), No364 (a).

ბიბლიოგრაფია

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო საღამოს (ცვლის) სკოლის 9-11 კლასებისთვის / რედ. გ.დ. გლეიზერი. - M: განმანათლებლობა, 1983 წ.
2. ბაშმაკოვი მ.ი. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის / ბაშმაკოვი M.I. - M: განმანათლებლობა, 1991 წ.
3. ბაშმაკოვი მ.ი. მათემატიკა: სახელმძღვანელო დაწესებულებებისთვის დასაწყისი. და საშ. პროფ. განათლება / M.I. ბაშმაკოვი. - M: აკადემია, 2010 წ.
4. კოლმოგოროვი ა.ნ. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო 10-11 უჯრედისთვის. საგანმანათლებლო დაწესებულებები / A.N. Kolmogorov. - M: განმანათლებლობა, 2010 წ.
5. ოსტროვსკი ს.ლ. როგორ გავაკეთოთ პრეზენტაცია გაკვეთილზე? / S.L. ოსტროვსკი. – მ.: 2010 წლის პირველი სექტემბერი.

დასრულებული სამუშაოები

ეს ნამუშევრები

უკვე ბევრი რამ ჩამორჩება და ახლა უკვე კურსდამთავრებული ხარ, თუ, რა თქმა უნდა, დისერტაციას დროულად დაწერ. მაგრამ ცხოვრება ისეთი რამ არის, რომ მხოლოდ ახლა გაირკვევა, რომ სტუდენტობის შეწყვეტის შემდეგ დაკარგავ სტუდენტურ სიხარულს, რომელთაგან ბევრი არ გიცდია, ყველაფერი გადადო და მოგვიანებით გადადო. ახლა კი, იმის ნაცვლად, რომ დაეწიო, შენს დისერტაციას ერევი? არსებობს შესანიშნავი გამოსავალი: ჩამოტვირთეთ თქვენთვის საჭირო ნაშრომი ჩვენი ვებ-გვერდიდან - და მაშინვე გექნებათ ბევრი თავისუფალი დრო!
სადიპლომო სამუშაოები წარმატებით იცავენ ყაზახეთის რესპუბლიკის წამყვან უნივერსიტეტებში.
სამუშაოს ღირებულება 20 000 ტენგედან

კურსის სამუშაოები

კურსის პროექტი პირველი სერიოზული პრაქტიკული სამუშაოა. სწორედ საკურსო ნაშრომის დაწერით იწყება სადიპლომო პროექტების შემუშავებისთვის მზადება. თუ სტუდენტი ისწავლის საკურსო პროექტში თემის შინაარსის სწორად გადმოცემას და მის სწორად შედგენას, მომავალში მას არ ექნება პრობლემა არც მოხსენებების წერაში, არც თეზისების შედგენაში და არც სხვა პრაქტიკული დავალებების შესრულებაში. ამ ტიპის სტუდენტური ნამუშევრის დაწერაში სტუდენტების დასახმარებლად და მისი მომზადების დროს წამოჭრილი კითხვების გარკვევის მიზნით, ფაქტობრივად, შეიქმნა ეს საინფორმაციო განყოფილება.
სამუშაოს ღირებულება 2500 ტენგედან

სამაგისტრო ნაშრომები

დღეისათვის ყაზახეთისა და დსთ-ს ქვეყნების უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში ძალზე გავრცელებულია უმაღლესი პროფესიული განათლების ეტაპი, რომელიც მოჰყვება ბაკალავრის ხარისხს - მაგისტრატურას. მაგისტრატურაში სტუდენტები სწავლობენ მაგისტრატურის მოპოვების მიზნით, რაც მსოფლიოს უმეტეს ქვეყნებში ბაკალავრიატის ხარისხზე მეტად არის აღიარებული და ასევე აღიარებულია უცხოელი დამსაქმებლების მიერ. მაგისტრატურაში მომზადების შედეგია სამაგისტრო ნაშრომის დაცვა.
შემოგთავაზებთ განახლებულ ანალიტიკურ და ტექსტურ მასალას, ფასში შედის 2 სამეცნიერო სტატია და რეფერატი.
სამუშაოს ღირებულება 35 000 ტენგედან

პრაქტიკის ანგარიშები

ნებისმიერი ტიპის სტუდენტური პრაქტიკის (საგანმანათლებლო, სამრეწველო, ბაკალავრიატის) დასრულების შემდეგ საჭიროა ანგარიში. ეს დოკუმენტი იქნება სტუდენტის პრაქტიკული მუშაობის დადასტურება და პრაქტიკისთვის შეფასების ფორმირების საფუძველი. ჩვეულებრივ, სტაჟირების ანგარიშის შედგენისთვის საჭიროა შეაგროვოთ და გაანალიზოთ ინფორმაცია საწარმოს შესახებ, გაითვალისწინოთ ორგანიზაციის სტრუქტურა და სამუშაო გრაფიკი, რომელშიც სტაჟირება მიმდინარეობს, შეადგინოთ კალენდარული გეგმა და აღწეროთ თქვენი პრაქტიკული საქმიანობა.
ჩვენ დაგეხმარებით სტაჟირების შესახებ ანგარიშის დაწერაში, კონკრეტული საწარმოს საქმიანობის სპეციფიკის გათვალისწინებით.

მაგალითი 1 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 და x = 2

მოდით ავაშენოთ ფიგურა (იხ. ნახ.) ვაშენებთ სწორ ხაზს x + 2y - 4 \u003d 0 A (4; 0) და B (0; 2) წერტილის გასწვრივ. გამოვხატავთ y-ს x-ით, მივიღებთ y \u003d -0.5x + 2. (1) ფორმულის მიხედვით, სადაც f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, ჩვენ იპოვე

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 კვ. ერთეულები

მაგალითი 2 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 და y \u003d 0.

გადაწყვეტილება. მოდით ავაშენოთ ფიგურა.

ავაშენოთ სწორი ხაზი x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

ავაშენოთ სწორი ხაზი x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

იპოვეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

საჭირო ფართობის გამოსათვლელად AMC სამკუთხედს ვყოფთ ორ სამკუთხედად AMN და NMC, რადგან როდესაც x იცვლება A-დან N-მდე, ფართობი შემოიფარგლება სწორი ხაზით, ხოლო როდესაც x იცვლება N-დან C-მდე, ეს არის სწორი ხაზი.

სამკუთხედისთვის AMN გვაქვს: ; y \u003d 0.5x + 2, ანუ f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

NMC სამკუთხედისთვის გვაქვს: y = - x + 5, ანუ f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

თითოეული სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა და შედეგების დამატება, ჩვენ ვპოულობთ:

კვ. ერთეულები

კვ. ერთეულები

9 + 4, 5 = 13,5 კვ. ერთეულები შემოწმება: = 0.5AC = 0.5 კვ. ერთეულები

მაგალითი 3 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

AT ამ საქმესსაჭიროა გამოთვალოთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია პარაბოლით y = x 2 სწორი ხაზები x \u003d 2 და x \u003d 3 და Ox ღერძი (იხ. ნახ.) ფორმულის მიხედვით (1), ვპოულობთ მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

= = 6 კვ. ერთეულები

მაგალითი 4 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y \u003d - x 2 + 4 და y = 0

მოდით ავაშენოთ ფიგურა. სასურველი ფართობი მოთავსებულია პარაბოლას შორის y \u003d - x 2 + 4 და ღერძი Oh.

იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები x ღერძთან. თუ ვივარაუდებთ y \u003d 0, ჩვენ ვპოულობთ x \u003d რადგან ეს ფიგურა სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ, ჩვენ ვიანგარიშებთ Oy ღერძის მარჯვნივ მდებარე ფიგურის ფართობს და გავაორმაგებთ შედეგს: \u003d + 4x] კვადრატი. ერთეულები 2 = 2 კვ. ერთეულები

მაგალითი 5 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y 2 = x, yx = 1, x = 4

აქ საჭიროა გამოთვალოთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია პარაბოლის y ზედა ტოტით. 2 \u003d x, Ox ღერძი და სწორი ხაზები x \u003d 1x \u003d 4 (იხ. ნახ.)

(1) ფორმულის მიხედვით, სადაც f(x) = a = 1 და b = 4, გვაქვს = (= კვ. ერთეული

მაგალითი 6 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

სასურველი ფართობი შემოიფარგლება ნახევარტალღოვანი სინუსოიდით და Ox ღერძით (იხ. ნახ.).

ჩვენ გვაქვს - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 კვადრატული მეტრი. ერთეულები

მაგალითი 7 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y \u003d - 6x, y \u003d 0 და x \u003d 4.

ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ (იხ. ნახ.).

ამრიგად, მისი ფართობი გვხვდება ფორმულით (3)

= =

მაგალითი 8 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y \u003d და x \u003d 2. ჩვენ ავაშენებთ მრუდს y \u003d წერტილებით (იხ. სურათი). ამრიგად, ფიგურის ფართობი გვხვდება ფორმულით (4)

მაგალითი 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

აქ თქვენ უნდა გამოთვალოთ x წრით შემოსაზღვრული ფართობი 2 + y 2 = r 2 , ანუ r რადიუსის წრის ფართობი, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. მოდი ვიპოვოთ ამ არეალის მეოთხე ნაწილი, ავიღოთ ინტეგრაციის საზღვრები 0-დან

დორ; ჩვენ გვაქვს: 1 = = [

აქედან გამომდინარე, 1 =

მაგალითი 10 გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: y \u003d x 2 და y = 2x

ეს მაჩვენებელი შემოიფარგლება პარაბოლით y \u003d x 2 და სწორი ხაზი y \u003d 2x (იხ. ნახ.) მოცემული ხაზების გადაკვეთის წერტილების დასადგენად, ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას: x 2 – 2x = 0 x = 0 და x = 2

ფორმულის გამოყენებით (5) ფართობის საპოვნელად, მივიღებთ

= }