განმარტება

გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც ჩაკეტილია ერთი წერტილიდან გამოსულ ორ სხივს შორის, ეწოდება ბრტყელი კუთხე.

განმარტება

კუთხე ორს შორისიკვეთება პირდაპირიუწოდეს უმცირესი სიბრტყის კუთხის მნიშვნელობა ამ წრფეების გადაკვეთაზე. თუ ორი წრფე პარალელურია, მაშინ მათ შორის კუთხე ითვლება ნულამდე.

კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის (თუ იზომება რადიანებში) შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობები ნულიდან $\dfrac(\pi)(2)$-მდე.

განმარტება

კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორისეწოდება მნიშვნელობა, რომელიც ტოლია კუთხის ორ გადამკვეთ სწორ ხაზებს შორის დახრილი ხაზების პარალელურად. $a$ და $b$ წრფეებს შორის კუთხე აღინიშნება $\კუთხით (a, b)$.

შემოტანილი განმარტების სისწორე გამომდინარეობს შემდეგი თეორემიდან.

სიბრტყის კუთხის თეორემა პარალელური გვერდებით

ორი ამოზნექილი სიბრტყის კუთხის მნიშვნელობები შესაბამისი პარალელური და თანაბრად მიმართული გვერდებით ტოლია.

მტკიცებულება

თუ კუთხეები სწორია, მაშინ ისინი ორივე $\pi$-ის ტოლია. თუ ისინი არ არის განვითარებული, მაშინ გამოვსახავთ $ON=O_1ON_1$ და $OM=O_1M_1$ ტოლ სეგმენტებს $\კუთხის AOB$ და $\კუთხის A_1O_1B_1$-ის შესაბამის გვერდებზე.

ოთხკუთხედი $O_1N_1NO$ არის პარალელოგრამი, რადგან მისი მოპირდაპირე გვერდები $ON$ და $O_1N_1$ ტოლია და პარალელურია. ანალოგიურად, ოთხკუთხედი $O_1M_1MO$ ​​არის პარალელოგრამი. აქედან გამომდინარე, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ და $NN_1 \პარალელური OO_1 \პარალელური MM_1$, აქედან გამომდინარე, $NN_1=MM_1$ და $NN_1 \პარალელური MM_1$ გარდამავალობით. ოთხკუთხედი $N_1M_1MN$ არის პარალელოგრამი, რადგან მისი მოპირდაპირე გვერდები ტოლია და პარალელურია. აქედან გამომდინარე, სეგმენტები $NM$ და $N_1M_1$ ასევე ტოლია. სამკუთხედები $ONM$ და $O_1N_1M_1$ ტოლია მესამე სამკუთხედის ტოლობის კრიტერიუმის მიხედვით, შესაბამისად, შესაბამისი კუთხეები $\კუთხე NOM$ და $\კუთხე N_1O_1M_1$ ასევე ტოლია.

განმარტება.თუ ორი წრფე მოცემულია y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , მაშინ ამ წრფეებს შორის მახვილი კუთხე განისაზღვრება როგორც

ორი წრფე პარალელურია, თუ k 1 = k 2 . ორი წრფე პერპენდიკულარულია, თუ k 1 = -1/ k 2 .

თეორემა.სწორი ხაზები Ax + Vy + C \u003d 0 და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB პროპორციულია. თუ ასევე С 1 = λС, მაშინ ხაზები ემთხვევა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები გვხვდება ამ წრფეების განტოლებათა სისტემის ამონახსნის სახით.

მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება

ამ ხაზის პერპენდიკულარული

განმარტება.ხაზი, რომელიც გადის M 1 წერტილში (x 1, y 1) და პერპენდიკულარულია y \u003d kx + b წრფეზე, წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

თეორემა.თუ მოცემულია წერტილი M(x 0, y 0), მაშინ მანძილი Ax + Vy + C \u003d 0 წრფემდე განისაზღვრება, როგორც

.

მტკიცებულება.წერტილი M 1 (x 1, y 1) იყოს M წერტილიდან მოცემულ წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის საფუძველი. შემდეგ მანძილი M და M 1 წერტილებს შორის:

(1)

x 1 და y 1 კოორდინატები შეიძლება მოიძებნოს განტოლებათა სისტემის ამოხსნის სახით:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 მოცემულ სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულად. თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითი. დაადგინეთ კუთხე წრფეებს შორის: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

მაგალითი. აჩვენეთ, რომ წრფეები 3x - 5y + 7 = 0 და 10x + 6y - 3 = 0 პერპენდიკულურია.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, შესაბამისად, ხაზები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი. მოცემულია A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) სამკუთხედის წვეროები. იპოვეთ C წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება.

გადაწყვეტილება. ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

სასურველი სიმაღლის განტოლებაა: Ax + By + C = 0 ან y = kx + b. k = . მაშინ y =. იმიტომ რომ სიმაღლე გადის C წერტილში, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ ამ განტოლებას: საიდანაც b = 17. სულ: .

პასუხი: 3x + 2y - 34 = 0.

მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი წრფის განტოლება. ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება. კუთხე ორ ხაზს შორის. ორი წრფის პარალელურობის და პერპენდიკულარულობის პირობა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრა

1. მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება ა(x 1 , წ 1) მოცემული მიმართულებით, განსაზღვრული ფერდობზე კ,

წ - წ 1 = კ(x - x 1). (1)

ეს განტოლება განსაზღვრავს ხაზების ფანქარს, რომელიც გადის წერტილში ა(x 1 , წ 1), რომელსაც სხივის ცენტრს უწოდებენ.

2. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში: ა(x 1 , წ 1) და ბ(x 2 , წ 2) ასე წერია:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის დახრილობა განისაზღვრება ფორმულით

3. კუთხე სწორ ხაზებს შორის ადა ბარის კუთხე, რომლითაც უნდა შემობრუნდეს პირველი სწორი ხაზი აამ ხაზების გადაკვეთის წერტილის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, სანამ ის მეორე ხაზს არ დაემთხვევა ბ. თუ ორი წრფე მოცემულია დახრილობის განტოლებით

წ = კ 1 x + ბ 1 ,

წ = კ 2 x + ბ 2 , (4)

მაშინ მათ შორის კუთხე განისაზღვრება ფორმულით

გასათვალისწინებელია, რომ წილადის მრიცხველში პირველი სწორი ხაზის დახრილობა გამოკლებულია მეორე სწორი ხაზის დახრილობას.

თუ სწორი ხაზის განტოლებები მოცემულია ზოგადი სახით

ა 1 x + ბ 1 წ + C 1 = 0,

ა 2 x + ბ 2 წ + C 2 = 0, (6)

მათ შორის კუთხე განისაზღვრება ფორმულით

4. ორი წრფის პარალელურობის პირობები:

ა) თუ წრფეები მოცემულია (4) განტოლებით დახრილობით, მაშინ მათი პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მათი დახრილობის ტოლობა:

კ 1 = კ 2 . (8)

ბ) იმ შემთხვევისთვის, როდესაც წრფეები მოცემულია განტოლებებით ზოგადი ფორმით (6), მათი პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ კოეფიციენტები შესაბამის მიმდინარე კოორდინატებზე მათ განტოლებებში იყოს პროპორციული, ე.ი.

5. ორი წრფის პერპენდიკულარულობის პირობები:

ა) იმ შემთხვევაში, როდესაც ხაზები მოცემულია (4) განტოლებით დახრილობით, მათი პერპენდიკულარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ მათი ფერდობები სიდიდით ურთიერთსაწინააღმდეგო იყოს და ნიშნით საპირისპირო, ე.ი.

ეს პირობა ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

კ 1 კ 2 = -1. (11)

ბ) თუ სწორი წრფეების განტოლებები მოცემულია ზოგადი სახით (6), მაშინ მათი პერპენდიკულარობის (აუცილებელი და საკმარისი) პირობა არის ტოლობის შესრულება.

ა 1 ა 2 + ბ 1 ბ 2 = 0. (12)

6. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები გვხვდება განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (6). წრფეები (6) იკვეთება თუ და მხოლოდ თუ

1. დაწერეთ M წერტილში გამავალი წრფეების განტოლებები, რომელთაგან ერთი პარალელურია, მეორე კი მოცემული l წრფის პერპენდიკულარული.

ინექცია φ ზოგადი განტოლებები A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 და A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, გამოითვლება ფორმულით:

ინექცია φ ორ სწორ ხაზს შორის კანონიკური განტოლებები(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 და (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, გამოითვლება ფორმულით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

სივრცეში თითოეული სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წრფივი განტოლება, რომელსაც ეწოდება ზოგადი განტოლებათვითმფრინავი

განსაკუთრებული შემთხვევები.

o თუ განტოლებაში (8), მაშინ სიბრტყე გადის საწყისზე.

o (,)-ით სიბრტყე პარალელურია ღერძის (ღერძი, ღერძი) შესაბამისად.

o როდესაც (,) სიბრტყე სიბრტყის პარალელურია (სიბრტყე, სიბრტყე).

გამოსავალი: გამოიყენეთ (7)

პასუხი: სიბრტყის ზოგადი განტოლება.

მაგალითი.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxyz სიბრტყე მოცემულია სიბრტყის ზოგადი განტოლებით . ჩაწერეთ ამ სიბრტყეში ყველა ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

ვიცით, რომ x, y და z ცვლადების კოეფიციენტები სიბრტყის ზოგად განტოლებაში არის ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის შესაბამისი კოორდინატები. მაშასადამე, მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორი აქვს კოორდინატები. ყველა ნორმალური ვექტორის სიმრავლე შეიძლება იყოს მოცემული როგორც.

დაწერეთ სიბრტყის განტოლება, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxyz სივრცეში გადის წერტილს , ა არის ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი.

გთავაზობთ ამ პრობლემის ორ გადაწყვეტას.

იმ მდგომარეობიდან რაც გვაქვს. ჩვენ ამ მონაცემებს ვანაცვლებთ წერტილში გამავალი სიბრტყის ზოგად განტოლებაში:

დაწერეთ ზოგადი განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც პარალელურია Oyz-ის კოორდინატთა სიბრტყის და გადის წერტილში .

სიბრტყე, რომელიც პარალელურია Oyz-ის კოორდინატთა სიბრტყის პარალელურად, შეიძლება მივიღოთ ფორმის სიბრტყის ზოგადი არასრული განტოლებით. მას შემდეგ რაც წერტილი პირობით სიბრტყეს ეკუთვნის, მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სიბრტყის განტოლებას, ანუ ტოლობა უნდა იყოს ჭეშმარიტი. აქედან ვპოულობთ. ამრიგად, სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა.

გადაწყვეტილება. ვექტორული ნამრავლი, განმარტებით 10.26, ორთოგონალურია p და q ვექტორების მიმართ. ამიტომ, ის ორთოგონალურია სასურველ სიბრტყეზე და ვექტორი შეიძლება მივიღოთ მის ნორმალურ ვექტორად. იპოვეთ n ვექტორის კოორდინატები:

ე.ი . ფორმულის გამოყენებით (11.1) ვიღებთ

ამ განტოლებაში ფრჩხილების გახსნით მივდივართ საბოლოო პასუხამდე.

პასუხი: .

მოდით გადავწეროთ ნორმალური ვექტორი ფორმაში და ვიპოვოთ მისი სიგრძე:

ზემოაღნიშნულის მიხედვით:

უპასუხე:

პარალელურ სიბრტყეებს აქვთ იგივე ნორმალური ვექტორი. 1) განტოლებიდან ვპოულობთ სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს:.

2) ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას წერტილის და ნორმალური ვექტორის მიხედვით:

უპასუხე:

სიბრტყის ვექტორული განტოლება სივრცეში

სიბრტყის პარამეტრული განტოლება სივრცეში

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარულად

სამგანზომილებიან სივრცეში მოყვანილი იყოს მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი პრობლემა:

დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მ(x 0, წ 0, ზ 0) მოცემულ ვექტორზე პერპენდიკულარული n = ( ა, ბ, C} .

გადაწყვეტილება. დაე იყოს პ(x, წ, ზ) არის თვითნებური წერტილი სივრცეში. Წერტილი პეკუთვნის სიბრტყეს თუ და მხოლოდ თუ ვექტორი დეპუტატი = {x − x 0, წ − წ 0, ზ − ზ 0) ორთოგონალური ვექტორის მიმართ ნ = {ა, ბ, C) (სურ. 1).

ამ ვექტორებისთვის ორთოგონალურობის პირობის დაწერის შემდეგ (n, დეპუტატი) = 0 კოორდინატთა სახით, მივიღებთ:

ა(x − x 0) + ბ(წ − წ 0) + C(ზ − ზ 0) = 0

სიბრტყის განტოლება სამი წერტილით

ვექტორული სახით

კოორდინატებში

თვითმფრინავების ურთიერთგანლაგება სივრცეში

ორი სიბრტყის ზოგადი განტოლებაა. შემდეგ:

1) თუ , მაშინ თვითმფრინავები ერთმანეთს ემთხვევა;

2) თუ , მაშინ სიბრტყეები პარალელურია;

3) თუ ან , მაშინ სიბრტყეები იკვეთება და განტოლებათა სისტემა

(6)

არის მოცემული სიბრტყეების გადაკვეთის წრფის განტოლებები.

გადაწყვეტილება: სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებებს ვადგენთ ფორმულით: უპასუხე:

ჩვენ ვიღებთ მიღებულ განტოლებებს და გონებრივად „ამაგრებთ“, მაგალითად, მარცხენა ნაწილს: . ახლა ჩვენ ვაიგივებთ ამ ნაწილს ნებისმიერ ნომერზე(გახსოვდეთ, რომ უკვე იყო ნული), მაგალითად, ერთზე: . ვინაიდან , მაშინ დანარჩენი ორი „ცალი“ ასევე უნდა იყოს ერთის ტოლი. არსებითად, თქვენ უნდა მოაგვაროთ სისტემა:

დაწერეთ პარამეტრული განტოლებები შემდეგი ხაზებისთვის:

გადაწყვეტილება: წრფეები მოცემულია კანონიკური განტოლებებით და პირველ ეტაპზე უნდა მოიძებნოს წრფისა და მისი მიმართულების ვექტორის კუთვნილი წერტილი.

ა) განტოლებიდან ამოიღეთ წერტილი და მიმართულების ვექტორი: . თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვა წერტილი (როგორ გავაკეთოთ ეს აღწერილია ზემოთ), მაგრამ უმჯობესია აიღოთ ყველაზე აშკარა. სხვათა შორის, შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, ყოველთვის შეცვალეთ მისი კოორდინატები განტოლებებში.

მოდით შევადგინოთ ამ სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები:

პარამეტრული განტოლებების მოხერხებულობა იმაში მდგომარეობს, რომ მათი დახმარებით ძალიან ადვილია წრფის სხვა წერტილების პოვნა. მაგალითად, ვიპოვოთ წერტილი, რომლის კოორდინატები, ვთქვათ, შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას:

ამრიგად: ბ) განვიხილოთ კანონიკური განტოლებები . წერტილის არჩევა აქ მარტივია, მაგრამ მზაკვრული: (ფრთხილად არ აირიოთ კოორდინატები!!!). როგორ ამოვიღოთ სახელმძღვანელო ვექტორი? შეგიძლიათ მსჯელოთ, რის პარალელურია ეს სწორი ხაზი, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი ფორმალური ხრიკი: პროპორცია არის „y“ და „z“, ამიტომ ვწერთ მიმართულების ვექტორს და დარჩენილ სივრცეში ვსვამთ ნულს: .

ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს:

გ) გადავიწეროთ განტოლებები სახით , ანუ „Z“ შეიძლება იყოს ნებისმიერი. და თუ არსებობს, მაშინ მოდით, მაგალითად, . ამრიგად, წერტილი ეკუთვნის ამ ხაზს. მიმართულების ვექტორის საპოვნელად ვიყენებთ შემდეგ ფორმალურ ტექნიკას: საწყის განტოლებებში არის "x" და "y", ხოლო მიმართულების ვექტორში ამ ადგილებში ვწერთ. ნულები: . დარჩენილ ადგილას ვდებთ ერთეული: . ერთის ნაცვლად, ნებისმიერი რიცხვი, ნულის გარდა, გააკეთებს.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს:

მოდით, დეკარტის კოორდინატთა სისტემის სიბრტყეზე ორი წრფე l და m მოცემულია ზოგადი განტოლებებით: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

ნორმების ვექტორები ამ წრფეებზე: = (A 1 , B 1) - l წრფემდე,

= (A 2 , B 2) m წრფემდე.

მოდით j იყოს კუთხე l და m წრფეებს შორის.

ვინაიდან ორმხრივი პერპენდიკულარული გვერდების მქონე კუთხეები ან ტოლია ან ემატება p-ს, მაშინ , ანუ cos j = .

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა.

თეორემა.მოდით j იყოს კუთხე სიბრტყეში ორ სწორ წრფეს შორის და ეს სწორი ხაზები მოცემული იყოს დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში ზოგადი განტოლებით A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 და A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. შემდეგ cos j = .

Სავარჯიშოები.

1) გამოიღეთ ფორმულა ხაზებს შორის კუთხის გამოსათვლელად, თუ:

(1) ორივე ხაზი მოცემულია პარამეტრულად; (2) ორივე ხაზი მოცემულია კანონიკური განტოლებებით; (3) ერთი სწორი ხაზი მოცემულია პარამეტრულად, მეორე სწორი – ზოგადი განტოლებით; (4) ორივე ხაზი მოცემულია დახრილობის განტოლებით.

2) მოდით j იყოს კუთხე სიბრტყეში ორ სწორ წრფეს შორის და ეს სწორი ხაზები მიეცეს დეკარტის კოორდინატთა სისტემას განტოლებით y = k 1 x + b 1 და y =k 2 x + b 2 განტოლებებით.

მაშინ tan j = .

3) გამოიკვლიეთ ზოგადი განტოლებებით მოცემული ორი წრფის ფარდობითი პოზიცია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში და შეავსეთ ცხრილი:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სიბრტყეში.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში სიბრტყეზე l წრფე მოცემულია ზოგადი განტოლებით Ax + By + C = 0. იპოვეთ მანძილი M(x 0 , y 0) წერტილიდან l წრფემდე.

მანძილი M წერტილიდან l წრფემდე არის პერპენდიკულარული HM-ის სიგრძე (H н l, HM ^ l).

ვექტორი და ნორმალური ვექტორი l წრფესთან არის კოლინარული, ასე რომ | | = | | | | და | | = .

H წერტილის კოორდინატები იყოს (x,y).

ვინაიდან H წერტილი ეკუთვნის l წრფეს, მაშინ Ax + By + C = 0 (*).

ვექტორების კოორდინატები და: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By, იხილეთ (*))

თეორემა. l წრფე მივიღოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ზოგადი განტოლებით Ax + By + C = 0. მაშინ მანძილი M(x 0 , y 0) წერტილიდან ამ წრფემდე გამოითვლება ფორმულით: r (M; მ) = .

Სავარჯიშოები.

1) გამოიტანეთ ფორმულა წერტილიდან წრფემდე მანძილის გამოსათვლელად, თუ: (1) წრფე მოცემულია პარამეტრულად; (2) ხაზი მოცემულია კანონიკური განტოლებებით; (3) სწორი ხაზი მოცემულია დახრილობის განტოლებით.

2) ჩაწერეთ წრის განტოლება 3x - y = 0 წრფეზე ტანგენტით, რომელიც ცენტრით არის Q(-2,4).

3) დაწერეთ 2x + y - 1 = 0 და x + y + 1 = 0 წრფეების გადაკვეთით წარმოქმნილი კუთხეების გამყოფი წრფეების განტოლებები.

§ 27. სიბრტყის ანალიტიკური განსაზღვრება სივრცეში

განმარტება. ჩვეულებრივი ვექტორი სიბრტყემდეჩვენ ვუწოდებთ არანულოვან ვექტორს, რომლის ნებისმიერი წარმომადგენელი პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეზე.

კომენტარი.ნათელია, რომ თუ ვექტორის ერთი წარმომადგენელი მაინც არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ ვექტორის ყველა სხვა წარმომადგენელი ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

მოდით, სივრცეში მოცემული იყოს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა.

მიეცით a სიბრტყე, = (A, B, C) – ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი, წერტილი M (x 0 , y 0 , z 0) ეკუთვნის a სიბრტყეს.

a სიბრტყის ნებისმიერი N(x, y, z) წერტილისთვის, ვექტორები და ორთოგონალურია, ანუ მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია: = 0. ბოლო ტოლობა ჩავწეროთ კოორდინატებში: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

მოდით -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, შემდეგ Ax + By + Cz + D = 0.

აიღეთ წერტილი K (x, y) ისე, რომ Ax + By + Cz + D \u003d 0. ვინაიდან D \u003d -Ax 0 - 0-ით - Cz 0, მაშინ A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.ვინაიდან მიმართული სეგმენტის კოორდინატები = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), ბოლო ტოლობა ნიშნავს, რომ ^ , და, შესაბამისად, K н a.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა:

თეორემა.ნებისმიერი სიბრტყე სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში შეიძლება განისაზღვროს Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ფორმის განტოლებით, სადაც (A, B, C) არის ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

პირიქითაც მართალია.

თეორემა. Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ფორმის ნებისმიერი განტოლება დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში განსაზღვრავს გარკვეულ სიბრტყეს, ხოლო (A, B, C) არის კოორდინატები. ნორმალური ვექტორი ამ სიბრტყისთვის.

მტკიცებულება.

აიღეთ წერტილი M (x 0, y 0, z 0) ისე, რომ Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 და ვექტორი = (A, B, C) (≠ q).

სიბრტყე (და მხოლოდ ერთი) გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ M წერტილში. წინა თეორემის მიხედვით, ეს სიბრტყე მოცემულია განტოლებით Ax + By + Cz + D = 0.

განმარტება. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ფორმის განტოლება ე.წ. თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება.

მაგალითი.

დავწეროთ M (0.2.4), N (1,-1.0) და K (-1.0.5) წერტილებზე გამავალი სიბრტყის განტოლება.

1. იპოვეთ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები (MNK). ვინაიდან ვექტორული ნამრავლი ´ არის ორთოგონალური არასწორხაზოვანი ვექტორების მიმართ და , ვექტორი არის კოლინარული ´-ზე.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

ასე რომ, როგორც ნორმალური ვექტორი, აიღეთ ვექტორი = (-11, 3, -5).

2. ახლა გამოვიყენოთ პირველი თეორემის შედეგები:

ამ სიბრტყის განტოლება A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, სადაც (A, B, C) არის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, (x 0). , y 0 , z 0) – სიბრტყეში მდებარე წერტილის კოორდინატები (მაგალითად, წერტილი M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

პასუხი: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Სავარჯიშოები.

1) დაწერეთ სიბრტყის განტოლება თუ

(1) სიბრტყე გადის M წერტილში (-2,3,0) სიბრტყის პარალელურად 3x + y + z = 0;

(2) სიბრტყე შეიცავს (Ox) ღერძს და პერპენდიკულარულია x + 2y – 5z + 7 = 0 სიბრტყეზე.

2) დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს.

§ 28. ნახევარსივრცის ანალიტიკური სპეციფიკაცია*

კომენტარი *. დაე, რაიმე თვითმფრინავი გამოსწორდეს. ქვეშ ნახევარი სივრცეჩვენ გავიგებთ მოცემული სიბრტყის ერთ მხარეს მდებარე წერტილების სიმრავლეს, ანუ ორი წერტილი დევს ერთსა და იმავე ნახევარსივრცეში, თუ მათი დამაკავშირებელი სეგმენტი არ კვეთს მოცემულ სიბრტყეს. ამ თვითმფრინავს ე.წ ამ ნახევარსივრცის საზღვარი. მოცემული სიბრტყისა და ნახევარსივრცის გაერთიანება დაერქმევა დახურული ნახევარი სივრცე.

მოდით, სივრცეში დაფიქსირდეს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა.

თეორემა.სიბრტყე a მოცემულია ზოგადი განტოლებით Ax + By + Cz + D = 0. მაშინ ორი ნახევარსივრციდან ერთ-ერთი, რომელშიც სიბრტყე a ყოფს სივრცეს, მოცემულია უტოლობა Ax + By + Cz + D > 0. , ხოლო მეორე ნახევარსივრცე მოცემულია უტოლობით Ax + By + Cz + D< 0.

მტკიცებულება.

მოდით გამოვსახოთ ნორმალური ვექტორი = (A, B, С) a სიბრტყეზე ამ სიბრტყეზე მდებარე M წერტილიდან (x 0 , y 0 , z 0): = , M н a, MN ^ a. თვითმფრინავი სივრცეს ყოფს ორ ნახევრად სივრცედ: b 1 და b 2 . ნათელია, რომ N წერტილი ერთ-ერთ ამ ნახევარსივრცეს ეკუთვნის. განზოგადების დაკარგვის გარეშე ვვარაუდობთ, რომ N н b 1 .

დავამტკიცოთ, რომ ნახევარსივრცე b 1 განისაზღვრება უტოლობით Ax + By + Cz + D > 0.

1) აიღეთ წერტილი K(x,y,z) ნახევარსივრცეში b 1 . კუთხე Ð NMK არის კუთხე ვექტორებს შორის და არის მახვილი, ამიტომ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი დადებითია: > 0. ეს უტოლობა ჩავწეროთ კოორდინატებში: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ანუ Ax + By + Cy - Ax 0 - 0 - C z 0 > 0.

ვინაიდან M н b 1 , მაშინ Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, შესაბამისად -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. ამიტომ, ბოლო უტოლობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: Ax + By + Cz + D > 0.

2) აიღეთ წერტილი L(x,y), რომ Ax + By + Cz + D > 0.

მოდით გადავწეროთ უტოლობა, ჩავანაცვლოთ D-ით (-Ax 0 - 0 - C z 0-ით) (რადგან M н b 1, შემდეგ Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

ვექტორი კოორდინატებით (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) არის ვექტორი, ამიტომ გამოხატულება A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) შეიძლება გავიგოთ , როგორც ვექტორების სკალარული ნამრავლი და . ვინაიდან ვექტორების სკალარული ნამრავლი და დადებითია, მათ შორის კუთხე მკვეთრია და წერტილი L н b 1 .

ანალოგიურად, შეიძლება დავამტკიცოთ, რომ ნახევარსივრცე b 2 მოცემულია უტოლობით Ax + By + Cz + D< 0.

შენიშვნები.

1) ცხადია, რომ ზემოაღნიშნული მტკიცებულება არ არის დამოკიდებული a სიბრტყეში M წერტილის არჩევანზე.

2) ნათელია, რომ ერთი და იგივე ნახევარსივრცე შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა უტოლობით.

პირიქითაც მართალია.

თეორემა. Ax + By + Cz + D > 0 (ან Ax + By + Cz + D ფორმის ნებისმიერი წრფივი უტოლობა< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

მტკიცებულება.

განტოლება Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) სივრცეში განსაზღვრავს გარკვეულ a სიბრტყეს (იხ. § ...). როგორც წინა თეორემაში დადასტურდა, ორი ნახევარსივრციდან ერთ-ერთი, რომელშიც სიბრტყე ყოფს სივრცეს, მოცემულია უტოლობა Ax Ax + By + Cz + D > 0.

შენიშვნები.

1) ცხადია, რომ დახურული ნახევარსივრცე შეიძლება განისაზღვროს არამკაცრი წრფივი უტოლობით, ხოლო ნებისმიერი არამკაცრი წრფივი უტოლობა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში განსაზღვრავს დახურულ ნახევარსივრცეს.

2) ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიედონი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დახურული ნახევრად სივრცის კვეთა (რომლის საზღვრები არის სიბრტყეები, რომლებიც შეიცავს პოლიედრონის სახეებს), ანუ ანალიტიკურად, როგორც წრფივი არამკაცრი უტოლობების სისტემა.

Სავარჯიშოები.

1) დაამტკიცეთ ორი თეორემა წარმოდგენილი თვითნებური აფინური კოორდინატთა სისტემისთვის.

2) მართალია თუ არა პირიქით, რომ არამკაცრი წრფივი უტოლობათა ნებისმიერი სისტემა განსაზღვრავს ამოზნექილ მრავალკუთხედს?

Ვარჯიში.

1) გამოიკვლიეთ ზოგადი განტოლებებით მოცემული ორი სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში და შეავსეთ ცხრილი.

ეს მასალა ეძღვნება ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. პირველ აბზაცში განვმარტავთ რა არის და ილუსტრაციებში ვაჩვენებთ. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ კუთხის სინუსი, კოსინუსი და თავად კუთხე (ცალკე განვიხილავთ შემთხვევებს სიბრტყით და სამგანზომილებიანი სივრცით), მივცემთ საჭირო ფორმულებს და მაგალითებით ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ისინი. პრაქტიკაში.

იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ორი წრფის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხე, უნდა გავიხსენოთ კუთხის, პერპენდიკულარობის და გადაკვეთის წერტილის განმარტება.

განმარტება 1

ორ წრფეს ვუწოდებთ გადაკვეთას, თუ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი. ამ წერტილს ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი ეწოდება.

თითოეული ხაზი გადაკვეთის წერტილით იყოფა სხივებად. ამ შემთხვევაში, ორივე ხაზი ქმნის 4 კუთხეს, რომელთაგან ორი ვერტიკალურია და ორი მიმდებარე. თუ ჩვენ ვიცით ერთი მათგანის ზომა, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ დანარჩენი დანარჩენი.

ვთქვათ, ვიცით, რომ ერთ-ერთი კუთხე უდრის α-ს. ასეთ შემთხვევაში, კუთხე, რომელიც მასზე ვერტიკალურია, ასევე იქნება α-ს. დარჩენილი კუთხეების საპოვნელად უნდა გამოვთვალოთ სხვაობა 180 ° - α . თუ α უდრის 90 გრადუსს, მაშინ ყველა კუთხე სწორი იქნება. მართი კუთხით გადაკვეთილ წრფეებს პერპენდიკულარული ეწოდება (ცალკე სტატია ეძღვნება პერპენდიკულარობის ცნებას).

დააკვირდით სურათს:

მოდით გადავიდეთ ძირითადი განმარტების ფორმულირებაზე.

განმარტება 2

ორი გადამკვეთი ხაზის მიერ წარმოქმნილი კუთხე არის 4 კუთხიდან პატარას ზომა, რომელიც ქმნის ამ ორ წრფეს.

მნიშვნელოვანი დასკვნა უნდა გამოვიტანოთ განმარტებიდან: კუთხის ზომა ამ შემთხვევაში გამოსახული იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვით ინტერვალში (0, 90] . თუ წრფეები პერპენდიკულარულია, მაშინ მათ შორის კუთხე ნებისმიერ შემთხვევაში იქნება. უდრის 90 გრადუსს.

ორ გადამკვეთ წრფეს შორის კუთხის საზომის პოვნის უნარი სასარგებლოა მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. გადაწყვეტის მეთოდი შეიძლება შეირჩეს რამდენიმე ვარიანტიდან.

დასაწყისისთვის, ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ გეომეტრიული მეთოდები. თუ რაიმე ვიცით დამატებითი კუთხეების შესახებ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ისინი ჩვენთვის საჭირო კუთხესთან თანაბარი ან მსგავსი ფორმების თვისებების გამოყენებით. მაგალითად, თუ ვიცით სამკუთხედის გვერდები და უნდა გამოვთვალოთ კუთხე იმ წრფეებს შორის, რომლებზეც ეს გვერდები მდებარეობს, მაშინ კოსინუსების თეორემა ვარგისია ამოსახსნელად. თუ მდგომარეობა გვაქვს მართკუთხა სამკუთხედი, მაშინ გამოთვლებისთვის ასევე დაგვჭირდება ვიცოდეთ კუთხის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.

კოორდინატთა მეთოდი ასევე ძალიან მოსახერხებელია ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად. მოდით ავუხსნათ როგორ გამოვიყენოთ ის სწორად.

გვაქვს მართკუთხა (კარტეზიული) კოორდინატთა სისტემა O x y ორი სწორი ხაზით. ავღნიშნოთ ისინი a და b ასოებით. ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზები შეიძლება აღწერილი იყოს ნებისმიერი განტოლების გამოყენებით. თავდაპირველ ხაზებს აქვთ გადაკვეთის წერტილი M. როგორ განვსაზღვროთ სასურველი კუთხე (აღვნიშნოთ ის α) ამ წრფეებს შორის?

დავიწყოთ მოცემულ პირობებში კუთხის პოვნის ძირითადი პრინციპის ფორმულირებით.

ჩვენ ვიცით, რომ ისეთი ცნებები, როგორიცაა მიმართულება და ნორმალური ვექტორი, მჭიდრო კავშირშია სწორი ხაზის კონცეფციასთან. თუ გვაქვს რაიმე სწორი წრფის განტოლება, შეგვიძლია მისგან ავიღოთ ამ ვექტორების კოორდინატები. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება ერთდროულად ორი გადამკვეთი ხაზისთვის.

ორი გადამკვეთი წრფის მიერ წარმოქმნილი კუთხე შეიძლება მოიძებნოს:

• მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხე;
• კუთხე ნორმალურ ვექტორებს შორის;
• კუთხე ერთი ხაზის ნორმალურ ვექტორსა და მეორის მიმართულების ვექტორს შორის.

ახლა მოდით შევხედოთ თითოეულ მეთოდს ცალკე.

1. ვთქვათ გვაქვს a წრფე მიმართულების ვექტორით a → = (a x , a y) და წრფე b მიმართულების ვექტორით b → (b x, b y) . ახლა გადავდოთ ორი ვექტორი a → და b → გადაკვეთის წერტილიდან. ამის შემდეგ ჩვენ დავინახავთ, რომ თითოეული მათგანი განთავსდება საკუთარ ხაზზე. შემდეგ ჩვენ გვაქვს ოთხი ვარიანტი მათი შედარებითი პოზიციისთვის. იხილეთ ილუსტრაცია:

თუ კუთხე ორ ვექტორს შორის არ არის ბლაგვი, მაშინ ეს იქნება ის კუთხე, რომელიც გვჭირდება a და b ხაზებს შორის. თუ ის ბლაგვია, მაშინ სასურველი კუთხე იქნება a → , b → ^ კუთხის მიმდებარე კუთხის ტოლი. ამრიგად, α = a → , b → ^ თუ a → , b → ^ ≤ 90 ° , და α = 180 ° - a → , b → ^ თუ a → , b → ^ > 90 ° .

გამომდინარე იქიდან, რომ თანაბარი კუთხის კოსინუსები ტოლია, შეგვიძლია მიღებული ტოლობები შემდეგნაირად გადავწეროთ: cos α = cos a → , b → ^ თუ a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ თუ a → , b → ^ > 90 °.

მეორე შემთხვევაში გამოყენებული იქნა შემცირების ფორმულები. ამრიგად,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

მოდით დავწეროთ ბოლო ფორმულა სიტყვებით:

განმარტება 3

ორი გადამკვეთი წრფეებით წარმოქმნილი კუთხის კოსინუსი ტოლი იქნება მის მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის მოდულისა.

ორ ვექტორს შორის a → = (a x, a y) და b → = (b x, b y) შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის ზოგადი ფორმა ასე გამოიყურება:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

მისგან შეგვიძლია გამოვიტანოთ ორ მოცემულ წრფეს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

შემდეგ თავად კუთხე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

აქ a → = (a x , a y) და b → = (b x , b y) არის მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები.

მოდით მოვიყვანოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

მაგალითი 1

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე მოცემულია ორი გადამკვეთი ხაზი a და b. მათი აღწერა შესაძლებელია პარამეტრული განტოლებებით x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R და x 5 = y - 6 - 3 . გამოთვალეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.

გადაწყვეტილება

პირობით გვაქვს პარამეტრული განტოლება, რაც ნიშნავს, რომ ამ წრფესთვის შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ მისი მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ კოეფიციენტების მნიშვნელობები პარამეტრზე, ე.ი. წრფეს x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ექნება მიმართულების ვექტორი a → = (4 , 1) .

მეორე სწორი ხაზი აღწერილია კანონიკური განტოლების გამოყენებით x 5 = y - 6 - 3 . აქ შეგვიძლია კოორდინატები ავიღოთ მნიშვნელებიდან. ამრიგად, ამ წრფეს აქვს მიმართულების ვექტორი b → = (5 , - 3) .

შემდეგი, ჩვენ პირდაპირ ვაგრძელებთ კუთხის პოვნას. ამისათვის უბრალოდ ჩაანაცვლეთ ორი ვექტორის ხელმისაწვდომი კოორდინატები ზემოთ მოცემულ ფორმულაში α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

უპასუხე: ეს ხაზები ქმნიან 45 გრადუსიან კუთხეს.

ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა ნორმალურ ვექტორებს შორის კუთხის მოძიებით. თუ გვაქვს წრფე a ნორმალური ვექტორით n a → = (n a x , n a y) და წრფე b ნორმალური ვექტორით n b → = (n b x , n b y) , მაშინ მათ შორის კუთხე ტოლი იქნება n a → და შორის კუთხის ტოლი. n b → ან კუთხე, რომელიც იქნება მიმდებარე n a → , n b → ^ . ეს მეთოდი ნაჩვენებია სურათზე:

გადაკვეთის ხაზებსა და თავად ამ კუთხს შორის კუთხის კოსინუსის გამოთვლის ფორმულები ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით ასე გამოიყურება:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

აქ n a → და n b → აღნიშნავენ ორი მოცემული წრფის ნორმალურ ვექტორებს.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია ორი სწორი ხაზი 3 x + 5 y - 30 = 0 და x + 4 y - 17 = 0 განტოლებების გამოყენებით. იპოვეთ მათ შორის კუთხის სინუსი, კოსინუსი და თავად ამ კუთხის სიდიდე.

გადაწყვეტილება

თავდაპირველი სწორი ხაზები მოცემულია A x + B y + C = 0 ფორმის ნორმალური სწორი ხაზის განტოლებების გამოყენებით. აღნიშნეთ ნორმალური ვექტორი n → = (A , B) . ვიპოვოთ პირველი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ერთი სწორი ხაზისთვის და ჩავწეროთ: n a → = (3 , 5) . მეორე ხაზისთვის x + 4 y - 17 = 0 ნორმალურ ვექტორს ექნება კოორდინატები n b → = (1 , 4) . ახლა დაამატეთ მიღებული მნიშვნელობები ფორმულაში და გამოთვალეთ ჯამი:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

თუ ჩვენ ვიცით კუთხის კოსინუსი, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი სინუსი ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით. ვინაიდან სწორი ხაზებით ჩამოყალიბებული კუთხე α არ არის ბლაგვი, მაშინ sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

ამ შემთხვევაში, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

პასუხი: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

გავაანალიზოთ ბოლო შემთხვევა - წრფეებს შორის კუთხის პოვნა, თუ ვიცით ერთი წრფის მიმართულების ვექტორის და მეორის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

დავუშვათ, რომ a წრფეს აქვს მიმართულების ვექტორი a → = (a x , a y) , ხოლო b წრფეს აქვს ნორმალური ვექტორი n b → = (n b x , n b y) . ჩვენ უნდა გადავდოთ ეს ვექტორები გადაკვეთის წერტილიდან და განვიხილოთ ყველა ვარიანტი მათი შედარებითი პოზიციისთვის. იხილეთ სურათი:

თუ მოცემულ ვექტორებს შორის კუთხე არ არის 90 გრადუსზე მეტი, გამოდის, რომ ის შეავსებს კუთხეს a და b-ს შორის მართი კუთხით.

a → , n b → ^ = 90 ° - α თუ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

თუ ის 90 გრადუსზე ნაკლებია, მაშინ მივიღებთ შემდეგს:

a → , n b → ^ > 90 ° , შემდეგ a → , n b → ^ = 90 ° + α

თანაბარი კუთხის კოსინუსების ტოლობის წესის გამოყენებით ვწერთ:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .

ამრიგად,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ჩამოვაყალიბოთ დასკვნა.

განმარტება 4

სიბრტყეში გადამკვეთ ორ წრფეს შორის კუთხის სინუსის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ კუთხის კოსინუსის მოდული პირველი ხაზის მიმართულების ვექტორსა და მეორეს ნორმალურ ვექტორს შორის.

ჩამოვწეროთ საჭირო ფორმულები. კუთხის სინუსის პოვნა:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

თავად კუთხის პოვნა:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

აქ a → არის პირველი ხაზის მიმართულების ვექტორი, ხოლო n b → არის მეორის ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 3

ორი გადამკვეთი ხაზი მოცემულია განტოლებებით x - 5 = y - 6 3 და x + 4 y - 17 = 0. იპოვეთ გადაკვეთის კუთხე.

გადაწყვეტილება

მოცემული განტოლებიდან ვიღებთ მიმართული და ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს. გამოდის a → = (- 5 , 3) ​​და n → b = (1 , 4) . ვიღებთ ფორმულას α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 და განვიხილავთ:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ავიღეთ განტოლებები წინა ამოცანიდან და მივიღეთ ზუსტად იგივე შედეგი, მაგრამ განსხვავებული გზით.

პასუხი:α = a r c sin 7 2 34

აქ არის კიდევ ერთი გზა სასურველი კუთხის მოსაძებნად მოცემული ხაზების დახრილობის კოეფიციენტების გამოყენებით.

გვაქვს წრფე a , რომელიც განისაზღვრება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში y = k 1 · x + b 1 განტოლების გამოყენებით და წრფე b , რომელიც განისაზღვრება როგორც y = k 2 · x + b 2 . ეს არის დახრილობის მქონე ხაზების განტოლებები. გადაკვეთის კუთხის საპოვნელად გამოიყენეთ ფორმულა:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , სადაც k 1 და k 2 არის მოცემული ხაზების ფერდობები. ამ ჩანაწერის მისაღებად გამოიყენეს ნორმალური ვექტორების კოორდინატებით კუთხის განსაზღვრის ფორმულები.

მაგალითი 4

სიბრტყეში იკვეთება ორი სწორი ხაზი, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით y = - 3 5 x + 6 და y = - 1 4 x + 17 4 . გამოთვალეთ გადაკვეთის კუთხე.

გადაწყვეტილება

ჩვენი ხაზების ფერდობები ტოლია k 1 = - 3 5 და k 2 = - 1 4 . მოდით დავუმატოთ ისინი ფორმულას α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 და გამოვთვალოთ:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

პასუხი:α = a r c cos 23 2 34

ამ აბზაცის დასკვნებში უნდა აღინიშნოს, რომ აქ მოცემული კუთხის პოვნის ფორმულები ზეპირად არ უნდა ვისწავლოთ. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ მოცემული წრფეების გიდების ან/და ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და შევძლოთ მათი განსაზღვრა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების გამოყენებით. მაგრამ კუთხის კოსინუსის გამოთვლის ფორმულები უკეთესია დაიმახსოვროთ ან ჩაწეროთ.

როგორ გამოვთვალოთ კუთხე სივრცეში გადამკვეთ ხაზებს შორის

ასეთი კუთხის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს მიმართულების ვექტორების კოორდინატების გაანგარიშებამდე და ამ ვექტორების მიერ წარმოქმნილი კუთხის სიდიდის განსაზღვრით. ასეთი მაგალითებისთვის ჩვენ ვიყენებთ იმავე მსჯელობას, რაც ადრე მოვიყვანეთ.

ვთქვათ, გვაქვს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელიც მდებარეობს 3D სივრცეში. იგი შეიცავს ორ a და b წრფეს M კვეთის წერტილით. მიმართულების ვექტორების კოორდინატების გამოსათვლელად უნდა ვიცოდეთ ამ წრფეების განტოლებები. აღნიშნეთ მიმართულების ვექტორები a → = (a x , a y , a z) და b → = (b x , b y , b z) . მათ შორის კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

თავად კუთხის საპოვნელად ჩვენ გვჭირდება ეს ფორმულა:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

მაგალითი 5

ჩვენ გვაქვს სწორი ხაზი, რომელიც განსაზღვრულია 3D სივრცეში განტოლების გამოყენებით x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . ცნობილია, რომ ის კვეთს O z ღერძს. გამოთვალეთ გადაკვეთის კუთხე და ამ კუთხის კოსინუსი.

გადაწყვეტილება

ავღნიშნოთ გამოსათვლელი კუთხე α ასოთი. ჩამოვწეროთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები პირველი სწორი ხაზისთვის - a → = (1 , - 3 , - 2) . აპლიკაციური ღერძისთვის შეიძლება ავიღოთ კოორდინატთა ვექტორი k → = (0 , 0 , 1) სახელმძღვანელოდ. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები და შეგვიძლია დავამატოთ სასურველ ფორმულაში:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

შედეგად მივიღეთ, რომ ჩვენთვის საჭირო კუთხე ტოლი იქნება r c cos 1 2 = 45 °.

პასუხი: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter