ალბათობის კლასიკური და სტატისტიკური განსაზღვრება

პრაქტიკული საქმიანობისთვის აუცილებელია მოვლენების შედარება მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით. განვიხილოთ კლასიკური შემთხვევა. ურნა შეიცავს 10 ბურთულას, რომელთაგან 8 თეთრია და 2 შავი. ცხადია, მოვლენას „ჭურჭლიდან აიღებენ თეთრ ბურთს“ და მოვლენას „ურნადან აიღებენ შავ ბურთს“ აქვთ მათი წარმოშობის სხვადასხვა ხარისხი. ამიტომ მოვლენების შესადარებლად საჭიროა გარკვეული რაოდენობრივი საზომი.

მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის რაოდენობრივი საზომია ალბათობა . ყველაზე ფართოდ გამოიყენება მოვლენის ალბათობის ორი განმარტება: კლასიკური და სტატისტიკური.

კლასიკური განმარტებაალბათობა დაკავშირებულია ხელსაყრელი შედეგის ცნებასთან. ამაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.

დაე, რომელიმე ტესტის შედეგებმა შექმნას მოვლენათა სრული ჯგუფი და იყოს თანაბრად სავარაუდო, ე.ი. ცალსახად შესაძლებელია, არათანმიმდევრული და თანაბრად შესაძლებელია. ასეთ შედეგებს ე.წ ელემენტარული შედეგები, ან შემთხვევები. ამბობენ, რომ ტესტი მცირდება საქმის სქემაან " ურნის სქემა“, რადგან ასეთი ტესტის ნებისმიერი ალბათური პრობლემა შეიძლება შეიცვალოს ექვივალენტური ამოცანებით სხვადასხვა ფერის ურნებითა და ბურთულებით.

გამოსვლა ჰქვია ხელსაყრელიღონისძიება მაგრამთუ ამ შემთხვევის დადგომა იწვევს მოვლენის დადგომას მაგრამ.

კლასიკური განმარტებით მოვლენის ალბათობა A უდრის ამ მოვლენის სასარგებლო შედეგების რაოდენობის შეფარდებას შედეგების მთლიან რაოდენობასთან, ე.ი.

,

(1.1)

სადაც P(A)- მოვლენის ალბათობა მაგრამ; მ- ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა მაგრამ; ნარის შემთხვევების საერთო რაოდენობა.

მაგალითი 1.1.კამათლის სროლისას შესაძლებელია ექვსი შედეგი - წაგება 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულით. რა არის ლუწი ქულების მიღების ალბათობა?

გადაწყვეტილება. ყველა ნ= 6 შედეგი ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს და თანაბრად სავარაუდოა, ე.ი. ცალსახად შესაძლებელია, არათანმიმდევრული და თანაბრად შესაძლებელია. მოვლენა A - "ქულების ლუწი რაოდენობის გამოჩენა" - ხელს უწყობს 3 შედეგს (შემთხვევას) - 2, 4 ან 6 ქულის დაკარგვას. მოვლენის ალბათობის კლასიკური ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

P(A) = = . ◄

მოვლენის ალბათობის კლასიკურ განმარტებაზე დაყრდნობით, ჩვენ აღვნიშნავთ მის თვისებებს:

1. რაიმე მოვლენის ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა, ე.ი.

0 ≤ რ(მაგრამ) ≤ 1.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

3. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალბათობის კლასიკური განმარტება გამოიყენება მხოლოდ იმ მოვლენებზე, რომლებიც შეიძლება გამოჩნდეს ცდების შედეგად, რომლებსაც აქვთ შესაძლო შედეგების სიმეტრია, ე.ი. საქმეების სქემამდე დაყვანა. თუმცა, არსებობს მოვლენების დიდი კლასი, რომელთა ალბათობა არ შეიძლება გამოითვალოს კლასიკური განმარტებით.

მაგალითად, თუ ვივარაუდებთ, რომ მონეტა გაბრტყელებულია, მაშინ აშკარაა, რომ მოვლენები „გერბის გამოჩენა“ და „კუდის გამოჩენა“ ერთნაირად შესაძლებლად არ შეიძლება ჩაითვალოს. ამიტომ, კლასიკური სქემის მიხედვით ალბათობის განსაზღვრის ფორმულა ამ შემთხვევაში არ გამოიყენება.

თუმცა, არსებობს სხვა მიდგომა მოვლენების ალბათობის შესაფასებლად, იმის მიხედვით, თუ რამდენად ხშირად მოხდება მოცემული მოვლენა შესრულებულ ტესტებში. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ალბათობის სტატისტიკური განმარტება.

სტატისტიკური ალბათობამოვლენა A არის ამ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე (სიხშირე) შესრულებულ n ტესტებში, ე.ი.

,

(1.2)

სადაც R * (A)არის მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა მაგრამ; w(A)არის მოვლენის ფარდობითი სიხშირე მაგრამ; მარის ცდების რაოდენობა, რომელშიც მოხდა მოვლენა მაგრამ; ნარის ცდების საერთო რაოდენობა.

მათემატიკური ალბათობისგან განსხვავებით P(A)კლასიკურ განმარტებაში განიხილება სტატისტიკური ალბათობა R * (A)მახასიათებელია გამოცდილი, ექსპერიმენტული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა მაგრამიწოდება რიცხვი, რომლის მიმართაც ფარდობითი სიხშირე სტაბილიზებულია (დადგენილია) w(A)იგივე პირობების პირობებში ჩატარებული ტესტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით.

მაგალითად, როდესაც ამბობენ მსროლელზე, რომ ის ურტყამს მიზანს 0,95 ალბათობით, ეს ნიშნავს, რომ მის მიერ გასროლილი ასი გასროლიდან გარკვეულ პირობებში (იგივე სამიზნე იმავე მანძილზე, იგივე თოფი და ა.შ.). ), საშუალოდ დაახლოებით 95 წარმატებულია. ბუნებრივია, ყოველ ასეულს არ ექნება 95 წარმატებული გასროლა, ხან იქნება ნაკლები, ხან მეტი, მაგრამ საშუალოდ, იმავე პირობებში სროლის განმეორებით გამეორებით, დარტყმების ეს პროცენტი უცვლელი დარჩება. რიცხვი 0.95, რომელიც მსროლელის ოსტატობის ინდიკატორს წარმოადგენს, ჩვეულებრივ ძალიან სტაბილური, ე.ი. სროლების უმეტესობაში დარტყმების პროცენტი თითქმის იგივე იქნება მოცემული მსროლელისთვის, მხოლოდ იშვიათ შემთხვევებში რაიმე მნიშვნელოვანი გადახრის საშუალო მნიშვნელობიდან.

ალბათობის კლასიკური განმარტების კიდევ ერთი მინუსი ( 1.1 ), რაც ზღუდავს მის გამოყენებას, არის ის, რომ იგი ითვალისწინებს ტესტის შესაძლო შედეგების სასრულ რაოდენობას. ზოგიერთ შემთხვევაში, ეს ნაკლოვანება შეიძლება დაძლიოს ალბათობის გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, ე.ი. განსაზღვრულ ზონაში (სეგმენტი, თვითმფრინავის ნაწილი და ა.შ.) წერტილის დარტყმის ალბათობის პოვნა.

მოდით ბინა ფიგურა გწარმოადგენს ბრტყელი ფიგურის ნაწილს გ(ნახ. 1.1). ფიგურაზე გწერტილი ისროლება შემთხვევით. ეს ნიშნავს, რომ ყველა პუნქტი ტერიტორიაზე გ"თანაბარი" მასზე დარტყმული შემთხვევითი წერტილით დარტყმასთან მიმართებაში. თუ ვივარაუდებთ, რომ მოვლენის ალბათობა მაგრამ- ფიგურაზე დაყრილ წერტილში დარტყმა გ- პროპორციულია ამ ფიგურის ფართობისა და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე. გ, არც ფორმიდან გ, იპოვე

ალბათობამოვლენა არის ელემენტარული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს მოცემულ მოვლენას გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან, რომელშიც ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს. A მოვლენის ალბათობა აღინიშნება P(A)-ით (აქ P არის ფრანგული სიტყვის probabilite - ალბათობის პირველი ასო). განმარტების მიხედვით
(1.2.1)
სად არის A მოვლენის სასარგებლო ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; - გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს.
ალბათობის ამ განმარტებას კლასიკური ეწოდება. იგი წარმოიშვა ალბათობის თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე.

მოვლენის ალბათობას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს. დავასახელოთ გარკვეული მოვლენა ასოებით. მაშასადამე, გარკვეული მოვლენისთვის
(1.2.2)
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. შეუძლებელ მოვლენას აღვნიშნავთ ასოთი. ამიტომ შეუძლებელი მოვლენისთვის
(1.2.3)
3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა გამოიხატება ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით. ვინაიდან უტოლობები , ან დაკმაყოფილებულია შემთხვევითი მოვლენისთვის, მაშინ
(1.2.4)
4. რაიმე მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უტოლობებს
(1.2.5)
ეს გამომდინარეობს ურთიერთობებიდან (1.2.2) -(1.2.4).

მაგალითი 1ურნა შეიცავს იმავე ზომის და წონის 10 ბურთულას, საიდანაც 4 წითელი და 6 ლურჯი. ურნადან ერთი ბურთი ამოღებულია. რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატული ბურთი ლურჯი იყოს?

გადაწყვეტილება. მოვლენა „დახაზული ბურთი ცისფერი აღმოჩნდა“ აღინიშნება ასო A-თი. ამ ტესტს აქვს 10 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან 6 უპირატესობას ანიჭებს A მოვლენას. ფორმულის მიხედვით (1.2.1) ვიღებთ.

მაგალითი 2ყველა ნატურალური რიცხვი 1-დან 30-მდე იწერება იდენტურ ბარათებზე და მოთავსებულია ურნაში. კარტების საფუძვლიანად შერევის შემდეგ ერთი კარტი ამოღებულია ურნიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ გათამაშებულ ბარათზე რიცხვი 5-ის ჯერადი იყოს?

გადაწყვეტილება.აღნიშნეთ A-ით მოვლენა „აღებულ ბარათზე რიცხვი არის 5-ის ჯერადი“. ამ ტესტში არის 30 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან 6 შედეგი ხელს უწყობს A მოვლენას (ნომრები 5, 10, 15, 20, 25, 30). აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 3იყრება ორი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. იპოვეთ B მოვლენის ალბათობა, რომელიც შედგება იმაში, რომ კუბების ზედა სახეებს ექნებათ სულ 9 ქულა.

გადაწყვეტილება.ამ ცდაში არის 6 2 = 36 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი. B მოვლენას ხელს უწყობს 4 შედეგი: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), ასე რომ

მაგალითი 4. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 10-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს მარტივი?

გადაწყვეტილება.ასო C-ით აღნიშნეთ მოვლენა „არჩეული რიცხვი მარტივია“. ამ შემთხვევაში, n = 10, m = 4 (პირველი 2, 3, 5, 7). ამიტომ, სასურველი ალბათობა

მაგალითი 5გადაყრილია ორი სიმეტრიული მონეტა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე მონეტას აქვს ციფრები ზედა გვერდებზე?

გადაწყვეტილება.ასო D-ით ავღნიშნოთ მოვლენა „თითო მონეტის ზედა მხარეს იყო რიცხვი“. ამ ტესტში არის 4 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (აღნიშვნა (G, C) ნიშნავს, რომ პირველ მონეტაზე არის გერბი, მეორეზე - რიცხვი). მოვლენა D ხელს უწყობს ერთი ელემენტარული შედეგით (C, C). ვინაიდან m = 1, n = 4, მაშინ

მაგალითი 6რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვში ციფრები ერთნაირი იყოს?

გადაწყვეტილება.ორნიშნა რიცხვები არის 10-დან 99-მდე რიცხვები; სულ ასეთი რიცხვია 90. 9 რიცხვს ერთნაირი ციფრი აქვს (ეს არის რიცხვები 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში m = 9, n = 90, მაშინ
,
სადაც A არის "რიცხვი იგივე ციფრებით" მოვლენა.

მაგალითი 7სიტყვის ასოებიდან დიფერენციალურიერთი ასო არჩეულია შემთხვევით. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ეს ასო იქნება: ა) ხმოვანი ბ) თანხმოვანი გ) ასო თ?

გადაწყვეტილება. სიტყვა დიფერენციალში 12 ასოა, საიდანაც 5 ხმოვანია და 7 თანხმოვანი. წერილები თეს სიტყვა არა. ავღნიშნოთ მოვლენები: ა – „ხმოვანი“, ბ – „თანხმოვანი“, გ – „ასო თ". ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა: - მოვლენისთვის A, - მოვლენისთვის B, - მოვლენისთვის C. მას შემდეგ, რაც n \u003d 12, მაშინ
, და .

მაგალითი 8იყრება ორი კამათელი, აღინიშნება ქულების რაოდენობა თითოეული კამათლის ზედა მხარეს. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე კამათელს ქულების ერთნაირი რაოდენობა ჰქონდეს.

გადაწყვეტილება.ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მოვლენას A ასოთი. A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). საერთო ჯამში არის თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგები, რომლებიც ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, ამ შემთხვევაში n=6 2 =36. ასე რომ, სასურველი ალბათობა

მაგალითი 9წიგნი 300 გვერდიანია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით გახსნილ გვერდს ჰქონდეს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5-ის ჯერადი?

გადაწყვეტილება.პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ იქნება n = 300 ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგიდან, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს. აქედან m = 60 ხელს უწყობს მითითებული მოვლენის წარმოქმნას. მართლაც, რიცხვს, რომელიც არის 5-ის ნამრავლი, აქვს 5k ფორმა, სადაც k არის ნატურალური რიცხვი და, საიდანაც . აქედან გამომდინარე,
, სადაც A - "გვერდი" მოვლენას აქვს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5"-ის ჯერადი.

მაგალითი 10. იყრება ორი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო, რომ მიიღოთ სულ 7 ან 8?

გადაწყვეტილება. დავნიშნოთ მოვლენები: A - "7 ქულა ამოვარდა", B - "8 ქულა ამოვარდა". A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) და მოვლენა B - 5 შედეგი: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). არის n = 6 2 = 36 ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგიდან. და .

ასე რომ, P(A)>P(B), ანუ 7 ქულის მიღება უფრო სავარაუდო მოვლენაა, ვიდრე 8 ქულის მიღება.

Დავალებები

1. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 3-ის ნამრავლი?
2. ურნაში აწითელი და ბიგივე ზომისა და წონის ლურჯი ბურთები. რა არის იმის ალბათობა, რომ ამ ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი ლურჯი იყოს?
3. შემთხვევით არჩეულია რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს zo-ს გამყოფი?
4. ურნაში ალურჯი და ბიგივე ზომისა და წონის წითელი ბურთები. ერთი ბურთი ამოღებულია ამ ურნადან და დგას განზე. ეს ბურთი წითელია. შემდეგ ურნადან კიდევ ერთი ბურთი ამოღებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე ბურთიც წითელი იყოს.
5. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 50-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს მარტივი?
6. იყრება სამი კამათელი, გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 9 თუ 10 ქულის მიღება?
7. იყრება სამი კამათელი, გამოითვლება ჩამოგდებული ქულების ჯამი. რა არის უფრო სავარაუდო, რომ მიიღოთ ჯამში 11 (მოვლენა A) ან 12 ქულა (მოვლენა B)?

პასუხები

1. 1/3. 2 . ბ/(ა+ბ). 3 . 0,2. 4 . (ბ-1)/(ა+ბ-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - საერთო ჯამში 9 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 \u003d 27/216 - საერთო ჯამში 10 ქულის მიღების ალბათობა; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

კითხვები

1. რას ჰქვია მოვლენის ალბათობა?
2. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?
3. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?
4. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
5. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
6. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

მოვლენის ალბათობა გაგებულია, როგორც ამ მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი. არსებობს რამდენიმე მიდგომა ალბათობის დასადგენად.

მოვლენის ალბათობა მაგრამარის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. ასე რომ, მოვლენის ალბათობა მაგრამგანისაზღვრება ფორმულით

სადაც მარის ხელშემწყობი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა მაგრამ, ნ- ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

მაგალითი 3.1.კამათლის სროლის ექსპერიმენტში, ყველა შედეგის რაოდენობა ნარის 6 და ისინი ყველა თანაბრად შესაძლებელია. დაე, ღონისძიება მაგრამნიშნავს ლუწი რიცხვის გამოჩენას. შემდეგ ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგი იქნება 2, 4, 6 რიცხვების გამოჩენა. მათი რიცხვი არის 3. შესაბამისად, მოვლენის ალბათობა მაგრამუდრის

მაგალითი 3.2.რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვში ციფრები ერთნაირი იყოს?

ორნიშნა რიცხვები არის რიცხვები 10-დან 99-მდე, სულ ასეთი რიცხვია 90. 9 რიცხვს აქვს იგივე რიცხვი (ეს არის რიცხვები 11, 22, ..., 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში მ=9, ნ= 90, მაშინ

სადაც მაგრამ- მოვლენა, "რიცხვი იგივე ციფრებით."

მაგალითი 3.3.არის 7 სტანდარტული ნაწილი უამრავ 10 ნაწილად. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულ ექვს ნაწილს შორის არის 4 სტანდარტული ნაწილი.

ტესტის შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობა უდრის იმ გზების რაოდენობას, რომლითაც შეიძლება 6 ნაწილის ამოღება 10-დან, ანუ 6 ელემენტის 10 ელემენტის კომბინაციების რაოდენობა. განსაზღვრეთ იმ შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ხელს უწყობს ჩვენთვის საინტერესო მოვლენას მაგრამ(აღღებულ ექვს ნაწილს შორის 4 სტანდარტულია). ოთხი სტანდარტული ნაწილის აღება შესაძლებელია შვიდი სტანდარტული ნაწილისგან სხვადასხვა გზით; ამავდროულად დარჩენილი 6-4=2 ნაწილი უნდა იყოს არასტანდარტული, მაგრამ 10-7=3 არასტანდარტული ნაწილიდან შეგიძლიათ სხვადასხვა გზით აიღოთ ორი არასტანდარტული ნაწილი. აქედან გამომდინარე, ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა არის .

მაშინ სასურველი ალბათობა უდრის

ალბათობის განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

მართლაც, თუ მოვლენა სანდოა, მაშინ ტესტის ყოველი ელემენტარული შედეგი ხელს უწყობს მოვლენას. ამ შემთხვევაში m=n, აქედან გამომდინარე

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

მართლაც, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ სასამართლო პროცესის არც ერთი ელემენტარული შედეგი არ ემხრობა მოვლენას. ამ შემთხვევაში ნიშნავს

3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის.

მართლაც, ტესტის ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობის მხოლოდ ნაწილი ხელს უწყობს შემთხვევით მოვლენას. Ამ შემთხვევაში< მ< n, ნიშნავს 0 < m/n < 1, ანუ 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

ლოგიკურად სრული ალბათობის თეორიის აგება ეფუძნება შემთხვევითი მოვლენის აქსიომატიურ განსაზღვრებას და მის ალბათობას. ა.ნ.კოლმოგოროვის მიერ შემოთავაზებული აქსიომების სისტემაში, განუსაზღვრელი ცნებები არის ელემენტარული მოვლენა და ალბათობა. აქ არის აქსიომები, რომლებიც განსაზღვრავენ ალბათობას:

1. ყოველი ღონისძიება მაგრამმიენიჭა არაუარყოფითი რეალური რიცხვი P(A). ამ რიცხვს ეწოდება მოვლენის ალბათობა. მაგრამ.

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს.

3. წყვილთაგან ერთის მაინც შეუთავსებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამს.

ამ აქსიომებზე დაყრდნობით, ალბათობების თვისებები და მათ შორის დამოკიდებულებები გამოყვანილია თეორემებად.

კითხვები თვითშემოწმებისთვის

1. რა ჰქვია მოვლენის შესაძლებლობის რიცხვით მახასიათებელს?

2. რას ჰქვია მოვლენის ალბათობა?

3. რა არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა?

4. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?

5. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

6. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?

7. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

გიმნაზია No6

თემაზე „ალბათობის კლასიკური განმარტება“.

დაასრულა მე-8 „ბ“ კლასის მოსწავლემ

კლიმატოვა ალექსანდრა.

მათემატიკის მასწავლებელი: ვიდენკინა V.A.

ვორონეჟი, 2008 წ

ბევრი თამაში იყენებს კამათელს. კვარცხლბეკს აქვს 6 სახე, თითოეულ სახეზე ქულების განსხვავებული რაოდენობაა მონიშნული - 1-დან 6-მდე. მოთამაშე აგდებს კალთს და უყურებს რამდენი ქულაა ჩამოვარდნილ სახეზე (სახეზე, რომელიც მდებარეობს ზევით). ხშირად კუდის კიდეზე წერტილებს ანაცვლებენ შესაბამისი რიცხვით და შემდეგ საუბრობენ 1, 2 ან 6-იან რულონზე. კუდის სროლა შეიძლება ჩაითვალოს გამოცდილებად, ექსპერიმენტად, გამოცდად და მიღებულ შედეგზე. არის ტესტის ან ელემენტარული მოვლენის შედეგი. ადამიანებს აინტერესებთ მოვლენის დაწყების გამოცნობა, მისი შედეგის პროგნოზირება. რა პროგნოზების გაკეთება შეუძლიათ მათ კამათლის გაშვებისას? მაგალითად, ესენი:

1. მოვლენა A - რიცხვი 1, 2, 3, 4, 5 ან 6 ამოვარდება;
2. მოვლენა B - რიცხვი 7, 8 ან 9 ამოვარდება;
3. მოვლენა C - რიცხვი 1 ამოვარდება.

მოვლენა A, რომელიც იწინასწარმეტყველა პირველ შემთხვევაში, აუცილებლად მოვა. ზოგადად, მოვლენას, რომელიც აუცილებლად მოხდება მოცემულ გამოცდილებაში, ეწოდება გარკვეული მოვლენა.

მოვლენა B, რომელიც იწინასწარმეტყველა მეორე შემთხვევაში, არასოდეს მოხდება, ეს უბრალოდ შეუძლებელია. ზოგადად, მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს მოცემულ ექსპერიმენტში, ეწოდება შეუძლებელი მოვლენა.

მოხდება თუ არა მესამე შემთხვევაში ნაწინასწარმეტყველები მოვლენა C? ჩვენ არ შეგვიძლია ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა სრული დარწმუნებით, რადგან 1 შეიძლება იყოს ან არა. მოვლენას, რომელიც მოცემულ გამოცდილებაში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, ეწოდება შემთხვევითი მოვლენა.

გარკვეული მოვლენის დაწყებაზე ფიქრისას, ჩვენ დიდი ალბათობით არ გამოვიყენებთ სიტყვას "ალბათ". მაგალითად, თუ დღეს ოთხშაბათია, ხვალ არის ხუთშაბათი, ეს არის გარკვეული მოვლენა. ოთხშაბათს არ ვიტყვით: „ალბათ ხვალ ხუთშაბათია“, მოკლედ და გარკვევით ვიტყვით: „ხვალ ხუთშაბათია“. მართალია, თუ ჩვენ მიდრეკილნი ვართ ლამაზი ფრაზებისკენ, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ: "ასი პროცენტიანი ალბათობით ვამბობ, რომ ხვალ ხუთშაბათია". პირიქით, თუ დღეს ოთხშაბათია, ხვალინდელი დღის მოსვლა პარასკევია - შეუძლებელი მოვლენა. ოთხშაბათს ამ მოვლენის შეფასებისას შეგვიძლია ვთქვათ: „დარწმუნებული ვარ, რომ ხვალ პარასკევი არ არის“. ან ასე: „დაუჯერებელია, რომ ხვალ პარასკევია“. კარგი, თუ ჩვენ მიდრეკილნი ვართ ლამაზი ფრაზებისკენ, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ: ”ალბათობა, რომ ხვალ პარასკევია, ნულის ტოლია”. ასე რომ, გარკვეული მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც ხდება მოცემულ პირობებში. 100% დარწმუნებით(ანუ მოდის 10 შემთხვევაში 10-დან, 100 შემთხვევაში 100-დან და ა.შ.). შეუძლებელი მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც არასოდეს ხდება მოცემულ პირობებში, მოვლენა ნულოვანი ალბათობით.

მაგრამ, სამწუხაროდ (და შესაძლოა, საბედნიეროდ), ცხოვრებაში ყველაფერი ასე ნათელი და ნათელი არ არის: ეს ყოველთვის იქნება (გარკვეული მოვლენა), ეს არასოდეს მოხდება (შეუძლებელი მოვლენა). ყველაზე ხშირად, ჩვენ ვხვდებით შემთხვევით მოვლენებს, რომელთაგან ზოგიერთი უფრო სავარაუდოა, ზოგი ნაკლებად სავარაუდოა. ჩვეულებრივ, ადამიანები იყენებენ სიტყვებს "უფრო სავარაუდოა" ან "ნაკლებად სავარაუდო", როგორც ამბობენ, ახირებულად, ეყრდნობიან იმას, რასაც საღი აზრი ჰქვია. მაგრამ ძალიან ხშირად ასეთი შეფასებები არასაკმარისია, რადგან მნიშვნელოვანია იცოდეთ რამდენიპროცენტი სავარაუდოდ შემთხვევითი მოვლენაა ან რამდენჯერერთი შემთხვევითი მოვლენა უფრო სავარაუდოა, ვიდრე მეორე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გვჭირდება ზუსტი რაოდენობრივიმახასიათებლები, თქვენ უნდა შეძლოთ ალბათობის დახასიათება რიცხვით.

ჩვენ უკვე გადავდგით პირველი ნაბიჯები ამ მიმართულებით. ჩვენ ვთქვით, რომ გარკვეული მოვლენის დადგომის ალბათობა ხასიათდება როგორც ასი პროცენტიდა შეუძლებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა როგორც ნული. იმის გათვალისწინებით, რომ 100% უდრის 1-ს, ადამიანები შეთანხმდნენ შემდეგზე:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ითვლება ტოლი 1;
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ითვლება ტოლი 0.

როგორ გამოვთვალოთ შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა? ბოლოს და ბოლოს, ეს მოხდა შემთხვევით, რაც ნიშნავს, რომ ის არ ემორჩილება კანონებს, ალგორითმებს, ფორმულებს. გამოდის, რომ გარკვეული კანონები მოქმედებს შემთხვევითობის სამყაროში, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ალბათობა. ეს არის მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც ე.წ. ალბათობის თეორია.

მათემატიკა ეხება მოდელიჩვენს გარშემო არსებული რეალობის ზოგიერთი ფენომენი. ალბათობის თეორიაში გამოყენებული ყველა მოდელიდან ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესით.

კლასიკური ალბათური სქემა

ზოგიერთი ექსპერიმენტის დროს A მოვლენის ალბათობის დასადგენად, უნდა:

1) ამ ექსპერიმენტის ყველა შესაძლო შედეგის N რიცხვის პოვნა;

2) მიიღოს დაშვება, რომ ყველა ეს შედეგი თანაბრად სავარაუდოა (თანაბრად შესაძლებელია);

3) იპოვნეთ გამოცდილების იმ შედეგების N(A) რიცხვი, რომელშიც ხდება A მოვლენა;

4) იპოვნეთ პირადი ; ტოლი იქნება A მოვლენის ალბათობა.

ჩვეულებრივი მოვლენაა A მოვლენის ალბათობა P(A-ად) დანიშნოს. ამ აღნიშვნის ახსნა ძალიან მარტივია: სიტყვა "ალბათობა" ფრანგულად არის ალბათობა, ინგლისურად- ალბათობა.აღნიშვნაში გამოყენებულია სიტყვის პირველი ასო.

ამ ნოტაციის გამოყენებით, მოვლენის ალბათობა A კლასიკური სქემის მიხედვით შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით

P(A)=.

ხშირად მოცემული კლასიკური ალბათური სქემის ყველა პუნქტი გამოხატულია ერთი საკმაოდ გრძელი ფრაზით.

ალბათობის კლასიკური განმარტება

A მოვლენის ალბათობა გარკვეული ტესტის დროს არის შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რის შედეგადაც ხდება მოვლენა A, ამ ტესტის ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის საერთო რაოდენობასთან.

მაგალითი 1. იპოვეთ ალბათობა, რომ კამათლის ერთ სროლაში: ა) 4; ბ) 5; გ) ქულების ლუწი რაოდენობა; დ) 4-ზე მეტი ქულების რაოდენობა; ე) ქულების რაოდენობა არა მრავლობითი სამი.

გადაწყვეტილება. საერთო ჯამში არის N=6 შესაძლო შედეგი: კუბის პირის ჩამოგდება 1, 2, 3, 4, 5 ან 6-ის ტოლი ქულების მქონე. ანუ, ჩვენ ვეთანხმებით ამ შედეგების მსგავსების ვარაუდს.

ა) ზუსტად ერთ-ერთ შედეგში მოხდება ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა A - 4 რიცხვის დაკარგვა. აქედან გამომდინარე, N (A) \u003d 1 და

პ(ა)= =.

ბ) ამოხსნა და პასუხი იგივეა რაც წინა აბზაცში.

გ) ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა B მოხდება ზუსტად სამ შემთხვევაში, როდესაც ქულების რაოდენობა არის 2, 4 ან 6. აქედან გამომდინარე,

ნ(ბ)=3 დაპ(ბ)==.

დ) ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა C მოხდება ზუსტად ორ შემთხვევაში, როდესაც ქულების რაოდენობა არის 5 ან 6. აქედან გამომდინარე,

ნ(C) =2 და P(C)=.

ე) შედგენილი ექვსი შესაძლო რიცხვიდან ოთხი (1, 2, 4 და 5) არ არის სამის ჯერადი, ხოლო დანარჩენი ორი (3 და 6) იყოფა სამზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა ხდება ზუსტად ოთხში ექვსი შესაძლო და თანაბრად სავარაუდოა ერთმანეთში და ერთნაირად სავარაუდოა ერთმანეთის გამოცდილების შედეგები. ასე რომ, პასუხი არის.

პასუხი: ა); ბ) ; in) ; გ) ; ე).

რეალური სათამაშო კამათელი შეიძლება განსხვავდებოდეს იდეალური (მოდელის) კამათლისგან, ამიტომ, მისი ქცევის აღწერისთვის საჭიროა უფრო ზუსტი და დეტალური მოდელი, ერთი სახის უპირატესობების გათვალისწინებით, მაგნიტების შესაძლო არსებობის გათვალისწინებით და ა.შ. მაგრამ „ეშმაკი დეტალებშია“ და მეტი სიზუსტე უფრო მეტ სირთულეს იწვევს და პასუხის მიღება პრობლემად იქცევა. ჩვენ შემოვიფარგლებით უმარტივესი ალბათური მოდელის გათვალისწინებით, სადაც ყველა შესაძლო შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.

შენიშვნა 1. განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაისვა კითხვა: "რა არის ალბათობა, რომ მიიღოთ სამი ერთ რულონზე?" სტუდენტმა ასე უპასუხა: "ალბათობა არის 0,5". და მან განმარტა თავისი პასუხი: ”სამი ან ამოვარდება, ან არა. ეს ნიშნავს, რომ სულ ორი შედეგია და ზუსტად ერთ შემთხვევაში ხდება ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა. კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით ვიღებთ პასუხს 0.5. არის თუ არა შეცდომა ამ მსჯელობაში? ერთი შეხედვით, არა. თუმცა, ის ჯერ კიდევ არსებობს და ფუნდამენტურ მომენტში. დიახ, მართლაც, სამეული ან ამოვარდება, ან არა, ანუ სროლის შედეგის ასეთი განმარტებით, N = 2. ასევე მართალია N(A)=1 და, რა თქმა უნდა, მართალია =0, 5, ანუ ალბათობის სქემის სამი წერტილია გათვალისწინებული, მაგრამ 2) პუნქტის შესრულება საეჭვოა. რა თქმა უნდა, წმინდა სამართლებრივი თვალსაზრისით, ჩვენ გვაქვს უფლება გვჯეროდეს, რომ სამეულის დაკარგვა თანაბრად სავარაუდოა. მაგრამ შეგვიძლია ასე ვიფიქროთ სახეების „ერთგვაროვნების“ შესახებ საკუთარი ბუნებრივი ვარაუდების დარღვევის გარეშე? Რათქმაუნდა არა! აქ საქმე გვაქვს რაღაც მოდელის ფარგლებში სწორ მსჯელობასთან. მხოლოდ ეს მოდელი არის "მცდარი", არ შეესაბამება რეალურ ფენომენს.

შენიშვნა 2. ალბათობაზე მსჯელობისას მხედველობიდან არ დაკარგოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი გარემოება. თუ ჩვენ ვიტყვით, რომ ჯაგრისის სროლისას ერთი ქულის მიღების ალბათობა უდრის , ეს სულაც არ ნიშნავს იმას, რომ ჯაგრისის 6-ჯერ გადახვევით ზუსტად ერთხელ მიიღებთ ერთ ქულას, 12-ჯერ გადაგდებით. აიღე ერთი ქულა ზუსტად ორჯერ, კვარცხლბეკის 18-ჯერ გადახვევით ერთ ქულას მიიღებ ზუსტად სამჯერ და ა.შ. სიტყვა ალბათ სპეკულაციურია. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს სავარაუდოდ მოხდება. ალბათ 600-ჯერ რომ გავაბრტყელოთ, ერთი წერტილი ამოვა 100-ჯერ, ანუ დაახლოებით 100.

ალბათობის თეორია წარმოიშვა მე-17 საუკუნეში სხვადასხვა აზარტული თამაშების გაანალიზებისას. ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ პირველი მაგალითები სათამაშო ხასიათისაა. კამათლის მაგალითებიდან გადავიდეთ გემბანიდან სათამაშო ბანქოს შემთხვევით გათამაშებაზე.

მაგალითი 2. 36 ბანქოსგან შემდგარი გემბანიდან, შემთხვევით 3 კარტი დგება ერთდროულად. რა არის იმის ალბათობა, რომ მათ შორის ყვავი დედოფალი არ იყოს?

გადაწყვეტილება. ჩვენ გვაქვს 36 ელემენტისგან შემდგარი ნაკრები. ჩვენ ვირჩევთ სამ ელემენტს, რომელთა თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია N=C შედეგების მიღება. ჩვენ ვიმოქმედებთ კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით, ანუ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ეს შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.

რჩება საჭირო ალბათობის გამოთვლა კლასიკური განმარტების მიხედვით:

და რა არის იმის ალბათობა, რომ არჩეულ სამ კარტს შორის იყოს ყვავი დედოფალი? ყველა ასეთი შედეგის რიცხვის გამოთვლა რთული არ არის, თქვენ უბრალოდ უნდა გამოვაკლოთ ყველა N შედეგს ყველა ის შედეგი, რომლებშიც არ არის ყვავი დედოფალი, ანუ გამოკლოთ N(A) რიცხვი, რომელიც ნაპოვნია მაგალითში 3. მაშინ ეს განსხვავება N - N (A) კლასიკური ალბათური სქემის მიხედვით უნდა გაიყოს N-ზე. აი რას მივიღებთ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ არსებობს გარკვეული კავშირი ორი მოვლენის ალბათობას შორის. თუ მოვლენა A მოიცავს ყვავი დედოფლის არყოფნას, ხოლო მოვლენა B შედგება მისი ყოფნა არჩეულ სამ კარტს შორის, მაშინ

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

სამწუხაროდ, ტოლობაში P(A)+P(B)=1 არ არის ინფორმაცია A და B მოვლენების ურთიერთკავშირის შესახებ; ეს კავშირი უნდა გვახსოვდეს. უფრო მოსახერხებელი იქნება B მოვლენას წინასწარ მივცეთ სახელი და აღნიშვნა, რაც ნათლად მიუთითებს მის კავშირზე A-სთან.

განმარტება 1. მოვლენა Bდაურეკა მოვლენის საპირისპიროდ Aდა აღვნიშნავთ B=Ā თუ მოვლენა B ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა A არ ხდება.

თთეორემა 1. საპირისპირო მოვლენის ალბათობის საპოვნელად, გამოვაკლოთ თვით მოვლენის ალბათობა ერთიანობას: Р(Ā)= 1—Р(А). Ნამდვილად,

პრაქტიკაში, ისინი ითვლიან, რისი პოვნა უფრო ადვილია: ან P(A) ან P(Ā). ამის შემდეგ ისინი იყენებენ ფორმულას თეორემიდან და პოულობენ, შესაბამისად, P(Ā)= 1-P(A), ან P(A)= 1-P(Ā).

ხშირად გამოიყენება კონკრეტული პრობლემის გადაჭრის მეთოდი „შემთხვევათა დათვლა“, როდესაც პრობლემის პირობები იყოფა ურთიერთგამომრიცხავ შემთხვევებად, რომელთაგან თითოეული განიხილება ცალკე. მაგალითად, „მარჯვნივ რომ მიდიხარ, ცხენს დაკარგავ, თუ პირდაპირ მიდიხარ, პრობლემას ალბათობის თეორიის მიხედვით მოაგვარებ, თუ მარცხნივ...“. ან y=│x+1│—│2x—5│ ფუნქციის გამოსახვისას განიხილეთ x-ის შემთხვევები

მაგალითი 3. 50 წერტილიდან 17 ლურჯად და 13 ნარინჯისფერია. იპოვნეთ შემთხვევით შერჩეული წერტილის დაჩრდილვის ალბათობა.

გადაწყვეტილება. საერთო ჯამში, 50-დან 30 ქულა დაჩრდილულია, შესაბამისად, ალბათობა = 0,6.

პასუხი: 0.6.

თუმცა, მოდით, უფრო ახლოს მივხედოთ ამ მარტივ მაგალითს. მოვლენა A იყოს ის, რომ არჩეული წერტილი არის ლურჯი, და მოვლენა B იყოს ის, რომ არჩეული წერტილი არის ნარინჯისფერი. კონვენციის თანახმად, მოვლენები A და B არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

ჩვენთვის საინტერესო მოვლენას C ასოთი აღვნიშნავთ. მოვლენა C ხდება თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს მოხდება მინიმუმ ერთი მოვლენა A ან B. ნათელია, რომ N(C)= N(A)+N(B).

ამ ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ N-ზე, მოცემული ექსპერიმენტის ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობაზე; ვიღებთ

ჩვენ გავაანალიზეთ მნიშვნელოვანი და ხშირად წარმოქმნილი სიტუაცია მარტივი მაგალითის გამოყენებით. მისთვის განსაკუთრებული სახელია.

განმარტება 2. მოვლენები A და B ეწოდება შეუთავსებელითუ ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად.

თეორემა 2. ორი შეუთავსებელი მოვლენის მინიმუმ ერთის დადგომის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია.

ამ თეორემის მათემატიკურ ენაზე თარგმნისას საჭირო ხდება რაიმე სახის მოვლენის დასახელება და დანიშვნა, რომელიც შედგება ორი მოცემული მოვლენიდან A და B-დან მინიმუმ ერთის დადგომაში. ასეთ მოვლენას ეწოდება A და B მოვლენების ჯამი და აღინიშნება A+B.

თუ A და B შეუთავსებელია, მაშინ P(A+B)= P(A)+P(B).

Ნამდვილად,

A და B მოვლენების შეუთავსებლობა შეიძლება მოხერხებულად იყოს ილუსტრირებული ფიგურით. თუ გამოცდილების ყველა შედეგი არის პუნქტების გარკვეული ნაკრები ფიგურაში, მაშინ მოვლენები A და B არის რამდენიმე მოცემული სიმრავლის ქვესიმრავლეები. A და B-ის შეუთავსებლობა ნიშნავს, რომ ეს ორი ქვესიმრავლე არ იკვეთება. შეუთავსებელი მოვლენების ტიპიური მაგალითია ნებისმიერი მოვლენა A და საპირისპირო მოვლენა Ā.

რა თქმა უნდა, ეს თეორემა მართებულია სამი, ოთხი და ნებისმიერი სასრული რაოდენობის წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენებისთვის. ნებისმიერი რაოდენობის წყვილი შეუთავსებელი მოვლენების ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.ეს მნიშვნელოვანი განცხადება ზუსტად შეესაბამება პრობლემის გადაჭრის მეთოდს „შემთხვევათა დათვლა“.

მოვლენებს შორის, რომლებიც წარმოიქმნება გარკვეული გამოცდილების შედეგად და ამ მოვლენების ალბათობას შორის, შეიძლება არსებობდეს გარკვეული ურთიერთობები, დამოკიდებულებები, კავშირები და ა.შ. მაგალითად, მოვლენები შეიძლება "დამატებული" და შეუთავსებლობის ჯამის ალბათობა მოვლენები უდრის მათი ალბათობების ჯამს.

დასასრულს განვიხილავთ შემდეგ ფუნდამენტურ კითხვას: შესაძლებელია თუ არა დაამტკიცოს, რომ მონეტის ერთ ჩაგდებაში „კუდების“ მიღების ალბათობა უდრის

პასუხი უარყოფითია. ზოგადად რომ ვთქვათ, თავად კითხვა არ არის სწორი, სიტყვა „დამტკიცოს“ ზუსტი მნიშვნელობა გაუგებარია. ჩვენ ხომ ყოველთვის რაღაცას რაღაცის ჩარჩოებში ვამტკიცებთ მოდელები, რომელშიც უკვე ცნობილია წესები, კანონები, აქსიომები, ფორმულები, თეორემები და ა.შ. თუ საუბარია წარმოსახვით, „იდეალურ“ მონეტაზე, მაშინ ამიტომაც ითვლება ის იდეალურად, რადგან, ა-პრიორიტეტი, თავების მიღების ალბათობა უდრის თავების მიღების ალბათობას. და, პრინციპში, შეგვიძლია განვიხილოთ მოდელი, რომელშიც "კუდების" დაცემის ალბათობა ორჯერ აღემატება "თავების" დაცემის ალბათობას, ან სამჯერ ნაკლები და ა.შ. მაშინ ჩნდება კითხვა: რა მიზეზით სხვადასხვა შესაძლო მოდელებიდან. მონეტის სროლისას ვირჩევთ თუ არა ერთს, რომელშიც სროლის ორივე შედეგი თანაბრად სავარაუდოა?

სრულიად ფრონტალური პასუხია: "მაგრამ ჩვენთვის ეს უფრო ადვილია, უფრო ნათელი და ბუნებრივია!" მაგრამ არსებობს უფრო არსებითი არგუმენტებიც. ისინი პრაქტიკიდან მოდის. ალბათობის თეორიის სახელმძღვანელოების აბსოლუტურ უმრავლესობაში მოცემულია ფრანგი ნატურალისტი ჯ. ბუფონი (მე-18 საუკუნე) და ინგლისელი მათემატიკოსი-სტატისტიკოსი კ. პირსონი (მე-19 საუკუნის ბოლოს), რომლებმაც ესროლა მონეტა, შესაბამისად, 4040 და 24000-ჯერ და დათვალა ჩამოვარდნილი „არწივების“ ან „კუდების“ რაოდენობა. მათი "კუდები" ამოვარდა, შესაბამისად, 1992 და 11998 ჯერ. თუ ითვლი ვარდნის სიხშირე"კუდები", მაშინ მიიღებთ = = 0.493069 ... ბუფონისთვის და = 0.4995 პირსონისთვის. ბუნებრივად წარმოიქმნება ვარაუდირომ მონეტის სროლის რაოდენობის შეუზღუდავი მატებასთან ერთად „კუდების“ დაცემის სიხშირე, ასევე „არწივების“ დაცემის სიხშირე სულ უფრო და უფრო მიუახლოვდება 0,5-ს. სწორედ ეს ვარაუდი, რომელიც ეფუძნება პრაქტიკულ მონაცემებს, არის საფუძველი თანაბარი შედეგების მქონე მოდელის არჩევისთვის.

ახლა შეგვიძლია შევაჯამოთ. ძირითადი კონცეფცია არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა, რომელიც გამოითვლება უმარტივესი მოდელის ფარგლებში - კლასიკური ალბათური სქემა. კონცეფცია მნიშვნელოვანია როგორც თეორიაში, ასევე პრაქტიკაში. საპირისპირო მოვლენადა ფორმულა Р(Ā)= 1—Р(А) ასეთი მოვლენის ალბათობის საპოვნელად.

ბოლოს შევხვდით შეუთავსებელი მოვლენებიდა ფორმულებით.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

საშუალებას იძლევა იპოვოთ ალბათობა თანხებიასეთი მოვლენები.

ბიბლიოგრაფია

1. მოვლენები. ალბათობები. სტატისტიკური მონაცემების დამუშავება: დამატება. ალგებრის კურსის აბზაცები 7-9 უჯრედი. საგანმანათლებლო დაწესებულებები / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.-4th ed.-M.: Mnemozina, 2006.-112 გვ.: ill.

2.იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი „ალგებრა. სტატისტიკის ელემენტები და ალბათობის თეორია.-მოსკოვი, განმანათლებლობა, 2006 წ.

სასარგებლო გვერდი? შეინახეთ ან უთხარით თქვენს მეგობრებს

ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის შემთხვევითი მოვლენის კონცეფცია. შემთხვევითი მოვლენამოვლენას ეწოდება მოვლენა, რომელიც გარკვეულ პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. მაგალითად, მოცემული იარაღით ამ ობიექტზე სროლისას ობიექტზე დარტყმა ან გაშვება შემთხვევითი მოვლენაა.

ღონისძიება ე.წ ავთენტურითუ ტესტის შედეგად ეს აუცილებლად მოხდება. შეუძლებელიამოვლენას ეწოდება მოვლენა, რომელიც ვერ მოხდება ტესტის შედეგად.

შემთხვევითი მოვლენები ეწოდება შეუთავსებელიმოცემულ სასამართლო პროცესზე, თუ არც ერთი მათგანი არ შეიძლება გამოჩნდეს ერთად.

შემთხვევითი მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფი, თუ ყოველ საცდელზე შეიძლება გამოჩნდეს რომელიმე მათგანი და არ გამოჩნდეს მათთან შეუთავსებელი სხვა მოვლენა.

განვიხილოთ თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი შემთხვევითი მოვლენების სრული ჯგუფი. ასეთ ღონისძიებებს ეძახიან შედეგები ან ელემენტარული მოვლენები. გამოსვლა ჰქვია ხელსაყრელი$A$ მოვლენის დადგომა, თუ ამ შედეგის დადგომა იწვევს $A$ მოვლენის დადგომას.

მაგალითი.ურნა შეიცავს 8 დანომრილ ბურთს (თითოეულ ბურთულას აქვს ერთი ნომერი 1-დან 8-მდე). 1, 2, 3 ნომრებით ბურთები წითელია, დანარჩენი შავი. ბურთის გამოჩენა ნომრით 1 (ან ნომერი 2 ან ნომერი 3) არის წითელი ბურთის გამოჩენისთვის ხელსაყრელი მოვლენა. ბურთის გამოჩენა ნომრით 4 (ან რიცხვი 5, 6, 7, 8) არის მოვლენა, რომელიც ხელს უწყობს შავი ბურთის გამოჩენას.

მოვლენის ალბათობა$A$ არის $m$ შედეგების რიცხვის თანაფარდობა ამ მოვლენის სასარგებლოდ $n$ ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რიცხვთან $$P(A)=\frac(m)(n) ). \ოთხ(1)$$

საკუთრება 1.გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს
საკუთრება 2.შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.
საკუთრება 3.შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის.

ასე რომ, ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს ორმაგ უტოლობას $0 \le P(A) \le 1$ .

ონლაინ კალკულატორები

(1) ფორმულით გადაწყვეტილი ამოცანების დიდი ფენა ეხება ჰიპერგეომეტრიული ალბათობის თემას. ბმულების ქვემოთ შეგიძლიათ იპოვოთ პოპულარული ამოცანების აღწერა და მათი გადაწყვეტილებების ონლაინ კალკულატორები:

• პრობლემა ბურთებთან დაკავშირებით (ურნა შეიცავს $k$ თეთრი და $n$ შავი ბურთები, $m$ ბურთები ამოღებულია...)
• ნაწილების პრობლემა (ყუთი შეიცავს $k$ სტანდარტულ და $n$ დეფექტურ ნაწილებს, $m$ ნაწილები ამოღებულია...)
• პრობლემა ლატარიის ბილეთებთან დაკავშირებით ($k$ მოგებული და $n$ წაგებული ბილეთები მონაწილეობენ ლატარიაში, $m$ ბილეთები ყიდულობენ...)

პრობლემების გადაჭრის მაგალითები კლასიკური ალბათობით

მაგალითი.ურნაში არის 10 დანომრილი ბურთი 1-დან 10-მდე ნომრებით. ერთი ბურთი ამოღებულია. რა არის იმის ალბათობა, რომ გათამაშებული ბურთის რაოდენობა არ აღემატებოდეს 10-ს?

გადაწყვეტილება.დაე, ღონისძიება მაგრამ= (გათამაშებული ბურთის რაოდენობა არ აღემატება 10-ს). ხელსაყრელი მოვლენების შემთხვევების რაოდენობა მაგრამუდრის ყველა შესაძლო შემთხვევის რაოდენობას მ=ნ=10. აქედან გამომდინარე, რ(მაგრამ)=1. ღონისძიება სანდო.

მაგალითი.ურნაში არის 10 ბურთი: 6 თეთრი და 4 შავი. ამოაძვრინა ორი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრი იყოს?

გადაწყვეტილება.ათიდან ორი ბურთის ამოღება შეგიძლიათ შემდეგი გზით: .
იმ შემთხვევების რაოდენობა, როდესაც ამ ორს შორის ორი თეთრი ბურთია .
სასურველი ალბათობა
.

მაგალითი.ურნაში არის 15 ბურთი: 5 თეთრი და 10 შავი. რა არის ურნადან ლურჯი ბურთის დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება.ვინაიდან ურნაში ლურჯი ბურთები არ არის, მ=0, ნ=15. ამიტომ, სასურველი ალბათობა რ=0. ლურჯი ბურთის დახატვის მოვლენა შეუძლებელია.

მაგალითი.ერთი კარტი დგება 36 კარტიანი დასტადან. რა არის გულის კარტის გაჩენის ალბათობა?

გადაწყვეტილება. ელემენტარული შედეგების რაოდენობა (ბარათების რაოდენობა) ნ=36. ღონისძიება მაგრამ= (გულის კოსტუმის ბარათის გამოჩენა). მოვლენის დადგომისთვის ხელსაყრელი ჯერების რაოდენობა მაგრამ, მ=9. აქედან გამომდინარე,
.

მაგალითი.კაბინეტში 6 კაცი და 4 ქალია. გადაადგილებისთვის შემთხვევითობის პრინციპით შეირჩა 7 ადამიანი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შერჩეულ პირებს შორის სამი ქალია.