ფუნქციის ლიმიტის თვისებების დასამტკიცებლად, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ნამდვილად არაფერი იყო საჭირო იმ პუნქციური უბნებისგან, რომლებშიც ჩვენი ფუნქციები იყო განსაზღვრული და რომლებიც წარმოიშვა მტკიცებულებების დროს, გარდა წინა აბზაცის შესავალში მითითებული თვისებებისა. 2. ეს გარემოება ემსახურება შემდეგი მათემატიკური ობიექტის გამოყოფის გამართლებას.

ა. ბაზა; განმარტება და ძირითადი მაგალითები

განმარტება 11. X სიმრავლის ქვესიმრავლეების B სიმრავლეს X სიმრავლის ფუძე დაერქმევა, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, B კრებულის ელემენტები არის არა ცარიელი სიმრავლეები და ნებისმიერი ორი მათგანის გადაკვეთა შეიცავს ზოგიერთ ელემენტს იმავე კოლექციიდან.

მოდით მივუთითოთ ანალიზში ყველაზე ხშირად გამოყენებული საფუძვლები.

თუ ამის ნაცვლად ისინი წერენ და ამბობენ, რომ x მიდრეკილია a-ისკენ მარჯვნიდან ან დიდი მნიშვნელობების მხრიდან (შესაბამისად, მარცხნიდან ან უფრო მცირე მნიშვნელობების მხრიდან). როდესაც მოკლე ჩანაწერი მიიღება ნაცვლად

ჩანაწერი გამოყენებული იქნება ნაცვლად It ნიშნავს, რომ a; მიდრეკილია E სიმრავლის მიმართ a-მდე, რჩება მეტი (ნაკლები) ვიდრე a.

ამის ნაცვლად ისინი წერენ და ამბობენ, რომ x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ (შესაბამისად, მინუს უსასრულობისკენ).

ამის ნაცვლად გამოყენებული იქნება აღნიშვნა

როდესაც ჩვენს ნაცვლად (თუ ეს არ გამოიწვევს გაუგებრობას) ჩვენ დავწერთ, როგორც ეს მიმდევრობის ზღვრის თეორიაშია მიღებული,

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ჩამოთვლილ ფუძეს აქვს თვისება, რომ ბაზის ნებისმიერი ორი ელემენტის გადაკვეთა თავად არის ამ ბაზის ელემენტი და არა მხოლოდ შეიცავს ფუძის ზოგიერთ ელემენტს. ჩვენ შევხვდებით სხვა საფუძვლებს ფუნქციების შესწავლისას, რომლებიც არ არის მოცემული რეალურ ღერძზე.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ აქ გამოყენებული ტერმინი „ბაზა“ არის მოკლე აღნიშვნა იმისა, რასაც მათემატიკაში „ფილტრის საფუძველი“ ჰქვია და ქვემოთ წარმოდგენილი საბაზისო ლიმიტი არის ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილი თანამედროვე ფრანგების მიერ შექმნილი ფილტრის ლიმიტის კონცეფციის ანალიზისთვის. მათემატიკოსი ა.კარტანი

ბ. საბაზისო ფუნქციის ლიმიტი

განმარტება 12. იყოს ფუნქცია X სიმრავლეზე; B არის ფუძე X-ში. რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი B ფუძესთან მიმართებაში, თუ A წერტილის რომელიმე სამეზობლოში არის ფუძის ელემენტი, რომლის გამოსახულებაც შედის სამეზობლოში.

თუ A არის ფუნქციის ზღვარი B ბაზის მიმართ, მაშინ ვწერთ

გავიმეოროთ ლიმიტის განსაზღვრა ფუძის მიხედვით ლოგიკურ სიმბოლიკაში:

ვინაიდან ჩვენ ახლა განვიხილავთ ფუნქციებს რიცხვითი მნიშვნელობებით, სასარგებლოა გვახსოვდეს ამ ძირითადი განმარტების შემდეგი ფორმა:

ამ ფორმულირებაში, V(A) თვითნებური უბნის ნაცვლად, ვიღებთ სიმეტრიულ მეზობელს (A წერტილის მიმართ) (ელ-მეზობლობა). ამ განმარტებების ეკვივალენტობა რეალური მნიშვნელობის ფუნქციებისთვის გამომდინარეობს იქიდან, რომ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, წერტილის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს იმავე წერტილის რაღაც სიმეტრიულ მეზობელს (დაამოწმეთ სრულად!).

ჩვენ მივეცით ფუნქციის ლიმიტის ზოგადი განმარტება ფუძის მიმართ. ზემოთ განხილული იყო ანალიზის ყველაზე გავრცელებული ბაზის მაგალითები. კონკრეტულ პრობლემაში, სადაც ამა თუ იმ საფუძველთაგანი ჩნდება, აუცილებელია ზოგადი განმარტების გაშიფვრა და კონკრეტული ბაზის ჩაწერა.

ფუძეების მაგალითების გათვალისწინებით, ჩვენ, კერძოდ, შემოვიღეთ უსასრულობის სამეზობლოს კონცეფცია. თუ ამ კონცეფციას გამოვიყენებთ, მაშინ ლიმიტის ზოგადი განმარტების შესაბამისად, მიზანშეწონილია შემდეგი კონვენციების მიღება:

ან, რაც იგივეა,

ჩვეულებრივ, მცირე ღირებულების საშუალებით. ზემოაღნიშნულ განმარტებებში, ეს, რა თქმა უნდა, ასე არ არის. მიღებული კონვენციების შესაბამისად, მაგალითად, შეგვიძლია დავწეროთ

იმისათვის, რომ დადასტურებულად ჩაითვალოს თვითნებურ ფუძეზე ზღვრის ზოგად შემთხვევაში, ყველა ის თეორემა ზღვრებზე, რომლებიც დავამტკიცეთ მე-2 სექციაში სპეციალური ფუძისთვის, აუცილებელია მივცეთ შესაბამისი განმარტებები: ბოლოს მუდმივი, საბოლოოდ შემოსაზღვრული და უსაზღვროდ მცირე ფუნქციების მოცემული ბაზისთვის.

განმარტება 13. ფუნქციას B ფუძეში საბოლოოდ მუდმივი ეწოდება, თუ არსებობს ფუძის რიცხვი და ასეთი ელემენტი, რომლის ნებისმიერ წერტილში

ამ დროისთვის, დაკვირვების მთავარი სარგებელი და მასთან დაკავშირებით შემოღებული ბაზის კონცეფცია არის ის, რომ ისინი გვიხსნის შემოწმებისა და ლიმიტის თეორემების ოფიციალური მტკიცებულებისგან თითოეული კონკრეტული ტიპის გადასასვლელის ზღვრამდე ან, ჩვენი დღევანდელი ტერმინოლოგიით. , თითოეული კონკრეტული ტიპის ბაზებისთვის

იმისათვის, რომ საბოლოოდ შევეჩვიოთ ლიმიტის ცნებას თვითნებურ ბაზაზე, ჩვენ დავამტკიცებთ ფუნქციის ლიმიტის შემდგომ თვისებებს ზოგადი ფორმით.

მუდმივი რიცხვი ადაურეკა ზღვარი თანმიმდევრობები(x n) თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვისε > 0 არის რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა მნიშვნელობა x n, რომლისთვისაც n>N აკმაყოფილებს უტოლობას

|x n - a|< ε. (6.1)

ჩაწერეთ შემდეგნაირად: ან x n →ა.

უტოლობა (6.1) უდრის ორმაგ უტოლობას

ა-ე< x n < a + ε, (6.2)

რაც ნიშნავს, რომ ქულები x nრაღაც n>N რიცხვიდან დაწყებული, დევს ინტერვალის შიგნით (a-ε, a + ε ), ე.ი. მოხვდება რომელიმე პატარაε -პუნქტის სამეზობლო ა.

თანმიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება თანხვედრა, წინააღმდეგ შემთხვევაში - განსხვავებული.

ფუნქციის ლიმიტის ცნება არის მიმდევრობის ზღვრის კონცეფციის განზოგადება, ვინაიდან მიმდევრობის ლიმიტი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მთელი რიცხვის არგუმენტის x n = f(n) ფუნქციის ზღვარი. ნ.

მიეცით ფუნქცია f(x) და მოდით ა - ლიმიტის წერტილიამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი D(f), ე.ი. ისეთი წერტილი, რომლის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს D(f) სიმრავლის წერტილებს, რომლებიც განსხვავდებიან ა. Წერტილი აშეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ იყოს D(f) სიმრავლეს.

განმარტება 1.მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a თუ ნებისმიერი თანმიმდევრობისთვის (x n) არგუმენტების მნიშვნელობების მიმართ ა, შესაბამის მიმდევრობებს (f(x n)) აქვთ იგივე ზღვარი A.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა ჰაინეს მიხედვით,ან " თანმიმდევრობის ენაზე”.

განმარტება 2. მუდმივი რიცხვი A ეწოდება ზღვარი ფუნქციები f(x) ზე x→a თუ, მოცემული თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი ε, შეიძლება ასეთი δ>0 (დამოკიდებულია ε), რომელიც ყველასთვის xიწვაε- რიცხვის უბნები ა, ე.ი. ამისთვის xუთანასწორობის დაკმაყოფილება
0 < x-a< ε , f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები იქნებაε- A რიცხვის მეზობლობა, ე.ი.|f(x)-A|< ε.

ამ განმარტებას ე.წ ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა კოშის მიხედვით,ან „ენაში ε - δ “.

1 და 2 განმარტებები ექვივალენტურია. თუ ფუნქცია f(x) x →აქვს ზღვარიტოლია A-ს, ეს იწერება როგორც

. (6.3)

იმ შემთხვევაში, თუ მიმდევრობა (f(x n)) იზრდება (ან მცირდება) განუსაზღვრელი ვადით მიახლოების ნებისმიერი მეთოდისთვის xთქვენს ლიმიტამდე ა, მაშინ ვიტყვით, რომ f(x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი,და დაწერე როგორც:

ცვლადს (ანუ თანმიმდევრობას ან ფუნქციას), რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ პატარა.

ცვლადი, რომლის ზღვარი უდრის უსასრულობას, ეწოდება უსასრულოდ დიდი.

პრაქტიკაში ლიმიტის მოსაძებნად გამოიყენეთ შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1 . თუ ყველა ლიმიტი არსებობს

(6.4)

(6.5)

(6.6)

კომენტარი. გამონათქვამები, როგორიცაა 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - გაურკვეველია, მაგალითად, ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი რაოდენობის თანაფარდობა და ამ სახის ლიმიტის პოვნას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება".

თეორემა 2. (6.7)

იმათ. შესაძლებელია მუდმივ მაჩვენებელზე ხარისხის ფუძის ზღვარზე გადასვლა, კერძოდ, ;

(6.8)

(6.9)

თეორემა 3.

(6.10)

(6.11)

სადაც ე » 2.7 არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი. ფორმულებს (6.10) და (6.11) ეწოდება პირველი მშვენიერი ლიმიტიდა მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

ფორმულის (6.11) შედეგები ასევე გამოიყენება პრაქტიკაში:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

კერძოდ ლიმიტი

თუ x → a და ამავე დროს x > a, შემდეგ ჩაწერეთ x→a + 0. თუ, კერძოდ, a = 0, მაშინ 0+0 სიმბოლოს ნაცვლად იწერება +0. ანალოგიურად, თუ x→a და ამავე დროს x a-0. ნომრები და დასახელებულია შესაბამისად. მარჯვენა ზღვარიდა მარცხენა ლიმიტი ფუნქციები f(x) წერტილში ა. f(x) ფუნქციის ლიმიტი რომ არსებობდეს x→a არის აუცილებელი და საკმარისი ამისთვის . ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი წერტილში x 0 თუ ლიმიტი

. (6.15)

პირობა (6.15) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

,

ანუ ლიმიტზე გადასვლა ფუნქციის ნიშნით შესაძლებელია, თუ იგი მოცემულ წერტილში უწყვეტია.

თუ თანასწორობა (6.15) ირღვევა, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ზე x = xo ფუნქცია f(x) Მას აქვს უფსკრული.განვიხილოთ ფუნქცია y = 1/x. ამ ფუნქციის დომენი არის ნაკრები რ, გარდა x = 0. წერტილი x = 0 არის D(f) სიმრავლის ზღვრული წერტილი, ვინაიდან მის რომელიმე უბანში, ე.ი. ნებისმიერი ღია ინტერვალი, რომელიც შეიცავს 0 წერტილს, შეიცავს წერტილებს D(f)-დან, მაგრამ ის თავად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს. მნიშვნელობა f(x o)= f(0) არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა x o = 0 წერტილში.

ფუნქცია f(x) ეწოდება უწყვეტი მარჯვნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

,

და უწყვეტი მარცხნივ ერთ წერტილში x o თუ ლიმიტი

.

ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში x oუდრის მის უწყვეტობას ამ წერტილში, როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ.

იმისათვის, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი წერტილში x oმაგალითად, მარჯვნივ, აუცილებელია, ჯერ ერთი, რომ იყოს სასრული ზღვარი და მეორეც, ეს ზღვარი ტოლი იყოს f(x o). ამიტომ, თუ ამ ორი პირობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ფუნქციას ექნება ხარვეზი.

1. თუ ლიმიტი არსებობს და არ უდრის f(x o), მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია f(x) წერტილში xo აქვს პირველი სახის შესვენება,ან ხტომა.

2. თუ ლიმიტი არის+∞ ან -∞ ან არ არსებობს, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ in წერტილი x o ფუნქციას აქვს შესვენება მეორე სახის.

მაგალითად, ფუნქცია y = ctg x x-ზე→ +0-ს აქვს +∞-ის ტოლი ზღვარი, მაშასადამე, x=0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის შეწყვეტა. ფუნქცია y = E(x) (მთლიანი ნაწილი x) მთელი რიცხვის აბსცისის მქონე წერტილებში აქვს პირველი სახის წყვეტები, ანუ ნახტომები.

ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია ინტერვალის ყველა წერტილში, ეწოდება უწყვეტი in . უწყვეტი ფუნქცია წარმოდგენილია მყარი მრუდით.

ბევრი პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეული რაოდენობის უწყვეტ ზრდასთან, იწვევს მეორე საყურადღებო ზღვარს. ასეთი ამოცანები, მაგალითად, მოიცავს: შენატანის ზრდა ნაერთის კანონის მიხედვით, ქვეყნის მოსახლეობის ზრდა, რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა, ბაქტერიების გამრავლება და ა.შ.

განიხილეთ Ya. I. Perelman-ის მაგალითი, რომელიც იძლევა რიცხვის ინტერპრეტაციას ერთული პროცენტის პრობლემაში. ნომერი ეარის ლიმიტი . შემნახველ ბანკებში საპროცენტო ფული ყოველწლიურად ემატება ძირითად კაპიტალს. თუ კავშირი უფრო ხშირად კეთდება, მაშინ კაპიტალი უფრო სწრაფად იზრდება, რადგან ინტერესის ფორმირებაში დიდი თანხაა ჩართული. ავიღოთ წმინდა თეორიული, უაღრესად გამარტივებული მაგალითი. ბანკმა დადოს 100 დენ. ერთეულები წელიწადში 100%-ით. თუ პროცენტიანი ფული ძირითად კაპიტალს მხოლოდ ერთი წლის შემდეგ დაემატება, მაშინ ამ დროისთვის 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 200 დენად. ახლა ვნახოთ 100 დენში რა გადაიქცევა. ერთეულები, თუ საპროცენტო თანხა ემატება ძირითად კაპიტალს ყოველ ექვს თვეში ერთხელ. ნახევარი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გაიზარდოს 100-მდე× 1.5 \u003d 150 და კიდევ ექვსი თვის შემდეგ - 150-ზე× 1.5 \u003d 225 (დენ. ერთეული). თუ შეერთება ხდება ყოველ 1/3 წელიწადში, მაშინ ერთი წლის შემდეგ 100 დენ. ერთეულები გადაიქცევა 100-ად× (1 +1/3) 3 » 237 (დენ. ერთეული). ჩვენ გავზრდით საპროცენტო თანხის დამატების ვადებს 0.1 წელზე, 0.01 წელს, 0.001 წელს და ა.შ. მერე 100 დენიდან. ერთეულები ერთი წლის შემდეგ:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (დენ. ერთეული),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (დენ. ერთეული).

გაერთიანების პროცენტის შეუზღუდავი შემცირებით, დაგროვილი კაპიტალი განუსაზღვრელი ვადით არ იზრდება, მაგრამ უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს, რომელიც უდრის დაახლოებით 271-ს. წლიური 100%-ზე განთავსებული კაპიტალი არ შეიძლება გაიზარდოს 2,71-ჯერ მეტი, თუნდაც დარიცხული პროცენტი იყოს. კაპიტალს ყოველ წამს ემატება ლიმიტის გამო

მაგალითი 3.1.რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ, რომ x n =(n-1)/n მიმდევრობას აქვს 1-ის ტოლი ზღვარი.

გადაწყვეტილება.ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ რაც არ უნდა იყოსε > 0 ვიღებთ, მისთვის არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველა n N-ისთვის არის უტოლობა|xn-1|< ε.

აიღეთ ნებისმიერი e > 0. ვინაიდან ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, მაშინ N-ის საპოვნელად საკმარისია 1/n უტოლობის ამოხსნა.< ე. აქედან გამომდინარე n>1/ ე და, შესაბამისად, N შეიძლება მივიღოთ, როგორც 1/-ის მთელი რიცხვი e , N = E(1/e ). ჩვენ ამით დავამტკიცეთ, რომ ლიმიტი.

მაგალითი 3.2 . იპოვეთ საერთო ტერმინით მოცემული მიმდევრობის ზღვარი .

გადაწყვეტილება.გამოიყენეთ ზღვრული ჯამის თეორემა და იპოვეთ თითოეული წევრის ზღვარი. იყიდება ნ→ ∞ თითოეული წევრის მრიცხველი და მნიშვნელი მიდრეკილია უსასრულობისკენ და ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ გამოვიყენოთ კოეფიციენტის ზღვრული თეორემა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით x n, პირველი წევრის მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა n 2და მეორე ნ. შემდეგ, კოეფიციენტის ლიმიტის თეორემისა და ჯამის ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ:

.

მაგალითი 3.3. . Პოვნა .

გადაწყვეტილება. .

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ხარისხის ლიმიტის თეორემა: ხარისხის ზღვარი უდრის ფუძის ლიმიტის ხარისხს.

მაგალითი 3.4 . Პოვნა ( ).

გადაწყვეტილება.შეუძლებელია სხვაობის ზღვრული თეორემის გამოყენება, რადგან გვაქვს ფორმის გაურკვევლობა ∞-∞ . მოდით გადავცვალოთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა:

.

მაგალითი 3.5 . მოცემულია ფუნქცია f(x)=2 1/x. დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.ჩვენ ვიყენებთ ფუნქციის ლიმიტის 1 განმარტებას მიმდევრობით. აიღეთ თანმიმდევრობა ( x n ) 0-მდე, ე.ი. ვაჩვენოთ, რომ მნიშვნელობა f(x n)= განსხვავებულად იქცევა სხვადასხვა მიმდევრობისთვის. მოდით x n = 1/n. ცხადია, მაშინ ზღვარი მოდით ავირჩიოთ ახლა როგორც x nმიმდევრობა საერთო ტერმინით x n = -1/n, ასევე ნულისკენ მიდრეკილი. ამიტომ, შეზღუდვა არ არსებობს.

მაგალითი 3.6 . დაამტკიცეთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.

გადაწყვეტილება.მოდით x 1 , x 2 ,..., x n ,... იყოს მიმდევრობა რომლისთვისაც
. როგორ იქცევა მიმდევრობა (f(x n)) = (sin x n ) სხვადასხვა x n-სთვის → ∞

თუ x n \u003d p n, მაშინ sin x n \u003d sin p n = 0 ყველასთვის ნდა ლიმიტი თუ
xn=2 p n+ p /2, შემდეგ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 ყველასთვის ნდა აქედან გამომდინარე ლიმიტი. ამრიგად, არ არსებობს.

ვიჯეტი ონლაინ ლიმიტების გამოსათვლელად

ზედა ველში sin(x)/x-ის ნაცვლად შეიყვანეთ ფუნქცია, რომლის ლიმიტის პოვნაც გსურთ. ქვედა ველში შეიყვანეთ რიცხვი, რომლისკენაც x მიდრეკილია და დააჭირეთ ღილაკს Calcul, მიიღეთ სასურველი ლიმიტი. თუ შედეგის ფანჯარაში ზედა მარჯვენა კუთხეში დააწკაპუნებთ ნაბიჯების ჩვენებაზე, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.

ფუნქციის შეყვანის წესები: sqrt(x) - კვადრატული ფესვი, cbrt(x) - კუბური ფესვი, exp(x) - ექსპონენტი, ln(x) - ბუნებრივი ლოგარითმი, sin(x) - sine, cos(x) - კოსინუსი, თან (x) - tangent, cot(x) - კოტანგენსი, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - არქტანგენსი. ნიშნები: * გამრავლება, / გაყოფა, ^ გაძლიერება, ნაცვლად უსასრულობაუსასრულობა. მაგალითი: ფუნქცია შეყვანილია როგორც sqrt(tan(x/2)).

მოდით, ფუნქცია y=ƒ(x) განისაზღვროს x o წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა, შესაძლოა, თავად x o წერტილისა.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ფუნქციის ლიმიტის ორი ეკვივალენტური განმარტება წერტილში.

განმარტება 1 („მიმდევრობათა ენაზე“, ან ჰეინეს მიხედვით).

რიცხვს A ეწოდება y \u003d ƒ (x) ფუნქციის ზღვარი ღუმელში x 0 (ან x® x o), თუ არგუმენტის დასაშვები მნიშვნელობების რომელიმე თანმიმდევრობისთვის x n, n є N (x n ¹ x 0) ƒ(х n), n є N ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა x o-სთან კონვერგირდება A რიცხვთან.

ამ შემთხვევაში დაწერეთ
ან ƒ(x)->A x→x o-ზე. ფუნქციის ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა: ნიშნავს, რომ x o წერტილთან საკმარისად ახლოს ყველა x წერტილისთვის, ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები თვითნებურად მცირედ განსხვავდება A რიცხვისგან.

განმარტება 2 ("ε-ს ენაზე" ან კოშის შემდეგ).

A რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი x o (ან x→x o) წერტილში, თუ რომელიმე პოზიტიურ ε-სთვის არის დადებითი რიცხვი δ ისეთი, რომ ყველა x¹ x o-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

ფუნქციის ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

თუ A წერტილის ნებისმიერი ε-მეზობლისთვის არსებობს x o წერტილის δ-მეზობლობა ისეთი, რომ ყველა x¹ ho-სთვის ამ δ-მეზობლიდან, ƒ(x) ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები დევს ε-მეზობლობაში. A წერტილის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, y = ƒ(x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილები მდებარეობს 2ε სიგანის ზოლის შიგნით, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით y=A+ ε , y=A-ε (იხ. სურ. 110). . ცხადია, δ-ის მნიშვნელობა დამოკიდებულია ε-ის არჩევანზე, ამიტომ ვწერთ δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

დაამტკიცე რომ

ამოხსნა: აიღეთ თვითნებური ε>0, იპოვეთ δ=δ(ε)>0 ისე, რომ ყველა x აკმაყოფილებდეს უტოლობას |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

თუ ავიღებთ δ=ε/2, ვხედავთ, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. ცალმხრივი საზღვრები

ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრისას ითვლება, რომ x მიდრეკილია x 0-ზე რაიმე ფორმით: რჩება x 0-ზე ნაკლები (x 0-დან მარცხნივ), x o-ზე მეტი (x o-დან მარჯვნივ) ან რყევად. წერტილის გარშემო x 0.

არის შემთხვევები, როდესაც x არგუმენტის xo-სთან მიახლოების მეთოდი მნიშვნელოვნად მოქმედებს ფუნქციის ლიმიტის მნიშვნელობაზე. აქედან გამომდინარე, შემოღებულია ცალმხრივი ლიმიტების კონცეფცია.

რიცხვს A 1 ეწოდება y \u003d ƒ (x) ფუნქციის ზღვარი მარცხნივ x o წერტილში, თუ რომელიმე რიცხვისთვის ε> 0 არის რიცხვი δ \u003d δ (ε)> 0 ისეთი, რომ x-ისთვის є (x 0 -δ; x o), უტოლობა |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 ან მოკლედ: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (დირიხლეს აღნიშვნა) (იხ. სურ. 111).

ფუნქციის ზღვარი მარჯვნივ არის განსაზღვრული ანალოგიურად, ჩვენ ვწერთ მას სიმბოლოების გამოყენებით:

მოკლედ, მარჯვენა ზღვარი აღინიშნება ƒ(x o +0)=A-ით.

მარცხენა და მარჯვენა ფუნქციის საზღვრებს ცალმხრივი ლიმიტები ეწოდება. ცხადია, თუ არსებობს, მაშინ ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს და A=A 1 =A 2 .

საპირისპირო განცხადება ასევე მართალია: თუ ორივე ზღვარი ƒ(x 0 -0) და ƒ(x 0 +0) არსებობს და ისინი ტოლია, მაშინ არის ზღვარი და A \u003d ƒ(x 0 -0).

თუ A 1 ¹ A 2, მაშინ ეს გზა არ არსებობს.

16.3. ფუნქციის ლიმიტი x ® ∞-ზე

y=ƒ(x) ფუნქცია განისაზღვროს ინტერვალში (-∞;∞). რიცხვი A ეწოდება ფუნქციის ლიმიტიƒ(x) ზე x→ ∞ , თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის ε არის ისეთი რიცხვი М=М()>0, რომ ყველა х-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს |х|>М უტოლობას |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

ამ განმარტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ასეთია: "ε>0 $ M>0-სთვის, რომ x є(-∞; -M) ან x є(M; +∞) ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები ƒ( x) მოხვდება A წერტილის ε-მეზობლად, ანუ გრაფიკის წერტილები დევს 2ε სიგანის ზოლში, შემოსაზღვრული სწორი ხაზებით y \u003d A + ε და y \u003d A-ε (იხ. სურ. 112. ).

16.4. უსასრულოდ დიდი ფუნქცია (b.b.f.)

y=ƒ(x) ფუნქციას უწოდებენ უსასრულოდ დიდი x→x 0-ისთვის, თუ რომელიმე რიცხვისთვის M>0 არის რიცხვი δ=δ(M)>0, რომელიც ყველა x-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს 0-ს უტოლობას.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>მ.

მაგალითად, ფუნქცია y=1/(x-2) არის b.b.f. x->2-ზე.

თუ ƒ(x) მიდრეკილია უსასრულობისკენ, როგორც x→x o და იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს, მაშინ ვწერთ

თუ მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ

ფუნქცია y \u003d ƒ (x), მოცემული მთელ რიცხვთა წრფეზე, უსასრულო ეწოდება x→∞-სთვის, თუ რომელიმე რიცხვისთვის M>0 არის ისეთი რიცხვი N=N(M)>0, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს |x|>N უტოლობას, დაკმაყოფილებულია უტოლობა |ƒ(x)|>M. . მოკლე:

მაგალითად, y=2x-ს აქვს b.b.f. x→∞-ზე.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ არგუმენტი х, რომელიც მიდრეკილია უსასრულობისკენ, იღებს მხოლოდ ბუნებრივ მნიშვნელობებს, ანუ хєN, მაშინ შესაბამისი b.b.f. ხდება უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა. მაგალითად, თანმიმდევრობა v n =n 2 +1, n є N, არის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა. ცხადია, ყოველი ბ.ბ.ფ. x o წერტილის სამეზობლოში შეუზღუდავია ამ სამეზობლოში. საპირისპირო არ არის მართალი: შეუზღუდავი ფუნქცია შეიძლება არ იყოს b.b.f. (მაგალითად, y=xsinx.)

თუმცა, თუ limƒ(x)=A x→x 0-სთვის, სადაც A არის სასრული რიცხვი, მაშინ ფუნქცია ƒ(x) შემოიფარგლება x o წერტილის სიახლოვეს.

მართლაც, ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ x → x 0-სთვის არის პირობა |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

დღეს გაკვეთილზე გავაანალიზებთ მკაცრი თანმიმდევრობადა ფუნქციის ლიმიტის მკაცრი განსაზღვრა, ასევე ისწავლოს თეორიული ხასიათის შესაბამისი ამოცანების გადაჭრა. სტატია ძირითადად განკუთვნილია საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებისა და საინჟინრო სპეციალობების პირველი კურსის სტუდენტებისთვის, რომლებმაც დაიწყეს მათემატიკური ანალიზის თეორიის შესწავლა და შეექმნათ სირთულეები უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილების გაგებაში. გარდა ამისა, მასალა საკმაოდ ხელმისაწვდომია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის.

საიტის არსებობის წლების განმავლობაში მივიღე არაკეთილსინდისიერი წერილი დაახლოებით შემდეგი შინაარსით: „მათემატიკური ანალიზი კარგად არ მესმის, რა ვქნა?“, „მთანი საერთოდ არ მესმის, მე“ ვფიქრობ სწავლის დატოვებას“ და ა.შ. მართლაც, ეს არის მატანი, რომელიც ხშირად ათხელებს სტუდენტურ ჯგუფს პირველივე სესიის შემდეგ. რატომ არის ასეთი რამეები? იმიტომ რომ თემა წარმოუდგენლად რთულია? Არაფერს! მათემატიკური ანალიზის თეორია არც ისე რთულია, რამდენადაც თავისებური. და თქვენ უნდა მიიღოთ და გიყვარდეთ ის ისეთი, როგორიც არის =)

დავიწყოთ ყველაზე რთული შემთხვევით. უპირველეს ყოვლისა, არ მიატოვოთ სკოლა. სწორად გაიგე, თავი დაანებე, დრო ყოველთვის ექნება ;-) რა თქმა უნდა, თუ არჩეული სპეციალობის ერთ-ორ წელიწადში დაგაავადებს, მაშინ კი - უნდა დაფიქრდე. (და არ დაარტყით სიცხეს!)საქმიანობის შეცვლის შესახებ. მაგრამ ახლა ღირს გაგრძელება. და, გთხოვთ, დაივიწყოთ ფრაზა "მე არაფერი მესმის" - ისე არ ხდება, რომ საერთოდ არაფერი გესმით.

რა უნდა გააკეთოს, თუ თეორია ცუდია? სხვათა შორის, ეს ეხება არა მხოლოდ მათემატიკურ ანალიზს. თუ თეორია ცუდია, მაშინ ჯერ სერიოზულად უნდა განახორციელოთ პრაქტიკა. ამავდროულად, ორი სტრატეგიული ამოცანა წყდება ერთდროულად:

– პირველ რიგში, თეორიული ცოდნის მნიშვნელოვანი ნაწილი პრაქტიკაში მოვიდა. და ამდენ ადამიანს ესმის თეორია ... - ეს ასეა! არა, არა, ამაზე არ გიფიქრია.

- და მეორეც, პრაქტიკული უნარები დიდი ალბათობით „გაგიჭიმავს“ გამოცდაზე, თუნდაც..., მაგრამ ასე ნუ აწყობთ! ყველაფერი რეალურია და საკმაოდ მოკლე დროში მართლაც ყველაფერი "აწეულია". მათემატიკური ანალიზი არის უმაღლესი მათემატიკის ჩემი საყვარელი განყოფილება და ამიტომ უბრალოდ არ შემეძლო არ გამოგიწოდო დახმარება:

1-ლი სემესტრის დასაწყისში ჩვეულებრივ გადის რიგითი საზღვრები და ფუნქციების ლიმიტები. არ მესმის რა არის ეს და არ იცით როგორ გადაჭრათ ისინი? დაიწყეთ სტატიით ფუნქციის ლიმიტები, რომელშიც თავად კონცეფცია განიხილება "თითებზე" და გაანალიზებულია უმარტივესი მაგალითები. შემდეგ იმუშავეთ სხვა გაკვეთილებზე თემაზე, მათ შორის გაკვეთილის შესახებ თანმიმდევრობის ფარგლებში, რომელზეც მე რეალურად უკვე ჩამოვაყალიბე მკაცრი განმარტება.

რა ხატები იცით უთანასწორობის ნიშნებისა და მოდულის გარდა?

- გრძელი ვერტიკალური ჯოხი ასე იკითხება: "ასეთი", "ასეთი", "ასეთი" ან "ისეთი", ჩვენს შემთხვევაში, ცხადია, საუბარია რიცხვზე - მაშასადამე, „ასეთს“;

- ყველასთვის "en" მეტი, ვიდრე ;

– მოდულის ნიშანი ნიშნავს მანძილს, ე.ი. ეს აღნიშვნა გვეუბნება, რომ მნიშვნელობებს შორის მანძილი ეპსილონზე ნაკლებია.

ისე, სასიკვდილოდ რთულია? =)

პრაქტიკის დაუფლების შემდეგ გელოდებით შემდეგ აბზაცში:

მართლაც, ცოტა დავფიქრდეთ - როგორ ჩამოვაყალიბოთ მიმდევრობის მკაცრი განმარტება? ... პირველი, რაც მახსენდება შუქზე პრაქტიკული სესია: "მიმდევრობის ზღვარი არის რიცხვი, რომელსაც მიმდევრობის წევრები უსასრულოდ უახლოვდებიან."

კარგი, დავწეროთ შემდგომი მიმდევრობა :

ამის აღქმა ადვილია შემდგომი მიმდევრობა მიახლოება უსასრულოდ ახლოს -1 და ლუწი რიცხვებით - "ერთეულამდე".

იქნებ ორი ზღვარი? მაგრამ მაშინ რატომ არ შეიძლება ზოგიერთ მიმდევრობას ჰქონდეს ათი ან ოცი მათგანი? ამ გზით შეგიძლიათ შორს წახვიდეთ. ამასთან დაკავშირებით, ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ თუ თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი, მაშინ ის უნიკალურია.

შენიშვნა : თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს, მაგრამ მისგან შეიძლება განვასხვავოთ ორი ქვემიმდევრობა (იხ. ზემოთ), რომელთაგან თითოეულს აქვს თავისი ზღვარი.

ამრიგად, ზემოაღნიშნული განმარტება გამოდის დაუსაბუთებელი. დიახ, ის მუშაობს ასეთ შემთხვევებში (რაც მე არ გამოვიყენე სწორად პრაქტიკული მაგალითების გამარტივებულ განმარტებებში), მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მკაცრი განმარტება.

მეორე მცდელობა: „მიმდევრობის ზღვარი არის რიცხვი, რომელსაც უახლოვდება მიმდევრობის ყველა წევრი, გარდა, შესაძლოა, მათი საბოლოორაოდენობით." ეს უფრო ახლოსაა სიმართლესთან, მაგრამ მაინც არ არის ბოლომდე ზუსტი. ასე, მაგალითად, თანმიმდევრობა ტერმინების ნახევარი საერთოდ არ უახლოვდება ნულს - ისინი უბრალოდ უდრის მას =) სხვათა შორის, "მოციმციმე შუქი" ზოგადად იღებს ორ ფიქსირებულ მნიშვნელობას.

ფორმულირება არ არის რთული დასაზუსტებელი, მაგრამ შემდეგ ჩნდება სხვა კითხვა: როგორ დავწეროთ განმარტება მათემატიკური თვალსაზრისით? სამეცნიერო სამყარო ამ პრობლემას დიდხანს ებრძოდა, სანამ სიტუაცია არ მოგვარდებოდა. ცნობილი მაესტრო, რამაც, არსებითად, მთელი თავისი სიმკაცრით გააფორმა კლასიკური მათემატიკური ანალიზი. კოშიმ ოპერაცია შესთავაზა შემოგარენი რამაც თეორია მნიშვნელოვნად დააწინაურა.

განვიხილოთ რაღაც წერტილი და მისი თვითნებური- სამეზობლო:

"ეპსილონის" ღირებულება ყოველთვის დადებითია და უფრო მეტიც, ჩვენ გვაქვს უფლება თავად ავირჩიოთ იგი. დავუშვათ, რომ მოცემული სამეზობლო შეიცავს ტერმინების ერთობლიობას (აუცილებლად არა ყველა)გარკვეული თანმიმდევრობა. როგორ ჩამოვწეროთ ის ფაქტი, რომ, მაგალითად, მეათე ტერმინი დაეცა სამეზობლოში? დაე, ის იყოს მის მარჯვენა მხარეს. მაშინ მანძილი წერტილებს შორის და უნდა იყოს ნაკლები "ეპსილონზე": . ამასთან, თუ "x მეათედი" მდებარეობს "a" წერტილის მარცხნივ, მაშინ განსხვავება იქნება უარყოფითი და, შესაბამისად, მას უნდა დაემატოს ნიშანი. მოდული: .

განმარტება: რიცხვს ეწოდება მიმდევრობის ზღვარი თუ ნებისმიერისთვისმისი შემოგარენი (წინასწარ არჩეული)არის ნატურალური რიცხვი - ასეთი რომ ყველაუფრო მეტი რიცხვის მქონე მიმდევრობის წევრები იქნებიან სამეზობლოში:

ან უფრო მოკლე: თუ

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც არ უნდა მცირე მნიშვნელობა ავიღოთ "ეპსილონის" მნიშვნელობა, ადრე თუ გვიან მიმდევრობის "უსასრულო კუდი" სრულად იქნება ამ სამეზობლოში.

ასე, მაგალითად, მიმდევრობის "უსასრულო კუდი". FULLY გადადის წერტილის ნებისმიერ თვითნებურად პატარა სამეზობლოში. ამრიგად, ეს მნიშვნელობა არის მიმდევრობის ზღვარი განსაზღვრებით. შეგახსენებთ, რომ მიმდევრობას, რომლის ზღვარი არის ნული, ეწოდება უსასრულოდ მცირე.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანმიმდევრობისთვის უკვე შეუძლებელია „უსასრულო კუდის“ თქმა მოვა”- კენტი რიცხვების მქონე წევრები ფაქტობრივად ნულის ტოლია და “არსად არ წახვალ” =) ამიტომ განმარტებაში გამოყენებულია ზმნა “დასრულდება”. და, რა თქმა უნდა, ისეთი თანმიმდევრობის წევრები, როგორიცაა "არსად არ მიდიან". სხვათა შორის, შეამოწმეთ, იქნება თუ არა ნომერი მისი ლიმიტი.

ახლა ვაჩვენოთ, რომ თანმიმდევრობას საზღვარი არ აქვს. განვიხილოთ, მაგალითად, წერტილის სამეზობლო. სავსებით ნათელია, რომ არ არსებობს ასეთი რიცხვი, რის შემდეგაც ყველა წევრი იქნება მოცემულ უბანში - კენტი წევრები ყოველთვის "გადახტებიან" "მინუს ერთზე". ანალოგიური მიზეზის გამო, პუნქტში შეზღუდვა არ არსებობს.

დააფიქსირეთ მასალა პრაქტიკით:

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ მიმდევრობის ზღვარი ნულია. მიუთითეთ რიცხვი, რის შემდეგაც მიმდევრობის ყველა წევრი გარანტირებულია იყოს წერტილის ნებისმიერი თვითნებურად მცირე უბნის შიგნით.

შენიშვნა : მრავალი მიმდევრობისთვის სასურველი ნატურალური რიცხვი დამოკიდებულია მნიშვნელობაზე - აქედან გამომდინარე აღნიშვნა.

გადაწყვეტილება: განიხილეთ თვითნებური იქნებარიცხვი - ისეთი, რომ ყველა უფრო მაღალი ნომრის მქონე წევრი იყოს ამ უბანში:

საჭირო რიცხვის არსებობის საჩვენებლად გამოვხატავთ .

ვინაიდან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის "en", მაშინ მოდულის ნიშანი შეიძლება მოიხსნას:

ვიყენებთ „სასკოლო“ მოქმედებებს უტოლობებით, რომლებიც გავიმეორე გაკვეთილებზე წრფივი უტოლობადა ფუნქციის ფარგლები. ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანი გარემოებაა, რომ „ეპსილონი“ და „ენ“ დადებითია:

ვინაიდან მარცხნივ ვსაუბრობთ ნატურალურ რიცხვებზე, ხოლო მარჯვენა მხარე ზოგადად წილადია, ის უნდა დამრგვალდეს:

შენიშვნა : ზოგჯერ ერთეულს ემატება უფლება გადაზღვევისთვის, მაგრამ სინამდვილეში ეს ზედმეტია. შედარებით რომ ვთქვათ, თუ ჩვენ ასევე შევასუსტებთ შედეგს დამრგვალებით, მაშინ უახლოესი შესაფერისი რიცხვი („სამი“) მაინც დააკმაყოფილებს თავდაპირველ უტოლობას.

ახლა კი ჩვენ ვუყურებთ უთანასწორობას და გვახსოვს, რომ თავდაპირველად განვიხილეთ თვითნებური-მეზობლობა, ე.ი. „ეპსილონი“ შეიძლება იყოს ტოლი ვინმესდადებითი რიცხვი.

დასკვნა: წერტილის ნებისმიერი თვითნებურად მცირე სამეზობლოსთვის, მნიშვნელობა . ამრიგად, რიცხვი არის მიმდევრობის ზღვარი განსაზღვრებით. ქ.ე.დ.

სხვათა შორის, შედეგიდან ბუნებრივი ნიმუში აშკარად ჩანს: რაც უფრო მცირეა -მეზობლობა, მით მეტია რიცხვი, რომლის შემდეგაც მიმდევრობის ყველა წევრი იქნება ამ სამეზობლოში. მაგრამ რაც არ უნდა პატარა იყოს "ეპსილონი", ყოველთვის იქნება "უსასრულო კუდი" შიგნით და გარეთ - თუნდაც ის დიდი იყოს. საბოლოოწევრთა რაოდენობა.

როგორია შთაბეჭდილებები? =) ვეთანხმები, რომ უცნაურია. მაგრამ მკაცრად!გთხოვთ ხელახლა წაიკითხოთ და დაფიქრდეთ.

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითი და გაეცანით სხვა ტექნიკას:

მაგალითი 2

გადაწყვეტილება: მიმდევრობის განმარტებით აუცილებელია ამის დამტკიცება (ხმამაღლა ილაპარაკე!!!).

განიხილეთ თვითნებური- წერტილის მიმდებარე ტერიტორია და შემოწმება, არსებობს თუ არანატურალური რიცხვი - ისეთი, რომ ყველა უფრო დიდი რიცხვისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ასეთის არსებობის საჩვენებლად საჭიროა "ენ" "ეპსილონის" საშუალებით გამოხატვა. ჩვენ ვამარტივებთ გამონათქვამს მოდულის ნიშნის ქვეშ:

მოდული ანადგურებს მინუს ნიშანს:

მნიშვნელი დადებითია ნებისმიერი "ენისთვის", შესაბამისად, ჩხირები შეიძლება ამოიღონ:

ჩარევა:

ახლა კვადრატული ფესვი უნდა ავიღოთ, მაგრამ საქმე ისაა, რომ ზოგიერთი „ეპსილონისთვის“ მარჯვენა მხარე უარყოფითი იქნება. ამ უბედურების თავიდან ასაცილებლად გავაძლიეროთუთანასწორობის მოდული:

რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? თუ, შედარებით რომ ვთქვათ, აღმოჩნდება, რომ , მაშინ მდგომარეობა კიდევ უფრო დაკმაყოფილდება. მოდულს შეუძლია უბრალოდ გაზარდეთსასურველი ნომერი და ეს ჩვენც მოგვწონს! უხეშად რომ ვთქვათ, თუ მეასედი შესაფერისია, მაშინ ორასედი გამოდგება! განმარტების მიხედვით, თქვენ უნდა აჩვენოთ თავად რიცხვის არსებობა(ზოგიერთი მაინც), რის შემდეგაც მიმდევრობის ყველა წევრი იქნება -მეზობლად. სხვათა შორის, სწორედ ამიტომ არ გვეშინია მარჯვენა მხარის საბოლოო დამრგვალების.

ფესვის ამოღება:

და დაამრგვალეთ შედეგი:

დასკვნა: იმიტომ თვითნებურად შეირჩა "ეფსილონის" მნიშვნელობა, შემდეგ წერტილის ნებისმიერი თვითნებურად მცირე მეზობლისთვის, მნიშვნელობა , ისეთი, რომ უთანასწორობა . ამრიგად, ა-პრიორიტეტი. ქ.ე.დ.

მე გირჩევ განსაკუთრებითგაიგეთ უტოლობების გაძლიერება და შესუსტება - ეს მათემატიკური ანალიზის ტიპიური და ძალიან გავრცელებული მეთოდებია. ერთადერთი, რაც თქვენ გჭირდებათ ამა თუ იმ მოქმედების სისწორის მონიტორინგი. ასე, მაგალითად, უთანასწორობა არავითარ შემთხვევაში გაფხვიერება, გამოკლება, ვთქვათ, ერთი:

ისევ პირობითი: თუ რიცხვი ზუსტად ჯდება, მაშინ წინა შეიძლება აღარ მოერგოს.

შემდეგი მაგალითი არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 3

მიმდევრობის განმარტების გამოყენებით დაამტკიცეთ ეს

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

თუ თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდი, მაშინ ლიმიტის განმარტება ჩამოყალიბებულია ანალოგიურად: წერტილს ეწოდება მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე, თვითნებურად დიდიარის ისეთი რიცხვი, რომ ყველა უფრო დიდი რიცხვისთვის უტოლობა დაკმაყოფილდება. ნომერზე იწოდება წერტილის მეზობლობა "პლუს უსასრულობა":

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც არ უნდა დიდი მნიშვნელობა ავიღოთ, მიმდევრობის „უსასრულო კუდი“ აუცილებლად გადავა წერტილის - მიმდებარედ, მარცხნივ დარჩება მხოლოდ სასრული რაოდენობის ტერმინები.

სამუშაო მაგალითი:

ხოლო შემოკლებული აღნიშვნა: თუ

შემთხვევისთვის, თავად დაწერეთ განმარტება. სწორი ვერსია არის გაკვეთილის ბოლოს.

მას შემდეგ, რაც პრაქტიკული მაგალითებით „გაავსებთ“ ხელს და გაარკვიეთ თანმიმდევრობის ლიმიტის განსაზღვრა, შეგიძლიათ მიმართოთ მათემატიკური ანალიზის ლიტერატურას ან/და სალექციო წიგნს. გირჩევთ ჩამოტვირთოთ ბოჰანის 1-ლი ტომი (უფრო ადვილია - ნახევარ განაკვეთზე სტუდენტებისთვის)და ფიხტენგოლცი (უფრო დეტალური და საფუძვლიანი). სხვა ავტორებიდან მე ვურჩევ პისკუნოვს, რომლის კურსი ტექნიკურ უნივერსიტეტებზეა ორიენტირებული.

შეეცადეთ კეთილსინდისიერად შეისწავლოთ თეორემები, რომლებიც ეხება მიმდევრობის ზღვარს, მათ მტკიცებულებებს, შედეგებს. თავიდან თეორია შეიძლება „მოღრუბლული“ მოგეჩვენოთ, მაგრამ ეს ნორმალურია - უბრალოდ შეგუება სჭირდება. და ბევრი გაიგებს გემოს!

ფუნქციის ლიმიტის მკაცრი განსაზღვრა

დავიწყოთ იგივე - როგორ ჩამოვაყალიბოთ ეს კონცეფცია? ფუნქციის ზღვრის ვერბალური განსაზღვრება ბევრად უფრო მარტივად არის ჩამოყალიბებული: „რიცხვი არის ფუნქციის ზღვარი, თუ „x“ მიდრეკილია (მარცხნივ და მარჯვნივ), ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები მიდრეკილია » (იხ. ნახატი). როგორც ჩანს, ყველაფერი ნორმალურია, მაგრამ სიტყვები სიტყვებია, მნიშვნელობა არის მნიშვნელობა, ხატი არის ხატი და მკაცრი მათემატიკური აღნიშვნა საკმარისი არ არის. მეორე აბზაცში კი ამ საკითხის გადაჭრის ორ მიდგომას გავეცნობით.

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს რაღაც ინტერვალზე, გარდა წერტილისა. საგანმანათლებლო ლიტერატურაში საყოველთაოდ მიღებულია, რომ იქ ფუნქციონირებს არაგანსაზღვრული:

ეს არჩევანი ხაზს უსვამს ფუნქციის ლიმიტის არსი: "x" უსასრულოდ ახლოსმიდგომები და ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობებია უსასრულოდ ახლოსრომ . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლიმიტის კონცეფცია არ გულისხმობს წერტილების „ზუსტ მიდგომას“, კერძოდ უსასრულოდ ახლო დაახლოება, არ აქვს მნიშვნელობა ფუნქცია განსაზღვრულია წერტილში თუ არა.

ფუნქციის ლიმიტის პირველი განმარტება, გასაკვირი არ არის, ჩამოყალიბებულია ორი მიმდევრობის გამოყენებით. ჯერ ერთი, ცნებები დაკავშირებულია და მეორეც, ფუნქციების საზღვრები ჩვეულებრივ შესწავლილია მიმდევრობის საზღვრების შემდეგ.

განიხილეთ თანმიმდევრობა ქულები (ნახატზე არა)ინტერვალის კუთვნილება და გარდა, რომელიც იყრის თავსრომ . შემდეგ ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები ასევე ქმნიან ციფრულ თანმიმდევრობას, რომლის წევრები განლაგებულია y-ღერძზე.

ჰეინის ფუნქციის ლიმიტი ნებისმიერისთვისწერტილოვანი თანმიმდევრობები (ეკუთვნება და განსხვავდება), რომელიც ემთხვევა წერტილს, ფუნქციის მნიშვნელობების შესაბამისი თანმიმდევრობა იყრის თავს.

ედუარდ ჰაინე არის გერმანელი მათემატიკოსი. ... და არ არის საჭირო რაიმეზე ფიქრი, ევროპაში მხოლოდ ერთი გეი არის - ეს არის გეი-ლუსაკი =)

აშენდა ლიმიტის მეორე განმარტება ... დიახ, დიახ, თქვენ მართალი ხართ. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მის დიზაინს. განვიხილოთ წერტილის თვითნებური მეზობლობა ("შავი" უბანი). წინა აბზაციდან გამომდინარე, აღნიშვნა ნიშნავს იმას გარკვეული ღირებულებაფუნქცია განლაგებულია "ეპსილონის"-გარემოს შიგნით.

ახლა ვიპოვოთ -მეზობლობა, რომელიც შეესაბამება მოცემულ -მეზობელს (გონებრივად დახაზეთ შავი წერტილოვანი ხაზები მარცხნიდან მარჯვნივ და შემდეგ ზემოდან ქვემოდან). გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელობა არჩეულია პატარა სეგმენტის სიგრძეზე, ამ შემთხვევაში, უფრო მოკლე მარცხენა სეგმენტის სიგრძეზე. უფრო მეტიც, "ჟოლოსფერი" - წერტილის სამეზობლო შეიძლება შემცირდეს კიდეც, რადგან შემდეგ განმარტებაში არსებობის ფაქტი მნიშვნელოვანიაამ სამეზობლოში. და, ანალოგიურად, ჩანაწერი ნიშნავს, რომ გარკვეული მნიშვნელობა არის "დელტას" სამეზობლოში.

ფუნქციის კუშის ლიმიტი: რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ლიმიტი იმ წერტილში, თუ ნებისმიერისთვის წინასწარ შერჩეულისამეზობლო (თვითნებურად მცირე), არსებობს- წერტილის სამეზობლო, ასეთირომ: AS ONLY ღირებულებები (საკუთრებაში)შედის ამ სფეროში: (წითელი ისრები)- ასე რომ დაუყოვნებლივ, ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობები გარანტირებულია - სამეზობლოში შესვლისას: (ლურჯი ისრები).

უნდა გაგაფრთხილო, რომ უფრო გასაგები რომ ვიყო, ცოტა იმპროვიზაციას ვაკეთებ, ასე რომ ბოროტად ნუ გამოიყენებ =)

სხარტი: თუ

რა არის განმარტების არსი? ფიგურალურად რომ ვთქვათ, - სამეზობლოს უსასრულოდ შემცირებით, ჩვენ ფუნქციის მნიშვნელობებს მის ზღვრამდე „ვატარებთ“ და სხვაგან მიახლოების ალტერნატივას არ ვუტოვებთ. საკმაოდ უჩვეულო, მაგრამ ისევ მკაცრად! იდეის სწორად გასაგებად, ხელახლა წაიკითხეთ ფორმულირება.

! ყურადღება: თუ საჭიროა მხოლოდ ჩამოყალიბება განმარტება ჰაინეს მიხედვითან მხოლოდ კოშის განმარტებაგთხოვთ, არ დაივიწყოთ მნიშვნელოვანიწინასწარი კომენტარი: "განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია რაღაც ინტერვალზე, შესაძლოა წერტილის გარდა". ეს თავიდანვე ერთხელ განვაცხადე და ყოველ ჯერზე არ გამიმეორებია.

მათემატიკური ანალიზის შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ჰეინისა და კოშის განმარტებები ეკვივალენტურია, მაგრამ მეორე ვარიანტი ყველაზე ცნობილია. (მაინც იქნებოდა!), რომელსაც ასევე უწოდებენ "ლიმიტს ენაზე":

მაგალითი 4

ლიმიტის განსაზღვრის გამოყენებით დაამტკიცეთ ეს

გადაწყვეტილება: ფუნქცია განსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, წერტილის გარდა. -ის განმარტების გამოყენებით ვამტკიცებთ მოცემულ წერტილში ლიმიტის არსებობას.

შენიშვნა : "დელტას" უბნის სიდიდე დამოკიდებულია "ეპსილონზე", აქედან გამომდინარე აღნიშვნა

განიხილეთ თვითნებური-მეზობლობა. ამოცანაა გამოიყენოს ეს მნიშვნელობა, რათა შეამოწმოს თუ არა არსებობს თუ არა- სამეზობლო, ასეთი, რომელიც უთანასწორობიდან მიჰყვება უთანასწორობას .

თუ ვივარაუდებთ, რომ ჩვენ გარდაქმნით ბოლო უტოლობას:
(კვადრატული ტრინომის დაშლა)

განვიხილოთ ფუნქცია %%f(x)%% განსაზღვრული მაინც ზოგიერთ პუნქციურ უბანში %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% წერტილის %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% გაფართოებული რიცხვითი ხაზი.

ლიმიტის ცნება კოშის მიხედვით

რიცხვი %%A \in \mathbb(R)%% ეწოდება ფუნქციის ლიმიტი%%f(x)%% %%a \in \mathbb(R)%% (ან როგორც %%x%% მიდრეკილია %%a \in \mathbb(R)%%), თუ რა დადებითიც არ უნდა იყოს რიცხვი %%\varepsilon%% არის, არის დადებითი რიცხვი %%\delta%% ისეთი, რომ პუნქციური %%\delta%% წერტილის მიმდებარეობის ყველა წერტილისთვის %%a%% ფუნქციის მნიშვნელობებია. ეკუთვნის %%\varepsilon %%-პუნქტის %%A%% მეზობელს, ან

$$ A = \lim\limits_(x \ to a)(f(x)) \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \forall\varepsilon > 0 ~\არსებობს \დელტა > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \მარჯვენა ისარი f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \დიდი) $$

ამ განმარტებას უწოდებენ განმარტებას ენაში %%\varepsilon%% და %%\delta%%, შემოთავაზებული ფრანგი მათემატიკოსის ავგუსტინ კოშის მიერ და გამოიყენება მე-19 საუკუნის დასაწყისიდან დღემდე, რადგან მას აქვს საჭირო მათემატიკური სიმკაცრე და სიზუსტე.

%%a%% წერტილის სხვადასხვა უბნების გაერთიანება, როგორიცაა %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( ა) %% უბნებით %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( უ) _\varepsilon (-\infty)%%, მივიღებთ ქოშის ლიმიტის 24 განმარტებას.

გეომეტრიული გრძნობა

ფუნქციის ზღვრის გეომეტრიული მნიშვნელობა

მოდით გავარკვიოთ რა არის ფუნქციის ლიმიტის გეომეტრიული მნიშვნელობა წერტილში. დავხატოთ ფუნქცია %%y = f(x)%% და მასზე მოვნიშნოთ წერტილები %%x = a%% და %%y = A%%.

%%y = f(x)%% ფუნქციის ზღვარი %%x \ to a%% არის და უდრის A-ს, თუ ნებისმიერი %%\varepsilon%%%%A% წერტილის მეზობლად. % შეიძლება მიუთითოთ წერტილის ისეთი %%\ დელტა%%-მეზობლობა %%a%% ისე, რომ ნებისმიერი %%x%% ამ %%\delta%%-მეზობლისთვის მნიშვნელობა %%f(x)% % იქნება %%\varepsilon%%-სამეზობლო პუნქტებში %%A%%.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის ლიმიტის კოშის განმარტების მიხედვით, ლიმიტის არსებობისთვის %%x \%%–მდე, არ აქვს მნიშვნელობა რა მნიშვნელობას იღებს ფუნქცია ზუსტად %%a% წერტილში. შეგიძლიათ მოიყვანოთ მაგალითები, სადაც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, როდესაც %%x = a%% ან იღებს სხვა მნიშვნელობას, გარდა %%A%%. თუმცა, ლიმიტი შეიძლება იყოს %%A%%.

ჰეინეს ლიმიტის განმარტება

ელემენტს %%A \in \overline(\mathbb(R))%% ეწოდება %%f(x)%% ფუნქციის ზღვარი %% x \ to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის %%\(x_n\) \%% დომენიდან, შესაბამისი მნიშვნელობების მიმდევრობა %%\big\(f(x_n)\big\)%% მიდრეკილია %%A%%-მდე.

ლიმიტის განმარტება ჰაინეს მიხედვით მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც არსებობს ეჭვი მოცემულ წერტილში ფუნქციის ლიმიტის არსებობაზე. თუ შესაძლებელია მინიმუმ ერთი %%\(x_n\)%% მიმდევრობის აგება ზღვრით %%a%% წერტილში ისე, რომ თანმიმდევრობა %%\big\(f(x_n)\big\)%% არ აქვს ლიმიტი, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ %%f(x)%% ფუნქციას ამ ეტაპზე არ აქვს ლიმიტი. თუ ორისთვის სხვადასხვათანმიმდევრობები %%\(x"_n\)%% და %%\(x""_n\)%% იგიველიმიტი %%a%%, თანმიმდევრობები %%\big\(f(x"_n)\big\)%% და %%\big\(f(x""_n)\big\)%% აქვს სხვადასხვალიმიტები, მაშინ ამ შემთხვევაში %%f(x)%% ფუნქციის ლიმიტი ასევე არ არსებობს.

მაგალითი

მოდით %%f(x) = \sin(1/x)%%. მოდით შევამოწმოთ, არსებობს თუ არა ამ ფუნქციის ზღვარი %%a = 0%% წერტილში.

ჩვენ პირველ რიგში ვირჩევთ $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) თანმიმდევრობას, რომელიც კონვერგირდება ამ წერტილამდე. $$

ნათელია, რომ %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% და %%\lim (x_n) = 0%%. შემდეგ %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% და %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

შემდეგ აიღეთ თანმიმდევრობა $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

რომლისთვისაც %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% და %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. ანალოგიურად $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \მარჯვნივ\), $$

ასევე კონვერტაცია %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

სამივე მიმდევრობამ სხვადასხვა შედეგი გამოიღო, რაც ეწინააღმდეგება ჰაინეს განმარტების პირობას, ე.ი. ამ ფუნქციას არ აქვს ლიმიტი %%x = 0%% წერტილში.

თეორემა

ლიმიტის განსაზღვრა კოშისა და ჰეინის მიხედვით ეკვივალენტურია.