შევეცადოთ გაერკვნენ, თუ რა სახის ცნებაა „ფესვი“ და „რითი იჭმევა“. ამისათვის განიხილეთ მაგალითები, რომლებიც უკვე შეგხვდათ გაკვეთილებზე (კარგად, ან უბრალოდ უნდა შეხვდეთ ამას).
მაგალითად, გვაქვს განტოლება. რა არის ამ განტოლების გამოსავალი? რა რიცხვები შეიძლება იყოს კვადრატში და მივიღოთ ერთდროულად? გამრავლების ცხრილის გახსენებისას შეგიძლიათ მარტივად გასცეთ პასუხი: და (რადგან ორ უარყოფით რიცხვს ამრავლებთ, მიიღებთ დადებით რიცხვს)! გამარტივების მიზნით, მათემატიკოსებმა შემოიღეს კვადრატული ფესვის სპეციალური კონცეფცია და მიანიჭეს მას სპეციალური სიმბოლო.
განვსაზღვროთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.
რატომ უნდა იყოს რიცხვი არაუარყოფითი? მაგალითად, რისი ტოლია. კარგი, ვცადოთ ამის გარკვევა. იქნებ სამი? მოდით შევამოწმოთ: და არა. Შესაძლოა, ? ისევ შეამოწმეთ: ისე, არ არის შერჩეული? ეს მოსალოდნელია - იმიტომ რომ არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც კვადრატში აძლევენ უარყოფით რიცხვს!
ეს უნდა გვახსოვდეს: რიცხვი ან გამოხატულება ძირის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს არაუარყოფითი!
თუმცა, ყველაზე ყურადღებიანებმა ალბათ უკვე შეამჩნიეს, რომ განმარტება ამბობს, რომ რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოხსნას ასე ჰქვია. არაუარყოფითირიცხვი, რომლის კვადრატი არის ". ზოგიერთი თქვენგანი იტყვის, რომ თავიდანვე გავაანალიზეთ მაგალითი, შევარჩიეთ რიცხვები, რომელთა კვადრატი და მიღება შესაძლებელია ერთდროულად, პასუხი იყო და, აქ კი საუბარია რაღაც „არაუარყოფით რიცხვზე“! ასეთი შენიშვნა საკმაოდ მიზანშეწონილია. აქ უბრალოდ უნდა განვასხვავოთ კვადრატული განტოლებების ცნებები და რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი. მაგალითად, ეს არ არის გამოხატვის ექვივალენტი.
აქედან გამომდინარეობს, რომ ანუ ან. (წაიკითხეთ თემა "")
და ამას მოჰყვება.
რა თქმა უნდა, ეს ძალზე დამაბნეველია, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ნიშნები განტოლების ამოხსნის შედეგია, რადგან განტოლების ამოხსნისას ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ყველა x, რომელიც საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებისას მისცემს სწორს. შედეგი. ჩვენს კვადრატულ განტოლებაში ჯდება ორივე და.
თუმცა, თუ უბრალოდ აიღეთ კვადრატული ფესვირაღაცისგან, მაშინ ყოველთვის ვიღებთ ერთ არაუარყოფით შედეგს.
ახლა შეეცადეთ ამოხსნათ ეს განტოლება. ყველაფერი ასე მარტივი და გლუვი არ არის, არა? სცადე რიცხვების დალაგება, იქნებ რამე დაიწვას? დავიწყოთ თავიდანვე - ნულიდან: - არ ჯდება, გავაგრძელოთ - სამზე ნაკლები, ასევე განზე დავარცხნოთ, მაგრამ თუ. მოდით შევამოწმოთ: - ასევე არ ჯდება, რადგან სამზე მეტია. უარყოფითი რიცხვებით იგივე ამბავი გამოვა. და რა უნდა გააკეთოს ახლა? ძებნამ არაფერი მოგვცა? სულაც არა, ახლა ზუსტად ვიცით, რომ პასუხი იქნება რაღაც რიცხვი და, ისევე როგორც და-ს შორის. ასევე, აშკარაა, რომ ამონახსნები არ იქნება მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. მაშ, რა არის შემდეგი? ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი და მოვნიშნოთ მასზე ამონახსნები.
ვცადოთ სისტემა მოვიტყუოთ და პასუხი მივიღოთ კალკულატორით! მოდით ამოვიღოთ ძირი ბიზნესიდან! ოჰ-ო-ო, თურმე ასეა. ეს რიცხვი არასოდეს მთავრდება. როგორ შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს, რადგან გამოცდაზე არ იქნება კალკულატორი !? ყველაფერი ძალიან მარტივია, თქვენ არ გჭირდებათ მისი დამახსოვრება, თქვენ უნდა გახსოვდეთ (ან შეძლოთ სწრაფად შეაფასოთ) სავარაუდო მნიშვნელობა. და თავად პასუხები. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და სწორედ ასეთი რიცხვების აღნიშვნის გასამარტივებლად შემოიღეს კვადრატული ფესვის ცნება.
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი გასამყარებლად. გავაანალიზოთ შემდეგი პრობლემა: დიაგონალურად უნდა გადაკვეთოთ კვადრატული ველი კმ გვერდით, რამდენი კმ უნდა გაიაროთ?
აქ ყველაზე აშკარაა სამკუთხედის ცალკე განხილვა და პითაგორას თეორემის გამოყენება:. ამრიგად, . რა არის აქ საჭირო მანძილი? ცხადია, მანძილი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ჩვენ ამას ვიღებთ. ორის ფესვი დაახლოებით ტოლია, მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, უკვე სრული პასუხია.
ისე, რომ მაგალითების ამოხსნამ ფესვებით არ გამოიწვიოს პრობლემები, თქვენ უნდა ნახოთ და ამოიცნოთ ისინი. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ მინიმუმ რიცხვების კვადრატები დან მდე, ასევე შეძლოთ მათი ამოცნობა. მაგალითად, თქვენ უნდა იცოდეთ რა არის კვადრატში და ასევე, პირიქით, რა არის კვადრატში.
გაარკვიე რა არის კვადრატული ფესვი? შემდეგ ამოიღეთ რამდენიმე მაგალითი.
მაგალითები.
აბა, როგორ მუშაობდა? ახლა ვნახოთ ეს მაგალითები:
პასუხები:
კუბის ფესვი
კარგად, ჩვენ ერთგვარად გავარკვიეთ კვადრატული ფესვის კონცეფცია, ახლა შევეცდებით გავარკვიოთ რა არის კუბური ფესვი და რა განსხვავებაა მათ შორის.
ზოგიერთი რიცხვის კუბური ფესვი არის რიცხვი, რომლის კუბიც ტოლია. შეგიმჩნევიათ რამდენად ადვილია ეს? არ არსებობს შეზღუდვები როგორც კუბის ფესვის ნიშნის ქვეშ არსებული მნიშვნელობის, ასევე გამოსატანი რიცხვის შესაძლო მნიშვნელობებზე. ანუ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან:.
დაიჭირეთ რა არის კუბის ფესვი და როგორ ამოიღოთ იგი? შემდეგ გააგრძელეთ მაგალითები.
მაგალითები.
პასუხები:
ფესვი - ოჰ ხარისხი
კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ კვადრატული და კუბური ფესვების ცნებები. ახლა ჩვენ განვაზოგადებთ მიღებულ ცოდნას კონცეფციით ძირი.
ძირირიცხვიდან არის რიცხვი, რომლის რიგიც ტოლია, ე.ი.
უდრის.
თუ - თუნდაც, შემდეგ:
- ნეგატივით, გამოთქმას აზრი არ აქვს (უარყოფითი რიცხვების ლუწი-ე ხარისხის ფესვები ამოღება შეუძლებელია!);
- არაუარყოფით() გამოხატვას აქვს ერთი არაუარყოფითი ფესვი.
თუ - კენტია, მაშინ გამონათქვამს აქვს ერთი ფესვი ნებისმიერისთვის.
არ ინერვიულოთ, აქ იგივე პრინციპები მოქმედებს, როგორც კვადრატული და კუბური ფესვების შემთხვევაში. ანუ, პრინციპები, რომლებიც ჩვენ გამოვიყენეთ კვადრატული ფესვების განხილვისას, ვრცელდება ლუწი-ე ხარისხის ყველა ფესვზე.
და ის თვისებები, რომლებიც გამოიყენებოდა კუბის ფესვისთვის, ეხება კენტი მეათე ხარისხის ფესვებს.
ისე, უფრო ნათელი გახდა? მოდით გავიგოთ მაგალითებით:
აქ ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია: ჯერ ვუყურებთ - დიახ, ხარისხი ლუწია, რიცხვი ფესვის ქვეშ დადებითია, ამიტომ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ რიცხვი, რომლის მეოთხე ხარისხიც მოგვცემს. აბა, რაიმე ვარაუდი? Შესაძლოა, ? ზუსტად!
ასე რომ, ხარისხი ტოლია - კენტი, ფესვის ქვეშ რიცხვი უარყოფითია. ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ისეთი რიცხვი, რომელიც ძალამდე აყვანისას გამოდის. საკმაოდ რთულია ფესვის დაუყოვნებლივ შემჩნევა. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეამციროთ თქვენი ძებნა, არა? ჯერ ერთი, სასურველი რიცხვი აუცილებლად უარყოფითია და მეორეც, ჩანს, რომ ის კენტია და ამიტომ სასურველი რიცხვი კენტია. შეეცადეთ აიღოთ ფესვი. რა თქმა უნდა, და თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ფუნჯი განზე. Შესაძლოა, ?
დიახ, ეს არის ის, რასაც ჩვენ ვეძებდით! გაითვალისწინეთ, რომ გაანგარიშების გასამარტივებლად გამოვიყენეთ გრადუსების თვისებები: .
ფესვების ძირითადი თვისებები
გასაგებია? თუ არა, მაშინ მაგალითების განხილვის შემდეგ ყველაფერი თავის ადგილზე უნდა დადგეს.
ფესვის გამრავლება
როგორ გავამრავლოთ ფესვები? უმარტივესი და ძირითადი თვისება დაგეხმარებათ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემაში:
დავიწყოთ მარტივით:
მიღებული რიცხვების ფესვები ზუსტად არ არის ამოღებული? არ ინერვიულოთ, აქ არის რამდენიმე მაგალითი:
მაგრამ რა მოხდება, თუ არ არის ორი მამრავლი, არამედ მეტი? Იგივე! ფესვის გამრავლების ფორმულა მუშაობს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებთან:
რა ვუყოთ მას? რა თქმა უნდა, დამალეთ სამმაგი ფესვის ქვეშ და გახსოვდეთ, რომ სამეული არის კვადრატული ფესვი!
რატომ გვჭირდება ის? დიახ, მხოლოდ იმისათვის, რომ გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები მაგალითების ამოხსნისას:
როგორ მოგწონთ ფესვების ეს თვისება? ცხოვრებას ბევრად აადვილებს? ჩემთვის ეს ასეა! თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ეს ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ დადებითი რიცხვების დამატება ლუწი ხარისხის ფესვის ნიშნის ქვეშ.
ვნახოთ, კიდევ სად შეიძლება გამოდგება. მაგალითად, დავალებაში თქვენ უნდა შეადაროთ ორი რიცხვი:
ეს კიდევ:
პირდაპირ არ იტყვი. აბა, გამოვიყენოთ ძირეული ნიშნის ქვეშ რიცხვის დამატების გაანალიზებული თვისება? შემდეგ გადადით:
კარგად, იცოდეთ, რომ რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი! იმათ. თუ ნიშნავს. აქედან ჩვენ მტკიცედ ვასკვნით, რომ და ვერავინ დაგვარწმუნებს სხვაგვარად!
მანამდე ფესვის ნიშნის ქვეშ შევიყვანეთ ფაქტორი, მაგრამ როგორ ამოვიღოთ? თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ ის და ამოიღოთ ის, რაც ამოღებულია!
შესაძლებელი იყო სხვა გზით წასვლა და სხვა ფაქტორებად დაშლა:
ცუდი არ არის, არა? ნებისმიერი ეს მიდგომა სწორია, გადაწყვიტეთ როგორ გრძნობთ თავს კომფორტულად.
მაგალითად, აქ არის გამონათქვამი:
ამ მაგალითში ხარისხი ლუწია, მაგრამ რა მოხდება, თუ ის კენტია? კიდევ ერთხელ, გამოიყენეთ დენის თვისებები და შეაფასეთ ყველაფერი:
როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია, მაგრამ როგორ ამოიღოთ ფესვი რიცხვიდან ხარისხით? აი, მაგალითად, ეს:
საკმაოდ მარტივია, არა? რა მოხდება, თუ ხარისხი ორზე მეტია? ჩვენ მივყვებით იმავე ლოგიკას ხარისხების თვისებების გამოყენებით:
ისე, ყველაფერი გასაგებია? მაშინ აი მაგალითი:
ეს არის ხაფანგები, მათ შესახებ ყოველთვის ღირს გახსენება. ეს რეალურად არის ასახვა ქონების მაგალითებზე:
| კენტისთვის: თანაბარი და: |
გასაგებია? გაასწორეთ მაგალითებით:
დიახ, ჩვენ ვხედავთ ფესვს ლუწი ხარისხით, უარყოფითი რიცხვი ფესვის ქვეშ არის ასევე ლუწი ხარისხით. ისე, იგივე მუშაობს? და აი რა:
Სულ ეს არის! ახლა აქ არის რამდენიმე მაგალითი:
Გავიგე? შემდეგ გააგრძელეთ მაგალითები.
მაგალითები.
პასუხები.
თუ პასუხები მიიღეთ, შეგიძლიათ მშვიდად გადახვიდეთ. თუ არა, მაშინ მოდით გადავხედოთ ამ მაგალითებს:
მოდით შევხედოთ ფესვების ორ სხვა თვისებას:
ეს თვისებები უნდა გაანალიზდეს მაგალითებში. აბა, გავაკეთოთ ეს?
Გავიგე? გამოვასწოროთ.
მაგალითები.
პასუხები.
ფესვები და მათი თვისებები. შუა დონე
არითმეტიკული კვადრატული ფესვი
განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს: და. ეს ის რიცხვებია, რომელთა კვადრატი ტოლია.
განვიხილოთ განტოლება. მოდი გრაფიკულად გადავჭრათ. მოდით დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი და ხაზი დონეზე. ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილები იქნება ამონახსნები. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ განტოლებას ასევე აქვს ორი ამონახსნი - ერთი დადებითი, მეორე უარყოფითი:
მაგრამ ამ შემთხვევაში, ამონახსნები არ არის მთელი რიცხვები. უფრო მეტიც, ისინი არ არიან რაციონალური. იმისათვის, რომ ჩამოვწეროთ ეს ირაციონალური გადაწყვეტილებები, შემოგთავაზებთ კვადრატული ფესვის სპეციალურ სიმბოლოს.
არითმეტიკული კვადრატული ფესვიარის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის . როცა გამოთქმა არ არის განსაზღვრული, იმიტომ არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომლის კვადრატი უარყოფითი რიცხვის ტოლია.
Კვადრატული ფესვი: .
Მაგალითად, . და ამას მოჰყვება რომ ან.
კიდევ ერთხელ, ეს ძალიან მნიშვნელოვანია: კვადრატული ფესვი ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია: !
კუბის ფესვირიცხვიდან არის რიცხვი, რომლის კუბიც ტოლია. კუბის ფესვი ყველასთვის არის განსაზღვრული. მისი ამოღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან: . როგორც ხედავთ, მას ასევე შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.
რიცხვის მე-ა ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომლის მეე ხარისხი უდრის, ე.ი.
თუ - თუნდაც, მაშინ:
- თუ, მაშინ a-ის მე-თე ფესვი არ არის განსაზღვრული.
- თუ, მაშინ განტოლების არაუარყოფითი ფესვი ეწოდება და აღინიშნება th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი.
თუ - კენტია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ნებისმიერისთვის.
შეგიმჩნევიათ, რომ მის ხარისხს ძირის ნიშნის ზედა მარცხენა მხარეს ვწერთ? მაგრამ არა კვადრატული ფესვისთვის! თუ ხედავთ ფესვს ხარისხის გარეშე, მაშინ ის არის კვადრატი (გრადუსები).
მაგალითები.
ფესვების ძირითადი თვისებები
ფესვები და მათი თვისებები. მოკლედ მთავარის შესახებ
კვადრატული ფესვი (არითმეტიკული კვადრატული ფესვი)არაუარყოფითი რიცხვიდან ასეთი ეწოდება არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის
ფესვის თვისებები:
ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.
იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!
ახლა ყველაზე მთავარი.
თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.
პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...
Რისთვის?
გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.
არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...
ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.
მაგრამ ეს არ არის მთავარი.
მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...
მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...
რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?
შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.
გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.
დაგჭირდებათ დროულად მოაგვარეთ პრობლემები.
და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.
ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.
იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებლად არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.
იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.
Როგორ? არის ორი ვარიანტი:
- განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
- განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 899 რუბლი
დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.
ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.
Საბოლოოდ...
თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.
"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.
იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო: შექმენით პირობები n-ე ხარისხის ფესვის ჰოლისტიკური ხედვის ჩამოყალიბებისთვის, ფესვის თვისებების შეგნებული და რაციონალური გამოყენების უნარ-ჩვევები სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში.
საგანმანათლებლო: ალგორითმული, შემოქმედებითი აზროვნების განვითარების პირობების შექმნა, თვითკონტროლის უნარის განვითარება.
საგანმანათლებლო: საგნის, აქტივობისადმი ინტერესის განვითარების ხელშეწყობა, სამუშაოში სიზუსტის გამომუშავება, საკუთარი აზრის გამოთქმის, რეკომენდაციების გაცემის უნარი.
გაკვეთილების დროს
1. საორგანიზაციო მომენტი.
Შუადღემშვიდობის! კარგი საათი!
როგორ მიხარია შენი ნახვა.
ზარი უკვე დარეკა
გაკვეთილი იწყება.
მათ გაიცინეს. გაათანაბრა.
ერთმანეთს გადახედეს
და ჩუმად დასხდნენ.
2. გაკვეთილის მოტივაცია.
გამოჩენილი ფრანგი ფილოსოფოსი, მეცნიერი ბლეზ პასკალი ამბობდა: „ადამიანის სიდიადე აზროვნების უნარშია“. დღეს ჩვენ შევეცდებით თავი დიდ ადამიანებად ვიგრძნოთ საკუთარი თავისთვის ცოდნის აღმოჩენით. დღევანდელი გაკვეთილის დევიზი იქნება ძველი ბერძენი მათემატიკოსის თალესის სიტყვები:
რა არის მსოფლიოში ყველაზე მეტი? - სივრცე.
რა არის ყველაზე სწრაფი? - გონება.
რა არის ყველაზე ბრძენი? - დრო.
რა არის ყველაზე სასიამოვნო? -მიაღწიე იმას რაც გინდა.
მინდა თითოეულმა თქვენგანმა დღევანდელ გაკვეთილზე მიაღწიოს სასურველ შედეგს.
3. ცოდნის აქტუალიზაცია.
1. დაასახელეთ რიცხვებზე ურთიერთშებრუნებული ალგებრული მოქმედებები. (შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა)
2. ყოველთვის შესაძლებელია ისეთი ალგებრული მოქმედების შესრულება, როგორიცაა გაყოფა? (არა, ნულზე ვერ გაყოფთ)
3. კიდევ რა ოპერაციის შესრულება შეგიძლიათ რიცხვებით? (ექსპონენტაცია)
4. რა ოპერაცია იქნება მისი საპირისპირო? (ფესვის მოპოვება)
5. რა ხარისხის ფესვის ამოღება შეგიძლიათ? (მეორე ფესვი)
6. კვადრატული ფესვის რა თვისებები იცით? (კვადრატული ფესვის ამოღება ნამრავლიდან, კოეფიციენტიდან, ფესვიდან, გაძლიერება)
7. იპოვეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:
ისტორიიდან.ჯერ კიდევ 4000 წლის წინ ბაბილონელმა მეცნიერებმა შეადგინეს გამრავლების ცხრილები და ორმხრივი ცხრილების ცხრილები (რომელთა დახმარებით რიცხვების გაყოფა დაყვანილ იქნა გამრავლებამდე), რიცხვების კვადრატების ცხრილები და რიცხვების კვადრატული ფესვები. ამავდროულად, მათ შეძლეს იპოვონ ნებისმიერი მთელი რიცხვის კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა.
4. ახალი მასალის შესწავლა.
ცხადია, ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ძირითადი თვისებების შესაბამისად, ნებისმიერი დადებითი რიცხვიდან არის ლუწი ხარისხის ფესვის ორი საპირისპირო მნიშვნელობა, მაგალითად, რიცხვები 4 და -4 არის 16-ის კვადრატული ფესვები. ვინაიდან (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, ხოლო რიცხვები 3 და -3 არის 81-ის მეოთხე ფესვები, ვინაიდან (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81.
ასევე, არ არსებობს უარყოფითი რიცხვის ლუწი ფესვი, რადგან ნებისმიერი რეალური რიცხვის ლუწი ძალა არაუარყოფითია. რაც შეეხება კენტი ხარისხის ფესვს, მაშინ ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის ამ რიცხვიდან არის მხოლოდ ერთი კენტი ხარისხის ფესვი. მაგალითად, 3 არის 27-ის მესამე ფესვი, რადგან Z3 = 27, და -2 არის -32-ის მეხუთე ფესვი, რადგან (-2)5 = 32.
დადებითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ორი ფესვის არსებობასთან დაკავშირებით, ფესვის ამ ბუნდოვანების აღმოსაფხვრელად შემოგვაქვს არითმეტიკული ფესვის ცნება.
არაუარყოფითი რიცხვის n-ე ფესვის არაუარყოფით მნიშვნელობას არითმეტიკული ფესვი ეწოდება.
აღნიშვნა: - n-ე ხარისხის ფესვი.
რიცხვს n ეწოდება არითმეტიკული ფესვის ხარისხს. თუ n = 2, მაშინ ფესვის ხარისხი არ არის მითითებული და იწერება. მეორე ხარისხის ფესვს კვადრატული ფესვი ეწოდება, ხოლო მესამე ხარისხის ფესვს კუბური ფესვი.
B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0
B, bp = a, p - თუნდაც a ≥ 0, b ≥ 0
p - კენტი a, b - ნებისმიერი
Თვისებები
1. , a ≥ 0, b ≥ 0
2. , a ≥ 0, b > 0
3. , a ≥ 0
4. , m, n, k - ნატურალური რიცხვები
5. ახალი მასალის კონსოლიდაცია.
ზეპირი სამუშაო
ა) რა გამოთქმებს აქვს აზრი?
ბ) a ცვლადის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს გამოხატულება აზრი?
ამოხსენით #3, 4, 7, 9, 11.
6. ფიზიკური აღზრდა.
ყველა საკითხში ზომიერებაა საჭირო,
დაე, ეს იყოს მთავარი წესი.
გააკეთე ტანვარჯიში, თუ დიდხანს ფიქრობდი,
ტანვარჯიში არ ამოწურავს სხეულს,
მაგრამ ის ასუფთავებს მთელ სხეულს!
დახუჭე თვალები, დაისვენე სხეული
წარმოიდგინე - ჩიტები ხართ, უცებ გაფრინდით!
ახლა დელფინივით ბანაობ ოკეანეში,
ახლა ბაღში კრეფ მწიფე ვაშლს.
მარცხნივ, მარჯვნივ, მიმოიხედა გარშემო
გაახილე თვალები და დაუბრუნდი სამსახურს!
7. დამოუკიდებელი მუშაობა.
წყვილებში მუშაობა 178 #1, #2.
8. დ/ზ.ისწავლეთ მე-10 პუნქტი (გვ.160-161), ამოხსენით No5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).
9. გაკვეთილის შედეგები. აქტივობის ასახვა.
მიაღწია თუ არა გაკვეთილმა დანიშნულებას?
რა ისწავლე?
ვიდეო გაკვეთილი 2: n > 1 ხარისხის ძირეული თვისებები
ლექცია: n > 1 ხარისხის ფესვი და მისი თვისებები
ფესვი
დავუშვათ, რომ თქვენ გაქვთ განტოლება, როგორიცაა:
ამ განტოლების ამონახსნი იქნება x 1 \u003d 2 და x 2 \u003d (-2). ორივე გამოსავალი შესაფერისია როგორც პასუხი, რადგან თანაბარი მოდულების მქონე რიცხვები, როდესაც ტოლი სიმძლავრეა აყვანილი, იგივე შედეგს იძლევა.
ეს იყო მარტივი მაგალითი, თუმცა, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ, თუ, მაგალითად,
ვცადოთ ფუნქციის გრაფიკის დახატვა y=x 2 . მისი გრაფიკი არის პარაბოლა:
გრაფიკზე თქვენ უნდა იპოვოთ პუნქტები, რომლებიც შეესაბამება მნიშვნელობას y \u003d 3. ეს პუნქტებია:
ეს ნიშნავს, რომ ამ მნიშვნელობას არ შეიძლება ეწოდოს მთელი რიცხვი, მაგრამ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც კვადრატული ფესვი.
ნებისმიერი ფესვი არის ირაციონალური რიცხვი. ირაციონალურ რიცხვებში შედის ფესვები, არაპერიოდული უსასრულო წილადები.
Კვადრატული ფესვიარის არაუარყოფითი რიცხვი „ა“, რომლის რადიკალური გამოხატულება უდრის მოცემულ რიცხვს „ა“ კვადრატში.
Მაგალითად,
ანუ შედეგად მივიღებთ მხოლოდ დადებით მნიშვნელობას. თუმცა, როგორც ფორმის კვადრატული განტოლების ამონახსნი
გამოსავალი იქნება x 1 = 4, x 2 = (-4).
კვადრატული ფესვის თვისებები
1. როგორი მნიშვნელობაც არ უნდა მიიღოს x, ეს გამონათქვამი მართალია ნებისმიერ შემთხვევაში:
2. კვადრატული ფესვის შემცველი რიცხვების შედარება. ამ რიცხვების შესადარებლად აუცილებელია ძირის ნიშნის ქვეშ შეიყვანოთ როგორც ერთი, ასევე მეორე რიცხვი. ეს რიცხვი უფრო დიდი იქნება, რომლის რადიკალური გამოხატულება უფრო დიდია.
ფესვის ნიშნის ქვეშ შევიყვანთ რიცხვ 2-ს
ახლა ძირის ნიშნის ქვეშ დავდოთ რიცხვი 4. ამის შედეგად ვიღებთ
და მხოლოდ ახლა შეიძლება ორი მიღებული გამონათქვამის შედარება:
3. მულტიპლიკატორის ამოღება ფესვის ქვეშ.
თუ რადიკალური გამოხატულება შეიძლება დაიშალოს ორ ფაქტორად, რომელთაგან ერთი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფესვის ქვენიშნიდან, მაშინ ეს წესი უნდა იქნას გამოყენებული.
4. ამის საპირისპირო თვისებაა - მულტიპლიკატორის შეყვანა ფესვის ქვეშ. ჩვენ აშკარად გამოვიყენეთ ეს ქონება მეორე საკუთრებაში.
ფესვინ- ხარისხი და მისი თვისებები
რა არის ფესვინხარისხი? როგორ ამოიღოთ ფესვი?
მერვე კლასში უკვე მოახერხეთ გაცნობა კვადრატული ფესვი. ფესვების გარკვეული თვისებების გამოყენებით გადავწყვიტეთ ტიპიური მაგალითები ფესვებით. ასევე გადაწყვიტა კვადრატული განტოლებები, სადაც კვადრატული ფესვის ამოღების გარეშე - არავითარ შემთხვევაში. მაგრამ კვადრატული ფესვი მხოლოდ უფრო ფართო კონცეფციის განსაკუთრებული შემთხვევაა - ფესვი ნ ე ხარისხი . კვადრატის გარდა, არსებობს, მაგალითად, კუბური ფესვი, მეოთხე, მეხუთე და უმაღლესი ხარისხის ფესვი. და ასეთი ფესვებით წარმატებული მუშაობისთვის მაინც კარგი იქნება კვადრატული ფესვებით „შენ“-ით დავიწყოთ.) ამიტომ ვისაც პრობლემები აქვს, კატეგორიულად გირჩევთ გამეორებას.
ფესვის ამოღება სიძლიერის ერთ-ერთი შებრუნებული ოპერაციაა.) რატომ "ერთი"? იმის გამო, რომ ფესვის ამოღება, ჩვენ ვეძებთ ბაზაცნობილის მიხედვით ხარისხი და მაჩვენებელი. და არის კიდევ ერთი შებრუნებული ოპერაცია - პოვნა მაჩვენებელიცნობილის მიხედვით ხარისხი და საფუძველი.ამ ოპერაციას პოვნა ჰქვია ლოგარითმი.ის უფრო რთულია, ვიდრე ფესვის ამოღება და სწავლობს საშუალო სკოლაში.)
მოდით გავეცნოთ!
პირველი, აღნიშვნა. კვადრატული ფესვი, როგორც უკვე ვიცით, აღინიშნება ასე:. ამ ხატს ძალიან ლამაზად და მეცნიერულად უწოდებენ - რადიკალური. და რა არის სხვა ხარისხების ფესვები? ეს ძალიან მარტივია: რადიკალის "კუდის" ზემოთ ისინი დამატებით წერენ ინდიკატორს, თუ რა ხარისხისაა მოძიებული. თუ თქვენ ეძებთ კუბურ ფესვს, დაწერეთ სამმაგი: . თუ მეოთხე ხარისხის ფესვი, მაშინ, შესაბამისად, . და ასე შემდეგ.) ზოგადად, n-ე ხარისხის ძირი აღინიშნება ასე:
სად .
ნომერია , როგორც კვადრატულ ფესვებში, ე.წ რადიკალური გამოხატულება და აქ არის ნომერინ ეს ჩვენთვის ახალია. და დაურეკა ფესვის მაჩვენებელი .
როგორ ამოიღოთ ნებისმიერი ხარისხის ფესვები? ისევე, როგორც კვადრატები - გაარკვიეთ, რომელი რიცხვი გვაძლევს რიცხვს n-ე ხარისხშია .)
როგორ, მაგალითად, ამოიღოთ 8-ის კუბის ფესვი? ანუ? და რა ნომერი კუბურები მოგვცემს 8-ს? დიუსი, რა თქმა უნდა.) ასე წერენ:
ან . რა არის რიცხვი 81-ის მეოთხე ხარისხში? სამი.) ასე რომ,
რაც შეეხება 1-ის მეათე ფესვს? ისე, უაზროა, რომ რომელიმე სიმძლავრის ერთეული (მეათეს ჩათვლით) უდრის ერთს.) ეს არის:
და ზოგადად რომ ვთქვათ.
ნულთან ერთად, იგივე ამბავი: ნული ნებისმიერ ბუნებრივ ძალაზე უდრის ნულს. ანუ, .
როგორც ხედავთ, კვადრატულ ფესვებთან შედარებით, უკვე უფრო რთულია იმის გარკვევა, თუ რომელი რიცხვი გვაძლევს ფესვთა რიცხვს ამა თუ იმ ხარისხით.ა . Უფრო რთული აღებაუპასუხეთ და გადაამოწმეთ მისი სისწორე გაძლიერებითნ . სიტუაცია მნიშვნელოვნად გამარტივდება, თუ პირადად იცით პოპულარული რიცხვების ხარისხი. ასე რომ, ახლა ჩვენ ვვარჯიშობთ. :) ჩვენ ვაღიარებთ ხარისხებს!)
პასუხები (არეულად):
Დიახ დიახ! უფრო მეტი პასუხია, ვიდრე დავალება.) იმიტომ რომ, მაგალითად, 2 8, 4 4 და 16 2 არის ერთი და იგივე რიცხვი 256.
გაწვრთნილი? შემდეგ განვიხილავთ მაგალითებს:
პასუხები (ასევე არეულად): 6; 2; 3; 2; 3; 5.
მოხდა? ზღაპრული! მოდით გადავიდეთ.)
ძირეული შეზღუდვები. არითმეტიკული ფესვინე ხარისხი.
n-ე ხარისხის ფესვებში, ისევე როგორც კვადრატში, ასევე არის შეზღუდვები და მათი ჩიპები. მათი არსით, ისინი არაფრით განსხვავდებიან იმ შეზღუდვებისგან კვადრატული ფესვებისთვის.
არ არჩევენ, არა? რაც არის 3, რაც არის -3 მეოთხე ხარისხამდე იქნება +81. :) და ნებისმიერი ფესვით თუნდაცგრადუსი უარყოფითი რიცხვიდან იქნება იგივე სიმღერა. და ეს იმას ნიშნავს უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ფესვების ამოღება შეუძლებელია . ეს არის აკრძალული მოქმედება მათემატიკაში. ისეთივე აკრძალული, როგორც ნულზე გაყოფა. ამიტომ, გამონათქვამები, როგორიცაა , და მსგავსი - აზრი არ აქვს.
მაგრამ ფესვები კენტიუარყოფითი რიცხვების ხარისხი - გთხოვთ!
Მაგალითად, ; 
და ა.შ.)
და დადებითი რიცხვებიდან შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ამოიღოთ ნებისმიერი ფესვი, ნებისმიერი ხარისხი:
ზოგადად, გასაგებია მგონი.) და სხვათა შორის, ფესვის ამოღება ზუსტად არ არის საჭირო. ეს მხოლოდ მაგალითებია, მხოლოდ გასაგებად.) ხდება, რომ ამოხსნის პროცესში (მაგალითად, განტოლებები) საკმაოდ ცუდი ფესვები ჩნდება. რაღაც . რვიანიდან მშვენივრად ამოღებულია კუბის ფესვი, აქ კი შვიდი ფესვის ქვეშ არის. Რა უნდა ვქნა? Ყველაფერი კარგადაა. ყველაფერი ზუსტად იგივეა.- ეს ის რიცხვია, რომელიც კუბში მოყვანისას 7-ს მოგვცემს. მხოლოდ რიცხვია ძალიან მახინჯი და შავკანიანი. Აქ არის:
უფრო მეტიც, ეს რიცხვი არასოდეს მთავრდება და არ აქვს პერიოდი: რიცხვები მიჰყვება სრულიად შემთხვევით. ირაციონალურია... ასეთ შემთხვევებში პასუხი ტოვებს ფესვის სახით.) მაგრამ თუ ფესვი ამოღებულია წმინდად (მაგალითად), მაშინ, ბუნებრივია, ფესვი უნდა გამოითვალოს და ჩაიწეროს:
ჩვენ კვლავ ვიღებთ ჩვენს ექსპერიმენტულ ნომერს 81 და ამოვიღებთ მისგან მეოთხე ფესვს:
რადგან მეოთხეში სამი იქნება 81. კარგი, კარგი! Მაგრამ ასევე მინუს სამიმეოთხეც 81 იქნება!
არის გაურკვევლობა:
და მის აღმოსაფხვრელად, ისევე როგორც კვადრატულ ფესვებში, შემოიღეს სპეციალური ტერმინი: არითმეტიკული ფესვინმერვე ხარისხიდან ა - ასეა არაუარყოფითინომერი,ნ-რომლის ხარისხი უდრის ა .
და პლიუს ან მინუს პასუხს სხვანაირად უწოდებენ - ალგებრული ფესვინე ხარისხი. ნებისმიერი თანაბარი ძალისთვის, ალგებრული ფესვი იქნება ორი საპირისპირო რიცხვი. სკოლაში მხოლოდ არითმეტიკული ფესვებით მუშაობენ. ამიტომ, არითმეტიკული ფესვების უარყოფითი რიცხვები უბრალოდ უგულებელყოფილია. მაგალითად, ისინი წერენ: თავად პლუსი, რა თქმა უნდა, არ წერია: ის გულისხმობს.
ყველაფერი, როგორც ჩანს, მარტივია, მაგრამ... მაგრამ რა შეიძლება ითქვას უარყოფითი რიცხვებიდან უცნაური ხარისხის ფესვებზე? ბოლოს და ბოლოს, ამოღებისას ყოველთვის არის უარყოფითი რიცხვი! ვინაიდან ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი შედის უცნაური ხარისხიასევე იძლევა უარყოფით რიცხვს. და არითმეტიკული ფესვი მუშაობს მხოლოდ არაუარყოფით რიცხვებთან! ამიტომ არის არითმეტიკა.)
ასეთ ფესვებში ასე აკეთებენ: ფესვის ქვემოდან მინუსს ამოაქვთ და ფესვის წინ აყენებენ. Ამგვარად:
ასეთ შემთხვევებში ნათქვამია გამოხატული არითმეტიკული (ანუ უკვე არაუარყოფითი) ფესვის მიხედვით .
მაგრამ არის ერთი რამ, რაც შეიძლება დამაბნეველი იყოს - ეს არის ძალებით მარტივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითად, აქ არის განტოლება:
ჩვენ ვწერთ პასუხს: სინამდვილეში, ეს პასუხი მხოლოდ შემოკლებული აღნიშვნაა ორი პასუხი:
აქ გაუგებრობა ის არის, რომ მე უკვე დავწერე ცოტა მაღლა, რომ სკოლაში მხოლოდ არაუარყოფითი (ანუ არითმეტიკული) ფესვები განიხილება. და აქ არის ერთ-ერთი პასუხი მინუსით ... როგორ ვიყოთ? Არანაირად! ნიშნები აქ არის განტოლების ამოხსნის შედეგი. მაგრამ თავად ფესვი- მნიშვნელობა მაინც არაუარყოფითია! თავად ნახეთ:
აბა, ახლა უფრო გასაგებია? ფრჩხილებით?)
უცნაური ხარისხით, ყველაფერი ბევრად უფრო მარტივია - ყოველთვის გამოდის ერთიფესვი. პლუსი თუ მინუსი. Მაგალითად:
ასე რომ, თუ ჩვენ უბრალოდჩვენ გამოვყოფთ ფესვს (ლუწი ხარისხის) რიცხვიდან, შემდეგ ყოველთვის ვიღებთ ერთიარაუარყოფითი შედეგი. რადგან ის არითმეტიკული ფესვია. ახლა თუ გადავწყვეტთ განტოლებათანაბარი ხარისხით ვიღებთ ორი საპირისპირო ფესვი, რადგან ეს არის განტოლების ამოხსნა.
კენტი გრადუსების ფესვებით (კუბური, მეხუთე ხარისხი და ა.შ.) პრობლემები არ არის. თავს ვიღებთ და ნიშნებით არ ვბანაობთ. პლიუსი ფესვის ქვეშ ნიშნავს პლიუსით ამოღების შედეგს. მინუსი ნიშნავს მინუსს.
ახლა კი დროა შევხვდეთ ფესვის თვისებები. ზოგიერთი ჩვენთვის უკვე ნაცნობი იქნება კვადრატული ფესვებიდან, მაგრამ რამდენიმე ახალი დაემატება. წადი!
ფესვის თვისებები. ნაწარმოების ძირი.
ეს თვისება ჩვენთვის უკვე ნაცნობია კვადრატული ფესვებიდან. სხვა ხარისხის ფესვებისთვის ყველაფერი მსგავსია:
ე.ი. პროდუქტის ფესვი უდრის თითოეული ფაქტორის ფესვების ნამრავლს ცალკე.
თუ მაჩვენებელინ ლუწი, მაშინ ორივე რადიკალური რიცხვია დაბ რა თქმა უნდა, უნდა იყოს არაუარყოფითი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ფორმულას აზრი არ აქვს. კენტი ინდიკატორის შემთხვევაში, შეზღუდვები არ არის: მინუსებს ფესვების ქვემოდან წინ ვიღებთ და შემდეგ არითმეტიკული ფესვებით ვმუშაობთ.)
როგორც კვადრატულ ფესვებში, აქაც ეს ფორმულა ერთნაირად სასარგებლოა როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. ფორმულის გამოყენება მარცხნიდან მარჯვნივ საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ ფესვები სამუშაოდან. Მაგალითად:
ეს ფორმულა, სხვათა შორის, მოქმედებს არა მხოლოდ ორი, არამედ ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებისთვის. Მაგალითად:
ასევე, ამ ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოიღოთ ფესვები დიდი რაოდენობით: ამისთვის ფესვის ქვეშ მყოფი რიცხვი იშლება უფრო მცირე ფაქტორებად, შემდეგ კი ფესვები ამოღებულია თითოეული ფაქტორიდან ცალკე.
მაგალითად, ასეთი დავალება:
რაოდენობა საკმარისად დიდია. ფესვებს იღებს? გლუვი- ასევე კალკულატორის გარეშე გაუგებარია. კარგი იქნებოდა ამის გათვალისწინება. ზუსტად რაზე იყოფა რიცხვი 3375? 5-ზე, როგორც ჩანს: ბოლო ციფრი არის ხუთი.) გაყოფა:
ოჰ, ისევ იყოფა 5-ზე! 675:5 = 135. და 135 კვლავ იყოფა ხუთზე. კი, როდის დასრულდება?
135:5 = 27. 27 ნომრით ყველაფერი უკვე ნათელია - ეს არის სამი კუბში. ნიშნავს,
შემდეგ:
მათ ფესვი ნაწილ-ნაწილ ამოიღეს, კარგი, კარგი.)
ან ეს მაგალითი:
ისევ ფაქტორიზაციას ვაკეთებთ გაყოფის ნიშნების მიხედვით. Რა? 4-ზე იმიტომ 40 რიცხვების ბოლო წყვილი იყოფა 4-ზე და 10-ზე, რადგან ბოლო ციფრი არის ნული. ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ ერთჯერადად გაყოთ 40-ზე:
216 რიცხვის შესახებ უკვე ვიცით, რომ ეს არის ექვსი კუბური. ანუ
და 40, თავის მხრივ, შეიძლება დაიშალოს როგორც . მერე
და ბოლოს მივიღებთ:
არ გამოუვიდა ფესვის ამოღება, კარგი, არაუშავს. ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ გავამარტივეთ გამოთქმა: ვიცით, რომ მიღებულია ფესვის ქვეშ უმცირესი რიცხვის დატოვება (თუნდაც კვადრატი, თუნდაც კუბური - ნებისმიერი) ამ მაგალითში ჩვენ შევასრულეთ ერთი ძალიან სასარგებლო ოპერაცია, ასევე უკვე ნაცნობი. ჩვენ კვადრატული ფესვებიდან. ცნობთ? დიახ! ჩვენ გაუძლოფაქტორები ფესვის ქვეშ. ამ მაგალითში ჩვენ ამოვიღეთ დიუსი და ექვსი, ე.ი. ნომერი 12.
როგორ ამოვიღოთ ფაქტორი ფესვის ნიშნიდან?
ძირეული ნიშნის მიღმა ფაქტორის (ან ფაქტორების) ამოღება ძალიან ადვილია. ძირეულ გამონათქვამს ვანაწილებთ ფაქტორებად და გამოვყოფთ ამოღებულს.) ხოლო რაც არ არის ამოღებული, ვტოვებთ ძირში. იხილეთ:
ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 9072 ფაქტორებად. ვინაიდან მეოთხე ხარისხის ფესვი გვაქვს, პირველ რიგში ვცდილობთ დავშალოთ ფაქტორებად, რომლებიც ნატურალური რიცხვების მეოთხე ხარისხებია - 16, 81 და ა.შ.
შევეცადოთ 9072 გავყოთ 16-ზე:
გაზიარებული!
მაგრამ 567, როგორც ჩანს, იყოფა 81-ზე:
ნიშნავს,.
მერე
ფესვის თვისებები. ფესვის გამრავლება.
ახლა განვიხილოთ ფორმულის საპირისპირო გამოყენება - მარჯვნიდან მარცხნივ:
ერთი შეხედვით, ახალი არაფერია, მაგრამ გარეგნობა მატყუებს.) ფორმულის საპირისპირო გამოყენება მნიშვნელოვნად აფართოებს ჩვენს შესაძლებლობებს. Მაგალითად:
ჰმ, რა არის ამაში ცუდი? გაამრავლეს ყველაფერი. აქ განსაკუთრებული არაფერია. ფესვების ჩვეულებრივი გამრავლება. და აი მაგალითი!
ცალკე, ფესვები არ არის ამოღებული ფაქტორებიდან. მაგრამ შედეგი შესანიშნავია.)
ისევ და ისევ, ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებზე. მაგალითად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ შემდეგი გამოხატულება:
აქ მთავარია ყურადღება. მაგალითი შეიცავს სხვადასხვაფესვები არის კუბური და მეოთხე ხარისხის. და არცერთი მათგანი ნამდვილად არ არის ამოღებული ...
და ფესვების პროდუქტის ფორმულა გამოიყენება მხოლოდ ფესვებისთვის იგივეინდიკატორები. ამიტომ ვაჯგუფებთ კუბის ფესვებს ცალკე გროვად და ცალკე გროვად - მეოთხე ხარისხში. და იქ, ხედავთ, ყველაფერი ერთად გაიზრდება.))
და მე არ მჭირდებოდა კალკულატორი.
როგორ დავამატოთ მულტიპლიკატორი ძირის ნიშნის ქვეშ?
შემდეგი სასარგებლო რამ არის რიცხვის შეყვანა ფესვის ქვეშ. Მაგალითად:
შესაძლებელია თუ არა ფესვის შიგნით სამეულის ამოღება? ელემენტარული! თუ სამეული გადაიქცევა ფესვი, მაშინ იმუშავებს ფესვების პროდუქტის ფორმულა. ასე რომ, ჩვენ ვაქცევთ სამს ფესვად. რაკი გვაქვს მეოთხე ხარისხის ფესვი, მაშინ მას მეოთხე ხარისხის ფესვადაც გადავაქცევთ.) ასე:
მერე
სხვათა შორის, ფესვი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისგან. უფრო მეტიც, რამდენადაც ჩვენ გვინდა (ყველაფერი დამოკიდებულია კონკრეტულ მაგალითზე). ეს იქნება ამ რიცხვის n-ე ხარისხის ფესვი:
Და ახლა - ყურადღება!ძალიან უხეში შეცდომების წყარო! აქ ტყუილად არაფერი მითქვამს არაუარყოფითინომრები. არითმეტიკული ფესვი მუშაობს მხოლოდ ასეთებთან. თუ დავალებაში სადმე გვაქვს უარყოფითი რიცხვი, მაშინ ან ფესვის წინ ვტოვებთ მინუსს (თუ გარეთ არის), ან მინუსს ვაშორებთ ფესვის ქვეშ, თუ ის შიგნითაა. შეგახსენებთ თუ ფესვის ქვეშ თუნდაცხარისხი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ გამოხატვას აზრი არ აქვს.
მაგალითად, ასეთი დავალება. შეიყვანეთ მულტიპლიკატორი ფესვის ნიშნის ქვეშ:
თუ ახლა ვაფესვიანებთ მინუსორი, მაშინ ჩვენ სასტიკად შევცდებით:
რა არის აქ ცუდი? და ის ფაქტი, რომ მეოთხე ხარისხი, მისი პარიტეტის გამო, უსაფრთხოდ "ჭამა" ეს მინუსი, რის შედეგადაც განზრახ უარყოფითი რიცხვი გადაიქცა დადებითად. სწორი გამოსავალი ასე გამოიყურება:
უცნაური გრადუსების ფესვებში, მინუსი, თუმცა არ არის „შეჭამილი“, ასევე უმჯობესია დატოვოთ იგი გარეთ:
აქ კენტი ხარისხის ფესვი არის კუბური, და ჩვენ გვაქვს სრული უფლება, მინუსიც ფესვის ქვეშ გადავდოთ. მაგრამ სასურველია ასეთ მაგალითებში მინუსიც გარეთ დავტოვოთ და არითმეტიკული (არაუარყოფითი) ფესვით გამოთქმული პასუხი დავწეროთ, ვინაიდან ფესვს, თუმცა აქვს სიცოცხლის უფლება, მაგრამ არ არის არითმეტიკა.
ასე რომ, ძირის ქვეშ რიცხვის შეყვანითაც ყველაფერი ნათელია, იმედი მაქვს.) გადავიდეთ შემდეგ თვისებაზე.
ფესვის თვისებები. წილადის ფესვი. ფესვების გაყოფა.
ეს თვისება ასევე სრულად იმეორებს კვადრატულ ფესვებს. მხოლოდ ახლა ვავრცელებთ მას ნებისმიერი ხარისხის ფესვებზე:
წილადის ფესვი არის მრიცხველის ფესვი გაყოფილი მნიშვნელის ფესვზე.
თუ n ლუწია, მაშინ რიცხვია უნდა იყოს არაუარყოფითი და რიცხვიბ - მკაცრად დადებითი (ნულის გაყოფა არ შეიძლება). კენტი მაჩვენებლის შემთხვევაში, ერთადერთი შეზღუდვა იქნება .
ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ მარტივად და სწრაფად ამოიღოთ ფესვები ფრაქციებიდან:
აზრი ნათელია, ვფიქრობ. მთლიანობაში წილადთან მუშაობის ნაცვლად, გადავდივართ მრიცხველთან ცალ-ცალკე და მნიშვნელთან ცალ-ცალკე მუშაობაზე.) თუ წილადი არის ათობითი ან, საშინელებათა, შერეული რიცხვი, მაშინ ჯერ ჩვეულებრივ წილადებზე გადავდივართ:
ახლა ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ფორმულა მარჯვნიდან მარცხნივ. აქაც ძალიან სასარგებლო შესაძლებლობები ვლინდება. მაგალითად, ეს მაგალითი:
ფესვები ზუსტად არ არის ამოღებული მრიცხველიდან და მნიშვნელიდან, მაგრამ მთელი წილადიდან კარგია.) თქვენ შეგიძლიათ ამ მაგალითის გადაჭრა სხვაგვარად - ამოიღეთ მრიცხველის კოეფიციენტი ფესვის ქვეშ, რასაც მოჰყვება შემცირება:
Როგორც გინდა. პასუხი ყოველთვის ერთი და იგივეა - სწორი. თუ შეცდომებს არ უშვებ გზაზე.)
ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ ფესვების გამრავლება / გაყოფა. ჩვენ ავდივართ შემდეგ საფეხურზე და განვიხილავთ მესამე თვისებას - ფესვი ხარისხით და ხარისხის ფესვი .
ფესვი ხარისხამდე. ხარისხის ფესვი.
როგორ ავწიოთ ფესვი ძალაზე? მაგალითად, ვთქვათ, გვაქვს ნომერი. შეიძლება თუ არა ამ რიცხვის გაზრდა? მაგალითად კუბში? Რა თქმა უნდა! გაამრავლეთ ფესვი თავისთავად სამჯერ და - ფესვების პროდუქტის ფორმულის მიხედვით:
აქ არის ფესვი და ხარისხი თითქოსორმხრივად გაუქმებული ან კომპენსირებული. მართლაც, თუ ჩვენ ავწევთ რიცხვს, რომელიც კუბურებისას მოგვცემს სამმაგს, ავწევთ მას იმავე კუბამდე, მაშინ რას მივიღებთ? სამი და მიიღეთ, რა თქმა უნდა! და ასე იქნება ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის. Ზოგადად:
თუ მაჩვენებლები და ფესვი განსხვავებულია, მაშინ არც პრობლემაა. თუ იცით გრადუსების თვისებები.)
თუ მაჩვენებელი ნაკლებია ფესვის მაჩვენებელზე, მაშინ ჩვენ უბრალოდ ვატარებთ მაჩვენებელს ფესვის ქვეშ:
ზოგადად ეს იქნება:
იდეა ნათელია: ჩვენ რადიკალურ გამოხატულებას ვაყენებთ ძალამდე და შემდეგ ვამარტივებთ მას, თუ ეს შესაძლებელია, ფაქტორების ამოღებით. Თუნ პირდაპირ, მაშინა უნდა იყოს არაუარყოფითი. რატომ გასაგებია მგონი.) და თუნ უცნაურია, მაშინ არანაირი შეზღუდვაა უკვე წასული:
მოდი ახლა გავუმკლავდეთ ხარისხის ფესვი . ანუ თავად ფესვი კი არ იქნება ამაღლებული ძალამდე, არამედ რადიკალური გამოხატულება. აქაც არაფერია რთული, მაგრამ შეცდომების გაცილებით მეტი შესაძლებლობაა. რატომ? იმის გამო, რომ უარყოფითი რიცხვები მოქმედებს, რამაც შეიძლება დააბნიოს ნიშნები. ჯერჯერობით, დავიწყოთ უცნაური ძალების ფესვებით - ისინი ბევრად უფრო მარტივია.
ვთქვათ, გვაქვს რიცხვი 2. შეგვიძლია თუ არა მისი კუბირება? Რა თქმა უნდა!
ახლა კი - უკან ამოიღეთ კუბის ფესვი რვადან:
დაიწყეს დუსით და დაბრუნდნენ დუსში.) გასაკვირი არ არის: კუბამდე აწევა ანაზღაურდა საპირისპირო მოქმედებით - კუბის ფესვის ამოღება.
Სხვა მაგალითი:
აქაც ყველაფერი რიგზეა. ერთმანეთის ხარისხი და ფესვი კომპენსირებულია. ზოგადად, კენტი გრადუსების ფესვებისთვის შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ფორმულა:
ეს ფორმულა მოქმედებს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვისა . დადებითი თუ უარყოფითი.
ანუ კენტი ხარისხი და ერთი ხარისხის ფესვი ყოველთვის ანაზღაურებს ერთმანეთს და მიიღება რადიკალური გამოხატულება. :)
მაგრამ თან თუნდაცხარისხით, ეს აქცენტი შეიძლება აღარ გაიაროს. თავად ნახეთ:
აქ ჯერ არაფერია განსაკუთრებული. მეოთხე ხარისხიც და მეოთხე ხარისხის ფესვიც აწონასწორებდა ერთმანეთს და აღმოჩნდა მხოლოდ დუეტი, ე.ი. ფესვიანი გამოხატულება. და ვინმესთვის არაუარყოფითინომრები იგივე იქნება. და ახლა ჩვენ უბრალოდ ვცვლით ორს ამ ფესვში მინუს ორით. ასე რომ, ავიღოთ ფესვი ასე:
დუსის მინუსი უსაფრთხოდ "დაიწვა" მეოთხე ხარისხის გამო. და ფესვის ამოღების შედეგად (არითმეტიკა!) მივიღეთ დადებითინომერი. ეს იყო მინუს ორი, გახდა პლუს ორი.) მაგრამ თუ ჩვენ უბრალოდ დაუფიქრებლად „შევამცირეთ“ ხარისხი და ფესვი (იგივე!), მივიღებდით
რაც ყველაზე დიდი შეცდომაა, დიახ.
ამიტომ, ამისთვის თუნდაცმაჩვენებლის ფესვის ფორმულა ასე გამოიყურება:
აქ დაემატა მოდულის ნიშანი, რომელიც ბევრს არ უყვარდა, მაგრამ მასში არაფერია საშინელი: მისი წყალობით, ფორმულა ასევე მუშაობს ნებისმიერ რეალურ რიცხვზე.ა. და მოდული უბრალოდ წყვეტს მინუსებს:
მხოლოდ n-ე ხარისხის ფესვებში გამოჩნდა დამატებითი განსხვავება ლუწ და კენტ ხარისხებს შორის. ხარისხებიც კი, როგორც ვხედავთ, უფრო კაპრიზულია, დიახ.)
ახლა კი განიხილეთ ახალი სასარგებლო და ძალიან საინტერესო თვისება, რომელიც უკვე დამახასიათებელია n-ე ხარისხის ფესვებისთვის: თუ ფესვის მაჩვენებელი და ძირეული გამოხატვის მაჩვენებლის მაჩვენებელი გამრავლდება (იყოფა) იმავე ბუნებრივ რიცხვზე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა იქნება. არ შეიცვალოს.
რაღაც წილადის ძირითად თვისებას მოგაგონებთ, არა? წილადებში ჩვენ ასევე შეგვიძლია გავამრავლოთ (გავყოთ) მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე (ნულის გარდა). სინამდვილეში, ფესვების ეს თვისება ასევე არის წილადის ძირითადი თვისების შედეგი. როცა გავიცნობთ ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლითმაშინ ყველაფერი ნათელი გახდება. რა, როგორ და სად.)
ამ ფორმულის პირდაპირი გამოყენება საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი ფესვი ნებისმიერი გრადუსიდან. მათ შორის, თუ ძირეული გამოხატვის მაჩვენებლები და თავად ფესვი სხვადასხვა. მაგალითად, გავამარტივოთ შემდეგი გამოთქმა:
ჩვენ უბრალოდ ვმოქმედებთ. დასაწყისისთვის მეათე ხარისხს ძირის ქვეშ გამოვყოფთ და - წინ! Როგორ? რა თქმა უნდა, ხარისხების თვისებებით! ფაქტორს ფესვის ქვემოდან ამოვიღებთ ან ხარისხიდან ფესვის ფორმულის მიხედვით ვმუშაობთ.
მაგრამ მოდით გავამარტივოთ მხოლოდ ამ თვისების გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ ოთხს ფესვის ქვეშ, როგორც:
ახლა კი - ყველაზე საინტერესო - გონებრივად ვამცირებთინდიკატორი ფესვის ქვეშ (ორი) ძირეული ინდიკატორით (ოთხი)! და ჩვენ ვიღებთ:
- n>=2 ბუნებრივი ხარისხის არითმეტიკული ფესვი არაუარყოფითი a რიცხვიდან არის რაღაც არაუარყოფითი რიცხვი, n-ის ხარისხზე აყვანისას მიიღება რიცხვი a.
შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერი არაუარყოფითი a და ბუნებრივი n-სთვის x^n=a განტოლებას ექნება ერთი არაუარყოფითი ფესვი. სწორედ ამ ფესვს უწოდებენ n-ე ხარისხის არითმეტიკულ ფესვს a რიცხვიდან.
n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი a რიცხვიდან აღინიშნება შემდეგნაირად n√a. რიცხვს a ამ შემთხვევაში ეწოდება ძირეული გამოხატულება.
მეორე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი ეწოდება კვადრატულ ფესვს, ხოლო მესამე ხარისხის არითმეტიკულ ფესვს - კუბურ ფესვს.
n ხარისხის არითმეტიკული ფესვის ძირითადი თვისებები
- 1. (n√a)^n = a.
მაგალითად, (5√2)^5 = 2.
ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განმარტებიდან.
თუ a მეტია ან ტოლია ნულზე, b მეტია ნულზე და n, m არის ისეთი ნატურალური რიცხვები, რომ n მეტი ან ტოლია 2-ის და m მეტი ან ტოლი 2-ის, მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია. :
- 2. n√(a*b)= n√a*n√b.
მაგალითად, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.
- 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).
მაგალითად, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.
- 4. (n√a)^m = n√(a^m).
მაგალითად, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.
- 5. m√(n√a) = (n*m) √a.
მაგალითად, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.
გაითვალისწინეთ, რომ თვის 2-ში რიცხვი b შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ხოლო თვის 4-ში რიცხვი m შეიძლება იყოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი, იმ პირობით, რომ a>0.
მეორე ქონების დამადასტურებელი საბუთი
ბოლო ოთხივე თვისება დადასტურებულია ანალოგიურად, ამიტომ შემოვიფარგლებით მხოლოდ მეორის დამტკიცებით: n√(a*b)= n√a*n√b.
არითმეტიკული ფესვის განმარტების გამოყენებით ვამტკიცებთ, რომ n√(a*b)= n√a*n√b.
ამისათვის ჩვენ ვამტკიცებთ ორ ფაქტს, რომ n√a*n√b. ნულის მეტი ან ტოლი, და რომ (n√a*n√b.)^n = ab.
- 1. n√a*n√b მეტია ან ტოლია ნულის, ვინაიდან ორივე a და b მეტია ან ტოლია ნულის.
- 2. (n√a*n√b)^n = a*b ვინაიდან (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.
ქ.ე.დ. ასე რომ, ქონება მართალია. ეს თვისებები ძალიან ხშირად უნდა იქნას გამოყენებული არითმეტიკული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გამარტივებისას.
