შესავალი

როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ჩვენ მოგვწონს ეს თემა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია, როგორც არქიტექტორი, ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ ის შეძლებს დიდ პროექტებისკენ გვიბიძგოს.

არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე, მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხი. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება მივიჩნიოთ შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიმტკიცეს.

ეგვიპტური პირამიდები დიდი ხანია ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.

სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.

პროექტის მიზანი: ისწავლე რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავე ცოდნა და იპოვე პრაქტიკული აპლიკაციები.

ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:

გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ

განვიხილოთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული ფიგურა

იპოვნეთ განაცხადი ცხოვრებაში და არქიტექტურაში

იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის, რომლებიც მდებარეობს მსოფლიოს სხვადასხვა კუთხეში

თეორიული ნაწილი

ისტორიული ცნობები

პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისი ჩაეყარა ძველ ეგვიპტესა და ბაბილონში, მაგრამ იგი აქტიურად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. პირველი, ვინც დაადგინა, თუ რისი ტოლია პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "დასაწყისების" XII ტომში და ასევე გამოაქვეყნა პირამიდის პირველი განმარტება: სხეულის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც ერთ წერტილში ხვდებიან ერთი სიბრტყიდან.

ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში ძველად მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის აღმართვა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს ძეგლი მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკისთვის, რამაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიურ იდენტობას. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალ დროს მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია განსაკუთრებული საკულტო პატივის შესახებ, რომელიც აღმოჩნდა თავად პირამიდა.

Ძირითადი ცნებები

პირამიდამრავალკუთხედს უწოდებენ, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, მისი ზემოდან გამოყვანილი;

გვერდითი სახეები- სამკუთხედები თავმოყრილია;

გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;

პირამიდის მწვერვალი- გვერდითი კიდეების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;

სიმაღლე- პერპენდიკულარულის სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);

პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ზევით და ფუძის დიაგონალზე;

ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის მწვერვალს.

სწორი პირამიდის ძირითადი თვისებები

გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები, შესაბამისად, თანაბარია.

ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.

გვერდითა კიდეებზე დიედრული კუთხეები ტოლია.

სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან.

თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.

პირამიდის ძირითადი ფორმულები

პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.

გვ- ბაზის პერიმეტრი;

თ- აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

p1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;

თ- აპოთემა.

რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირი;

S მხარე- რეგულარული დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S1 + S2- ბაზის ფართობი

პირამიდის მოცულობა

ფორმა მოცულობის მასშტაბი გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

პირამიდის კუთხეები

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ძირში მდებარე დიედრული კუთხეები ეწოდება.

ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.

ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად უნდა გამოიყენოთ სამი პერპენდიკულარული თეორემა.

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება გვერდითი კიდით და მისი პროექციით ფუძის სიბრტყეზე, ეწოდება კუთხეები გვერდითი კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

ორი გვერდითი სახიდან წარმოქმნილი კუთხე ეწოდება დიჰედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.

კუთხე, რომელსაც პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდე ქმნის, ე.წ კუთხე პირამიდის თავზე.

პირამიდის მონაკვეთები

პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც მოცემულია სკანტური სიბრტყით არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ცალკეული სწორი ხაზებისგან.

დიაგონალური განყოფილება

პირამიდის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.

პარალელური მონაკვეთები

თეორემა:

თუ პირამიდას კვეთს ფუძის პარალელურად სიბრტყე, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;

მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც ზემოდან მათი მანძილის კვადრატები.

პირამიდის სახეები

სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

სწორ პირამიდაზე:

1. გვერდითი ნეკნები ტოლია

2. გვერდითი სახეები თანაბარია

3. აპოთემები ტოლია

4. ძირში ორმხრივი კუთხეები ტოლია

5. გვერდითი კიდეების ორმხრივი კუთხეები ტოლია

6. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა ფუძის წვეროდან

7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან

შეკვეცილი პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

შეკვეცილი პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.

ერთი ფუძის რომელიმე წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.

Დავალებები

No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.

Პრობლემის გადაჭრა

No1. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა სახე და კიდე თანაბარია.

განვიხილოთ OSB: OSB-მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

პირამიდა არქიტექტურაში

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც მხარეები ერთ წერტილში იყრიან თავს. ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, ძველ დროში პირამიდები სამარხი ან თაყვანისმცემლობის ადგილი იყო. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან პოლიგონური წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.

ცნობილია დიდი რაოდენობით პირამიდები, რომლებიც აშენებულია ძველი სამყაროს სხვადასხვა კულტურის მიერ, ძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. ყველაზე დიდი პირამიდები ეგვიპტური პირამიდებია.

მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგვაგონებს და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.

ეგვიპტური პირამიდები ძველი ეგვიპტის უდიდესი არქიტექტურული ძეგლია, რომელთა შორის ერთ-ერთი "მსოფლიოს შვიდი საოცრება" არის კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე 146,7 მ იყო.

1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის. .

ლუვრმა, რომელიც „პირამიდასავით მდუმარე და დიდებულია“ საუკუნეების განმავლობაში მრავალი ცვლილება განიცადა, სანამ მსოფლიოს უდიდეს მუზეუმად იქცა. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკაში გამოცდაში ჩართული ამოცანების განხილვას. ჩვენ უკვე შევისწავლეთ ამოცანები, სადაც პირობაა მოცემული და საჭიროა ვიპოვოთ მანძილი ორ მოცემულ წერტილს ან კუთხეს შორის.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, დანარჩენი სახეები სამკუთხედებია და მათ აქვთ საერთო წვერო.

რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძეზე დევს რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი ზევით არის დაპროექტებული ფუძის ცენტრში.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა - ფუძე არის კვადრატი.პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის (კვადრატის) დიაგონალების გადაკვეთის ადგილას.

ML - აპოთემა
∠MLO - დიედრული კუთხე პირამიდის ძირში
∠MCO - კუთხე გვერდითი კიდესა და პირამიდის ფუძის სიბრტყეს შორის

ამ სტატიაში განვიხილავთ ამოცანებს სწორი პირამიდის ამოსახსნელად. საჭიროა ნებისმიერი ელემენტის, გვერდითი ზედაპირის ფართობის, მოცულობის, სიმაღლის პოვნა. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პითაგორას თეორემა, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა, პირამიდის მოცულობის პოვნის ფორმულა.

სტატიაში « » წარმოდგენილია ფორმულები, რომლებიც აუცილებელია სტერეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად. ასე რომ, ამოცანებია:

SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრისწვერო, ᲘᲡᲔ = 51, AC= 136. იპოვეთ გვერდითი კიდესკ.

ამ შემთხვევაში, ბაზა არის კვადრატი. ეს ნიშნავს, რომ AC და BD დიაგონალები ტოლია, ისინი იკვეთებიან და იკვეთებიან გადაკვეთის წერტილში. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვეულებრივ პირამიდაში მისი ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლე გადის პირამიდის ფუძის ცენტრში. ასე რომ, SO არის სიმაღლე და სამკუთხედისოცმართკუთხა. შემდეგ პითაგორას თეორემით:

როგორ ავიღოთ დიდი რიცხვის ფესვი.

პასუხი: 85

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, AC= 6. იპოვეთ გვერდითი კიდე სკ.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, სკ = 5, AC= 6. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ᲘᲡᲔ.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, სკ= 5. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე AC.

SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 7 და სრ= 16. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს (აპოთემა არის მისი ზემოდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე):

ან შეგიძლიათ თქვათ ეს: პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის სამი გვერდითი სახის ფართობების ჯამს. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ფართობის სამკუთხედები. Ამ შემთხვევაში:

პასუხი: 168

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1 და სრ= 2. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე სრ.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC ლ- ნეკნის შუა ძვ.წ, ს- ზედა. ცნობილია, რომ SL= 2, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე AB.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC მ. სამკუთხედის ფართობი ABCარის 25, პირამიდის მოცულობა 100. იპოვეთ მონაკვეთის სიგრძე ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ.

პირამიდის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი. Ისე მარის ბაზის ცენტრი დაᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ- რეგულარული პირამიდის სიმაღლეSABC. პირამიდის მოცულობა SABCუდრის: ხსნარის შემოწმება

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCბაზის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. სამკუთხედის ფართობი ABCარის 3, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ პირამიდის მოცულობა.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCბაზის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. პირამიდის მოცულობა არის 1, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ABC.

ამით დავასრულოთ. როგორც ხედავთ, ამოცანები წყდება ერთი ან ორი ნაბიჯით. სამომავლოდ თქვენთან ერთად განვიხილავთ სხვა პრობლემებს ამ ნაწილიდან, სადაც მოცემულია რევოლუციის ორგანოები, არ გამოტოვოთ!

Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

მოსწავლეები პირამიდის კონცეფციას გეომეტრიის შესწავლამდე დიდი ხნით ადრე ხვდებიან. დაადანაშაულეთ მსოფლიოს ცნობილი დიდი ეგვიპტური საოცრება. ამიტომ, ამ მშვენიერი პოლიედრონის შესწავლის დაწყებით, სტუდენტების უმეტესობა უკვე აშკარად წარმოიდგენს მას. ყველა ზემოაღნიშნული სანახაობა სწორ ფორმაშია. Რა მარჯვენა პირამიდადა რა თვისებები აქვს მას და განხილული იქნება შემდგომში.

კონტაქტში

განმარტება

პირამიდის მრავალი განმარტება არსებობს. უძველესი დროიდან ის ძალიან პოპულარული იყო.

მაგალითად, ევკლიდემ განსაზღვრა ის, როგორც მყარი ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყეებისგან, რომლებიც, დაწყებული ერთიდან, ერთდებიან გარკვეულ წერტილში.

ჰერონმა უფრო ზუსტი ფორმულირება მოგვცა. ის ამტკიცებდა, რომ ეს იყო ფიგურა აქვს ბაზა და სიბრტყეები სამკუთხედების სახით,ერთ წერტილში შეკრება.

თანამედროვე ინტერპრეტაციიდან გამომდინარე, პირამიდა წარმოდგენილია როგორც სივრცითი პოლიედონი, რომელიც შედგება გარკვეული k-gon და k ბრტყელი სამკუთხა ფიგურებისაგან, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წერტილი.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ, რა ელემენტებისაგან შედგება?

• k-gon ითვლება ფიგურის საფუძვლად;
• გვერდითი ნაწილის გვერდებზე გამოსულია 3-კუთხოვანი ფიგურები;
• ზედა ნაწილს, საიდანაც წარმოიქმნება გვერდითი ელემენტები, ეწოდება ზედა;
• წვეროს დამაკავშირებელ ყველა სეგმენტს კიდეები ეწოდება;
• თუ სწორი ხაზი ზემოდან ფიგურის სიბრტყემდე 90 გრადუსიანი კუთხით არის დაშვებული, მაშინ მისი ნაწილი, რომელიც ჩასმულია შიდა სივრცეში, არის პირამიდის სიმაღლე;
• ნებისმიერ გვერდით ელემენტში ჩვენი პოლიედრონის მხარეს შეგიძლიათ დახაზოთ პერპენდიკულარული, რომელსაც ეწოდება აპოთემა.

კიდეების რაოდენობა გამოითვლება ფორმულით 2*k, სადაც k არის k-გონის გვერდების რაოდენობა. რამდენი სახე აქვს პირამიდის მსგავს პოლიედრონს, შეიძლება განისაზღვროს გამოსახულებით k + 1.

Მნიშვნელოვანი!რეგულარული ფორმის პირამიდა არის სტერეომეტრიული ფიგურა, რომლის ფუძის სიბრტყე არის k-გონი თანაბარი გვერდებით.

ძირითადი თვისებები

სწორი პირამიდა აქვს მრავალი თვისებარომლებიც მისთვის უნიკალურია. ჩამოვთვალოთ ისინი:

1. ბაზა არის სწორი ფორმის ფიგურა.
2. პირამიდის კიდეებს, რომლებიც ზღუდავს გვერდით ელემენტებს, აქვთ თანაბარი რიცხვითი მნიშვნელობები.
3. გვერდითი ელემენტები არის ტოლფერდა სამკუთხედები.
4. ფიგურის სიმაღლის საფუძველი ხვდება მრავალკუთხედის ცენტრში, ხოლო იგი ერთდროულად არის ჩაწერილი და აღწერილი ცენტრალური წერტილი.
5. ყველა გვერდითი ნეკნი მიდრეკილია საბაზისო სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.
6. ყველა გვერდით ზედაპირს აქვს დახრილობის ერთი და იგივე კუთხე ფუძის მიმართ.

ყველა ჩამოთვლილი თვისების წყალობით, ელემენტების გამოთვლების შესრულება მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. ზემოაღნიშნული თვისებებიდან გამომდინარე, ჩვენ ყურადღებას ვაქცევთ ორი ნიშანი:

1. იმ შემთხვევაში, როდესაც მრავალკუთხედი ჯდება წრეში, გვერდითი მხარეები ფუძესთან თანაბარი კუთხეები ექნებათ.
2. მრავალკუთხედის გარშემო წრის აღწერისას, პირამიდის ყველა კიდეს, რომელიც გამოდის წვეროდან, ექნება იგივე სიგრძე და ტოლი კუთხეები ფუძესთან.

მოედანი დაფუძნებულია

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა - კვადრატზე დაფუძნებული პოლიედონი.

მას აქვს ოთხი გვერდითი სახე, რომლებიც გარეგნულად ტოლია.

სიბრტყეზე გამოსახულია კვადრატი, მაგრამ ისინი ეფუძნება რეგულარული ოთხკუთხედის ყველა თვისებას.

მაგალითად, თუ საჭიროა კვადრატის გვერდის დაკავშირება მის დიაგონალთან, მაშინ გამოიყენება შემდეგი ფორმულა: დიაგონალი უდრის კვადრატის გვერდისა და კვადრატული ფესვის ნამრავლს.

რეგულარული სამკუთხედის საფუძველზე

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა არის პოლიედონი, რომლის ფუძე არის რეგულარული 3-კუთხედი.

თუ ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი, ხოლო გვერდითი კიდეები უდრის ფუძის კიდეებს, მაშინ ასეთი ფიგურა ტეტრაჰედრონს უწოდებენ.

ტეტრაედრის ყველა სახე ტოლგვერდაა 3 კუთხიანი. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე პუნქტი და არ დაკარგოთ დრო მათზე გაანგარიშებისას:

• ნეკნების დახრილობის კუთხე ნებისმიერი ძირისკენ არის 60 გრადუსი;
• ყველა შიდა სახის მნიშვნელობა ასევე არის 60 გრადუსი;
• ნებისმიერ სახეს შეუძლია იმოქმედოს როგორც ბაზა;
• ფიგურის შიგნით დახატული თანაბარი ელემენტებია.

პოლიედრონის მონაკვეთები

ნებისმიერ პოლიედრონში არის რამდენიმე ტიპის განყოფილებათვითმფრინავი. ხშირად სასკოლო გეომეტრიის კურსზე ისინი მუშაობენ ორთან:

• ღერძული;
• პარალელური საფუძველი.

ღერძული მონაკვეთი მიიღება პოლიედრონის გადაკვეთით თვითმფრინავთან, რომელიც გადის წვეროზე, გვერდით კიდეებსა და ღერძზე. ამ შემთხვევაში, ღერძი არის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე. ჭრის თვითმფრინავი შემოიფარგლება ყველა სახის გადაკვეთის ხაზებით, რის შედეგადაც სამკუთხედი.

ყურადღება!ჩვეულებრივ პირამიდაში ღერძული განყოფილება არის ტოლფერდა სამკუთხედი.

თუ ჭრის თვითმფრინავი ბაზის პარალელურად გადის, მაშინ შედეგი არის მეორე ვარიანტი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს ბაზის მსგავსი ფიგურის კონტექსტში.

მაგალითად, თუ საფუძველი არის კვადრატი, მაშინ ფუძის პარალელურად მონაკვეთი ასევე იქნება კვადრატი, მხოლოდ მცირე ზომის.

ამ პირობებში პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება ფიგურების მსგავსების ნიშნები და თვისებები. თალესის თეორემაზე დაყრდნობით. უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მსგავსების კოეფიციენტის დადგენა.

თუ სიბრტყე დახატულია ფუძის პარალელურად, და ის წყვეტს პოლიედრონის ზედა ნაწილს, მაშინ ქვედა ნაწილში მიიღება რეგულარული შეკვეცილი პირამიდა. შემდეგ იტყვიან, რომ ჩამოჭრილი მრავალკუთხედის ფუძეები მსგავსი მრავალკუთხედებია. ამ შემთხვევაში, გვერდითი სახეები არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ღერძული განყოფილება ასევე ტოლფერდაა.

დამსხვრეული პოლიედრონის სიმაღლის დასადგენად აუცილებელია სიმაღლის დახატვა ღერძულ მონაკვეთში, ანუ ტრაპეციაში.

ზედაპირის არეები

ძირითადი გეომეტრიული ამოცანები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს სასკოლო გეომეტრიის კურსში არის იპოვნეთ პირამიდის ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.

არსებობს ორი სახის ზედაპირის ფართობი:

• გვერდითი ელემენტების ფართობი;
• მთელი ზედაპირის ფართობი.

თავად სათაურიდანაც კარგად ჩანს რაზეა საუბარი. გვერდითი ზედაპირი მოიცავს მხოლოდ გვერდით ელემენტებს. აქედან გამომდინარეობს, რომ მის მოსაძებნად, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ გვერდითი სიბრტყეების არეები, ანუ ტოლფერდა 3-გონების არეები. შევეცადოთ გამოვიტანოთ ფორმულა გვერდითი ელემენტების ფართობისთვის:

1. ტოლფერდა 3 კუთხის ფართობი არის Str=1/2(aL), სადაც a არის ფუძის მხარე, L არის აპოთემა.
2. გვერდითი სიბრტყეების რაოდენობა დამოკიდებულია კ-გონის ტიპზე ბაზაზე. მაგალითად, ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდას აქვს ოთხი გვერდითი სიბრტყე. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ოთხი ფიგურის ფართობის შეკრება Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. . გამოთქმა გამარტივებულია ამ გზით, რადგან მნიშვნელობა 4a=POS, სადაც POS არის ბაზის პერიმეტრი. და გამოთქმა 1/2 * Rosn არის მისი ნახევარპერიმეტრი.
3. ასე რომ, დავასკვნით, რომ რეგულარული პირამიდის გვერდითი ელემენტების ფართობი უდრის ფუძის ნახევრად პერიმეტრის ნამრავლს და აპოთემას: Sside \u003d Rosn * L.

პირამიდის სრული ზედაპირის ფართობი შედგება გვერდითი სიბრტყეებისა და ფუძის ფართობების ჯამისაგან: Sp.p. = Siside + Sbase.

რაც შეეხება ფუძის ფართობს, აქ ფორმულა გამოიყენება მრავალკუთხედის ტიპის მიხედვით.

ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობაუდრის ფუძის სიბრტყის ფართობის ნამრავლს და სიმაღლეს გაყოფილი სამზე: V=1/3*Sbase*H, სადაც H არის მრავალწახნაგების სიმაღლე.

რა არის ჩვეულებრივი პირამიდა გეომეტრიაში

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებები

პირამიდა. შეკვეცილი პირამიდა

პირამიდაჰქვია მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე არის მრავალკუთხედი ( ბაზა ), და ყველა სხვა სახე არის სამკუთხედი საერთო წვერით ( გვერდითი სახეები ) (სურ. 15). პირამიდა ე.წ სწორი , თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში (სურ. 16). სამკუთხა პირამიდა, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება ტეტრაედონი .

გვერდითი ნეკნიპირამიდა ეწოდება გვერდითი სახის მხარეს, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს სიმაღლე პირამიდა არის მანძილი მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია, ყველა გვერდითი სახე თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედია. წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა . დიაგონალური განყოფილება პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

გვერდითი ზედაპირის ფართობიპირამიდა ეწოდება ყველა მხარის ფართობის ჯამს. სრული ზედაპირის ფართობი არის ყველა მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამი.

თეორემები

1. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით ასახულია ფუძის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრში.

2. თუ პირამიდაში ყველა გვერდითი კიდეები თანაბარი სიგრძეა, მაშინ პირამიდის ზევით დაპროექტებულია შემოხაზული წრის ცენტრში ფუძესთან ახლოს.

3. თუ პირამიდაში ყველა სახე თანაბრად არის დახრილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ პირამიდის ზევით პროეცირებულია ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად, ფორმულა სწორია:

სადაც ვ- მოცულობა;

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ჰარის პირამიდის სიმაღლე.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

სადაც გვ- ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- აპოთემა;

ჰ- სიმაღლე;

S სავსე

S მხარე

S მთავარი- ბაზის ფართობი;

ვარის ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა.

შეკვეცილი პირამიდაეწოდება პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და საჭრელ სიბრტყეს შორის პირამიდის ფუძის პარალელურად (სურ. 17). შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა ეწოდება რეგულარული პირამიდის ნაწილს, რომელიც ჩასმულია ფუძესა და პირამიდის ფუძის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

ფონდებიშეკვეცილი პირამიდა - მსგავსი მრავალკუთხედები. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. სიმაღლე შეკვეცილ პირამიდას ეწოდება მანძილი მის ფუძეებს შორის. დიაგონალი ჩამოჭრილი პირამიდა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის წვეროებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე. დიაგონალური განყოფილება ჩამოჭრილი პირამიდის მონაკვეთს ეწოდება სიბრტყე, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

შეკვეცილი პირამიდისთვის მოქმედებს ფორმულები:

(4)

სადაც ს 1 , ს 2 - ზედა და ქვედა ბაზების უბნები;

S სავსეარის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარეარის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

ჰ- სიმაღლე;

ვარის დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა.

რეგულარული შეკვეცილი პირამიდისთვის, შემდეგი ფორმულა მართალია:

სადაც გვ 1 , გვ 2 - ბაზის პერიმეტრი;

სთ ა- ჩვეულებრივი დამსხვრეული პირამიდის აპოთემა.

მაგალითი 1რეგულარულ სამკუთხა პირამიდაში, ფუძეზე ორკუთხა კუთხე არის 60º. იპოვეთ გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ფუძის სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 18).

პირამიდა რეგულარულია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და ყველა გვერდითი მხარე თანაბარი ტოლგვერდა სამკუთხედია. ძირის დიედრული კუთხე არის პირამიდის გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე. წრფივი კუთხე იქნება კუთხე აორ პერპენდიკულარებს შორის: ე.ი. პირამიდის მწვერვალი გამოსახულია სამკუთხედის ცენტრში (მოხაზული წრის ცენტრი და სამკუთხედში ჩაწერილი წრე ABC). გვერდითი ნეკნის დახრილობის კუთხე (მაგ სბ) არის კუთხე თავად კიდესა და მის პროექციას საბაზისო სიბრტყეზე. ნეკნისთვის სბეს კუთხე იქნება კუთხე SBD. ტანგენტის საპოვნელად თქვენ უნდა იცოდეთ ფეხები ᲘᲡᲔდა OB. მიეცით სეგმენტის სიგრძე BDარის 3 ა. წერტილი ოხაზის სეგმენტი BDიყოფა ნაწილებად: და From ჩვენ ვპოულობთ ᲘᲡᲔ: ჩვენგან ვპოულობთ:

პასუხი:

მაგალითი 2იპოვეთ რეგულარული ჩამოჭრილი ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა, თუ მისი ფუძეების დიაგონალებია სმ და სმ, ხოლო სიმაღლე 4 სმ.

გადაწყვეტილება.დამსხვრეული პირამიდის მოცულობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (4). ფუძეების ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუძის კვადრატების გვერდები, იცოდეთ მათი დიაგონალები. ფუძის გვერდები არის შესაბამისად 2 სმ და 8 სმ, ეს ნიშნავს ფუძის ფართობებს და ყველა მონაცემის ფორმულაში ჩანაცვლებით, გამოვთვლით დამსხვრეული პირამიდის მოცულობას:

პასუხი: 112 სმ3.

მაგალითი 3იპოვეთ რეგულარული სამკუთხა ჩამოჭრილი პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 10 სმ და 4 სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე 2 სმ.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 19).

ამ პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძეები და სიმაღლე. ბაზები მოცემულია პირობით, უცნობია მხოლოდ სიმაღლე. იპოვე საიდან მაგრამ 1 ეპერპენდიკულარული წერტილიდან მაგრამ 1 ქვედა ბაზის სიბრტყეზე, ა 1 დ- პერპენდიკულარულად მაგრამ 1-ზე AC. მაგრამ 1 ე\u003d 2 სმ, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე. საპოვნელად DEდავასრულებთ დამატებით ნახატს, რომელშიც გამოვსახავთ ზედა ხედს (სურ. 20). Წერტილი ო- ზედა და ქვედა ბაზის ცენტრების პროექცია. წლიდან (იხ. სურ. 20) და მეორე მხრივ კარგიარის შემოხაზული წრის რადიუსი და OMარის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

MK=DE.

პითაგორას თეორემის მიხედვით

გვერდითი სახის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4პირამიდის ძირში დევს ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძეები ადა ბ (ა> ბ). თითოეული გვერდითი სახე ქმნის კუთხეს, რომელიც ტოლია პირამიდის ფუძის სიბრტყის ჯ. იპოვნეთ პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გადაწყვეტილება.დავხატოთ ნახატი (სურ. 21). პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი SABCDუდრის ფართობებისა და ტრაპეციის ფართობის ჯამს Ა Ბ Გ Დ.

ჩვენ ვიყენებთ განცხადებას, რომ თუ პირამიდის ყველა სახე თანაბრად არის მიდრეკილი ფუძის სიბრტყისკენ, მაშინ წვერო პროეცირდება ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრში. Წერტილი ო- წვეროს პროექცია სპირამიდის ძირში. სამკუთხედი SODარის სამკუთხედის ორთოგონალური პროექცია CSDსაბაზო სიბრტყემდე. ბრტყელი ფიგურის ორთოგონალური პროექციის ფართობის თეორემის მიხედვით ვიღებთ:

ანალოგიურად, ეს ნიშნავს ამრიგად, პრობლემა შემცირდა ტრაპეციის არეალის პოვნამდე Ა Ბ Გ Დ. დახაზეთ ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დცალკე (სურ. 22). Წერტილი ოარის ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ვინაიდან წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ან პითაგორას თეორემით გვაქვს

ვიდეო გაკვეთილი 2: პირამიდის გამოწვევა. პირამიდის მოცულობა

ვიდეო გაკვეთილი 3: პირამიდის გამოწვევა. სწორი პირამიდა

ლექცია: პირამიდა, მისი ფუძე, გვერდითი კიდეები, სიმაღლე, გვერდითი ზედაპირი; სამკუთხა პირამიდა; მარჯვენა პირამიდა

პირამიდა, მისი თვისებები

პირამიდა- ეს არის სამგანზომილებიანი სხეული, რომელსაც ძირში აქვს მრავალკუთხედი და მისი ყველა სახე შედგება სამკუთხედებისგან.

პირამიდის განსაკუთრებული შემთხვევაა კონუსი, რომლის ძირში დევს წრე.

განვიხილოთ პირამიდის ძირითადი ელემენტები:

აპოთემაარის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პირამიდის ზედა ნაწილს გვერდითი სახის ქვედა კიდეს შუა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის პირამიდის სახის სიმაღლე.

სურათზე შეგიძლიათ იხილოთ სამკუთხედები ADS, ABS, BCS, CDS. თუ კარგად დააკვირდებით სახელებს, ხედავთ, რომ თითოეულ სამკუთხედს აქვს ერთი საერთო ასო თავის სახელში - S. ანუ ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდითი სახე (სამკუთხედი) ერთ წერტილში იყრის თავს, რასაც პირამიდის მწვერვალი ეწოდება.

სეგმენტი OS, რომელიც აკავშირებს წვეროს ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილთან (სამკუთხედების შემთხვევაში, სიმაღლეების გადაკვეთის ადგილზე), ე.წ. პირამიდის სიმაღლე.

დიაგონალური მონაკვეთი არის სიბრტყე, რომელიც გადის პირამიდის თავზე, ისევე როგორც ფუძის ერთ-ერთ დიაგონალზე.

ვინაიდან პირამიდის გვერდითი ზედაპირი შედგება სამკუთხედებისგან, გვერდითი ზედაპირის მთლიანი ფართობის დასადგენად აუცილებელია თითოეული სახის არეების პოვნა და მათი დამატება. სახეების რაოდენობა და ფორმა დამოკიდებულია ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების ფორმასა და ზომაზე.

პირამიდის ერთადერთ სიბრტყეს, რომელსაც წვერო არ აქვს, ეწოდება საფუძველიპირამიდები.

ნახატზე ვხედავთ, რომ ფუძე არის პარალელოგრამი, თუმცა შეიძლება არსებობდეს ნებისმიერი თვითნებური მრავალკუთხედი.

Თვისებები:

განვიხილოთ პირამიდის პირველი შემთხვევა, რომელშიც მას აქვს იგივე სიგრძის კიდეები:

• წრე შეიძლება აღწერილი იყოს ასეთი პირამიდის ფუძის გარშემო. თუ თქვენ დააპროექტებთ ასეთი პირამიდის მწვერვალს, მაშინ მისი პროექცია განთავსდება წრის ცენტრში.
• პირამიდის ძირის კუთხეები ერთი და იგივეა თითოეული სახისთვის.
• ამავდროულად, საკმარისი პირობა იმისა, რომ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი პირამიდის ფუძის ირგვლივ და ასევე, რომ ყველა კიდე სხვადასხვა სიგრძისაა, შეიძლება ჩაითვალოს იგივე კუთხეები ფუძესა და სახეების თითოეულ კიდეს შორის. .

თუ შეგხვდებათ პირამიდა, რომელშიც კუთხეები გვერდითა და ფუძეს შორის ტოლია, მაშინ შემდეგი თვისებები მართალია:

• თქვენ შეძლებთ აღწეროთ წრე პირამიდის ფუძის ირგვლივ, რომლის მწვერვალი ზუსტად არის დაპროექტებული ცენტრისკენ.
• თუ სიმაღლის თითოეულ მხარეს დახატავთ ძირამდე, მაშინ ისინი თანაბარი სიგრძის იქნება.
• ასეთი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად საკმარისია ფუძის პერიმეტრის პოვნა და სიმაღლის სიგრძის ნახევარზე გამრავლება.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• პირამიდის სახეები.
• იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ფუძესთან, ისინი შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა და ა.შ.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა